步步高高中数学 必修 5 等比数列前n项和

高中数学必修5《等比数列的前n项和》教案【一】教学目标熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

教学重难点熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

教学过程【方法规律】应用数列知识界实际应用问题的关键是通过对实际问题的综合分析，确定其数学模型是等差数列，还是等比数列，并确定其首项，公差(或公比)等基本元素，然后设计合理的计算方案，即数学建模是解答数列应用题的关键。

一、基础训练1.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 ( )A、511B、512C、1023D、10242.若一工厂的生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为( )A、 B、C、 D、二、典型例题例1：某人每期期初到银行存入一定金额A，每期利率为p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的利息是(n-1)Ap……，第n期(即最后一期)的利息是Ap，问到第n期期末的本金和是多少?评析：此例来自一种常见的存款叫做零存整取。

存款的方式为每月的某日存入一定的金额，这是零存，一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取。

计算本利和就是本例所用的有穷等差数列求和的方法。

用实际问题列出就是：本利和=每期存入的金额[存期+1/2存期(存期+1)利率]例2：某人从1999到2002年间，每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若每年利率q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到2003年6月1日，此人到银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是多少元?例3、某地区位于沙漠边缘，人与自然进行长期顽强的斗争，到1999年底全地区的绿化率已达到30%，从2000年开始，每年将出现以下的变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠.问经过多少年的努力才能使全县的绿洲面积超过60%.(lg2=0.3)例4、.流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月分曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染着减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新的患者人数最多?并求这一天的新患者人数.高中数学必修5《等比数列的前n项和》教案【二】整体设计教学分析本节是数列一章的最后内容，分两课时完成，第一课时侧重于公式的推导及记忆，第二课时侧重于公式的灵活应用.等比数列的前n项和是教材中很重要的一部分内容，是等比数列知识的再认识和再运用，它对学生进一步掌握、理解等比数列以及数列的知识有着很重要的作用.等比数列前n项和公式的推导，也是培养学生分析、发现、类比等能力的很好的一个工具.在讲求和公式推导时，应指出其运算的依据是等式性质和数运算的通性(交换律、结合律、分配律).培养学生逻辑思维的习惯和代数运算技能.新大纲中对本知识有较高层次的要求，教学地位很重要，是教学全部学习任务中必须优先完成的任务.这项知识内容有广泛的实际应用，很多问题都要转化到等比数列的求和上来才能得到解决.如增长率、浓度配比、细胞分裂、储蓄信贷、养老保险、分期付款的有关计算等许多方面均用到等比数列的知识，因而考题中涉及数列的应用问题屡见不鲜.掌握等比数列的基础知识，培养建模和解模能力是解决数列应用问题的基本途径.等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知a1，an，q，n，Sn五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想.其中解指数方程的难度比较大，训练时要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”.数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法思想等)，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用.教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.三维目标1.通过本节学习，使学生会用方程的思想认识等比数列前n项和公式，会用等比数列前n项和公式及有关知识解决现实生活中存在着的大量的数列求和的问题，将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题.2.通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养.3.通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观.重点难点教学重点：等比数列前n项和公式的推导及灵活运用，及生产实际和社会生活中有关的实际问题.教学难点：建立等比数列模型，用等比数列知识解决有关的生产实际及社会生活中的热点问题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(故事导入)国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有64个方格的木盘，和32个雕刻成六种立体形状，分别涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法.国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩.高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢?数学家开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了.“好吧!”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求.国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢?”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算吧!”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天!我哪来这么多的麦子?”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋.假定千粒麦子的质量为40 g，那么，数学家要求的麦粒的总质量究竟是多少呢?由此传说向学生发问：怎样算出小麦的总质量呢?思路2.(问题导入)买24枚钉子，第一枚14分钱，第二枚12分钱，第三枚1分钱，以此类推，每一枚钉子的钱是前一枚的2倍，共要多少钱?请学生想一想，多数学生认为大概没有多少钱，结果一算吓一跳，大约要4万2千元.事实上，这是等比数列的求和问题，即S=14+12+1+2+…+221=?那么怎样求等比数列的前n项和呢?在学生急于揭开谜底的强烈欲望下展开新课的探究.推进新课新知探究提出问题(1)回忆等差数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法推导的?(2)对任意数列{an}，前n项和与通项an的关系是什么?(3)对首项为1的等比数列{an}，你能探究它的前n项和吗?(4)对任意等比数列{an}，怎样推导它的前n项和公式呢?你能联想到哪些推导思路?(5)对于思路1中麦粒问题，国王应发给数学家多少麦粒?对于Sn=1+2+22+…+2n-1的两边为什么要乘以2而不是乘以3或4呢?活动：教师引导学生回忆前面学过的等差数列前n项和问题，我们用倒序相加法推得了它的前n项和公式，并且得到了求等差数列通项公式的一个方法：an=a1，Sn-Sn-1，n=1，n≥2，还知道这个由数列Sn来确定an的方法适用于任何数列，且a1不一定满足由Sn-Sn-1=an求出的通项表达式.类比联想以上方法，怎样探究等比数列的前n项和呢?我们先来探究象棋格里填麦粒的问题，也就是求S=1+2+…+263=?让学生充分观察这个式子的特点，发现每一项乘以2后都得它的后一项，点拨学生找到解决问题的关键是等式左右同乘以2，再相减得和.通过这个问题的解决，先让学生有一个感觉，就是等比数列的前n项和可化为一个比较简单的形式，关键的问题是如何简化.再让学生探究首项为1的等比数列的前n项和，即1，q，q2，…，qn-1的前n项和.观察这个数列，由于各项指数不同，显然不能倒序相加减.但可发现一个规律，就是次数是依次增加的，教师引导学生模仿等差数列写出两个求和式子，给学生以足够的时间让其观察、思考、合作交流、自主探究.经过教师的点拨，学生的充分活动，学生会发现把两个Sn=1+q+q2+…+qn-1错一个位，两边再同乘以公比q，那么相同的指数就对齐了.这一发现是突破性的智慧发现，是石破惊天的发现.这样将Sn=1+q+q2+…+qn-1与qSn=q+q2+q3+…+qn两式相减就有(1-q)Sn=1-qn，以下只需讨论q的取值就可得到Sn了.在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.如果记Sn=a1+a2+a3+…+an，那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq，要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq.这里要提醒学生注意q的取值.如果q≠1，则有Sn=a1-anq1-q.上述过程我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn，要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.如果q≠1，则有Sn=a11-qn1-q.上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1，q，an，Sn，n中a1，q，an，Sn四个;后者出现的是a1，q，Sn，n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.对于等比数列的一般情形，如果q=1会是什么样呢?学生很快会看出，若q=1，则原数列是常数列，它的前n项和等于它的任一项的n倍，即Sn=na1.由此我们得到等比数列{an}的前n项和的公式：Sn=na1，q=1，a11-qn1-q，q≠1或Sn=na1，q=1，a1-anq1-q，q≠1.教师进一步启发学生根据等比数列的特征和我们所学知识，还能探究其他的方法吗?经过学生合作探究，联想初中比例的性质等，我们会有以下推导方法：思路一：根据等比数列的定义，我们有a2a1=a3a2=a4a3=…=anan-1=q，再由合比定理，则得a2+a3+a4+…+ana1+a2+a3+…+an-1=q，即Sn-a1Sn-an=q，从而就有(1-q)Sn=a1-anq.当q=1时，Sn=na1，当q≠1时，Sn=a1-anq1-q.思路二：由Sn=a1+a2+a3+…+an，得Sn=a1+a1q+a2q+…+an-1q=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+q(Sn-an)，从而得(1-q)Sn=a1-anq.(以下从略)在思路二中，我们巧妙地利用了Sn-Sn-1=an这个关系式，教师再次向学生强调这是一个非常重要的关系式，应引起足够的重视，几乎在历年的高考中都有它的影子.但要注意这里n≥2，也就是n的取值应使这个关系式有意义，若写Sn-1-Sn-2=an-1，则这里n≥3，以此类推.教师引导学生对比等差数列的前n项和公式，并结合等比数列的通项公式，从方程角度认识这个公式，以便正确灵活地运用它.(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量;(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件q≠1，当q=1时，应按常数列求和，即Sn=na1.在解含字母参数的等比数列求和问题时，常应分类讨论q=1与q≠1两种情况.讨论结果：(1)倒序相加法;(2)an=Sn-Sn-1(n≥2);(3)利用错位相减法;(4)利用an=Sn-Sn-1(n≥2);(5)乘以2的目的是为了错位相减，共有麦粒264-1(颗)，每千粒麦子按40 g计算，共约7 000亿吨.应用示例例1求下列等比数列的前8项的和：(1)12，14，18，…;(2)a1=27，a9=1243，q<0.活动：本例目的是让学生熟悉公式，第(1)小题是对等比数列的前n项和公式的直接应用;第(2)小题已知a1=27，n=8，还缺少一个已知条件，由题意显然可以通过解方程求得公比q.题目中要求q<0，一方面是为了简化计算，另一方面是想提醒学生q既可为正数，又可为负数.本题中由条件可得q8=a9a1=1243×27，再由q<0可得q=-13.将所得的值代入公式就可以了.本例可由学生自己探究解答.解：(1)因为a1=12，q=12，所以当n=8时，S8=12[1-128]1-12=255256.(2)由a1=27，a9=1243，可得q8=a9a1=1243×27，又由q<0，可得q=-13，于是当n=8时，S8=271-1243×271--13=1 64081.点评：通过本例要让学生熟悉方程思想，再次让学生明确，等比数列的通项公式与前n项和公式中共五个量：a1，an，q，n，Sn，五个量中已知任意三个就可以求出其余的两个，其中a1，q为最基本的两个量.同时提醒学生注意，由于等比数列涉及到指数问题，有时解题计算会很烦琐，要注意计算化简中的技巧，灵活运用性质.例2(教材本节例2)活动：本例是等比数列求和公式的直接运用，引导学生结合方程思想，按算法的思路来解答.本例可由学生自己完成.点评：通过本例让学生明确，等比数列的通项公式和求和公式共涉及5个量：a1，q，an，n，Sn，已知其中3个量就可以求出另外的2个量.变式训练设{an}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列{an}前7项的和为( )A.63B.64C.127D.128答案：C解析：∵a5=a1q4，∴16=q4.又∵q>0，∴q=2.∴S7=a11-q71-q=127.例3(教材本节例3)活动：本例仍属等比数列求和公式的直接应用.虽然原数列不是等比数列，不能用公式求和，但可这样转化：9=10-1,99=100-1,999=1 000-1，…，这样就容易解决了.点评：让学生体会本例中的转化思想.变式训练求和：2+22+222+…+ .解：原式=29(10-1)+29(102-1)+…+29(10n-1)=29(10+102+…+10n-n)=29[101-10n1-10-n]=2081(10n-1)-29n.例4求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n-1)an-1的前n项的和.活动：教师引导学生观察数列特点，其形式是{an•bn}型数列，且{an}是等差数列，{bn}是等比数列.根据本节等比数列求和公式的推导方法，可采用错位相减法进行求和.教学时可让学生自己独立探究，教师适时地点拨，要注意学生规范书写.解：当a=1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n-1)，则Sn=n[1+2n-1]2=n2.当a≠1时，有Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1，①aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an，②①-②，得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an，(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)=1-(2n-1)an+2•a1-an-11-a=1-(2n-1)an+2a-an1-a.又1-a≠0，∴Sn=1-2n-1an1-a-2a-an1-a 2.点评：通过本例，让学生反思解题时要善于识别题目类型，善于分类讨论.在应用错位相减时，写出的“Sn”与“qSn”的表达式应特别注意将两式“同项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.变式训练等差数列{an}中，a2=8，S6=66.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{Cn}的通项为Cn=2n，求数列{anCn}的前n项和An.解：(1)由已知，得a1+d=8，a1+a662=66，解得a1=6，d=2.∴an=2n+4.(2)由题意，知anCn=(2n+4)•2n，∴An=6•21+8•22+10•23+…+(2n+4)•2n.①在上式中两边同乘以2，得2An=6•22+8•23+10•24+…+(2n+4)•2n+1.②①-②，得-An=6•21+2•22+2•23+…+2•2n-(2n+4)•2n+1=4-(2n+2)•2n+1，∴An=(n+1)•2n+2-4.例5已知数列{an}中，a1，a2，a3，…，an，…构成一个新数列：a1，(a2-a1)，…，(an-an-1)，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列.(1)求数列{an}的通项;(2)求数列{an}的前n项和Sn.活动：教师引导学生观察新数列的各项，不难发现这样一个事实：新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为13的等比数列的前n项和，数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了 .解：(1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+13+(13)2+…+(13)n-1=32[1-(13)n].(2)Sn=a1+a2+a3+…+an=32(1-13)+32[1-(13)2]+…+32[1-(13)n]=32{n-[13+(13)2+…+(13)n]}=32n-34[1-(13)n]=34(2n-1)+14(13)n-1.点评：本例思路新颖，方法独特，解完本例后教师引导学生反思本例解法，注意平时学习中培养思路的灵活性.知能训练1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3=1∶2，则S9∶S3等于( )A.1∶2B.2∶3C.3∶4D.1∶32.在等比数列{an}中，(1)已知a2=18，a4=8，求a1与q;(2)已知a5-a1=15，a4-a2=6，求a3.答案：1.C 解析：∵S6∶S3=1∶2，由a11-q61-q+a11-q31-q=12，得q3=-12.∴S9S3=1-q91-q3=34.2.解：(1)由已知得a1q=18，a1q3=8.解这个方程组，得a1=27，q=23或a1=-27，q=-23.(2)根据题意，有a1q4-a1=15，a1q3-a1q=6.方程两边分别相除，得a1q4-a1a1q3-a1q=156.整理，得2q2-5q+2=0.解这个方程，得q=2或q=12.当q=2时，a1=1;当q=12时，a1=-16.所以a3=4或a3=-4.课堂小结1.由学生总结本节学习的内容：等比数列前n项和公式的推导，特别是在推导过程中，学到了错位相减法;在运用等比数列求和时，注意q的取值范围是很重要的一点，需要放在第一位来思考.2.等比数列求和公式有两种形式，在应用中应根据题目所给的条件灵活选用，注意从方程的角度来观察公式，并结合等比数列的通项公式共5个量，知三可求二，并注意解题中的化简技巧.作业课本习题2—3 B组2、3.[设计感想“探索是教学的生命线”，本教案设计体现以学生为本的思想.为了让学生较好掌握本课内容，本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学.通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活.本教案设计加强数学思想方法的训练.因为数列内容几乎渗透了中学数学所有的数学思想方法，而数列模型运用中更是蕴含着丰富的数学思想方法，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等有着不可替代的作用.教学中应充分让学生体会这些思想方法的运用.“问题是数学的心脏”，本教案设计注重了情境教学.通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得的成功.(设计者：张晓君)第2课时导入新课思路1.(情境导入)一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存100元，银行的年利率为4%，假设可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累了多少养老金?如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金?如果复利和存款连续计算呢?银行复利计息的计算方法正是我们今天要探究的内容，由此展开新课.思路2.(习题导入)在等比数列{an}中，已知a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则数列前15项的和S15为( )A.112B.312C.5D.15本题如果运用方程的思想，求数列{an}的首项a1和公比q之后再求S15，是一种常规思路，但运算量较大.可将原数列按一定规律重新组合成一个新的等比数列，S15又刚好是新数列前5项的和，新数列的首项和公比又容易求得，使得小题巧解.具体解法如下：解析：设b1=a1+a2+a3=8;b2=a4+a5+a6=-4;…;b5=a13+a 14+a15，则b1，b2，b3，b4，b5构成一个等比数列，其首项为8，公比为-12.故S15=S5′=b1+b2+b3+b4+b5=112.选A.由此展开本课的进一步探究.答案：A推进新课新知探究提出问题1回忆等比数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法推导的?需要注意什么问题?2比较等差、等比数列的前n项和公式，从推导方法到应用有什么不同?怎样从方程的角度理解等比数列的求和公式?3利用等比数列求和的关键是什么?4你能对等差、等比数列求和问题作一归纳总结吗?5应用等比数列可解决哪些类型的实际问题?活动：教师引导学生回忆上节课所学的等比数列的求和公式，通过“错位相减”的思路方法很巧妙地将等式Sn=a1+a1q+…+a1qn-1的两边同乘以该数列的公比q，使得等式右边各项都向右错了一位;然后通过求Sn-qSn把相同项消去，达到简化的目的，最后解出Sn.这种求和方法具有普通性，教师再次引导学生回顾这种求和方法的精髓，注意的问题是必须注意q是否等于1，如果不确定，就应分q=1与q≠1两种情况或更多的情况进行讨论.等比数列求和的关键与等差数列求和一样，在于数列通项公式的表达形式，由通项公式的形式特点确定相应的求和方法.为了达到求和时的简化运算，应充分利用等比数列的前n项和的性质.(1)若某数列的前n项和公式为Sn=an-1(a≠0,1)，则{an}成等比数列.(2)若数列{an}是公比为q的等比数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列;若项数为2n(n∈N*)，则S偶S奇=q.应用等比数列可解决的实际问题有：产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题.解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题，要让学生明了数列的实际应用一直是全国各地市高考的热点、重点，考题的形式多种多样，难度为中、高档.等比数列求和问题作为数列的重要内容之一，蕴含着丰富的数学思想方法，教学时可与等差数列对比，归纳、总结.(1)求和问题可以利用等差、等比数列的前n项和公式解决，在具体问题中，既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律，又要注意项数.(2)非等差(比)的特殊数列求和题通常的解题思路是：①设法转化为等差数列或等比数列，这一思考方法往往通过通项分解或错位相减来完成.②不能转化为等差(比)的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法和倒序相加法求和.一般地，如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法;如果数列项的次数及系数有规律，一般可用错位相减法;如果每项可写成两项之差一般可用拆项法;如果能求出通项，可用拆项分组法.(3)数列求和的关键在于数列通项公式的表达形式，根据通项公式的形式特点，观察采用哪种方法是这类题的解题诀窍.(4)通项公式中含有(-1)n的一类数列，在求Sn时要注意需分项数n的奇偶性讨论.讨论结果：(1)(2)(3)(5)略.(4)数列求和的常用方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法和裂项相消法，这也是高考常考的几种求和方法.例1某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台?(结果保留到个位)活动：教师引导学生探究，根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列模型，并明确这是一个已知Sn=30 000求n的问题.本例的解答应先根据等比数列的前n项和公式列方程，再用对数的知识解方程.解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5 000，q=1+10%=1.1，Sn=30 000.于是得到5 0001-1.1n1-1.1=30 000，整理，得1.1n=1.6，两边取对数，得nlg1.1=lg1.6，用计算器算得n=lg1.6lg1.1≈0.20.041≈5(年).答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.点评：本例是一道关于等比数列模型的应用题，需要从实际问题中抽象出等比数列模型.从实际背景的角度讲，本例的设计一方面是想让学生了解计算机日益普及，其销量越来越大;另一方面，对于一个商场来讲，为实现一定的商品销售目标而制订计划也是一件自然的事情.变式训练某市2003年共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车?(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13?解：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1=128，q=1.5，则在2010年应该投入的电力型公交车为a7=a1•q6=128×1.56=1 458(辆).(2)记Sn=a1+a2+…+an，依据题意，得Sn10 000+Sn>13.于是Sn=1281-1.5n1-1.5>5 000(辆)，即1.5n>65732，则有n-lg65732lg1.5≈7.5，因此n≥8.所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.例2(教材本节例4)活动：这是本单元教材安排的最后一道例题.教师引导学生写出每个月的产值，建立等比数列的数学模型，通过数量分析理解任一月份的计算表达式和求总和的计算方法.例3某教师购买安居工程集资房72 m2，单价为1 000元/m2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为1年，等额付款.签订购房合同后，1年付款1次，再过1年又付款1次等等，共付10次，10年后还清.如果按年利率7.5%，每年复利1次计算，那么每年应付多少元?(计算结果精确到百元.下列数据供参考：1.0752≈1.921,1.07510≈2.065,1.07511≈2.221)活动：教师引导学生理清问题中的基本数量关系，建立等比数列的模型，然后按等比数列的知识就很容易解决了.本例由教师与学生共同探究完成.解：设每年应付款x元，那么到最后1次付款时付款金额的本利和为x(1+1.075+1.0752+1.0753+…+1.0759)元;购房余款10年后的本利和为[1 000×72-(28 800+14 400)]•1.07510=28 800×1.07510元，根据10年后还清，得x(1+1.075+1.0752+…+1.0759)=28 800×1.07510，∴x=28 800×1.07510×1.075-11.07510-1≈4 200(元)，即每年应付4 200元.点评：解决本例的关键是建立等比数列模型.分期付款以及新生利息之和，应等于购房个人分担部分10年后的本息和.变式训练。

高中数学必修五等比数列及其前n项和知识点总结
等比数列(又名几何数列)，是一种特殊数列，下面是店铺给大家带来的高中数学必修五等比数列及其前n项和知识点总结，希望对你有帮助。

高中数学等比数列及其前n项和知识点
一个推导
利用错位相减法推导等比数列的前n项和：
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，
同乘q得：qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，
两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn，∴Sn=(q≠1).
两个防范
(1)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.
三种方法
等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若an+1/an=q(q为非零常数)或an/an-1=q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列.
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a=an·an+2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列.
注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.。

等比数列前n 项和一、选择题1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －12答案 D解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)＝(－1)n －12.2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0. ∵q >0， ∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3 ＝22·21＝84.3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19 D ．－19答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.5．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( ) A ．300米 B ．299米 C ．199米 D ．166米答案 A解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝2993964≈300(米)． 6．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)答案 C解析 由3a n ＋1＋a n ＝0， 得a n ＋1a n ＝－13， 故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．二、填空题7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 ∵S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ⇒q 3＝3.∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.8．数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)． ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13.10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝________.答案 －342解析 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，得2－q 3－q 6＝2－2q 9， ∴2q 9－q 6－q 3＝0，解得q 3＝－12或q 3＝1(舍去)或q 3＝0(舍去)，∴q ＝－342. 三、解答题11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，n ∈N *. 解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )×2n ＋1－2，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35)解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a 1＝a ，公比q ＝1－10%＝0.9， ∴a n ＝a ·0.9n －1 (n ≥1，n ∈N *)．(2)10年的出口总量S 10＝a (1－0.910)1－0.9＝10a (1－0.910)．∵S 10≤80，∴10a (1－0.910)≤80，即a ≤81－0.910，∴a ≤12.3.故2013年最多出口12.3吨．13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ，n ∈N *.(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，① S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1，当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1，n ∈N *.等比数列前n 项和1一、选择题1．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 C解析 ∵a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2， ∴a 4－a 3＝3(S 3－S 2)＝3a 3，即a 4＝4a 3， ∴q ＝a 4a 3＝4，故选C.2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．－1答案 A解析 ∵S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列， ∴a n 为定值，即数列{a n }为常数列， ∴q ＝a na n －1＝1.3．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30答案 C解析 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140 得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10，S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10，a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0. ∴q 10＝3，∴S 20＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.4．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3答案 B解析 设公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1. ∵S 2m S m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝q m＋1＝9， ∴q m ＝8.∴a 2m a m ＝a 1q2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.172答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列， 且a 2a 4＝1，设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0. 故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝4(1－125)1－12＝8(1－125)＝314.6．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1，n ∈N *)，则a 6等于( ) A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1答案 A解析 当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1， 即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍， 即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列． 又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，3×4n －2， n ≥2，n ∈N *. ∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.二、填空题7．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案 2解析 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160. ∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝______.答案 73解析 q ≠1，否则S 6S 3＝6a 13a 1＝2≠3.∴S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q ＝1＋q 3＝3， ∴q 3＝2.∴S 9S 6＝a 1(1－q 9)1－q a 1(1－q 6)1－q＝1－q 91－q 6＝1－231－22＝73. 9．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________. 答案 16解析 方法一 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列， ∴(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)． 又∵S 3＝2，S 6＝6， ∴S 9＝14.再由S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列， 即(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)·(S 12－S 9)， 求出S 12－S 9＝16，即a 10＋a 11＋a 12＝16.方法二 由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列， 此数列首项为S 3＝2，公比q ′＝S 6－S 3S 3＝6－22＝2，得S 12－S 9＝2×23＝16.10．在等比数列{a n }中，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则前n 项和S n ＝________________. 答案 3(2n －1)或3n －1 解析 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3＝3n－1.三、解答题11．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ， 由题意知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0. ∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n ，n ∈N *.(2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1.∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1，n ∈N *.12．中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人．从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%. (1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式；(注：2016年为第一年)(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2036年是否需要调整政策？解 (1)当n ≤10时，数列{a n }是首项为45.5， 公差为0.5的等差数列，所以a n ＝45.5＋0.5×(n －1)＝45＋0.5n .当n ≥11时，数列{a n }是以0.99为公比的等比数列． 又a 10＝50，所以a n ＝50×0.99n－10，因此新政策实施后第n 年的人口总数a n (单位：万人)的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧45＋0.5n ，1≤n ≤10，n ∈N *50×0.99n －10，11≤n ≤20，n ∈N *. (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得 S 20＝S 10＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈950.8(万)，所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为S 2020≈47.54万．因为S 2020＜49，故到2036年不需要调整政策．13．已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和． (1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列． (1)解 由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)． 当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1， 可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0. 解得q ＝1±52.(2)证明 若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m＋k，a n＋k，a l＋k显然成等差数列．若q≠1，由S m，S n，S l成等差数列可得S m＋S l＝2S n，即a(q m－1)q－1＋a(q l－1)q－1＝2a(q n－1)q－1，整理得q m＋q l＝2q n.因此a m＋k＋a l＋k＝aq k－1(q m＋q l)＝2aq n＋k－1＝2a n＋k，所以a m＋k，a n＋k，a l＋k成等差数列．。

§2.5 等比数列的前n 项和(一)一、基础过关1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－1，a 4＝64，则S 4等于( )A ．48B ．49C ．50D ．512．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( ) A ．513B ．512C ．511D ．510 3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11 4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )A ．2B ．4C.152D.1725．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 6．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n . 8．在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 二、能力提升9．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )C.323(1－4－n )D.323(1－2－n ) 10．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152B.314C.334D.17211．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 12．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．答案1．D 2.D 3.D 4.C 5.13 6.107．解 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1， S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1， S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3＝3n－1.8．解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48a 1(1－q 2n)1－q ＝60①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 9．C 10.B 11.312．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0. ∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n . (2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1.∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1. 13．解 (1)a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，①故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得 S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.。

第二章等比数列前n项求和（最全整理）含解析第三章 2.5第1课时基础巩固一、选择题1．设等比数列{a n}的前n项和S n，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于()A．210＋2B．29－2C．210－2 D．211－2[答案] D[解析]∵q＝a2a1＝2，∴S10＝2(1－210)1－2＝2(210－1)＝211－2，选D．2．等比数列{a n}的前n项和S n＝3n＋a，则a的值为() A．3 B．0C．－1 D．任意实数[答案] C[解析]S1＝a1＝3＋a，S2－S1＝a2＝32＋a－3－a＝6，S3－S2＝a3＝33＋a－32－a＝18，186＝63＋a，所以a＝－1.3．设数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，且S3＝3a3，则公比q的值为() A．－12B．12C．1或－12D．－1或12[答案] C[解析]当q＝1时，S3＝3a1＝3a3符合题意；当q≠1时，S3＝a1(1－q3)1－q＝3a1q2.∵a1≠0，∴1－q3＝3q2(1－q)．由1－q≠0，两边同时约去1－q，得1＋q＋q2＝3q2，即2q2－q－1＝0，解得q＝－12.综上，公比q ＝1，或q ＝－12.4．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )C ．323(1－4－n )D ．323(1－2－n )[答案] C[解析] ∵a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝12.∴a n ·a n ＋1＝4·(12)n －1·4·(12)n ＝25－2n ，故a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n a n ＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n＝8(1－14n )1－14＝323(1－4－n )．5．(2014·大纲全国卷文，8)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64[答案] C[解析] 解法1：由条件知：a n >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝3，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝3，a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝15，∴q ＝2. ∴a 1＝1，∴S 6＝1－261－2＝63.解法2：由题意知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即122＝3(S 6－15)，∴S 6＝63.6．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是( ) A ．7 B ．9 C ．63 D ．7或63[答案] D[解析] 由S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列， ∴(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)， 即(21－S 10)2＝S 10(49－21)， ∴S 10＝7或63.二、填空题7．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为________． [答案] 127[解析] 设数列{a n }的公比为q (q >0)， 则有a 5＝a 1q 4＝16，∴q ＝2，数列的前7项和为S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2＝127.8．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n ＝93，a n ＝48，公比q ＝2，则项数n ＝________. [答案] 5[解析] 由S n ＝93，a n ＝48，公比q ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(2n －1)＝93，a 1·2n －1＝48⇒2n ＝32⇒n ＝5. 三、解答题9．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{2a n }的前n 项和S n . [解析] (1)由题设，知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得 1＋2d 1＝1＋8d1＋2d， 解得d ＝1，或d ＝0(舍去)． 故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知2a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式，得 S n ＝2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .[解析] (1)∵S 1，S 3，S 2成等差数列，2S 3＝S 1＋S 2， ∴q ＝1不满足题意． ∴2a 1(1－q 3)1－q ＝a 1＋a 1(1－q 2)1－q ，解得q ＝－12.(2)由(1)知q ＝12，又a 1－a 3＝a 1－a 1q 2＝34a 1＝3，∴a 1＝4.∴S n ＝4[1－(－12)n ]1＋12＝83[1－(－12)n ].能力提升一、选择题1．若等比数列{a n }各项都是正数，a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5的值为( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84[答案] D[解析] ∵a 1＋a 2＋a 3＝21，∴a 1(1＋q ＋q 2)＝21， 又∵a 1＝3，∴1＋q ＋q 2＝7， ∵a n >0，∴q >0，∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22×21＝84.2．等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．2或－1 [答案] C[解析] S 4＝1，S 8＝S 4＋q 4·S 4＝1＋q 4＝17∴q ＝±2.3．在各项为正数的等比数列中，若a 5－a 4＝576，a 2－a 1＝9，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值是( )A ．1 061B ．1 023C ．1 024D ．268 [答案] B[解析] 由a 4(q －1)＝576，a 1(q －1)＝9， ∴a 4a 1＝q 3＝64，∴q ＝4，∴a 1＝3， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝3×(45－1)4－1＝1 023.4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A ．152B ．314C ．334D ．172[答案] B[解析] {a n }是正数组成的等比数列，∴a 3＝a 2a 4＝1，又S 3＝7，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝1a 1(1－q 3)1－q ＝7，消去a 1得，q 2＋q ＋1q 2＝7，解之得q ＝12，∴a 1＝4，∴S 5＝4×⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314. 二、填空题5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. [答案] 3[解析] 若q ＝1时，S 3＝3a 1，S 6＝6a 1，显然S 6≠4S 3，故q ≠1， ∴a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ，∴1＋q 3＝4，∴q 3＝3.∴a 4＝a 1q 3＝3.6．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.[答案] 2[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240S 奇－S 偶＝80，解得S 奇＝－80，S 偶＝－160， ∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.三、解答题7．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝72，首项a 1＝12.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝6n －61＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)由已知S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝72，12＋12q ＋12q 2＝72.q 2＋q －6＝0， (q ＋3)(q －2)＝0 q ＝2或q ＝－3.(舍) ∴a n ＝a 1·q n －1＝2n －2.(2)b n ＝6n －61＋log 22n －2＝6n －61＋n －2＝7n －63.b n －b n －1＝7n －63－7n ＋7＋63＝7， ∴数列{a n }是等差数列．又b 1＝－56，∴T n ＝nb 1＋12n (n －1)×7＝－56n ＋12n (n －1)×7＝72n 2－1192n . 8．(2014·北京文，15)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得 d ＝a 4－a 13＝12－33＝3.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ＝1,2，…)． 设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得 q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2.所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1，从而b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ＝1,2，…)．数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)，数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n 1－2＝2n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1.第2课时基础巩固一、选择题1．数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n 为( )A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋1－12n －1C ．n 2＋2－12nD ．n 2＋2－12n －1[答案] A[解析] 由题设知，数列的通项为a n ＝2n －1＋12n ，显然数列的各项为等差数列{2n －1}和等比数列{12n }相应项的和，从而S n ＝[1＋3＋…＋(2n －1)]＋(12＋14＋…＋12n )＝n 2＋1－12n .2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121[答案] C [解析] 因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝10，解得n ＝120.3．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] B[解析] a 1＝S 1＝4＋a ， a 2＝S 2－S 1＝42＋a －4－a ＝12， a 3＝S 3－S 2＝43＋a －42－a ＝48， 由已知得a 22＝a 1a 3， ∴144＝48(4＋a )，∴a ＝－1.4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400[答案] B[解析] S 100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1B ．56C ．16D ．130[答案] B[解析] a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－16＝56.6．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B ．12(9n －1)C ．9n －1D ．14(3n －1)[答案] B[解析] ∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1， ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)，两式相减得a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2·3n －1.∴a 2n ＝4·32n －2＝4·9n －1， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1＋9＋92＋…＋9n －1) ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1)．二、填空题7．数列22，422，623， (2)2n ，…前n 项的和为________．[答案] 4－n ＋22n －1[解析] 设S n ＝22＋422＋623＋ (2)2n① 12S n ＝222＋423＋624＋ (2)2n ＋1②①－②得(1－12)S n ＝22＋222＋223＋224＋…＋22n －2n 2n ＋1＝2－12n －1－2n 2n ＋1.∴S n ＝4－n ＋22n －1.8．已知数列a 1＋2，a 2＋4，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有10项，其和为240，则a 1＋a 2＋…＋a k ＋…＋a 10＝________.[答案] 130[解析] 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋4＋…＋2k ＋…＋20)＝240－110＝130.三、解答题9．求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n－1的前n 项和．[解析] 当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2，当a ≠1时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1，① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，②①－②得：S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ，(1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a.又1－a ≠0，所以S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.10．(2014·全国大纲文，17)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．[解析] (1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2. 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1.所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑k ＝1n(a k ＋1－a k )＝∑k ＝1n(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.能力提升一、选择题1．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝( )A ．315B ．325C ．6D ．7[答案] A[解析] ∵a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝(a 2＋a 22)＋(a 5＋a 17)(b 8＋b 16)＋(b 10＋b 12)＝2a 12＋2a 112b 12＋2b 11＝a 11＋a 12b 11＋b 12＝a 1＋a 22b 1＋b 22，又∵S 22T 22＝(a 1＋a 22)×22(b 1＋b 22)×22＝a 1＋a 22b 1＋b 22，∴a 1＋a 22b 1＋b 22＝7×22＋122＋3＝315.∴a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝315.2．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3690 B ．3660 C ．1845D ．1830[解析] 不妨令a 1＝1，则a 2＝2，a 3＝a 5＝a 7＝…＝1，a 4＝6，a 6＝10，…，所以当n 为奇数时，a n ＝1；当n 为偶数时，各项构成以2为首项，4为公差的等差数列，所以前60项的和为30＋2×30＋30×(30－1)2×4＝1830. 3．数列{a n }的通项公式是a n ＝2sin(n π2＋π4)，设其前n 项和为S n ，则S 12的值为( ) A ．0B ． 2C ．－ 2D ．1[答案] A[解析] a 1＝2sin(π2＋π4)＝1， a 2＝2sin(π＋π4)＝－1， a 3＝2sin(3π2＋π4)＝－1， a 4＝2sin(2π＋π4)＝1， 同理，a 5＝1，a 6＝－1，a 7＝－1，a 8＝1，a 9＝1，a 10＝－1，a 11＝－1，a 12＝1，∴S 12＝0.4．已知等差数列{a n }满足a 5＋a 2n －5＝2n (n ≥3)，则当n ≥1时，2a 1＋2a 3＋…＋2a 2n －1＝( )A ．22n －23B ．22n ＋1－23C ．2n －23D ．2n ＋1－23 [答案] B[解析] 由a 5＋a 2n －5＝2n (n ≥3)，得2a n ＝2n ，∴a n ＝n .∴2a 1＋2a 3＋…＋2a 2n －1＝2＋23＋25＋…＋22n －1 ＝2(1－4n )1－4＝22n ＋1－23. 二、填空题5．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．[解析] f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝22， f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝22(2x ＋2)＋2x 2(2＋2x )＝22， ∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (5)＋f (6)＝12[ (f (－5)＋f (6))＋(f (－4)＋f (5))＋…＋(f (6) ]＋f (－5))＝12×12×(f (0)＋f (1))＝32. 6．求和1＋(1＋3)＋(1＋3＋32)＋(1＋3＋32＋32)＋…＋(1＋3＋…＋3n －1)＝________. [答案] 34(3n －1)－n 2 [解析] a 1＝1，a 2＝1＋3，a 3＝1＋3＋32，……a n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝12(3n －1)， ∴原式＝12(31－1)＋12(32－1)＋……＋12(3n －1)＝12[(3＋32＋…＋3n )－n ]＝34(3n －1)－n 2. 三、解答题7．(2013·浙江理，18)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.[解析] (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10，即d 2－3d －4＝0.故d ＝1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n . 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧ －12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.8．已知数列{a n}和{b n}中，数列{a n}的前n项和为S n.若点(n，S n)在函数y＝－x2＋4x的图象上，点(n，b n)在函数y＝2x的图象上．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n b n}的前n项和T n.[解析](1)由已知得Sn＝－n2＋4n，∵当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝－2n＋5，又当n＝1时，a1＝S1＝3，符合上式．∴a n＝－2n＋5.(2)由已知得b n＝2n，a n b n＝(－2n＋5)·2n.T n＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n＋5)×2n，2T n＝3×22＋1×23＋…＋(－2n＋7)×2n＋(－2n＋5)×2n＋1.两式相减得T n＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋(－2n＋5)×2n＋1＝23(1－2n－1)1－2＋(－2n＋5)×2n＋1－6＝(7－2n)·2n＋1－14.。

等比数列的前n项和的公式等比数列是指一个数列中任意两项的比相等的数列。

设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an。

求等比数列的前n项和，可以使用以下两种方法。

方法一：求和公式Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示前n项和，a表示首项，r表示公比。

证明：首先，排除r=1的特殊情况，当公比为1时，等比数列就变成公差为0的等差数列，求和公式为Sn=n*a。

当r不等于1时，我们可以通过以下方法推导求和公式：1. 首先，将等比数列的前n项表示为：a，ar，ar^2，...，ar^(n-1)。

2. 求和公式为Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)。

3. 将公式的各项乘以公比r得到：ar，ar^2，ar^3，...，ar^n。

4. 两个公式相减得到：Sn - rSn = a - ar^n。

5.整理得到：Sn*(1-r)=a*(1-r^n)。

6.由此，得到求和公式：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)。

这就是等比数列的前n项和公式。

方法二：逐项相加除了使用求和公式，我们还可以通过逐项相加求等比数列的前n项和。

逐项相加的过程如下：S1=aS2 = a + ar = a(1+r)S3 = a + ar + ar^2 = a(1+r+r^2)...Sn = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1) = a(1+r+r^2+...+r^(n-1))综上所述，等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)(r不等于1)Sn=n*a(r等于1)以上是两种方法求解等比数列前n项和的公式，可以根据具体情况选择适用的方法进行计算。

2.3.3 等比数列的前n 项和(一)一、基础过关1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．2．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为________．3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝______.4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝______. 5．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .8．在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n .二、能力提升9．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝________.10．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________. 11．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.12．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和． 答案1.132.5103.－114.1525.106.3 7．解 设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝a 1－q n 1－q ＝－2n 1－2＝3(2n －1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝a 1－q n 1－q ＝－3n 1－3＝3n －1. 8．解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1－q n1－q ＝48a 1－q 2n1－q ＝60①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q ＝64，所以S 3n ＝a 1－q 3n1－q ＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－143＝63.9.314 10.323(1－4－n ) 11.2n －1，n ∈N *12．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0.∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n .(2)b n ＝n ·2n，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n.①2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n＋n ·2n ＋1.②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1. ∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1.13．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2， ①故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n ＞1时，①－②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－an2n＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n2n .所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1.。

高中数学等比数列前n项和公式比数列又称为等比数列，是在等差数列的基础上而形成的特殊的数列，它由第一项和公比构成，是统计分析数据所需要使用的数列之一。

比数列是高中数学里面学习的重点课程之一，对准备参加高考或其他笔试的学生而言，了解比数列以及求出比数列前n项和公式对考试得分提高有很大帮助。

从最基础的定义来讲，比数列是指数列中相邻两项的比率是一个常数，即比数列的通项公式为a(n)=ar^(n-1)，其中a是第一项数，r是公比，n是序数。

因此，用解析法求比数列前n项和的表达式为：Sn=a (1-r^n )/(1-r)公式展开为：Sn=a + a r + a r^2 + ... + a r^(n-1)接下来，让我们来探讨推导这个公式的原理：比数列是一种以常数率增长的数列，前n项和即是把n项所有数加起来之和，那么我们可以用递归的方式来求Sn，Sn=a(1-r^n)/(1-r)。

以对比数列an=3×2（n-1）（n≥2）为例来推导比数列前n项和公式：∵an=3×2（n-1）∴ a1=3，a2=3×2，a3=3×2×2=12∴ r=2，即公比为2∴ Sn=a1+a2+a3+a4+……+an=3+3×2+3×2×2+3×2×2×2+……+3×2（n-1）由此我们可以得出比数列的前n项和公式为：Sn=3×[1-2（n-1）]/[1-2]=3×[1-2^n]/[1-2]因此，数学规律我们就可以推出比数列前n项和公式，即：Sn=a (1-r^n )/(1-r)。

在认识比数列各项之间的规律以及有了比数列前n项和公式后，我们就可以轻松解决一些算数题目。

比如求一个比数列的第n项，我们可以利用公式求解，用anc=ar^(n-1)可以求出。

又比如有了比数列前n项和公式，我们也可以利用公式解决比数列的前n项和的问题。

§6.3 等比数列及其前n 项和最新考纲考情考向分析1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．3.了解等比数列与指数函数的关系.以考查等比数列的通项、前n 项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1. 3．等比中项如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，则G 叫做x 和y 的等比中项． 4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn 仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .知识拓展等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列． (2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．(4)当q <0时，{a n }为摆动数列．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N ＋，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 题组二 教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝ .答案 12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.3．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为 ． 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81. 题组三 易错自纠4．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为 ．答案 －12解析 ∵1，a 1，a 2,4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12. 5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝ .答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2， ∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－q a 1(1－q 2) ＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4＝－11. 6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机 分钟，该病毒占据内存64 MB.(1 MB ＝210 KB) 答案 48解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n ，则2n ＝64×210＝216，∴n ＝16. 即病毒共复制了16次． ∴所需时间为16×3＝48(分钟).题型一 等比数列基本量的运算1．(2018·开封质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( )A ．2B ．1 C.12 D.18答案 C解析 由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24，又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)， 解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ， 则由a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12.故选C.2．(2018·济宁模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝ . 答案 2n －1解析 ∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52， ①a 1q ＋a 1q 3＝54， ②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n＝2n －1. 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 题型二 等比数列的判定与证明典例 (2018·潍坊质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ② 由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －2. 引申探究若将本例中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式． 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ≥2，(*)又a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，即a 2＋1＝2(a 1＋1)， ∴当n ＝1时(*)式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．跟踪训练 (2016·全国Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ， 由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0， 所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.题型三 等比数列性质的应用1．(2017·郑州三模)已知等比数列{a n }，且a 6＋a 8＝4，则a 8(a 4＋2a 6＋a 8)的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 D解析 ∵a 6＋a 8＝4，∴a 8(a 4＋2a 6＋a 8)＝a 8a 4＋2a 8a 6＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝16.故选D.2．(2017·云南省十一校跨区调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( ) A ．40 B ．60 C ．32 D ．50答案 B解析 由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60，故选B. 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形．(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N ＋)．思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n (n ∈N ＋)．[3分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝32＋23＝136.[8分]当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝34＋43＝2512.[10分]故对于n ∈N ＋，有S n ＋1S n ≤136.[12分]。

第2课时 等比数列前n 项和的性质及应用学习目标 1.理解等比数列前n 项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.知识点一 等比数列前n 项和公式的函数特征 当公比q ≠1时，设A ＝a 1q －1，等比数列的前n 项和公式是S n ＝A (q n －1)．即S n 是n 的指数型函数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，S n 是n 的正比例函数． 知识点二 等比数列前n 项和的性质 等比数列{a n }前n 项和的三个常用性质(1)若数列{a n }为公比不为－1的等比数列，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …仍构成等比数列．(2)若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋q n S m (n ，m ∈N ＋)．(3)若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n 项中，S 偶S 奇＝q ；②在其前2n ＋1项中，S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…－a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋21＋q(q ≠－1)．1．等比数列{a n }的前n 项和S n 不可能等于2n .( √ ) 2．若{a n }的公比为q ，则{a 2n }的公比为q 2.( √ )3．若{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5的公比也为q .( √ ) 4．等比数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n .则{S n }也是递增数列．( × )题型一 等比数列前n 项和公式的函数特征应用例1 数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2(n ∈N ＋)．求{a n }的通项公式．解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －2)－(3n -1－2)＝2·3n -1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝31－2＝1不适合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n -1，n ≥2，n ∈N ＋.反思感悟 (1)已知S n ，通过a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列． 跟踪训练1 若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n -1＋t ，则t ＝________. 答案 －13解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)， 又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.题型二 等比数列前n 项和的性质命题角度1 连续n 项之和问题例2 已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n＋S 3n )．证明 方法一 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1， 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．当q ≠1时，S n ＝a 11－q (1－q n )，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n )，∴S 2n ＋S 22n ＝⎝⎛⎭⎫a 11－q2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2] ＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )．又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2(1－q n )(2－q 2n －q 3n )＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．方法二 根据等比数列的性质有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ，∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋[S n (1＋q n )]2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )， S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )．∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．反思感悟 处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质．跟踪训练2 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48，a 1(1－q2n )1－q＝60，①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 命题角度2 不连续n 项之和问题例3 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．解 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇，S 偶，由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶， ∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，得a 1＝12. 故所求通项公式为a n ＝12×⎝⎛⎭⎫13n -1，n ∈N ＋.反思感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快．跟踪训练3 设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则1236a a a a b b b b ⋯＋＋＋＋＝________. 答案 126 解析 ∵11111112n n n nn na a a a a ab b q q b b q+++---⋅===⋅， ∴{n a b }是首项为b 2，公比为2的等比数列．∴1236a a a a b b b b ⋯＋＋＋＋＝b 2(1－26)1－2＝126.等比数列前n 项和的分类表示典例 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝3a n ，n ∈N ＋.求{a n }的前n 项和S n .解 由a n ≠0，所以a n ＋2a n ＝3，于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列． 因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n -1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝(1＋3＋…＋3n -1)＋2(1＋3＋…＋3n -1)＝3(1＋3＋…＋3n -1)＝3(3n －1)2，从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n －1)2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)．综上所述，S n ＝3223(531),23(31),2n nn n -⎧⨯-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩是奇数，是偶数.[素养评析] 数学中有不少概念表达式相当抽象．只有在明晰运算对象的基础上，才能挖掘出两式的内在联系，理解运算法则．本例中，涉及到很多对n 的赋值，只有理解了a n ，a 2n ，S 2n 与S 2n －1之间的联系，才能顺利挖掘出{a 2n }是首项为2，公比为3的等比数列，S 2n －1＝S 2n －a 2n 等关系.1．已知等比数列{a n }的公比为2，且其前5项和为1，那么{a n }的前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35 D ．37答案 B解析 设{a n }的公比为q ，由题意，q ＝2，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝q 5(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 5＝25＝32，∴S 10＝1＋32＝33.2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为( )A.13 B ．－13C.12 D ．－12答案 C解析 方法一 ∵S n ＝x ·3n -1－16＝x 3·3n －16，由S n ＝A (q n －1)，得x 3＝16，∴x ＝12，故选C.方法二 当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2x ·3n -2，∵{a n }是等比数列，∴n ＝1时也应适合a n ＝2x ·3n -2， 即2x ·3-1＝x －16，解得x ＝12.3．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c ，等比数列{b n }的前n 项和T n ＝3n ＋d ，则向量a ＝(c ，d )的模为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．无法确定答案 A解析 由等差数列与等比数列的前n 项和公式知，c ＝0，d ＝－1，所以向量a ＝(c ，d )的模为1. 4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若q ＝2，S 100＝36，则a 1＋a 3＋…＋a 99等于( ) A ．24 B ．12 C ．18 D ．22 答案 B解析 设a 1＋a 3＋…＋a 99＝S ，则a 2＋a 4＋…＋a 100＝2S .∵S 100＝36，∴3S ＝36，∴S ＝12，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12.5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝1，S 8＝3，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12等于( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 答案 C解析 S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列． 即1,2，a 9＋a 10＋a 11＋a 12成等比数列． ∴a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝4.1．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列． 2．等比数列前n 项和中用到的数学思想 (1)分类讨论思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n -1＝a 1q ·q n(q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)与指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q 当成整体求解；把奇数项、偶数项、连续若干项之和等整体处理．。