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1. 2. 3. 4. 5.6.有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。
第二批有500个零件，其中40%是次品。
第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。
我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。
（1） 问所选零件为次品的概率是多少？（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。
()()()()123414P B P B P B P B ====()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，()()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===7. 8.9. 设随机试验X 的分布律为求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：()()()()0.210.520.33f x x x xδδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-10.11. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩12.13.14.X Y求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。
姓名年级学院专业学号密封线内不答题一.填空题（每空3分共33分） 1.随机变量X ，Y 独立的条件是 。
2.若窄带信号()X t 通过一个幅度为A 的宽带系统输出()Y t ,则二者的关系为 。
3.白噪声通过理想带通系统后，其输出功率谱密度为 分布。
4.实信号)(t x 的解析信号是 。
5.随机变量X 服从0,1分布（P x p ==)1(）的特征函数()X φυ= 。
6.若信号()X t 与()Y t 恒有12(,)0R t t =,则()X t 与()Y t 彼此 。
7.若信号()X t 与()Y t 无关, 如果 则 ()X t 与()Y t 独立。
8.若信号()X t 与()Y t 都是高斯信号,则()X t 与()Y t 独立的充要条件是 。
9.随机信号的平稳性包括 。
10.白噪声信号的()R τ= 。
11.随机信号()X t 均值各态历经表示 。
二、（12分）设正态分布随机变量),(~2σμN X 的特征函数。
姓名年级学院专业学号密封线内不答题三、（12分）假定三维随机变量),(~),,(321x x C X X X μ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x μ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=820242024x C 求（1）1X 的密度函数；（2）),(21X X 的密度函数；（3）31X X +的密度函数。
姓名年级学院专业学号密封线内不答题四、（14分）已知)()cos()()()(0t N t a t N t S t X ++=+=θω,其中θω,,0a 为常数，白噪声)(t N 的功率谱为2/0N 。
求此RC 电路输入前、后的信噪比？姓名年级学院专业学号密封线内不答题五、(15分) 1. 给出严格平稳随机过程和广义平稳随机过程的定义。
2.给出严格各态历经和广义各态历经的定义。
姓名 年级 学院 专业 学号 密封线内不答题 3.解释等效噪声带宽。
六、（14分）设随机过程()cos()X t A t ωϕ=+，其中ϕ是在(−π, π)中均匀分布的随机变量，A 、ω为常数。
随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数.并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。
2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩, 求{}10,10<<<<Y X P 。
3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π 求:（1）边沿密度)(x f X ,)(y f Y（2)条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。
(1）求Y 的可能取值 （2）确定Y 的分布. （3）求][Y E 。
5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为:)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1)X 与Y 不相关时的所有A 值。
（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。
6. 二维随机变量（X ，Y )满足:ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ,Y 的独立性与相关性。
7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ,求2bX Y =的概率密度)(y f .8. 两个随机变量1X ，2X ,已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。
i 一.填空题(每空3分共18分)：1.随机信号功率谱的物理意义是。
22.广义各态历经是指。
33.白噪声通过理想低通系统后，功率谱为。
号；4.希尔伯特变换中系统的冲激响应h(t)传递函数；H( ) 。
5 5.随机信号x(t)的解析函信号是。
二.判断题(每小题3分共15分)题小答1.随机变量X, Y独立，则有E(XY) E(X)E(Y)。
() 不内2.理想白噪声过程在不同时刻的两个状态独立。
()封3.一可以成为平稳过程的自相关函数。
曲密()4.功率谱密度S x()是实函数并且是偶函数。
()5.实平稳随机过程X(t)通过线性时不变系统的输出为Y(t),则有S x( )S Y( ) S XY()S YX() ( )三.(12分)若有一随机变量X,其概率密度函数为f(t) -e ax u(t)o2 求：(1) a的值；(2) X的特征函数X v ；第1页共4页(3)随机变量Y 2X 1,求Y的一阶概率密度函数。
.( 15 分) 已知随机相位正弦信号X(t) cos 0t , 0为常数，为在［0, 2兀］内均匀分布的随机变量。
试求：(1) X(t)的数学期望和自相关函数；(2)判定X(t)是否为平稳过程；(3)计算x(t)的功率谱密度。
五.(15分)若输入信号X(t) X。
cos( o t )作用于图XX所示RC电路，其中X。
为［0,1］上均匀分布的随机变量，为［0,2兀］上均匀分布的随机变量，并且X。
与彼此独立。
求输出信号Y(t) 的功率谱与相关函数。
题业答专才不内线密六.(15分)复随机过程Z(t) e j(0t),式中。
为常数，是在。
2)：上均匀分布的随机变量。
求：(1)E［Z(t *(5和E［Z(t)Z(t)第3页共4页第4页共4页］;:(2)信号的功率谱。
七.(15分)平稳随机过程x(t)作用到冲激响应分别为几代)和卜2代)的 串联系统。
用h i (t)、h 2(t)和X(t)的自相关函数R x ()表示的Y i (t)和丫2⑴ 的互相关函数，并计算丫(t)和Y 2(t)的功率谱。
1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数：（1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++解：（1）()121222()jv X X jvX jv X jvXX v E e E e E e e φ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦1221212()(2)jvX jv X X X E e E e v v φφ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦和独立（2）()1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++⎡⎤⎡⎤==⋅⋅⎣⎦⎣⎦1253612jv X jv X jv X X E e E e E e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦和独立 612(5)(3)jv e v v φφ=2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ⎡⎤⎣⎦； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。
解：（1）()10.410.60.2E X t =-⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦ (2) 当,t t τ+在同一个时隙时：[]222(,)()()[()]10.6(1)0.41X R t t E X t X t E X t ττ+=+==⨯+-⨯=当,t t τ+不在同一个时隙时：[][][](,)()()()()0.20.20.04X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=⨯=（3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。
随机信号分析基础作业题第⼀章1、有朋⾃远⽅来，她乘⽕车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。
如果她乘⽕车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。
如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通⼯具？解：()0.3P A =()0.2P B =()0.1P C =()0.4P D =E －迟到，由已知可得(|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0P E A P E B P E C P E D ====全概率公式： ()()()()(P E P E AP E B P E C P E D=+++ 贝叶斯公式：()(|)()0.075(|)0.455()()0.165(|)()0.08(|)0.485()0.165(|)()0.01(|)0.06()0.165(|)()(|)0()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ?====?===?===?==综上：坐轮船3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2222,0()0,0X x x X x e x f x x σσ-??>=??式中，常数0X σ>，求期望()E X 和⽅差()D X 。
考察：已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？222222()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dxD XE X m X m f x dxD XE X E X E X x f x dx∞-∞∞-∞∞-∞=?=-=-=-?=6、已知随机变量X 与Y ，有1,3,()4,()16,0XYEX EY D X D Y ρ=====，令3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。
《随机信号分析》练习题一、 概念题1．叙述随机试验的三个条件。
2．写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。
3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。
5．两个随机变量独立的充要条件。
6．两个随机过程的独立是如何定义的？7．随机变量X 服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各个参数的意义。
8．简述一维随机变量分布函数F （x ）的性质。
9．已知连续型随机变量X 的分布特性，分别用分布函数)(x F X 和概率密度函数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。
10． 随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的？写出由)(μX C 计算k阶矩)(k X E 的公式。
11．设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量，其特征函数分别为C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ)，设∑==n i i X Y 1，则C Y (μ)=？12． 对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是复数？13． 写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。
14． 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。
15． 平稳过程与各态历经过程有何关系？16． 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ)，X(t)依均方意义连续的条件是？17． 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ，若X τ>Y τ，说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大？18． 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？19． 平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么？)(ωX G 与物理谱密度有何关系？20． 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？ 21． 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。
22． 何为线性系统？23． 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。
24． 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。
第一章1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。
如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。
如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：()0.3P A = ()0.2P B = ()0.1P C = ()0.4P D =E －迟到，由已知可得(|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0P E A P E B P E C P E D ==== 全概率公式： ()()()()()P E P EA P EB P EC P ED =+++ 贝叶斯公式：()(|)()0.075(|)0.455()()0.165(|)()0.08(|)0.485()0.165(|)()0.01(|)0.06()0.165(|)()(|)0()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ⋅====⋅===⋅===⋅==综上：坐轮船3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2222,0()0,0X x x X x e x f x x σσ-⎧⎪>=⎨⎪<⎩式中，常数0X σ>，求期望()E X 和方差()D X 。
考察： 已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？222222()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dxD XE X m X m f x dxD XE X E X E X x f x dx∞-∞∞-∞∞-∞=⋅=-=-=-⇒=⋅⎰⎰⎰6、已知随机变量X 与Y ，有1,3,()4,()16,0.5XY EX EY D X D Y ρ=====，令3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。
考察随机变量函数的数字特征思路： 协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-⋅ 相关系数：22()()()()()()2(,)XY E aX bY aE X bE Y D aX bY a D X b D Y abCov X Y ρ=+=++=++()6()5()76()52(,)40E U E V D U D V Cov U V ==-===-11、设随机变量X 的均值为3，方差为2。
令新的随机变量622Y X =-+，问：随机变量X 与Y 是否正交、不相关？为什么？ 考察正交、不相关的概念()0E XY =⎧⎨≠⎩ 0正交，非0不正交XY ρ=⎧⎨≠⎩ 0不相关，非0相关 ()0E XY = 正交 (,)0Cov X Y ≠ 相关以上四题都是概率论的标准题。
第二章1、已知随机信号0()cos X t A t ω=，其中0ω为常数，随机变量A 服从标准高斯分布，求0020,,33t ππωω=三个时刻()X t 的一维概率密度函数。
解：002200[()][cos ]cos []()[()][cos ]cos []x Xm E X t E A t t E A t D X t D A t t D A ωωσωω===⋅===⋅A 服从标准高斯分布 022200[]0,[]1[]cos 0()[]cos cos x X E A D A m E A t t D A t tωσωω∴==∴=⋅==⋅=∴一维高斯概率密度函数22220[()]2cos 2()(,)x X x m t x tt x f x t ωσ---==①当0t =时，22(;0)x x f x -=②当03t πω=时，220(;)3x x f x πω-= ③当023t πω=时，2202(;)3x x f x πω-=3、随机变量X 与Y 相互统计独立，并且服从2(0,)N σ分布。
它们构成随机信号()X t XYt =，试问：(1)信号X(t)的一维概率密度函数(;)x f x t ；(2) t 时刻的随机变量是什么分布，求其均值和方差。
解：（1）,X Y 服从2(0,)N σ分布 且()X t X Yt =+()X t ∴也服从正态分布[()][][][]0[()][]E X t E X Yt E X tE Y D X t D X Yt ∴=+=+==+,X Y 相互统计独立()22222221[()][][][](1)(;)x t x D X t D X Yt D X t D Y t f x t σρ-+∴=+=+=+∴=（2）t 时刻，随机变量是高斯分布22[()]0[()](1)E X t D X t t σ==+∴其均值为0，方差为22(1)t σ+4、假定随机正弦幅度信号0()cos()X t A t ωθ=+，其中频率0ω和相位θ为常数，幅度A 是一个服从[]0,1均匀分布的随机变量，试求t 时刻该信号加在1欧姆电阻上的交流功率平均值。
解：t 时刻该信号加在1欧姆上的交流功率为[()]D X t0[()][cos()]D X t D A t ωθ=⋅+频率0ω和相位θ为常数200[cos()]cos ()[]D A t t D A ωθωθ∴⋅+=+⋅A 服从[0,1]均匀分布1,01()0,A a f a other<<⎧∴=⎨⎩ 211222201[][][][]121[]121[()]cos ()12D AE A E A a da a da D A D X t t ωθ∴=-=-⋅=∴=∴=+⎰⎰5、已知随机信号()X t 的均值为()X m t ，协方差函数为12(,)X C t t ，又知道()f t 是确定的时间函数。
试求随机信号()()()Y t X t f t =+的均值以及协方差。
解：[()][()()][()][()]E Y t E X t f t E X t E f t =+=+()f t 是确定信号12121211221212121211221212[()]()()(,)[()()][()][()][()()][()()][()()()()()()()()][()()][()()][()()]()[()](X X E Y t m t f t C t t E Y t Y t E Y t E Y t E X t f t E X t f t E X t X t X t f t f t X t f t f t E X t f t E X t f t E X t X t f t E X t f t ∴=+=⋅-⋅=+⋅+=+++-+⋅+=++211212************)[()]()()[()][()]()[()]()[()]()()[()()][()][()](,)X E X t f t f t E X t E X t f t E X t f t E X t f t f t E X t X t E X t E X t C t t +-⋅---=-= ()Y t ∴的均值为()()X m t f t +其协方差为：12(,)X C t t9、设接收机中频放大器的输出随机信号为()()()X t s t N t =+，其中()N t 是均值为零，方差为2σ的高斯噪声随机信号，而00()cos()s t t ωθ=+为确知信号，求随机信号()X t 在任意时刻1t 的一维概率密度函数。
解：()()()()()()X t S t N t N t X t S t =+=-00()cos()S t t ωθ=+是确知信号[()][()()]()[()]E X t E S t N t S t E N t ∴=+=+()N t 服从均值为0，方差为2nσ的高斯分布2002002[cos()]2[()]0[()]()cos()[()][()()][()](,)nn x t X E X t E X t S t t D X t D S t N t D N t f x t ωθσωθσ-+-∴=∴==+=+==∴=第三章3、设()X t 与()Y t 是统计独立的平稳随机信号。
求证由它们的乘积构成的随机信号()()()Z t X t Y t =也是平稳的。
证：()X t 与()Y t 是统计独立的平稳随机信号∴1212212222[()](,)[()()](),||[()][()]XX X X X E X t m R t t E X t X t R t t E X t D X t ττϕσ====-==同理1212212222[()](,)[()()](),||[()][()]YY Y YY E Y t m R t t E Y t Y t R t t E Y t D Y t ττϕσ====-==1212112212121212121221()()()[()][()()][()][()](,)[()()][()()()()][()()()()][()()][()()](,)(,)()(),||[X Y Z X Y X Y Z t X t Y t E Z t E X t Y t E X t E Y t m m R t t E Z t Z t E X t Y t X t Y t E X t X t Y t Y t E X t X t E Y t Y t R t t R t t R R t t E Z τττ===⋅=⋅==⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=-2222222222222()][()()][()][()][()][()()][()][()]X Y X Y X Yt E X t Y t E X t E Y t D Z t D X t Y t E Z t E Z t m m ϕϕϕϕ=⋅=⋅=⋅<∞=⋅=-=⋅-⋅由平稳条件可知()()()Z t X t Y t =也是平稳的随机信号8、设随机信号00()()cos ()sin Z t X t t Y t t ωω=-，其中0ω为常数，()X t 、()Y t 为平稳信号。
试求：(1)()Z t 的自相关函数(,)Z R t t τ+；(2)若()()X Y R R ττ=，()0XY R τ=，求(,)Z R t t τ+。
解： (1)()X t ，()Y t 是平稳的随机信号000000000000(,)[()()][(()cos ()sin )(()cos ()()sin ())][()()cos cos ()()()cos sin ()()()sin cos ()()()sin ()sin ]c Z R t t E Z t Z t E X t t Y t t X t t Y t t E X t X t t t X t Y t t t X t Y t t t Y t Y t t t ττωωτωττωττωωττωωττωωττωτω+=⋅+=-⋅++-++=++-++-+++++=00000000os cos ()()cos sin ()()sin cos ()()sin ()sin ()X XY YX Y t t R t t R t t R t tR ωωττωωττωωττωτωτ+-+-+++(2)000000000()(),()0()()()()()()()()(,)0(,)cos cos ()()sin sin ()()()[cos cos ()sin sin ()]()cos X Y XY YX z X Y X X R R R X t Y t Y t Y t X t Y t Y t X t R t R t t t R t t R R t t t t R τττττττττττωωττωωτττωωτωωττωτ==∴⋅+=⋅+∴⋅+=⋅+∴+=∴+=+++=+++=11、已知随机信号()sin cos X t A t B t =+，式中，A 与B 为彼此独立的零均值随机变量。
