2019届高考数学专题09线性规划

2019年高考文科数学新课标Ⅱ卷第13题632≥-+yx若变量x，y满足约束条件03≤-+yx，则yxz-=3的最大值是。

2≤-y本题解答：约束条件一：0632≥-+yx。

直线方程0632=-+yx。

令)2,0(2630⇒=⇒=-⇒=yyx；令)0,3(3620⇒=⇒=-⇒=xxy。

验证点)0,0(，验证不等式06632≥-⇒≥-+yx不成立。

约束条件二：03≤-+yx。

直线方程03=-+yx。

令)3,0(330⇒=⇒=-⇒=yyx；令)0,3(330⇒=⇒=-⇒=xxy。

验证点)0,0(，验证不等式033≤-⇒≤-+yx成立。

约束条件三：22≤⇒≤-yy在直线2=y的下方。

如下图所示：端点)2,0(A；端点)0,3(B；端点C：联立2=y和03=-+yx得到端点)2,1(C。

目标函数yxz-=3。

端点)2,0(A端点)0,3(B端点)2,1(C223-=-⨯=Az933=-⨯=Bz1213=-⨯=Cz所以：目标函数yxz-=3的最大值为9。

2019年高考文科数学新课标Ⅲ卷第11题6≥+yx记不等式组表示的平面区域为D。

命题:p Dyx∈∃),(，92≥+yx；命题q：Dyx∈∀),(，02≥-yx122≤+y x 。

下面给出了四个命题：①q p ∨ ②q p ∨⌝ ③q p ⌝∧ ④q p ⌝∧⌝ 这四个命题中，所有真命题的标号是（ ）A.①③B.①②C.②③D.③④ 本题解答：约束条件一：6≥+y x 。

直线方程6=+y x 。

令)6,0(60⇒=⇒=y x ；令)0,6(60⇒=⇒=x y 。

验证点)0,0(，验证不等式606≥⇒≥+y x 不成立。

约束条件二：02≥-y x 。

直线方程02=-y x 过原点)0,0(；令)2,1(20121⇒=⇒=-⨯⇒=y y x 。

验证点)0,1(，验证不等式02001202≥⇒≥-⨯⇒≥-y x 成立。

命题p ：92≥+y x 。

直线方程：92=+y x 。

第 1 页 共 16 页培优点九 线性规划1．简单的线性规划问题应注意取点是否取得到例1：已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】不等式组对应的可行域如图所示：过()2,0时，z 取最小值为6，故选C ．2．目标函数为二次式例2：若变量x ，y 满足120x x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪++≥⎩，则22z x y =+的最大值为（ ）AB ．7C ．9D ．10【答案】D【解析】目标函数22z x y =+可视为点到原点距离的平方， 所以只需求出可行域里距离原点最远的点即可，作出可行域，第 2 页 共 16 页观察可得最远的点为()1,3B -，所以2max 10z OB ==．3．目标函数为分式例3：设变量x ，y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则11y s x +=+的取值范围是（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,2D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】所求11y s x +=+可视为点(),x y 与定点()1,1--连线的斜率． 从而在可行域中寻找斜率的取值范围即可， 可得在()1,0处的斜率最小，即()()min 011112k --==--， 在()0,1处的斜率最大，为()()max 11201k --==--，第 3 页 共 16 页结合图像可得11y s x +=+的范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．4．面积问题例4：若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线4y kx =+分成面积相等的两部分，则k 的值为（ ）A ．73B ．37C ．173-D ．317-【答案】C【解析】在坐标系中作出可行域，如图所示为一个三角形，动直线4y kx =+为绕定点()0,4的一条动直线， 设直线交AC 于M ，若将三角形分为面积相等的两部分，则ABM BCM S S =△△，第 4 页 共 16 页观察可得两个三角形高相等，所以AM MC =，即M 为AC 中点，联立直线方程可求得40,3A ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,1C ，则17,26M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入直线方程可解得173k =-．一、单选题1．若实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】B【解析】由图可知，可行域为封闭的三角区域，由z x y =-在y 轴上的截距越小，目标函数值越大， 所以最优解为()1,0，所以z 的最大值为1，故选B ．对点增分集训第 5 页 共 16 页2．已知实数x ，y 满足线性约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，则其表示的平面区域的面积为（ ）A ．94B ．274C ．9D ．272【答案】B【解析】满足约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，如图所示：可知14x ≤≤范围扩大，实际只有03x ≤≤，其平面区域表示阴影部分一个三角形，其面积为132733224S ⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭．故选B ．3．已知实数x ，y 满足122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若z x a y =-只在点()43,处取得最大值，则a 的取值范围是（ ） A ．()1-∞-, B ．()2-+∞,C ．()1-∞,D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,【答案】C第 6 页 共 16 页【解析】由不等式组122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩作可行域如图，联立221x y x y -=-⎧⎨-=⎩，解得()43C ,,当0a =时，目标函数化为z x =， 由图可知，可行解()43,使z x ay =-取得最大值，符合题意； 当0a >时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率大于0，当在y 轴上截距最大时z 最大，可行解()43,为使目标函数z x ay =-的最优解，1a <符合题意； 当0a <时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率为负值， 要使可行解()43,为使目标函数z x ay =-取得最大值的唯一的最优解， 则10a<，即0a <． 综上，实数a 的取值范围是()1-∞,．故选C ． 4．已知实数x ，y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则5x z y -=的取值范围为（ ）A ．2433⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,B ．4233⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,第 7 页 共 16 页C ．3324⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,,D ．3342⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,,【答案】C【解析】画出不等式表示的可行域，如图阴影三角形所示， 由题意得()22A ,，()24B -,．由5x z y -=得105y z x -=-， 所以1z可看作点()x y ,和()50P ,连线的斜率，记为k ， 由图形可得PA PB k k k ≤≤，又202253PA k -==--，404253PB k --==-，所以2433k -≤≤， 因此32z ≤-或34z ≥，所以5x z y -=的取值范围为3324⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,,．故选C ．5．若实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =+的最大值是（ ）AB ．4C ．9D ．10【答案】D【解析】由实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩作出可行域，如图：第 8 页 共 16 页∵()03A -,，()02C ,，∴OA OC >， 联立2239x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得()31B -,， 22x y +的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值()2223110OB =+-=．故选D ．6．已知点()12A ,，若动点()P x y ,的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最小值为（ ）AB ．1 CD【答案】C【解析】作出可行域如图：观察图象可知，AP 最小距离为点A 到直线20x y +-=的距离，即max AP =C ．第 9 页 共 16 页7．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ） A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1-【答案】D【解析】由题意作出约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，平面区域，将z y ax =-化为y ax z =+，z 相当于直线y ax z =+的纵截距， 由题意可得，y ax z =+与22y x =+或与2y x =-平行， 故2a =或1-；故选D ．8．若x ，y 满足不等式组40240 4x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则215y x ≤+成立的概率为（ ） A ．1556B ．1116 C ．58D ．38【答案】A第 10 页 共 16 页【解析】作出不等式组40240 4x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图所示：因为()011y y x x -=+--表示点(),P x y 与定点()1,0-连线的斜率， 所以215y x ≤+成立的点(),P x y 只能在图中ADE △的内部（含边界）， 所以由几何概型得：215y x ≤+成立的概率为ADE ABC S S △△，由104x y x +-=⎧⎨=⎩，得()40A ,，由2104x y x -+=⎧⎨=⎩，得()44B ,， 由40240x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得4833C ⎛⎫ ⎪⎝⎭,，由()21510y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩，解得181077D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,，由()2154y x x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得()42E ,，所以141644233ABC S =-⨯=△，1181042277ADE S =⨯-⨯=△， 所以215y x ≤+成立的概率为1015716563ADEABC S S ==△△，故选A ． 9．若x ，y 满足不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则32z x y =-+的最小值为（ ）A ．7B ．6C ．265D ．4【答案】C【解析】画出可行城如图所示，第 11 页 共 16 页目标函数可化为1322z y x =--+，共图象是对称轴为3x =的两条射线， 由3 5100x x y =⎧⎨-+=⎩得2z 取得最小值时的最优解为3135x y =⎧⎪⎨=⎪⎩． 即min 132633255z =-+⨯=．故选C ． 10．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若()M x y ,为D 上动点，点A的坐标为)．则z OM OA =⋅u u u v u u v 的最大值为（ ） A．B． C ．4 D ．3【答案】C 【解析】如图所示：z OM OA y =⋅+u u u v u u v，即y z =+，首先做出直线0l：y =，将0l 平行移动，当经过B 点时在y 轴上的截距最大，从而z 最大．第 12 页 共 16 页因为)2B ，故z 的最大值为4．故选C ． 11．若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域内存在点()00x y ,，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．(],1-∞D ．[)1,+∞【答案】B【解析】作出不等式20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，可行域如图：∵平面区域内存在点()00,M x y ，满足0020x ay ++≤，∴直线20x ay ++=与可行域有交点，解方程组205100x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得()02B ,． ∴点B 在直线20x ay ++=下方．可得0220a ++≤．解得1a ≤-．故选B ．12．已知圆()()22:1C x a y b -+-=，平面区域60:400x y x y y +-≤⎧⎪Ω-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x轴相切，第 13 页 共 16 页则圆心(),C a b 与点()2,8连线斜率的取值范围是（ ）A ．77,,35⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U B ．77,,35⎛⎤⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭U C ．77,35⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．77,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】画出可行域如图，由圆的标准方程可得圆心(),C a b ，半径为1，因为圆C 与x 轴相切，所以1b =，直线1y =分别与直线60x y +-=与40x y -+=交于点()51B ,，()3,1A -， 所以35a -≤≤，圆心(),C a b 与点()2,8连线斜率为8722b k a a -==---， 当32a -≤<时，7,5k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭；当25a <≤时7,3k ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦； 所以圆心(),C a b 与点()2,8连线斜率的取值范围是77,,35⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ，故选A ．二、填空题13．设x ，y 满足10302x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则21z x y =++的最大值为____________． 【答案】13【解析】如图，作出可行域（图中阴影部分），第 14 页 共 16 页目标函数21z x y =++在点()2,5A 取得最大值13．故答案为13．14．若变量x ，y 满足约束条件210220x x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则22z x y =+的最小值为_________． 【答案】1【解析】作可行域，()0,1A ，22z x y =+表示可行域内点P 到坐标原点距离的平方，由图可得22z x y =+最小值为21OA =．15．已知实数x ，y 满足110x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22x y x ++的最小值为______． 【答案】4【解析】由实数x ，y 满足110x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，作出可行域如图，第 15 页 共 16 页联立11x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得()10A ,，2222x y y x x +++=+， 其几何意义为可行域内的动点与定点()02P -,连线的斜率加2． ∵0221PA k +==，∴22x y x++的最小值为4．故答案为4． 16．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损10%的概率为02.，年利润获利30%的概率为0.4，年利润获利50%的概率为0.4，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为60%的概率为0.7，持平的概率为0.2，年利润亏损20%的可能性为0.1．为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍．根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万．【答案】22.【解析】设本地养鱼场平均年利润1ξ，远洋捕捞队平均平均年利润2ξ；101020304050403E ξ=-⨯+⨯+⨯=．．．．．．．，20607002020104E ξ=⨯+⨯-⨯=．．．．．．；设本地养鱼场投x 千万元，远洋捕捞队投y 千万元，则利润之和0304z x y =+．．，6200x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥≥⎩,，第 16 页 共 16 页如图，当目标函数经过点()24B ,时利润最大，03204422z =⨯+⨯=．．．千万元．。

用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题线性规划问题是指在线性约束条件(即关于变量y x ,的二元一次不等式或不等式组)下，求线性目标函数by ax z +=的最大值或最小值问题.在线性规划问题中，满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，可行解的集合叫做可行域(可行域的边界是直线、射线或线段)，使目标函数取得最值的可行解叫做这个线性规划问题的最优解.求解线性规划问题，通常是通过平移初始直线0=+by ax 来解决的，所以有下面的结论：(1)若线性规划问题存在最优解，则最优解一定在边界上.(2)若目标函数by ax z +=在两个不同的点B A ,处均取到最大值或均取到最小值，则初始直线0=+by ax 与直线AB 平行(此时线段AB 一定是可行域的边界，且线段AB 上的所有点都是最优解).(3)若可行域有凸顶点，则目标函数在可行域的所有凸顶点处的函数值中的最大(小)值就是目标函数的最大(小)值.下面用这些结论简解几道线性规划题.题1 (2015年高考山东卷理科第6题)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解 B.题中的可行域为图1中的OAB ∆(其顶点坐标分别是)0,2(),1,1(),0,0(B A O )及其内部的区域.图1再由结论(3)，可得3=a 或2.再检验，得2=a .题2 (2015年高考福建卷文科第10题)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解 C.若1-=m ，可得z 无最大值，所以1-≠m .先画出不等式组⎩⎨⎧≥+-≥+0220y x y x 表示的区域为图2中的阴影部分.图2(请把图中的“A y x x y ,022,=---=”分别改为“)2,2(,22,0A y x y x =-=+”)直线0=-y mx 过原点且不与直线022,0=+-=+y x y x 不重合，再由图2可知本题的可行域是三角形区域(若是图2中的某一块无限区域，则z 无最大值).又直线2x －y =2与直线022=+-y x 交于点)2,2(A ，再由以上结论(3)，得)2,2(A 是最优解且直线0=-y mx 过点A ，所以1=m .题3 (2014年高考山东卷理科第9题即文科第10题)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0， 当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2解 B.易知可行域是一个凸角(即其大小小于平角)，且角的顶点是(2,1)(即方程组⎩⎨⎧=--=--03201y x y x 的解). 由以上结论(3)，得(2,1)是最优解，所以522=+b a . 接下来，可用减元法、三角换元法或柯西不等式求得答案.题4 (2014年高考全国课标卷I 文科第11题)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解 B.易知可行域是一个凸角，且角的顶点是⎪⎭⎫⎝⎛+-21,21a a (即方程组⎩⎨⎧-=-=+1y x a y x 的解).由以上结论(3)，得⎪⎭⎫⎝⎛+-21,21a a 是最优解，所以 72121=+⋅+-a a a a ＝3或－5因为题设中是“最小值为7”(不是“最大值或最小值为7”)，所以还须检验：当a ＝3时，可得“最小值为7”；当a ＝－5时，可得“最大值为7”.所以a ＝3.题5 (2014年高考安徽卷理科第5题)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 解 D.先作出可行域是图3中的ABC ∆.图3(请去掉图中过原点的直线)由题设及结论(2)知，初始直线ax y =与ABC ∆的某一条边平行，得1-=a 或12或2.因为题设中是“最大值的最优解”，所以还须检验，…….题6 (2014年高考浙江卷理科第13题)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1.先作出可行域是图4中的ABC ∆.题设即⎩⎨⎧≤+≥+4)(1)(max min y ax y ax ，由以上结论(3)，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤≤+≤≤+≤4231141214011a a a ，即231≤≤a .图4(请去掉图中的两条虚线，并标上点C B A ,,的坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1),1,2(),0,1(C B A )题7 (2013年高考浙江卷理科第13题)设z =kx +y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x +y −2≥0，x −2y +4≥0，2x −y −4≤0．若z的最大值为12，则实数k = ．解 2.先作出可行域是图5中的ABC ∆(其中)4,4(),0,2(),2,0(C B A )，得以下三种情形： (1)若在点)2,0(A 处取到最大值，得1220=+⋅k ，这不可能！(2)若在点)0,2(B 处取到最大值，得6,1202==+⋅k k ，经检验知，这也不可能！ (3)若在点)4,4(C 处取到最大值，得2,1244==+⋅k k ，经检验知，符合题意！ 所以2=k.图5题8 (北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷(高三数学(理科)第8题)设D 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≤+12121y x y x y x 表示的平面区域，点),(b a B 为坐标平面xOy 内一点，若对于区域D 内的任一点),(y x A ，都有1≤⋅OB OA 成立，则b a +的最大值等于( )A.2B.1C.0D.3解 A.先作出平面区域D 为图6中的ABC ∆.图6题设即：对于区域D 上的任一点),(y x A ，都有1≤+by ax 成立.其充要条件是ABC ∆的顶点)1,1(),0,1(),1,0(--C B A 的坐标均满足1≤+by ax ，即⎪⎩⎪⎨⎧-≥+≤≤111b a a b ，由此可得b a +的最大值是2(这也是一个线性规划问题).注 由此解法，还可得出b a +的取值范围是]2,1[-.建议把题目中的“区域D 内”改为“区域D 上”，若是“区域D 内”，则所求最大值不存在，只能得到b a +的取值范围是)2,1(-.用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3所以当a <1且1a →时满足题设(此时满足题设的唯一整数x 0=0).由此可排除选项C. 所以选D.注 小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题1 解方程：(1)2121+=+x x ；(2)c c x x 11-=-；(3)c c x x 11+=+. 解 (1)容易观察出212，=x 均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解212，=x ，所以这两个解就是原方程的所有解. (2)同理，可得原方程的所有解是cc x 1-=，. (3)容易观察出cc x 1，=均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解cc x 1，=(因为对于任意的非零实数c ，c 和c 1都是原方程的解，所以应当把c 和c1理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程的所有解.题2 解方程22=+++x x x .解 设函数2)(+++=x x x x f ，易知它是增函数，所以方程2)(=x f 至多有一个根(当2在函数)(x f 的值域中时有一个根，否则没有根)，……所以原方程的根是2=x .题3 已知1tan ,51cos sin ->=+ααα，求αtan . 解 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54c o s 53s i n αα 该方程组即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1sin 51sin sin 51cos 22αααα 因为关于αsin 的一元二次方程1sin 51sin 22=⎪⎭⎫⎝⎛-+αα最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，......所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解， (4)3tan -=α. 题4]1[ (2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列}{k a 的前k 项和为k S ，且∈=+k a a S k k k (211N*)，其中11=a ，求数列}{k a 的通项公式. 解 由题设得kk k k k a a a a a S a )(22211+++==+ ，所以当k a a a ,,,21 确定时，1+k a 也唯一确定.所以由11=a 知，数列}{k a 是唯一确定的.可以观察出k a k =满足题设的所有条件，所以数列{}k 是满足题设的唯一数列，得k a k =.另解 (2),2)()((211111k k k kk k k k k k k k S S S S S k S S S S a a S +-=≥--==-++-+因为)2)(01≥≠=--k a S S k k k ①由题设得3,121==S S ，再由①知{}k S 是唯一确定的数列⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥-==-2,1,11k S S k S a k k k .再同上得k a k =.题5]1[ (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且∈+=+--+n B An S n S n n n ()25()85(1N*)，其中B A ,为常数.(1)求A 与B 的值；(2)证明数列}{n a 为等差数列；解 (1)8,20-=-=B A . (2) ∈-+--+=+n n n S n n S n n (8582085251N*)，11=S ②所以{}n S 是唯一确定的数列，}{n a 也是唯一确定的数列.又由11,6,1321===a a a 知，若}{n a 为等差数列，则45-=n a n ，于是)35(21-=n n S n . 容易验证)35(21-=n n S n 满足②，所以题中的45),35(21-=-=n a n n S n n ，}{n a 为等差数.题6]2[ 已知数列}{n a 满足nn a a a n n ++==+2111,21，求n a ； 解 首先，由首项211=a 及递推关系nn a a n n ++=+211知，满足题意的数列}{n a 是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+=-+n k n k n n n n a a n n 111111121，即nk a n1-=（k 是常数）满足递推关系n n a a n n ++=+211，再由211=a ，得n a n123-=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 123-=.题7]2[ 已知数列}{n a 满足n n a n n a a 1,3211+==+，求n a . 解 易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得k nk n kn n a a n n (111+=+=+是非零常数），即n k a n =满足递推关系n n a n na 11+=+，再由321=a ，得n a n 32=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 32=.注 因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题Ω，若能证明它最多有n n (是确定的正整数)个解，又找出了它的n 个解n ωωω,,,21 ，则这n 个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：题8 (2010·安徽·理·20)设数列 ,,,,21n a a a 中的每一项都不为0.证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何∈n N*，都有1113221111++=+++n n n a a na a a a a a .证明 先证必要性.若数列{}n a 是公差为d 的等差数列： 当0=d 时，易得欲证成立.当0≠d 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=++++++1132232112132211111n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a 111111111322111111111111+++++=-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n a a na a a a d a a d a a a a a a d再证充分性.只需对)3(≥n n 用数学归纳法证明加强的结论：若),,3,2(1111113221n i a a ia a a a a a i i i ==+++++恒成立，则n a a a ,,,21 成等差数列，且na a n 1≠. 当3=n 时成立：当2=i 时，得2313132212,211a a a a a a a a a =+=+，所以321,,a a a 成等差数列，还可证313a a ≠(因为由313a a =可得023131313334=-=--+=+=a a a a a d a a ，而由3=i 时成立立知)04≠a .假设kn ,,4,3 =时成立：即ka a a ,,,21 成等差数列，且ka a a a a a k 11413,,4,3≠≠≠. 由k i ,,3,2 =时均成立及kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠知，当21,a a 确定时，数列121,,,+n a a a 也是确定的，而由必要性的证明知，由21,a a 确定的等差数列121,,,+n a a a 满足题设，所以由题设及21,a a 确定的数列就是这个等差数列，即121,,,+n a a a 成等差数列，同上还可证111+≠+k a a k ，即1+=k n 时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊，2008(3)：462 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3a 时满足题设(此时满足题设的唯一整数x0=0).由此可排除选项C.所以当a<1且1所以选D.注小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.。

2019届高考数学总复习线性规划1.二元一次不等式表示的区域1.1不等式0Ax By C ++≤表示的区域 1.2不等式a Ax By C b ≤++≤表示的区域 1.3动点(,)x y x y +-所在的区域2.最值问题的求解策略2.1截距法判定z ax by =+平移方向 2.2曲线型目标函数的最值问题 2.3旋转法处理最优解唯一的问题 2.4平移法处理最优解无数多的问题3.目标函数的几何意义 3.1求 22)()(b y a x -+-的最值3.2 方程||||x a y b c -+-=的几何意义 3.3求 0022A B +的最值3.4 求||C By Ax ++的最值4.数列、向量中的线性规划4.1线性规划视角下的平面向量问题 4.2线性规划视角下的数列问题1.二元一次不等式表示的区域1.1 不等式0A x B yC ++≤表示的区域 【典例1】若平面区域30230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（ ） A. 35B.2C.32D.5 【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示.由23030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得(1,2)A ,由23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩得(2,1)B ，由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即22||(12)(21)2AB -+-，故选B.【感悟】判断二元一次不等式所表示的区域，较为安全的方法是将区域边界所在直线方程用斜截式形式表示，即满足y kx b >+的点在直线y kx b =+上方，满足y kx b <+的点在直线y kx b =+下方，满足y kx b =+的点在直线y kx b =+上.【挑战1】1.点(0,)t 在直线0kx y b ++=上方，则实数t 的范围是________．2.点(0,)t 在直线0kx y b -+=上方，则实数t 的范围是________．3.已知(2,1)A -，(3,2)B 两点分别在直线210x ay -+=的两侧，则实数a 的取值范围为 ．4.已知圆C 的方程为2210x y ax ++-=，若(1,2)A ，(2,1)B 两点一个在圆C 的内部，一个在圆C 的外部，则实数a 的取值范围是________．5.已知(2,1)A -，(3,2)B ，若直线10kx y -+=与线段AB 有公共点，则实数k 的取值范围为 ． 【典例2】在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB =________．A ．22B ．4C ．32D ．6 【解析】如图PQR ∆及其内部为可行域，可行域内的点在直线20x y +-=上的投影构成了线段R Q ''，即AB ，而R Q PQ ''=，由3400x y x y -+=⎧⎨+=⎩得(1,1)Q -，由2x x y =⎧⎨+=⎩得(2,2)R -，所以22||||(12)(12)32AB QR =--++ 故选C ．【感悟】解决此类问题，首先是画出不等式组表示的平面区域，其次作区域图形在已知直线上的投影时，只需要作可行域的顶点在已知直线上的垂线并找到垂足，最后把距离最远的垂足连接即得投影构成的线段.【挑战2】1.在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域20340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在y 轴上的投影构成的线段记为AB ，则||AB =________．2.在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域20340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线20x y --=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB = ．3.在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域221x y +≤中的点在直线20x y --=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB =________．1.2 不等式a A x B yC ≤++≤表示的区域 【典例】若变量,x y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作图表示该可行域.【解析】32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩可化为2302906090x y x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎪⎨--≥⎪⎪--≤⎩作出可行域，如图中平行四边形ABCD 的内部及其边界.【感悟】满足a x b ≤≤的点(,)x y 的区域是两条平行线及内部(带状区域)，满足a Ax By C b ≤++≤的点(,)x y 的区域也是两条平行线及内部，且边界分别为Ax By C a ++=，Ax By C b ++=，因此满足1111122222a A x B y C b a A x B y C b ≤++≤⎧⎨≤++≤⎩的区域一般是平行四边形. 【挑战】 1.不等式组1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩所围成的平面区域的面积是________．2. 若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y –x 的最小值是__________． 【答案】32.【解析】由12x y x +≤≤得1212y x y x x x ≥+⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，可行域如图所示. 令3z y x =-转化为1122y x z =+在点（1，2）处取得最小值，即最小值为3.1.3 动点(,)x y xy +-所在的区域【典例*】在平面直角坐标系xoy 中，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，求平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积.【解析】设a x yb x y =+⎧⎨=-⎩，则(,)a b B ∈，22a b x a b y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，由(,)x y A ∈得10a ab a b ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩作出该不等式组表示的平面区域如图. 所以面积12112S =⨯⨯=．【感悟】求点(,)M x y x y +-区域，就要通过换元a x yb x y =+⎧⎨=-⎩转化为求点(.)M a b 满足的约束条件.【挑战】1.在平面直角坐标系xoy 中，平面区域A =02{(,)|}01x y x y x ≤+≤⎧⎨≤≤⎩，求平面区域{(,)|B x y x y =+-(,)}x y A ∈的面积.2.已知点(,)M x y 满足02x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则点(,N x y x +- )y 所在的平面区域的面积等于_______.2.最值问题的求解策略2.1 截距法判定z a x b y=+平移方向 【典例1】已知,x y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，求2z x y=+的最大值.【解析】作出可行域如图中的阴影部分.因为直线2z x y =+的斜率为21-<-.目标函数2z x y =+中的z 随直线20x y +=向上平移而增大，过点(2,1)A -时取得最大值，最大值为max 2213z =⨯-=．【感悟】将函数z ax by =+转化为直线的斜截式a z y xb b =-+，当截距zb取得最大值时，间接求出z 取得最大值；当截距zb取得最小值时，间接求出z 取得最小值.【挑战1】1.设,x y 满足2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则6z x y =+最大值为________．2.设,x y 满足02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为________．【典例2】若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2x y e -的最小值等于________．【解析】指数函数()z f z e =在R 上单调递增， 所以2x y e -最小等价于2z x y =-最小，因此目标函数变形为2y x z =-，画出可行域. 故将直线2y x =移 到到过点1(1,)2B -时，当直线2y x z =-的纵截距最大，z 取最小值，z 最小值为152(1)22z =⨯--=-．所以2x ye-的最小值等于52e -.【感悟】将函数(0)z ax by b =->转化为直线的斜截式a z y x bb=-，当截距z b-取得最大值时，间接求出z 取的最小值；当截距zb-取得最小值时，间接求出z 取的最大值.【挑战2】1.已知变量,x y 满足约束条件21110x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z = 2x y -的最大值为________．2.已知变量,x y 满足约束条件0220x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则32z x y =-的最大值为________．3.已知变量,x y 满足约束条件503x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则4z x y =-的最小值为________．【典例3】若变量,x y 满足约束条件21,0x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则z x y =-+的最小值等于________．【解析】画出可行域，目标函数变形为y x = z +，当z 最小时，直线y x z =+的纵截距最小，故将直线移到过点(2,0)B 时，z 取到最小值，最小值为2-．【感悟】将函数z ax by =-+转化为直线的斜截式a z y x bb=+，当截距zb取得最大值时，间接求出z 取的最大值；当截距zb取得最小值时，间接求出z 取的最小值.【挑战3】1.若变量,x y 满足约束条件210x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x =-y +的最大值等于 ．2.若变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x =-y +的最大值等于 ．3.若变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x =-y +的最小值等于 ．【典例4】若变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =--的最小值等于 ．【解析】画出可行域，目标函数变形为3y x =- z -，当z 最小时，直线3y x z =--的纵截距最大，故将直线移到过点(3,2)A 时，z 取到最小值，最小值为11-．【感悟】将函数z ax by =--转化为直线的斜截式a z y xb b =--，当截距zb-取得最大值时，间接求出z 取的最小值；当截距zb-取得最小值时，间接求出z 取的最大值.【挑战4 】1.已知实数,x y 满足条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，且z a x =--y 的最大值点有无穷多个，则a 为_______．2.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则22z x =--y 的最小值为________．2.2 曲线型目标函数的最值问题【典例】设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为（ ）A.252B. 292C.12D.14 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，(2,8)A -，(4,2)B ，(2,6)C .结合图形可知，当动点(,)P x y 在线段AC 或BC 上时，xy 取得最大值.当动点在线段BC 上时，此时210,x y +=xy =2525(102)2()22x x x -=--+，又24x ≤≤，当52x =时，xy取得最大值252.当动点在线段AC 上时，214x y +=，2(142)214xy y y y y =-=-+，又68y ≤≤，当6y =时，xy 取得最大值12.因为25122>，故xy 的最大值为252，所以选A. 【感悟】曲线型的目标函数的最值问题可利用 ①平移法：当所求的最值是圆锥曲线上点到某直线的距离最值时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上取的最值的点.②代数法：借助函数求最值得方法。

专题13 线性规划【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若变量x ，y 满足约束条件23603020x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩+-≥+-≤-≤，，，则z =3x –y 的最大值是______________．【答案】9【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，阴影部分表示的三角形ABC 区域，根据直线30x y z --=中的z 表示纵截距的相反数，当直线3z x y =-过点3,0C （）时，z 取最大值为9．【名师点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，， 则z x y =+的最大值为______________． 【答案】9【解析】不等式组25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，表示的可行域是以(5,4),(1,2),(5,0)A B C 为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数z x y =+的最大值必在顶点处取得，易知当5,4x y ==时，max 9z =．【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解．【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设,x y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是A ．15-B ．9-C ．1D ．9【答案】A【解析】绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示， 结合目标函数的几何意义可得函数在点(6,3)B --处取得最小值， 最小值为min 12315z =--=-．故选A ．【名师点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：①准确无误地作出可行域；②画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；③一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．【命题意图】1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 4．通过考查线性规划等相关知识，考查数形结合思想的运用． 【命题规律】这类试题在考查题型上主要以选择题或填空题的形式出现，主要从线性目标函数、斜率型、距离型等角度进行考查，考查数形结合思想．试题难度不大，多为中低档题． 【答题模板】1．确定平面区域的方法第一步，“直线定界”，即画出边界0Ax By C ++=，要注意是虚线还是实线；第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点00(,)x y 作为测试点，由00Ax By C ++的符号就可以断定0Ax By C ++>表示的是直线0Ax By C ++=哪一侧的平面区域；第三步，用阴影表示出平面区域．2．在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线0ax by += (目标函数为z ax by =+)；（2）移：平行移动直线0ax by +=，确定使z ax by =+取得最大值或最小值的点； （3）求：求出使z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z 的最大值或最小值； （4）答：给出正确答案． 【方法总结】1．二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面积和已知平面区域求参数的取值或范围．（1）对于面积问题，可先画出平面区域，然后判断其形状（三角形区域是比较简单的情况），求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式． （2）对于求参问题，则需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围． 2．对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域有如下结论3．线性目标函数的最值问题的求法（1）平移直线法：作出可行域,正确理解z 的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解．对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点． （2）顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处目标函数z ax by =+的值，经比较后得出z 的最大(小)值． 求解时需要注意以下几点：（ⅰ）在可行解中，只有一组(x ,y )使目标函数取得最值时，最优解只有1个．如边界为实线的可行域，当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值．（ⅱ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个．如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解．（ⅲ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解． 4．距离问题常涉及点到直线的距离和两点间的距离，熟悉这些模型有助于更好地求解非线性目标函数的最值．（1）对形如||z Ax By C =++型的目标函数，可先变形为z =的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )到直线0Ax By C =++倍的最值．（2）对形如22()()z x a y b =-+-型的目标函数均可化为可行域内的点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方的最值问题．5．斜率问题是线性规划延伸变化的一类重要问题，其本质仍然是二元函数的最值问题，不过是用模型形态呈现的．因此有必要总结常见模型或其变形形式．对形如(0)ay bz ac cx d+=≠+型的目标函数，可先变形为()()b y a a z d c x c--=⋅--的形式，将问题化为求可行域内的点(x ，y )与点(,)d b c a --连线的斜率的a c倍的取值范围、最值等．6．若目标函数中有参数，要从目标函数的结论入手，对图形进行动态分析，对变化过程中的相关量进行准确定位，这是求解这类问题的主要思维方法．7．若约束条件中含有参数，则会影响平面区域的形状，这时含有参数的不等式表示的区域的分界线是一条变动的直线，注意根据参数的取值确定这条直线的变化趋势，从而确定区域的可能形状． 8．用线性规划求解实际问题的一般步骤（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． （3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．注意：（1）在实际应用问题中变量,x y 除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件不要忽略．（2）线性目标函数的最优整数解不一定在可行域的顶点或边界处取得，此时不能直接代入顶点坐标求最值，可用平移直线法、检验优值法、调整优值法求解．1．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考】已知实数 ， 满足，则的取值范围是 A ． ， B ． ， C ． ，D ． ，【答案】D【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求 的取值范围． 【解析】设 ，则只需求直线 在 轴上的截距范围． 画出可行域为弓形，如下图所示，当直线与圆相切时，截距最大，且为 ， 当直线过点 ， 时截距最小，且为1， 所以 的取值范围是 ， ． 故选D ．【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．2．【黑龙江省大庆市2019届高三第三次教学质量检测】已知实数x ，y 满足0022x x y y x ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则(0)z ax ya =+>的最小值为 A ．0 B ．a C ．22a +D ．-2【答案】D【分析】画出不等式组表示的可行域，由(0)z ax y a =+>得(0)y ax z a =-+>，平移直线y ax z =-+，结合图形可得取得最小值时的最优解，进而得到最小值． 【解析】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．由(0)z ax y a =+>得(0)y ax z a =-+>．平移直线y ax z =-+，结合图形可得，当直线经过可行域内的点(0,2)A -时， 直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值， 所以min 022z a =⨯-=-． 故选D ．【名师点睛】利用线性规划求目标函数的最值问题是常考题型，一般以选择题、填空题的形式出现，难度适中．解题时要熟练画出可行域，把目标函数适当变形，把所求最值转化为求直线的斜率、截距、距离等问题处理，主要考查数形结合在解题中的应用和计算能力．3．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考】设,x y 满足约束条件21032120230x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则4z x y =+的最大值为 A ．294B ．9C ．14D ．18【答案】C【分析】在直角坐标系内，画出可行解域，平行移动直线14y x =-，直至找到144zy x =-+，在y 轴截距最大时，经过的可行解域内的点，求出4z x y =+的最大值． 【解析】作出约束条件的可行域如图，可知4z x y =+的最大值在点(2,3)A 处取得， 故max 24314z =+⨯=， 故选C ．4．【陕西省宝鸡市2019届高考模拟检测三】设x ，y 满足约束条件2003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22(1)z x y =++的最大值为 A ．41 B ．5 C ．25D ．1【答案】A【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用22(1)x y ++的几何意义数形结合解答得解．【解析】由题得不等式组对应的可行域如下图所示，22(1)z x y =++表示区域内的动点(x ，y )到点P (-1，0)的最大距离的平方，联立320x x y =⎧⎨-+=⎩得点A (3，5)，所以z 的最大值为22(3+1)541+=． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查线性规划求最值，考查两点间的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．5．【甘肃省2019年高三第二次高考诊断】若实数,x y 满足约束条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最大值与最小值之和为 A ．4 B ．16 C ．20D ．24【答案】C【解析】画出可行域，如下图中阴影部分所示，当直线z x y =+与y =-x +4重合时，z 最小，z 的最小值为4；当直线z x y =+经过A 时z 最大，此时A 的坐标为A （7，9），z 的最大为16， 故z x y =+的最大值与最小值之和为4+16=20， 故选C ．6．【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟】若变量,x y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最小值为A ．1B ．3C ．4D ．9【答案】A【分析】根据线性约束条件作出可行域，将线性目标函数化为直线方程，根据目标函数平移得到最优解，再将最优解代入目标函数即可得答案． 【解析】作出可行域如下图所示，目标函数3z x y =+可化为函数3y x z =-+， 由图可知，当直线3y x z =-+过(0,1)A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为1． 故选A ．7．【北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四】设不等式组1325x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为D ．若直线0ax y -=上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是A ．1[,2]2B ．1[,3]2C ．[1,2]D ．[2,3]【答案】B【分析】由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线0ax y -=上存在区域D 上的点时的a 的范围．【解析】作出可行域如下图中阴影部分所示，∵直线0ax y -=过定点O （0，0），要使直线0ax y -=上存在区域D 上的点， 则直线0ax y -=的斜率a ∈[k OB ，k OA ]，联立125x x y =⎧⎨+=⎩，得A （1，3），联立+y 325x x y =⎧⎨+=⎩，得B （2，1），∴313,12OA OB k k ===，∴a 1[,3]2∈， 故选B ．8．【辽宁省辽阳市2019届高三二模】设x ，y 满足约束条件326020480x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则目标函数2z x y =-的最小值是 A ．-4 B ．-2 C ．0D ．2【答案】A【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可． 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC ），由2z x y =-得122zy x =-，平移直线122z y x =-，由图象可知当直线122zy x =-，过点B 时， 直线122zy x =-的截距最大，此时z 最小，由48020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02B(,)． 代入目标函数2z x y =-，得0224z =-⨯=-， ∴目标函数2z x y =-的最小值是4-． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法，属于基础题．9．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -=+的最小值为 A ．23-B ．54-C ．43-D ．12-【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图： 目标函数21y z x -=+的几何意义为动点(,)M x y 到定点(1,2)D -的斜率， 当M 位于1(1,)2A -时，此时DA 的斜率最小，此时min 1252114z --==-+． 故选B ．【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．【新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试】若变量,x y 满足约束条件00340x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则32x y+的最大值是 A ．0 B ．2 C ．5D ．6【答案】C【分析】由题意作出不等式组所表示的平面区域，将32z x y =+化为322z y x =-+，2z相当于直线322zy x =-+的纵截距，由几何意义可得结果．【解析】由题意作出其平面区域，如下图中阴影部分所示，令32z x y =+，化为322z y x =-+，2z 相当于直线322zy x =-+的纵截距， 由图可知， 340y xx y =⎧⎨+-=⎩，解得1x =，1y =， 则32x y +的最大值是325+=， 故选C ．【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．11．【广东省韶关市2019届高考4月模拟测试】若x，y满足约束条件22201y xx yy≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y=-的最大值为A．35-B．12C．5 D．6【答案】C【解析】变量x，y满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示：目标函数z x y=-是斜率等于1、纵截距为z-的直线，当直线经过可行域的A点时，纵截距z-取得最小值，则此时目标函数z取得最大值，由1220yx y=-⎧⎨+-=⎩可得(4,1)A-，目标函数z x y=-的最大值为5．故选C．【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．12．【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】若实数x ，y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则函数2z x y =+的最大值为 A ．12 B ．325C ．3D ．15【答案】A【分析】画出可行域，然后平移直线2y x z =-+，找到在y 轴截距最大时，直线经过的点，代入，即可求出函数2z x y =+的最大值．【解析】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由2z x y =+得2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时， 直线2y x z =-+在y 轴的截距最大，此时z 最大．由43035250x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，即A （5，2），代入目标函数2z x y =+得z =2×5+2=12． 即目标函数2z x y =+的最大值为12． 故选A ．13．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟】实数x ，y 满足不等式组2020()0x y x y y y m -≤+≥-≤⎧⎪⎨⎪⎩，若3z x y =+的最大值为5，则正数m 的值为A ．2B ．12 C ．10D ．110【答案】A【分析】根据条件中确定的两个不等式，可以确定出0y ≥，所以第三个不等式()0y y m -≤可以转化为y m ≤，画出可行域，然后对目标函数进行化简，得到z 取最大值时的最优解，得到关于m 的方程，得到答案．【解析】先由2020x y x y -≤⎧⎨+≥⎩画可行域，如下图所示，发现0y ≥，所以()0y y m -≤可得到y m ≤，且m 为正数． 画出可行域为AOB △（含边界）区域．3z x y =+，转化为3y x z =-+，是斜率为3-的一簇平行线，z 表示在y 轴的截距，由图可知在A 点时截距最大，解2y x y m =⎧⎨=⎩得2m x y m⎧=⎪⎨⎪=⎩，即(,)2m A m ，此时max 352mz m =+=，解得2m =， 故选A ．14．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟】设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(,)P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为A ．π8B ．π4C ．12π+ D【答案】A【解析】画出2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩所表示的区域Ω如图中阴影部分所示，易知(2,2),(2,2)A B -，所以AOB △的面积为4，满足不等式222x y +≤的点，在区域Ω14圆面， 其面积为2π，由几何概型的公式可得其概率为2==48P ππ， 故选A ．【名师点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题．15．【新疆维吾尔自治区2019年普通高考第一次适应性检测】若点 ， 满足，则 的取值范围是 A ． ， B ． ， C ． ，D ． ，【答案】A【解析】 化简为 ， 根据不等式组画出可行域，是半个圆弧，令z = ，y =-x +z ，根据图象得到当直线过点（1，0）时目标函数取得最小值代入得到最小值是1，当直线和半圆相切时，取得最大值， 此时根据点到直线的距离等于半径得到， ，所以 的取值范围是 ， ．故选A ．【名师点睛】利用线性规划求最值的步骤： （1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ 型）、斜率型（型）和距离型（ 型）．（3）确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． （4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．16．【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试】已知实数x ，y 满足342y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最大值是______________． 【答案】8【解析】由约束条件可知可行域为图中阴影部分所示：其中(2,2)A --，(1,1)B ，(2,2)C -，又z =z 的几何意义为可行域中的点到直线30x y +=倍，可行域中点到直线30x y +=距离最大的点为(2,2)A --．max 3(2)28z ∴=⨯--=，故填8．【名师点睛】本题考查利用线性规划求解最值的问题，关键是能够明确目标函数所表示的几何意义，利用数形结合来进行求解．17．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一】若满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z y x =-的最大值为______________． 【答案】1-【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解析】由约束条件32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩作出可行域如下图中阴影部分所示，化目标函数2z y x =-为2y x z =+，由图可得，当直线2y x z =+过点B 时，直线在y 轴上的截距最大，由2x y x y +=⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩即(1,1)B ，则z 有最大值121z =-=-，故答案为1-．18．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试二】设x ，y 满足约束条件02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______________． 【答案】3【分析】画出可行解域，平移直线2y x z =-+，找到z 的最大值． 【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，当直线2y x z =-+经过A 点时，z 有最大值，解2y xx y =⎧⎨+=⎩得(1,1)A ，所以max 23z x y =+=．19．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】已知x ，y 满足约束条件11222x y x y -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩，则3z x y =+的最大值为______________．【答案】3【分析】先根据约束条件画出可行域，求出各直线的交点，通过分析能求出目标函数的最大值． 【解析】根据约束条件可以画出可行域，如下图所示：由3z x y =+，可知直线3y x z =-+过A (1，0)时，z 有最大值为3103⨯+=．【名师点睛】本题考查了线性归划问题．解决此类问题的关键是画出可行域，然后根据目标函数的几何意义求出最值．20．【甘肃省、青海省、宁夏回族自治区2019届高三5月联考】设x ，y 满足约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值是______________． 【答案】0【分析】由约束条件作出可行域，再由目标函数可化为y x z =-+，当直线y x z =-+在y 轴截距最小时，目标函数取最小值，结合图象即可得出结果．【解析】由约束条件2020260x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩作出可行域如下：因为目标函数z x y =+可化为y x z =-+，所以，当直线y x z =-+在y 轴截距最小时，目标函数取最小值， 由图象可得，当直线y x z =-+过点A 时，截距最小，即z 最小； 易知(2,2)A -，所以min 220z =-=．故答案为0．21．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟】若实数,x y 满足不等式组2326y x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，则1yz x+=的取值范围为______________． 【答案】13(,]22-【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，可行域是直线AB 右侧以及直线1y x =+的下侧，20x y +=的上侧，共同构成的开放区域，1yz x+=表示的是区域内的点(,)x y 和点(0,1)-两点构成的斜率， 根据图象可知当两点构成的直线和23x y +=平行时， 斜率取得最小值但是永远取不到这种情况，代入得到斜率为12-； 当直线过点A 时构成的直线的斜率最大，联立1(2,2)260y x A x y =+⎧⇒⎨+-=⎩，目标函数值为32．故答案为13(,]22-．22．【重庆市巴蜀中学2019届高三适应性月考七】已知实数x ，y 满足不等式组22020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则该不等式组表示的区域面积为______________． 【答案】3【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示， 易得(0,2)A ，(1,0)B -，(2,0)C ， 则三角形ABC 的面积13232S =⨯⨯=， 故答案为3．23．【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测】若实数 ， 满足约束条件，则 的最大值是______________． 【答案】2【分析】作出不等式组表示的平面区域，平移目标函数所表示的直线，可得出目标函数的最大值． 【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，可变形为 ，表示斜率为的直线， 平移该直线，当直线经过点 ， 时， 取得最大值， 故 ．24．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】已知x ，y 满足约束条件223250x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则||z x y =-的取值范围为______________．【答案】5[0]2，【分析】先画出可行域，求x y -的范围，再求||z x y =-的取值范围．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易得1(,2)3G ，1(2,)2H -， 作直线0x y -=，结合图象可知5532x y -≤-≤，所以有502z ≤≤． 故||z x y =-的取值范围为5[0]2，．25．【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】设,x y 满足约束条件1010220y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最小值是______________． 【答案】2-【分析】画出约束条件所表示平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求得结果． 【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示， 目标函数2z x y =-化为122z y x =-，当直线122zy x =-过点A 时， 此时在y 轴上的截距最大，目标函数取得最小值， 又由1010y x y -=⎧⎨--=⎩，解得(0,1)A ，所以目标函数的最小值为min 022z =-=-．【名师点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．26．【陕西省汉中市2019届高三年级教学质量第二次检测】不等式组20100x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积等于______________． 【答案】14【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组所表示的平面区域，判断平面区域的形状，最后求出面积． 【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，通过上图，可以发现平面区域是个三角形，解方程组2010x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得A 点坐标为31(,)22，点B 坐标为（1，0），点C 坐标为（2，0）因此三角形ABC 的面积为111(21)224⨯-⨯=， 所以不等式组20100x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域的面积等于14．27．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】若,x y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为______________．【答案】2【分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数2z x y =+可化为122zy x =-+，因此当直线122zy x =-+在y 轴上截距最小时，2z x y =+取最小，结合图象即可求出结果．【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，因为目标函数2z x y =+可化为122zy x =-+， 因此当直线122zy x =-+在y 轴上截距最小时，2z x y =+取最小． 由图象易得，当直线122zy x =-+过点(2,0)A 时，在y 轴上截距最小，即min 2z =．故答案为2．【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图象即可求解，属于常考题型．28．【青海省西宁市湟川中学2019届高三上学期第三次月考】若,x y 满足约束条件21022020x y x y x y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，3z x y m =++的最小值为1，则m =______________．【答案】4【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，3z x y m =++取最小值时，即3y x m z =--+在y 轴截距最小，平移直线3y x =-可知，当3y x m z =--+过A 点时，在y 轴截距最小，由220210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩得(1,0)A -，min 301z m ∴=-++=，解得4m =． 29．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】已知x ，y 满足约束条件223260x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则z x y =-的取值范围为______________． 【答案】4[2]3-，【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示， 因目标函数z x y =-可化为y x z =-，所以目标函数表示直线y x z =-在y 轴截距的相反数，根据图象可得，当直线y x z =-过点B 时，截距最小，即z 最大； 当直线y x z =-过点A 时，截距最大，即z 最小；由题意易得(2,0)B ；由23260y x y =⎧⎨+-=⎩得2(,2)3A ，因此max 202z =-=，min 24233z =-=-，所以z x y =-的取值范围为4[2]3-，．【名师点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解，属于常考题型．30．【内蒙古2019届高三高考一模】设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为______________． 【答案】256【分析】先根据条件画出可行域，设z ax by =+，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y 轴上的截距，只需求出直线z ax by =+，过可行域内的点(4,6)时取得最大值，从而得到一个关于a ，b 的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时， 目标函数(0,0)z ax by a b =+>>取得最大12，即4612a b +=，即236a b +=， 而232323()6a b a b a b ++=+=131325()2666b a a b ++≥+=，故23a b +的最小值为256．。