【步步高】高中数学 第四章章末检测 新人教A必修2

新教材高中数学学案新人教A 版选择性必修2：第2课时 等比数列的性质及应用必备知识·自主学习 导思1.等比数列的项有哪些性质？2．怎样应用等比数列的性质简化运算？1.推广的等比数列的通项公式{a n }是等比数列，首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·qn －m(m ，n∈N *).2．“子数列”性质对于无穷等比数列{a n }，若将其前k 项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k ＋1，公比为q ；若取出所有的k 的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k ，公比为q k.如何推导a n ＝a m qn －m?提示：由a n a m ＝a 1·q n －1a 1·q m －1 ＝qn －m ，所以a n ＝a m ·q n －m. 3.等比数列项的运算性质在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q . ①特别地，当m ＋n ＝2k(m ，n ，k∈N *)时，a m ·a n ＝a 2k .②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n－1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….4．两等比数列合成数列的性质若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n }，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n也为等比数列．等比数列{a n }的前4项为1，2，4，8，{m ＋a n }(m 是非零常数)能成为等比数列吗？提示：不能，取前三项检验即可，若成等比数列，则()2＋m 2＝()1＋m ()4＋m ，解得m ＝0，显然不合题意．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( √ ) (2)当q>1时，{a n }为递增数列．( × ) (3)当q ＝1时，{a n }为常数列．( √ )(4)若{a n }，{b n }都是等比数列，则{a n ＋b n }是等比数列．( × ) 提示：(1)根据等比数列的定义可以判定该说法正确． (2)当q>1，a 1>0时，{a n }才为递增数列．(3)当q ＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列．(4)如a n ＝1，b n ＝－1，显然a n ＋b n ＝0，所以{a n ＋b n }不是等比数列．2．由公比为q 的等比数列a 1，a 2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…是( ) A.等差数列B.以q 为公比的等比数列C.以q 2为公比的等比数列 D.以2q 为公比的等比数列【解析】选C.因为a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1 ＝a n ＋2a n ＝q 2为常数，所以该数列为以q 2为公比的等比数列．3．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( ) A.35B ．63C ．21 3D ．±21 3【解析】选B.因为{a n }成等比数列． 所以a 4，a 6，a 8成等比数列， 所以a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.4．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________． 【解析】因为a 6a 10＝a 28 ，a 3a 5＝a 24 ， 所以a 24 ＋a 28 ＝41， 又a 4a 8＝4，所以(a 4＋a 8)2＝a 24 ＋a 28 ＋2a 4a 8 ＝41＋8＝49，因为数列各项都是正数，所以a 4＋a 8＝7. 答案：7关键能力·合作学习类型一 由等比数列衍生的新数列(数学运算)【典例】已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于( ) A ．4 2B ．6C ．7D ．5 2【思路导引】等比数列连续三项的积仍是等比数列． 【解析】选D.因为{a n }为等比数列， 所以a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9也成等比数列， 所以(a 4a 5a 6)2＝(a 1a 2a 3)(a 7a 8a 9)＝50， 又{a n }各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝5 2 .整体代换的作用从等比数列截取几段，每一片段的积仍能构成等比数列，借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．【补偿训练】1.等比数列{a n }中，若a 12＝4，a 18＝8，则a 36为( ) A ．32 B ．64 C ．128 D ．256【解析】选B.由等比数列的性质可知，a 12，a 18，a 24，a 30，a 36成等比数列，且a 18a 12 ＝2，故a 36＝4×24＝64.2．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________． 【解析】设这8个数组成的等比数列为{a n }，则a 1＝1，a 8＝2. 插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7 ＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5) ＝(a 1a 8)3＝23＝8. 答案：8类型二等比数列性质的应用(数学运算) 【典例】已知{a n}为等比数列．(1)等比数列{a n}满足a2a4＝12，求a1a23a5；(2)若a n>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(3)若a n>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．等比数列性质的作用有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质．1．设各项均为正数的等比数列{a n }满足a 4a 8＝3a 7，则log 3(a 1a 2…a 9)等于( ) A ．38B ．39C ．9D ．7【解析】选C.因为a 4·a 8＝a 5·a 7＝3a 7且a 7≠0，所以a 5＝3，所以log 3(a 1a 2…a 9)＝log 3a 95 ＝log 339＝9.2．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8， 则a 1＋a 10＝( )A.7 B ．5 C ．－5 D ．－7 【解析】选D.因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立4747a a 2,a a 8,+=⎧⎨=-⎩解得47a 4,a 2=⎧⎨=-⎩或47a 2,a 4,=-⎧⎨=⎩所以q 3＝－12 或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3 ＋a 7·q 3＝－7.3．(1)已知数列{a n }为等比数列，a 3＝3，a 11＝27， 求a 7；(2)已知{a n }为等比数列，a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15， 求公比q.【解析】(1)方法一：21101a q 3,a q 27⎧=⎪⎨=⎪⎩相除得q 8＝9.所以q 4＝3，所以a 7＝a 3·q 4＝9.方法二：因为a 27 ＝a 3a 11＝81，所以a 7＝±9， 又a 7＝a 3q 4＝3q 4>0，所以a 7＝9.(2)因为a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15， 所以a 3＝3，a 7＝12或a 3＝12，a 7＝3.所以q 4＝a 7a 3 ＝4或14 ，所以q ＝± 2 或q ＝±22 .类型三 等比数列的实际应用(数学运算、数学建模)【典例】某工厂2020年1月的生产总值为a 万元，计划从2020年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2021年8月底该厂的生产总值为多少万元？ 【思路导引】每月生产总值比上一个月增长m%，说明各月产值构成等比数列． 【解析】设从2020年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元， 则a n ＋1＝a n ＋a n m%， 所以a n ＋1a n＝1＋m%.所以数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m%的等比数列．所以a n ＝a(1＋m%)n －1.所以2021年8月底该厂的生产总值为a 20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元).等比数列实际应用数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．1．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设新冠肺炎的基本传染数R 0＝3.8，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M>1 000时需要的天数至少为(参考数据：lg 38≈1.58)( )A ．34B ．35C ．36D ．37【解析】选D.设第n 轮感染人数为a n ，则数列{}a n 为等比数列，其中a 1＝3.8，公比为R 0＝3.8，所以a n ＝3.8n>1 000，解得n>log 3.81 000＝3lg 3.8 ＝3lg 38－1 ≈30.58≈5.17， 而每轮感染周期为7天，所以需要的天数为5.17×7＝36.19，即需要的天数至少为37天． 2．(2021·兰州高二检测)一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的只数为( ) A.55 989 B ．46 656 C.216D ．36【解析】选B.设第n 天蜂巢中的蜜蜂数量为a n ，根据题意得数列{}a n 成等比数列，它的首项为6，公比q ＝6，所以{}a n 的通项公式：a n ＝6×6n －1＝6n，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a 6＝66＝46 656只蜜蜂．课堂检测·素养达标1．若数列{a n }是等比数列，则下列式子一定成立的是( ) A ．a 2＋a 5＝a 1＋a 6 B ．a 1a 9＝a 10 C ．a 1a 9＝a 3a 7D ．a 1a 2a 7＝a 4a 6【解析】选C.根据等比数列的性质，知a 1a 9＝a 3a 7.2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg (a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000 D ．－10 000 【解析】选C.因为a 3a 8a 13＝a 38 ， 所以lg (a 3a 8a 13)＝lg a 38 ＝3lg a 8＝6. 所以a 8＝100.又a 1a 15＝a 28 ＝10 000.3．(2021·北京高二检测)已知等比数列{a n }满足a 1＝－1，a 4＝8，则a 7等于( ) A ．32 B ．－32 C ．64 D ．－64【解析】选D.根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ， 若a 1＝－1，a 4＝8，则有q 3＝a 4a 1 ＝－8，解得q ＝－2，故a 7＝a 1·q 6＝－64.4．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为________． 【解析】因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝25. 答案：255．在等比数列{a n}中，已知a3＝2，a15＝8，则a9等于________．【解析】因为a9是a3和a15的等比中项，所以a9＝±a3a15＝±4，注意到在等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号也相同，所以a9＝a3a15＝4.答案：4。

新教材高中数学学案新人教A 版选择性必修2：第2课时 数列的通项公式与递推公式新课程标准学业水平要求1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).2．了解数列是一种特殊函数．1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点研究数列．(逻辑推理)2．理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项．(数学运算)3．会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式．(逻辑推理、数学运算)必备知识·自主学习导思1.什么是数列的递推公式？2．什么是数列的前n 项和？1.递推公式(1)概念：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．(2)作用：递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项．(1)数列1，2，4，8，…的第n 项a n 与第n ＋1项a n ＋1有什么关系？ (2)所有的数列都有递推公式吗？提示：(1)a n ＋1＝2a n ；(2)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式，如 2 精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…就没有递推公式． 2．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法，以数列2，4，6，8，10，12，…为例，表示如下：①通项公式法：a n ＝2n.②递推公式法： 1n 1n a 2a a 2n N*.⎧⎨∈⎩＋＝，＝＋，③列表法：n 1 2 3 … k … a n246…2k…④图象法：3．数列递推公式与通项公式的关系 递推公式通项公式区别表示a n 与它的前一项a n －1(或前几项)之间的关系表示a n 与n 之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式．仅由数列{a n }的关系式a n ＝a n －1＋2(n≥2，n∈N *)就能确定这个数列吗？提示：不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的． 4．数列的前n 项和的概念数列{a n }从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{a n }的前n 项和，记作S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .如何用S n 和S n －1的表达式表示a n?提示：a n＝1n n n 1S ,n 1,a S S ,n 2.=⎧=⎨≥⎩－－1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)递推公式是表示数列的一种方法．( √ )(2)根据递推公式可以求出数列已知项以外的任意一项．( √ )(3)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和．( √ ) 提示：(1)递推公式也是给出数列的一种重要方法．(2)只需将已知的项代入递推公式即可逐个求得数列的其他项． (3)由前n 项和的定义可知正确．2．符合递推关系式a n ＝ 2 a n －1(n≥2)的数列是( ) A ．1，2，3，4，…B ．1， 2 ，2，2 2 ，… C. 2 ，2， 2 ，2，…D ．0， 2 ，2，2 2 ，…【解析】选B.B 中从第二项起，后一项是前一项的 2 倍，符合递推公式a n ＝ 2 a n －1. 3．数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2－a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 5＝( ) A.－3B ．－11C ．－5D ．19【解析】选D.由a n ＋1＝a n ＋2－a n ， 得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，则a 3＝a 1＋a 2＝7，a 4＝a 2＋a 3＝12， a 5＝a 3＋a 4＝19.4．已知a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1 (n≥2)，则a 5＝________．【解析】由a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1 ， 得a 2＝2，a 3＝32 ，a 4＝53 ，a 5＝85 .答案：855．已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2＋n ，则a 4的值为________．【解析】由已知a 4＝S 4－S 3＝(42＋4)－(32＋3)＝8. 答案：8关键能力·合作学习类型一 由递推公式求数列的项(数学运算)1．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是( )A.116 B ．117 C ．110 D ．125 【解析】选C.a 2＝a 13a 1＋1 ＝13＋1 ＝14 ，a 3＝a 23a 2＋1 ＝1434＋1 ＝17，a 4＝a 33a 3＋1 ＝1737＋1 ＝110.2．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.259 B ．2516 C ．6116 D ．3115 【解析】选C.由题意a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22， a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42， 则a 3＝3222 ＝94 ，a 5＝5242 ＝2516 .故a 3＋a 5＝6116.3．已知数列{a n}满足n n n 1n n 12a 0a 2a 12a 1a 12⎧≤<⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩＋，，＝－，， 若a 1＝67 ，则a 2 021＝________．【解析】计算得a 2＝2a 1－1＝57 ，a 3＝2a 2－1＝37 ，a 4＝2a 3＝67 .故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又因为2 021＝673×3＋2，所以a 2 021＝a 2＝57 .答案：57由递推公式求数列的项的方法根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．【补偿训练】数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 2n ＋1 －a n a n ＋2＝(－1)n，求{a n }的前5项． 【解析】由a 2n ＋1 －a n a n ＋2＝(－1)n ， 得a n ＋2＝a 2n ＋1 －（－1）na n，又因为a 1＝1，a 2＝3，所以a 3＝a 22 －（－1）1a 1 ＝32＋11 ＝10，a 4＝a 23 －（－1）2a 2 ＝102－13＝33，a 5＝a 24 －（－1）3a 3 ＝332＋110＝109.所以数列{a n }的前5项为1，3，10，33，109.Ｋ 类型二 由递推公式求通项公式(逻辑推理) 角度1 累差法【典例】已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1） ，n∈N *，求通项公式a n .【思路导引】先将a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1） 变形为a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1，照此递推关系写出前n 项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解． 【解析】因为a n ＋1－a n ＝1n （n ＋1） ，所以a 2－a 1＝11×2；a 3－a 2＝12×3 ；a 4－a 3＝13×4 ；…；a n －a n －1＝1（n －1）n.以上各式累加得，a n －a 1＝11×2 ＋12×3 ＋…＋1（n －1）n＝1－12 ＋12 －13 ＋…＋1n －1 －1n ＝1－1n .所以a n ＋1＝1－1n ，所以a n ＝－1n(n≥2).又因为n ＝1时，a 1＝－1，符合上式，所以a n ＝－1n(n∈N *).将条件变为“a 1＝12 ，a n a n －1＝a n －1－a n (n≥2)”求数列{a n }的通项公式．【解析】因为a n a n －1＝a n －1－a n ，所以1a n －1a n －1＝1.所以1a n ＝1a 1 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 1 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－1a 2 ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1 ＝2＋ ()n 11111-++⋯+个 ＝n ＋1.所以1a n＝n ＋1(n≥2)，又a 1＝12 也适合上式，所以a n ＝1n ＋1 .角度2 累乘法【典例】设数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n≥2)，求通项公式a n .【思路导引】先将a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n≥2)变形为a n a n －1 ＝n －1n ，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解．【解析】因为a 1＝1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n a n －1(n≥2)，所以a n a n －1 ＝n －1n ，a n ＝a n a n －1 ×a n －1a n －2 ×a n －2a n －3 ×…×a 3a 2 ×a 2a 1 ×a 1＝n －1n ×n －2n －1 ×n －3n －2×…×23 ×12 ×1＝1n.又因为n ＝1时，a 1＝1，符合上式，所以a n ＝1n(n∈N *).由递推公式求通项公式的方法1．累差法：形如a n ＋1－a n ＝f(n)的递推公式，可以利用a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n (n≥2，n∈N *)求通项公式；2．累乘法：形如a n ＋1a n ＝f(n)的递推公式，可以利用a 1·a 2a 1 ·a 3a 2 ·…·a n a n －1 ＝a n (n≥2，n∈N *)求通项公式．1．已知a 1＝1，a n ＝a n －1＋3(n≥2，n∈N *)，则数列的通项公式为( ) A ．a n ＝3n ＋1 B ．a n ＝3n C ．a n ＝3n －2D ．a n ＝3(n －1)【解析】选C.因为a n ＝a n －1＋3，所以a n －a n －1＝3. 所以a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，…，a n －a n －1＝3， 以上各式两边分别相加，得a n －a 1＝3(n －1)， 所以a n ＝a 1＋3(n －1)＝1＋3(n －1)＝3n －2.当n ＝1时，也适合上式．2．若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，且a 1＝1，则a 100＝________． 【解析】由(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1， 即a n a n －1 ＝n ＋1n －1 ，则a 100＝a 1·a 2a 1 ·a 3a 2 ·…·a 100a 99＝1×31 ×42 ×…×10199 ＝5 050.答案：5 050类型三 由a n 与S n 的关系求通项公式(逻辑推理)【典例】已知数列{}a n 满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2()n∈N *.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n()a n ＋a n ＋1 ，求数列{}b n 的前2 020项和S 2 020.四步 内容理解 题意 条件：a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2()n∈N *结论：数列{}a n 的通项公式思路探求(1)将n 换为n －1得另一个式子，两式相减即可求出；(2)直接求和．书写 表达(1)由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2()n∈N *，可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)2， 所以na n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 即a n ＝2－1n()n≥2，n∈N *，当n ＝1时，a 1＝1也满足， 所以a n ＝2－1n ()n∈N *.(2)S 2 020＝b 1＋b 2＋…＋b 2 020＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－11＋2－12 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＋2－13 ＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12 019＋2－12 020 ＋ ⎝⎛⎭⎪⎫2－12 020＋2－12 021 ＝1－12 021 ＝2 0202 021 .题后 反思解决a n和S n关系问题，常常利用a n＝1n n 1S ,n 1S S ,n 2=⎧⎨≥⎩－－解决．由a n 与S n 的关系求通项公式的方法1．对于一般数列{a n }，设其前n 项和为S n ，则有a n＝1n n 1S n 1S S n 2.⎧⎨≥⎩－，＝，－，这一关系对任何数列都适用．2．若在由a n ＝S n －S n －1(n≥2)求得的通项公式中，令n ＝1求得a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n≥2)所得通项公式也适合n ＝1的情况，数列的通项公式用a n ＝S n －S n －1表示；若在由a n ＝S n －S n －1(n≥2)求得的通项公式中，令n ＝1求得的a 1与利用a 1＝S 1求得的a 1不相同，则说明a n ＝S n －S n －1(n≥2)所得通项公式不适合n ＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式．(1)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2，则a n 等于( )A ．nB ．n 2C ．2n ＋1D ．2n －1(2)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2－3n －1，则a n ＝________． 【解析】(1)选D.当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＝1，当n≥2时，由a n ＝S n －S n －1得a n ＝n 2－()n －1 2＝2n －1，验证当n ＝1时，a 1＝2×1－1＝1满足上式． 故数列{}a n 的通项公式为a n ＝2n －1.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－3－1＝－3，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－3n －1－[(n －1)2－3(n －1)－1]＝2n －4，当n ＝1时，2－4＝－2≠a 1，所以a n＝3n 1,2n 4n 2.=⎧⎨≥⎩－，－，答案：3n 1,2n 4n 2=⎧⎨≥⎩－，－，备选类型 数列的周期性(直观想象、逻辑推理)【典例】已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，n∈N *，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发现数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 020项？【思路导引】由递推公式求数列中的指定项时，如果项数比较大，则该数列通常具有周期性，即数列的项会有周期性的变化．【解析】a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，….发现：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6. 证明如下：因为a n ＋2＝a n ＋1－a n ，所以a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝(a n ＋1－a n )－a n ＋1＝－a n . 所以a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n . 所以数列{a n }是周期数列，且T ＝6. 所以a 2 020＝a 336×6＋4＝a 4＝－1.递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若项数很大，则应考虑数列是否具有规律．已知数列{x n }满足x 1＝a ，x 2＝b ，x n ＋1＝x n －x n －1(n≥2)，设S n ＝x 1＋x 2＋…＋x n ，则下列结论正确的是( )A ．x 100＝－a ，S 100＝2b －aB ．x 100＝－b ，S 100＝2b －a C.x 100＝－b ，S 100＝b －aD ．x 100＝－a ，S 100＝b －a【解析】选A.x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝x 2－x 1＝b －a ，x 4＝x 3－x 2＝－a ，x 5＝x 4－x 3＝－b ，x 6＝x 5－x 4＝a －b ，x 7＝x 6－x 5＝a ＝x 1，x 8＝x 7－x 6＝b ＝x 2，所以{x n }是周期数列，周期为6，所以x 100＝x 4＝－a ，因为x 1＋x 2＋…＋x 6＝0，所以S 100＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2b －a.课堂检测·素养达标1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12 a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1B ．12C ．34D ．58【解析】选B.由a 1＝1，所以a 2＝12 a 1＋12 ＝1，依此类推a 4＝12 .2．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S n ＝1n ，n∈N *，则a 2＝( )A ．－12B ．－16C ．16D ．12【解析】选A.因为S n ＝1n ，所以a 1＝S 1＝11 ＝1，因为S 2＝a 1＋a 2＝12 ，所以a 2＝12 －1＝－12.3．若数列{a n }满足a n ＋1＝4a n ＋34 (n∈N *)，且a 1＝1，则a 17＝( )A ．13B ．14C ．15D ．16【解析】选A.由a n ＋1＝4a n ＋34 ⇒a n ＋1－a n ＝34 ，a 17＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 17－a 16)＝1＋34×16＝13.4．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝－1a n －1(n≥2，n∈N *)，则a 2 020＝________．【解析】因为a 2＝－1a 1 ＝－12 ，a 3＝－1a 2 ＝2，a 4＝－12 ＝a 2，所以{a n }的周期为2，所以a 2 020＝a 2＝－12 .答案：－12。

学业分层测评（二十三）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是() A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【解析】易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．【答案】 C2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是() A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0【解析】结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－12(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.【答案】 B3．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12【解析】法一：由3x＋4y＝b得y＝－34x＋b4，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b|32＋42＝1，解得b＝2或12.【答案】 D4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()A．－1或 3 B．1或3C．－2或6 D．0或4【解析】由弦长公式l＝2r2－d2，可知圆心到直线的距离d＝2，即|a－2|12＋－12＝2，解得a＝0或4.【答案】 D5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝()A．10－27 B．5－7C．10－3 3 D．5－32 2【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为0＋32＋－1－22＝32<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，即n＝225－322＝27.∴m－n＝10－27.【答案】 A二、填空题6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.【导学号：09960140】【解析】圆心到直线的距离d＝|2－0|2＝2，半径r＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝2 2.【答案】2 27．(2015·烟台高一检测)圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有________个．【解析】圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以弦心距为d＝|－1－2＋1|2＝ 2.又圆的半径为22，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有3个．【答案】 3三、解答题8．过点A(1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8是什么位置关系？若相交，试求出弦长．【解】因为tan 135°＝－tan 45°＝－1，所以直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.圆心到直线的距离d＝|2＋2－2|2＝2＜r＝22，所以直线与圆相交．弦长为2r2－d2＝28－2＝2 6.9．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．【解】(1)设圆A的半径为r，∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，则直线l的方程x＝－2，此时有|MN|＝219，即x＝－2符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，∴|AQ|2＋12|MN|2＝r2，又∵|MN|＝219，r＝25，∴|AQ|＝20－19＝1，解方程|AQ|＝|k－2|k2＋1＝1，得k＝34，∴此时直线l的方程为y－0＝34(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.[自我挑战]10．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是()A．b＝ 2 B．－1＜b≤1或b＝－ 2C．－1≤b≤1 D．以上都不正确【解析】如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线y＝x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意．∵l1与半圆相切，∴b＝－2；当直线y＝x＋b位于l2时，b＝－1；当直线y＝x＋b位于l3时，b＝1.∴b的取值范围是－1＜b≤1或b＝－ 2.【答案】 B11．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程.【导学号：09960141】【解】(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，∴2r＝|15－－5|22＋12＝45，∴r＝25，∴|2a＋b＋15|22＋1＝r＝25，即|2a＋b＋15|＝10，①|2a＋b－5|22＋1＝r＝25，即|2a＋b－5|＝10，②又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴b－1a－2＝12，③由①②③解得a＝－2，b＝－1.∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.(2)设圆心坐标为(3m，m)．∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为|2m|2＝2|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。

章末综合测评(二) 平面向量(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC→＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7，4) C ．(－1，4)D ．(1，4)【解析】 法一：设C (x ，y )， 则AC→＝(x ，y －1)＝(－4，－3)， 所以⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC→＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A ． 法二：AB→＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选A ． 【答案】 A2．(2015·福建高考)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C ．53D ．32【解析】 c ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.【答案】 A3．(2015·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2【解析】 由已知条件得BD→·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D ．【答案】 D4．(2015·陕西高考)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【解析】 根据a·b ＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a|－|b||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立．根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．【答案】 B5．(2015·重庆高考)已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【解析】 ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0，∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a||b|cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝23π.【答案】 C6．(2015·安徽高考)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC→＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC→【解析】 在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC→，故选D ． 【答案】 D7．(2016·锦州高一检测)已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( )A ．0B ．2C ．5D ．25【解析】 因为a ＝(2，1)，则有|a|＝5，又a·b ＝10， 又由|a ＋b|＝50， ∴|a|2＋2a·b ＋|b|2＝50， 即5＋2×10＋|b|2＝50， 所以|b|＝5. 【答案】 C8.已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC→等于( )图1【导学号：00680065】A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43b【解析】 BC →＝2BD →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫23BE →＋13AD →＝43BE →＋23AD → ＝23a ＋43b . 【答案】 B9．(2016·景德镇期末)设非零向量a 、b 、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【解析】 设向量a 、b 夹角为θ， |c|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ， 则cos θ＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选B ． 【答案】 B10．(2016·西城高一检测)在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE→·AB →＝1，则AE →·AC →的值为( ) A ．3 B ．2 C ．32D ．33【解析】 设AE→与AB →的夹角为θ，则AE →与AD →的夹角为π2－θ，又AD →∥BC →，故有AE →与BC →夹角为π2－θ，如图：∵AE →·AB →＝|AE →|·|AB →|·cos θ＝3|AE →|·cos θ＝1， ∴|AE→|·cos θ＝33，∴AE →·BC →＝|AE →|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝|AE →|sin θ＝1，∴AE →·AC →＝AE →·(AB →＋BC →)＝AE →·AB →＋AE →·BC →＝1＋1＝2. 【答案】 B11．(2016·济南高一检测)已知向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3，0)B ．(3，0)C ．(2，0)D ．(4，0)【解析】 设P (x ，0)，则有 AP →·BP →＝(x －2，0－2)·(x －4，0－1) ＝(x －2)(x －4)＋2 ＝x 2－6x ＋10 ＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，(AP →·BP →)min ＝1， 此时P 点坐标为(3，0)． 【答案】 B12．(2014·天津高考)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC ．若AE→·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A ．12B ．23C ．56D ．712【解析】 如图：∠BAD ＝120°，|AB→|＝|AD →|＝2.AF→·AE →＝(AD →＋DF →)(AB →＋BE →)＝(AD→＋μDC →)(AB →＋λBC →) ＝(AD →＋μAB →)(AB →＋λAD →) ＝λAD→2＋μAB →2＋(λμ＋1)AD →·AB → ＝4(λ＋μ)＋(λμ＋1)×4×cos 120° ＝4(λ＋μ)－2(λμ＋1)＝1， 即2λμ－4(λ＋μ)＋3＝0，①由CE →·CF →＝(CB →＋BE →)(CD →＋DF →)＝(λ－1)·(μ－1)·BC →·DC → ＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23，所以有λμ＝λ＋μ－23，代入①得2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ－23－4(λ＋μ)＋3＝0， 解得λ＋μ＝56.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．(2014·湖北高考)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________.【解析】 因为OA →＝(1，－3)， 又|OA→|＝10＝|OB →|， 又OA→·OB →＝0， 所以∠AOB ＝90°，所以△AOB 为等腰直角三角形，且|AB →|＝2|OA →|＝2 5.【答案】 2 514．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【解析】 ∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n ) ＝(9，－8)，∴⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 【答案】 －315．(2015·湖北高考)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________． 【解析】 因为OA→⊥AB →，所以OA →·AB →＝OA →·(OB →－OA →)＝OA →·OB →－OA 2→＝0，所以OA→·OB →＝OA 2→＝|OA →|2＝9，即OA →·OB →＝9.【答案】 916．(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB→＋yAC →，则x ＝________；y ＝________． 【解析】 ∵AM→＝2MC →，∴AM →＝23AC →.∵BN →＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)，∴MN→＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC → ＝12AB →－16AC →. 又MN→＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16. 【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．因为0°<θ<120°， 所以－12<cos θ<1，所以13<|c|<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)(2016·无锡高一检测)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)．(1)当m ＝8时，将OC→用OA →和OB →表示；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件． 【解】 (1)m ＝8时，OC →＝(8，3)， 设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →， ∴(8，3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3，0) ＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎨⎧2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－3，λ2＝143， ∴OC→＝－3OA →＋143OB →. (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形， 则有AB→与AC →不共线， 又AB→＝OB →－OA →＝(3，0)－(2，－1)＝(1，1)， AC→＝OC →－OA →＝(m ，3)－(2，－1)＝(m －2，4)， 则有1×4－(m －2)×1≠0， ∴m ≠6.19．(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB→＝4i －2j ，AC →＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四边形ABCD 的面积．【解】 因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0， 所以AB→⊥AD →， 又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j＝AB→＋AD →， 所以四边形ABCD 为平行四边形，又AB→⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形． 所以S 四边形ABCD ＝|AB →|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.20．(本小题满分12分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．【解】 以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC→＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n ，0)， 又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC→∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎨⎧m ＝10，n ＝5. 21．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)， 所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.22．(本小题满分12分)已知向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，|k a ＋b|＝3|a －k b |(k >0，k ∈R )．(1)求a·b 关于k 的解析式f (k )； (2)若a ∥b ，求实数k 的值； (3)求向量a 与b 夹角的最大值． 【解】 (1)由已知|k a ＋b|＝3|a －k b |， 有|k a ＋b|2＝(3|a －k b |)2，k 2a 2＋2k a·b ＋b 2＝3a 2－6k a·b ＋3k 2b 2. 由|a|＝|b|＝1，得8k a·b ＝2k 2＋2，所以a·b ＝k 2＋14k ，即f (k )＝k 2＋14k(k >0)．(2)因为a ∥b ，k >0，所以a·b ＝k 2＋14k >0，则a 与b 同向．因为|a|＝|b|＝1，所以a·b ＝1， 即k 2＋14k ＝1，整理得k 2－4k ＋1＝0，所以k ＝2±3，所以当k ＝2±3时，a ∥b .(3)设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a||b|＝a·b＝k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k 2＋2. 当k ＝1k，即k ＝1时，cos θ取最小值12，又0≤θ≤π，π3，即向量a与b夹角的最大值为π3.所以θ＝。

章末综合测评(二) 平面向量(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7，4)C ．(－1，4)D ．(1，4)【解析】 法一：设C (x ，y )， 则AC→＝(x ，y －1)＝(－4，－3)， 所以⎩⎨⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC→＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A ． 法二：AB→＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 故选A ． 【答案】 A2．(2015·福建高考)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C ．53D ．32 【解析】 c ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32.【答案】 A3．(2015·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2【解析】 由已知条件得BD →·CD →＝BD →·BA →＝3a ·a cos 30°＝32a 2，故选D ． 【答案】 D4．(2015·陕西高考)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【解析】 根据a·b ＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A 恒成立．当向量a 和b 方向不相同时，|a －b |>||a|－|b||，B 不恒成立．根据|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝(a ＋b )2，C 恒成立．根据向量的运算性质得(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2，D 恒成立．【答案】 B5．(2015·重庆高考)已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2 C ．2π3D ．5π6【解析】 ∵a ⊥(2a ＋b )，∴a ·(2a ＋b )＝0， ∴2|a |2＋a ·b ＝0，即2|a |2＋|a||b|cos 〈a ，b 〉＝0.∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝23π. 【答案】 C6．(2015·安徽高考)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC→【解析】 在△ABC 中，由BC →＝AC →－AB →＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2.又|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，所以(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC→，故选D ． 【答案】 D7．(2016·锦州高一检测)已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( ) A ．0B ．2C ．5D ．25【解析】 因为a ＝(2，1)，则有|a|＝5，又a·b ＝10， 又由|a ＋b|＝50， ∴|a|2＋2a·b ＋|b|2＝50， 即5＋2×10＋|b|2＝50， 所以|b|＝5. 【答案】 C8.已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，设AD→＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )图1【导学号：00680065】A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43b【解析】 BC→＝2BD →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫23BE →＋13AD → ＝43BE →＋23AD →＝23a ＋43b . 【答案】 B9．(2016·景德镇期末)设非零向量a 、b 、c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【解析】 设向量a 、b 夹角为θ， |c|2＝|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ，则cos θ＝－12，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.故选B ． 【答案】 B10．(2016·西城高一检测)在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE →·AB →＝1，则AE→·AC →的值为( ) A ．3 B ．2 C ．32D ．33【解析】 设AE→与AB →的夹角为θ，则AE →与AD →的夹角为π2－θ，又AD→∥BC →，故有AE →与BC →夹角为π2－θ，如图：∵AE→·AB →＝|AE →|·|AB →|·cos θ＝3|AE →|·cos θ＝1， ∴|AE→|·cos θ＝33， ∴AE →·BC →＝|AE →|cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝|AE →|sin θ＝1， ∴AE →·AC →＝AE →·(AB →＋BC →)＝AE →·AB →＋AE →·BC →＝1＋1＝2.【答案】 B11．(2016·济南高一检测)已知向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3，0)B ．(3，0)C ．(2，0)D ．(4，0)【解析】 设P (x ，0)，则有 AP →·BP →＝(x －2，0－2)·(x －4，0－1) ＝(x －2)(x －4)＋2 ＝x 2－6x ＋10 ＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，(AP →·BP →)min ＝1，此时P 点坐标为(3，0)． 【答案】 B12．(2014·天津高考)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC ．若AE→·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( ) A ．12 B ．23 C ．56D ．712【解析】 如图：∠BAD ＝120°，|AB→|＝|AD →|＝2.AF→·AE →＝(AD →＋DF →)(AB →＋BE →) ＝(AD→＋μDC →)(AB →＋λBC →) ＝(AD→＋μAB →)(AB →＋λAD →) ＝λAD→2＋μAB →2＋(λμ＋1)AD →·AB → ＝4(λ＋μ)＋(λμ＋1)×4×cos 120° ＝4(λ＋μ)－2(λμ＋1)＝1， 即2λμ－4(λ＋μ)＋3＝0，①由CE →·CF →＝(CB →＋BE →)(CD →＋DF →)＝(λ－1)·(μ－1)·BC →·DC → ＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23，所以有λμ＝λ＋μ－23，代入①得 2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋μ－23－4(λ＋μ)＋3＝0， 解得λ＋μ＝56. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．(2014·湖北高考)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________.【解析】 因为OA →＝(1，－3)， 又|OA→|＝10＝|OB →|， 又OA→·OB →＝0， 所以∠AOB ＝90°，所以△AOB 为等腰直角三角形，且|AB →|＝2|OA →|＝2 5. 【答案】 2 514．(2015·江苏高考)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【解析】 ∵m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n ) ＝(9，－8)，∴⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 【答案】 －315．(2015·湖北高考)已知向量OA→⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________．【解析】 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝OA →·(OB →－OA →)＝OA →·OB →－OA 2→＝0，所以OA →·OB →＝OA2→＝|OA →|2＝9，即OA →·OB →＝9. 【答案】 916．(2015·北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．【解析】 ∵AM →＝2MC →，∴AM →＝23AC →. ∵BN→＝NC →，∴AN →＝12(AB →＋AC →)， ∴MN→＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC → ＝12AB →－16AC →.又MN→＝xAB →＋yAC →，∴x ＝12，y ＝－16. 【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)． 因为0°<θ<120°， 所以－12<cos θ<1， 所以13<|c|<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)(2016·无锡高一检测)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)．(1)当m ＝8时，将OC→用OA →和OB →表示； (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件． 【解】 (1)m ＝8时，OC →＝(8，3)，设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →， ∴(8，3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3，0) ＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎨⎧2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－3，λ2＝143， ∴OC→＝－3OA →＋143OB →. (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形， 则有AB→与AC →不共线， 又AB→＝OB →－OA →＝(3，0)－(2，－1)＝(1，1)， AC→＝OC →－OA →＝(m ，3)－(2，－1)＝(m －2，4)， 则有1×4－(m －2)×1≠0， ∴m ≠6.19．(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB →＝4i －2j ，AC→＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四边形ABCD 的面积． 【解】 因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0， 所以AB→⊥AD →，又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j＝AB→＋AD →， 所以四边形ABCD 为平行四边形， 又AB→⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形． 所以S 四边形ABCD ＝|AB→|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.20．(本小题满分12分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．【解】 以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ， 则OA→＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC→＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n ，0)， 又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC→∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎨⎧m ＝10，n ＝5. 21．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)， 所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6. 22．(本小题满分12分)已知向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，|k a ＋b|＝3|a －k b |(k >0，k ∈R )． (1)求a·b 关于k 的解析式f (k )； (2)若a ∥b ，求实数k 的值； (3)求向量a 与b 夹角的最大值． 【解】 (1)由已知|k a ＋b|＝3|a －k b |， 有|k a ＋b|2＝(3|a －k b |)2，k 2a 2＋2k a·b ＋b 2＝3a 2－6k a·b ＋3k 2b 2. 由|a|＝|b|＝1，得8k a·b ＝2k 2＋2， 所以a·b ＝k 2＋14k ，即f (k )＝k 2＋14k (k >0)．(2)因为a ∥b ，k >0，所以a·b ＝k 2＋14k >0，则a 与b 同向． 因为|a|＝|b|＝1，所以a·b ＝1， 即k 2＋14k ＝1，整理得k 2－4k ＋1＝0， 所以k ＝2±3，所以当k ＝2±3时，a ∥b .(3)设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a||b|＝a·b ＝k 2＋14k ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k 2＋2.当k ＝1k，即k ＝1时，cos θ取最小值12，又0≤θ≤π， 所以θ＝π3，即向量a 与b 夹角的最大值为π3.。

第四章 数 列 章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·山东泗水·期中（文））已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25B ．13C ．23D ．12【答案】B【解析】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++.故选：B. 2．（2020·四川阆中中学月考（理））等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为S n ，若a 3＝4，a 2·a 6＝64，则S 5＝（ ） A ．32 B ．31C ．64D ．63【答案】B【解析】依题意3264640n a a a a =⎧⎪⋅=⎨⎪>⎩，即2151114640,0a q a q a q a q ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪>>⎩，解得11,2a q ==，所以()551123112S ⨯-==-.故选：B3．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a =+=，则122a a =（ ） A ．3 B ．13-C ．3或13D ．3-或13-【答案】C【解析】若{}n a 的公比为q ，∵3135113a a a a ==，又由3134a a +=，即有31313a a =⎧⎨=⎩或31331a a =⎧⎨=⎩, ∴1013q =或3，故有101223a q a ==或13故选：C 4．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））在递减等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（ ）．A ．1278B ．212C ．638D ．6332【答案】A【解析】则24152454a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得2414a a =⎧⎨=⎩或2441a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 是递减数列，则2441a a =⎧⎨=⎩，∴24214a q a ==，12q =（12q =-舍去）．∴218a a q ==，7717181(1)21112a q S q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭==--1278=． 故选：A ．5．（2020·重庆高一期末）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）A ．53B ．103C ．56D ．116【答案】A【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.6．（2020·贵州贵阳·为明国际学校其他（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比6121,24q S =-=，则数列{}n a 的前n 项积n T 的最大值为（ ） A ．16 B ．64C ．128D ．256【答案】B【解析】由12q =-，6214S =，得61112211412a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得18a =， 所以数列{}n a 为8，4-，2，1-，12，14-，……，前4项乘积最大为64. 故选：B .7．（2020·吉林市第二中学月考）已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ， 其中正确结论的序号为（ ） A ．②③ B ．①②C ．①③D ．①④【答案】B【解析】由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>，所以60a >，所以0d <，①正确；111116111102a a S a +=⨯=>，故②正确； 1126712126()02a a S a a +=⨯=+>，故③错误； 因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误． 故选：B.8．（2020·上海市市西中学月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++是一个确定的常数，则数列{}n S 中是常数的项是（ ）A ．7S ；B ．8S ；C ．11S ；D ．13S【解析】由于题目所给数列为等差数列，根据等差数列的性质， 有()2415117318363a a a a d a d a ++=+=+=， 故7a 为确定常数，由等差数列前n 项和公式可知()11313713132a a S a+⋅==也为确定的常数.故选:D二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．（2020·鱼台县第一中学月考）设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．90a =C ．117S S >D ．8S 、9S 均为n S 的最大值【答案】ABD【解析】由78S S <得12377812a a a a a a a a +++⋯+<++⋯++，即80a >， 又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++，90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>， 由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确；10．（2020·河北邯郸·高三月考）已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+【答案】ABD【解析】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD.11．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【解析】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列， 记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ， 则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确；故选：BD.12．（2019·山东省招远第一中学高二期中）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3393n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．14【答案】ACD【解析】由题意可得()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，则()()21213213931815321311n n n n n a S n b T n n n ---++====+-+++，由于nna b 为整数，则1n +为15的正约数，则1n +的可能取值有3、5、15， 因此，正整数n 的可能取值有2、4、14. 故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．（2020·山东泗水·期中（文））已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 【答案】321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，等比数列{}n a 中，14a =，412a =，可得34218a q a ==，解得12q =，又由2111114n n n n n n a a a q a a a ++--===，且21218a a a q ==， 即数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列， 所以1223118[1()]3214113414n n n n a a a a a a +⨯-⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.14．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））在各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则7856a a a a ++的值是________.【答案】32+【解析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 由321a a a =+， 得210q q --=，解得12q +=(负值舍)，则222278565656a a a q a q q a a a a ++====++⎝⎭.15．（2020·吉林市第二中学月考）各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________. 【答案】10【解析】根据等比数列的前n 项和的性质，若S n 是等比数列的和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍是等比数列，得到(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)， 即()()233307030S S -=⋅-. 解得S 3＝10或S 3＝90(舍)． 故答案为：1016．（2020·四川武侯·成都七中月考）已知等差数列{}n a 的公差2d =，前n 项之和为n S ，若对任意正整数n 恒有2n S S ≥，则1a 的取值范围是______.【答案】[]4,2--【解析】因为对任意正整数n 恒有2n S S ≥，所以2S 为n S 最小值，因此230,0a a ≤≥，即111+20,+4042a a a ≤≥∴-≤≤- 故答案为：[]4,2--四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）17．（2020·安徽省舒城中学月考（文））已知在等差数列{}n a 中，35a =，1763a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设2(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n a n =-；（2）1n n +. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由317653a a a =⎧⎨=⎩，可得()111251635a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩ 解得1a 1,d 2，所以等差数列{}n a 的通项公式可得21n a n =-;（2） 由（1）可得211(3)22(1)1n n b n a n n n n ===-+++，所以111111 (22311)n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()111,11,2n n a n S nS n n n N n -+=-=+-∈≥.（1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T 【答案】（1）证明见解析；（2）21n n T n =+. 【解析】（1）当2n ≥时，因为()()111n n n S nS n n --=+-， 所以()1121n n S S n n n --=≥-， 即n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）得n S n n=，2n S n =. 当2n ≥时，()22121n a n n n =--=-.当1n =时，11a =，符合题意，所以21n a n =-. 所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11122121n n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．（2021·黑龙江鹤岗一中月考（理））已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315a a a a ++==，即25a =， 又(52)(513)100d d -+++=，解得2d =或13d =-（舍去），123a a d =-=，1(1)21n a a n d n ∴=+-⨯=+，又1125b a =+=，22510b a =+=，2q ∴=，152n n b -∴=⋅；（2）21535272(21)2n n T n -⎡⎤=+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，2325325272(21)2n n T n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，两式相减得2153222222(21)25(12)21n n n n T n n -⎡⎤⎡⎤-=+⨯+⨯++⨯-+⨯=--⎣⎦⎣⎦， 则5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦.20．（2020·四川省绵阳南山中学月考（理））已知数列{}n a 为等差数列，11a =，0n a >，其前n 项和为n S ，且数列也为等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-；（2）222(1)n n n ++. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≥， 11S ===1∴=+2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=，n ==， 所以数列为等差数列，21na n ∴=-. （2）2(121)2n n n S n +-==，22222111(1)(1)n nb n n n n +∴==-⋅++， 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2222222221111111211223(1)(1)(1)n n n T n n n n ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21．（2020·浙江月考）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：3n n n n a b a =+，设{}n b 的前n 项的和为n S ，求证：2113n S <. 【答案】（1）2n n a =；（2）证明见解析.【解析】（1）由39a +是1a ，5a 的等差中项得153218a a a +=+，所以135a a a ++331842a =+=，解得38a =，由1534a a +=，得228834q q +=，解得24q =或214q =， 因为1q >，所以2q. 所以2n n a =.（2）112()333()1()22n n n nb =<=+， 3412324222()()()513333n n n S b b b b ∴=++++<++++24688221()6599313n -=+-⋅≤在3n ≥成立， 又有1222146215136513S S =<=<，， 2113n S ∴<. 22．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期中（理））已知数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和且n S 是2a 与2n na -的等差中项，其中a 是不为0的常数.（1）求123,,a a a .（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1）12a a =；26a a =；312a a =（2）猜想：()()*1n a a n N n n =∈+；证明见解析 【解析】（1）由题意知：222n n S a na =-即n n S a na =-，当1n =时，111S a a a ==-，解得12a a =.当2n =时，21222S a a a a =+=-，解得26a a =. 当3n =时，312333S a a a a a =++=-，解得312a a =. （2）猜想：()()*1n a a n N n n =∈+ 证明：①当1n =时，由（1）知等式成立.②假设当()*1,n k k k N =≥∈时等式成立，即()1k a a k k =+， 则当1n k =+时，又n n S a na =-则k k S a ka =-，11k k S a ka ++=-， ∴()()1111k k k k k a S S a k a a ka +++=-=-+--， 即()()1211k k a a k a ka k k k k ++==⨯=++ 所以()()()()112111k aa a k k k k +==+++++⎡⎤⎣⎦， 即当1n k =+时，等式成立.结合①②得()1n a a n n =+对任意*n N ∈均成立.。

2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程章末综合测评2（含解析）新人教A 版必修2一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (2，－1,6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9D.86【解析】 由空间直角坐标系中两点间距离公式得： |AB |＝－3－2＋＋2＋－2＝86.【答案】 D2．当圆x 2＋y 2＋2x ＋ky ＋k 2＝0的面积最大时，圆心坐标是( ) A ．(0，－1) B ．(－1,0) C ．(1，－1)D ．(－1,1)【解析】 圆的标准方程得：(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋k 22＝1－3k 24，当半径的平方1－3k 24取最大值为1时，圆的面积最大．∴k ＝0，即圆心为(－1,0)．【答案】 B3．圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内含D ．内切【解析】 把圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0分别化为标准式为(x －2)2＋(y －3)2＝1和(x －4)2＋(y －3)2＝9，两圆心间的距离d ＝－2＋－2＝2＝|r 1－r 2|，所以两圆的位置关系为内切，故选D.【答案】 D4．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝0【解析】 依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0，故选A.【答案】 A5．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【解析】 由题意知点在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．【答案】 B6．若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0 【解析】 圆心C (1,0)，k PC ＝0－－1－2＝－1，则k AB ＝1，AB 的方程为y ＋1＝x －2， 即x －y －3＝0，故选D. 【答案】 D7．圆心在x 轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝1 B ．(x ＋2)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －2)2＝1【解析】 设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a －2)2＋(1－0)2＝1，解得a ＝2.故所求圆的方程是(x －2)2＋y 2＝1.【答案】 A8．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．36B ．18C ．6 2D ．5 2【解析】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝6 2.【答案】 C9．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对【解析】 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－2＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 【答案】 C10．若圆(x －5)2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则实数r 的取值范围为( )A ．[4,6]B ．(4,6)C ．[5,7]D ．(5,7)【解析】 因为圆心(5,1)到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为1，则4<r <6.【答案】 B11．已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －3)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋3)2＝2【解析】 设点(－2,2)关于直线x －y －1＝0的对称点为Q (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m ＋2×1＝－1，m －22－n ＋22－1＝0，解得m ＝3，n ＝－3，所以圆C 2的圆心坐标为(3，－3)，所以圆C 2的方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝2，故选D.【答案】 D12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2【解析】 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知A (1,2,3)，B (5,6，－7)，则线段AB 中点D 的坐标为________.【解析】 设D (x ，y ，z )，由中点坐标公式可得x ＝1＋52＝3，y ＝2＋62＝4，z ＝3－72＝－2，所以D (3,4，－2)．【答案】 (3,4，－2)14．以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________． 【解析】 原点O 到直线的距离d ＝1532＋42＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2＝25.【答案】 x 2＋y 2＝2515．若圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心C 到直线l 的距离为2，且l 与直线3x ＋4y －1＝0平行，则直线l 的方程为________________．【解析】 圆心为(－1,2)． 设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0， 由点到直线的距离公式，得－＋4×2＋D |32＋42＝2，即|5＋D |5＝2， 解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为：3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0. 【答案】 3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0 16．若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2x ＋1的取值范围是________． 【解析】 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示半圆，如图，设P (x ，y )是半圆上的点，则y ＋2x ＋1表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.又k BQ ＝3，∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程． 【解】 法一：∵圆心在y 轴上， 设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋－b2＝r 2，32＋－b 2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，r 2＝10.所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 法二：线段AB 的中点为(1,3)，k AB ＝2－43－－＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)， 即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r 为＋2＋－2＝10，∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.18．在三棱柱ABO ­A ′B ′O ′中，∠AOB ＝90°，侧棱OO ′⊥面OAB ，OA ＝OB ＝OO ′＝2.若C 为线段O ′A 的中点，在线段BB ′上求一点E ，使|EC |最小．【解】 如图所示，以三棱柱的O 点为坐标原点，以OA ，OB ，OO ′所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)，B (0,2,0)，O (0,0,0)，A ′(2,0,2)，B ′(0,2,2)，O ′(0,0,2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)， 设E 点坐标为(0,2，z )，根据空间两点间距离公式得 |EC |＝－2＋－2＋z －2＝z －2＋5，故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5，此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点． 19．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，过点P (2，－1)作圆C 的切线，切点为A ，B . (1)求直线PA ，PB 的方程； (2)求过P 点的圆C 的切线长．【解】 (1)切线的斜率存在，设切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.圆心到直线的距离等于2，即|－k －3|k 2＋1＝2， ∴k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1， 故所求的切线方程为y ＋1＝7(x －2)或y ＋1＝－(x －2)，即7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. (2)在Rt △PAC 中|PA |2＝|PC |2－|AC |2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8， ∴过P 点的圆C 的切线长为2 2.20．(本小题满分12分)点A (0,2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．【解】 设点M (x ，y )，因为M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC . 又∵∠BAC ＝90°，∴|MA |＝12|BC |＝|MB |.∵|MB |2＝|OB |2－|OM |2，∴|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图1所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2,3)，C (2,1)．图1(1)求以线段AC 为直径的圆E 的方程；(2)若B 点的坐标为(－2，－2)，求直线BC 截圆E 所得的弦长． 【解】 (1)AC 的中点E (0,2)即为圆心， 半径r ＝12|AC |＝1242＋－2＝5，所以圆E 的方程为x 2＋(y －2)2＝5.(2)直线BC 的斜率k ＝1－－2－－＝34， 其方程为y －1＝34(x －2)，即3x －4y －2＝0.点E 到直线BC 的距离为d ＝|－8－2|5＝2，所以BC 截圆E 所得的弦长为25－22＝2. 22. (本小题满分12分)如图2，已知圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0，点A (0,6)．图2(1)求圆心在直线y ＝x 上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；(2)若过点A 的直线m 与圆C 交于P ，Q 两点，且圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，求直线m的方程．【解】 (1)由x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0， 化为标准方程：(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50. 所以圆C 的圆心坐标为C (－5，－5)， 又圆N 的圆心在直线y ＝x 上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(a ，a )， 则有a －2＋a －2＝a －2＋a －2，解得a ＝3，所以圆N 的圆心坐标为(3,3)，半径r ＝32， 故圆N 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18.(2)因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP ⊥CQ .所以点C 到直线m 的距离为5.当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴，所以此时直线m 的方程为x ＝0.当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y ＝kx ＋6， 即kx －y ＋6＝0.所以|－5k ＋5＋6|1＋k 2＝5，解得k ＝4855. 所以此时直线m 的方程为4855x －y ＋6＝0，即48x－55y＋330＝0，故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0.。

第四章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2021年郑州模拟)已知数列1，3，5，7，…，2n －1，若35是这个数列的第n 项，则n ＝( )A ．20B ．21C ．22D ．23【答案】D 【解析】由2n －1＝35＝45，得2n －1＝45，即2n ＝46，解得n ＝23. 2．已知3，a ＋2，b ＋4成等比数列，1，a ＋1，b ＋1成等差数列，则等差数列的公差为( )A ．4或－2B ．－4或2C ．4D ．－4【答案】C 【解析】∵3，a ＋2，b ＋4成等比数列，1，a ＋1，b ＋1成等差数列，∴(a＋2)2＝3(b ＋4)，2(a ＋1)＝1＋b ＋1，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝8.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4时，a ＋2＝0与3，a ＋2，b ＋4成等比数列矛盾，应舍去；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝8时，等差数列的公差为(a ＋1)－1＝a ＝4.3．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，某初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B 【解析】1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12>12764，整理得2n>128，解得n >7，所以初始值至少应取8.4．公差不为0的等差数列{a n }，其前23项和等于其前10项和，a 8＋a k ＝0，则正整数k ＝( )A ．24B ．25C ．26D ．27【答案】C 【解析】由题意设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0，∵其前23项和等于其前10项和，∴23a 1＋23×222d ＝10a 1＋10×92d ，变形可得13(a 1＋16d )＝0，∴a 17＝a 1＋16d ＝0.由等差数列的性质可得a 8＋a 26＝2a 17＝0，∴k ＝26.5．(2021年长春模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．10B ．16C ．24D ．32【答案】B 【解析】设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4.因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2，则a 5＝2×23＝16.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( ) A ．54 B ．45 C ．36D ．27【答案】A 【解析】∵2a 8＝a 5＋a 11，2a 8＝6＋a 11，∴a 5＝6，∴S 9＝9a 5＝54.7．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n＋2＞19的最大正整数n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6【答案】B 【解析】∵a 2a 4＝4，a n ＞0，∴a 3＝2，∴a 1＋a 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝12，a 1q 2＝2，消去a 1，得1＋q q 2＝6.∵q ＞0，∴q ＝12，∴a 1＝8，∴a n ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝24－n ，∴不等式a n a n ＋1a n ＋2＞19化为29－3n＞19，当n ＝4时，29－3×4＝18＞19，当n ＝5时，29－3×5＝164＜19，∴最大正整数n ＝4. 8．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n－1＝0(n ∈N *)，则S 1＋S 2＋…＋S 2021＝( )A ．12021B ．12022C ．20202021D ．20212022【答案】D 【解析】∵n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n －1＝0(n ∈N *)，∴(S n ＋1)[n (n ＋1)S n－1]＝0.又∵S n >0，∴n (n ＋1)S n －1＝0，∴S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 1＋S 2＋…＋S 2021＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12021－12022＝20212022. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知n ∈N *，则下列表达式能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是( )A ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n 为奇数，1，n 为偶数B ．a n ＝1＋(－1)n2C ．a n ＝1＋cos n π2D ．a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinn π2 【答案】ABC 【解析】检验知A ，B ，C 都是所给数列的通项公式．10．(2022年宿迁期末)设等差数列{a n }前n 项和为S n ，公差d >0，若S 9＝S 20，则下列结论中正确的有( )A ．S 30＝0B ．当n ＝15时，S n 取得最小值C ．a 10＋a 22>0D ．当S n >0时，n 的最小值为29【答案】BC 【解析】由S 9＝S 20⇒9a 1＋12×9×8d ＝20a 1＋12×20×19d ⇒a 1＋14d ＝0⇒a 15＝0.因为d >0，所以有S 30＝30a 1＋12×30×29d ＝30·(－14d )＋435d ＝15d ＞0，故A 不正确；因为d >0，所以该等差数列是单调递增数列，因为a 15＝0，所以当n ＝15或n ＝14时，S n 取得最小值，故B 正确；因为d >0，所以该等差数列是单调递增数列，因为a 15＝0，所以a 10＋a 22＝2a 16＝2(a 15＋d )＝2d >0，故C 正确；因为d >0，n ∈N *，所以由S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n (－14d )＋12n (n －1)d ＝12dn (n －29)>0，可得n >29，n ∈N *，因此n 的最小值为30，故D 不正确．故选BC ．11．已知等比数列{a n }的公比为q ，满足a 1＝1，q ＝2，则( )A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是递增数列C ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{a n }中，S 10，S 20，S 30仍成等比数列【答案】AC 【解析】等比数列{a n }中，由a 1＝1，q ＝2，得a n ＝2n －1，∴a 2n ＝22n －1，∴数列{a 2n }是等比数列，故A 正确；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是递减数列，故B 不正确；∵log 2a n ＝n －1，故数列{log 2a n }是等差数列，故C 正确；数列{a n }中，S 10＝1－2101－2＝210－1，同理可得S 20＝220－1，S 30＝230－1，不成等比数列，故D 错误．12．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 2019a 2020>1，a 2019－1a 2020－1<0，下列结论正确的是( )A ．S 2019<S 2020B ．a 2019a 2021－1<0C ．T 2020是数列{T n }中的最大值D ．数列{T n }无最大值【答案】AB 【解析】若a 2019a 2020>1，则a 1q 2018×a 1q2019＝a 21q4037>1.又由a 1>1，必有q >0，则数列{a n }各项均为正值．又由a 2019－1a 2020－1<0，即(a 2019－1)(a 2020－1)<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2019<1，a 2020>1或⎩⎪⎨⎪⎧a 2019>1，a 2020<1，又由a 1>1，必有0<q <1，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2019>1，a 2020<1.有S 2020－S 2019＝a 2020>0，即S 2019<S 2020，则A 正确；有a 2020<1，则a 2019a 2021＝a 22020<1，则B 正确；⎩⎪⎨⎪⎧a 2019>1，a 2020<1，则T 2019是数列{T n }中的最大值，C ，D 错误．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和，则S 8＝________． 【答案】255 【解析】由a 1＝1，a n ＋1＝2a n 知{a n }是以1为首项、2为公比的等比数列，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝1·(1－28)1－2＝255.14．(2022年北京一模)中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n }，则a 1＝________，a n ＝________(注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”，五五数之余三是指此数被5除余3，例如“8”)．【答案】8 15n －7 【解析】被3除余2的正整数可表示为3x ＋2，被5除余3的正整数可表示为5y ＋3，其中x ，y ∈N *，∴数列{a n }为等差数列，公差为15，首项为8，∴a 1＝8，a n ＝8＋15(n －1)＝15n －7.15．(2021年淮北期末)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝[lg n ]([x ]表示不超过x 的最大整数)，T n 为数列{a n }的前n 项和，若存在k ∈N *满足T k ＝k ，则k 的值为__________．【答案】108 【解析】a n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，…k ，10k≤n ＜10k ＋1.当1≤k ＜10时，T k ＝0，显然不存在； 当10≤k ＜100时，T k ＝k －9＝k ，显然不存在；当100≤k ＜1000时，T k ＝99－9＋(k －99)×2＝k ，解得k ＝108.16．(2022年武汉模拟)对任一实数序列A ＝(a 1，a 2，a 3，…)，定义新序列△A ＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…)，它的第n 项为a n ＋1－a n .假定序列△(△A )的所有项都是1，且a 12＝a 22＝0，则a 2＝________．【答案】100 【解析】令b n ＝a n ＋1－a n ，依题意知数列{b n }为等差数列，且公差为1，所以b n ＝b 1＋(n －1)×1，a 1＝a 1，a 2－a 1＝b 1，a 3－a 2＝b 2，…，a n －a n －1＝b n －1，累加得a n ＝a 1＋b 1＋…＋b n－1＝a 1＋(n －1)b 1＋(n －1)(n －2)2.分别令n ＝12，n ＝22，得⎩⎪⎨⎪⎧11a 2－10a 1＋55＝0①，21a 2－20a 1＋210＝0②，①×2－②，得a 2＝100. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)(2022年北京二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，________．是否存在正整数k (k ＞1)，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．从①a n ＋1－2a n ＝0；②S n ＝S n －1＋n (n ≥2)；③S n ＝n 2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．解：若选①a n ＋1－2a n ＝0，则a 2－2a 1＝0， 说明数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a 1＝1，a k ＝2k －1，S k ＋2＝1－2k ＋21－2＝2k ＋2－1.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则(2k －1)2＝1×(2k ＋2－1)＝2k ＋2－1.左边为偶数，右边为奇数，即不存在正整数k (k ＞1)，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列． 若选②S n ＝S n －1＋n (n ≥2)，即S n －S n －1＝n ⇒a n ＝n (n ≥2)且a 1＝1也适合此式， ∴{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， ∴a k ＝k ，S k ＋2＝(k ＋2)(k ＋3)2.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则k 2＝1×(k ＋2)(k ＋3)2⇒k 2－5k －6＝0⇒k ＝6(k ＝－1舍去)，即存在正整数k ＝6，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．若选③S n ＝n 2，∴a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ≥2)，且a 1＝1适合上式． 若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，则(2k －1)2＝1×(k ＋2)2⇒3k 2－8k －3＝0⇒k ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝－13舍去，即存在正整数k ＝3，使得a 1，a k ，S k ＋2成等比数列．18．(12分)(2022年平顶山期末)在等差数列{a n }中，设前n 项和为S n ，已知a 1＝2，S 4＝26.(1)求{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知得4×2＋4×32d ＝26，解得d ＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1. (2)b n ＝1a n a n ＋1＝1(3n －1)(3n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2，所以T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－18＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2＝16－13(3n ＋2)＝n 6n ＋4. 19．(12分)设a >0，函数f (x )＝ax a ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N *. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的结论．(1)解：∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a1＋a，a 3＝f (a 2)＝a2＋a，a 4＝f (a 3)＝a3＋a，猜想a n ＝a(n －1)＋a.(2)证明：①易知n ＝1时，猜想正确； ②假设n ＝k 时，a k ＝a(k －1)＋a成立，则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a k a ＋a k ＝a ·a(k －1)＋a a ＋a (k －1)＋a＝a (k －1)＋a ＋1＝a [(k ＋1)－1]＋a， ∴n ＝k ＋1时成立．由①②知，对任何n ∈N *，都有a n ＝a(n －1)＋a.20．(12分)(2022年潍坊模拟)若数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －λ(λ>0，n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等比数列，并求a n ；(2)若λ＝4，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数(n ∈N *)，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .(1)证明：∵S n ＝2a n －λ，当n ＝1时，得a 1＝λ. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－λ， ∴S n －S n －1＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是以λ为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝λ·2n －1.(2)解：∵λ＝4，∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1，n 为奇数，n ＋1，n 为偶数，∴T 2n ＝22＋3＋24＋5＋26＋7＋ (22)＋2n ＋1 ＝(22＋24＋ (22))＋(3＋5＋…＋2n ＋1) ＝4－4n ·41－4＋n (3＋2n ＋1)2＝4n ＋1－43＋n (n ＋2)， ∴T 2n ＝4n ＋13＋n 2＋2n －43. 21．(12分)已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q . ∵a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，∴a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18， ∴q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2. 又∵2a 1＋a 1＝9，∴a 1＝3， ∴a n ＝3·2n －1，n ∈N *.(2)∵b n ＝na n ＝3n ·2n －1，∴13S n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1①， ∴23S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n②， ①－②，得－13S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ＝1－2n1－2－n ×2n ＝(1－n )2n－1，∴S n ＝3(n －1)2n＋3.22．(12分)数列{a n }是公比为12的等比数列且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝n λ·b n ＋1(λ为常数且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (2)比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．解：(1)由题意，得(1－a 2)2＝a 1(1＋a 3)， ∴(1－a 1q )2＝a 1(1＋a 1q 2)． ∵q ＝12，∴a 1＝12，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∵⎩⎪⎨⎪⎧T 1＝λb 2，T 2＝2λb 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧8＝λ(8＋d )，16＋d ＝2λ(8＋2d )， ∴λ＝12，d ＝8.(2)由(1)得b n ＝8n ，∴T n ＝4n (n ＋1)， ∴1T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 令C n ＝1T 1＋1T 2＋…＋1T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，∴18≤C n ＜14.∵S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴12S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴14≤12S n ＜12， ∴C n ＜12S n 即1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n ＜12S n .。