2017年电大《微积分初步》形成性考核册

１8．下列各函数对中，（）中的两个函数相等．答案：D A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．2)(xx f =，x x g =)(C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(=D ．3ln )(x x f =x x g ln 3)(= 提示：两个函数相等，必须是对应的规则相同，定义域相同。

上述答案中，A 定义域不同；B 对应的规则不同；C 定义域不同；D 对应的规则相同，定义域相同9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ ）答案：C.A ．x 1B ．xx sin C ．)1ln(x +D ．2xx提示：以0为极限的变量称为无穷小量。

上述答案中，当0→x 时，A 趋向∞；B 的极限为1；C 的极限为0；D 趋向∞。

10．当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x处连续. 答案：BA ．0B ．1C ．2D ．1-提示：当)()(lim 00x f x f x x =→时，称函数)(x f 在0x 连续。

因1)1(lim )(lim20=+=→→x x f x x k f ==)0(，所以当=k 1时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续11．当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续 答案：DA ．0B ．1C ．2D ．3提示：当)()(lim 00x f x f x x =→时，称函数)(x f 在0x 连续。

因为3)2(lim )(lim=+=→→x x x e x f k f ==)0(，所以当=k 3时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x ，在0=x 处连续12．函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ）答案：A A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点提示：若)(x f 在0x 有下列三种情况之一，则)(x f 在0x 间断：①在0x 无定义；②在0x 极限不存在；③在0x 处有定义，且)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→。

《微积分初步》形成性考核册题修改正式版一、填空题（每小题2分，共20分）1.函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：),3()3,2[+∞Y 提示：关于)2ln(1-x ，要求分母不能为0，即0)2ln(≠-x ，也确实是3≠x ； 关于)2ln(-x ，要求02>-x ，即2>x ；因此函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是),3()3,2[+∞Y 2．函数xx f -=51)(的定义域是 ． 答案：)5,(-∞ 提示：关于x-51，要求分母不能为0，即05≠-x ，也确实是5≠x ； 关于x -5，要求05≥-x ，即5≤x ；因此函数xx f -=51)(的定义域是)5,(-∞3.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ． 答案：]2,1()1,2(---Y 提示：关于)2ln(1+x ，要求分母不能为0，即0)2ln(≠+x ，也确实是1-≠x ； 关于)2ln(+x ，要求02>+x ，即2->x ； 关于24x -，要求042≥-x ，即2≤x 且2-≥x ；因此函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(---Y4.函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f． 答案：62+x 提示：因为6)1(72)1(22+-=+-=-x x x x f ，因此6)(2+=x x f5．函数⎩⎨⎧>≤+=0e02)(2x x x x f x，则=)0(f ． 答案：2 提示：因为当0=x 是在0≤x 区间，应选择22+x 进行运算，即220)0(2=+=f6．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ． 答案： 12-x 提示：因为1)1(2)1(22--=-=-x x x x f ，因此1)(2-=x x f7．函数1322+--=x x x y 的间断点是 ． 答案： 1-=x提示：若)(x f 在0x 有下列三种情形之一，则)(x f 在0x 间断：①在0x 无定义；②在0x 极限不存在；③在0x 处有定义，且)(lim 0x f xx → 存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→。

微积分初步形成性考核作业【原体+答案】一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是．解：020)2ln({>-≠-x x ， 23{>≠x x所以函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是),3()3,2(+∞⋃2．函数xx f -=51)(的定义域是．解：05>-x ，5<x 所以函数xx f -=51)(的定义域是)5,(-∞3．函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是．解：⎪⎩⎪⎨⎧≥->+≠+04020)2ln(2x x x ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-->-≠2221x x x 所以函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(-⋃-- 4．函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f ．解：72)1(2+-=-x x x f 6)1(61222+-=++-=x x x所以=)(x f 62+x5．函数⎩⎨⎧>≤+=0e02)(2x x x x f x ，则=)0(f ．解：=)0(f 2202=+6．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．解：x x x f 2)1(2-=-1)1(11222+-=-+-=x x x ，=)(x f 12+x7．函数1322+--=x x x y 的间断点是．解：因为当01=+x ，即1-=x 时函数无意义 所以函数1322+--=x x x y 的间断点是1-=x8．=∞→xx x 1sinlim ． 解：=∞→x x x 1sinlim 111sinlim =∞→xx x9．若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．解： 因为24sin 44sin lim 4sin 4sin lim 00===→→kkxkx x xk kx x x x所以2=k10．若23sin lim 0=→kxxx ，则=k ．解：因为2333lim 33lim 00===→→kx x sim k kx x sim x x所以23=k 二、单项选择题（每小题2分，共24分）1．设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数解：因为y e e e e x y x x x x =+=+=-----22)()( 所以函数2e e xx y +=-是偶函数。

电大资料整理电大微积分初步考试小抄一、填空题 ⒈函数xx f -=51)(的定义域是→x ＜5⒉∞→xx x sin lim1sin lim =∞→x x ，01→∞→x 时， ⒊已知xx f 2)(=，则)(x f ''⒋若⎰+=c x F x xf )(d )(，则⎰-x x f d )32(⒌微分方程x y y x =+'''e sin )(y '''6.函数)2ln(1)(+=x x f }{}{}122-1ln )2(ln 2-x 02ln 0≠+⇒≠+⇒≠+x x x x ，＞，＞，＞∴{}1- 2-x |≠且＞x7.→xx x 2sin lim 0 211212lim 2sin lim 00=⋅=→→x x x x x x 21:222sin lim0==→x x x 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x 2-x)(x 2-5x+6)=x 4-5x 3+6x x 2-6x=x 4-6x 3+11x 2-6x , 622184y 23x -+-='x x⇐（把0带入X ）,6)0(-='∴y9.⎰-x x d ed 2)()(x f dx x f ='⎰）（或dx x f dx xf d )())((=⎰ 10.微分方程1)0(,=='y y y y y ='y dxdy= ⎰⎰==∴dx dy dx y dy y 两边积分 ec x y +=∴又y(0)=1 (x=0 , y=1) c x y +=∴ln 010==∴+c e c，11.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是⎩⎨⎧-≠≤-⇒⎩⎨⎧≠+≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠++≥-122122x 21ln )2ln(2-2x 2-0)2(ln 02042x x x x x x x x ＜＜＞＞12.若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则k )()(lim00x x f x f x =→ ()(x f 在x 0处连续) ∵k f =)0( 113sin 0lim )13sin (0lim =+⋅→=+→∴x x x x x x （无穷小量x 有界函数）13.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是x x y 2== ， x y 2121-=' 切k y ==='∴211x | 2121y )1(11y +=⇒-=-∴∴x x 方程 14.'⎰x x s d )in (15.微分方程y y x y sin 4)(5=+''16.函数)2ln()(-=x xx f {}3x 2x |122)2ln(20)2ln(02≠⇒⎩⎨⎧≠-⇒⎩⎨⎧≠-⇒⎩⎨⎧≠--且＞＞＞＞x xx nx x x x17.∞→xxx 2sin lim 18.已知x x f 3)(+=，则)3(f '3ln 3)(2xx f +=' 3ln 2727)3(+='∴f19.⎰2de x 20.微分方程x y xyy sin 4)(7)4(=+ 二、单项选择题⒈设函数2e e xx y +=-，则该函数是（偶函数）．∵所以是偶函数)(2e e )(x f x f xx =+=--⒉函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（2,1==x x ）分母无意义的点是间断点∴2,1,0232===+-x x x x电大资料整理⒊下列结论中（)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导）正确．可导必连续，伹连续并一定可导；极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上⒋如果等式+-=c x x f xx 11ed e )(，则=)(x f )()1()()(,1u )(),()(,)()(111'-∙='-∙'='∴=-=='∴='∴+=⎰---x e xe e e y xe xf x F C x F dx x f u u x u x，令22112121)()()(x x f x e ex f x e x e xxxu =∴=∴=∙=----⒌下列微分方程中，（x yx y y sin =+' ）是线性微分方程．6.设函数2e e xx y --=，则该函数是（奇函数）．7.当=k （2 ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(2x k x xx f 在0=x 处连续.8.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（x -3）．9.10.11.设1)1(2-=+x xf ，则(x f 12.若函数f (x )在点x 0处可导，但)(0x f A ≠)是错误的．13.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（先减后增） 14.=''⎰x x f x d )((c x f x f x +-')()(） 16.17.当=k （2）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1e )(x k x x f x 在0=x 处连续.18.函数12+=x y 在区间)2,2(-是（先单调下降再单调上升）19.在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x 2+ 3）．20.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为（xy e =）．三、计算题⒈计算极限423lim 222-+-→x x x x ．解:41)2()1(lim 2)2(1(lim22=+-=---→→x x x x x x x ） ⒉设x x y x+=-2e ，求y d .解：xe x exx 23221x2-+=⨯+-e y x21-=e y u=1，u= -2x)(11e y u =′·(-2x)′=e u·（-2）= -2·e-2x∴y ′= -2e -2x+x 2123∴dy=(-2·e -2x+x 2123)dx⒊计算不定积分x x xd sin ⎰解：令u=x 21x =,u ′=xx 212121=-∴dx xd u 21=∴u sin ·2du=⎰udu sin 2=2(-cos)+cc x x xde 210x∴⎰1u v ′dx=uv x vd u -110|'⎰1)(0111110|||=-'-=-=-⋅=∴⎰⎰e eee e e e e x dxx dx x x x xx x∴原式=25.计算极限9152lim 223--+→x x x x34353lim )3)(3()3)(5(3lim =++→=+--+→x x x x x x x x电大资料整理6.设x x x y cos ln +=，求y d 解：x x x y xxcos ln cos ln 2321+=+⋅=y 1=lncosxy 1=lnu1,u=cosx ∴xx x u x u ycos sin )sin (1)(cos )(ln 11-=-⋅='⋅'=y 1=xx x cos sin 2321-∴dy=(xx x cos sin 2321-)dx7.计算不定积分x x d )21(9⎰-解：dx x ⎰-)21(9令u=1-2x , u ′= -2 ∴du dx x du 212-=⇒-=c c dudu x u u u+-=++⋅-=-=-⋅-⎰⎰20192121)21()21(1010998.计算定积分x x xd e 10⎰-解：u=x,e e xxv v ---=='， )()(11111|x d dxx dx x e e e e e x xx x--=--⋅-=⋅⎰⎰⎰-----=1)11(1|11=--=---ee e e x9.计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x3212lim )4)(1()4)(2(lim44=--=----→→x x x x x x x x10.设x y x3sin 2+=，求y d y 1=sin3x y 1=sinu , u=3x ,x y3cos 3x 3sinu 1='⋅'='）（）（∴y ′=2xln2+3cos3x ∴dy=(2xln2+3cos3x)dx 11.计算不定积分x x x d cos ⎰⎰xdx x cos u=x , v ′=cosx , v=sinx ⎰⎰+--=-⋅=cx x x xdx x x xdx x )cos (sin sin sin cos12.计算定积分x x x d ln 51e1⎰+⎰⎰⎰⎰+=+=+e e eedxxx dxx x x dxx x dx x 11e111ln 51ln 5ln ln 51|令u=lnx, u ′=x1, du=x 1dx , 1≤x ≤e 0≤lnx ≤1 ∴2121ln |102101===⎰⎰u udu dx x x e ∴原式=1+5·21=2713.计算极限623lim 222-++-→x x x x x解：5131lim )2)(3x ()1)(2(lim22=+-=-+--→→x x x x x x x14.设xx y 12e =，求y '解：ex xy 12⋅=(e yx11=) , e y u=1, xu 1=, xe x e e y xuux 21211)1()1()(-=-⋅='⋅'=)ee xe x e e x e x x1x12x 12x1x12x122)(2)()(y -=-⋅+='⋅+⋅'='∴x x15.计算不定积分x x d )12(10⎰-解：dx x ⎰-)12(10u=2x-1 ,d '=2 du=2dx∴c du dudx u uu x +⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰-1121212111101010)12(c x +=-）（121121 16.计算定积分⎰1d e x x x解：dx x e x⎰⋅1u=x , e xv =' , e xv =1)1(1110|=--=-⋅=⎰⎰e e dx x dx x e e e xx x四、应用题（本题16分）电大资料整理用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h,表面积为s ，且有h=x24所以S(x)=x 2+4xh=x 2+x16'xx S 2162-='令S '（x ）=0，得x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的表面积最小。

微积分初步作业1解答————函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ．解：020)2ln({>-≠-x x ， 23{>≠x x所以函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是),3()3,2(+∞⋃2．函数xx f -=51)(的定义域是 ．解：05>-x ，5<x 所以函数xx f -=51)(的定义域是)5,(-∞3．函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．解：⎪⎩⎪⎨⎧≥->+≠+04020)2ln(2x x x ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-->-≠2221x x x所以函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(-⋃--4．函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f．解：72)1(2+-=-x x x f 6)1(61222+-=++-=x x x 所以=)(x f 62+x5．函数⎩⎨⎧>≤+=0e2)(2x x x x f x ，则=)0(f ．解：=)0(f 2202=+6．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．解：x x x f 2)1(2-=-1)1(11222--=-+-=x x x ，=)(x f 12-x7．函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．解：因为当01=+x ，即1-=x 时函数无意义所以函数1322+--=x x x y 的间断点是1-=x8．=∞→xx x 1sin lim ．解：=∞→x x x 1sin lim 111sinlim=∞→xx x 9．若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．解： 因为24sin 44sin lim 4sin 4sin lim 00===→→kkxkx x xk kx x x x所以2=k10．若23sin lim0=→kxxx ，则=k ．解：因为2333lim 33lim 00===→→kx x sim k kx x sim x x所以23=k二、单项选择题（每小题2分，共24分）1．设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数解：因为y e e e e x y xx x x =+=+=-----22)()( 所以函数2e e xx y +=-是偶函数。

微积分初步形成性考核作业（二）解答（除选择题）————导数、微分及应用一、填空题（每小题2分，共20分） 1．曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的斜率是 ．解：xx f 21)(='，斜率21)1(='=f k2．曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 解：x e x f =')( ，斜率1)0(0=='=e f k所以曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是：1+=x y 3．曲线21-=x y 在点)1,1(处的切线方程是．解：2321--='xy ，斜率21211231-=-='==-=x x xy k所以曲线21-=xy 在点)1,1(处的切线方程是：)1(211--=-x y即：032=-+y x 4．=')2(x．解：=')2(xxxxx22ln 22ln 212=⋅5．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) = ．解：6)3)(2)(1()0(-=---='y 6．已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ．解：3ln 33)(2xx x f +='，)3(f '3ln 2727+=7．已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 解：xx f 1)(='，21)(xx f -=''8．若xx x f -=e )(，则='')0(f．解：x x xe e x f ---=')(，xx x x x xe e xe e e x f -----+-=---=''2)()(='')0(f 2-9．函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 解：0)1(6≥-='x y ，1≥x所以函数y x =-312()的单调增加区间是),1[+∞10．函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．解：02)(≥='ax x f ，而0>x ，所以0≥a 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增2．满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 3．若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）． A . 2 B . 1 C . -1 D . -2 4．设y x =lg 2，则d y =（ ）． A ．12d xx B ．1d x x ln 10C ．ln 10xx d D ．1d x x5．．设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '-6．曲线1e2+=xy 在2=x 处切线的斜率是（ ）． A ．4e B ．2e C ．42e D ．2 7．若x x x f cos )(=，则='')(x f （ ）．A ．x x x sin cos +B ．x x x sin cos -C ．x x x cos sin 2--D ．x x x cos sin 2+8．若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos9．下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．若)(x f 在[a ，b ]内恒有0)(<'x f ，则在[a ，b ]内函数是单调下降的. 10．若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微11．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．sin x B ．e x C ．x 2 D ．3 - x 12.下列结论正确的有（ ）． A ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0 B ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点 C ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点 D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点三、解答题（每小题7分，共56分）⒈设x x y 12e =，求y '．解：x xx xe xexe x xey 1121212)1(2-=-+='x e x 1)12(-=2．设x x y 3cos 4sin +=，求y '. 解：x x x y sin cos 34cos 42-=' 3．设x y x 1e 1+=+，求y '.解：211121xex y x -+='+4．设x x x y cos ln +=，求y '. 解：x x xx x y tan 23cos sin 23-=-+='5．设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d .解：两边微分：0)(22=+-+xdy ydx ydy xdx x d x y d x x d y y d y 22-=-dx xy x y dy --=226．设)(x y y =是由方程1222=++xy y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边对1222=++xy y x 求导，得：0)(222='++'+y x y y y x 0='++'+y x y y y x ，)()(y x y y x +-='+，1-='y dx dx y dy -='=7．设)(x y y =是由方程4e e 2=++x x y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边微分，得：02=+++xdx dy xe dx e dx e yy xdx x e e dy xe yx y )2(++-=，dx xexe e dy yyx2++-=8．设1e )cos(=++yy x ，求y d ． 解：两边对1e )cos(=++yy x 求导，得： 0)s i n ()1(='++'+-ye y y x y 0)s i n ()s i n (='++'-+-ye y y x y y x )s i n ()]sin([y x y y x e y+='+- )s i n ()s i n (y x e y x y y+-+='dx y x e y x dx y dy y)sin()sin(+-+='=。

《微积分初步》形成性考核作业（一）参考答案——函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分） 1．()()3,+∞2，3 或填{}23x x x >≠且； 2．(),5-∞或填{}5x x <；3．()(]2,11,2--⋃-或填{}121x x x -<≤≠-且； 4．26x +； 5．2； 6．21x -；7.1x =-； 8.1； 9.2； 10.32二、单项选择题（每小题2分，共24分）1.B2.A3.D4.C5.D6.D7.C8.D9.C 10.B 11.D 12.A 三、解答题（每小题7分，共56分）1、1/4;2、7/2;3、3/2;4、2/3;5、2；6、-1/2;7、-1/8; 8/16《微积分初步》形成性考核作业（二）参考答案——导数、微分及应用一、填空题（每小题2分，共20分）1．12； 2．10x y -+=； 3．230x y +-=； 41； 5．6-； 6．()271ln3+；7.21x -；8.2-； 9.()1,+∞； 10. 0a >.二、单项选择题（每小题2分，共24分）1.D2.C3.C4.B5.D6.C7.C8.C9.A 10.B 11.B 12.A三、解答题（每小题7分，共56分）1．解：()111221221xxxy xe x e x e x⎛⎫'=+-=- ⎪⎝⎭. 2．解：24cos 43sin cos y x x x '=-. 3．解：21y x'=-. 4．解：sin tan cos x y x x '==. 5．解：方程两边同时对x 求微分，得()()2202222xdx ydy xdy ydx x y dx x y dyx ydy dxx y+--=-=--∴=-6. 解： 原方程可化为()21x y +=1,1x y y x ∴+=±=-±1,y dy dx '∴=-=- 7. 解：方程两边同时对x 求微分，得20x y y e dx e dy xe dx xdx +++=()2y x y xe dy e e x dx =-++2x y ye e xdy dx xe++∴=-. 8. 解：方程两边同时对x 求微分，得()()sin 0y x y dx dy e dy -+++=()()sin sin yx y dy dx e x y +∴=-+ 微积分初步》形成性考核作业（三）参考答案——不定积分、极值应用问题一、填空题（每小题2分，共20分）1．2ln 2x x x c -+； 2．24x e --； 3．()1x x e +； 4．2cos2x ； 5．1x； 6．4cos2x -；7.2x e dx -； 8.sin x c +； 9.()1232F x c -+； 10. ()2112F x c --+.二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1.A 3.A 4.A 5.A 6.A 7.C 8.B 三、解答题（每小题7分，共35分）1．解：原式＝32sin 3ln cos 3x dx x x c x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰.2．解：原式＝()()()()101111111121212121221122x d x x c x c --=⨯-+=-+⎰.3．解：原式＝111sin cos d c x x x⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭⎰.4．解：原式＝11111cos 2cos 2cos 2cos 2sin 222224xd x x x xdx x x x c -=-+=-++⎰⎰. 5．解：原式＝()1x x x x x x xde xe e dx xe e c x e c -------=-+=--+=-++⎰⎰. 四、极值应用题（每小题12分，共24分）1．解： 设矩形ABCD 的一边AB x =厘米，则60BC x =-厘米， 当它沿直线AB 旋转一周后，得到圆柱的体积()()260,060V x x x π=-<<令()()2602600V x x x π⎡⎤'=---=⎣⎦得20x = 当()0,20x ∈时，0V '>；当()20,60x ∈时，0V '<.20x ∴=是函数V 的极大值点，也是最大值点.此时6040x -=答：当矩形的边长分别为20厘米和40厘米时，才能使圆柱体的体积最大. 2. 解：设成矩形有土地的宽为x 米，则长为216x米， 于是围墙的长度为()4323,0L x x x=+> 令243230L x '=-=得()12x =取正易知，当12x =时，L 取得唯一的极小值即最小值，此时21618x= 答：这块土地的长和宽分别为18米和12米时，才能使所用的建筑材料最省. 五、证明题（本题5分）《微积分初步》形成性考核作业（四）参考答案——定积分及应用、微分方程一、填空题（每小题2分，共20分）1．23-； 2．2； 3．3221633y x =-； 4．4； 5．24a π； 6．0；7.12； 8.x y e =；9.3x y ce -=； 10. 4.二、单项选择题（每小题2分，共20分）1.A2.A3.A4.D5.D6.B7.B8.D9.C 10.B 三、计算题（每小题7分，共56分）1．解：原式＝()()()2ln 23ln 20011911133x xx e d e e ++=+=-⎰.2．解：原式＝()()()21111715ln 15ln 15ln 5102e ex d x x ++=+=⎰.3．解：原式＝()111100011x x x xxde xe e dx e e e e =-=-=--=⎰⎰.4．解：原式＝02cos 2cos 4sin 4222x x x xd x ππ⎡⎤-=-+=⎢⎥⎣⎦⎰.5．解：原式＝22220000cos cos cos 0sin 1xd x x x xdx x ππππ-=-+=+=⎰⎰.6. 解：()()21,1P x Q x x x==+()()()()()()112ln 2ln 342 1 11111 42P x dx P x dx dx dx x x x x y e Q x e dx c e x e dx c e x e dx c x x dx c x x x c x ---⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎰⎰=++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⎣⎦⎡⎤=++⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰通解 即通解31142c y x x x=++ 7. 解：()()1,2sin 2P x Q x x x x=-=()()()()11ln ln 2sin 2 2sin 21 2sin 2 cos 2P x dx P x dx dx dx x xx x y e Q x e dx c e x xe dx c e x xe dx c x x x dx c x x x c ---⎡⎤⎰⎰∴=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰通解即通解为()cos2y x x c =-+.四、证明题（本题4分）()()()()()()()()()()()0000000 aaaaaaaa af x dx f x dxf x dx f x dxf x d x f x dx f x dx f x dxf x f x dx ----+=-+=---+=-+=-+=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰证：左边＝右边()()()()1 0, 01 0, 0,0.x x x f x e x e x f x f x x e '=-<<<'∴<>=--∞证：当时当时从而函数在区间是单调增加的。

微积分初步 作业1 学 号：得 分： 教师签名：————函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数)2-ln(1)(x x f =的定义域是)∞,3(∪)3,2(+2．函数xx f -51)(=的定义域是)5,-3．函数2-4)2ln(1)(x x x f ++=的定义域是]2,1-(∪)1-,2-(4．函数72-)1-(+=x x x f ，则=)(x f 62+x5．函数>+=0e≤2)(2x x x x f x，则=)0(f 2 ． 6．函数x x x f 2-)1-(2=，则=)(x f 1-2x7．函数13-2-2+=x x x y 的间断点是1-=x8．=xx x 1sin lim ∞→ 1 ．9．若2sin 4sin lim 0→=kxxx ，则=k 2 ． 10．若23sin lim0→=kxxx ，则=k 23 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．设函数2e exxy +=，则该函数是（B ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 2．设函数x x y sin 2=，则该函数是（A ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数3．函数222)(xx xx f +=的图形是关于（D ）对称．A ．x y =B ．x 轴C ．y 轴D ．坐标原点 4．下列函数中为奇函数是（ C ）．A ．x x sinB ．x lnC ．)1ln(2x x ++D ．2x x + 5．函数)5ln(41+++=x x y 的定义域为（ D ）． A ．5->x B ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x6．函数)1-ln(1)(x x f =的定义域是（D ）． A ． )∞,1(+ B ．)∞,1(∪)1,0(+C ．)∞,2(∪)2,0(+D ．)∞,2(∪)2,1(+7．设1-)1(2x x f =+，则=)(x f （ C ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2-(x x D ．)1-)(2(x x + 8．下列各函数对中，（D ）中的两个函数相等．A ．2)()(x x f =，x x g =)(B ．2)(x x f =，x x g =)(C ．2ln )(x x f =，9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）. A ．x1B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2xx10．当=k （ B ）时，函数=+=,≠,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．111．当=k （ D ）时，函数=+=,≠,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.。

国家开放大学《微积分基础》形成性考核作业1-4参考答案形成性考核作业1一、填空题（每小题2分，共20分）1．函数的定义域是　（2,3）U （3，+∞）　．2．函数的定义域是　（-∞，5）　．3．函数的定义域是 （-2,-1）U （-1,2] ．4．函数，则 f(x)=x 2+6 ．5．函数，则　2 ．6．函数，则　x 2―1 ．7．函数的间断点是　x=-1　．8． 1 ．9．若，则　2　．10．若，则　3/2　．二、单项选择题（每小题2分，共24分）1．设函数，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数2．设函数，则该函数是（A ）．)2ln(1)(-=x x f xx f -=51)(24)2ln(1)(x x x f -++=72)1(2+-=-x x x f =)(x f ⎩⎨⎧>≤+=0e 02)(2x x x x f x =)0(f x x x f 2)1(2-=-=)(x f 1322+--=x x x y =∞→xx x 1sinlim 2sin 4sin lim 0=→kxxx =k 23sin lim 0=→kxxx =k 2e e xx y +=-x x y sin 2=A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数3．函数的图形是关于（D ）对称．A ．B ．轴C ．轴D ．坐标原点4．下列函数中为奇函数是（C ）．A ．B ．C ．D ． 5．函数的定义域为（D ）． A ． B ． C ．且 D ．且 6．函数D ）． A ． B ． C ． D ．222)(xx x x f -+=x y =x y x x sin x ln )1ln(2x x ++2x x +)5ln(41+++=x x y 5->x 4-≠x 5->x 0≠x 5->x 4-≠x 1()ln(1)f x x =-(1,225⋃）（，）(1,225]⋃）（，(5]-∞，),2()2,1(+∞⋃7．设，则（C ）A ．B ．C ．D ．8．下列各函数对中，（D ）中的两个函数相等．A ．，B ．，C ．，D ．，9．当时，下列变量中为无穷小量的是（C ）.A ．B ．C ．D ．10．当（B ）时，函数，在处连续.A ．0B ．1C ．D ．11．当（D ）时，函数在处连续.A ．0B ．12(1)+21f x x x +=-=)(x f 21x -22x -2+1x 22x +2)()(x x f =x x g =)(2)(x x f =x x g =)(2ln )(x x f =x x g ln 2)(=3ln )(x x f =x x g ln 3)(=0→x x 1xx sin )1ln(x +2x x =k ⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f 0=x 21-=k e 2,0(),0x x f x k x ⎧+≠=⎨=⎩0=xC ．D ． 12．函数的间断点是（A ） A ． B ． C ． D ．无间断点三、解答题（每小题7分，共56分）⒈计算极限=(X ―1)(X ―2)(X +2)(X ―2)=x ―1x +2=142．计算极限=lim x→1(x +6)(x ―1)(x +1)(x ―1)=lim x→1(x +6)(x +1)=72 3．=lim x→3(x +3)(x ―3)(x ―3)(x +1)=lim x→3(x +3)(x +1)=324．计算极限=lim x→4(x ―2)(x ―4)(x ―1)(x ―4)=lim x→4(x ―2)(x ―1)=235．计算极限=lim x→2(x ―2)(x ―4)(x ―2)(x ―3)=lim x→2(x ―4)(x ―3)=26．计算极限=limx→0(1―x ―1)(1―x +1)x(1―x +1)=lim x→0―x x (1―x +1)=lim x→0―1(1―x +1)=―12 7．计算极限=limx→0(1―x ―1)(1―x +1)sin4x(1―x +1)=―188．计算极限=limx→0sin4x(x +4+2)x=16形成性考核作业2一、填空题（每小题2分，共20分）23233)(2+--=x x x x f 2,1==x x 3=x 3,2,1===x x x 42lim 222---→x x x x 165lim 221--+→x x x x 329lim 223---→x x x x 4586lim 224+-+-→x x x x x 6586lim 222+-+-→x x x x x x x x 11lim 0--→x x x 4sin 11lim 0--→244sin lim-+→x x x1．曲线在点的斜率是　1/2 ． 2．曲线在点的切线方程是 y=x+1 ． 3．曲线在点处的切线方程是 y =―12x +32 ．4．2x ln22x．5．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则(0) = -6 ． 6．已知，则=　27+3x ln3　． 7．已知，则=―1x 2 8．若，则-2 ．9．函数的单调增加区间是　[1,+∞)　．10．函数在区间内的驻点为1 ．二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．函数在区间是（D ）　A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增2．满足方程的点一定是函数的（C ）.A ．极值点B ．最值点C ．驻点D ．间断点3．若，则=（C ）．A . 2B . 1C . -11)(+=x x f )2,1(x x f e )(=)1,0(21-=x y )1,1(=')2(xy 'x x x f 3)(3+=)3(f 'x x f ln )(=)(x f ''()sin f x x x =()2f π''=2)1(3-=x y 31()3f x x x =-(0,2)x =2)1(+=x y )2,2(-0)(='x f )(x f y =x x f x cos e )(-=)0(f 'D . -24．设，则（B ）． A ． B ．C ．D ．5．设是可微函数，则（D ）．A ．B ．C ．D ．6．曲线在处切线的斜率是（C ）．A ．B ．C ．D ．7．若，则（C ）．A ．B ．C ．D ．8．若，其中是常数，则（C ）．x y 2lg ==y dx xd 21x x d 10ln 1x xd 10ln x xd 1)(x f y ==)2(cos d x f x x f d )2(cos 2'x x x f d22sin )2(cos 'x x x f d 2sin )2(cos 2'x x x f d22sin )2(cos '-1e 2+=x y 2=x 4e 2e 42e 2x x x f cos )(=='')(x f x x x sin cos +x x x sin cos -x x x cos sin 2--x x x cos sin 2+3sin )(a x x f +=a ='')(x fA ．B ．C ．D ．9．下列结论中（A ）不正确．A ．在处连续，则一定在处可微.B ．在处不连续，则一定在处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．若在[a ，b ]内恒有，则在[a ，b ]内函数是单调下降的. 10．若函数f (x )在点x 0处可导，则（B ）是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．，但C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微11．下列函数在指定区间上单调下降减少的是（B ）． A ．sin x B ．e x C ．x 2 D ．3 - x12.下列结论正确的有（A ）．A ．x 0是f (x )的极值点，且(x 0)存在，则必有(x 0) = 0B ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点C ．若(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点D ．使不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 三、解答题（每小题7分，共56分）⒈设，求． 23cos a x +a x 6sin +x sin -x cos )(x f 0x x =0x )(x f 0x x =0x )(x f 0)(<'x f A x f x x =→)(lim 0)(0x f A ≠),(+∞-∞f 'f 'f ')(x f '3223++=x x y y '2．设，求.3．设，求.4．设，求.5．设，求.6．设是由方程确定的隐函数，求.7．设是由方程确定的隐函数，求.8．设，求．x x y 2cos +=y'x y x2sin e 1+=yd x x x y cos ln +=yd xx x y -++=1)1sin(2yd )(x y y =422=-+xy y x y')(x y y =4e e 2=++x x y x yd 1e )cos(=++y y x y d形成性考核作业3一、填空题（每小题2分，共20分）1．若的一个原函数为，则 1/x 。

高等数学（B ）（1）第一次作业初等数学知识一、名词解释邻域：设a 和δ是两个实数，且0δ>，满足不等式x a δ-<的实数x 的全体称为a 的δ邻域。

绝对值；数轴上的点a 到原点的距离称为a 的绝对值，记为a 。

数轴：规定了原点、正方向和长度的直线称为数轴。

实数：实数由有理数和无理数组成。

有理数包括整数和分数。

二、 填空题1、绝对值的性质有（0a ≥）、（ab a b =）、（aa b b=）、（a a a -≤≤）、（a b a b +≤+）、（a b a b-≤-）。

2、开区间的表示有（(),a b ）、（ a x b <<）（提示：分别用区间和数轴形式表示）3、闭区间的表示有（[],a b ）、（ a x b ≤≤）。

4、无穷大的记号（∞）。

5．（-∞，+∞）表示（ 全体实数），或记为（ R ）。

6、（-∞，b ）表示（满足不等式x b <的一切实数x ），或记为（x b -∞<<）。

7、（a ，+∞）表示（（满足不等式x a >的一切实数x ），或记为（a x <<+∞）。

8、去心邻域是指（满足不等式x a δ-<且x a ≠）的全体，用数轴表示即为（P7下图）。

9、满足不等式112-<≤-x 的数x 用区间可表示为（11,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦）。

三、回答题1、初等数学为高等数学做了哪些准备？ 答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算转变。

符号是一种更为简洁的语言，没有国界，全世界共享，并且这种语言具有运算能力。

（2）培养严密的逻辑思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。

（3）培养抽象思维的能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。

（4）发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。

2、有理数包括哪些数？答：有理数包括整数和分数。

3、 数轴上二个有理数之间都是有理数吗？ 答：二个有理数之间有有理数，也有无理数。