正方形专题

ABCDE FGO 专题20 正方形阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．例题与求解【例l 】 如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB ，AC 于点E ，G .下列结论：①05.112=∠AGD ；②2=AEAD；③OGD AGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤OG BE 2=. 其中，正确结论的序号是______________． （重庆市中考试题）解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．【例2】如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上)(BC CG >，取线段AE 的中点M .连MD ，MF ．（1）探究线段MD ，MF 的关系，并加以证明． （2）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角后（如图2），其他条件不变． 探究线段MD ，MF 的关系，并加以证明．（大连市中考题改编） 解题思路：由M 为AE 中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．图2图1MFEGMFGABDCECD BA【例3】如图，正方形ABCD 中，E ，F 是AB ，BC 边上两点，且FC AE EF +=，EF DG ⊥于G ，求证：DA DG =.（重庆市竞赛试题）解题思路：构造FC AE +的线段是解本例的关键．GF B CA DE【例4】 如图，正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、GH 分割成四个小矩形，P 是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍，试确定HAF ∠的大小，并证明你的结论．（北京市竞赛试题） 解题思路：先猜测HAF ∠的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．【例5】 如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，满足DF BE EF +=，AF AE ,分别与对角线BD 交于点N M ,．求证：（1）045=∠EAF ；（2）222DN BM MN +=． （四川省竞赛试题）解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系．M NEBCDAFA B CDE F GHP【例6】已知 ：正方形ABCD 中，045=∠MAN ，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点N M ,．当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM =时（如图1），易证MN DN BM =+．（1）当MAN ∠绕点A 旋转到DN BM ≠时（如图2），线段DN BM ,和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段DN BM ,和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（黑龙江省中考试题）解题思路：对于（2），构造BM DN −是解题的关键．能力训练A 级1. 如图，若四边形ABCD 是正方形，CDE ∆是等边三角形，则EAB ∠的度数为__________.（北京市竞赛试题）2. 四边形ABCD 的对角线BD AC 、相交于点O ，给出以下题设条件： ①DA CD BC AB ===；②BD AC DO CO BO AO ⊥===,； ③BD AC DO BO CO AO ⊥==,,；ABCDMN图3ABCDMN图2ABCDMN图1④DA CD BC AB ==,．其中，能判定它是正方形的题设条件是______________. （把你认为正确的序号都填在横线上）（浙江省中考试题）3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转030，则这两个正方形重叠部分的面积是__________.（青岛市中考试题）B CDA E第1题图 第3题图 第4题图4.如图，P 是正方形ABCD 内一点，将ABP ∆绕点B 顺时针方向旋转至能与'CBP ∆重合，若3=PB ，则'PP =__________. （河南省中考试题）5.将n 个边长都为cm 1的正方形按如图所示摆放，点n A A A Λ,,21分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )A .241cm B ．24cm n C. 241cm n − D. 2)41(cm n（晋江市中考试题）A 5A 3A 4A 2A 1OB F ECA第5题图 第6题图ABCDPP ''ABCDC 'D 'A '6. 如图，以BCA Rt ∆的斜边BC 为一边在BCA ∆的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果26,4==AO AB ，则AC 的长为( )A . 12B ．8 C.34 D. 28（浙江省竞赛试题）7．如图，正方形ABCD 中，035,=∠=MCE MN CE ，那么ANM ∠是( ) A .045 B ．055 C. 065 D. 0758．如图，正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，CEF Rt ∆的面积为200，则BE 的值是( )A ．15B ．12C ．11D ．10第8题图第7题图ABMBCD ACD E FNE9．如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BD 与CE 交于F 点，求证：BE AF ⊥．FEB CDA10. 如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 边的中点，F 是AD 上的一点，且AD AF 41= ． 求证：CE 平分BCF ∠．BCADE F11. 如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，F E BC PF DC PE ,,,⊥⊥分别是垂足． 求证：EF AP =．（扬州市中考试题）FEBCAD P12.（1）如图1，已知正方形ABCD 和正方形)(BC CG CGEF >，G C B ,,在同一条直线上，M 为线段AE 的中点．探究：线段MF MD ,的关系．（2）如图2，若将正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转045，使得正方形CGEF 的对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（大连市中考试题）图1 图2B 级1. 如图，在四边形ABCD 中，090,=∠=∠=ABC ADC DC AD ，AB DE ⊥于E ，若四边形ABCDEFGMABCDEFGMABCD 的面积为8，则DE 的长为__________.2.如图，M 是边长为1的正方形ABCD 内一点，若02290,21=∠=−CMD MB MA ，则=∠MCD __________.（北京市竞赛试题）第3题图第1题图第2题图OCB EBC AE B DADMFAC3.如图，在ABC Rt ∆中，3,900==∠AC C ，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形的中心为O ，且24=OC ，则BC 的长为__________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长一定的正方形ABCD ，Q 是CD 上一动点，AQ 交BD 于M ，过M 作AQ MN ⊥交BC 于N 点，作BD NP ⊥于点P ，连接NQ ，下列结论：①MN AM =；②BD MP 21=； ③NQ DQ BN =+；④BMBNAB +为定值，其中一定成立的是( )A . ①②③B ．①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 5.如图，ABCD 是正方形，AC BF //，AEFC 是菱形，则ACF ∠与F ∠度数的比值是( ) A . 3 B ．4 C. 5 D. 不是整数6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是( )A .58 B ．527C. 8D. 65E.35（美国高中考试题）第7题图第5题图第4题图第6题图Q BCFABPNMBC DACDDA QE P7.如图，正方形ABCD 中，8=AB ，Q 是CD 的中点，设α=∠DAQ ，在CD 上取一点P ，使α2=∠BAP ，则CP 的长度等于 ( )A . 1B ．2 C. 3 D.3（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形ABCD 中，M 是AB 中点，E 是AB 延长线上一点，DM MN ⊥且交CBE ∠平分线于N （如图1）（1）求证：MN MD =；（2）若将上述条件中的“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，点M 是AB 的延长线上（除B 点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（临汾市中考试题）E 图3图2图1N NAB N M ABA B DCCDEDCE MM`9.已知,10,10<<<<b a 求证：22)1()1()1()1(22222222≥−+−+−+++−++b a b a b a b a ．10.如果，点N M ,分别在正方形ABCD 的边CD BC ,上，已知MCN ∆的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求MAN ∠的度数． （“祖冲之杯”邀请赛试题）A BDC MN11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH ，对角线CG AE ,分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：CG AE ⊥，且CG AE =．（北京市竞赛试题）CBAHGFED12.如图，正方形MNBC 内有一点A ，以AC AB ,为边向ABC ∆外作正方形ABRT 和正方形ACPQ ，连接BP RM ,．求证：RM BP //．（武汉市竞赛试题）MNPQT BCAR。

(完整)初一几何正方形的计算专题初一几何正方形的计算专题
1. 正方形的定义
正方形是一种特殊的四边形，具有以下特点：
- 四条边相等，且相邻两边垂直
- 四个内角均为90度
- 对角线相等且垂直
2. 正方形的周长计算公式
正方形的周长是所有边长度的总和，计算公式为：
周长 = 边长 × 4
3. 正方形的面积计算公式
正方形的面积是边长的平方，计算公式为：
面积 = 边长 ×边长
4. 解题示例
示例1
已知一个正方形的边长为6cm，求其周长和面积。

解答：
根据公式，可以得到：
周长 = 6cm × 4 = 24cm
面积 = 6cm × 6cm = 36cm²
因此，该正方形的周长为24cm，面积为36cm²。

示例2
已知一个正方形的面积为25m²，求其边长和周长。

解答：
根据公式，可以得到：
面积 = 边长 ×边长
25m² = 边长 ×边长
由于正方形的边长相等，可得到：
25m² = 边长 ×边长 = 边长²
解方程可得：
边长= √25m² = 5m
周长 = 边长 × 4 = 5m × 4 = 20m
因此，该正方形的边长为5m，周长为20m。

5. 总结
初一几何正方形的计算专题主要包括正方形的定义、周长的计算、面积的计算以及解题示例。

通过掌握正方形的特点和计算公式，可以轻松解决与正方形相关的几何计算问题。

专题1.8 正方形半角模型【例题精讲】【例1】在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且45EAF CEF Ð=Ð=°．（1）将ADF D 绕着点A 顺时针旋转90°，得到ABG D （如图①)，求证：AEG AEF D @D ；（2）若直线EF 与AB ，AD 的延长线分别交于点M ，N （如图②)，求证：222EF ME NF =+．【解答】（1）证明：ADF D Q 绕着点A 顺时针旋转90°，得到ABG D ，AG AF \=，BG DF =，90GAF Ð=°，BAG DAF Ð=Ð，45EAF Ð=°Q ，904545BAE DAF BAE BAG \Ð+Ð=Ð+Ð=°-°=°，即GAE EAF Ð=Ð，\在AEG D 和AEF D 中，AG AFGAE EAF AE AE=ìïÐ=Ðíï=î，()AEG AEF SAS \D @D ；（2）证明：连接G ，如图所示：Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD \===，90C Ð=°，45CEF Ð=°Q CE CF \=，DF DN =，BM BE =，BC CD =Q ，BE DF \=，BG DF =Q，BG DF BE BM\===，BMG\Ð=°，45Q，Ð=°EMB45EMG\Ð=°，90\=，MG同理：NF=，\=，MG NF22222EG MG ME NF ME\=+=+，Q，AEG AEFD@D\=，EG EF222\=+．EF ME NF【题组训练】1．如图，等边AEFD的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且45Ð=°．求证：CEF矩形ABCD是正方形．【解答】解：Q四边形ABCD是矩形，\Ð=Ð=Ð=°，B D C90Q是等边三角形，AEFDAE AF \=，60AEF AFE Ð=Ð=°，45CEF Ð=°Q ，45CFE CEF \Ð=Ð=°，180456075AFD AEB \Ð=Ð=°-°-°=°，()AEB AFD AAS \D @D ，AB AD \=，\矩形ABCD 是正方形．2．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，45EAF Ð=°．（1）如图（1），试判断EF ，BE ，DF 间的数量关系，并说明理由；（2）如图（2），若AH EF ^于点H ，试判断线段AH 与AB 的数量关系，并说明理由．【解答】（1）解：BE DF EF +=；理由如下：如图1，延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，Q 在GDA D 和EBA D 中，90DG BE GDA ABE AD AB =ìïÐ=Ð=°íï=î，()GDA EBA SAS \D @D ，AG AE \=，GAD EAB Ð=Ð，故45GAF Ð=°，在GAF D 和EAF D 中，Q AG AE GAF EAF AF AF =ìïÐ=Ðíï=î，()GAF EAF SAS \D @D ，GF EF \=，即GD DF BE DF EF +=+=；（2）AH AB =，理由如下：Q 四边形ABCD 为正方形，AB AD \=，90BAD Ð=°，\把ADF D 绕点A 顺时针旋转90°得到ABQ D ，如图2，AQ AF \=，90FAQ Ð=°，90ABQ D Ð=Ð=°，而90ABC Ð=°，\点Q 在CB 的延长线上，45EAF Ð=°Q ，9045QAE EAF \Ð=°-Ð=°，EAF QAE \Ð=Ð，在AEQ D 和AEF D 中，AE AE EAF QAE AQ AF =ìïÐ=Ðíï=î，()AEQ AEF SAS \D @D ，EQ EF \=，AB EQ ^Q ，AH FE ^，AB AH \=．3．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AE AF =，45CEF Ð=°．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）若AF =，1BE =，求四边形ABCD 的面积．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是矩形，90B D C \Ð=Ð=Ð=°，AE AF =Q ，AFE AEF \Ð=Ð，45CEF Ð=°Q ，90C Ð=°，45CFE \Ð=°，AFD AEB \Ð=Ð，()ABE ADF AAS \D @D ，AB AD \=，\矩形ABCD 是正方形．（2）解：Q 由（1）可知：AE AF ==，又1BE =，90B Ð=°，\由勾股定理得，AD ===，Q 四边形ABCD 是正方形，\217ABCD S ==正方形．4．正方形ABCD 的边长为6，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且45EDF Ð=°，将DAE D绕点D 逆时针旋转90°，得到DCM D ．（1）求证：EF CF AE =+；（2）当2AE =时，求EF 的长．【解答】（1）证明：DAE D Q 逆时针旋转90°得到DCM D ，180FCM FCD DCM \Ð=Ð+Ð=°，AE CM =，F \、C 、M 三点共线，DE DM \=，90EDM Ð=°，90EDF FDM \Ð+Ð=°，45EDF Ð=°Q ，45FDM EDF \Ð=Ð=°，在DEF D 和DMF D 中，Q DE DM EDF MDF DF DF =ìïÐ=Ðíï=î，()DEF DMF SAS \D @D ，EF MF \=，EF CF AE \=+；（2）解：设EF MF x ==，2AE CM ==Q ，且6BC =，628BM BC CM \=+=+=，8BF BM MF BM EF x \=-=-=-，624EB AB AE =-=-=Q ，在Rt EBF D 中，由勾股定理得222EB BF EF +=，即2224(8)x x +-=，解得：5x =，则5EF =．5．（1）如图①，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 上，45EDF Ð=°，连接EF ，求证：EF AE FC =+．（2）如图②，点E ，F 在正方形ABCD 的对角线AC 上，45EDF Ð=°，猜想EF 、AE 、FC 的数量关系，并说明理由．【解答】证明：（1）Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD \===，90B C ADC DAB Ð=Ð=Ð=Ð=°，如图①：延长BA ，使AM CF =，连接MD ，在AMD D 和CFD D 中，AM CF MAD C AD CD =ìïÐ=Ðíï=î，()AMD CFD SAS \D @D，MDA CDF \Ð=Ð，MD DF =，45EDF Ð=°Q ，45ADE FDC \Ð+Ð=°，45ADM ADE MDE \Ð+Ð=°=Ð，MDE EDF \Ð=Ð，在EDF D 和EDM D 中，MD DF MDE FDE DE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()EDF EDM SAS \D @D ，EF EM \=，EM AM AE AE CF =+=+Q ，EF AE CF \=+；（2）222EF AE CF =+，理由如下：如图②，将CDF D 绕点D 顺时针旋转90°，可得ADN D ，由旋转的性质可得DN DF =，AN CF =，45DAN DCF Ð=Ð=°，CDF ADN Ð=Ð，90CAN CAD DAN \Ð=Ð+Ð=°，222EN AE AN \=+，45EDF Ð=°Q ，45CDF ADE \Ð+Ð=°，45ADE ADN NDE EDF \Ð+Ð=°=Ð=Ð，在EDF D 和EDN D中，FDE NDE DE DE ïÐ=Ðíï=î，()EDF EDN SAS \D @D ，EF EN \=，222EF AE CF \=+．6．（1）如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF Ð=°，求证：EF BE FD =+；（2）如图2，四边形ABCD 中，90BAD й°，AB AD =，180B D Ð+Ð=°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当EAF Ð与BAD Ð满足什么关系时，仍有EF BE FD =+，说明理由．【解答】证明：（1）如图1：把ABE D 绕点A 逆时针旋转90°至ADG D ，则ADG ABE D @D ，AG AE \=，DAG BAE Ð=Ð，DG BE =，又45EAF Ð=°Q ，即45DAF BEA EAF Ð+Ð=Ð=°，GAF FAE \Ð=Ð，在GAF D 和EAF D中，GAF FAE AF AF ïÐ=Ðíï=î，()GAF EAF SAS \D @D ．GF EF \=．又DG BE =Q ，GF BE DF \=+，BE DF EF \+=；（2）当2BAD EAF Ð=Ð时，仍有EF BE FD =+，理由如下：如图2，延长CB 至M ，使BM DF =，连接AM ，180ABC D Ð+Ð=°Q ，180ABC ABM Ð+Ð=°，D ABM \Ð=Ð，在ABM D 和ADF D 中，AB AD ABM D BM DF =ìïÐ=Ðíï=î，()ABM ADF SAS \D @D AF AM \=，DAF BAM Ð=Ð，2BAD EAF Ð=ÐQ ，DAF BAE EAF \Ð+Ð=Ð，EAB BAM EAM EAF \Ð+Ð=Ð=Ð，在FAE D 和MAE D 中，AE AE FAE MAE AF AM =ìïÐ=Ðíï=î，()FAE MAE SAS \D @D ，EF EM BE BM BE DF \==+=+，即EF BE DF =+．7．（类比学习，从图1中找方法在图2中运用）（1）如图1，在正方形ABCD （四条边都相等，每个内角都是90)°中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，F 是AD 延长线上一点，且45GCE Ð=°，BE DF =．求证：GE BE GD =+．（2）如图2，已知：AC 平分BAD Ð，CE AB ^，CD CB =，180B D Ð+Ð=°．求证：AE AD BE =+．【解答】证明：（1）在正方形ABCD 中，BC CD =，在BCE D 和DCF D 中，90BC CD B CDF DF BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BCE DCF SAS \D @D ，CE CF \=，BCE DCF Ð=Ð，45GCE Ð=°Q ，904545GCF GCD DCF GCD BCE \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°-°=°，GCF GCE \Ð=Ð，在GCE D 和GCF D 中，CE CF GCF GCE CG CG =ìïÐ=Ðíï=î，()GCE GCF SAS \D @D ，EG GF \=，GF GD DF =+Q ，GE BE GD \=+；（2）延长AB 到F 使BF AD =，180ABC CBF \Ð+Ð=°，180ABC D Ð+Ð=°Q ，CBF D \Ð=Ð，CD CB =Q ，()CDA CBF SAS \D @D ，DAC F \Ð=Ð，AC Q 平分BAD Ð，DAC CAE \Ð=Ð，CAE F \Ð=Ð，AC FC \=，CE AB ^Q ，AE EF \=，AE AD BE \=+．8．（1）如图1的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，45EAF Ð=°，延长CD 到点G ，使DG BE =，连接EF ，AG ．求证：EF FG =；（2）如图2，等腰Rt ABC D 中，90BAC Ð=°，AB AC =，点M ，N 在边BC 上，且45MAN Ð=°．若1BM =，3CN =，求MN 的长．【解答】（1）证明：在正方形ABCD 中，ABE ADG Ð=Ð，AD AB =，在ABE D 和ADG D 中，AD AB ABE ADG DG BE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE ADG SAS \D @D ，BAE DAG \Ð=Ð，AE AG =，90EAG \Ð=°，在FAE D 和GAF D 中，45AE AG EAF FAG AF AF =ìïÐ=Ð=°íï=î，()FAE FAG SAS \D @D ，EF FG \=；（2）解：如图，过点C 作CE BC ^，垂足为点C ，截取CE ，使CE BM =．连接AE 、EN ．AB AC =Q ，90BAC Ð=°，45B ACB \Ð=Ð=°．CE BC ^Q ，45ACE B \Ð=Ð=°．在ABM D 和ACE D 中，AB AC B ACE BM CE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABM ACE SAS \D @D ．AM AE \=，BAM CAE Ð=Ð．90BAC Ð=°Q ，45MAN Ð=°，45BAM CAN \Ð+Ð=°．于是，由BAM CAE Ð=Ð，得45MAN EAN Ð=Ð=°．在MAN D 和EAN D 中，AM AE MAN EAN AN AN =ìïÐ=Ðíï=î，()MAN EAN SAS \D @D ．MN EN \=．在Rt ENC D 中，由勾股定理，得222EN EC NC =+．222MN BM NC \=+．1BM =Q ，3CN =，22213MN \=+，MN \=9．如图，四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），将射线AE 绕点A 按逆时针方向旋转45°后交CD 边于点F ，AE 、AF 分别交BD 于G 、H 两点．（1）当55BEA Ð=°时，求HAD Ð的度数；（2）设BEA a Ð=，试用含a 的代数式表示DFA Ð的大小；（3）点E 运动的过程中，试探究BEA Ð与FEA Ð有怎样的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）Q四边形ABCD是正方形，\Ð=Ð=°，90EBA BAD\Ð=°-Ð=°-°=°，EAB AEB90905535\Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°=°；HAD BAD EAF EAB90453510（2）Q四边形ABCD是正方形，\Ð=Ð=Ð=°，90EBA BAD ADF\Ð=°-Ð=°-，EAB AEB a9090\Ð=Ð-Ð-Ð=°-°-°-=-°，DAF BAD EAF EAB a a9045(90)45\Ð=°-Ð=°--°=°-；DFA DAF a a9090(45)135（3）BEA FEAÐ=Ð，理由如下：延长CB至I，使BI DF=，连接AI．Q四边形ABCD是正方形，AD AB\=，90Ð=Ð=°，ADF ABC\Ð=°，ABI90又BI DFQ，=\D@D，DAF BAI SAS()\=，DAF BAIÐ=Ð，AF AIEAI BAI BAE DAF BAE EAF\Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°=Ð，45又AED的公共边，Q是EAID与EAF()EAI EAF SAS \D @D ，BEA FEA \Ð=Ð．10．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 边上一点，F 是AD 延长线上一点，BE DF =．（1）求证：CE CF =；（2）若点G 在AD 边上，且45GCE Ð=°，3BE =，5DG =，求GE 的长．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是正方形，BC DC \=，90B FDC Ð=Ð=°，在EBC D 和FDC D 中，DF EB FDC B CB DC =ìïÐ=Ðíï=î，()CBE CDF SAS \D @D ，CE CF \=；（2）解：由（1）得：CBE CDF D @D ，BCE DCF \Ð=Ð，BCE ECD DCF ECD \Ð+Ð=Ð+Ð，即90ECF BCD Ð=Ð=°，又45GCE Ð=°Q ，45GCF GCE \Ð=Ð=°，Q 在ECG FCG D @D 中，CE CF GCE GCF GC GC =ìïÐ=Ðíï=î，()ECG FCG SAS \D @D，358GE GF DG DF DG BE \==+=+=+=．11．如图，Rt CEF D 中，90C Ð=°，CEF Ð，CFE Ð外角平分线交于点A ，过点A 分别作直线CE ，CF 的垂线，B ，D 为垂足．（1）求证：四边形ABCD 是正方形．（2）已知AB 的长为6，求(6)(6)BE DF ++的值．（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR 中，45QPR Ð=°，一条高是PH ，长度为6，2QH =，则HR =　3或12　．【解答】（1）证明：作AG EF ^于G ，如图1所示：则90AGE AGF Ð=Ð=°，AB CE ^Q ，AD CF ^，90B D C \Ð=Ð=°=Ð，\四边形ABCD 是矩形，CEF ÐQ ，CFE Ð外角平分线交于点A ，AB AG \=，AD AG =，AB AD \=，\四边形ABCD 是正方形；（2）解：Q 四边形ABCD 是正方形，6BC CD \==，在Rt ABE D 和Rt AGE D 中，AE AE AB AD =ìí=î，Rt ABE Rt AGE(HL)\D @D ，BE BG \=，同理：Rt ADF Rt AGF(HL)D @D ，DF GF \=，BE DF GE GF EF \+=+=，设BE x =，DF y =，则6CE BC BE x =-=-，6CF CD DF y =-=-，EF x y =+，在Rt CEF D 中，由勾股定理得：222(6)(6)()x y x y -+-=+，整理得：6()36xy x y ++=，(6)(6)(6)(6)6()36363672BE DF x y xy x y \++=++=+++=+=；（3）解：①PQR D 是锐角三角形时，如图2所示：把PQH D 沿PQ 翻折得PQD D ，把PRH D 沿PR 翻折得PRM D ，延长DQ 、MR 交于点G ，由（1）（2）得：四边形PMGD 是正方形，MR DQ QR +=，MR HR =，2DQ HQ ==，6MG DG MP PH \====，4GQ \=，设MR HR a ==，则6GR a =-，2QR a =+，在Rt GQR D 中，由勾股定理得：222(6)4(2)a a -+=+，解得：3a =，即3HR =；②当PQR D 是钝角三角形时，过P 作PT PR ^交RQ 延长线于T ，如图3所示：则904545TPQ Ð=°-°=°，由①得：3TH =，PT \===设HR x =，PR y =，则3TR x =+，PTR D Q 的面积11(3)622x =+´=´，\62x =+，225(62)y x \=+①，在Rt PRH D 中，由勾股定理得：2226y x =+②，由①②得：2(12)0x -=，12x \=，即12HR =；综上所述，HR 为3或12，故答案为：3或12．12．（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，45ECG Ð=°，那么EG 与图中两条线段的和相等？证明你的结论．（2）请用（1）中所积累的经验和知识完成此题，如图2，在四边形ABCG 中，//()AG BC BC AG >，90B Ð=°，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45ECG Ð=°，4BE =，求EG 的长？【解答】解：（1）EG BE DG=+．如图1，延长AD至F，使DF BE=，连接CF，Q四边形ABCD为正方形，Ð=Ð=Ð=°，BC DCABC ADC BCD\=，90Q，Ð=-Ð180CDF ADC\Ð=°，CDF90\Ð=Ð，ABC CDFQ，=BE DF\D@D，()EBC FDC SAS=，\Ð=Ð，EC FCBCE DCFQ，Ð=°45ECGBCE GCD BCD ECG\Ð+Ð=Ð-Ð=°-°=°，904545\Ð+=Ð=°，45GCD DCF FCG\Ð=Ð，ECG FCG=Q，GC GC\D@D，()ECG FCG SASEG GF \=，GF GD DF GD BE =+=+Q ，EG GD BE \=+．（2）如图2，过点C 作CD AG ^，交AG 的延长线于D ．//AG BC Q ，180A B \Ð+Ð=°，90B Ð=°Q ，18090A B \Ð=°-Ð=°，90CDA Ð=°Q ，AB BC =，\四边形ABCD 是正方形，12AB BC ==Q ，12CD AD \==，4BE =Q ，8AE AB BE \=-=，设EG x =，由（1）知EG BE GD =+，4GD x \=-，12(4)16AG AD GD x x \=-=--=-，在Rt AEG D 中：222GE AG AE =+，222(16)8x x \=-+，解得10x =，10EG \=．13．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边BC 、CD 上两点，45EAF Ð=°，过点A 作GAB FAD Ð=Ð，且点G 为边CB 延长线上一点．①GAB FAD D @D 吗？说明理由．②若线段4DF =，8BE =，求线段EF 的长度．③若4DF =，8CF =．求线段EF 的长度．【解答】解：①全等．证明：Q 四边形ABCD 为正方形AB AD \=，ABG D Ð=Ð，在ABG D 和ADF D 中，GAB FAD Ð=Ð，AB AD =，ABG D Ð=ÐGAB FAD \D @D ．②解：90BAD Ð=°Q ，45EAF Ð=°45DAF BAE \Ð+Ð=°GAB FADD @D Q GAB FAD \Ð=Ð，AG AF=45GAB BAE \Ð+Ð=°45GAE \Ð=°GAE EAF\Ð=Ð在GAE D 和FAE D 中AG AF =Q ，GAE EAF Ð=Ð，AE AE=()GAE FAE SAS \D @D EF GE \=．GAB FADD @D Q GB DF\=8412EF GE GB BE FD BE \==+=+=+=．③设EF x =，则4BE GE BG x =-=-．EC BC BE =-Q ，12(4)16EC x x \=--=-．在Rt EFC D 中，依据勾股定理可知：222EF FC EC =+，即222(16)8x x -+=，解得：10x =．10EF \=．14．如图，Rt CEF D 中，90C Ð=°，CEF Ð，CFE Ð外角平分线交于点A ，过点A 分别作直线CE ，CF 的垂线，B ，D 为垂足．（1）EAF Ð=　45　°（直接写出结果不写解答过程）；（2）①求证：四边形ABCD 是正方形．②若3BE EC ==，求DF 的长．（3）如图（2），在PQR D 中，45QPR Ð=°，高5PH =，2QH =，则HR 的长度是 （直接写出结果不写解答过程）．【解答】解：（1）90C Ð=°Q ，90CFE CEF \Ð+Ð=°，36090270DFE BEF \Ð+Ð=°-°=°，AF Q 平分DFE Ð，AE 平分BEF Ð，12AFE DFE \Ð=Ð，12AEF BEF Ð=Ð，11()27013522AEF AFE DFE BEF \Ð+Ð=Ð+Ð=´°=°，18045EAF AEF AFE \Ð=°-Ð-Ð=°，故答案为：45；（2）①作AG EF ^于G ，如图1所示：则90AGE AGF Ð=Ð=°，AB CE ^Q ，AD CF ^，90B D C \Ð=Ð=°=Ð，\四边形ABCD 是矩形，CEF ÐQ ，CFE Ð外角平分线交于点A ，AB AG \=，AD AG =，AB AD \=，\四边形ABCD 是正方形；②设DF x =，3BE EC ==Q ，6BC \=，由①得四边形ABCD 是正方形，6BC CD \==，在Rt ABE D 与Rt AGE D 中，AB AG AE AE =ìí=î，Rt ABE Rt AGE(HL)\D @D ，3BE EG \==，同理，GF DF x ==，在Rt CEF D 中，222EC FC EF +=，即2223(6)(3)x x +-=+，解得：2x =，DF \的长为2；（3）解：如图2所示：把PQH D 沿PQ 翻折得PQD D ，把PRH D 沿PR 翻折得PRM D ，延长DQ 、MR 交于点G ，由（1）（2）得：四边形PMGD 是正方形，MR DQ QR +=，MR HR =，2DQ HQ ==，5MG DG MP PH \====，3GQ \=，设MR HR a ==，则5GR a =-，2QR a =+，在Rt GQR D 中，由勾股定理得：222(5)3(2)a a -+=+，解得：157a =，即157HR =；故答案为：157．16．如图，已知正方形ABCD 的边长为6，E ，F 分别是AB 、BC 边上的点，且45EDF Ð=°，将DAE D 绕点D 逆时针旋转90°，得到DCM D ．（1）求证：EF MF=（2）若2AE =，求FC 的长．【解答】解：（1）DAE D Q 逆时针旋转90°得到DCM D ，180FCM FCD DCM \Ð=Ð+Ð=°，F \、C 、M 三点共线，DE DM \=，90EDM Ð=°．90EDF FDM \Ð+Ð=°，45EDF Ð=°Q ，45FDM EDF \Ð=Ð=°，()DEF DMF SAS \D @D ，EF MF \=．（2）设EF MF x ==，2AE CM ==Q ，且6BC =，628BM BC CM \=+=+=，8BF BM MF BM EF x \=-=-=-，624EB AB AE =-=-=Q ．在Rt EBF D 中，由勾股定理得222EB BF EF +=．即2224(8)x x +-=，\解得：5x =，即5FM =．523FC FM CM \=-=-=．17．设E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上滑动保持且45EAF Ð=°，AP EF ^于点P ．（1）求证：AP AB =；（2）若5AB =，求ECF D 的周长．【解答】证明：（1）延长CB 到F ¢，使BF DF ¢=，在正方形ABCD 中，AB AD =，90ABC D Ð=Ð=°，18090ABF ABC D \Т=°-Ð=°=Ð，()ABF ADF SAS \D ¢@D ，AF AF \¢=，12Ð=Ð，13239045EAF EAF EAF \Т=Ð+Ð=Ð+Ð=°-Ð=°=Ð，又EA EA =Q ，()EAF EAF SAS \D ¢@D ，EF EF \¢=，AEF AEF S S ¢D D =，而1122EF AB EF AP ¢=g g ，AB AP \=．解：（2）CEF C EC CF EFD =++EC CF EF =++¢EC BE CF BF =+++¢BC CF DF=++210BC CD AB =+==．18．如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．（1）求证：CE CF =；（2）若点G 在AD 上，且45GCE Ð=°，则GE BE GD =+成立吗？为什么？【解答】（1）证明：在正方形ABCD 中，Q BC DC B CDF BE DF =ìïÐ=Ðíï=î，()CBE CDF SAS \D @D ．CE CF \=．（2）解：GE BE GD =+成立．理由是：Q 由（1）得：CBE CDF D @D ，BCE DCF \Ð=Ð，BCE ECD DCF ECD \Ð+Ð=Ð+Ð，即90ECF BCD Ð=Ð=°，又45GCE Ð=°Q ，45GCF GCE \Ð=Ð=°．Q CE CF GCE GCF GC GC =ìïÐ=Ðíï=î，()ECG FCG SAS \D @D ．GE GF \=．GE DF GD BE GD \=+=+．19．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且45EDF Ð=°．将DAE D 绕点D 逆时针旋转90°，得到DCM D ．（1）求证：EF FM =；（2）当1AE =时，求EF 的长．【解答】解：（1）证明：DAE D Q 逆时针旋转90°得到DCM D ，180FCM FCD DCM \Ð=Ð+Ð=°，F \、C 、M三点共线，DE DM \=，90EDM Ð=°，90EDF FDM \Ð+Ð=°，45EDF Ð=°Q ，45FDM EDF \Ð=Ð=°，在DEF D 和DMF D 中，DE DM EDF MDF DF DF =ìïÐ=Ðíï=î，()DEF DMF SAS \D @D ，EF MF \=；（2）设EF MF x ==，1AE CM ==Q ，且3BC =，314BM BC CM \=+=+=，4BF BM MF BM EF x \=-=-=-，312EB AB AE =-=-=Q ，在Rt EBF D 中，由勾股定理得222EB BF EF +=，即2222(4)x x +-=，解得：52x =，则52EF =．。

专题07 正方形的性质和判定姓名：___________考号：___________分数：___________（考试时间：100分钟 满分：120分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列说法不正确的是（ ）A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．一个角是直角的平行四边形是正方形D ．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形2．如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠C ＝90°，AB ＝AD ，AE ⊥BC ，垂足是E ，若线段AE ＝4，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．16C ．20D ．243．如图，正方形ABCD 的边长为3，点P 为对角线AC 上任意一点，PE BC ⊥，PQ AB ⊥，垂足分别是E ，Q ，则PE PQ +的值是（ ）A ．32B ．3C ．322D ．324．已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，DO ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D ，E ，F 分别是垂足，且AB=10，BC=8，CA=6，则点O 到三边的距离分别为（ ）A ．1，1，1B ．2，2，2C ．1，2，1D ．32，32，325．如图，在正方形ABCD 中，2,AB P =是AD 边上的动点，PE AC ⊥于点,E PF BD ⊥于点F ，则PE PF +的值为（ ）A ．4B ．22C ．2D ．26．如图，正方形ABCD 的边长为6，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为CH ．若:2:1BE EC =，则线段CH 的长是（ ）．A ．3B ．4C ．38D ．837．正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKRF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为2，则DEK 的面积为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．2 8．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，连接DF ，CF ，则DF+CF 的最小值是（ ）A ．42B ．210C ．53D ．459．如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的一点，沿线段BE 对折后，若ABF ∠比EBF ∠大15︒，则EBF ∠的度数为（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒10．如图，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 和DEFG 都是正方形，面积分别为16和20，则CDE △的面积为( )A ．4B ．5C ．32D ．2311．如图，正方形OABC 的两边在坐标轴上，6AB =，2OD =，点P 为OB 上一动点，PA PD +的最小值是（ ）A ．8B ．10C ．210D ．3512．如图，正方形ABCD 的对角线上一动点P ，作PM AD ⊥于点M ，PN CD ⊥于点N ，连接BP ，BN ，若3AB =，5BP =，则BN 的长为（ ）A ．15B ．13或10C ．4D ．5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．如图，将正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 边点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，若32NEC FMN ∠=︒∠=，_____︒．14．如图，四边形ABCD 是一个正方形，E 是BC 延长线上一点，且AC ＝EC ，则∠DAE 的度数为_________．15．如图，边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 绕顶点A 顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为_____．16．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE ＝3，点Q 为对角线AC 上的动点，则QE ＋QB 的最小值为________．17．已知正方形ABCD 的边长为5，点E 、F 分别在AD 、DC 上，2AE DF ==，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为_________．18．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，G 、F 分别为AD 、BC 边上的点，若2AG =，4BF =，90GEF ∠=︒，则GF 的长为__________．三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 为边AB 的中点，连结DE ，点F 在DE 上CF CD =，过点F 作FG FC ⊥交AD 于点G ．（1）求证：GF GD =；（2）联结AF ，求证：AF DE ⊥．20．已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若CAD DBC ∠=∠． （1）求证：四边形ABCD 是正方形．（2）E 是OB 上一点，DH CE ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OE OF =．21．已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，2BC AD =，DE BC ⊥，垂足为点F ，且F 是DE 的中点，联结AE ，交边BC 于点G ．（1）求证：四边形ABGD 是平行四边形；（2）如果2AD AB =，求证：四边形DGEC 是正方形．22．如图1，正方形ABCD ，E 为平面内一点，且90BEC ∠=︒，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ，直线AG 和直线CE 交于点F ．（1）证明：四边形BEFG 是正方形；（2）若135AGD ∠=︒，猜测CE 和CF 的数量关系，并说明理由；（3）如图2，连接DF ，若13AB =，17CF =，求DF 的长．23．正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 为BD 上一点，延长AE 到点N ，使AE EN =，连接CN 、CE ．（1）求证：CAN △为直角三角形．（2）若45AN =6，求BE 的长．24．（1）尝试探究：如图1，E 是正方形ABCD 的边AD 上的一点，过点C 作CF CE ⊥，交AB 的延长线于F ．①求证：CDE CBF ≌；②过点C 作ECF ∠的平分线交AB 于P ，连结PE ，请探究PE 与PF 的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展应用：如图2，E 是正方形ABCD 的边AD 上的一点，过点C 作CF CE ⊥，交AB 的延长线于F ，连结EF 交DB 于M ，连结CM 并延长CM 交AB 于P ，已知6,2AB DE ==，求PB 的长．。

01如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D 重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．解：(1)AG 2＝GE 2＋GF 2；理由：如解图，连接CG ， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADG ＝∠CDG ＝45°，AD ＝CD ，DG ＝DG ， ∴△ADG ≌△CDG ，∴AG ＝CG ， 又∵GE ⊥DC ，GF ⊥BC ，∠BCD ＝90°， ∴四边形CEGF 是矩形，∴CF ＝GE ，在Rt △GFC 中，由勾股定理得，CG 2＝GF 2＋CF 2， ∴AG 2＝GE 2＋GF 2；(2)如解图，过点A 作AM ⊥BD 于点M ，∵GF ⊥BC ，∠ABG ＝∠GBC ＝45°， ∴∠BAM ＝∠BGF ＝45°，∴△ABM ，△BGF 都是等腰直角三角形， ∵AB ＝1， ∴AM ＝BM ＝22，∵∠AGF ＝105°， ∴∠AGM ＝60°， ∴tan60°＝AM GM， ∴GM ＝66， ∴BG ＝BM ＋GM ＝22＋66＝32＋66.02如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4A BCD FEG10题图考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG ≌△AFG ；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG =GC ；通过证明∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；由于S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC ，求得面积比较即可．解答：解：①正确．因为AB =AD =AF ，AG =AG ，∠B =∠AFG =90°，∴△ABG ≌△AFG ；②正确．因为：EF =DE =13CD =2，设BG =FG =x ，则CG =6﹣x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得（6﹣x ）2+42=（x +2）2，解得x =3．所以BG =3=6﹣3=GC ； ③正确．因为CG =BG =GF ，所以△FGC 是等腰三角形，∠GFC =∠GCF ．又∠AGB =∠AGF ，∠AGB +∠AGF =180°﹣∠FGC =∠GFC +∠GCF ，∴∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，∴AG ∥CF ； ④错误．过F 作FH ⊥DC ， ∵BC ⊥DH ， ∴FH ∥GC ，∴△EFH ∽△EGC ， ∴FH GC =EFEG， EF =DE =2，GF =3， ∴EG =5，∴FH GC =EF EG =25， ∴S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC =12×3×4﹣12×4×（25×3）=185≠3． 故选C ．点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．A B CD FEG10题03如图，在一方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：△BEC≌△DEC：（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．考点：正方形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质。

专题：正方形（1）【板块一】正方形的简单证明和计算题型一正方形的简单证明【例1】如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，EM⊥BC，EN⊥CD，垂足分别为M，N，连接AE．求证：（1）MN＝AE；（2）AE⊥MN．N【例2】如图1，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别在OA，OB上，且OM＝ON．（1）求证：①BM＝CN；②CN⊥BM；（2）如图2，若M，N分别在OA，OB的延长线上，则（1）中的两个结论仍成立吗？请说明理由．AN 图1 图2题型二 正方形的简单计算【例3】点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A ，B 重合），连接PD ，将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得到线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°A针对练习11.正方形ABCD 中，点E ，F 分别是对角线AC ，BD 上的两个动点，AC ，BD 相交于点O ． （1）如图1，若AE ＝DF ，求证：AF ＝BE ；（2）如图2，若点E 是OC 的中点，DF ＝13BD ，AF 与BE 的延长线交于点G ，求∠G 的度数；（3）若正方形的边长为BE AF 与BE 的夹角为45°时，则DF ＝ ．G图1 图2 图3专题：正方形（2）【板块二】正方形中的问题题型三 正方形中形如a线段关系探究【例1】如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ，过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE ＝AP ＝1，PBAPD ≌△AEB ；②点B 到直线AEEB ⊥ED ；④S△APD＋S △APB ＝12） A ．①③④ B ．①②③ C ．②③④ D ．①②④E题型四 正方形中形如 2a b=c 线段关系探究【例2】如图1，正方形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点，且BE =AB ，M ，N 分别为AE ，BC 的中点，MN 交ED 于点H .图 1NECBDA图 2ED C(1)求证:∠HEB =∠HNB ；(2)如图2，过点A 作AP ⊥ED 于点P ，连接BP ，求PE PAPB的值.针对练习21.如图，在正方形ABCD 中，E 为BD 上一点，F 为BC 上一点，且AE =EF ，求证:CF.FBA2.如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一动点(不与点C ，D 重合)，连接AE ，过点A 作AF ⊥AE ，交CB 的延长线于点F ，连结EF ，点M 为EF 的中点，连结AC ，BM .FBCD E(1)求证:AE =AF ；(2)当点E 在CD 上运动时(不与C ，D 重合)，CE CFAC的值是否发生变化？ (3)求BMCE的值.3.已知E 是正方形BC 边上一点，F 是CD 边上一点，∠EAF =45°，AE ，AF 分别交BD 于点G ，H . (1)如图1，求证:AE= BE +AB ；(2)如图2，求证:CE .图 2BA EF图 1BA EF专题：正方形（3）【板块三】正方形中线段的和差倍分关系题型五 正方形中线段的和差关系【例1】如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 上一点，EG ⊥AF 于点H ，交CD 于点G ，求证:BE +BF =CG .GBAE【例2】如图，直线MN 经过正方形ABCD 的一个顶点A (不经过顶点B ，C ，D )，过点B 作BE ⊥MN 于点E ，过点C 作CF ⊥MN 于点F .线段AF ，CF ，BE 有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想，并选择图1、图2中的一种情况给予证明.图 2BA EN K图 1BAFE图 1C CMNM题型六 正方形中线段的倍分关系【例3】正方形ABCD 中，点E 在BC 上，点F 在AB 上，且AF =BE ，DF 交AE 于点H .(1)直按写出线段AE ，DF 的位置及数量关系为____________________；(2)如图1，在HD 上取一点M ，使HM =HA ，点O 为MC 的中点，请写出线段DH 与DO 的数量关系，并证明；(3)如图2，将直线FD 沿射线AE 方向平移，交线段AB 于点N ，交AE 于点I ，交CD 于点K ，若DI =DC ，求ANDK的值.针对练习31.如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，点F 在边BC 上，∠BAE =∠AEF .ECBF(1)求证:∠FAE =45°；(2)求BFCF的值.2.如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 的中点，点F 为CD 上一点，且∠1=∠2，求证:AF =BC +CF .FECB专题：正方形（4）【板块四】正方形中的折叠问题题型七 正方形中折叠问题【例1】在正方形ABCD 中，E ，F 分别在AD ，BC 上，将正方形沿EF 折叠，使点B 落在CD 上的点H 处，点A 的对应点为点G ，CH 交AD 于点P .(1)如图1，求证，AE +CH = FH ；图 1BAGFH(2)如图2，求证:∠HBP =45°；图 2BGAFH(3)求证:PE + PG + EG =HD .【例2】已知正方形ADCD 的边长是2，点P 沿A →B →C →D 运动，到达点D 停止.(1)如图1，连接PD ，AP ，设点P 运动的距离为x ，请用x 表示△APD 的面积y (直接写出结果)；图 1B A(2)过点D 作DE ⊥AP 于点E .①如图2，点P 在线段BC 上，将△APB 沿AP 翻折得到△APB ′，连接DB ′，求∠B ′DE 的度数；图 2BA P②如图3，连接EC ，若△CDE 是等腰三角形，则DE =_____. ( 直接写出结果)图 3BAP专题：正方形（5）【板块五】 构造正方形技巧题型八 翻折或旋转三角形构成正方形【例1】如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，AB =AD ，AE ⊥CD 于点E ，若AE =10，求ABCDS 四边形.EA【例2】如图，四辺形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD =90°，AB =BC +AD ，∠DAC =45°，E 为CD 上一点，∠BAE =45°，若CD =4，求BC 的长和△ABE 的面积.EAB题型九 补全图形成正方形【例3】如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =CD ，∠ABC =90°，∠BCD =150°，求∠BAD 的度数.DC【例4】如图，四边形ABCD 是正方形，点E ，K 分別在BC ，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE =BK =AG . (1)求证：①DE =DG .②DE ⊥DG ；(2)尺规作图:以线段DE ，DG 为边作出正方形DEFG ；(要求:只保留作图痕迹，不写作法和征明) (3)连接(2)中的KF .猜想并写出四辺形CEFK 是怎样的特殊四辺形.并证明你的猜想；(4)当1CE CBn时，请直接写出ABCD S S 正方形正方形DEFG 的值.图 2图 1BBADDAEKGEKG专题：正方形（6） 【板块六】坐标系中的正方形题型十 正方形与坐标系的结合【例1】如图，A (1，0)，B (0，3)，以AB 为边作正方形ABCD ，求点C ，D 的坐标.【例2】已知A（a，0），B（b，0），C（a，b），其中a，b21025b b-=-．（1）求点C的坐标和四边形OACB的面积；（2）如图，第四象限的点P（m，n）在射线AB上，且mn＝﹣14，求OP2－OA2的值；（3）如图，D是OC上一点，ED⊥OA于点E，M是CD的中点，连接BE，EM，线段BE交OC于点N，求222ON CMMN+的值．xx（图1）（图2）（图3）针对练习41．如图，A（﹣3，4），四边形OABC为正方形，AB交y轴于点D．（1）求点B的坐标；（2）求点D的坐标．x2．如图，E（﹣2，0），A（0，4），延长EA至点D，使AD＝AE，四边形ADCB为正方形．（1）求点C的坐标；（2）求CE的长．x3．在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是正方形，且D （0，2），点E 是线段OB 延长线上的一点，点M 是线段OB 上一动点（不包括点O ，B ），过M 作MN ⊥DM ，交∠CBE 的平分线于点N ． （1）写出点C 的坐标； （2）求证：MD ＝MN ；（3）连接DN 交BC 于点F ，连接FM ．下列两个结论：①FM 的长度不变；②MN 平分∠FMB ，其中只有一个结论是正确的，请你指出正确的结论，并给出证明．xx（图1） （图2）。

专项02正方形综合高分必刷题一．选择题（共32小题）1．（2023•浠水县二模）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点P为动线DA上一个动点，连接CP，点E为CD上一点，且DE＝2，在射线AB上截取点Q使EQ＝CP，交CP于点M，连接BM，则BM的最小值为（）A．8B．12C．D．2．（2022秋•二七区期末）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E，F分别为AD，BC上一点，且AE＝BF＝7，连接EF交对角线BD于点G，点P，Q分别为CE，BG的中点，则PQ的长为（）A．6B．4C．D．3．（2022秋•黄冈期末）如图，四边形ABCD、CEFG均为正方形，其中正方形CEFG面积为36cm2，若图中阴影部分面积为10cm2，则正方形ABCD面积为（）4．（2023•浠水县一模）如图，在正方形ABCD外取一点P，连接AP、BP、DP．若AP＝，PB ＝4．则DP的最大值为（）A．4+2B．4+C．5D．65．（2023•市北区一模）如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形ABCD 的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（）A．B．2C．D．6．（2022秋•江北区校级期末）如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE 于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（）7．（2023•茂南区一模）如图，正方形ABCD中，点E是AD边的中点，BD，CE交于点H，BE、AH交于点G，则下列结论：①∠ABE＝∠DCE；②AG⊥BE；③S△BHE＝S△CHD；④∠AHB＝∠EHD．其中正确的是（）A．①③B．①②③④C．①②③D．①③④8．（2022秋•东明县校级期末）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形．其中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．（2022秋•雁塔区校级期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点G，H分别为DE，AF的中点，连接GH，则GH的长为（）10．（2022•雁峰区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形OA2022B2022C2022，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2022的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（0，）C．（，0）D．（﹣1，1）11．（2022•沙坪坝区校级一模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，BF＝CE＝4，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG 的长为（）A．B．C．5D．212．（2022•卫辉市校级模拟）如图，正方形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，AB＝2．将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，同时点P从AB的中点处出发，在正方形的边上顺时针移动，每秒移动1个单位，则第2022秒时，点P的坐标为（）13．（2022•黄冈模拟）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD ＝EC；⑤PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（）A．①③B．①②③C．①③⑤D．①②③⑤14．（2023春•张店区校级期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O作射线OM，ON分别交BC，CD于点E，F，且∠EOF＝90°，OC，EF交于点G．有下列结论：①△COE≌△DOF；②CF＝BE；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④OF2+OE2＝EF2．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．③④15．（2022春•齐齐哈尔期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠BCE＝∠ACB，CE交BO于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F，交AC于点G．现给出下列结论：①BC＝CG；②△ABG≌△BCE；③BF＝CE；④若BC＝2，则S△BCG＝．其中正确的有（）个．16．（2022•城关区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF ∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③17．（2022春•宜城市期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（）A．4B．2C．D．218．（2022•泰安一模）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF＝AF+DE．其中正确的是（）A．②③B．②④C．①③④D．②③④19．（2022秋•萧县期中）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG ＝AD．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个20．（2022秋•邹平市校级期末）如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（）A．4B．2C．1D．21．（2022春•德城区校级期中）如图，两个边长相等的正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG 绕点O按逆时针方向旋转150°，则两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（）A．不变B．先增大再减小C．先减小再增大D．不断增大22．（2021•海口模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F 成为正方形时，B'D的长为（）A．B．C．2D．323．（2021秋•鹿城区校级期末）在面积为144的正方形ABCD中放两个正方形BMON和正方形DEFG（如图），重合的小正方形OPFQ的面积为4，若点A、O、G在同一直线，则阴影部分面积为（）A．36B．40C．44D．4824．（2021秋•薛城区期末）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l 上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（）25．（2022•大庆三模）如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝2，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG＝AD；③CG平分∠DCF；④CE＝CF．其中正确的结论有（）A．①③B．②④C．①②③D．①②③④26．（2022秋•金水区期中）如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边CD上，DE＝2，过点E 作EF∥BC，分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是（）A．2B．2C．D．527．（2022春•定远县期末）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（）28．（2022春•平山县期末）正方形ABCD，正方形CEFG如图放置，点B、C、E在同一条直线上，点P在BC边上，PA＝PF，且∠APF＝90°，连接AF交CD于点M．有下列结论：①EC＝BP；②AP＝AM；③∠BAP＝∠GFP；④AB2+CE2＝AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CGFE＝2S△APF，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④⑤D．①③④⑤29．（2022春•梁平区期中）如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④．其中正确的有（）A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④30．（2021•泰州）如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为（）A．2αB．90°﹣αC．45°+αD．90°﹣α31．（2021•阿荣旗一模）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2＝（）A．16B．17C．18D．1932．（2021春•罗湖区校级期末）如图，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是（）A．B．C．D．二．填空题（共3小题）33．（2023•秀洲区校级一模）如图，在直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A（﹣2，0），B（3，0）．现固定点A，B在x轴上的位置不变，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y轴正半轴上的点D′，则点C的对应点C′的坐标为．34．（2023•海淀区校级模拟）把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影的面积为．35．（2022•牡丹区一模）如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B、C重合），过点C作CN垂直DM交AB于点N，连接OM、ON、MN．下的最小值列五个结论：①△CNB≌△DMC；②ON＝OM；③ON⊥OM；④若AB＝2，则S△OMN是1；⑤AN2+CM2＝MN2．其中正确结论是．（只填序号）三．解答题（共12小题）36．（2023•东莞市一模）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．（1）求证：△EAB≌△GAD；（2）若AB＝3，AG＝3，求EB的长．37．（2023•未央区校级三模）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC 上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．①求证：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．38．（2022春•抚远市期中）在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC所在直线上，连接EF，BE，BF，过点B作BP⊥EF交EF于点P，且∠EBC＝∠BEF．（1）如图①，当点E，F分别在AD，DC边上时，求证：AE+CF＝EF；（2）如图②，当点E，F分别在边AD，DC的延长线上时；如图③，当点E，F分别在边DA，CD的延长线上时，线段AE，CF，EF有怎样的数量关系？请写出你的猜想．不需要证明．39．（2022春•永年区校级期末）如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN ∥BC，MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．（1）探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由．40．（2023春•龙湖区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，⊥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．41．（2022春•南阳期末）如图，在矩形ABCD中，点M是边AD的中点，点P是边BC上的动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为点E，F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？证明你的结论；（2）如果四边形PEMF为矩形，那么当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？能证明你的猜想吗？42．（2022春•常熟市期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE ＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．（1）当α＝20°时，求∠DAE的度数；（2）判断△AEG的形状，并说明理由；（3）当GF＝1时，求CE的长．43．（2022春•永州期末）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC边上的动点（不与点B、C 重合），将射线AE绕点A按逆时针方向旋转45°后交CD边于点F，AE、AF分别交BD于G、H 两点．（1）当∠BEA＝55°时，求∠HAD的度数；（2）设∠BEA＝α，试用含α的代数式表示∠DFA的大小；（3）点E运动的过程中，试探究∠BEA与∠FEA有怎样的数量关系，并说明理由．44．（2023春•津南区期中）已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF 交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．（1）求证：BF＝DP；（2）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（3）求证：CP＝BM+2FN．45．（2022春•方城县期末）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°（1）求证：∠BAG＝∠CBF；（2）求证：AG＝FG；（3）若GF＝2BG，CF＝，求AB的长．46．（2021春•武安市期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．47．（2022春•来宾期末）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F 分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．。

《正方形》专题班级 姓名读书是投资报酬率最高的事情。

一、耐心填一填！1、已知：矩形ABCD 中，AB ＝2CB ，点E 在DC 上，且AE ＝AB ，则∠EBC ＝＿＿＿。

BCD E A ACD ACD第1题 第3题 (备用图)2、一个正方形的对角线长3cm ，则它的面积为＿＿＿。

3、如图所示，把25个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、C 、D 都是小正方形的顶点，则四边形ABCD 的面积为＿＿＿。

4、正方形ABCD 中，对角线的长是10cm ，点P 是AB 上任意一点，则点P 到AC 、BD 的距离之和是＿＿＿。

5、在正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是＿＿＿形。

6、如图所示不，在正方形ABCD 中，M 是BC 上一点，连结AM ，作AM 的垂直平分线GH 交AB 于G ，交CD 于H ，若AM ＝10cm ，则GH ＝＿＿。

MG HA BCDF第6题 第7题7、如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 的边长均为4，O 是正方形ABCD 的旋转对称中心，则图中阴影部分的面积是＿＿。

二、精心选一选！ 1、在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是＿。

A 、AC ＝BD ，AB ∥CD ，AB ＝CD B 、AD ∥BC ，∠A ＝∠CC 、AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD D 、AC ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC2、如图所示，在正方形ABCD 中，H 是BC 延长线上一点，使CE ＝CH ，连结DH ，延长BE 交DH 于G ，则下面结论错误的是＿＿＿＿。

A 、BE ＝DHB 、∠H ＋∠BEC ＝90° C 、BG ⊥DHD 、∠HDC ＋∠ABE ＝90°H EABCD GAB D EHNMA B CDG第2题 第3题 第4题3、如图所示，以正方形ABCD 中AD 边为一边向外作等边ΔADE ，则∠AEB ＝＿＿。