2019高考数学复习专题难点下载难点33 函数的连续及其应用

高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用函数的连续及其应用是高考数学中的一个重要难点，对于很多学生来说，理解和掌握这个知识点是比较困难的。

本文将分为三个部分进行讲解，首先是函数连续的概念和定义；其次是连续函数的性质和判断方法；最后是函数连续的应用。

一、函数连续的概念和定义在数学中，函数连续是指函数在一些点上没有突变、断层，即在该点上没有跳跃，也没有突变的现象。

具体来说，对于函数f(x)在点x=a处连续，需要满足以下三个条件：1.函数在点x=a处存在；2.函数在点x=a处的左极限和右极限存在且相等；3.函数在点x=a处的极限等于函数在该点的函数值。

符号化表示如下：f(a-)=f(a+)=f(a)二、连续函数的性质和判断方法1.连续函数的四则运算性质：如果函数f(x)和g(x)在点x=a处连续，则它们的和、差、积、商也在点x=a处连续。

2.连续函数的复合函数性质：如果函数f(x)在点x=a处连续，函数g(x)在点x=b处连续，并且a是g(x)的定义域内特定点的函数值，则复合函数f(g(x))在点x=b处连续。

3.连续函数的初等函数性质：初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，它们在其定义域上都是连续的。

对于函数连续的判断方法，可以通过根据定义依次检查函数是否满足连续的条件，也可以利用函数的性质进行判断。

三、函数连续的应用1.函数连续与导数的关系：对于连续函数f(x)，在其定义域内的每个点上都有导数存在。

2.函数连续与极值的关系：对于连续函数f(x)，在闭区间[a,b]上，如果f(x)在内部点取得最大值或最小值，则必然在[a,b]的边界点或者内部存在极值。

3.函数连续与介值定理的关系：对于连续函数f(x)，如果[a,b]上f(a)和f(b)异号，那么在(a,b)内必然存在一些点c，使得f(c)=0。

4.函数连续与零点存在性的关系：对于连续函数f(x)，如果f(a)和f(b)异号，则在(a,b)内必然存在一些点c，使得f(c)=0。

专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。

以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。

∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。

116难点33 函数的连续及其应用函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系.●难点磁场(★★★★)已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32x x x x x x(1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性；(2)求f (x )的连续区间.●案例探究［例1］已知函数f (x )=242+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象；(2)求f (x )的不连续点x 0;(3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数.命题意图：函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映.因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法.知识依托：本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象.错解分析：第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义的了解.应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式.技巧与方法：对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答.解：(1)当x +2≠0时，有x ≠－2因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)当x ≠－2时，f (x )=242+-x x =x －2, 其图象如上图(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2.(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,所以)2(lim )(lim 22-=-→-→x x f x x =－4.因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x则函数f (x )在R 上是连续函数.［例2］求证：方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b .命题意图：要判定方程f (x )=0是否有实根.即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可.本题主要考查这种解题方法.知识依托：解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正.错解分析：因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用.117证明：设f (x )=a sin x +b －x ,则f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0,又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，所以存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也就是方程x =a ·sin x +b 的根.因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b .●锦囊妙计1.深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念：等式lim 0x x →f (x )=f (x 0)的涵义是：(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；(2)lim 0x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义；(3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0x x →f (x )=f (x 0).函数f (x )在x 0处连续，反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的.2.函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的.其情形：(1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0x x →f (x )≠f (x 0);(2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在.(3)lim 0x x →f (x )不存在.3.由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法：如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0x x →f (x )=f (x 0).●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)若f (x )=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f (0)等于( ) A.23 B.32 C.1 D.02.(★★★★)设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<21 11 2110 x x x x 则f (x )的连续区间为( ) A.(0，2)B.(0，1)C.(0，1)∪(1，2)D.(1，2)二、填空题 3.(★★★★)xx x x arctan 4)2ln(lim 21--→ =_________.4.(★★★★)若f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--0 0 11x bx a x x x 处处连续，则a 的值为_________. 三、解答题1185.(★★★★★)已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0( 121211x x x x (1)f (x )在x =0处是否连续？说明理由；(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性.6.(★★★★)已知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--)0()0(11x bx a x x x (1)求f (－x );(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续.7.(★★★★)求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根.8.(★★★★)求函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤)1( )21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间.参考答案难点磁场解：(1)lim 1--→x f (x )=3, lim 1+-→x f (x )=－1,所以lim 1-→x f (x )不存在，所以f (x )在x =－1处不连续， 但lim 1-→x f (x )=f (－1)=－1, lim 1--→x f (x )≠f (－1),所以f (x )在x =－1处右连续，左不连续 lim 1-→x f (x )=3=f (1), lim 1+→x f (x )不存在，所以lim 1→x f (x )不存在，所以f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续.又lim 0→x f (x )=f (0)=0,所以f (x )在x =0处连续.(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，所以f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5].歼灭难点训练一、1.解析：]11][11)1()[11(]11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f2311111)0(1111)1(323=+++=++++++=f x x x 答案：A2.解析：11lim )(lim 11==++→→x x x f119 21)1(1)(lim ,1lim )(lim 111=≠===→→→--f x f x x f x x x即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续.答案：C 二、3.解析：利用函数的连续性，即)()(lim 00x f x f x x =→,π=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x答案：π1 21,0)(lim )(lim 21111lim 11lim )(lim :.400000=∴=+==-+=--=++---→→→→→a bx a x f x x x x f x x x x x 解析 答案：21 三、5.解：f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0( 1)0(12111x x x (1) lim 10-→x f (x )=－1, lim 0+→x f (x )=1,所以lim 0→x f (x )不存在，故f (x )在x =0处不连续. (2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点，由(1)知f (x )在x =0处右连续，所以f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数.6.解：(1)f (－x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-+)0( )0( 11x bx a x x x (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续，lim 0-→x f (x ) = lim 0-→x x x --11=21111lim )11(lim 00=-+=-+--→→xx x x x x lim 0+→x f (x )=lim 0+→x (a +bx )=a ,因为要f (x )在x =0处连续，只要lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )=f (0),所以a =21 7.证明：设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续，且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,所以必存在a ∈(－∞,+∞),b ∈(－∞,+∞),使f (a )·f (b )＜0,所以f (x )的图象至少在(a ,b )上穿过x 轴一次，即f (x )=0至少有一实根.8.解：不连续点是x =1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)Von Neumann说过：In mathematics you don't understand things .You just get used to them.掌握了课本，一般的数学题就都可以做了。

难点32 极限及其运算极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具.旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一.本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题.●难点磁场(★★★★)求1122lim +-∞→++n n n n n aa . ●案例探究［例1］已知lim ∞→x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值.命题意图：在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依.因而本题重点考查考生的这种能力.也就是本知识的系统掌握能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法.错解分析：本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错. 技巧与方法：有理化处理.解：bax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim)1(lim 2222bax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim2222要使上式极限存在，则1－a 2=0, 当1－a 2=0时，1)21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 22222=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→a ab a ab a x b x xx b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-01)21(012aab a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==211b a［例2］设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1－ba n －nb )1(1+,其中b 是与n 无关的常数，且b ≠－1.(1)求a n 和a n －1的关系式；(2)写出用n 和b 表示a n 的表达式；(3)当0＜b ＜1时，求极限lim ∞→n S n .命题意图：历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和S n 等有紧密的联系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和S n 再求极限，本题考查学生的综合能力.属★★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系.错解分析：本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n =1与n =2时的式子不统一性.技巧与方法：抓住第一步的递推关系式，去寻找规律.解：(1)a n =S n －S n －1=－b (a n －a n －1)－1)1(1)1(1-+++n n b b =－b (a n －a n －1)+n b b )1(+ (n ≥2) 解得a n =11)1(1+-+++n n b ba b b (n ≥2) 代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b ba b b b b b a b b a b bb b a b b b b b b b a b b b b b bb a b b b b b a b b b b a b ba b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++++=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+--==+--+-+--+-+-),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112≠+---+-=+-+--⋅-=+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n nn n n n n n n n n n n n.1lim ,0)11(lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞→∞→n n nn n n S bb b 时●锦囊妙计1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限.学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限. 2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个.在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限.3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如：)1|(|0lim ,0)1(lim<==-∞→∞→a a nn n nn⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 01110110 ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数，则)111(lim 21nn a a a +++∞→ 等于( ) A.2 B.0 C.1D.－12.(★★★★)若三数a ,1,c 成等差数列且a 2,1,c 2又成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→的值是( )A.0B.1C.0或1D.不存在 二、填空题3.(★★★★) )(lim x x x x n -+++∞→ =_________.4.(★★★★)若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是_________.三、解答题5.(★★★★★)在数列{a n }中，已知a 1=53,a 2=10031,且数列{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，数列{lg(a n +1－21a n }是公差为－1的等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求lim ∞→n S n .6.(★★★★)设f (x )是x 的三次多项式，已知a x x f a x x f a n a n 4)(lim2)(lim42-=-→→=1,试求ax x f n 3)(lim -∞→的值.(a 为非零常数).7.(★★★★)已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列，公式分别为p 、q ,其中p ＞q ,且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求1lim-∞→n nn S S 的值.8.(★★★★★)已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈N *),S n 是{b n }的前n 项和，T n =nnb S (n ∈N *). (1)求{T n }的通项公式； (2)当d ＞0时，求lim ∞→n T n .参考答案难点磁场⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅=-+-=⋅-=++-=-++-=++-==⋅⋅=++==++=++<<-=++=++-<>-+--+-+-+---∞→+-∞→∞→+-∞→-∞→+-∞→)(232232222)(612322222)2(22)2(22,2;21623lim 22lim ,2;41)2(221)2(lim 22lim ,22;1)2()2(11lim 22lim ,22:11111111111211111111为偶数为奇数时当时当时当时或当解n n a a a a a a a a a a a a aa aa a a a a a n n n n n nnn n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn 歼灭难点训练 一、1.解析：)111(21,2)1(C 2nn a n n a n n n --=∴-==， 2)11(2lim )111(lim 21=-=+++∴∞→∞→na a a n n n答案：A2.解析：⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==+6222 ,12222222c a c a c a c a c a c a 或得 答案：C二、3.解析：xx x x x x x x x x x x x x +++-++=-+++∞→+∞→lim)(lim.21111111lim23=++++=+∞→x xx x 答案：21 4.解析：原式=112)2(lim12)12(lim22222222222=+-+-+-=+-+--+∞→∞→nbn n a a n a n b a nbn n a b n n n a n n⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-422120222b a b b a∴a ·b =82 答案：82三、5.解：(1)由{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，且a 1=53,a 2=10031,∴a n +1－101a n =(a 2－101a 1)(21)n -1=(10031－53×101)(21)n -1=1121)21(41+-=n n ,∴a n +1=101a n +121+n ①又由数列{lg(a n +1－21a n )}是公差为－1的等差数列，且首项lg(a 2－21a 1)=lg(10031－21×53)=－2,∴其通项lg(a n +1－21a n )=－2+(n －1)(－1)=－(n +1),∴a n +1－21a n =10－(n +1),即a n +1=21a n +10－(n +1)②①②联立解得a n =25［(21)n +1－(101)n +1］(2)S n =])101()21([2511111∑∑∑==++=-=n k n k k k nk k a911]1011)61(211)21([25lim 22=---=∴∞→n n S6.解：由于ax x f a x 2)(lim2-→=1，可知，f (2a )=0①同理f (4a )=0 ② 由①②可知f (x )必含有(x －2a )与(x －4a )的因式，由于f (x )是x 的三次多项式，故可设f (x )=A (x －2a )(x －4a )(x －C ),这里A 、C 均为待定的常数，,1))(4(lim 2))(4)(2(lim ,12)(lim222=--=----=-→→→C x a x A ax C x a x a x A a x x f a x a x a x 即由1)2)(42(=--C a a a A 得,即4a 2A －2aCA =－1③同理，由于ax x f a x 4)(lim 4-→=1,得A (4a －2a )(4a －C )=1,即8a 2A －2aCA =1④由③④得C =3a ,A =221a ,因而f (x )= 221a(x －2a )(x －4a )(x －3a ),21)(21)4)(2(21lim 3)(lim 2233-=-⋅⋅=--=-∴→→a a aa x a x a a x x f a x a x1111111111111111111)1()1()1()1()1()1()1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(:.7----------+------+-=--+----+--=∴--+--=n n nn n n n n n nn n n q p b p q a p b q a q p b p q a p b q a qq b p p a q q b p p a S S q q b p p a S 解由数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列，知p ＞0,q ＞0.01)1(00)1(01))(1(1)1()1()1())(1()1()1()1(lim )1()1()1()1()1()1()1()1(lim lim 111111111111111111111111p pq a q a p p q p b p q a p p b q a p q p b q a p p b q a p q p b p q a p b q a p q p b p q a p b q a S S p n n nnn nn n nnn n n n n =------=-----+------+-=-----+------+-=>--∞→--∞→-∞→时当当p ＜1时,q ＜1, 0lim lim lim lim 11====-∞→∞→-∞→∞→n n n n n n n n q q p p1lim1=∴-∞→n nn S S8.解：(1)a n =(n －1)d ,b n =2n a =2(n－1)dS n =b 1+b 2+b 3+…+b n =20+2d +22d +…+2(n－1)d由d ≠0,2d≠1,∴S n =dnd 21)2(1--∴T n =ndd n nd d n d nd n n b S 2221221)2(1)1()1(--=--=--(2)当d ＞0时，2d ＞1122121101211)2(1lim )2()2()2(1lim 2221lim lim 1)1(-=--=--=--=--=∴∞→-∞→-∞→∞→dd dd nd n nd n d nd n nd d n nd n n n T。

2019年高考数学基本初等函数、导数及其应用复习指导第一节函数及其表示教材细梳理1．函数与映射函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中(1)定义域：自变量x的取值范围．(2)值域：函数值的集合{f(x)|x∈A}．[易错易混]函数的定义域必须写成集合或区间的形式，不能直接用不等式表示．3．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．4．分段函数若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．[易错易混]1．分段函数是一个函数，切不可把它看作几个函数．分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式．2．分段函数是为了研究问题的需要而进行的分类讨论，相当于求“并集”，不可与方程组或不等式组的求“交集”相混淆．知识微思考1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数是建立在其定义域到值域的映射．( )(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (3)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( ) (5)若A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射．( ) (6)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(7)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)× (7)√ 2．函数定义中的集合B 与函数的值域有什么关系？提示：函数的值域C ：{y |y ＝f (x )，x ∈A }是集合B 的子集．即C ⊆B .四基精演练1．(必修1·1.2例(1)改编)函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( )A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0且x ≠2.2．(必修1·习题1.2B 组改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选B.选项A ，定义域为{x |－2≤x ≤0}，不正确．选项C ，当x 在(－2,2]取值时，y 有两个值和x 对应，不符合函数的概念．选项D ，值域为[0,1]，不正确，选项B 正确．3．(必修1·1.2例2改编)下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析：选B.对于A ，函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B ，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C ，函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0}，与函数y ＝x ＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D ，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12三段讨论．当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x >－14.答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 5．(实践题)(教材习题改编)一个圆柱形容器的底面半径是Rcm ，高是h cm ，现在以v cm 2/s 的速度向容器内注入某溶液，则容器内溶液的高度x (cm)和注入溶液的时间t (s)的函数解析式为________，其定义域为________．答案：x ＝v πR 2t ，⎣⎡⎦⎤0，πR 2h v考点一 求函数的定义域[简单型]——提升数学运算能力函数定义域的求解策略1．已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． 2．实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． 3．抽象函数：(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． [易错提醒]1．不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．2．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．1．(2018·山东临沂模拟)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.由题意知，x 2－x ＞0，即x ＜0或x ＞1.则函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选C.2．(2017·贵州贵阳监测)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选 D.由函数y ＝1－x 22x 2－3x －2得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以所求函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1，故选D.3．若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[0,2 018]B ．[0,1)∪(1,2 018]C ．(1,2 019]D ．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B.令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 019]，可知1≤t ≤2 019.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 019，解得0≤x ≤2 018，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2018]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 018，x －1≠0，解得0≤x ＜1或1＜x ≤2 018.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1,2 018]．考点二 求函数的解析式[探究型]——提升数学运算能力[例1] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝________. 解析：法一(换元法)： 令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎪⎫t －122－6×t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R )， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R )． 法二(配凑法)：因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5 ＝(2x ＋1)2－10x ＋4 ＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9. 法三(待定系数法)： 因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c . 因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9. 答案：x 2－5x ＋9(2)已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：因为2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，① 所以将x 用1x 替换，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x ，② 由①②解得f (x )＝2x －1x (x ≠0)，即f (x )的解析式是f (x )＝2x －1x (x ≠0)．答案：2x －1x(x ≠0)(3)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.解析：∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1， ∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．答案：－12x (x ＋1)[母题变式]1．若本例(1)中条件变为f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.解析：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 答案：x 2－1(x ≥1)2．若本例(2)中条件变为2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________. 解析：因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 由①②解得f (x )＝3x ， 即f (x )的解析式是f (x )＝3x . 答案：3x求函数解析式的常见方法1．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，根据函数类型设出函数解析式，由题设条件，列出方程组，解出待定系数即可．2．换元法：已知f (h (x ))＝g (x )求f (x )时，往往可设h (x )＝t ，从中解出x ，代入g (x )进行换元，求出f (t )的解析式，再将t 替换为x 即可．3．转化法：已知某区间上的解析式，求其他区间上的解析式，将待求变量转化到已知区间上，利用函数满足的等量关系间接获得其解析式．4．消去法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x (或f (－x ))的方程式，可根据已知条件再构造出另一个方程式构成方程组求出f (x )．考点三 分段函数[高频型]——提升数学运算、发展逻辑推理[例2] (2018·陕西师大附中模拟)若函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x ＞0，则f (3)的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析：依题意，f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1)，又2＞0，所以f (2)＝f (2－1)－f (2－2)＝f (1)－f (0)，所以f (3)＝f (1)－f (0)－f (1)＝－f (0)，又f (0)＝log 2(4－0)＝2，所以f (3)＝－f (0)＝－2. 答案：B[例3] (2016·高考江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ， f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110， 则－12＋a ＝110，解得a ＝35，于是f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案：－251．求分段函数的函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．求某条件下自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量是否满足相应段自变量的取值范围．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤0，－log 3x ，x ＞0，且f (a )＝－2，则f (7－a )＝( )A ．－log 37B ．－34C ．－54D ．－74解析：选D.当a ≤0时，2a －2＝－2无解；当a ＞0时，由－log 3a ＝－2，解得a ＝9，所以f (7－a )＝f (－2)＝2－2－2＝－74.2．(2018·山东烟台二模)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D ．32或－34解析：选B.当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.发展数学建模、数学运算(应用型)模型 求解与分段函数有关的不等式分段函数与函数性质，不等式的交汇是高考的热点．求分段函数自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．[例4] (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＜0，f 2(a )＋f (a )≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )≥0，－f 2(a )≤2，解得f (a )≥－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2. 答案：(－∞，2](2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞D ．[1，＋∞)解析：当a ＝2时，f (2)＝4，f (f (2))＝f (4)＝24， 显然f (f (2))＝2f (2)，故排除A ，B.当a ＝23时，f ⎝⎛⎭⎫23＝3×23－1＝1，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝f (1)＝21＝2.显然f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23＝2f ⎝⎛⎭⎫23.故排除D.选C.答案：C课时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练(25分钟，50分)1．(2018·河南濮阳检测)函数f (x )＝log 2(1－2x )＋1x ＋1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 C ．(－1,0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12 解析：选D.要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＞0，x ＋1≠0，解得x ＜12且x ≠－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，12. 2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (－x )，x ＞2，ax ＋1，－2≤x ≤2，f (x ＋5)，x ＜－2，若f (2 019)＝0，则a ＝( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2解析：选B.由于f (2 019)＝f (－2 019)＝f (－404×5＋1)＝f (1)＝a ＋1＝0，故a ＝－1. 3．(2018·山西太原二模)若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x ，则f (2)等于( )A.12 B ．e C.1eD ．－1解析：选B.法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e 1－t，即f (x )＝1e 1－x ，故f (2)＝e.法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.4．已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－xD ．f (x )＝x －2解析：选B.根据题意知x ＞0，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x . 5．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C.显然选项A ，D 满足，对于选项B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )，也满足；对于选项C ，令x ＝3，则f (2x )＝f (6)＝7,2f (x )＝2f (3)＝2(3＋1)＝8，故函数f (x )＝x ＋1不满足f (2x )＝2f (x )．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x ， x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A ．1 B ．78C.34D ．12解析：选D.根据分段函数的定义域赋值得到关于b 的方程，求解可得．f ⎝⎛⎭⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b ＜1，即b ＞32，则3×⎝⎛⎭⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则2５２－b ＝4，解得b ＝12.7．(2018·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x ＞0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．－2解析：选C.f ⎝⎛⎭⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12；f ⎝⎛⎭⎫－43＝ f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝－cos 2π3＋2＝12＋2＝52. 故f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3.8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1＜x ＜0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为________．解析：因为f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2， 所以f (a )＝1，当－1＜a ＜0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1，∵0＜a 2＜1，∴0＜πa 2＜π，∴πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1. 答案：1或－229．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点． 当a ＝0时，函数y ＝13的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a ＜0，解得0＜a ＜3. 综上，实数a 的取值范围是[0,3)． 答案：[0,3)10．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是______________．解析：由图象知，函数y ＝f (x )的图象包括两部分，一部分是以点(－3,2)和(0,4)为两个端点的一条曲线段，一部分是以(2,1)为起点，到(3,5)结束的曲线段，故其定义域是[－3,0]∪[2,3]，值域为[1,5]，只与x 的一个值对应的y 值的取值范围是[1,2)∪(4,5]．答案：[－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]B 级 能力升级练(20分钟，30分)1．(2018·山东潍坊调研)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x ＜A ，cA ，x ≥A ，(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D.∵c A＝15，故A ＞4，则有c2＝30，解得c ＝60，A ＝16，故选D.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3}解析：选B.当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]；当a ≤x ＜0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－⎝⎛⎭⎫12a ，－1， 所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1⊆[－8,1]，－8≤－12a ＜－1. 即－3≤a ＜0.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，(－1≤x ＜0)，－x ＋1，(0＜x ≤1)，则f (x )－f (－x )＞－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0,1] C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D.⎣⎡⎦⎤－1，－12∪(0,1) 解析：选B.①当－1≤x ＜0时，0＜－x ≤1， 此时f (x )＝－x －1，f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1， ∴f (x )－f (－x )＞－1化为－2x －2＞－1， 解得x ＜－12，则－1≤x ＜－12.②当0＜x ≤1时，－1≤－x ＜0，此时，f (x )＝－x ＋1，f (－x )＝－(－x )－1＝x －1， ∴f (x )－f (－x )＞－1化为－2x ＋2＞－1， 解得x ＜32，则0＜x ≤1.故所求不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪(0,1]． 4．(2018·陕西西安模拟)设函数y ＝f (x )在R 上有定义，对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤M ，M ，f (x )＞M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( )A ．2B ．1 C. 2D ．－ 2解析：选B.由题意，令f (x )＝2－x 2＝1，得x ＝±1，因此当x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2；当－1＜x ＜1时，f M (x )＝1，所以f M (0)＝1，选B.5．(2018·福州模拟)已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ]，(a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个．答案：56．(2018·吉林四地联考)设集合A ＝⎣⎡⎭⎫0，12，B ＝⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B .若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是________．解析：∵0≤x 0＜12，∴f (x 0)＝x 0＋12∈⎣⎡⎭⎫12，1B ，∴f [f (x 0)]＝2(1－f (x 0))＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 0＋12 ＝2⎝⎛⎭⎫12－x 0.∵f [f (x 0)]∈A ，∴0≤2⎝⎛⎭⎫12－x 0＜12. ∴14＜x 0≤12， 又∵0≤x 0＜12，故14＜x 0＜12.答案：14＜x 0＜12第二节 函数的单调性与最值教材细梳理1．函数的单调性 (1)单调函数的定义[易错易混] 从单调函数的定义可以看出，函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的．有的函数在其定义域的一个区间上是增函数，而在另一个区间上不是增函数．例如，函数y ＝x 2，当x ∈[0，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，0]时是减函数．(2)函数单调性的常用结论①若f (x )，g (x )均是区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数； ②若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； ③函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； ④函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f (x )的单调性相同． 2．函数的最值1．下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (5)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( ) (6)函数y ＝1－x 21＋x 2的最大值为1.( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√2．“函数f (x )的单调区间”与“函数f (x )在某区间上单调”的区别是什么？提示：前者是指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集． 3．在最大值、最小值的定义中，条件(2)能否去掉？为什么？提示：不能，因为去掉后不能保证M 是一个函数值，即存在一个x 0∈I ，使M ＝f (x 0)，最大值、最小值必须是函数值中的最大值、最小值．四基精演练1．(必修1·习题1.3A 组改编)一次函数y ＝kx ＋b 在R 上是增函数，则k 的范围为( ) A ．k ＞0 B ．k ≥0 C ．k ＜0 D ．k ≤0答案：A2．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞) 解析：选D.由x 2－2x －8＞0可得x ＞4或x ＜－2， 所以x ∈(－∞，－2)∪(4，＋∞)，令u ＝x 2－2x －8，则其在x ∈(－∞，－2)上单调递减，在x ∈(4，＋∞)上单调递增．又因为y ＝ln u 在u ∈(0，＋∞)上单调递增， 所以y ＝ln(x 2－2x －8)在x ∈(4，＋∞)上单调递增．3．(2016·高考北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x解析：选D.选项A 中，y ＝11－x ＝1－(x －1)的图象是将y ＝－1x 的图象向右平移1个单位得到的，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数，不符合题意；选项B 中，y ＝cos x 在(－1,0)上为增函数，在(0,1)上为减函数，不符合题意；选项C 中，y ＝ln(x ＋1)的图象是将y ＝ln x 的图象向左平移1个单位得到的，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数，不符合题意；选项D 符合题意．4．(必修1·习题1.3探究改编)若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：45．(实践题)(教材例题改编)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系式为h (t )＝－t 2＋4t ＋7，那么烟花冲出后________s 是它爆裂的最值时刻．答案：2考点一 利用单调性求最值[简单型]——发展数学运算求函数最值的常用方法1．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；2．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；3．换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：22．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为[12，2]，则a ＝________. 解析：由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2，即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.答案：25考点二 确定函数的单调性(区间)[探究型]——直观想象、逻辑推理[例1] (1)函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的递减区间为________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，可知单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．答案：[－1,0]和[1，＋∞)(2)判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在[1,2]上的单调性．解：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又因为1＜a ＜3， 所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单|调递增． [母题变式]1．将本例(1)中函数变为f (x )＝|－x 2＋2x ＋1|，如何求解？解析：作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，单调递减区间为(－∞，1－2)和(1,1＋2)．答案：(－∞，1－2)和(1,1＋2)2．若本例(2)中函数变为f (x )＝axx －1(a ≠0)，试判断f (x )在(－1,1)上的单调性．解：法一(定义法)：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)，由于－1＜x 1＜x 2＜1， 所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二(导数法)：f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2， 当a ＞0时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(－1,1)上递减； 当a ＜0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(－1,1)上递增．1．判断函数的单调性应先求定义域．2．定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等．3．用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视．4．图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．1．函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是________．解析：函数f (x )是定义域为{x |x ≠0}的偶函数，且f (x )＝lg x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧2lg x ，x ＞0，2lg (－x )，x ＜0.函数大致图象如图所示，所以函数的单调递减区间是(－∞，0)．答案：(－∞，0)2．(2018·湖南长沙模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C.由f (x )＞12，得－1＜x ＜1，由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1，故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．考点三 函数单调性的应用[高频型]——发展逻辑推理、提升数学运算[例2] (2018·江西三校联考)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0 解析：∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0， ∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)＜f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)＞f (2)＝0， 即f (x 1)＜0，f (x 2)＞0. 答案：B[例3] (2018·青海西宁高三期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1，x ≤1，log ax ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：要使函数f (x )在R 上单调递增， 则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]． 答案：(2,3]1．利用函数的单调性比较函数值大小的求解思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用函数的性质转化到同一个单调区间内，只需比较自变量的大小，根据单调性比较函数值大小．2．求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )＞h (x )(或g (x )＜h (x ))．提醒：应注意g (x )，h (x )应在函数y ＝f (x )的定义域内． 3．根据函数的单调性求参数的取值范围的常用方法(1)数形结合法：将函数的单调性转化为函数图象的升(降)，再转化为其参数满足的不等式(组)进而求解．(2)导数法：将函数的单调性转化为导函数在某单调区间上恒正(负)问题求解．3．已知偶函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选A.因为f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13，故|2x －1|＜13，解得13＜x ＜23. 4．(2018·山东日照模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．( 0,1]解析：选D.由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数，∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a ＞0，故0＜a ≤1.故选D.发展数学建模、数学运算(创新型)模型 单调性与抽象函数的创新交汇研究抽象函数的单调性主要利用定义来完成，但变形有一定的技巧性，在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．[例4] 函数f (x )对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x ＞0时，恒有f (x )＞1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)＜2.解：(1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∵当x ＞0时，f (x )＞1，∴f (x 2－x 1)＞1. f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1＞0⇒f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数． (2)∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1， ∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1，f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4， ∴f (1)＝2，∴f (a 2＋a －5)＜2＝f (1)， ∵f (x )在R 上为增函数， ∴a 2＋a －5＜1⇒－3＜a ＜2， 即a ∈(－3,2)．课时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练(25分钟，50分)1．(2018·河北唐山模拟)下列四个函数中，在区间(0,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝x 13C ．y ＝－⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝1x解析：选 D.y ＝log 2x在(0，＋∞)上为增函数；y ＝x 13在(0，＋∞)上是增函数；y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(0，＋∞)上是减函数，y ＝－⎝⎛⎭⎫12x 在(0，＋∞)上是增函数；y ＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，故y ＝1x在(0,1)上是减函数．故选D.2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0) C ．[0,2]D ．[2，＋∞)解析：选A.由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x ＜2.结合图象可知函数的单调递减区间是[1,2]．3．(2018·湖南长沙模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x ＜1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若函数f (x )在R 上递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1⇒c ≤－1，但c ≤－1⇒/c ＝－1，所以“c ＝－1”是“f (x )在R 上递增”的充分不必要条件．4．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12的值域为( )A ．(－∞，1)B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C.⎣⎡⎭⎫12，1D ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：选C.因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，即1x 2＋1∈(0,1]，故y ＝⎝⎛⎭⎫12∈⎣⎡⎭⎫12，1.5．(2018·山东青岛二模)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.如图所示，在同一直角坐标系中分别作出y ＝x ＋2，y ＝2x ，y ＝10－x 的图象．根据f (x )的定义知，f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象(如图实线部分)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤2，x ＋2，2＜x ＜4，10－x ，x ≥4.令x ＋2＝10－x ，得x ＝4. 当x ＝4时，f (x )取最大值f (4)＝6.6．(2018·广东深圳质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0，若f (2－a 2)＜f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C.作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0，的图象，如图，由f (x )的图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，由f (2－a 2)＞f (a )得2－a 2＞a ，即a 2＋a －2＜0，解得－2＜a ＜1.7．(2018·曲师附中月考)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析：选B.∵函数图象关于x ＝1对称，∴a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，又y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)＜f ⎝⎛⎭⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c .8．(2018·厦门质检)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 解析：∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)是区间[－1,1]上的减函数，∴最大值为f (－1)＝3.答案：39．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2·f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1.函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ＜1，2x ，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ≥1时，f (x )≥2，当x ＜1时，f (x )＞a －1， 由题意知，a －1≥2，∴a ≥3. 答案：[3，＋∞)B 级 能力升级练(25分钟，30分)1．(2018·山师附中质检)若函数y ＝|2x －1|，在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．⎝⎛⎦⎤－∞，12C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)解析：选A.画出y ＝|2x －1|图象如图，易知y ＝|2x －1|的递减区间是(－∞，0]，依题意有m ≤0，故选A.2．(2018·株洲二模)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C.由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2； 当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.3．(2018·长春二模)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)解析：选B.因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f (x (x －8))≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x (x －8)≤9，解得8＜x ≤9.4．(2018·潍坊二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0－x 2－2x ＋3，x ＞0，不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，0)C ．(0,2)D ．(－2,0)解析：选A.作出函数f (x )的图象如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )＞f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a ＜2a －x ，即x ＜a2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1＜a2，即a ＜－2.故选A.5．(2018·威海模拟)如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝e x＋x ；②y ＝x 2；③y ＝3x －sin x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________． 解析：因为对任意两个不相等的实数x 1，x 2， 都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立， 所以不等式等价为(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0恒成立， 即函数f (x )是定义在R 上的增函数．①函数y ＝e x ＋x 在定义域上为增函数，满足条件． ②函数y ＝x 2在定义域上不单调，不满足条件．③y ＝3x －sin x ，y ′＝3－cos x ＞0，函数单调递增，满足条件．④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x |，x ≠0，0，x ＝0，当x ＞0时，函数单调递增，当x ＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上，满足“H 函数”的函数为①③.答案：①③6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x－2，(x ≤0)2ax －1，(x ＞0)(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1； ②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a ＞1； ④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.其中正确命题的序号是________．解析：根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误； 若f (x )＞0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2成立，故④正确． 答案：①③④第三节 函数的奇偶性与周期性教材细梳理1．函数的奇偶性(1)实质是函数在关于原点对称的两个自变量处函数值的关系，具体为：间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．利用这些性质可以简化或判断一些函数图象的画法．(2)掌握常见函数的奇偶性．如一次函数、二次函数、指数函数、对称函数、正弦函数、余弦函数等．[易错易混] f (0)＝0既不是f (x )为奇函数的充分条件，也不是必要条件． 2．函数的周期性(1)周期函数：对于定义域中任意的x 和一个非零常数T ，f (x ＋T )＝f (x )恒成立⇔f (x )是以T 为周期的周期函数．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期(若不特别说明，T 一般都是最小正周期)．3．函数图象的对称性(1)函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )⇔y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称． (2)函数y ＝f (x )满足f (x )＝f (2a －x )⇔y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 成轴对称．知识微思考1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(3)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( ) (4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (5)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( ) (6)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)√2．函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )与函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )含义相同吗？为什么？提示：f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (a ＋b －x )＝f (x )表明f (x )的图象关于x ＝a ＋b 2对称，而f (a ＋x )＝f (b ＋x )⇔f (a －b ＋x )＝f (x )．表明f (x )具有周期性，它的一个周期为a －b .四基精演练1．(必修1·习题1.3A 组改编)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是________．解析：如图所示，由f (x )为奇函数知：f (x )＞0的x 的取值范围为(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)2．(必修1·习题1.3A 组改编)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝________. 解析：依题意，得f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫52－2＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 答案：－123．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析：函数的周期是2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝ f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：14．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D.已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递减函数，且为奇函数，则f (－1)＝－f (1)＝1，所以原不等式可化为f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，则－1≤x －2≤1，即1≤x ≤3，故选D.5．(实践题)(必修1·习题1.3B 组T 3改编)已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则f (x )在区间[－b ，－a ]上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－3解析：选B.根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B.考点一 函数的奇偶性及应用[简单型]——发展逻辑推理判断函数奇偶性的方法1．定义法：首先确定函数的定义域，若定义域关于原点对称，则确定f (x )与f (－x )的关系，进而得出函数的奇偶性；否则该函数既不是奇函数也不是偶函数．2．图象法：观察f (x )的图象，若关于原点对称，则f (x )为奇函数，若关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e x解析：选D.根据函数奇偶性的定义，易知函数y ＝1＋x 2，y ＝2x ＋12x 为偶函数，y ＝x＋1x为奇函数，所以排除选项A ，B ，C.故选D. 2．(2018·河北衡水中学二调)已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－5D ．5解析：选D.设F (x )＝f (x )＋x ，由已知函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，得F (x )＝F (－x )，即f (x )＋x ＝f (－x )－x ，∴f (－x )＝f (x )＋2x ，∴f (－2)＝f (2)＋2×2＝5.3．(2018·山东聊城二模)与函数y ＝x ⎝⎛⎭⎫12－12x ＋1的奇偶性相同的函数为( )A ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)B ．y ＝lg 1－x1＋xC ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，x ＞0，－x (1＋x )，x ＜0D ．y ＝cos x解析：选D.设f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12x ＋1＝x 2·2x－12x ＋1，则f (－x )＝－x 2·2－x－12－x ＋1＝－x 2·1－2x1＋2x ＝x 2·2x－12x ＋1＝f (x )，则y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12x ＋1是偶函数，易知选项A ，B ，C 中的函数都是奇函数，而y ＝cos x是偶函数，故选D.考点二 函数的周期性及应用[探究型]——发展数学运算[例1] (1)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋4)＝f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2，则f (2 019)＝________.解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2 019)＝f(－1＋4×505)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 答案：－1(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－1f(1)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：0[母题变式]1．若本例(1)中的条件不变，则f(x)(x∈[2,4])的解析式是________．解析：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.所以f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.答案：f(x)＝x2－6x＋82．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－1f(x)”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 017)＋f(2 019)＝________.解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4，∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，∴f (－2 017)＋f (2 019)＝0. 答案：01．利用周期f (x ＋T )＝f (x )将不在解析式范围之内的x 通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．2．判断函数周期性的几个常用结论．(1)f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )为周期函数，周期T ＝2|a |.(2)f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期；(3)f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期．考点三 函数性质的综合应用[高频型]——发展数学运算、逻辑推理[例2] 已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0.设a ＝ln 1m，b ＝(ln m )2，c ＝ln m ，其中m ＞e ，则( )A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (a )＞f (c )C ．f (c )＞f (a )＞f (b )D ．f (c )＞f (b )＞f (a )解析：根据已知条件知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，|a |＝ln m ＞1，b ＝(ln m )2＞|a |,0＜c ＝12ln m ＜|a |，∴f (c )＞f (a )＞f (b )．答案：C[例3] (2016·高考山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12.则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：当x ＞12时，由f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝ －[(－1)3－1]＝2，故选D. 答案：D。

考纲要求：函数的连续性.(2)了解数列极限和函数极限的概念.(3)掌握极限的四则运算法则；会求某些函数的极限.(4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。

在某点可导的函数一定在该点处连续，反之不然。

知识点归纳1、函数在一点连续的定义: 如果函数在点处有定义，存在，且，那么函数在点处连续。

2、函数在(a，b)内连续的定义：如果函数在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数在开区间(a，b)内连续，或是开区间(a，b)内的连续函数。

3、函数在［a，b］上连续的定义：如果在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有，在右端点x=b处有,就说函数在闭区间［a，b］上连续,或是闭区间［a，b］上的连续函数。

4、最大值是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意，，那么在点处有最大值。

5、最小值是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意，，那么在点处有最小值。

6、最大值最小值定理如果是闭区间［a，b］上的连续函数，那么在闭区间［a，b］上有最大值和最小值。

从近几年的高考试题来看，对本节内容的考查，主要以选择题或填空题的形式出现，一般只有一个小题。

【试题举例】（xx. 福建理）设函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=11xaxxxxf在x=0处连续，则实数a的值为 . 解析：∵()()()21111lim111111lim11lim=++=++++-+=-+→→→xxxxxxxxxx（xx年四川理）已知下面结论正确的是x=1处连续（B）（C）（D）【考点分析】本题考查函数的连续性概念，基础题。

解析：由题知，而，∴正确的结论是，选D.【窥管之见】函数的连续性质是选修2的一个重要内容，对于高等数学的学习具有重要意义，辽宁卷)极限存在是函数在点处连续的（B ）．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件2019-2020年高考数学单元考点复习10 等比数列教学目的：1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.深刻理解等比中项概念.3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法教学重点：等比中项的理解与应用教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：=q （q ≠0）2.等比数列的通项公式:，3．｛｝成等比数列=q （,q ≠0）“≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．二、讲解新课：1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±（a ,b 同号）如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G Gb a G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G =ab ,则，即a ,G ,b 成等比数列∴a ,G ,b 成等比数列G =ab （a ·b ≠0）2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则在等比数列中，m+n=p+q ，有什么关系呢？由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --⋅==k p p q a a qa a ，则3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法4．等比数列的增减性：当q>1, >0或0<q<1, <0时, {}是递增数列;当q>1, <0,或0<q<1, >0时, {}是递减数列;当q=1时, {}是常数列;当q<0时, {}是摆动数列;三、例题讲解例1 已知：b 是a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 同号，求证： 3,3,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列 证明：由题设：b 2=ac 得： 22333)3(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++ ∴3,3,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列例2 已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n 项与第n+1项分别为：n n nn n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅ .)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n nn n n n ==⋅⋅-++ 它是一个与n 无关的常数，所以是一个以q 1q 2为公比的等比数列.例3 (1) 已知{}是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求(2) a ≠c,三数a, 1, c 成等差数列，成等比数列，求解：(1) ∵{}是等比数列，∴ ＋2＋＝(＋)＝25,又>0, ∴＋＝5;(2) ∵a, 1, c 成等差数列, ∴ a ＋c ＝2,又a, 1, c 成等比数列, ∴a c ＝1, 有ac ＝1或ac ＝－1,当ac ＝1时, 由a ＋c ＝2得a ＝1, c ＝1,与a ≠c 矛盾，∴ ac ＝－1, 62)(222=-+=+ac c a c a∴ .例4 已知无穷数列 ,10,10,10,1051525150-n ，求证：（1）这个数列成等比数列（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中证：（1）5152511101010==---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列 （2）101101010154515===-+-+n n n n a a ，即： （3）525151101010-+--==q p q p q p a a ，∵，∴∴且，∴，（第项） 例5 设均为非零实数，()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ， 求证：成等比数列且公比为证一：关于的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根， ∴()()0442222≥+-+=∆b a c a b ，∴则必有：，即，∴成等比数列设公比为，则，代入()()024********=+++-+q a q a d aq a aq d q a a∵，即，即证二：∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ∴()()022222222=+-++-c bcd d b babd d a ∴，∴，且∵非零，∴四、练习： 1．求与的等差中项；解：(＋)＝5;2．求a ＋ab 与b ＋ab 的等比中项解：±＝±ab(a ＋b).五、小结 本节课学习了以下内容：1．若a ，G ，b 成等比数列，则叫做与的等经中项.2．若m+n=p+q ，3．判断一个数列是否成等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法六、课后作业：1、在等比数列，已知，，求解：∵，∴2、在等比数列中，，求该数列前七项之积解：()()()45362717654321b b b b b b b b b b b b b b =∵53627124b b b b b b b === ，∴前七项之积3、在等比数列中，，，求，解：145825454255358-=-⨯=⋅==a a a q a a 另解：∵是与的等比中项，∴∴七、板书设计（略）八、课后记：。