2019高考数学专题题库及解析 附加题(BC)

绝密★启用前 全国卷Ⅰ2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ． D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年全国高考试题数学江苏卷I 卷一、填空题1.已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x R =>∈，则A B = .答案：{1,6}2.已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 . 答案：23.右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 . 答案：54.函数y =的定义域是 . 答案：{1,7}-5.已知一组数据6，7，8，9，10，则该组数据的方差是 . 答案：536.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 . 答案：7107.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 .答案：y = 解析：由题知0,11692>=-b b，所以2=b，所以渐近线方程为y = 8.已知*{|()}n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和，若2340a a a +=，427S =，则n S 的值是 . 答案：169.如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是 . 答案：10解析：因为121212131313111=⨯⨯===∆∆-C C EC S S C C S ECS VV ABCD BCD ABCD BCD BCDE10120121121=⨯==-V V BCD E10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点， 则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 .答案：4解析：由题设)4,(xx x P +，0>x 所以424222422|4|=⋅≥+=++=x x x x x x x d11.在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(,1)e --（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 . 答案：(,1)e12.如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O ，若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 .13.已知tan 23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是 .答案：10解析： 法一32tan 1)tan 1(tan )4tan(tan -=+-=+αααπαα，解得2tan =α或31-ααααααααπα2222cos sin sin cos cos sin 22)2cos 2(sin 22)42sin(+-+=+=+102tan 1tan 1tan 2222=+-+=ααα 法二 令y x =+=4,παα，则y tan 2tan 3-=α，22)sin(=-x y 则,cos sin 2cos sin 3x y y x -=22sin cos cos sin =-x y x y解得1023sin cos ,52cos sin =-=y x y x 则102sin cos cos sin )42sin(=+=+y x y x πα 14.设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数，当(0,2]x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >，若在区间(0,9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8不同的实数根，则k 的取值范围是 .答案：1[3解析：当]2,0(∈x 时,2)1(1)(--==x x f y 等价于)0(1)1(22≥=+-y y x又)(x f 是周期为4的奇函数,可作出)(x f 在(0.9]上的图象 因为当]2,1(∈x 时,21)(-=x g 且)(x g 的周期为2由图可知:当]8,7(]6,5(]4,3(]2,1(⋃⋃⋃∈x 时, )(x f 与)(x g 的图象有2个交点 由已知, )(x f 与)(x g 的图象在区间(0,9]上有8个交点所以当]9,8(]7,6(]5,4(]3,2(]1,0(⋃⋃⋃⋃∈x 时, )(x f 与)(x g 的图象有6个交点 又当]1,0(∈x 时,)2()(+==x k x g y 表示的直线恒过定点)0,2(-A ,且斜率0>k又)(x g 的周期为2及)(x f 的图象可知:当]7,6(]3,2((⋃∈x 时, )(x f 与)(x g 的图象无交点 所以当]9,8(]5,4(]1,0(⋃⋃∈x 时, )(x f 与)(x g 的图象有6个交点 由)(x f 与)(x g 的周期性可知]1,0(∈x 时, )(x f 与)(x g 的图象有2个交点如图,当线段)10)(2(≤<+=x x k y 与圆弧)10,0(1)1(22≤<≥=+-x y y x 相切时8111|3|22=⇒=+=k k k d 又0>k .所以42=k (此时恰有1个交点) 当线段)10)(2(≤<+=x x k y 过点B(1、1)时,31==AB k k (此时恰有2个交点) 结合图形分析可知:k 的取值范围是)42,31[ 二、解答题15.在ABC D 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .（1）若3a c =，b =2cos 3B =，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B p+的值. 解答：（1）22222222cos 292363b ac ac B c c c c c c=+-?+-创??（2）sin cos cos sin 22A B BB a b ===，sin()cos 2B B p +==16.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =.求证：（1）11//A B 平面1DEC ； （2）1BE C E ^. 解答：（1）证明：“直三棱柱111ABC A B C -，∴四边形11ABB A 是平行四边形，∴11//A B AB又∵D 、E 分别是BC 、AC 的中点，//DE AB ，∴11//A B DE ， 又DE Ì平面1DEC ，111A B DEC Ë， ∴11//A B 平面DEC .（2）证明：∵直三棱柱111ABC A B C -，.∴1AA ^平面ABC ，又∵BE Ì平面ABC ，∴1AA BE ^，又∵AB BC =，E 是AC 的中点，∴AC BE ^，∵1AC AA A =I ，AC Ì平面11ACC A ，1AA Ì平面11ACC A ， ∴BE ^平面11ACC A ，又1EC Ì平面11ACC A ，∴1BE C E ^.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为(1,0)F -，2(1,0)F .过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AG ，并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连结DF .已知152DF =. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标.解：(1)设椭圆C 的焦距为2c因为F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1F 2=2,c=1.又因为DF 1=25,AF 2⊥x 轴,所以23221212=-=F F DF DF 因此2a=DF 1+DF 2=4,从而a=2;由b 2=a 2-c 2,得b 2=3因此,椭圆C 的标准方程为13422=+y x (2)解法一 由(1)知,椭圆13422=+y x ,a=2 因为AF 2⊥x 轴,所以点A 的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4因为点A 在x 轴上方,所以A(1,4);又F 1(-1,0),所以直线AF 1:y=2x+2由⎩⎨⎧=+-+=16)1(2222y x x y 得5x 2+6x-11=0,解得x=1或511-=x 将511-=x 代入22+=x y ,得 512-=y ,因此)512,511(--B 又F 2(1,0),所以直线BF 2:)1(43--=x y由()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=13414322y x x y ，得013672=--x x ，解得1-=x 或713=x ，又因为E 是线段2BF 与椭圆的交点，所以1-=x ,将1-=x 代入)1(43-=x y ，得23-=y ，因此，⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,1E解法二 由（1）知，椭圆13422=+y x ，如图，连接1EF 因为a BF 22=,a EF EF 221=+ ,所以EB EF =1,从而.1B E BF ∠=∠因为B F A F 22=,所以B A ∠=∠,所以E BF A 1∠=∠,从而A F EF 21// , 因为x AF ⊥2轴,所以x EF ⊥1轴;因为()0,11-F ,由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x x ，得23±=y ，又因为E 是线段2BF 与椭圆的交点，所以.23-=y 因此得又因为E 是线段BF2与椭圆的交点,所以3因此E(-1,-),由⎪⎭⎫ ⎝⎛--23,1E 18.如图、一个湖的边界是圆心为O 的绩、湖的一侧有一条直线型公路l 、湖上有桥AB （AB 是湖O 的直径）、规划在公路l 上选两个点P 、Q 、并修建两段直线的道路PB 、QA 、规划要求：线段PB 、QA 上的所有点O 的距离不小于圆O 的半径，已知点A ，8到直线l 的距离分为AC 和BD （C ，D 为垂足）（单位：百米）（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明雅由： （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P 、Q 两点简的距离. 解答：解法一 (1)过A 作AE⊥B D,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE 为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8 因为PB⊥AB,所以os∠PBD=sin∠ABE=54108==,所以15cos =∠=PBDBD PB 因此道路PB 的长为15(百米)(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B.E)到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求若Q 在D 处,连结AD,由(1)知1022=+=ED AE AD ,从而0257AB 2AD cos 222>=⋅-+=∠ BD AB AD BAD所以∠BAD 为锐角所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,因此Q 选在D 处也不满足规划要求 综上,P 和Q 均不能选在D 处 (3)先讨论点P 的位置当∠OBP<90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求; 当∠OBP≥90°时,对线段PB 上任意一点F,OF≥OB,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求 设1P 为l 上一点,且P 1B⊥AB由(1)知.P 1B=15.此时PD=P 1 B sin P 1BD=P 1Bcos∠EBA=95315=⨯ 当∠OBP>90°时,在△PP 1B 中.PB>P 1B=15 可知,d≥15再讨论点Q 的位置由(2)知,要使得15≥QA ,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求 当QA=15时,21322=-=AC QA CQ ,此时,线段QA 上所有点到O 的距离均不小于圆O 的半径 综上,当PB⊥AB,点Q 位于点C 右侧,且213=CQ 时,d 最小, 此时PQ 两点间的距离21317+=++=CQ CD PD PQ 因此, d 最小时,PQ 两点间的距离为21317+ (百米) 解法二 (1)如图,过O 作OH⊥l ,垂足为H以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l 的方程为9=y ,点A.B 的纵坐标分别为3，-3 因为AB 为圆O 的直径,AB=10.所以圆O 的方程为25y x 22=+ 从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB 的斜率为43 因为PB⊥AB,所以直线PB 的斜率为34-直线PB 的方程为32534--=x y所以P(-13,9),153)(94)(-1322=+++=PB因此道路PB 的长为15(百米)(2)①若P 在D 处,取线段BD 点一点)0,4(-E ,则EO=4<5,故P 选在D 处不满足规划要求 ②若Q 在D 处,连结AD,由(1)知D(-4,9) A(4,3),所以线段AD:)44(643≤≤-+-=x x y 在线段AD 上取点)415,3(M ，因为543)415(32322=+<+=OM所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,因此Q 选在D 处也不满足规划要求综上,P 和Q 均不能选在D 处 (3)先讨论点P 的位置当∠OBP<90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求; 当∠OBP≥90°时,对线段PB 上任意一点F 、OF≥OB,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求设1P 为l 上一点,且P 1B⊥AB ,由(1)知.P 1B=15.此时PD=P 1 B sin P 1BD=P 1Bcos∠EBA=95315=⨯ 当∠OBP>90°时,在△PP 1B 中.PB>P 1B=15 可知,d≥15再讨论点Q 的位置由(2)知,要使得15≥QA ,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求 当QA=15时,21322=-=AC QA CQ ,此时,线段QA 上所有点到O 的距离均不小于圆O 的半径 综上,当PB⊥AB,点Q 位于点C 右侧,且213=CQ 时,d 最小, 此时PQ 两点间的距离21317+=++=CQ CD PD PQ 因此, d 最小时,PQ 两点间的距离为21317+ (百米) 19.设函数))()(()(c x b x a x x f ---=，)('x f 为()f x 的导函数. （1）若a b c ==，(4)8f =，求a 的值；（2）若a b ¹，b c =，且()f x 和()f x ¢的零点均在集合{3,1,3}-中，求()f x 的极小值； （3）若0a =，01b <?，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M <. 解答：（1）易知3()()f x x a =-，由8)4(=f 解得4=a . （2）易知2()()()f x x a x b =--， )32)((3)('ba xb x x f +--= 令0)('=x f 得32,ba xb x +== 由}3,1,3{32,,-∈+b a b a 易知213a b+=，则3a =，3b =-， 则2()(3)(3)f x x x =-+，=)('x f 3(3)(1)f x x x ¢=+-，0)('=x f 得1,3-=x所以()f x 的极小值为(1)32f =-（3）可知()(1)()f x x x x b =--，b x b x x f ++-=)1(23)('2因为10≤<b ，所以03)12(2>+-=∆b所以)('x f 有两个不同的零点，设为)(,,2121x x x x <311,3112221+-++=+--+=b b b x b b b x所以)(x f 的极大值)(1x f M = 法一：121311)1()(bx x b x x f M ++-==9)1(9)1(2)913)()1(23(121121+++-+-++-=-b b x b b b x b x b x322)1(2729)1(27)1)(1(2++++++-=--b b b b b b b322)1(27227)1()1(227)1(+++-++=-b b b b b b27427227)1(≤++≤b b 法二：因为10≤<b ，所以)1,0(1∈x当)1,0(1∈x 时，2)1()1)(()(-≤--=x x x b x x x f 令2)1()(-=x x x g ，)1,0(1∈x ，)1)(31(3)('--=x x x g 由0)('=x g 得31=x所以31=x 时，)(x g 的极大值即最大值274)31()(max ==g x g所以)1,0(∈x 时，274)()(≤≤x g x f ，因此274≤M 法三：①当1b =时，2()(1)f x x x =-， =)('(31)(1)f x x x ¢=--，此时易知14()327M f ==，成立； ②当01b <<时；32()(1)f x x b x bx =-++，=)('x f 2()32(1)f x x b x b ¢=-++，由于(0)0f b ->，031)31('<-=b f ，01)1('>-=b f (1)10f b ¢=->， 则存在121013x x <<<<，0)(')('21==x f x f ，且易知1()M f x =， 由=)('x f 221111132()32(1)021x x f x x b x b x -¢=-++=?-， 则223232111121111111113232()(1)(1)2121x x x x M f x x b x bx x x x x x --==-++=-++--22111(1)12x x x -=-， 令1112(,1)3t x =-?，则22422111(1)12111(2)121616x x t t t t x t t--+==-+-.令211()(2)16g t t t t =-+，1(,1)3t Î，)('t g 2221(31)(1)()(0)16t t g t t --¢=<， 则14()()327g t f <=，则427M <； 综上可知427M <成立，证毕. 20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列*{}()n a n N Î满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M 一数列”；（2）已知数列*{}()n b a N Î满足：11b =，1122n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和. ①求数列{}n b 的通项公式：②设m 为正整数，若存在“M －数列”*{}()n c n N Î、对任意正整数k 、当k m £时，都有1k kk c b c +＃成立，求m 的最大值.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”. （2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k kq k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立． 因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分． 解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <-13； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1na =+*,ab ∈N ，求223a b -的值.本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24n n n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n =02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-． 因为*,a b ∈N，所以5(1a =-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=⨯-=-=-． 23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12．X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======． （2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB =≤因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB ，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。

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这些试题不仅考察了学生对数学知识的掌握程度，也考察了他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

下面我们将对2019年高考数学试题进行详细分析，并附上相应的答案，希望能对广大学生有所帮助。

一、选择题部分。

1. 已知集合$A=\{x | -1\leq x\leq 3\}$，$B=\{x | 2\leq x\leq 4\}$，则$A\cap B$的元素个数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3。

解析，$A\cap B$表示集合A和集合B的交集，即同时属于A和B的元素组成的集合。

根据题意可知，$A\cap B=\{x | 2\leq x\leq 3\}$，所以$A\cap B$的元素个数为1，故选B。

2. 曲线$y=\ln x$和直线$y=x-2$的交点坐标为（）。

A. (1, -1)B. (1, 1)C. (2, 0)D. (2, 1)。

解析，曲线$y=\ln x$和直线$y=x-2$的交点坐标即为满足方程$\ln x=x-2$的点的坐标。

通过计算可得，当x=2时，$\ln 2=2-2=0$，所以交点坐标为(2, 0)，故选C。

3. 在$\triangle ABC$中，已知$\angle A=30^\circ$，$\angle B=45^\circ$，$AB=4$，则$AC$的长度为（）。

A. $2\sqrt{2}$B. $2\sqrt{3}$C. $3\sqrt{2}$D. $4\sqrt{2}$。

解析，根据正弦定理可知，$\frac{AB}{\sin B}=\frac{AC}{\sin A}$，代入已知数据可得$AC=\frac{4\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ}=2\sqrt{3}$，故选B。

4. 设随机变量X的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases} kx^2 & 0<x<1 \\ 0 & others \end{cases}$，则k的值为（）。

1.设函数(,)1(0,0)xm f x y m y y ⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭. （1）当3m =时，求(6,)f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）若31240234(4,)a a a a f y a y y y y =++++且332a =，求40i i a =∑； （3）设n 是正整数，t 为正实数，实数t 满足(,1)(,)n f n m f n t =，求证：7(2010,)f f t >-．解：（1）展开式中二项式系数最大的项是第4项＝33633540C y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2分） （2）431240234(4,)(1)a a a a m f y a y y y y y =++++=+，3334322a C m m ==⇒=， 4402(1)811i i a==+=∑； （5分） （3）由(,1)(,)n f n m f n t =可得2(1)(1)()n n n n m m m m m t t+=+=+，即21m m m m t +=+⇒=⇒201020101(1(1)1000f =+=+． 2341234201020102010201011114211227100010001000100033C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++++>++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而1)11()1(),2010(20102010<+=+=---t t m t f ，所以原不等式成立． （10分） 2. 从函数角度看，组合数r n C 可看成是以r 为自变量的函数)(r f ，其定义域是{}n r N r r ≤∈,. （1）证明：)1(1)(-+-=r f rr n r f ； （2）利用（1）的结论，证明：当n 为偶数时，n b a )(+的展开式中最中间一项的二项式系数最大.23．（1）已知*k n ∈N 、，且k n ≤，求证：11C C kk n n k n --=；（2）设数列0a ，1a ，2a ，…满足01a a ≠，112i i i a a a -++=（i =1，2，3，…）．证明：对任意的正整数n ，011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+是 关于x 的一次式．（1）证明：左边!!C !()!(1)!()!kn n n k k k n k k n k ==⋅=---， 右边(1)!!(1)!()!(1)!()!n n n k n k k n k -=⋅=----， 所以11C C kk n n k n --=；（3分）（2）证明：由题意得数列0a ，1a ，2a ，…为等差数列，且公差为100a a -≠.（5分）则011222012()C (1)C (1)C (1)C n n n n n n n n n n p x a x a x x a x x a x --=-+-+-+⋅⋅⋅+ [][]0110010010C (1)+()C (1)+()C n n n n n n n a x a a a x x a n a a x -=-+--+⋅⋅⋅+- 01111222010C (1)C (1)C ()C (1)+2C (1)C n n n n n n n n n n n n n n a x x x x a a x x x x n x ---⎡⎤⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅++---+⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦[]011211010111(1)()C (1)+C (1)C nn n n n n n n a x x a a nx x x x x -------⎡⎤=-++---+⋅⋅⋅+⎣⎦。

绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
理科数学
本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知复数z=2+i，则z z
A. 3
B. 5
C. 3
D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
题先求得z，然后根据复数的乘法运算法则即得.
【详解】∵z2i,z z(2i)(2i)5故选D.
【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.
2.执行如图所示的程序框图，输出的s值为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4。

2019年数学高考试题(带答案)一、选择题1．一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．(4,0) B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,0)2．已知全集{1,3,5,7}U =，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则如图所示阴影区域表示的集合为（ ）A ．{3}B ．{7}C ．{3,7}D ．{1,3,5}3．函数()23x f x x+=的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y x =对称4．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ．53B ．35C ．37D ．575．已知π,4αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．46．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ）A ．B ．C ．D ．7．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是，若0cAC aPA bPB ++=，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形.8．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ．14B ．12C ．22D ．29．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．2n n +<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n=1时211+不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,2k k +<k+1. 那么当n=k+1时()()()2222(k 1)k 1k 3k 2k3k 2k 2(k 2)+++=++<+++++所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *,不等式均成立.则上述证法（ ） A ．过程全部正确 B ．n=1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确11．已知复数 ，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅=（ ） A ．4B ．16C ．8D ．32二、填空题13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．14．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42sin a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________. 16．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．17．函数()23s 34f x in x cosx =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 18．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==则AE AF ⋅的值为 ． 19．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.20．计算：1726cos()sin 43ππ-+=_____． 三、解答题21．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.22．已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．23．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值. 24．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2AB AD ==，2CA CB CD BD ====. （1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点E 到平面ACD 的距离．25．“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000步，（说明：“02000”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000步，C 、50008000步，D 、800010000步，E 、1000012000步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1:4:3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000的人数；（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．26．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。