步步高高中数学 步步高选修2-1 第三章 3.1.1

章末检测一、选择题1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是 ( )A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于 ( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD是 ( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定4．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( )A ．cos θ＝n·a |n||a |B ．cos θ＝|n·a||n||a |C ．sin θ＝n·a |n||a |D ．sin θ＝|n·a||n||a |5．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a·b ＝2，则x 的值是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．66．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°7．若三点A (1，－2,1)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是 ( )A ．不等边的锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是 ( )A ．0B ．2C ．4D ．69．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫12，34，13 B.⎝⎛⎭⎫12，32，34 C.⎝⎛⎭⎫43，43，83 D.⎝⎛⎭⎫43，43，73 10．若向量a ＝(2,3，λ)，b ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，63的夹角为60°，则λ等于 ( ) A.2312 B.612 C.23612 D ．－2361211．已知平面α内的三点A (0,0,1)、B (0,1,0)、C (1,0,0)，平面β的一个法向量为n ＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则 ( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．以上都不对12.如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1的夹角是 ( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°二、填空题13．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝________.14．已知A (2,1,0)，点B 在平面xOz 内，若直线AB 的方向向量是(3，－1,2)，则点B 的坐标是________________________________________________________________________．15．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为______．16.如图所示，已知二面角M —l —N 的平面角为θ ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面N 内，BC 在l 上，CD 在平面M内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．三、解答题17.如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1D 1，AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，试证明ME ∥NF .18.如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且SA ＝SC ＝2a ，SB＝SD ＝2a ，点E 是SC 上的点，且SE ＝λa (0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD ⊥AE ；(2)若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小．19.如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上一点，CP ＝m .试确定m 使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°.20．如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面P AC ，求二面角P —AC —D 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面P AC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．答案1．B 2.D 3.B 4.D 5.C 6.A 7．A 8.C 9.C 10.C 11.A 12.B13．－2 14.(5,0,2) 15.60°或120° 16.3－2cos θ17．证明 由平行六面体的性质＝＋＋＝12－＋13＝－12－－13， ＝＋＋＝12＋＋13＝12＋＋13， ∴＝－，又M ，E ，M ，F 不共线，∴ME ∥NF .18. (1)证明 连接BD ，AC ，设BD 与AC 交于O .由底面是菱形，得BD ⊥AC .∵SB ＝SD ，O 为BD 中点，∴BD ⊥SO .又AC ∩SO ＝O ，∴BD ⊥平面SAC .又AE ⊂平面SAC ，∴BD ⊥AE .(2)解 由(1)知BD ⊥SO ，同理可证AC ⊥SO ，∴SO ⊥平面ABCD .取AC 和BD 的交点O 为原点建立如图所示的坐标系，设SO ＝x ，则OA ＝4a 2－x 2， OB ＝2a 2－x 2.∵OA ⊥OB ，AB ＝2a ，∴(4a 2－x 2)＋(2a 2－x 2)＝4a 2，解得x ＝a .∴OA ＝3a ，则A (3a,0,0)，C (－3a,0,0)，S (0,0，a )．∵SC ⊥平面EBD ，∴是平面EBD 的法向量．∴＝(－3a,0，－a )，＝(3a,0，－a )．设SA 与平面BED 所成角为α，则sin α＝ ＝|－3a 2＋a 2|3＋1a ·3＋1a ＝12， 即SA 与平面BED 所成的角为π6.19.解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)．则＝(－1，－1，0)，＝(0,0,1)，＝(－1,1，m )，＝(－1,1,0)．又由·＝0，·＝0知，为平面BB 1D 1D 的一个法向量．设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈，〉|＝＝22＋m 2·2依题意得22＋2m 2·2＝sin 60°＝32， 解得m ＝33.故当m ＝33时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 20.(1)证明 连接BD ，设AC 交BD 于点O ，由题意知SO ⊥平面ABCD ，以O 点为坐标原点，、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示．设底面边长为a ，则高SO ＝62a . 于是S (0,0，62a )，D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0， C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0， ＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0， ＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a ，·＝0.故OC ⊥SD ，因此AC ⊥SD . (2)解 由题意知，平面P AC 的一个法向量＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，平面DAC 的一个法向量＝⎝⎛⎭⎫0，0，62a ， 设所求二面角为θ，则cos θ＝＝32，故所求二面角P —AC —D 的大小为30°. (3)解 在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面P AC .由(2)知是平面P AC 的一个法向量，且＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ， ＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0， 设＝t ，则＝＋＝＋t＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at . 由·＝0，得t ＝13， 即当SE ∶EC ＝2∶1时，⊥. 而BE 不在平面P AC 内， 故BE ∥平面P AC .高╓考ω试╓题`库。

习题课 空间向量的应用一、基础过关 1．如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE . 2．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． (1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； (2)求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值． 3．如图所示，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M为OA 的中点，N 为BC 的中点． (1)证明：直线MN ∥平面OCD ； (2)求异面直线AB 与MD 所成角的大小． 二、能力提升 4．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，PA ＝AD ＝2，AC ＝1. (1)证明：PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长． 5．等边△ABC 中，D ，E 分别是AC ，AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，使平面ADE ⊥平面BCDE (如图所示)． (1)求证：平面ABC ⊥平面ABE ；(2)求直线AC 与平面ABE 所成角的正弦值． 三、探究与拓展 6．如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱SD 上的点． (1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P —AC —D 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．答案1． (1)证明 由题设知，FA 、AB 、AD 两两互相垂直．以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正方向，以射线AD 为y 轴正方向，以射线AF 为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，则由题设得A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，b,0)，D (0,2b,0)，E (a,0，c )，G (0,0，c )，H (0，b ，c )．所以GH →＝(0，b,0)，BC →＝(0，b,0)，于是GH →＝BC →.又点G 不在直线BC 上， 所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)解 C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由题设知，F (0,0,2c )，所以EF →＝(－a,0，c )，CH →＝(－a,0，c )，EF →＝CH →.又C ∉EF ，H ∈FD ， 故C 、D 、F 、E 四点共面．(3)证明 由AB ＝BE ，得c ＝a ，所以CH →＝(－a,0，a )，AE →＝(a,0，a )． 又AD →＝(0,2b,0)，因此CH →·AE →＝0， CH →·AD →＝0，即CH ⊥AE ，CH ⊥AD . 又AD ∩AE ＝A ，所以CH ⊥平面ADE . 由CH ⊂平面CDE ， 得平面ADE ⊥平面CDE . 2． (1)证明 ∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面PAD .∴AB ⊥PD . 又∵AE ⊥PD ，∴PD ⊥平面ABE . 故BE ⊥PD . (2)解 如图所示，以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C 、D 的坐标分别为(a ，a,0)、(0,2a,0)．∵PA ⊥底面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA ＝30°. 于是，在Rt△AED 中，由AD ＝2a ， 得AE ＝a .过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt△AFE 中，由AE ＝a ，∠EAF ＝60°，得AF ＝12a ，EF ＝32a .∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，32a .于是AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，32a ，CD →＝(－a ，a,0)．设异面直线AE 与CD 所成角为θ，则cos θ＝|AE →·CD →||AE →||CD →|＝12a 2a ·2a ＝24.∴AE 与CD 所成角的余弦值为24. 3． (1)证明作AP ⊥CD 于点P ，连结OP .如图，分别以AB 、AP 、AO 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫－22，22，0，O (0,0,2)，M (0,0,1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，0. MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，－1，OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－2， OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，－2.设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP →＝0，n ·OD →＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0.取z ＝2，解得n ＝(0,4，2)．∵MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，－1·(0,4，2)＝0，又MN ⊄平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .(2)解 设AB 与MD 所成角为θ. ∵AB →＝(1,0,0)，MD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，－1，∴cos θ＝|AB →·MD →||AB →|·|MD →|＝12，∴θ＝π3.∴AB 与MD 所成角的大小为π3.4． (1)证明如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，P (0,0,2)．易得PC →＝(0,1，－2)，AD →＝(2,0,0)，于是PC →·AD →＝0，所以PC ⊥AD .(2)解 PC →＝(0,1，－2)， CD →＝(2，－1,0)．设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.不妨令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)． 可取平面PAC 的法向量m ＝(1,0,0)．于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝16＝66，从而sin 〈m ，n 〉＝306. 所以二面角A －PC －D 的正弦值为306. (3)解 设点E 的坐标为(0,0，h )， 其中h ∈[0,2]．由此得BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，h .由CD →＝(2，－1,0)，故cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD →|BE →|·|CD →|＝3212＋h 2×5＝310＋20h 2， 所以310＋20h2＝cos 30°＝32， 解得h ＝1010，即AE ＝1010. 5． (1)证明 取DE 的中点O ，取BC 的中点G ，连结AO ，OG ，则AO ⊥DE ，OG ⊥DE .∵平面ADE ⊥平面BCDE ，平面ADE ∩平面BCDE ＝DE ， ∴AO ⊥平面BCDE ，∴AO ⊥OG . 建立如图所示的空间直角坐标系， 设BC ＝4，则DE ＝2，AO ＝OG ＝ 3.所以A (0,0，3)，D (1,0,0)，E (－1,0,0)，B (－2，3，0)，C (2，3，0)． 设平面ABE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， ∵EA →＝(1,0，3)，EB →＝(－1，3，0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥EA →，m ⊥EB→，得⎩⎨⎧x 1＋3z 1＝0，－x 1＋3y 1＝0.令y 1＝1，得m ＝(3，1，－1)， 设平面ABC 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， ∵BC →＝(4,0,0)，AC →＝(2，3，－3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥BC →，n ⊥AC→ 得⎩⎨⎧x 2＝0，2x 2＋3y 2－3z 2＝0.令y 2＝1，得n ＝(0,1,1)，∵m·n ＝(3，1，－1)·(0,1,1)＝0， ∴平面ABC ⊥平面ABE .(2)解 由(1)得cos 〈AC →，m 〉＝AC →·m |AC →||m |＝23＋3＋34＋3＋3·3＋1＋1＝265.∴直线AC 与平面ABE 所成角的正弦值为265.6． (1)证明 连结BD ，设AC 交BD 于点O ，由题意知SO ⊥平面ABCD ，以O 点为坐标原点，OB →、OC →、OS →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O —xyz 如图所示．设底面边长为a ，则高SO ＝62a . 于是S (0,0，62a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0， OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0， SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，∴OC →·SD →＝0.故OC ⊥SD ， 因此AC ⊥SD .(2)解 由题意知，平面PAC 的一个法向量DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，平面DAC 的一个法向量OS →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，62a ，设所求二面角为θ，则cos θ＝OS →·DS →|OS →||DS →|＝32，故所求二面角P —AC —D 的大小为30°. (3)解 在棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC .由(2)知DS →是平面PAC 的一个法向量，且DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－22a ，62a ， BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a ，0，设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a 1－t ，62at .由BE →·DS →＝0，得t ＝13，即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →. 而BE 不在平面PAC 内， 故BE ∥平面PAC .。

3.1.2 复数的几何意义[学习目标] 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.知识点一 复平面的概念和复数的几何意义 1.复平面的概念根据复数相等的定义，任何一个复数z ＝a ＋b i ，都可以由一个有序实数对(a ，b )唯一确定.因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应.如图所示，点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋b i 可用点Z (a ，b )表示.这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数的几何意义按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )，这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样，我们还可以用平面向量来表示复数.如图所示，设复平面内的点Z 表示复数z ＝a ＋b i ，连接OZ ，显然向量OZ →由点Z 唯一确定；反过来，点Z (相对于原点来说)也可以由向量OZ →唯一确定.因此，复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数z ＝a ＋b i 平面向量OZ →，这是复数的另一种几何意义.思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？ (2)象限内的点与复数有何对应关系？ 答案 (1)不是.(2)第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正； 第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正； 第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负； 第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负. 知识点二 复数的模1.如图所示，向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|.如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(就是a 的绝对值).由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R ).2.复数的模的性质，设z 1，z 2是任意两个复数，则(1)|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|(|z 2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到).(2)|z n 1|＝|z 1|n (n ∈N *).(3)|||z 1|－|z 2|≤|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|，等号成立的条件是：①当|z 1＋z 2|＝|z 1|＋|z 2|时，即z 1，z 2所对应的向量同向共线；②当||z 1|－|z 2||＝|z 1＋z 2|时，即z 1，z 2所对应的向量反向共线.(4)||z 1|－|z 2||≤|z 1－z 2|≤|z 1|＋|z 2|，等号成立的条件是：①当|z 1－z 2|＝|z 1|＋|z 2|时，即z 1，z 2所对应的向量反向共线；②当||z 1|－|z 2||＝|z 1－z 2|时，即z 1，z 2所对应的向量同向共线. 思考 复数的模的几何意义是什么？答案 复数z 在复平面内对应的点为Z ，复数z 0在复平面内对应的点为Z 0，r 表示一个大于0的常数，则：①满足条件|z |＝r 的点Z 的轨迹为以原点为圆心，r 为半径的圆，|z |＜r 表示圆的内部，|z |＞r 表示圆的外部；②满足条件|z －z 0|＝r 的点Z 的轨迹为以Z 0为圆心，r 为半径的圆，|z －z 0|＜r 表示圆的内部，|z －z 0|＞r 表示圆的外部.题型一 复数与复平面内的点例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围. 解 复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 的实部为m 2－2m －8，虚部为m 2＋3m －10. (1)由题意得m 2－2m －8＝0. 解得m ＝－2或m ＝4.(2)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －8＜0，m 2＋3m －10＞0，∴2<m <4.(3)由题意，(m 2－2m －8)(m 2＋3m －10)<0， ∴2<m <4或－5<m <－2.(4)由已知得m 2－2m －8＝m 2＋3m －10，故m ＝25.反思与感悟 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征.跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i. (1)对应的点在x 轴上方； (2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上.解 (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3或m >5，所以当m <－3或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方.(2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0， 得m ＝1或m ＝－52，所以当m ＝1或m ＝－52时，复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上. 题型二 复数的模的几何意义例2 设z ∈C ，在复平面内对应点Z ，试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形. (1)|z |＝2； (2)1≤|z |≤2.解 (1)方法一 |z |＝2说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2，这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.方法二 设z ＝a ＋b i ，由|z |＝2，得a 2＋b 2＝4.故点Z 对应的集合是以原点O 为圆心，2为半径的圆.(2)不等式1≤|z |≤2可以转化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|z |≤2，|z |≥1.不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2及该圆内部所有点的集合.不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.反思与感悟解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决.跟踪训练2若复数z满足|z－i|≤2(i为虚数单位)，则z在复平面所对应的图形的面积为.答案2π解析设z＝x＋y i(x，y∈R)，则z－i＝x＋y i－i＝x＋(y－1)i，∴|z－i|＝x2＋(y－1)2，由|z －i|≤2知x2＋(y－1)2≤2，x2＋(y－1)2≤2.∴复数z对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，∴所求图形的面积为S＝2π.故填2π.题型三复数的模及其应用例3已知复数z＝3＋a i，且|z|<4，求实数a的取值范围.解方法一∵z＝3＋a i(a∈R)，∴|z|＝32＋a2，由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－7，7).方法二利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z＝3＋a i知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合.由图可知：－7<a<7.反思与感悟利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想；根据复数模的意义，结合图形，也可利用平面几何知识解答本题. 跟踪训练3 已知复数|z |＝1，求复数3＋4i ＋z 的模的最大值及最小值. 解 令ω＝3＋4i ＋z ，则z ＝ω－(3＋4i). ∵|z |＝1，∴|ω－(3＋4i)|＝1，∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心，1为半径的圆，如图，容易看出，圆上的点A 所对应的复数ωA 的模最大，为32＋42＋1＝6；圆上的点B 所对应的复数ωB 的模最小，为32＋42－1＝4，∴复数3＋4i ＋z 的模的最大值和最小值分别为6和4.复数与函数的综合应用对于求复数的题目，一般的解题思路是：先设出复数的代数形式，如z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用题目给出的条件，结合复数的相关概念和性质，列出方程(或方程组)，求出a ，b ，最后将复数的代数形式写出来.例4 已知f (z )＝|2＋z |－z ，且f (－z )＝3＋5i ，求复数z .分析 题目中出现了f (z )与f (－z )的关系式，可由f (z )得到f (－z )的另一种关系式.要求复数z ，只需设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，求出a ，b 即可.利用复数相等的充要条件即可列方程组求解. 解 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ). ∵f (z )＝|2＋z |－z ，∴f (－z )＝|2－z |＋z . 又∵f (－z )＝3＋5i ，∴|2－z |＋z ＝3＋5i ， ∴|2－(a ＋b i)|＋a ＋b i ＝3＋5i. 即(2－a )2＋(－b )2＋a ＋b i ＝3＋5i. 根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧(2－a )2＋(－b )2＋a ＝3，b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－10，b ＝5.∴复数z ＝－10＋5i.1.在复平面内，复数z＝i＋2i2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 B解析∵z＝i＋2i2＝－2＋i，∴实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限.2.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C 对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i答案 C解析由题意知点A的坐标为(6,5)，点B的坐标为(－2,3).由中点坐标公式，得线段AB的中点C的坐标为(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.3.复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，那么实数a的取值范围是.答案(－1,1)解析因为|z1|＝a2＋4，|z2|＝(－2)2＋12＝ 5.又因|z1|＜|z2|，所以a2＋4＜5，解得－1＜a＜1.4.在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2m i的点在直线y＝x上，则实数m的值为.答案9解析∵z＝(m－3)＋2m i表示的点在直线y＝x上，∴m－3＝2m，解得m＝9.5.已知z1＝2(1－i)，且|z|＝1，求|z－z1|的最大值.解如图所示，因为|z|＝1，所以z的轨迹可看作是半径为1，圆心为(0,0)的圆，而z1对应坐标系中的点为Z1(2，－2)，所以|z－z1|的最大值可以看成点(2，－2)到圆上的点的最大距离，则|z－z1|max＝22＋1.1.复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应.2.研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实、虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.一、选择题1.设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x |－(1－i)在复平面上的对应点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 B解析 ∵x ＝3＋4i ，∴|x |＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i.∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限.2.当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 D解析 复数z 在复平面内对应的点为Z (3m －2，m －1).由23<m <1，得3m －2>0，m －1<0.所以点Z 位于第四象限.故选D. 3.在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( ) A.－2－i B.－2＋i C.1＋2i D.－1＋2i答案 B解析 ∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i. 4.已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹是( ) A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆答案 A解析 由题意可知(|z |－3)(|z |＋1)＝0， 即|z |＝3或|z |＝－1. ∵|z |≥0，∴|z |＝3.∴复数z 对应的轨迹是1个圆.5.若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 B解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B.6.设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋tan B i 对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 B解析 因A 、B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B ＞π2，即A ＞π2－B ，sin A ＞cos B .cos B－tan A ＝cos B －sin Acos A ＜cos B －sin A ＜0，又tan B ＞0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B. 二、填空题7.设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋i·log 2(m －3)(m ∈R )，若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m 的值是 . 答案15解析 由题意知，复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )的实部x 和虚部y 满足方程x －2y ＋1＝0， 故log 2(m 2－3m －3)－2log 2(m －3)＋1＝0， 则log 2m 2－3m －3(m －3)2＝－1，∴m 2－3m －3(m －3)2＝12，∴m ＝±15.∵⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＞0，m －3＞0， ∴m ＞3＋212，∴m ＝15.8.若复数z ＝5cos α－4i(i 为虚数单位，－π＜α＜0)在复平面上的对应点在直线y ＝x －1上，则sin α＝ . 答案 －45解析 ∵复数z ＝5cos α－4i 在复平面上的对应点在直线y ＝x －1上，∴－4＝5cos α－1, 即cos α＝－35.又∵－π＜α＜0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 9.已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是 . 答案 (1，5)解析 由题意可知z ＝a ＋i.根据复数的模的定义，得|z |＝a 2＋1，而0＜a ＜2，故1＜|z |＜ 5. 10.复数z ＝log 123＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第 象限.答案 三解析 log 123<0，log 3 12<0，∴z ＝log 123＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第三象限.三、解答题11.设复数z ＝lg(m 2＋2m －14)＋(m 2－m －6)i ，求当实数m 为何值时： (1)z 为实数；(2)z 对应的点位于复平面的第二象限.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6＝0，m 2＋2m －14＞0，解得m ＝3(m ＝－2舍去). 故当m ＝3时，z 是实数.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2＋2m －14)＜0，m 2－m －6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜m 2＋2m －14＜1，m 2－m －6＞0. 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －14＞0，m 2＋2m －15＜0，m 2－m －6＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－1－15或m ＞－1＋15，－5＜m ＜3，m ＜－2或m ＞3.解得－5＜m ＜－1－15.故当－5＜m ＜－1－15时，z 对应的点位于复平面内的第二象限. 12.已知z 1＝－3＋4i ，|z |＝1，求|z －z 1|的最大值和最小值.解 如图，|z |＝1表示复数z 对应的点在以(0,0)为圆心，1为半径的圆上，而z 1在坐标系中的对应点的坐标为(－3,4)，∴|z －z 1|可看作是点(－3,4)到圆上的点的距离.由图可知，点(－3,4)到圆心(即原点)的距离为(－3)2＋42＝5，故|z －z 1|max ＝5＋1＝6，|z －z 1|min ＝5－1＝4.13.设全集U ＝C ，A ＝{z |||z |－1|＝1－|z |，z ∈C }，B ＝{z ||z |＜1，z ∈C }，若z ∈A ∩(∁U B )，求复数z 在复平面内对应的点的轨迹. 解 ∵z ∈C ，|z |∈R ，∴1－|z |∈R . ∵||z |－1|＝1－|z |，∴1－|z |≥0，即|z |≤1， ∴A ＝{z ||z |≤1，z ∈C }.又∵B ＝{z ||z |＜1，z ∈C }，∴∁U B ＝{z ||z |≥1，z ∈C }. ∵z ∈A ∩(∁U B )，∴z ∈A 且z ∈∁U B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧|z |≤1，|z |≥1，∴|z |＝1. 由复数的模的几何意义知，复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆.。

§3.1 回归分析的基本思想及其初步应用学习目标 1.了解随机误差、残差、残差图的概念.2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果.3.掌握建立线性回归模型的步骤.知识点一 线性回归模型思考 某电脑公司有5名产品推销员,其工作年限与年推销金额数据如下表：请问如何表示推销金额y 与工作年限x 之间的相关关系？y 关于x 的线性回归方程是什么？ 答案 画出散点图,由图可知,样本点散布在一条直线附近,因此可用回归直线表示变量之间的相关关系.设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^,则b ^＝∑i ＝15(x i －x )(y i －y )∑i ＝15(x i －x )2＝1020＝0.5, a ^＝y －b ^x ＝0.4.所以年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4. 梳理 (1)函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系. (2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.(3)对于一组具有线性相关关系的数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),回归直线y ＝bx ＋a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2,a ^＝y －b ^x ,其中(x ,y )称为样本点的中心.(4)线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ,其中a 和b 是模型的未知参数,e 称为随机误差,自变量x 称为解释变量,因变量y 称为预报变量. 知识点二 线性回归分析具有相关关系的两个变量的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.思考1 预报变量y ^与真实值y 一样吗？ 答案 不一定.思考2 预报值y ^与真实值y 之间误差大了好还是小了好？ 答案 越小越好. 梳理 (1)残差平方和法①e ^i ＝y i －y ^i ＝y i －b ^x i －a ^(i ＝1,2,…,n )称为相应于点(x i ,y i )的残差. ②残差平方和∑i ＝1n(y i －y ^i )2越小,模型的拟合效果越好.(2)残差图法残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适.这样的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高,回归方程的预报精度越高. (3)利用相关指数R 2刻画回归效果其计算公式为：R 2＝1－∑i ＝1n(y i －y ^i )2∑i ＝1n (y i －y )2,其几何意义：R 2越接近于1,表示回归的效果越好.知识点三 建立回归模型的基本步骤1.确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量.2.画出解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等).3.由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系,则选用线性回归方程).4.按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数.5.得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大,残差呈现不随机的规律性等).若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等.1.求线性回归方程前可以不进行相关性检验.( × )2.在残差图中,纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号.( √ )3.利用线性回归方程求出的值是准确值.( ×)类型一 求线性回归方程例1 某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析,得下表数据：(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^; (3)试根据求出的线性回归方程,预测记忆力为9的同学的判断力.⎝⎛⎭⎪⎪⎫相关公式：b ^＝∑i ＝1n x i y i－n x ·y ∑i ＝1n x 2i－n x 2，a ^＝y －b ^x 考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 解 (1)如图：(2)∑i ＝14x i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158,x ＝6＋8＋10＋124＝9,y ＝2＋3＋5＋64＝4, ∑i ＝14x 2i ＝62＋82＋102＋122＝344,b ^＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7,a ^＝y －b ^x ＝4－0.7×9＝－2.3,故线性回归方程为y ^＝0.7x －2.3.(3)由(2)中线性回归方程可知,当x ＝9时,y ^＝0.7×9－2.3＝4,预测记忆力为9的同学的判断力约为4.反思与感悟 (1)求线性回归方程的基本步骤①列出散点图,从直观上分析数据间是否存在线性相关关系.②计算：x ,y ,∑i ＝1nx 2i ,∑i ＝1ny 2i ,∑i ＝1nx i y i .③代入公式求出y ^＝b ^x ＋a ^中参数b ^,a ^的值. ④写出线性回归方程并对实际问题作出估计.(2)需特别注意的是,只有在散点图大致呈线性时,求出的回归方程才有实际意义,否则求出的回归方程毫无意义.跟踪训练1 假设关于某设备的使用年限x (年)和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计数据：由此资料可知y 对x 呈线性相关关系. (1)求线性回归方程;(2)求使用年限为10年时,该设备的维修费用为多少？ 考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 解 (1)由上表中的数据可得 x ＝4,y ＝5,∑i ＝15x 2i ＝90,∑i ＝15x i y i ＝112.3,∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x ·y ∑i ＝15x 2i －5x2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23,∴a ^＝y －b ^x ＝5－1.23×4＝0.08.∴线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.(2)当x ＝10时,y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38.即使用年限为10年时,该设备的维修费用约为12.38万元. 类型二 回归分析命题角度1 线性回归分析例2 在一段时间内,某种商品的价格x 元和需求量y 件之间的一组数据为：求出y 对x 的线性回归方程,并说明拟合效果的程度. 考点 残差分析与相关指数 题点 残差及相关指数的应用 解 x ＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18,y ＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4.∑i ＝15x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660, ∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620,可得回归系数b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y ∑i ＝15x 2i －5x2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1.15,所以a ^＝7.4＋1.15×18＝28.1,所以线性回归方程为y ^＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表：则∑i ＝15(y i －y ^i )2＝0.3,∑i ＝15(y i －y )2＝53.2.R 2＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )2∑i ＝15(y i －y )2≈0.994.所以回归模型的拟合效果很好.反思与感悟 (1)该类题属于线性回归问题,解答此类题应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关,然后再利用求回归方程的公式求解回归方程,并利用残差图或相关指数R 2来分析函数模型的拟合效果,在此基础上,借助线性回归方程对实际问题进行分析. (2)刻画回归效果的三种方法①残差图法,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适. ②残差平方和法：残差平方和∑i ＝1n(y i －y ^i )2越小,模型的拟合效果越好.③相关指数法：R 2＝1－∑i ＝1n(y i －y ^i )2∑i ＝1n (y i －y )2越接近1,表明回归的效果越好.跟踪训练2 关于x 与y 有如下数据：有如下的两个线性模型：(1)y ^＝6.5x ＋17.5;(2)y ^＝7x ＋17.试比较哪一个拟合效果更好. 考点 残差分析与相关指数 题点 残差及相关指数的应用解 由(1)可得y i －y ^i 与y i －y 的关系如下表：∴∑i ＝15(y i －y ^i )2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155,∑i ＝15(y i －y )2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.∴R 21＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )2∑i ＝15(y i －y )2＝1－1551 000＝0.845.由(2)可得y i －y ^i 与y i －y 的关系如下表：∴∑i ＝15(y i －y ^i )2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180,∑i ＝15(y i －y )2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.∴R 22＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )2∑i ＝15(y i －y )2＝1－1801 000＝0.82.由于R 21＝0.845,R 22＝0.82,0.845>0.82, ∴R 21>R 22.∴(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果. 命题角度2 非线性回归分析例3 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i ＝x i ,w ＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断,y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时,年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(u i －u )(v i －v )∑i ＝1n(u i －u )2,α^＝v －β^u .考点 非线性回归分析 题点 非线性回归分析解 (1)由散点图可以判断,y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型. (2)令w ＝x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^＝∑i ＝18(w i －w )(y i －y )∑i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68,c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ,因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知,当x ＝49时,年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6,年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.62＝6.8,即x ＝46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大. 反思与感悟 求非线性回归方程的步骤 (1)确定变量,作出散点图.(2)根据散点图,选择恰当的拟合函数.(3)变量置换,通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题,并求出线性回归方程. (4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果. (5)根据相应的变换,写出非线性回归方程.跟踪训练3 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点,数值如下表：试建立y 与x 之间的回归方程. 考点 非线性回归分析 题点 非线性回归分析 解 由数值表可作散点图如图,根据散点图可知y 与x 近似地呈反比例函数关系,设y ^＝k x ,令t ＝1x,则y ^＝kt ,原数据变为：由置换后的数值表作散点图如下：由散点图可以看出y 与t 呈近似的线性相关关系,列表如下：所以t ＝1.55,y ＝7.2.所以b ^＝∑i ＝15t i y i －5t y∑i ＝15t 2i －5t2≈4.134 4,a ^＝y －b ^t ≈0.8.所以y ^＝4.134 4t ＋0.8.所以y 与x 之间的回归方程是y ^＝4.134 4x＋0.8.1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( ) A.角度和它的余弦值 B.正方形的边长和面积C.正n 边形的边数和内角度数和D.人的年龄和身高 考点 回归分析题点 回归分析的概念和意义 答案 D解析 函数关系就是变量之间的一种确定性关系.A,B,C 三项中的两个变量之间都是函数关系,可以写出相应的函数表达式,分别为f (θ)＝cos θ,g (a )＝a 2,h (n )＝(n －2)π.D 选项中的两个变量之间不是函数关系,对于年龄确定的人群,仍可以有不同的身高,故选D.2.设有一个线性回归方程y ^＝2－1.5x ,当变量x 增加1个单位时( ) A.y 平均增加1.5个单位 B.y 平均增加2个单位 C.y 平均减少1.5个单位 D.y 平均减少2个单位 考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 C解析 由回归方程中两个变量之间的关系可以得到.3.如图四个散点图中,适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )A.①②B.①③C.②③D.③④ 考点 回归分析题点 回归分析的概念和意义 答案 B解析 由图易知①③两个图中样本点在一条直线附近,因此适合用线性回归模型.4.某产品在某零售摊位的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^＝－5,据此模型预测当零售价为14.5元时,每天的销售量为( ) A.51个 B.50个 C.54个D.48个考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 C解析 由题意知x ＝17.5,y ＝39,代入回归直线方程得a ^＝126.5,126.5－14.5×5＝54,故选C. 5.已知x ,y 之间的一组数据如下表：(1)分别计算：x ,y ,x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4,x 21＋x 22＋x 23＋x 24;(2)已知变量x 与y 线性相关,求出线性回归方程. 考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程解 (1)x ＝0＋1＋2＋34＝1.5,y ＝1＋3＋5＋74＝4,x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34,x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝02＋12＋22＋32＝14. (2)b ^＝34－4×1.5×414－4×1.52＝2,a ^＝y －b ^x ＝4－2×1.5＝1,故线性回归方程为y ^＝2x ＋1.回归分析的步骤：(1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量;(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等);(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系,则选用线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^); (4)按一定规则估算回归方程中的参数;(5)得出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大,或残差呈现不随机的规律性等),若存在异常,则检查数据是否有误或模型是否合适等.一、选择题1.对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^(b ^>0),下列说法错误的是( )A.当x 增加一个单位时,y ^的值平均增加b ^个单位B.点(x ,y )一定在y ^＝b ^x ＋a ^所表示的直线上C.当x ＝t 时,一定有y ＝b ^t ＋a ^D.当x ＝t 时,y 的值近似为b ^t ＋a ^考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 C解析 线性回归方程是一个模拟函数,它表示的是一系列离散的点大致所在直线的位置及其大致变化规律,所以有些散点不一定在回归直线上.2.给定x 与y 的一组样本数据,求得相关系数r ＝－0.690,则( ) A.y 与x 的线性相关性很强 B.y 与x 的相关性很强 C.y 与x 正相关 D.y 与x 负相关 考点 线性相关系数 题点 线性相关系数的应用 答案 D解析 因为r ＜0,所以y 与x 负相关,又|r |∈[0.75,1]才表示y 与x 具有很强的线性相关性,所以选D.3.某校小卖部为了了解奶茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系,随机统计了某4天卖出的奶茶杯数与当天的气温,得到下表中的数据,并根据该样本数据用最小二乘法建立了线性回归方程y ^＝－2x ＋60,则样本数据中污损的数据y 0应为( )A.58B.64C.62D.60 考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 B解析 由表中数据易知x ＝10,代入y ^＝－2x ＋60中,得y ^＝40.由y 0＋34＋38＋244＝40,得y 0＝64.4.已知变量x 与y 负相关,且由观测数据求得样本平均数x ＝3,y ＝3.5,则由该观测数据求得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝－2x ＋9.5B.y ^＝2x －2.4C.y ^＝－0.3x －4.4 D.y ^＝0.4x ＋2.3考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 答案 A解析 因为变量x 与y 负相关,所以排除B,D,将样本平均数x ＝3,y ＝3.5代入选项验证可知,选项A 符合题意.5.对变量x ,y 进行回归分析时,依据得到的4个不同的回归模型画出残差图,则下列模型拟合精度最高的是( )考点 残差分析与相关指数 题点 残差及相关指数的应用 答案 A解析 用残差图判断模型的拟合效果,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高. 6.根据如下样本数据得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^,则( )A.a ^>0,b ^>0B.a ^>0,b ^＜0C.a ^＜0,b ^>0 D.a ^＜0,b ^＜0考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 B解析 作出散点图如下：观察图象可知,回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率b ^＜0,当x ＝0时,y ^＝a ^>0.故a ^>0,b ^＜0.7.已知某地的财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ＝bx ＋a ＋e (单位：亿元),其中b ＝0.8,a ＝2,|e |≤0.5,如果今年该地区的财政收入为10亿元,那么年支出预计不会超过( ) A.9亿元 B.10亿元 C.9.5亿元D.10.5亿元考点 残差分析与相关指数 题点 残差及相关指数的应用 答案 D解析 y ＝0.8×10＋2＋e ＝10＋e ≤10.5. 8.下列数据符合的函数模型为( )A.y ＝2＋13xB.y ＝2e xC.y ＝21e xD.y ＝2＋ln x考点 非线性回归分析 题点 非线性回归分析 答案 D解析 分别将x 值代入解析式判断知满足y ＝2＋ln x .9.为了考查两个变量x 和y 之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做了100次和150次试验,并且利用最小二乘法求得的回归直线分别为l 1和l 2.已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s ,对变量y 的观测数据的平均值都是t ,那么下列说法中正确的是( )A.l 1与l 2有交点(s ,t )B.l 1与l 2相交,但交点不一定是(s ,t )C.l 1与l 2必定平行D.l 1与l 2必定重合 考点 线性回归方程 题点 样本点中心的应用 答案 A解析 回归直线l 1,l 2都过样本点的中心(s ,t ),但它们的斜率不确定,故选项A 正确. 二、填空题10.在一组样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )(n ≥2,x 1,x 2,…,x n 不全相等)的散点图中,若所有样本点(x i ,y i )(i ＝1,2,…,n )都在直线y ＝12x ＋1上,则这组样本数据的样本相关系数为________.考点 线性相关系数 题点 线性相关系数的应用 答案 1解析 根据样本相关系数的定义可知,当所有样本点都在一条直线上时,相关系数为1. 11.若一个样本的总偏差平方和为80,残差平方和为60,则相关指数R 2为________. 考点 线性相关系数 题点 线性相关系数的应用 答案 0.25解析 R 2＝1－6080＝0.25.12.已知一个线性回归方程为y ^＝1.5x ＋45,x ∈{1,5,7,13,19},则y ＝________.考点 线性回归方程 题点 样本点中心的应用 答案 58.5解析 ∵x ＝1＋5＋7＋13＋195＝9,且y ^＝1.5x ＋45,∴y ＝1.5×9＋45＝58.5.13.在研究两个变量的相关关系时,观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y ＝e bx＋a的周围.令z ^＝ln y ,求得线性回归方程为z ^＝0.25x －2.58,则该模型的回归方程为________. 考点 非线性回归分析 题点 非线性回归分析 答案 y ＝e 0.25x－2.58解析 因为z ^＝0.25x －2.58,z ^＝ln y , 所以y ＝e 0.25x －2.58.三、解答题14.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验,得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^,并在坐标系中画出回归直线; (3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y )∑i ＝1nx 2i －n x2,a ^＝y －b ^x )考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程解 (1)散点图如图.(2)由表中数据得∑i ＝14x i y i ＝52.5,x ＝3.5,y ＝3.5,∑i ＝14x 2i ＝54,所以b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x2＝52.5－4×3.5×3.554－4×3.52＝0.7,所以a ^＝y －b ^ x ＝3.5－0.7×3.5＝1.05.所以y ^＝0.7x ＋1.05. 回归直线如图中所示.(3)将x ＝10代入回归直线方程,得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05, 所以预测加工10个零件需要8.05小时. 四、探究与拓展15.甲、乙、丙、丁4位同学各自对A ,B 两变量进行回归分析,分别得到散点图与残差平方和∑i ＝1n(y i －y ^i )2如下表：以上的试验结果体现拟合A ,B 两变量关系的模型拟合精度高的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 考点 残差分析与相关指数题点 残差及相关指数的应用 答案 D解析 根据线性相关的知识,散点图中各样本点条状分布越均匀,同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据,R 2的表达式中∑i ＝1n(y i －y )2为确定的数,则残差平方和越小,R 2越大),由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好,由试验结果知丁要好些. 16.为了研究某种细菌随时间x 变化繁殖个数y 的变化情况,收集数据如下：(1)用时间作解释变量,繁殖个数作预报变量作出这些数据的散点图; (2)求y 与x 之间的回归方程;(3)计算相关指数R 2,并描述解释变量与预报变量之间的关系. 考点 非线性回归分析 题点 非线性回归分析 解 (1)散点图如图所示：(2)由散点图看出样本点分布在一条指数曲线y ＝c 1e c 2x 的周围,于是令z ＝ln y ,则所以z ^＝0.69x ＋1.115,则有y ^＝e 0.69x ＋1.115.(3)∑i ＝16e ^2i ＝∑i ＝16(y i －y ^)2＝4.816 1,∑i ＝16(y i －y )2≈∑i ＝16y 2i －6y 2≈24 642.83,R 2＝1－∑i ＝16(y i －y ^i )2∑i ＝16(y i －y )2≈1－4.816 124 642.83≈0.999 8,即时间解释了99.98%的细菌繁殖个数的变化.。

3．1 回归分析的基本思想及其初步应用[学习目标]1．了解随机误差、残差、残差图的概念．2．会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果． 3．掌握建立线性回归模型的步骤． [知识链接]1．什么叫回归分析？答 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法． 2．回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？答 不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等． [预习导引] 1．线性回归模型(1)函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系． (2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (3)对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑ni ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2＝∑ni ＝1x i y i －nx －y －∑ni ＝1x 2i－nx －2，a ^＝y －－b ^x －，其中(x －，y －)称为样本点的中心．(4)线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ，其中a 和b 是模型的未知参数，e 称为随机误差，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量． 2．残差的概念对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )而言，它们的随机误差为e i ＝y i －bx i －a ，i ＝1，2，…，n ，其估计值为e ^i ＝y i －y ^i ＝y i －b ^x i －a ^，i ＝1，2，…，n ，e ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差． 3．刻画回归效果的方式 (1)残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高． (2)残差平方和法残差平方和∑ni ＝1 (y i －y ^i )2，残差平方和越小，模型拟合效果越好． (3)利用R 2刻画回归效果R 2＝1－∑ni ＝1（y i －y ^i ）2∑n i ＝1 （y i －y －）2；R 2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率．R 2越接近于1，表示回归的效果越好.要点一 求线性回归方程例1 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)画出散点图；(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归直线方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． 解 (1)散点图如图．(2)x －＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y －＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑5i ＝1x i y i＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054. ∑5i ＝1x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. 所以b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x － y －∑5i ＝1x 2i－5x －2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625. a ^＝y －－b ^x －≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y 对x 的回归直线方程是y ^＝0.625x ＋22.05. (3)x ＝96，则y ^＝0.625×96＋22.05≈82， 即可以预测他的物理成绩是82.规律方法 (1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析．(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．跟踪演练1 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解 (1)数据对应的散点图如下图所示：(2)x －＝15∑5i ＝1x i ＝109，∑5i ＝1(x i －x －)2＝1 570， y －＝23.2，∑5i ＝1 (x i －x －)(y i －y －)＝308. 设所求回归直线方程为y ^＝b^x ＋a ^， 则b ^＝∑5i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑5i ＝1（x i －x －）2＝3081 570≈0.196 2， a ^＝y －－b ^x －＝0.181 42.故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.814 2. 回归直线如上图所示．(3)据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为 y ^＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)． 要点二 线性回归分析例2 为研究重量x (单位：克)对弹簧长度y (单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：(1)作出散点图并求线性回归方程； (2)求出R 2； (3)进行残差分析． 解 (1)散点图如图x －＝16(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，y －＝16(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，∑6i ＝1x 2i ＝2 275，∑6i ＝1x i y i＝1 076.2 计算得，b^≈0.183，a ^≈6.285， 所求回归直线方程为y ^＝0.183x ＋6.285. (2)列表如下：所以∑6i ＝1 (y i －y ^i )2≈0.013 18，∑6i ＝1(y i －y －)2＝14.678 4. 所以，R 2＝1－0.013 1814.678 4≈0.999 1，回归模型的拟合效果较好．(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．规律方法 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后，通过残差e ^1，e ^2，…，e^n来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据．若残差点比较均匀地分布在水平带状区域内，带状区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高．跟踪演练2 已知某种商品的价格x (元)与需求量y (件)之间的关系有如下一组数据：求y 对x 的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏． 解 x －＝15(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y －＝15(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑5i ＝1x 2i＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， ∑5i ＝1x i y i＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620， 所以b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x － y －∑5i ＝1x 2i －5x －2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1.15. a^＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求回归直线方程是y ^＝－1.15x ＋28.1. 列出残差表：所以，∑5i ＝1 (y i －y ^i )2＝0.3，∑5i ＝1(y i －y －)2＝53.2， R 2＝1－∑5i ＝1（y i －y ^i ）2∑5i ＝1 （y i －y －）2≈0.994， 所以回归模型的拟合效果很好． 要点三 非线性回归分析 例3 下表为收集到的一组数据：(1)作出x 与y 的散点图，并猜测x 与y 之间的关系； (2)建立x 与y 的关系，预报回归模型并计算残差； (3)利用所得模型，预报x ＝40时y 的值．解(1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y＝c1e c2x的周围，其中c1，c2为待定的参数．(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z＝ln y，则有变换后的样本点应分布在直线z＝bx＋a(a＝ln c1，b＝c2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了，数据可以转化为^＝0.272x－3.849，求得回归直线方程为z^＝e0.272x－3.849.∴y残差(3)当x＝40时，y＝e0.272x－3.849≈1 131.规律方法解决非线性回归问题的方法及步骤(1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y；(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型；(3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题；(4)分析拟合效果：通过计算相关指数等来判断拟合效果；(5)写出非线性回归方程．跟踪演练3为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：(1)用天数x 作解释变量，繁殖个数y 作预报变量，作出这些数据的散点图； (2)描述解释变量x 与预报变量y 之间的关系； (3)计算相关指数．解 (1)作散点图如图所示．(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y ＝c 1e c 2x 的周围，于是令z ＝ln y ，则有变换后的样本点应分布在直线z ＝bx ＋a (a ＝ln c 1，b ＝c 2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y 与x 之间的非线性回归方程了，数据可以转化为由计算器得：z ^＝0.69x ＋1.115，则有y ^＝e 0.69x ＋1.115. (3)y －＝3776，∑n i ＝1 e ^21＝∑n i ＝1(y i －y ^)2＝4.816 1， ∑n i ＝1 (y i －y －)2＝24 642.8，R 2＝1－4.816 124 642.8≈0.999 8， 即解释变量天数对预报变量繁殖细菌个数解释了99.98%.1．下列各组变量之间具有线性相关关系的是( ) A ．出租车费与行驶的里程 B ．学习成绩与学生身高C ．身高与体重D ．铁的体积与质量 答案 C2．若劳动生产率x (千元)与月工资y (元)之间的线性回归方程为y ^＝50＋80x ，则下列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1 000元时，月工资为130元B ．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高80元C ．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高130元D ．月工资为210元时，劳动生产率为2 000元 答案 B3．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200 D.y ^＝10x －200 答案 A解析 由于销售量y 与销售价格x 成负相关，故排除B 、D.又当x ＝10时，A 中y ＝100，而C 中y ＝－300，C 不符合题意，故选A.4．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：(1)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额． 解 (1)设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^， 则b ^＝∑5i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑5i ＝1（x i －x －）2＝1020＝0.5， a ^＝y －－b ^x －＝0.4.所以年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4.(2)当x＝11时，y^＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．回归分析的基本思路(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y^＝b^x＋a^)；(4)按一定规则估计回归方程中的参数；(5)提出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等.一、基础达标1．在下列各量之间，存在相关关系的是()①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电价之间的关系．A．②③B．③④C．④⑤D．②③④答案D2．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x －85.71，下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x－，y－)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 答案 D解析 由回归方程为y ^＝0.85x －85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系；由最小二乘法建立回归方程的过程知y ^＝b ^x ＋a ^＝b ^x ＋y －－b ^x －(a ^＝y －－b ^x －)，所以回归直线过样本点的中心(x －，y －)；利用回归方程可以估计总体，所以D 不正确．3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元 答案 B解析 ∵x －＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋544＝42，又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)，∴42＝72×9.4＋a^，∴a ^＝9.1.∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.∴当x ＝6(万元)时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．4．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和∑ni ＝1(y i －y ^i )2如下表哪位同学的实验结果体现拟合A ，B 两变量关系的模型拟合精度高？( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 答案 D5．如果散点图的所有点都在一条直线上，则残差均为________，残差平方和为________，相关指数为________． 答案 0 0 16．对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2，3)点，则这条回归直线的方程为________． 答案 y ^＝－10＋6.5x解析 由题意知x －＝2，y －＝3，b ^＝6.5，所以a ^＝y －－b ^x －＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为y ^＝－10＋6.5x .7．某个服装店经营某种服装，在某周内纯获利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据如下表：(1)求样本中心点； (2)画出散点图；(3)求纯获利y 与每天销售件数x 之间的回归方程．解 (1)x －＝6，y －＝79.86，中心点(6，79.86)． (2)散点图如下：(3)因为b ^＝∑7i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑7i ＝1（x i －x －）2≈4.75， a ^＝y －－b ^x －≈51.36，所以y ^＝4.75x ＋51.36.二、能力提升8．(2013·福建)已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( ) A.b^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′ 答案 C解析 x －＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝72，y －＝0＋2＋1＋3＋3＋46＝136，b ^＝∑ni ＝1x i y i －nx － y －∑n i ＝1x 2i－nx －2＝57， a ^＝y －－b ^x －＝－13，b ′＝2－02－1＝2＞b ^，a ′＝－2＜a ^.9．下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归方程必过( )A.点(2，3) B ．点(1.5，4) C ．点(2.5，4) D ．点(2.5，5) 答案 C解析 回归方程必过样本点的中心(x －，y －)，即(2.5，4)．10．如图是x 和y 的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关指数最大．答案 D (3，10)解析 去掉D (3，10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大． 11．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，先将数据处理如下：对处理的数据，容易算得x －＝0，y －＝3.2，b^＝（－4）×（－21）＋（－2）×（－11）＋2×19＋4×29－5×0×3.2（－4）2＋（－2）2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a ^＝y －－b ^x －＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y ^－257＝6.5(x －2 006)＋3.2.即y ^＝6.5(x －2 006)＋260.2.(2)利用所求得的直线方程，可预测2012年的粮食需求量为6.5×(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．12．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－20，a ^＝y －－b ^x －；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入—成本)解 (1)x －＝8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋96＝8.5，y －＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80∵b ^＝－20，a ^＝y ^－b ^x －，∴a^＝80＋20×8.5＝250 ∴回归直线方程y ^＝－20x ＋250；(2)设工厂获得的利润为L 元，则L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20(x －334)2＋361.25∴该产品的单位应定为334元，工厂获得的利润最大． 三、探究与创新13．(2013·重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x －＋a^；(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑ni ＝1x i y i －nx － y －∑n i ＝1x 2i－nx －2，a ^＝y －－bx －， 其中x －，y －为样本平均值． 解 (1)由题意知n ＝10，x －＝1n ∑n i ＝1x i ＝8010＝8，y －＝1n ∑n i ＝1y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑ni ＝1x 2i－nx －2＝720－10×82＝80， l xy ＝∑ni ＝1x i y i－nx －y －＝184－10×8×2＝24， 由此得b ^＝l xy l xx＝2480＝0.3，a ^＝y －－b ^x －＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．。

1 空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具,但要用好向量这一工具解题,必须熟练运用加减法运算.第1层 用已知向量表示未知向量例1 如图所示,M ,N 分别是四面体OABC 的边OA ,BC 的中点,P ,Q 是MN 的三等分点,用向量OA →,OB →,OC →表示OP →和OQ →.解 OP →＝OM →＋MP → ＝12OA →＋23MN → ＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23(ON →－12OA →) ＝16OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →； OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN →＝12OA →＋13(ON →－OM →) ＝12OA →＋13(ON →－12OA →) ＝13OA →＋13×12(OB →＋OC →)＝13OA →＋16OB →＋16OC →.点评 用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立. 第2层 化简向量例2 如图,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD .设M ,G 分别是BC ,CD 的中点,化简下列各表达式,并标出化简结果的向量.(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋12(BD →＋BC →)；(3)AG →－12(AB →＋AC →).解 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12BC →＋12BD →＝AB →＋BM →＋MG →＝AG →. (3)AG →－12(AB →＋AC →)＝AG →－AM →＝MG →. AD →,AG →,MG →如图所示.点评 要求空间若干向量之和,可以通过平移,将它们转化为首尾相接的向量,如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形,则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间仍成立,求始点相同的两个向量之和时,可以考虑运用平行四边形法则. 第3层 证明立体几何问题例3 如图,已知M 、N 分别为四面体ABCD 的面BCD 与面ACD 的重心,且G 为AM 上一点,且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ,G ,N 三点共线. 证明 设AB →＝a ,AC →＝b ,AD →＝c , 则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ,BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →.∴BN →∥BG →,即B ,G ,N 三点共线.2 空间向量易错点扫描易错点1 对向量夹角与数量积的关系理解不清例1 “a·b <0”是“〈a ,b 〉为钝角”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 错解 a·b <0⇔cos 〈a ,b 〉＝a·b|a||b |<0⇔〈a ,b 〉为钝角,所以“a·b <0”是“〈a ,b 〉为钝角”的充要条件.错因分析 错解中忽略了两个向量共线且反向的情况.剖析 当〈a ,b 〉＝π时,a·b <0,但此时夹角不为钝角,所以“a·b <0”是“〈a ,b 〉为钝角”的必要不充分条件. 正解 必要不充分总结 a·b <0⇔a 与b 夹角为钝角或a 与b 方向相反,a·b >0⇔a 与b 夹角为锐角或a 与b 方向相同.易错点2 忽略两向量的夹角的定义例2 如图所示,在120°的二面角α—AB —β中,AC ⊂α,BD ⊂β,且AC ⊥AB ,BD ⊥AB ,垂足分别为A ,B .已知AC ＝AB ＝BD ＝6,试求线段CD 的长.错解 ∵AC ⊥AB ,BD ⊥AB , ∴CA →·AB →＝0,BD →·AB →＝0,∵二面角α—AB —β的平面角为120°, ∴〈CA →,BD →〉＝120°.∴CD 2＝CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3×62＋2×62×cos 120°＝72,∴CD ＝6 2. 错因分析 错解中混淆了二面角的平面角与向量夹角的概念.向量CA →,BD →的夹角与二面角α—AB —β的平面角互补,而不是相等. 正解 ∵AC ⊥AB ,BD ⊥AB , ∴CA →·AB →＝0,BD →·AB →＝0,∵二面角α—AB —β的平面角为120°, ∴〈CA →,BD →〉＝180°－120°＝60°. ∴CD 2＝CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3×62＋2×62×cos 60°＝144,∴CD ＝12. 易错点3 判断是否共面出错例3 已知O ,A ,B ,C 为空间不共面的四点,a ＝OA →＋OB →＋OC →,b ＝OA →＋OB →－OC →,则与a ,b 不能构成空间的一个基底的是( ) A.OA → B.OB → C.OC → D.OA →或OB →错解 a ＝OA →＋OB →＋OC →,b ＝OA →＋OB →－OC →, 相加得OA →＋OB →＝12(a ＋b ),所以OA →,OB →都与a ,b 共面,不能构成空间的一个基底,故选D.剖析 OA →＋OB →＝12(a ＋b ),说明OA →＋OB →与a ,b 共面,但不能认为OA →,OB →都与a ,b 共面.对A,B ：设OA →＝x a ＋y b ,因为a ＝OA →＋OB →＋OC →,b ＝OA →＋OB →－OC →,代入整理得(x ＋y －1)OA →＋(x ＋y )OB →＋(x －y )OC →＝0,因为O ,A ,B ,C 四点不共面, 所以OA →,OB →,OC →不共面,所以x ＋y －1＝0,x ＋y ＝0,x －y ＝0, 此时,x ,y 不存在,所以a 、b 与OA →不共面, 故a ,b 与OA →可构成空间的一个基底. 同理a ,b 与OB →也可构成空间的一个基底.对C ：因为a ＝OA →＋OB →＋OC →,b ＝OA →＋OB →－OC →,相减有OC →＝12(a －b ),所以OC →与a ,b 共面,故不能构成空间的一个基底. 正解 C易错点4 混淆向量运算和实数运算 例4 下列各式中正确的是( ) A.a ·b ＝b ·c (b ≠0)⇒a ＝c B.a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0 C.(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )D.OA →·BO →＝|OA →||BO →|cos(180°－∠AOB ) 错解 A(或B 或C)剖析 想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价,以致出错.向量的数量积运算不满足消去律、结合律 ,故A 、C 错误；若a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0或a ⊥b ,故B 错误；OA →·BO →的夹角是180°－∠AOB . 正解 D易错点5 忽略建系的前提例5 四边形ABCD 是边长为2的菱形,∠ABC ＝60°,AE ⊥平面ABCD ,AE ＝2,F 为CE 中点,试合理建立坐标系,求AF →与BC →所成角的余弦值.错解 以A 为坐标原点,以AB →,AD →,AE →的方向分别为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系Axyz . 此时AF →＝(1,1,1),BC →＝(0,2,0),所以cos 〈AF →,BC →〉＝33.剖析 空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直,而本题中直线AB 与AD 不垂直. 正解 设AC ,BD 交于点O ,则AC ⊥BD . 因为F 为CE 中点,所以OF ∥AE , 因为AE ⊥平面ABCD ,所以OF ⊥平面ABCD ,OF ⊥AC ,OF ⊥BD ,以O 为坐标原点,以OC →,OD →,OF →的方向分别为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz . 此时AF →＝(1,0,1),BC →＝(1,3,0), 所以cos 〈AF →,BC →〉＝24.易错点6 求空间角时,因对所求角与向量夹角的关系不理解致误 例6 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,求二面角A －BD 1－C 的大小.错解 以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz , 设正方体的棱长为1, 则D (0,0,0),A 1(1,0,1), C 1(0,1,1).由题意知DA 1→是平面ABD 1的一个法向量,DA 1→＝(1,0,1),DC 1→是平面BCD 1的一个法向量,DC 1→＝(0,1,1),所以cos 〈DA 1→,DC 1→〉＝DC 1→·DA 1→|DC 1→||DA 1→|＝12.所以〈DA 1→,DC 1→〉＝60°.所以二面角A －BD 1－C 的大小为60°.剖析 利用向量法求所成角问题,需注意所求的角的确切位置.正解 以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ,设正方体的棱长为1, 则D (0,0,0),A 1(1,0,1),C 1(0,1,1).由题意知DA 1→＝(1,0,1)是平面ABD 1的一个法向量,DC 1→＝(0,1,1)是平面BCD 1的一个法向量.所以cos 〈DA 1→,DC 1→〉＝DC 1→·DA 1→|DC 1→||DA 1→|＝12,所以〈DA 1→,DC 1→〉＝60°.结合图形知二面角A －BD 1－C 的大小为120°.3 空间直角坐标系构建三策略利用空间向量的方法解决立体几何问题,关键是依托图形建立空间直角坐标系,将其他向量用坐标表示,通过向量运算,判定或证明空间元素的位置关系,以及空间角、空间距离问题的探求.所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要,下面简述空间建系的三种方法,希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢,化解自如. 1.利用共顶点的互相垂直的三条棱例1 已知直四棱柱中,AA 1＝2,底面ABCD 是直角梯形,∠DAB 为直角,AB ∥CD ,AB ＝4,AD ＝2,DC ＝1,试求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值.解 如图,以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系Dxyz ,则D (0,0,0),C 1(0,1,2),B (2,4,0),C (0,1,0), 所以BC 1→＝(－2,－3,2),CD →＝(0,－1,0).所以cos 〈BC 1→,CD →〉＝BC 1→·CD →|BC 1→||CD →|＝31717.故异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值为31717.点评 本例以直四棱柱为背景,求异面直线所成角.求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼,建立空间直角坐标系,写出有关点的坐标和相关向量的坐标,再求两异面直线的方向向量的夹角即可. 2.利用线面垂直关系例2 如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB ⊥平面BB 1C 1C ,E 为棱C 1C 的中点,已知AB ＝2,BB 1＝2,BC ＝1,∠BCC 1＝π3.试建立合适的空间直角坐标系,求出图中所有点的坐标.解 过点B 作BP 垂直BB 1交C 1C 于点P , 因为AB ⊥平面BB 1C 1C ,所以AB ⊥BP , 又BP ⊥BB 1,BB 1∩AB ＝B ,且BB 1,AB ⊂平面ABB 1A 1,所以BP ⊥平面ABB 1A 1,以B 为坐标原点,分别以BP ,BB 1,BA 所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系Bxyz . 因为AB ＝2,BB 1＝2,BC ＝1,∠BCC 1＝π3,所以CP ＝12,C 1P ＝32,BP ＝32,则各点坐标分别为B (0,0,0),A (0,0,2),B 1(0,2,0),C ⎝⎛⎭⎫32，－12，0,C 1⎝⎛⎭⎫32，32，0,E ⎝⎛⎭⎫32，12，0,A 1(0,2,2),p ⎝⎛⎭⎫32，0，0. 点评 空间直角坐标系的建立,要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上,这样建成的坐标系,既能迅速写出各点的坐标,又由于坐标轴上的点的坐标含有0,也为后续的运算带来了方便.本题已知条件中的垂直关系“AB ⊥平面BB 1C 1C ”,可作为建系的突破口.3.利用面面垂直关系例3 如图1,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ＝AD ＝2,∠ABC ＝60°,E 是BC 的中点.将△ABE 沿AE 折起,使平面BAE ⊥平面AEC (如图2),连接BC ,BD .求平面ABE 与平面BCD 所成的锐角的大小.解 取AE 中点M ,连接BM ,DM .因为在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ＝AD ,∠ABC ＝60°,E 是BC 的中点, 所以△ABE 与△ADE 都是等边三角形, 所以BM ⊥AE ,DM ⊥AE .又平面BAE ⊥平面AEC ,所以BM ⊥MD .以M 为坐标原点,分别以ME ,MD ,MB 所在的直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系Mxyz ,如图,则B (0,0,3),C (2,3,0),D (0,3,0),M (0,0,0), 所以DC →＝(2,0,0),BD →＝(0,3,－3),MD →＝(0,3,0), 设平面BCD 的法向量为m ＝(x ,y ,z ), 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝2x ＝0，m ·BD →＝3y －3z ＝0.取y ＝1,得m ＝(0,1,1),又因平面ABE 的一个法向量MD →＝(0,3,0), 所以cos 〈m ,MD →〉＝m ·MD →|m ||MD →|＝22,所以平面ABE 与平面BCD 所成的锐角为45°.点评 本题求解关键是利用面面垂直关系,先证在两平面内共点的三线垂直,再构建空间直角坐标系,然后分别求出两个平面的法向量,求出两法向量夹角的余弦值,即可得所求的两平面所成的锐角的大小.用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向,取的方向不同求出来的角度就不同,所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.4 用向量法研究“动态”立体几何问题“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素,同时由于“动态”的存在,使得问题的处理趋于灵活.本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法,教你如何以静制动. 1.求解、证明问题例1 在棱长为a 的正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中,E ,F 分别是AB ,BC 上的动点,且AE ＝BF ,求证：A 1F ⊥C 1E .证明 以O 为坐标原点,OA ,OC ,OO 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ,则A 1(a,0,a ),C 1(0,a ,a ). 设AE ＝BF ＝x , ∴E (a ,x,0),F (a －x ,a,0).∴A 1F -→＝(－x ,a ,－a ),C 1E -→＝(a ,x －a ,－a ). ∵A 1F -→·C 1E -→＝(－x ,a ,－a )·(a ,x －a ,－a ) ＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0, ∴A 1F -→⊥C 1E -→,即A 1F ⊥C 1E . 2.定位问题例2 如图,已知四边形ABCD ,CDGF ,ADGE 均为正方形,且边长为1,在DG 上是否存在点M ,使得直线MB 与平面BEF 的夹角为45°？若存在,求出点M 的位置；若不存在,请说明理由.解题提示 假设存在点M ,设平面BEF 的法向量为n ,设BM 与平面BEF 所成的角为θ,利用sin θ＝|BM →·n ||BM →||n |求出点M 的坐标,若满足条件则存在.解 存在点M ,使得直线MB 与平面BEF 的夹角为45°. 因为四边形CDGF ,ADGE 均为正方形, 所以GD ⊥DA ,GD ⊥DC .又DA ∩DC ＝D ,所以GD ⊥平面ABCD . 又DA ⊥DC ,所以DA ,DG ,DC 两两垂直,如图,以D 为坐标原点,DA ,DC ,DG 所在直线分别为x 轴, y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系Dxyz , 则B (1,1,0),E (1,0,1),F (0,1,1). 因为点M 在DG 上,假设存在点M (0,0,t )(0≤t ≤1)使得直线BM 与平面BEF 的夹角为45°. 设平面BEF 的法向量为n ＝(x ,y ,z ). 因为BE →＝(0,－1,1),BF →＝(－1,0,1), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝0，n ·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，令z ＝1,得x ＝y ＝1,所以n ＝(1,1,1)为平面BEF 的一个法向量.又BM →＝(－1,－1,t ),直线BM 与平面BEF 所成的角为45°,所以sin 45°＝|BM →·n ||BM →||n |＝|－2＋t |t 2＋2×3＝22, 解得t ＝－4±3 2.又0≤t ≤1,所以t ＝32－4. 故在DG 上存在点M (0,0,32－4),且DM ＝32－4时,直线MB 与平面BEF 所成的角为45°.点评 由于立体几何题中“动态”性的存在,使有些问题的结果变得不确定,这时我们要以不变应万变,抓住问题的实质,引入参量,利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化,达到以静制动的效果.5 向量与立体几何中的数学思想1.数形结合思想向量方法是解决问题的一种重要方法,坐标是研究向量问题的有效工具,利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算,从而沟通了几何与代数的联系,体现了数形结合的重要思想.向量具有数形兼备的特点,因此,它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起.例1 如图,在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,A 1A ⊥底面ABCD ,∠BAD ＝90°,AD ∥BC ,且A 1A ＝AB ＝AD ＝2BC ＝2,点E 在棱AB 上,平面A 1EC 与棱C 1D 1相交于点F .(1)证明：A 1F ∥平面B 1CE ；(2)若E 是棱AB 的中点,求二面角A 1－EC －D 的余弦值；(3)求三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值.(1)证明 因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱柱,所以平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1.又因为平面ABCD ∩平面A 1ECF ＝EC ,平面A 1B 1C 1D 1∩平面A 1ECF ＝A 1F ,所以A 1F ∥EC .又因为A 1F ⊄平面B 1CE ,EC ⊂平面B 1CE ,所以A 1F ∥平面B 1CE .(2)解 因为AA 1⊥底面ABCD ,∠BAD ＝90°,所以AA 1,AB ,AD 两两垂直,以A 为坐标原点,以AB ,AD ,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴和z 轴,建立如图所示空间直角坐标系Axyz .则A 1(0,0,2),E (1,0,0),C (2,1,0),A (0,0,0),所以A 1E -→＝(1,0,－2),A 1C -→＝(2,1,－2),AA 1→＝(0,0,1).设平面A 1EC 的法向量为m ＝(x ,y ,z ),由A 1E -→·m ＝0,A 1C -→·m ＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，2x ＋y －2z ＝0. 令z ＝1,得m ＝(2,－2,1).又因为平面DEC 的法向量为n ＝AA 1→＝(0,0,1),所以cos 〈m ,n 〉＝m ·n |m ||n |＝13, 由图可知,二面角A 1－EC －D 的平面角为锐角,所以二面角A 1－EC －D 的余弦值为13. (3)解 过点F 作FM ⊥A 1B 1于点M ,因为平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,平面A 1ABB 1∩A 1B 1C 1D 1＝A 1B 1,FM ⊥A 1B 1,所以FM ⊥平面A 1ABB 1,所以11B A EF V －＝11F B A E V －＝13×11A B E S ×FM＝13×2×22×FM ＝23FM . 因为当F 与点D 1重合时,FM 取到最大值2(此时点E 与点B 重合),所以当F 与点D 1重合时,三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值为43. 2.转化与化归思想空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具,因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题,利用向量方法解决.将几何问题化归为向量问题,然后利用向量的性质进行运算和论证,再将结果转化为几何问题.这种“从几何到向量,再从向量到几何”的思想方法,在本章尤为重要.例2 如图,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AA 1＝AB ＝2AD ＝2,E 为AB 的中点,F 为D 1E 上的一点,D 1F ＝2FE .(1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ；(2)求二面角A －DF －C 的平面角的余弦值.分析 求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.(1)证明 以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在的直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ,则A (1,0,0),B (1,2,0),C (0,2,0),D 1(0,0,2),D (0,0,0).∵E 为AB 的中点,∴E (1,1,0),∵D 1F ＝2FE ,∴D 1F -→＝23D 1E -→＝23(1,1,－2)＝⎝⎛⎭⎫23，23，－43, ∴DF →＝DD 1→＋D 1F -→＝(0,0,2)＋⎝⎛⎭⎫23，23，－43 ＝⎝⎛⎭⎫23，23，23.设n ＝(x 1,y 1,z 1)是平面DFC 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x 1＋23y 1＋23z 1＝0，2y 1＝0.取x 1＝1得平面DFC 的一个法向量n ＝(1,0,－1).设p ＝(x 2,y 2,z 2)是平面D 1EC 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧ p ·D 1F -→＝0，p ·D 1C -→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23x 2＋23y 2－43z 2＝0，2y 2－2z 2＝0，取y 2＝1得平面D 1EC 的一个法向量p ＝(1,1,1),∵n ·p ＝(1,0,－1)·(1,1,1)＝0,∴n ⊥p ,∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(2)解 设q ＝(x 3,y 3,z 3)是平面ADF 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧ q ·DF →＝0，q ·DA →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x 3＋23y 3＋23z 3＝0，x 3＝0，取y 3＝1得平面ADF 的一个法向量q ＝(0,1,－1),设二面角A －DF －C 的平面角为θ,由题中条件可知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π,则cos θ＝－|n ·q ||n ||q |＝－0＋0＋12×2＝－12, ∴二面角A －DF －C 的平面角的余弦值为－12. 3.函数思想例3 已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根,且c ＝a ＋t b ,a ＝(－1,1,3),b ＝(1,0,－2).问|c |能否取得最大值？若能,求出实数t 的值及对应的向量b 与c 夹角的余弦值；若不能,请说明理由.分析 写出|c |关于t 的函数关系式,再利用函数观点求解.解 由题意知Δ≥0,得－4≤t ≤－43, 又c ＝(－1,1,3)＋t (1,0,－2)＝(－1＋t,1,3－2t ),∴|c |＝(－1＋t )2＋(3－2t )2＋1＝ 5⎝⎛⎭⎫t －752＋65. 当t ∈⎣⎡⎦⎤－4，－43时,f (t )＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65是单调递减函数,∴f (t )max ＝f (－4),即|c |的最大值存在, 此时c ＝(－5,1,11).b·c ＝－27,|c |＝7 3.而|b |＝5,∴cos 〈b ,c 〉＝b·c |b||c |＝－275×73＝－91535. 点评 凡涉及向量中的最值问题,若可用向量坐标形式,一般可考虑写出函数关系式,利用函数思想求解.4.分类讨论思想例4 如图,在矩形ABCD 中,AB ＝1,BC ＝a (a ＞0),P A ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD 的上方),问BC 边上是否存在点Q ,使PQ →⊥QD →？分析 由PQ →⊥QD →,得PQ ⊥QD ,所以平面ABCD 内,点Q 在以边AD 为直径的圆上,若此圆与边BC 相切或相交,则BC 边上存在点Q ,否则不存在.解 假设存在点Q (Q 点在边BC 上),使PQ →⊥QD →,即PQ ⊥QD ,连接AQ .∵P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥QD .又PQ →＝P A →＋AQ →且PQ →⊥QD →,∴PQ →·QD →＝0,即P A →·QD →＋AQ →·QD →＝0.又由P A →·QD →＝0,∴AQ →·QD →＝0,∴AQ →⊥QD →.即点Q 在以边AD 为直径的圆上,圆的半径为a 2. 又∵AB ＝1,由题图知,当a 2＝1,即a ＝2时,该圆与边BC 相切,存在1个点Q 满足题意； 当a 2>1,即a >2时,该圆与边BC 相交,存在2个点Q 满足题意； 当a 2<1,即0<a <2时,该圆与边BC 相离,不存在点Q 满足题意. 综上所述,当a ≥2时,存在点Q ,使PQ →⊥QD →；当0<a <2时,不存在点Q ,使PQ →⊥QD →.。

第三章 空间向量及立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是( ) ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 及不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 及b 所在直线平行。

A .1 B .2 C .3 D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 及1CD 所形成角的余弦值为( )A .1010 B . 15C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ；_C_D_A_P_ N_B_M（2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a=-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( )A ．可构成直角三角形B ．可构成锐角三角形C ．可构成钝角三角形D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25]4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1及平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ；D 1C 1B 1A 1DABCC 1 B 1 A 1B A（2）求1C 到平面1A AB 的距离；（3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，1AC AA ==(1)证明：1ABA C ⊥； （2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面PAC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.参考答案第三章 空间向量及立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-. 连结AC ，则§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ； （2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 设1,,A A a AD b DCc ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-，令24260xx +-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去），_C_D _A_P_ N _B _M _EA 1§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示 1.A 2.D 3.B 4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1则有所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1及AM 所成的角就是AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°. ∴AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 3.2立体几何中的向量方法 新 课 标 第 一网1.A2.C3. （1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，所以DEAC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得t =.设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(1AA =，()2,2,0AB =，所以10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,n =-，所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==7. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =，故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向，可知二面角1A A B C --的余弦值大小为77. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，由正弦定理030ACB∠=.如右图，建立空间直角坐标系， 则1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量，设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =，则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，）， 不妨取1,(3,1,1)mn ==则，1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)22SD a a =--，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. (2)由题设知，平面PAC 的一个法向量26()2DSa =，平面DAC 的一个法向量600aOS =（，，，设所求二面角为θ，则3cos OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°._C_A_S_F_BO（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且),(0,)DS CS ==.设,CEtCS = 则((1)BE BC CE BC tCS t =+=+=-，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面. 作 者 于华东 责任编辑 庞保军。