课时17 平行四边形专题2

平行四边形平行四边形的性质第一课时平行四边形的边、角特征知识点梳理1、有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD记作□ABCD。

2、平行四边形的对边相等，对角相等，邻角互补。

3、两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条直线之间的距离。

知识点训练1．如图，两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成一个四边形，这个四边形是________．2．如图，在□ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，那么图中共有平行四边形( )A．6个B．7个C．8个D．9个3．在□ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，则□ABCD的周长为 cm.4．用40 cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3∶2，则较长的边的长度为 cm.5．在□ABCD中，若∠A∶∠B＝1∶5，则∠D＝；若∠A＋∠C＝140°，则∠D＝．6．如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则□ABCD的周长是．7．如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝53°，则∠BCE的度数为( )A．53°B．37°C．47°D．123°8．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE＝DF.求证：AE＝CF.9．如图，点E，F分别是□ABCD中AD，AB边上的任意一点，若△EBC的面积为10 cm²，则△DCF的面积为。

10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，记△ABO的面积为S1，△COD的面积为S2，则S1，S2的大小关系是( )A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．无法比较11．在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是( )A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1C．2∶2∶1∶1 D．2∶1∶2∶112．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC；②MN＝AM，下列说法正确的是( )A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②13．如图，在□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E，F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则□ABCD的周长为__．14．如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为。

数学教案－平行四边形及其性质第二课时一、教学目标1.理解平行四边形的定义及其性质。

2.掌握平行四边形判定定理的应用。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二、教学重难点1.重点：平行四边形的性质及其判定定理。

2.难点：运用平行四边形的性质和判定定理解决实际问题。

三、教学过程1.导入新课师：同学们，上一节课我们学习了平行四边形的定义和性质，那么如何判定一个四边形是平行四边形呢？这节课我们就来学习平行四边形的判定定理。

2.学习平行四边形的判定定理（1）引导学生回顾平行四边形的定义和性质。

师：请同学们回忆一下，平行四边形有哪些性质？生：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补。

（2）讲解平行四边形的判定定理。

①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分。

（3）举例说明判定定理的应用。

师：下面我们来看几个例子，运用平行四边形的判定定理来解决问题。

例1：已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，求证：ABCD是平行四边形。

例2：已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC=BD，求证：ABCD是平行四边形。

3.练习师：同学们，下面我们来做一些练习题，巩固一下平行四边形的判定定理。

（1）练习题1：已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，求证：ABCD是平行四边形。

（2）练习题2：已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC=BD，求证：ABCD 是平行四边形。

4.课堂小结师：通过这节课的学习，我们掌握了平行四边形的判定定理，可以运用这些定理来解决实际问题。

在今后的学习中，我们要熟练运用这些定理，提高解题能力。

5.作业布置（1）课后作业1：完成教材P页的练习题。

四、教学反思本节课通过讲解平行四边形的判定定理，让学生掌握了判定一个四边形是平行四边形的方法。

在教学过程中，注重引导学生回顾已学的知识，充分发挥学生的主体作用，让学生在练习中巩固所学知识。

但在教学过程中，发现部分学生对判定定理的应用还不够熟练，需要在今后的教学中加强训练。

平行四边形及其性质第二课时_八年级数学教案七、教学步骤【复习提问】图11．什么叫平行四边形？我们已经学习了它的哪些性质？2．已知：如图1，，．求证：．3．什么叫做两条平行线间的距离？它有什么性质？【引入新课】在证明“平行四边形对角相等”这一性质时，是通过连结一条对角线，把它分成两个全等三角形来证明的．如果把平行四边形的两条对角两条对角线都连结起来，那么这两条对角线之间又有什么关系呢？下面来研究这个问题．【讲解新课】图2（1）平行四边形的性质定理3，平行四边形的对角线互相平分．先让学生观察图形，如图2．获得对角线互相平分的感性认识，然后引导学生写出已知，求证、证明．（2）平行四边形性质，定理的综合应用：同学们已经掌握了平行四边形的边、角、对角线的性质，这是解决平行四边形有关问题的基础，灵活应用则是关键．图3例2 已知：如图3 的对角线、相交于点，过点与、分别相交于点、．求证：．证明比较容易，只须证出△≌△，或△≌△，这是学生自己可以完成的，但需注意及时应用新知识，防止思维定势．如这里可直接由定理3得出，而不再重复定理的推导过程证出．图4例3 已知，如图4，，，．求的面积．（1）首先引导学生按所给条件画出这个平行四边形，让学生回顾小学里学过的平行四边形面积公式：．（2）讲清楚何为平行四边形的高．在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高．如图5中的垂线段分别是垂足所在边上的高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线．作图时平行四边形的高指的是垂线段本身，而计算时用的是垂线段的长度．（3）平行四边形面积的表示法，如图5表示为．（4）学生自己完成解答．图5【总结、扩展】1．小结（1）性质定理及其它新知识的灵活应用，防止思维定势，方法僵化．（2）引导学生填写下列表格（打出投影）名称平行四边形示意图定义性质边角对角线2．思考题：教材P144中B．4八、布置作业教材P141中2（4）；P142中3（2）、4、5、6．九、板书设计标题例2小结（表格）平行四边形性质3例3十、背景知识与课外阅读国际数学奥林匹克简称“ ”，为在中学生中激励，选拔科学人才，1959年开始举办数学竞赛，首次由罗马尼亚任东道国，此后每年七举行一次，在各国提交的题目中，由每届的全委会选六道题，分两个上午完成，每次四个半小时，总分42分，各参赛国可派六名学生参加竞赛．1985年7月我国首次派代表参加第26届．中国队获金牌数为各队之首．十、随堂练习教材P．134中1、2补充：1．若平行四边形一边长为，一对角线长为，则另一对角线的取值范围是_____________．2．在中，，，，则．3．已知是的边上任一点，则：的值为____．A．B．C．D．不确定一、教学目标1．掌握菱形的判定．2．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．3．通过教具的演示培养学生的学习兴趣．4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．二、教法设计观察分析讨论相结合的方法三、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：菱形的判定方法．2．教学难点：菱形判定方法的综合应用．四、课时安排1课时五、教具学具准备教具（做一个短边可以运动的平行四边形）、投影仪和胶片，常用画图工具六、师生互动活动设计教师演示教具、创设情境，引入新课，学生观察讨论；学生分析论证方法，教师适时点拨七、教学步骤【复习提问】1．叙述菱形的定义与性质．2．菱形两邻角的比为1：2，较长对角线为，则对角线交点到一边距离为________．【引入新课】师问：要判定一个四边形是不是菱形最基本的判定方法是什么方法？生答：定义法．此外还有别的两种判定方法，下面就来学习这两种方法．【讲解新课】菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形．菱形判定定理2：对角钱互相垂直的平行四边形是菱形．图1分析判定1：首先证它是平行四边形，再证一组邻边相等，依定义即知为菱形．分析判定2：师问：本定理有几个条件？生答：两个．师问：哪两个？生答：（1）是平行四边形（2）两条对角线互相垂直．师问：再需要什么条件可证该平行四边形是菱形？生答：再证两邻边相等．（由学生口述证明）证明时让学生注意线段垂直平分线在这里的应用，师问：对角线互相垂直的四边形是菱形吗？为什么？可画出图，显然对角线，但都不是菱形．菱形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳后，由教师板书）：注意：（2）与（4）的题设也是从四边形出发，和矩形一样它们的题没条件都包含有平行四边形的判定条件．例4 已知：的对角钱的垂直平分线与边、分别交于、，如图．求证：四边形是菱形（按教材讲解）．【总结、扩展】1．小结：（1）归纳判定菱形的四种常用方法．（2）说明矩形、菱形之间的区别与联系．2．思考题：已知：如图4△中，，平分，，，交于．求证：四边形为菱形．八、布置作业教材P159中9、10、11、13（2）九、板书设计教学引入师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。

专题02 平行四边形的定义、性质、判定【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 利用平行四边形的性质求解】 (1)【考点二 利用平行四边形的性质证明】 (3)【考点三 判断能否构成平行四边形】 (5)【考点四 添一个条件成为平行四边形】 (7)【考点五 证明四边形是平行四边形】 (8)【考点六 平行四边形中的折叠问题】 (10)【考点七 利用平行四边形的性质与判定求解】 (12)【过关检测】 (16)【典型例题】【考点一 利用平行四边形的性质求解】例题：（2022春·广东江门·八年级校联考期中）在平行四边形ABCD 中，130A Ð=°，则C Ð=（ ）A ．130°B ．50°C ．30°D ．120°【答案】A【分析】根据平行四边形的性质即可进行解答．【详解】解：如图：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴130A C Ð=Ð=°，故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等．【变式训练】1．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学校考阶段练习）如图，在ABCD Y 中，8AD =，5AB =，DF 平分ADC Ð交边BC 于点F ，则BF =（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，可得5CF CD AB ===，即可求解．【详解】解：在ABCD Y 中，5CD AB ==，8AD BC ==，AD BC∥∴ADF CFD Ð=Ð，又∵DF 平分ADCÐ∴ADF CDF Ð=Ð，∴CDF DFC Ð=Ð，∴5CF CD ==，∴3BF BC CF =-=，故选：C【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理．2．（2022秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD 中，AC BC ^，E 为AB 的中点，若2CE =，则CD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可得AB CD =，再由直角三角形的性质可得24AB CE ==，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，∵AC BC ^，E 为AB 的中点，2CE =，∴24AB CE ==，∴4CD =．故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．【考点二 利用平行四边形的性质证明】例题：（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）在平行四边形ABCD 中BE 平分ABC Ð，DF 平分ADC Ð，证明：AE CF =．【答案】证明见解析【分析】先根据平行四边形的性质得到AB CD AD BC =，∥，再根据角平分线的定义和平行线的性质证明ABE AEB Ð=Ð，得到AB AE =，同理可证CD CF =，由此即可证明AE CF =．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD AD BC =，∥，∴AEB CBE Ð=Ð，∵BE 平分ABC Ð，∴ABE CBE Ð=Ð，∴ABE AEB Ð=Ð，∴AB AE =，同理可证CD CF =，∴AE CF =．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行四边形对边平行且相等是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·辽宁丹东·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE CF =，EF ，BD 相交于点O ，求证：OE OF =．【答案】证明见解析【分析】只需要利用ASA 证明ODE OBF △≌△即可证明结论．【详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，(1)求证：ADE FCE △≌△；(2)求证：AE 平分DAB Ð；(3)若60DAB Ð=°，4AB =，求Y 【答案】(1)见解析；【考点三 判断能否构成平行四边形】例题：（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ． AB CD P ，AD BC =B ．A B Ð=Ð，CD Ð=Ð C ． AB CD =，AD BC =D ． AB AD =，CB CD =【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．【详解】解：A 、AB CD P ，AD BC =，不能判定四边形ABCD 为平行四边形；B 、A B Ð=Ð，CD Ð=Ð，不能判定四边形ABCD 为平行四边形；C 、AB CD =，AD BC =，能判定四边形ABCD 为平行四边形；D 、AB AD =，CB CD =，不能判定四边形ABCD 为平行四边形；故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．【变式训练】1．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，四边形ABCD 的对角线交于点O ，下列哪组条件能判断四边形ABCD 是平行四边形（ ）A ．OA OC =，AC BD=B ．OB OA =，OD OC =C ．AB CD ∥，AD BC=D ．180ABC BAD Ð+Ð=°，BCD BADÐ=Ð【答案】D 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、由OA OC =，AC BD =，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故该选项不符合题意；B 、由OB OA =，OD OC =，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故该选项不符合题意；C 、由AB CD ∥，AD BC =，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故该选项不符合题意；D 、∵180ABC BAD Ð+Ð=°，∴AD BC ∥，∵BCD BAD Ð=Ð，∴180ABC BCD Ð+Ð=°，∴AB CD ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．2．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB CD =，AD BC=B ．AB CD P ，AD BC ∥C ．AB CD P ，AD BC=D ．AD BC ∥，AD BC=【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．【详解】解：A ．∵AB CD AD BC ==，，∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；B ．∵AB DC AD BC ∥，∥，∴四边形ABCD 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；C ．由AB DC P ，AD BC =不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故该选项符合题意；D ．∵AB DC P ，AB DC =，∴四边形ABCD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故该选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．【考点四 添一个条件成为平行四边形】例题：（2022春·江苏淮安·八年级校考阶段练习）已知：如图，AB ∥CD ，线段AC 和BD 交于点O ，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需要增加的一个条件是：_____（填一个即可）．【答案】AD ∥CB （答案不惟一）．【分析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得答案．【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可增加的条件可以是：AD ∥CB ，故答案为：AD ∥CB （答案不惟一）．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定．【变式训练】1．（2021春·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、AD 上，要使四边形BEDF 是平行四边形，还需要增加的一个条件是_______________．【答案】ED BF=【分析】由平行四边形的性质可得到ED BF ∥，要证明四边形BEDF 是平行四边形，只需要ED BF =即可．【详解】添加ED BF =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ED BF ∥，∵ED BF =，∴四边形BEDF 是平行四边形，故答案为：ED BF =．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．2．（2022春·河南许昌·八年级许昌市第一中学校考期中）如图，在平行四边形ABCD 中，BD 是对角线，E ，F 是对角线上的两点，要使四边形AFCE 是平行四边形，还需添加一个条件（只需添加一个）是__________．【答案】BF =DE （答案不唯一）【分析】连接对角线AC ，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行求解即可．【详解】解：添加的条件为BF =DE ，理由如下：证明：连接AC 交BD 于点O ，如图所示：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO =CO ，BO =DO ，∵BF =DE ，∴BO -BF =DO -DE ，即OF =OE ，四边形AFCE 为平行四边形，故答案为：BF =DE （答案不唯一）．【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键．【考点五 证明四边形是平行四边形】例题：（2021春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在ABCD Y 中，,AE BD CF BD ^^，垂足分别为E F 、，四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？【答案】是，理由见解析【分析】由于AE CF 、都垂直于BD ，首先可以确定的是AE CF P ；然后再通过证()AAS ABE CDF ≌△△，来得出AE CF =即可．【详解】答：四边形AECF 是平行四边形．证明：∵,AE BD CF BD ^^，∴AE CF P ，90AEBCFD Ð=Ð=°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ABE CDE =Ð=Ð，，在ABE V 和CDF V 中，90ABE CDF AEB CFD AB CD Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴()AAS ABE CDF ≌△△，∴AE CF =，Q AE CF P ，∴四边形AECF 是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·陕西渭南·八年级统考期中）如图、在ABCD Y 中，已知点E 和点F 分别在AD 和BC 上，且AE CF =，连接CE 和AF ，试说明四边形AFCE 是平行四边形．【答案】见解析【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，可得AD BC ∥，又因为AE CF =，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得结论．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，又∵AE CF =，∴四边形AFCE 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定．掌握有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解此题的关键．2．（2022秋·陕西西安·九年级统考期中）如图，已知在四边形BCDE 中，CD BE ∥，点F 是DE 的中点，连接CF 交BE 于点A ，且点E 是AB 的中点，求证：四边形BCDE 是平行四边形．【答案】见解析【分析】先证明(ASA)CDF AEF V V ≌，得CD AE =，再证CD BE =，即可得出结论．【详解】证明：∵CD BE ∥，∴D AEF Ð=Ð，∵点F 是DE 的中点，∴DF EF =，在CDF V 和AEF △中，D AEF DF EFCFD AFE Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴(ASA)CDF AEF V V ≌，∴CD AE =，∵点E 是AB 的中点，∴AE BE =，∴CD BE =，又∵CD BE ∥，∴四边形BCDE 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．【考点六 平行四边形中的折叠问题】例题：（2022春·四川自贡·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD E¢处，AD¢与CE交于点F，若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED¢的度数为______．【答案】36°##36度【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D¢=∠D=52°，∠EAD¢=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED¢=108°，即可得出∠FED¢的大小．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D¢=∠D=52°，∠EAD¢=∠DAE=20°，∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED¢=180°-∠EAD¢-∠D¢=108°，∴∠FED¢=108°-72°=36°；故答案为：36°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED¢是解决问题的关键．【变式训练】【答案】140°【分析】利用平行四边形的性质得，进而求出1122 BAC BABÐ=Т=´【详解】解：在ABCDY中，AB138BAB\Т=Ð=°，【考点七 利用平行四边形的性质与判定求解】例题：（2022春·北京顺义·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F E ，为四边形ABCD 外一点，且ADE BAD Ð=Ð，AE AC ^．(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；【点睛】本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关∵MNCD是平行四边形，(2)CN =2【分析】（1）证明DE ∥BC ，再证∠DMF =∠2，得DB ∥EC ，则四边形BCED 是平行四边形，即可得出结论；（2）由（1）得：BC =DE =2，EC ∥DB ，再由平行线的性质得∠CNB =∠DBN ，然后证∠CNB =∠CBN ，则可由CN =BC 求解．（1）证明：∵∠A =∠F ，∴DE ∥BC ，∵∠1=∠2，∠1=∠DMF ，∴∠DMF =∠2，∴DB ∥EC ，∴四边形BCED 是平行四边形，（2）解：∵BN 平分∠DBC ，∴∠DBN =∠CBN ，由（1）得：BC =DE =2，EC ∥DB ，∴∠CNB =∠DBN ，∴∠CNB =∠CBN ，∴CN =BC =2．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，证明四边形BCED 为平行四边形是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）若平行四边形ABCD 的两个内角:1:2A B ÐÐ=，则A Ð的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】B【分析】根据平行四边形的性质可得到A Ð与B Ð是邻角并且互补，再结合:1:2A B ÐÐ=列方程，即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴180A B Ð+Ð=°，∵:1:2A B ÐÐ=，∴2180A A Ð+Ð=°，解得60A Ð=°，故选B ．【点睛】本题考查平行四边形性质，熟知平行四边形邻角互补是解答的关键．2．（2022春·甘肃武威·八年级校联考期末）在四边形ABCD 中，AD BC ∥，分别添加下列条件：①AB CD ∥；AB CD AD BC B D A C ==Ð=ÐÐ=Ð②；③；④；⑤，其中能使四边形ABCD 成为平行四边形的条件有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【答案】B【分析】由平行四边形的判定、平行线的判定与性质分别对各个条件进行判断即可．【详解】解：①AD BC ∥Q ，AB CD ∥， \四边形ABCD 是平行四边形；②由AD BC ∥，AB CD =，不能判定四边形ABCD 是平行四边形；③AD BC ∥Q ，AD BC =，\四边形ABCD 是平行四边形；④ AD BC ∥Q ，180A B \Ð+Ð=°，B D Ð=ÐQ ，180A D \Ð+Ð=°，AB CD \∥，\四边形ABCD 是平行四边形；⑤AD BC ∥Q ，180A B \Ð+Ð=°，A C Ð=ÐQ ，180C B \Ð+Ð=°，AB CD \∥，\四边形ABCD 是平行四边形；其中能使四边形ABCD 成为平行四边形的条件有①③④⑤，共4个，故选：B ．A．124°B．114【答案】A【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．【详解】解：Ð=Ð，由折叠得，45∵四边形ABCD是平行四边形，P，∴AB CD∴53Ð=Ð，A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得AFB FBC Ð=Ð，由角平分线可得ABF FBC Ð=Ð，所以AFB ABF Ð=Ð，所以6AF AB ==，同理可得6DE DC ==，则根据4EF AF DE AD =+-=即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，8AD =，∴AD BC ∥，6DC AB ==．∴AFB FBC Ð=Ð．∵BF 平分ABC Ð，∴ABF FBC Ð=Ð．∴AFB ABF Ð=Ð．∴6AF AB ==．同理可得6DE DC ==．∴6684EF AF DE AD =+-=+-=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是掌握数学模型“角平分线+平行线得到等腰三角形”．5．（2021春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OE AC ^交CD 于点E ，连接AE ，若平行四边形ABCD 的周长为30，则ADE V 的周长为（ ）A ．15B ．23C ．25D ．30【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，得到点O 是AC 中点，根据垂直平分线的性质得到AE CE =，根据四边形周长求出AD CD +，然后转换求解即可．【详解】在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OA OC =即点O 是AC 中点，OE AC ^，AE CE=平行四边形ABCD 的周长为30，【答案】29【答案】50°##50度【分析】由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可．【详解】解：∵四边形ABCD ∴70BAE BCD Ð=Ð=°，AD【答案】73或3【分析】分别利用①当BQ=AP【详解】解：设点P，Q运动的时间为∵AD∥BC，(1)现有四个条件：①BE＝DF一个序号即可）(2)在（1）的基础上，求证：四边形【答案】(1)①或②或④（填一个即可）添加②，证明AF＝CE，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；添加④，证明AE＝CF，AE∥CF，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论；添加③不能得出四边形AECF为平行四边形．故答案为：①或②或④（填一个即可）；（2）证明：如图，添加①BE＝DF时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形；添加②AF∥CE时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADF＝∠CBE，∵AF∥CE，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AFD＝∠CEB，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AF＝CE，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；添加④∠BAE＝∠DCF时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF ＝∠CFE ，∴AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．平行四边形的判定定理：1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；2、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5、对角线互相平分的四边形是平行四边形．13．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）如图，在ABCD Y 中，AE BD ^，CF BD ^，垂足分别为点E ，点F ，连接AF 、CE ．(1)试判断AE 与CF 的关系，并说明理由；(2)若CD CE =，AEF △的面积是22cm ，则ABCD Y 的面积为______．【答案】(1)AE CF =，AE CF ∥，理由见解析；(2)212cm ．【分析】（1）求出ABE CDF Ð=Ð，由AE BD ^，CF BD ^可得90AEB CFD Ð=Ð=°，AE CF ∥，证明()AAS ABE CDF ≌V V ，即可得到AE CF =；（2）证明四边形AECF 为平行四边形，ABF △和CED △是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得BE EF =，=EF FD ，求出ABE V 和AFD △的面积是22cm ，进而可得答案．【详解】（1）解：AE CF =，AE CF ∥，理由：∵在ABCD Y 中，AB CD ∥，AB CD =，∴ABE CDF Ð=Ð，∵AE BD ^，CF BD ^，∴90AEB CFD Ð=Ð=°，AE CF ∥，在ABE V 和CDF V 中，ABE CDF AEB CFD AB CD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若45,60,6Ð=°Ð=°=B FCE AB【答案】(1)见解析(2)623+【分析】（1）先证明四边形AFCE则∠AGB=∠AGE=90°，∵点D的落点为点D′，折痕为EF，∴D'F=DF．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC．又∵AF=EC，(1)求证：四边形ABCD为平行四边形；。