利用simpson积分公式计算曲面表面积

曲面面积的计算方法曲面面积是指曲面所围成的区域的表面积，它是几何学中一个重要的概念，也是在工程、建筑、艺术等领域中经常需要计算的一个参数。

曲面面积的计算方法有多种，下面我们将介绍一些常见的计算方法。

一、曲面面积的计算方法。

1. 曲面面积的计算方法一，利用积分。

对于曲面面积的计算，最常见的方法是利用积分来进行计算。

具体而言，对于曲面上的每一个微小面积元素，可以利用微积分的方法将其面积进行累加，从而得到整个曲面的面积。

这种方法在理论上是比较通用的，可以适用于各种类型的曲面。

2. 曲面面积的计算方法二，利用参数方程。

对于一些特殊类型的曲面，可以利用参数方程来进行面积的计算。

例如，对于旋转曲面、球面等特殊类型的曲面，可以通过参数方程的方法将曲面分解为一系列的微小面积元素，然后对这些微小面积元素进行累加，从而得到整个曲面的面积。

3. 曲面面积的计算方法三，利用几何图形的拆分。

对于一些简单的曲面，可以利用几何图形的拆分来进行面积的计算。

例如，对于圆锥曲面、圆柱曲面等简单的曲面，可以将其分解为一系列的几何图形（如圆、矩形等），然后对这些几何图形的面积进行累加，从而得到整个曲面的面积。

二、曲面面积的计算实例。

下面我们通过一个实例来介绍曲面面积的计算方法。

假设有一个旋转曲面，其参数方程为x=cos(t)，y=sin(t)，z=t，其中t的取值范围为[0,2π]。

我们希望计算这个旋转曲面的面积。

首先，我们可以利用参数方程将这个曲面分解为一系列的微小面积元素。

然后，利用微积分的方法对这些微小面积元素进行累加，从而得到整个曲面的面积。

具体而言，我们可以将曲面分解为一系列的环形面积元素，然后利用环形面积的公式进行计算，最终得到整个曲面的面积。

三、曲面面积的计算注意事项。

在进行曲面面积的计算时，需要注意一些常见的问题。

首先，要注意选择合适的计算方法，不同类型的曲面可能需要采用不同的计算方法。

其次，要注意计算的精度，特别是对于一些复杂的曲面，需要注意计算误差的问题。

利用simpson积分公式计算曲面表面积作者：夏军剑张新巍李维伟来源：《科技资讯》2014年第08期摘要：二重积分的数值算法比较常见，但求高精度曲面面积的数值算法几乎没有。

本文利用simpson积分公式推导了二阶simpson积分公式，并结合三点数值微分计算公式建立了一种高效的计算曲面面积的数值计算公式。

通过matlab实验仿真，结果证明本文的方法有4阶的精度而传统的方法只有2阶的精度。

不足之处就是计算公式比较复杂，算法的运算效率稍低，但是在相同的精度下，运算时间还是较传统方法少，所以方法的实用性很强。

关键词：曲面面积数值计算数值微分积分中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）03（b）-0238-02在计算地形表面时，由于地面高低起伏不定，是一个不规则的曲面，因此我们想通过数学软件拟合出一个函数来近似是不可能的。

但是，在其局部区域，地面相对平整，可以认为是平面或者二次曲面，可以通过对局部曲面面积的计算得到整个区域的表面积。

对表面积的计算我们有许多建立在数值上的近似的方法。

[1～2]由于上述模型的建立是基于多网格化下小区域内曲面积近似等于平面面积，因此计算结果存在一定误差，且计算精度不易分析。

为了减小误差，提高精度，我们把数值分析中计算定积分的Simpson公式推广到二重积分上，建立计算表面积的数值计算公式。

1 二重积分的复化Simpson积分公式把Simpson公式推广应用到二重积分上，设在上有连续的4阶偏导数，我们得到：二重积分Simpson公式需要用到9个节点。

所以，我们把积分区域划分成的方格，取如图1四个方格共有9个节点组成一个大方格，于是：2 曲面数值积分公式已知曲面方程为，那么曲面面积为：函数使用三点数值微分公式来近似代替偏导数[4]，有：3 算例分析例曲面函数在矩形区域内的表面积。

其表面积计算的精确值为：在相同的分割网格下，数值计算结果如表1。

simpson计算定积分在数学中，定积分是一种重要的概念，用于计算曲线下面的面积或者曲线与坐标轴之间的有限区域的面积。

而Simpson法则是一种常用的数值积分方法，可以用于近似计算定积分的值。

本文将介绍Simpson法则的原理和应用，并通过实例演示其计算过程。

一、Simpson法则的原理Simpson法则是基于多项式插值的思想，通过将曲线分割成若干小区间，在每个小区间内使用二次多项式对曲线进行逼近，从而计算定积分的近似值。

其基本原理可以概括为以下几个步骤：1. 将曲线分割成若干个小区间，每个小区间的宽度相同；2. 在每个小区间内选择三个节点，分别为起始点、中点和终点；3. 使用二次多项式对每个小区间的曲线进行逼近；4. 计算每个小区间内的面积，并将其累加得到总面积，即为定积分的近似值。

二、Simpson法则的应用Simpson法则可以用于计算各种类型的定积分，包括多项式函数、三角函数以及指数函数等。

下面以简单的例子来说明其应用过程。

例1：计算定积分∫(0,1) x^2 dx我们将区间[0,1]等分成n个小区间，每个小区间的宽度为h=(1-0)/n。

然后在每个小区间内选择三个节点，分别为起始点xi、中点xi+1/2和终点xi+1。

根据Simpson法则的原理，我们可以得到每个小区间内的面积为：Si = (h/6) * (f(xi) + 4f(xi+1/2) + f(xi+1))将所有小区间的面积累加起来，即可得到定积分的近似值：∫(0,1) x^2 dx ≈ h/6 * (f(x0) + 4f(x1/2) + 2f(x1/2) + ... + 4f(xn-1/2) + f(xn))三、实例演示为了更好地理解Simpson法则的应用过程，我们以计算定积分∫(0,1) x^2 dx为例进行演示。

我们将区间[0,1]等分成n个小区间，假设n=4，则每个小区间的宽度为h=(1-0)/4=0.25。

然后，我们根据Simpson法则的原理，在每个小区间内选择三个节点，分别计算出对应的函数值。

利用simpson公式计算积分一、Simpson公式简介。

1. 公式形式。

- Simpson公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分。

对于积分∫_a^bf(x)dx，Simpson公式为：∫_a^bf(x)dx≈(b - a)/(6)[f(a)+4f((a + b)/(2))+f(b)]。

2. 公式推导原理。

- Simpson公式是基于二次函数插值推导出来的。

它假设被积函数f(x)在区间[a,b]上可以用一个二次函数y = Ax^2+Bx + C来近似表示。

- 通过对这个二次函数在区间[a,b]上进行积分，得到∫_a^b(Ax^2+Bx + C)dx=(b - a)/(6)[f(a)+4f((a + b)/(2))+f(b)]（这里f(a)=Aa^2+Ba + C，f((a + b)/(2)) = A((a +b)/(2))^2+B((a + b)/(2))+C，f(b)=Ab^2+Bb + C）。

二、利用Simpson公式计算积分的步骤。

1. 确定积分区间[a,b]- 首先要明确被积函数f(x)的积分区间[a,b]，这是使用Simpson公式的基础。

例如，如果要计算∫_1^3x^2dx，这里a = 1，b=3。

2. 计算f(a)、f((a + b)/(2))和f(b)- 对于上述例子f(x)=x^2，则f(1)=1^2=1，f((1 + 3)/(2))=f(2)=2^2=4，f(3)=3^2=9。

3. 代入Simpson公式计算。

- 将a = 1，b = 3，f(1)=1，f(2)=4，f(3)=9代入Simpson公式∫_a^bf(x)dx≈(b - a)/(6)[f(a)+4f((a + b)/(2))+f(b)]，得到：- ∫_1^3x^2dx≈(3 - 1)/(6)[1+4×4 + 9]=(2)/(6)(1 + 16+9)=(2)/(6)×26=(26)/(3)。

使用辛普森积分计算圆面积的方法
辛普森积分是一种数值积分方法，可以用来求解函数的积分。

在Python 中，可以使用NumPy库中的np.trapz函数实现辛普森积分。

要计算圆的面积，可以使用圆的半径和π来计算。

圆的面积公式为：A = πr²，其中r为圆的半径。

下面是一个示例代码，使用辛普森积分方法计算圆的面积：
import numpy as np
def calculate_circle_area(radius):
# 定义积分的区间和步长
x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
dx = x[1] - x[0]
# 定义圆面积的被积函数
y = np.square(radius) * np.cos(x)
# 计算辛普森积分
integral = (4 / 3) * np.trapz(y, x) * dx
# 返回圆面积
return np.sqrt(1 - integral)
在上面的代码中，我们首先定义了积分的区间和步长。

然后定义了圆面积的被积函数，使用np.cos函数计算单位圆上点的y坐标。

最后使用np.trapz 函数计算辛普森积分，乘以步长并除以4/3得到圆的面积。

摘要在工程实验及研究中，实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。

曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系.可以说，曲线拟合模型与我们的生活生产密切相关.本课题着重介绍曲线拟合模型及其应用，其中包括它的基本思想、模型的建立、以及具体应用.为了更好的了解曲线拟合模型，可以将它分为线性与非线性模型，在模型建立的基础上我们可以用最小二乘法来解决一些我们日常所应用的问题.关键词曲线拟合；线性与非线性模型；最小二乘发目录引言 (1)第一章曲线拟合 (2)§1.1 基本思想及基本概念 (2)§1.1.1 方法思想 (2)§1.1.2几个基本概念 (2)§1.2辛普森算法基本定义及其应用 (4)§1.2.1辛普森求积公式的定义 (4)§1.2.2辛普森求积公式的几何意义 (5)§1.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项 (5)§1.2.4辛普森公式的应用 (6)第二章辛普森求积公式的拓展及其应用 (7)§2.1 复化辛普森求积公式 (7)§2.1.1问题的提出 (7)§2.1.2复化辛普森公式及其分析 (7)§2.1.3复化辛普森公式计算流程图 (8)§2.1.4复化辛普森公式的应用 (9)§2.2 变步长辛普森求积公式 (10)§2.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程 (10)§2.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程 (12)§2.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图 (13)§2.2.4变步长辛普森公式算法程序代码 (14)§2.2.5变步长辛普森求积公式的应用 (14)§2.2.6小结 (14)§2.2.7数值求积公式在实际工程中的应用 (14)参考文献 (16)附录A (17)附录B (18)附录C (21)引言辛普森是英国数学家.1710年8月20日生于波士沃希；1761年5月14日卒于波士沃希.在定积分近似计算中，以他的姓来命名的“辛普森公式”，虽早在他之前牛顿的学生柯特斯（Cotes）和斯特林就已经得出了（包括一些更高阶的近似公式），但真正广泛地为人所知并加以应用，则是1743年辛普森重新发现之后的事了.辛普森的工作使牛顿的微积分学说得到了进一步完善.在我们的日常生活中计算积分与我们的生活生产密切相关.所以掌握数值积分方法是学生储备知识能量的武器.数值积分的一个基本的计算策略，用易于积分的简单函数来逼近曲线)y .f(x 简单曲线下面的面积近似等于)f下面的面积.如果涉及初等函数的积分找不到其(x他由初等函数构成的解析表达式，或者只在一些离散的x点上知道函数的值，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的.那么就必须对定积分进行数值逼近.数值积分实现是将整个闭区间]f进行(x,[ba划分为N个小段，在每个小段上对)低阶分段多项式逼近.对每个小段上的逼近多项式积分时，就得到基本公式.基本公式只涉及足够多的))f(xx对来定义分段多项式的某一段，将此公式应用到N个小段并,(把结果相加得到复合公式，或称为扩展公式. 在一个小段中节点的位置和数目决定了基本公式的很多重要特性.当节点均匀分布时，所有的积分公式称为牛顿—柯特斯公式.例如，梯形、辛普森、柯特斯求积公式等.经典辛普森求积公式来源于Lagrange插值多项式的应用，它的代数精度高达3阶，其形变后的代数精度高达4阶，且二者都具有良好的稳定性与收敛性，从而提高了计算效率及准确度，是定积分近似计算常使用的方法，一直是理工科大学生必修的内容. 下面将给出具体辛普森求积公式的具体思想以及其算法程序设计并给出将其拓展后在实际工程问题中的应用.第一章 辛普森求积公式的理论实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系.依据人们所熟知的微积分基本定理，对积分dx x f I ba ⎰=)(只要找到被积函数)(x f 的原函数)(X F ,便有下列牛顿-莱布尼茨公式：⎰-=b a a F b F dx x f )()()(，但实际计算dx x f ba ⎰)(往往遇到一些困难，如: 1))(x f 的原函数不能用初等函数表示，故不能用牛顿-莱布尼茨公式计算.2) 虽然找到了)(x f 的原函数, 但因表达式过于复杂而不便应用牛顿-莱布尼茨公式.3) )(x f 在许多实际问题中是以列表函数的形式给出, 即仅仅知道其在一些节点处的函数值， 牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用，因此有必要研究积分的数值计算问题，数值积分是解决上述困难的一种有效方法.§1.1基本思想及基本概念§1.1.1 方法思想由定积分中值定理：b a a b f dx x f I b a ≤≤-==⎰ξξ),)(()(可知: 积分可以通过被积函数在ξ处的值得到. 由于积分中值定理仅仅告诉我们ξ在一定条件下是存在的, 但并没有给出确定ξ的方法. 一个很自然的想法就是利用被积函数)(x f 在节点b x x x x a n =≤≤≤= 210处函数值的加权平均来替代(近似))(ξf , 按此思想有)()(0i ni i b a x f A dx x f ∑⎰=≈ （1-1） 这就是数值求积的思想（有效地解决了本章开始提出的问题），权因子i A 和节点i x n i ,,2,1,0 =的不同确定方法就对应不同的数值求积公式.§1.1.2 几个基本概念定义1.1 称形如(1-1)式的求积公式为机械求积公式,其中i A 仅节点的选择与)(x f 无关，b x x x x a n =≤≤≤= 210称为求积节点，i A （n i ,,2,1,0 =）称为求积系数.定义1.2 如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立,而对于1+m 次多项式就不准确成立, 则称该求积公式具有m 次代数精度（或代数精确度）.注1.1 a) m 越大近似程度越高，标志着使函数准确成立的“个数”越多，但代数精度不是唯一衡量标准.b) 若机械求积公式的代数精度0≥m ，则有a b A ni i -=∑=0.c) 若机械求积公式的代数精度为m ，即当m x x x f ,,1)(=时，由（1.1）式可得，对任意次数不超过m 的k 次多项式m k x P k ≤),(有)()(0i k ni i b a k x P A dx x P ∑⎰=≡. d) 代精度的高低, 从侧面反映求积公式的精度高低.定义1.3 称求积公式∑==nk k k n x f A I 0)(为插值型求积公式，式中求积系数k A 通过插值基函数.,1,0)())(()()())(()()(110110n k x x x x x x x x x x x x x x x x x l n k k k k k k n k k k =--------=+-+- 积分求得，即 .,,1,0,)(n k dx x l A b a k k ==⎰ （1-2）定理1.1 插值型求积公式的代数精度至少为n 次.定义1.4 若节点将被积区间等分成n 等分, 即.,2,1,0,n i i na b a x i =-+=则相应的插值求积公式称为Newton-Cotes (牛顿-柯特斯)求积公式. 即等距节点情形下的插值求积公式称为牛顿-柯特斯公式, 相应的求积系数称为Cotes 系数. 常见的几个简单求积公式( Newton-Cotes 公式)，如表1-1所示：表1-1 几种简单N-C 求积公式总结表 n 名称形式 1=n 梯形求积公式)]()([2)(b f a f a b T dx x f b a +-=≈⎰ 2=n 辛普森求积公式 )]()2(4)([6)(b f b a f a f a b S dx x f ba +++-=≈⎰4=n 柯特斯求积公式 )](7)(32)(12)(32)(7[90)(321b f x f x f x f a f a b C dx x f b a ++++-=≈⎰其中.1,,1,,-=-=+=n k na b h kh a x k 注1.2 a ）8≥n 时，N-C 公式出现数值不稳定.b ）n 为偶数时，N-C 公式的代数精度至少为1+n 次，n 为奇数时，N-C 公式的代数精度至少为n 次.定义1.5 截断误差: 由（1-3） 当1=n 时可得梯形求积公式的截断误差T R],[)(,],[,)(12)("))((2)("))((!2)("23b a C x f b a a b f dx b x a x f dx b x a x f T I R b a b a T ∈∈--=--=--=-=⎰⎰ηηηξ 类似的，可得当2=n ，4=n 时的截断误差注1.3 从截断误差公式可知，当区间长度a b -较大时，求积公式误差较大.§1.2辛普森算法基本定义及其应用§1.2.1 辛普森求积公式的定义设计积分区间],[b a 划分为n 等份，步长na b -，选取等距节点kh a x k +=构造出的插值型求积公式)()()(k n k n x f c a b I -= 为牛顿—柯特斯（Newton-Cotes ）公式，式中)(n k c 称为柯特斯系数.根据插值型求积公式系数（1-2），引进变换th a x +=，则有⎰∏⎰∏≠=-≠=---=---=n kj j kn n n k j j n k dt j t n k n nk dt j k j t a b h c 0000)()()!(!)1( 当2=n 时，由上式有61)2)(1(4120)2(0=--=⎰dt t t c dx x n f x f A dx x f f R f I f I b a n n i n i i b a n n )()!1()()()(][][][1)1(0⎰∑⎰++=+=-==-ωξ64)1(2120)2(1=--=⎰dt t t c 61)1(4120)2(2=-=⎰dt t t c 则相应的求积公式是辛普森求积公式：)]()2()([6)(b f b a f a f a b dx x f s b a ++-==⎰ （1-4） §1.2.2辛普森求积公式的几何意义辛普森公式的几何意义就是用通过A,B,C 三点的抛物线)(x L y =代替)(x f y =所得曲边梯形面积，如图1.1所示.§1.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项由N-C 公式的特点知，当n 为偶数时N-C 公式的代数精度至少为1+n 次，由于Simpson 求积公式为2=n 时的N-C 公式，故它的代数精度至少为3次，即3≥m将4)(x x f =代入Simpson 公式（1-4）左边5554a b dx x b a -==⎰右边≠+++-=))2(4(6444b b a a a b 左边 由此可知4)(x x f =使得Simpson 求积公式不准确成立，所以3=m 即Simpson 公式代数精度为3次由N-C 公式的余项公式（1-3）知，当2=n 时可得辛普森求积公式的截断误差 y xO0 )(x L y =a 2b a + b A BC)(x f y =图1.1 辛普森求积公式的几何意义图],[)(],,[),()2(1804)4(4b a C x f b a f a b a b R s ∈∈---=ηη （1-5） §1.2.4辛普森公式的应用例1.1 用辛普森求积公式计算积分dx x x ⎰+1024. 由积分形式可知 2,1,0===n b a用辛普森公式计算有下式)]1()21(4)0([614102f f f dx x x s ++=+=⎰其中24)(x x x f +=. 计算流程图C 语言程序代码及其运算结果详见附录A分析附录A 可知 111765.04102=+⎰dx x x开始定义函数f （x ）输入n ，a ，b 的值计算h=（b-a ）/n调用函数f （x ），计算s 的值输出s 的值结束图1.2 例1.1流程图第二章 辛普森求积公式的拓展及其应用为了提高精度，通常在实际应用中往往采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式，如：梯形公式或辛普森公式，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式，本章重点介绍复化辛普森求积公式.§2.1 复化辛普森求积公式§2.1.1问题的提出由截断误差可知，当区间长度a b -较大时，Newton-Cotes 求积公式的误差较大. 为构造更高精度的数值积分公式，可以采用分段低次多项式替代整体高次多项式，为此，利用积分关于区间具有可加性，将],[b a 区间上的积分，分成若干小区间上的积分，以此来减少积分区间长度引起的误差.这就引用了复化求积公式. 其基本思想是：先把积分区间分成一些长度较小的子区间，在每个子区间上使用低阶的牛顿-柯特斯公式，即利用n a b h ih a x dx x f dx x f i n i x x b a i i -=+==∑⎰⎰=-,,)()(11 并把小区间n i x x i i ,,2,1],,[1 =-上的积分dx x f ii x x ⎰-1)(用前面的方法近似求得，由此即可得到相应的复化求积公式. 最常用的是复化梯形公式和复化辛普森公式，下面学习辛普森求积公式.§2.1.2复化辛普森公式及其分析定义 2.1 将小区间n i x x i i ,,2,1],[1 =-上的积分分别用辛普森公式计算，即可得到复化辛普森公式n n i i n i i i i i b a ni S b f x f x f a f h x f x f x f h dx x f =+++=++≈∑∑⎰∑=--=--=)]()(4)(2)([6)]()(4)([6)(111112121 其中221h x x i i ==-. 另一种定义形式为：用分段二次插值函数代替，记1,2,1,0,2-==m k m n 在第k 段的两个小区间上，用三个结点))(,()),(,()),(,(2222121222++++k k k k k k x f x x f x x f x 作二次插值函数)(x s k ，然后积分，求m 段之和可得整个区间上的近似积分mab h x f x f x f x f hs m k k m k k m n 2))(2)(4)()((3112101220-=+++=∑∑-=-=+ 称该求积公式为复化辛普森求积公式（抛物线公式）.定理2.1 若],,[)(4b a C x f ∈则复化辛普森公式的截断误差为b a f h a b S dx x f n b a≤≤--=-⎰ξξ),()2(180)()()4(4 且0)],()([)21(1801)("'"')4(4→-→-⎰h b f a f h S dx x f ban. 注 2.1 从误差公式可以看出当],[)(4b a C x f ∈时，n S 比n T 2的精度一般要高，但他们的计算量几乎一样.注2.2 ○1nS 属于机械型求积公式，但不属于插值型、也不属于N-C 求积公式. ○2n S 的代数精度为4次，具有稳定性和收敛性即][f I S n→（∞→n 或∞→h ）.§2.1.3复化辛普森公式计算流程图为了减少计算工作量，优化程序设计，将复化辛普森公式nni i n i i i i i b a n i S b f x f x f a f hx f x f x f hdx x f =+++=++≈∑∑⎰∑=--=--=)]()(4)(2)([6)]()(4)([6)(111112121改写为])}2(])12([2{)]()([5.0[3}])12([2)2()]()([5.0{3}])12([4)2(2)()({61111111∑∑∑∑∑==-=-=-++-++--=-+++++-=-+++++-=n i n i n i n i ni n ih a f h i a f b f a f n a b h i a f ih a f b f a f n a b h i a f ih a f b f a f a b S 则于此相对应的辛普森流程图为：§2.1.4 复化辛普森公式的应用例2.1 用复化辛普森公式计算正弦积分的近似值.分析该积分可知,sin )(dx xxx f =0=a ，1=b 则 125.081==-=n a b h 为步长C 语言程序代码及其运算结果详见附录B 由此可知94608.04=S开始输入A,B,NH=（B-A ）/（2*N ）S=0.5*（F （A ）- F （B ）），调用函数FS=S+2*F[A+（2*I-1*H ）]+（F （A+2*I*H ）），调用函数FS=（B-A ）/（3*N ）S输出S结束I=1,N定义函数F++I8sin 10==⎰n dxx xS n 图2.1 复化辛普森算法流程图例2.2 用复化辛普森公式计算定积分84102=+⎰n dx x x. 分析该积分可知24)(x x x f +=，0=a ，1=b 则125.081==-=n a b h 为步长 C 语言程序代码及其运算结果详见附录B. 由此可知11157.04=S在利用插值型求积公式求积分时，为了提高精度有两种途径.一是提高积分区间上的插值多项式的阶数，从而也就提高了求积的阶数.但是，由于插值多项式的阶数越高，其逼近性质未必好（即精度未必能提高），因此，牛顿-柯特斯公式的阶数越高，其积分精度也未必越高，工程上一般只作到六阶牛顿-柯特斯公式（即龙贝格公式）为止.二是采用复化公式，尽量减小每个求积小区间的长度.在实际应用时，往往将两种方法混合使用，以便提高求积的精度.§2.2 变步长辛普森求积公式在数值积分中，精度是一个很重要的问题，如果误差太大，就没有实际意义.为了提高精度，通过需要在复化求积公式中尽量减少各细分小区间的长度，即减少步长h .显然，如果步长h 取得太大，则精度就难以保证.但是，如果步长取得太小，则计算工作量就随之增大，并且，由于项数增加，其误差积累也就增大.因此，在采用复化公式求积时，关键的问题是合理地选择步长（即合理选择对整个积分区间的细分数），以便既能满足精度要求，又不至于引起过多的误差积累和过大的计算工作量.在实际计算过程中，通常采用变步长的求积法.§2.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程变步长辛普森求积公式是建立在变步长梯形公式的基础上，同时它又是龙贝格算法导出的中间过程，我们知道, 若被积函数具有一定的光滑性, 则增加节点可以降低复化求积公式的截断误差.这里需要解决的问题是增加节点后的复化求积方法能否充分利用已有的计算工作量. 譬如: 若将n T 作为⎰=ba dx x f I )(的近似精度不够, 需减少步长(增加节点数)计算相应的m T 来近似I , 当然我们想要充分利用已经求得的n T .为此, 设区间n b a ],[等分后, 利用复化梯形公式已经求得n T 这一结果, 为了得到精度更高的数值结果, 我们将原有的步长折半, 即把区间],[b a 分为n 2等分, 然后应用复化梯形公式求得n T 2.下面将会看到这样既提高了精度, 又能充分利用已经求得的n T .事实上, 我们可以建立n T 与n T 2的下述递推关系. 设nab h x f x f h T n i i i n -=+=∑-=+,)]()([211 则∑∑∑∑-=+-=+-=+++-=+=++=++=1101011102)(221)(2)]()([4)]()(2)([4212121n i i n n k k n k k k i k k n h n x f h T x f h x f x f h x f x f x f hT其中nab x x h k k -=-=-1 即，∑-=+=12221n i n nh T T 新增分点的函数值 注2.3 由上述公式可知在n T 的基础上计算n T 2只需调用n 次函数即可，最大限度地节省了n T 2的计算量.加速公式的导出：由前面的误差分析，我们可以得到复化梯形公式n T 的截断误差为2)("12h f ab ξ--，即 2)("12h f ab T I n ξ--=- 类似根据复化梯形公式n T 2的截断误差为2)2)(("12hf a b η--，有 22)2)(("12hf a b T I n η-≈-两式相比可得412≈-n T I ， 其中dx x f f I I b a ⎰==)()(即)(3122n n n T T T I -≈- （2-1）注2.4 ○1公式（2-1）说明n T 2的误差可以近似地由n T 2与n T 表现， 这样就给出了复化梯形公式估计误差的事后估计法.○2由公式（2-1）还可以得到校正公式（加速公式） n n n n n T T T T T I 3134)(31222-=-+≈数值实验结果表明，在一定条件下，上式计算出来的值比原来的n T 2好得多，上述公式称为梯形公式的加速公式.梯形求积公式的实质：假设已知n T ，n T 2，则nk k k n k k k n k n k k k k k n n S x f x f x f hx f x f hx f x f hx f x f h T T =++=+-+++=-=+-=+-=-=+++∑∑∑)]()(4)([6)]()([231)]}()([4)]()([4{3431341101101012212121即n n n T T S 31342-=上式表明n T 与n T 2通过上面公式处理后，可得精度更高的n S .即复化辛普森公式，这也是加速的实质.§2.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程类似梯形加速公式的推导，由n S 的截断误差公式（1-5）可得][1512n n n S S S I -≈-即n n n n n S S S S S I 1511516][151222-=-+≈注2.5 ○1上述两个公式分别称为复化辛普森公式估计误差的事后估计公式及复化辛普森公式的加速公式.○2类似地可以证明： n n n S S C 15115162-=○3在求得n C ，nC 2的基础上，可以进一步加速得：龙贝格公式n n n C C R 63163642-=§2.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图开始 N=1，H=B-AIP=F(A)+F(B) FIC=0,X=A-H/2K=1,NX=X+HIC=IC+F(x) FI2=(4*IC+IP)*H/6N=1|I2-I|<ESPI1<=I2,IP=IP+2*ICN=N+NH=0.5*HYNNI=2I输出结束图2.2 变步长辛普森算法流程图§2.2.4变步长辛普森公式算法程序代码详见附录C§2.2.5变步长辛普森求积公式的应用例2.3 用变步长辛普森求积公式计算定积分dx x x⎰+1024取000001.0=ε.C 语言程序代码及其运算结果详见附录C. 分析结果可知111572.04102=+⎰dx x x§2.2.6小结通过分析例1.1、2.2、2.3有下表2-1表2-1 三种算法比较 算法名称 代数精度积分形式计算结果 余项辛普森求积 3dx x x⎰+10240.111765111765.0)4ln 5(ln 21-- 复化辛普森求积 4dx x x⎰+10240.1115711157.0)4ln 5(ln 21-- 变步长辛普森求积dx x x⎰+10240.111572111572.0)4ln 5(ln 21-- 由表2-1可以得出用变步长辛普森求积公式求得的结果偏离准确值的程度最小，即其计算结果最接近准确值，其次是复化辛普森求积方法，辛普森求积方法较前述两种方法误差较大.但三种算法均具有良好的稳定性与收敛性，从而提高了计算效率及准确度．在工程技术中有较为广泛的应用.§2.2.7 数值求积公式在实际工程中的应用例 2.4人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆。

教堂顶部曲面面积的计算方法(总9页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-教堂顶部曲面面积的计算方法一． 实验目的本试验主要涉及微积分， 通过试验将复习曲面面积的计算、 重积分和Taylor 展开等知识；另外将介绍重积分的数值计算法和取得函数近似解析表达式的摄动方法。

二． 实验内容1.某个阿拉伯国家有一座着名的伊斯兰教堂，它以中央大厅的金色巨大拱形圆顶名震遐迩。

因年久失修，国王下令将教堂顶部重新贴金箔装饰。

据档案记载，大厅的顶部形状为半球面，其半径为30m 。

考虑到可能的损耗和其他技术因素，实际用量将会比教堂顶部面积多％.据此， 国王的财政大臣拨出了可制造 5750m 有规定厚度金箔的黄金。

建筑商人哈桑略通数学，他计算了一下，觉得黄金会有盈余。

于是，他以较低的承包价得到了这项装饰工程，但在施工前的测量中，工程师发现教堂顶部实际上并非是一个精确的半球面而是半椭圆球面， 其半立轴恰是 30 m ， 而半长轴和半短轴分别是和。

写为其中R=30，a= ，b=，而其表面积为这里积分区域D 为通过简单的计算容易得到引进变量代换则教堂顶部曲面面积为()2.1z =dxdy z z s Dy x ⎰⎰++=22112222≤+b y a x 222242242222111b y a x b y R a x R z z y x --++=++θθsin ,cos br y ar x ==abrdr rb a r R d S x ⎰⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=201022222221sin cos 1θθθ（1） 利用数值积分方法，用梯形法和simpson 法两种近似格式计算教堂顶部曲面面积；（2） 利用摄动的方法近似计算教堂顶部曲面面积； （3） 试用数学软件直接计算教堂顶部曲面面积。

2.在俄国沙皇的宫廷宝藏中，有许多复活节蛋，它们大都以金银制作，装饰着或者内藏着各种钻石。

其中有一中较大的金“蛋”，“蛋”壳的外层表面是一个椭球面，其半长轴、半短轴和半立轴分别为 8cm 、 和 5cm 。

曲面面积的计算方法曲面面积是指曲面所包围的区域的面积，它在数学、物理学、工程学等领域中都有着重要的应用。

在实际问题中，我们经常需要计算曲面的面积，因此掌握曲面面积的计算方法是非常重要的。

本文将介绍几种常见的曲面面积计算方法，希望能够帮助大家更好地理解和运用这些方法。

一、曲面面积的计算方法。

1. 曲面面积的计算方法一，积分法。

对于给定的曲面方程，我们可以利用积分的方法来计算其面积。

具体步骤如下：（1）确定曲面方程，首先要确定曲面的方程，例如z=f(x,y)。

（2）确定积分区域，确定曲面所在的区域，通常是一个二维区域D。

（3）建立积分式，利用双重积分的方法，建立曲面面积的积分式，通常是∬D √(1+ (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²)dxdy。

（4）进行积分计算，对积分式进行计算，得到曲面的面积。

2. 曲面面积的计算方法二，参数化法。

对于无法直接表示为z=f(x,y)的曲面，我们可以利用参数化的方法来计算其面积。

具体步骤如下：（1）确定参数方程，通过引入参数u和v，建立曲面的参数方程，例如x=x(u,v)，y=y(u,v)，z=z(u,v)。

（2）建立面积元素，利用参数方程，建立曲面的面积元素dS=|∂r/∂u ×∂r/∂v|dudv。

（3）进行积分计算，利用参数化的面积元素进行积分计算，得到曲面的面积。

3. 曲面面积的计算方法三，旋转体法。

对于可以通过曲线绕轴旋转而成的曲面，我们可以利用旋转体法来计算其面积。

具体步骤如下：（1）确定旋转曲线，首先确定曲面的旋转曲线，通常是一个平面曲线。

（2）建立面积元素，利用旋转曲线，建立曲面的面积元素dS=2πyds。

（3）进行积分计算，利用旋转体法的面积元素进行积分计算，得到曲面的面积。

二、曲面面积计算方法的应用举例。

1. 例题一，计算曲面z=xy在区域D={(x,y)|0≤x≤1, 0≤y≤1}上的面积。

解，利用积分法，建立曲面面积的积分式∬D√(1+ y² + x²)dxdy，进行积分计算，得到曲面的面积为∫[0,1]∫[0,1]√(1+ y² + x²)dxdy。

实验八 Simpson 求积公式【实验目的】1．掌握Simpson 数值积分法的基本原理；2．编写Matlab 对Simpson 数值积分的实现程序。

【实验内容】用复合Simpson 公式求 0cos x e xdx π⎰，误差不超过810-的近似值，已知定积分的准确值为-12.070346316。

【实验仪器与软件平台】1．PIV2.8/256M 以上计算机；2．Matlab6.0以上。

【实验方法或步骤】已知1n +个节点(,)i i x y ，若被积函数依次在两个小区间上逐次利用13Simpson 法，则 1123411()(42424)3ba n n n I f x dx h f f f f f f f -+==+++++++⎰若最后剩下三个小区间，就利用38Simpson 法，即： 212343(33)8I h f f f f =+++ 则12I I I =+。

建立一个以l.m 命名的m 文件，程序如下：function I = Simps_v(f,h)n=length(f)-1;if n==1, fprintf('Data has only one interval'),return; endif n==2, I = h/3*(f(1) + 4*f(2) + f(3)); return;endif n==3, I = 3/8*h*(f(1) + 3*f(2) + 3*f(3) + f(4)); return;end I=0;if 2*floor(n/2)~=nI = 3/8*h*(f(n -2) + 3*f(n -1) + 3*f(n) + f(n+1)); m=n -3 elsem=nendI = I+ (h/3)*( f(1)+ 4*sum(f(2:2:m)) + f(m+1));if m>2, I = I+ (h/3)*2*sum(f(3:2:m));end在命令窗口输入：>> z1 = 0; z2 =pi;M=-12.070346316;I=0;n=1;while(abs(I-M)>0.00000001)n=n+1;h = (z2-z1)/n;z = z1:h:z2;f = exp(z).*cos(z);I =simps_v(f , h);endIwucha=M-I【实验结果】I =-12.07034630601210wucha =-9.987905613684234e-009【结果分析与讨论】由以上结果知，只需把区间等分成256 份，利用复合1Simpson 公3式计算，可见Simpson 求积法的收敛速度是很快的，比梯形法的收敛速度快很多。