步步高高中数学 必修 5 等比数列前n项和

等比数列前n 项和

一、选择题

1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2

B.(－1)n ＋

1＋12

C.(－1)n ＋12

D.(－1)n －12

答案 D

解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)

＝(－1)n －1

2.

2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189

答案 C

解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0. ∵q >0， ∴q ＝2，

∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3 ＝22·21＝84.

3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5

S 2等于( )

A ．11

B ．5

C ．－8

D ．－11

答案 D

解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，

∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25

)

a 1(1－22)

＝－11.

4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13

C.19 D ．－19

答案 C

解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，

即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝1

9

.

5．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米

答案 A

解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝29939

64≈300(米)． 6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－4

3，则{a n }的前10项和等于 ( )

A ．－6(1－3－10

)

B.19(1－3－

10) C ．3(1－3－10

) D ．3(1＋3

－10

)

答案 C

解析 由3a n ＋1＋a n ＝0， 得

a n ＋1a n ＝－1

3

， 故数列{a n }是公比q ＝－1

3的等比数列．

又a 2＝－4

3

，可得a 1＝4.

所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－

10)．

二、填空题

7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3

解析 ∵S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3

＝3.

∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.

8．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1

解析 a n －a n －1＝a 1q n －

1＝2n －

1，

即⎩⎪⎨⎪⎧

a 2－a 1＝2，a 3

－a 2

＝22

，…a n

－a n －1

＝2

n －1

.

各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －

1＝2n －2，

故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.

9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 答案 13

解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，

∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝1

3

.

10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝________.

答案 －

3

42

解析 当q ＝1时，

S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)

1－q ，

得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，

解得q 3＝－1

2

或q 3＝1(舍去)或q 3＝0(舍去)，

∴q ＝－

3

42

. 三、解答题

11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，n ∈N *. 解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋

1，

∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋

1

＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1

＝(1－n )×2n ＋

1－2，

∴S n ＝(n －1)·2n ＋

1＋2.