步步高必修5高中数学高2020届高2017级全书完整滚动训练(二)

第2课时 二元一次不等式组表示的平面区域学习目标 1.理解并会画二元一次不等式组表示的平面区域.2.能把一些常见条件转化为二元一次不等式组.3.能把实际问题中的约束条件抽象为二元一次不等式组.知识点一 二元一次不等式组所表示的平面区域1.因为同侧同号,异侧异号,所以可以用特殊点检验,判断Ax ＋By ＋C ＞0的解集到底对应哪个区域.当C ≠0时,一般取原点（0,0）,当C ＝0时,常取点（0,1）或（1,0）.2.二元一次不等式组的解集是组成该不等式组的各不等式解集的交集. 知识点二 可化为二元一次不等式组的条件思考 我们知道x （x －1）＞0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x －1<0.那么（x ＋y ）（x －y ＋1）≥0等价于什么？【参考答案】⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，x －y ＋1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ＋1≤0.梳理 （1）涉及由两个二元一次不等式相乘构成的不等式：可依据同号或异号分情况转化为两个不等式组,然后把两个不等式组表示的平面区域合并起来,即得到原不等式表示的平面区域.（2）含绝对值的不等式：分情况去掉绝对值,转化为等价的不等式组,再用平面区域表示. 知识点三 约束条件思考 一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来30 000元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款中获益10%,假设信贷部用于企业贷款的资金为x 元,用于个人贷款的资金为y 元.那么x 和y 应满足哪些不等关系？ 【参考答案】分析题意,我们可得到以下式子 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤25 000 000，12x ＋10y ≥3 000 000，x ≥0，y ≥0.梳理 很多生产生活方案的设计要受到各种条件限制,这些限制就是所谓的约束条件. 像“思考”中的“用于企业贷款的资金为x 元,用于个人贷款的资金为y 元”称为决策变量.要表达约束条件,先要找到决策变量,然后用这些决策变量表示约束条件.1.在平面直角坐标系中,⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0表示的平面区域为第一象限,x ＞0或y ＞0表示的平面区域为第一、二、四象限及x ,y 轴的正半轴.（√）2.y ＞|x |等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y >x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，y >－x .（√）类型一 二元一次不等式组表示的平面区域例1 用平面区域表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 的解集.考点 二元一次不等式（组）表示的平面区域 题点 二元一次不等式（组）表示的平面区域的画法解 不等式y <－3x ＋12,即3x ＋y －12<0,表示的平面区域在直线3x ＋y －12＝0的左下方；不等式x <2y ,即x －2y <0,表示的是直线x －2y ＝0左上方的区域.取两区域重叠的部分,如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集.反思与感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时,应先画出每个不等式表示的区域,再取它们的公共部分即可.其步骤：①画线；②定侧；③求“交”；④表示.但要注意是否包含边界.跟踪训练1 画出下列不等式组所表示的平面区域. （1）⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤3，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x －y <2，2x ＋y ≥1，x ＋y <2.考点 二元一次不等式（组）表示的平面区域 题点 二元一次不等式（组）表示的平面区域的画法解 （1）x －2y ≤3,即x －2y －3≤0,表示直线x －2y －3＝0上及左上方的区域；x ＋y ≤3,即x ＋y －3≤0,表示直线x ＋y －3＝0上及左下方的区域；x ≥0表示y 轴及其右边区域； y ≥0表示x 轴及其上方区域.综上可知,不等式组（1）表示的区域如图阴影部分（含边界）所示.（2）x －y <2,即x －y －2<0,表示直线x －y －2＝0左上方的区域； 2x ＋y ≥1,即2x ＋y －1≥0,表示直线2x ＋y －1＝0上及右上方的区域； x ＋y <2表示直线x ＋y ＝2左下方的区域.综上可知,不等式组（2）表示的区域如图阴影部分所示. 类型二 不等式组表示平面区域的应用 例2 已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域,则实数k 的值为（ ）A.1B.－1C.0D.0或1考点 不等式（组）表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积 【参考答案】A【试题解析】条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0表示的平面区域,如图阴影部分（含边界）所示,要使约束条件表示直角三角形区域,直线kx －y ＝0要么垂直于直线x ＝1, 要么垂直于直线x ＋y －4＝0,∴k ＝0或k ＝1. 当k ＝0时,直线kx －y ＝0,即y ＝0,交直线x ＝1, x ＋y －4＝0于点B （1,0）,C （4,0）. 此时约束条件表示△ABC 及其内部, 其面积S △ABC ＝12·|BC |·|AB |＝12×3×3＝92≠1.同理可验证当k ＝1时符合题意.反思与感悟 平面区域面积问题的解题思路 （1）求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形（如平行四边形或梯形）,可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解,再求和即可. （2）利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解. 跟踪训练2 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ,若直线y ＝kx ＋1将区域D分成面积相等的两部分,则实数k 的值是________. 考点 不等式（组）表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积 【参考答案】13【试题解析】由题意可得A （0,1）,B （1,0）,C （2,3）. 则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为△ABC 及其内部.直线y ＝kx ＋1过点A .要把△ABC 分成面积相等的两部分,需过BC 中点M ⎝⎛⎭⎫32，32. 此时k ＝32－132－0＝1232＝13.类型三 可化为二元一次不等式组的问题 命题角度1 乘积类或含绝对值的条件转化 例3 画出不等式x 24－y 2≤0表示的平面区域.考点 不等式（组）表示平面区域的应用 题点 与平面区域相关的其他问题 解 x 24－y 2＝⎝⎛⎭⎫x 2－y ⎝⎛⎭⎫x 2＋y ≤0等价于⎩⎨⎧x2－y ≤0，x2＋y ≥0或⎩⎨⎧x2－y ≥0，x2＋y ≤0，其表示的平面区域如图阴影部分（包括边界）所示.反思与感悟 （1）可以通过等价转化把较新颖的问题化归为老问题.（2）不论（A 1x ＋B 1y ＋C 1）（A 2x ＋B 2y ＋C 2）大于0还是小于0,其表示的区域必为“对顶角”区域,故用特殊点确定区域时只需取一点即可. 跟踪训练3 画出|x |＋|y |≤1表示的平面区域. 考点 不等式（组）表示平面区域的应用 题点 与平面区域相关的其他问题解 不等式|x |＋|y |≤1等价为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，x －y ≤1，x ≥0，y ≤0，－x －y ≤1，x ≤0，y ≤0，－x ＋y ≤1，x ≤0，y ≥0，∴|x |＋|y |≤1表示的平面区域如图所示.命题角度2 由实际问题抽象出二元一次不等式组例4 某人准备投资1 200万兴办一所民办中学,对教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：因生源和环境等因素,办学规模以20到30个班为宜.分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件.考点 不等式（组）表示平面区域在生活中的应用 题点 不等式（组）表示平面区域在生活中的应用解 设开设初中班x 个,开设高中班y 个,根据题意,总共招生班数应限制在20至30之间,所以有20≤x ＋y ≤30.考虑到所投资金的限制,得到26x ＋54y ＋2×2x ＋2×3y ≤1 200,即x ＋2y ≤40. 另外,开设的班数应为自然数,则x ∈N ,y ∈N .把上面的四个不等式合在一起,得到⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，x ＋2y ≤40，x ∈N ，y ∈N .用图形表示这个限制条件,得到如图阴影部分（含边界）的平面区域.反思与感悟 求解不等式组在生活中的应用问题,首先要认真分析题意,设出未知量；然后根据题中的限制条件列出不等式组.注意隐含的条件,如钢板块数为自然数.跟踪训练4 某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐,已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.列出满足上述营养要求所需午餐和晚餐单位个数的数学关系式.考点 不等式（组）表示平面区域在生活中的应用 题点 不等式（组）表示平面区域在生活中的应用解 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x 个单位和y 个单位,则依题意x ,y 满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27.1.如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是（ ）A.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－2，3x －2y ＋6>0，x <0B.⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－2，3x －2y ＋6≥0，x ≤0C.⎩⎪⎨⎪⎧ y >－2，3x －2y ＋6>0，x ≤0D.⎩⎪⎨⎪⎧y >－2，3x －2y ＋6<0，x <0考点 二元一次不等式（组）题点 用二元一次不等式（组）表示平面区域 【参考答案】C【试题解析】观察图象可知,阴影部分在直线y ＝－2的上方,且不包含直线y ＝－2,故可得不等式y ＞－2.又阴影部分在直线x ＝0左边,且包含直线x ＝0,故可得不等式x ≤0.由图象可知,第三条边界线过点（－2,0）,点（0,3）,故可得直线3x －2y ＋6＝0,因为此直线为虚线且原点O （0,0）在阴影部分内,故可得不等式3x －2y ＋6＞0.观察选项可知选C. 2.在平面直角坐标系中,不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a （a 为常数）表示的平面区域的面积是9,那么实数a 的值为（ ） A.32＋2 B.－32＋2 C.－5D.1考点 不等式（组）表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积 【参考答案】D【试题解析】平面区域如图阴影部分（含边界）所示,易求得A （－2,2）,B （a ,a ＋4）,C （a ,－a ）.S △ABC ＝12|BC |·|a ＋2|＝（a ＋2）2＝9,由题意得a ＝1（a ＝－5不满足题意,舍去）.3.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元,现有工人工资预算2 000元,设木工x 人,瓦工y 人,满足工人工资预算条件的数学关系式为________________.考点 不等式（组）表示平面区域在生活中的应用 题点 不等式（组）表示平面区域在生活中的应用 【参考答案】⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000，x ∈N *，y ∈N *4.画出（x －2y ＋1）（x ＋y －3）≤0表示的平面区域. 考点 不等式（组）表示平面区域的应用 题点 与平面区域相关的其他问题解 由（x －2y ＋1）（x ＋y －3）≤0,可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0. 其表示的平面区域如图阴影部分（包括边界）所示.1.平面区域的画法：二元一次不等式的标准化与半平面的对应性.对于A ＞0的直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0,Ax ＋By ＋C ＞0对应直线l 右侧的平面；Ax ＋By ＋C <0对应直线l 左侧的平面.2.由一组直线围成的区域形状常见的有三角形、四边形、多边形以及带状域等.3.找约束条件的关键是先找到决策变量,然后准确地用决策变量表示约束条件,并注意实际含义对变量取值的影响.一、选择题1.图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为（ ）A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≤0 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≤0 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －2y ＋2≥0 考点 二元一次不等式（组）题点 用二元一次不等式（组）表示平面区域 【参考答案】A【试题解析】取原点O （0,0）检验,满足x ＋y －1≤0,故异侧点满足x ＋y －1≥0,排除B,D.O 点满足x －2y ＋2≥0,排除C.2.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0表示的平面区域的面积等于（ ）A.28B.16C.394D.121考点 不等式（组）表示平面区域的应用 题点 平面区域的面积 【参考答案】B【试题解析】作出不等式组表示的平面区域（图略）,可知该区域为等腰直角三角形,其三个顶点的坐标分别为（3,－3）,（3,5）,（－1,1）,所以其面积S ＝12×8×4＝16.3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋5)(x ＋y )≥0，0≤x ≤3表示的平面区域是一个（ ）A.三角形B.直角梯形C.梯形D.矩形考点 不等式（组）表示平面区域的应用 题点 与平面区域相关的其他问题 【参考答案】C【试题解析】在同一坐标系中画出直线x －y ＋5＝0及x ＋y ＝0,取点（0,1）,代入（x －y ＋5）（x ＋y ）中,得（－1＋5）×1＝4＞0,可知点（0,1）在不等式（x －y ＋5）（x ＋y ）≥0表示的区域内,再画出直线x ＝0和x ＝3,则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分,它是一个梯形.4.若满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋1)(x ＋y －3)≥0，0≤x ≤a 的点（x ,y ）组成的图形的面积是5,则实数a的值为（ ） A.－1 B.3 C.－2 D.4 【参考答案】B【试题解析】不等式组化为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，0≤x ≤a或⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，0≤x ≤a ，画出平面区域如图所示,平面区域为△ABC ,△ADE , A （1,2）,B （a ,a ＋1）,C （a,3－a ）,面积为S ＝12（2a －2）（a －1）＋12×2×1＝5,解得a ＝3或a ＝－1（舍去）. 5.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，y ≤kx －2表示的平面区域是一个梯形,则实数k 的取值范围是（ ）A.（1,3]B.[2,3]C.（1,2]D.（2,＋∞）考点 不等式（组）表示平面区域的应用 题点 根据约束条件求参数范围 【参考答案】D【试题解析】如图,⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的区域是一个正方形,当直线y ＝kx －2与线段BC （不含端点）相交时,所给区域表示梯形,由图可得k ＞2－(－2)2－0＝2.6.在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为（ ）A.2B.1C.－13D.－12考点 不等式（组）表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围【参考答案】C【试题解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分（含边界）所示,由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得M （3,－1）. 此时直线OM 的斜率最小且为－13. 7.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是（ ） A.⎣⎡⎭⎫43，＋∞B.（0,1]C.⎣⎡⎦⎤1，43D.（0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞考点 不等式（组）表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围【参考答案】D【试题解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图阴影部分（含边界）所示,求得A ,B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，23和（1,0）,若原不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.8.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω,直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点,则实数k 的取值范围为（ ）A.（0,3]B.[－1,1]C.（－∞,3]D.[3,＋∞）考点 不等式（组）表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围【参考答案】D【试题解析】直线y ＝kx －1过定点M （0,－1）,由图可知,当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C （1,2）时,k 最小,此时k CM ＝2－(－1)1－0＝3,因此k ≥3,即k ∈[3,＋∞）.故选D.二、填空题9.如图所示的正方形及其内部的平面区域用不等式组表示为________.考点 二元一次不等式（组）题点 用二元一次不等式（组）表示平面区域【参考答案】⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，－1≤y ≤1 10.若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域,则当a 从－2连续变化到1时,动直线x ＋y ＝a扫过A 中的那部分区域的面积为________.考点 不等式（组）表示平面区域的应用题点 平面区域的面积【参考答案】74【试题解析】如图所示,区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形,当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域.又D （0,1）,B （0,2）,E ⎝⎛⎭⎫－12，32,C （－2,0）. S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝12×2×2－12×12×1＝2－14＝74. 11.记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ,若直线y ＝a （x ＋1）与D 有公共点,则a的取值范围是________.考点 不等式（组）表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围【参考答案】⎣⎡⎦⎤12，4【试题解析】不等式组所表示的平面区域D 为如图所示阴影部分（含边界）,且A （1,1）,B （0,4）,C ⎝⎛⎭⎫0，43. 直线y ＝a （x ＋1）恒过定点P （－1,0）,且斜率为a .由斜率公式可知k AP ＝12,k BP ＝4. 若直线y ＝a （x ＋1）与区域D 有公共点,由数形结合可得12≤a ≤4. 三、解答题12.已知实数x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，x －2y ＋2>0，x ＋y －1>0.（1）画出满足不等式组的平面区域；（2）求满足不等式组的平面区域的面积.考点 二元一次不等式（组）表示的平面区域题点 二元一次不等式（组）表示的平面区域的画法解 （1）满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示.（2）解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －6＝0，x －2y ＋2＝0，得A ⎝⎛⎭⎫67，107, 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6＝0，x －y －1＝0，得D ⎝⎛⎭⎫95，45, 所以满足不等式组的平面区域的面积为S 四边形ABCD ＝S △AFE －S △BFC －S △DCE ＝12×（2＋3）×107－12×（1＋2）×1－12×（3－1）×45＝8970. 13.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0相交于P ,Q 两点,且P ,Q 关于直线x ＋y ＝0对称,则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1≥0，kx －my ≤0，y ≥0表示的平面区域的面积是多少？考点 不等式（组）表示平面区域的应用题点 平面区域的面积解 P ,Q 关于直线x ＋y ＝0对称,故直线PQ 与直线x ＋y ＝0垂直,直线PQ 即为直线y ＝kx ＋1,故k ＝1；又线段PQ 为圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0的一条弦,故该圆的圆心在线段PQ 的垂直平分线上,即为直线x ＋y ＝0,又圆心为⎝⎛⎭⎫－k 2，－m 2, ∴m ＝－k ＝－1,∴不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y ≤0，y ≥0.它表示的平面区域如图阴影部分（含边界）所示,是一个三角形,直线x－y ＋1＝0与x ＋y ＝0的交点为⎝⎛⎭⎫－12，12,∴S ＝12×1×12＝14. 故平面区域的面积为14. 四、探究与拓展14.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x （a ＞0,a ≠1）的图象上存在区域D 上的点,则a 的取值范围是（ ）A.（1,3]B.[2,3]C.（1,2]D.[3,＋∞）考点 不等式（组）表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围【参考答案】A【试题解析】作出不等式组表示的平面区域D ,如图阴影部分所示（包含边界）.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11＝0，3x －y ＋3＝0， 得交点A （2,9）.对于y ＝a x （a ＞0,a ≠1）的图象,当0<a <1时,没有点在区域D 上. 当a ＞1,y ＝a x 恰好经过A 点时,由a 2＝9,得a ＝3.要满足题意,需a 2≤9,解得1<a ≤3.15.若M （x 0,y 0）是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥8，x ＋y ≤a ，x ≥6（a ≠8）内的一个动点,且x 0＋2y 0≤14恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）A.（8,10]B.（8,9]C.[6,9]D.[6,10] 考点 不等式（组）表示平面区域的应用题点 根据约束条件求参数范围【参考答案】A【试题解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥8，x ≥6所表示的平面区域如图中阴影部分所示（包含边界）.由题意易知a ＞8,且点（6,a －6）为可行域内边界上一点.由图可知当点（6,a －6）位于直线x ＋2y ＝14上或其左下方时,x 0＋2y 0≤14恒成立,从而有6＋2（a －6）≤14,即a ≤10,所以8<a ≤10.。

滚动训练（一）一、选择题1.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b 3cos B ＝asin A,则cos B 等于（ ） A.－12B.12C.－32D.32考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 【参考答案】B【试题解析】由正弦定理a sin A ＝b sin B ,可得b 3cos B ＝b sin B, ∴tan B ＝3,B ∈（0,π）,∴B ＝π3,cos B ＝12.2.在△ABC 中,c ＝3,b ＝1,B ＝π6,则△ABC 的形状为（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 【参考答案】D【试题解析】由正弦定理可知,sin C ＝sin B b ·c ＝121·3＝32,∴C ＝π3或C ＝2π3,当C ＝π3时,A ＝π－B －C ＝π2,△ABC 为直角三角形,当C ＝2π3时,A ＝π－B －C ＝π6,△ABC 为等腰三角形.3.若钝角三角形ABC 的面积是12,AB ＝1,BC ＝2,则AC 等于（ ）A.5B. 5C.2D.1考点 用正弦定理解三角形 题点 已知面积求边或角 【参考答案】B【试题解析】（利用钝角三角形验解）由题意知 S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ,即12＝12×1×2sin B ,解得sin B ＝22, ∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时,AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋（2）2－2×1×2×22＝1. 此时AC 2＋AB 2＝BC 2,△ABC 为直角三角形,不符合题意；当B ＝135°时,AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋（2）2－2×1×2×⎝⎛⎭⎫－22＝5,解得AC ＝5,符合题意.4.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若（a 2＋c 2－b 2）tan B ＝3ac ,则角B 的值为（ ） A.π6 B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3考点 正弦、余弦定理解三角形综合 题点 正弦、余弦定理解三角形综合 【参考答案】D【试题解析】∵（a 2＋c 2－b 2）tan B ＝3ac , ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32,即cos B ·tan B ＝sin B ＝32. ∵0<B <π,∴B ＝π3或2π3.5.在△ABC 中,sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C ,则△ABC 为（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形考点 判断三角形形状题点 利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状 【参考答案】C【试题解析】由已知得cos B ＋cos C ＝sin B ＋sin Csin A ,由正弦、余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＋a 2＋b 2－c 22ab ＝b ＋ca ,即a 2（b ＋c ）－（b ＋c ）（b 2－bc ＋c 2）＝bc （b ＋c ）, 即a 2＝b 2＋c 2,故△ABC 是直角三角形.6.在△ABC 中,a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 且a ＞b ,则B 等于（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π6 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理、三角变换解三角形 【参考答案】A【试题解析】由正弦定理,得sin A sin B cos C ＋sin C sin B cos A ＝12sin B .∵0<B <π,∴sin B ≠0,∴sin A cos C ＋sin C cos A ＝12,即sin （A ＋C ）＝12,即sin B ＝12.∵a ＞b ,∴B ＝π6.7.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,如果2b ＝a ＋c ,B ＝30°,△ABC 的面积为32,那么b 等于（ ） A.1＋32B.1＋ 3C.2＋22D.2 3考点 余弦定理及其变形应用 题点 用余弦定理求边或角的取值范围 【参考答案】B【试题解析】∵S △ABC ＝12ac ·sin 30°＝32,∴ac ＝6.由余弦定理得,b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝（a ＋c ）2－2ac －2ac ·32＝4b 2－12－63,∴b 2＝4＋23＝（3＋1）2, ∴b ＝3＋18.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是A ,B ,C 的对边,已知b 2＝c （b ＋2c ）,若a ＝6,cos A ＝78,则△ABC 的面积等于（ ） A.17 B.15 C.152D.3考点 解三角形求面积题点 综合利用正弦、余弦定理求面积 【参考答案】C【试题解析】∵b 2＝c （b ＋2c ）,∴b 2－bc －2c 2＝0,即（b ＋c ）·（b －2c ）＝0,∴b ＝2c . 又a ＝6,cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78,解得c ＝2,b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－⎝⎛⎭⎫782＝152.故选C. 二、填空题9.在△ABC 中,已知BC ＝5,sin C ＝2sin A ,则AB ＝________. 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 【参考答案】2 5【试题解析】由正弦定理,得AB ＝sin Csin ABC ＝2BC ＝2 5.10.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a ＝3,sin B ＝12,C ＝π6,则b ＝________.考点 用正弦定理解三角形 题点 已知两角及一边解三角形 【参考答案】1【试题解析】由sin B ＝12,解得B ＝π6或B ＝5π6.根据三角形内角和定理,舍去B ＝5π6,所以B ＝π6,A ＝2π3.根据正弦定理a sin A ＝b sin B ,得3sin 2π3＝bsinπ6,解得b ＝1.11.已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边,若a ＝1,b ＝3,A ＋C ＝2B ,则sin C ＝________.考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 【参考答案】1【试题解析】∵A ＋C ＝2B ,A ＋B ＋C ＝π,∴B ＝π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ,得1sin A ＝3sinπ3.∴sin A ＝12.又a <b ,∴A <B ＝π3,∴A ＝π6.∴C ＝π2,∴sin C ＝1.三、解答题12.已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b sin A ＝3a cos B . （1）求角B 的大小；（2）若b ＝3,sin C ＝2sin A ,求a ,c 的长. 考点 正弦、余弦定理解三角形综合 题点 正弦、余弦定理解三角形综合 解 （1）∵b sin A ＝3a cos B ,∴由正弦定理可得sin B sin A ＝3sin A cos B . ∵sin A ≠0,∴tan B ＝3,又∵0<B <π,∴B ＝π3.（2）∵sin C ＝2sin A ,∴由正弦定理得c ＝2a , ∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B , 得9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3,解得a ＝3（负值舍去）,∴c ＝2a ＝2 3.13.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0,2b sin A ＝a ,BC 边上中线AM 的长为14. （1）求角A 和角B 的大小； （2）求△ABC 的面积. 考点 解三角形求面积题点 综合利用正弦、余弦定理求面积解 （1）由a 2－b 2－c 2＋3bc ＝0,得a 2－b 2－c 2＝－3bc ,所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32,A ∈（0,π）,A ＝π6.由2b sin A ＝a ,得sin B ＝12,B ∈（0,π）,故B ＝π6.（2）设AC ＝BC ＝x ,得AM 2＝x 2＋x 24－2x ·x 2·⎝⎛⎭⎫－12＝（14）2, 解得x ＝22（负值舍去）, 故S △ABC ＝12×22×22×32＝2 3.四、探究与拓展14.如图,在矩形ABCD 中,AB ＝3,BC ＝3,E 在AC 上,若BE ⊥AC ,则ED ＝________.考点 几何图形中的计算问题 题点 四边形有关的几何图形计算问题 【参考答案】212【试题解析】在Rt △ABC 中,BC ＝3,AB ＝3, 所以∠BAC ＝60°.因为BE ⊥AC ,AB ＝3,所以AE ＝32. 在△EAD 中,∠EAD ＝30°,AD ＝3,由余弦定理知,ED 2＝AE 2＋AD 2－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214,故ED ＝212. 15.如图经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ,AC ,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ,分别在两条公路边上建两个仓库M ,N （异于村庄A ）,要求PM ＝PN ＝MN ＝2（单位：千米）.问如何设计,可使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂对村庄的距离最远）?考点 解三角形的实际综合应用 题点 解三角形的实际综合应用解 设∠AMN ＝θ,则在△AMN 中,由正弦定理得MN sin 60°＝AMsin (120°－θ),因为MN ＝2,所以AM ＝433sin （120°－θ）.在△APM 中,∠AMP ＝60°＋θ,则AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2（120°－θ）＋4－2×2×433sin （120°－θ）·cos （60°＋θ） ＝163sin 2（θ＋60°）－1633sin （θ＋60°）cos （θ＋60°）＋4 ＝83[1－cos （2θ＋120°）]－833sin （2θ＋120°）＋4 ＝－83[3sin （2θ＋120°）＋cos （2θ＋120°）]＋203＝203－163sin （2θ＋150°）,θ∈（0°,120°）, 当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP 2取得最大值12,即AP 取得最大值2 3.。

第2课时 角度、高度问题学习目标 1.准确理解实际测量中常用的仰角、俯角、方向角等概念.2.掌握测量高度的常见方法.3.能把方向角等角度条件转化为解三角形的条件,解决航海等角度问题.知识点一 测量仰角（或俯角）求高度问题思考 如图,AB 是底部B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,如果能测出点C ,D 间的距离m 和由C 点,D 点观察A 的仰角,怎样求建筑物高度AB ？（已知测角仪器的高是h ）【参考答案】解题思路是：在△ACD 中,AC sin β＝msin (α－β).所以AC ＝m sin βsin (α－β),在Rt △AEC 中,AE ＝AC sin α,AB ＝AE ＋h .梳理 问题的本质如图,已知∠AEC 为直角,CD ＝m ,用α,β,m 表示AE 的长,所得结果再加上h .知识点二 测量方向角求高度思考 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在北偏西75°的方向上,行驶5 km 后到达B 处,测得此山顶在北偏西65°的方向上,仰角为8°,怎样求此山的高度CD ?【参考答案】先在△ABC 中,用正弦定理求BC ＝5sin 15°sin 10°,再在Rt △DBC 中求DC ＝BC tan 8°.梳理问题本质如图,已知三棱锥D－ABC,DC⊥平面ABC,AB＝m,用α,β,m,γ表示DC的长.1.在方向角中,始边一定是南或北,旋转方向一定是顺时针.（×）2.在仰角或俯角中,视线与水平线的关系实质是斜线与斜线在水平面内的射影.（√）类型一测量仰角（或俯角）求高度问题例1如图所示,D,C,B在地平面同一直线上,DC＝10 m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于（）A.10 mB.5 3 mC.5（3－1）mD.5（3＋1）m考点解三角形求高度题点测量俯角（仰角）求高度【参考答案】D【试题解析】方法一设AB＝x m,则BC＝x m.∴BD＝（10＋x）m.∴tan∠ADB＝ABDB＝x10＋x＝33.解得x＝5（3＋1）m.∴A点离地面的高AB等于5（3＋1）m. 方法二∵∠ACB＝45°,∴∠ACD＝135°, ∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.由正弦定理,得AC＝CDsin∠CAD·sin ∠ADC＝10sin 15°·sin 30°＝206－2.∴AB ＝AC sin 45°＝5（3＋1） m.反思与感悟 （1）底部可到达,此类问题可直接构造直角三角形.（2）底部不可到达,但仍在同一与地面垂直的平面内,此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上,观测者一直向“目标物”前进.跟踪训练1 某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35°,沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处,又测得山顶的仰角为65°,则山的高度为______ m.（精确到1 m ） 【参考答案】811【试题解析】如图,过点D 作DE ∥AC 交BC 于E , 因为∠DAC ＝20°, 所以∠ADE ＝160°,于是∠ADB ＝360°－160°－65°＝135°. 又∠BAD ＝35°－20°＝15°,所以∠ABD ＝30°. 在△ABD 中,由正弦定理,得AB ＝AD sin ∠ADB sin ∠ABD ＝1 000×sin 135°sin 30°＝1 0002（m ）.在Rt △ABC 中,BC ＝AB sin 35°≈811（m ）. 答 山的高度约为811 m. 类型二 测量方向角求高度问题例2 如图所示,A ,B 是水平面上的两个点,相距800 m,在A 点测得山顶C 的仰角为45°,∠BAD ＝120°,又在B 点测得∠ABD ＝45°,其中D 点是点C 到水平面的垂足,求山高CD . 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角（仰角）求高度解 由于CD ⊥平面ABD ,∠CAD ＝45°,所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可, 在△ABD 中,∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°, 由AB sin 15°＝ADsin 45°, 得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800（3＋1）（m ）.即山的高度为800（3＋1） m.反思与感悟此类问题特点：底部不可到达,且涉及与地面垂直的平面,观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”,解决办法是把目标高度转化为地平面内某量,从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.跟踪训练2 如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C ,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ,测得∠BDC ＝45°,则塔AB 的高是（ ）A.10 mB.10 2 mC.10 3 mD.10 6 m考点 解三角形求高度 题点 测量方向角、仰角求高度 【参考答案】D【试题解析】在△BCD 中,CD ＝10 m,∠BDC ＝45°, ∠BCD ＝15°＋90°＝105°,∠DBC ＝30°, 由正弦定理,得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠DBC ,BC ＝10sin 45°sin 30°＝102（m ）.在Rt △ABC 中,tan 60°＝ABBC,AB ＝BC ×tan 60°＝106（m ）. 类型三 航海问题例3 如图,在海岸A 处发现北偏东45°方向,距A 处（3－1）海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75°方向,距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度,从B 处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时,才能最快截获（在D 点）走私船,则CD ＝103t ,BD ＝10t ,在△ABC 中,由余弦定理,有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A＝（3－1）2＋22－2（3－1）·2·cos 120°＝6. ∴BC ＝ 6.又∵BC sin A ＝ACsin ∠ABC,∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22,又∠ABC ∈（0°,60°）,∴∠ABC ＝45°, ∴B 点在C 点的正东方向上, ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°,在△BCD 中,由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ,∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t ＝12.又∵∠BCD ∈（0°,60°）,∴∠BCD ＝30°, ∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶. 又在△BCD 中,∠CBD ＝120°,∠BCD ＝30°, ∴∠D ＝30°,∴BD ＝BC ,即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟. ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15分钟.反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角（方向角）,二要弄清不动点（三角形顶点）,然后根据条件,画出示意图,转化为解三角形问题.跟踪训练3 甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处,乙船以每小时a 海里的速度向北行驶,已知甲船的速度是每小时3a 海里,问甲船应沿着什么方向前进,才能最快与乙船相遇？ 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 如图所示.设经过t 小时两船在C 点相遇, 则在△ABC 中, BC ＝at （海里）, AC ＝3at （海里）, B ＝90°＋30°＝120°, 由BC sin ∠CAB ＝ACsin B,得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ×sin 120°3at ＝323＝12,∵0°<∠CAB <60°,∴∠CAB ＝30°, ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°,∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进,才能最快与乙船相遇.1.某公司要测量一水塔CD 的高度,测量人员在地面选择了A ,B 两个观测点,且A ,B ,C 三点在同一直线上,如图所示,在A 处测得该水塔顶端D 的仰角为α,在B 处测得该水塔顶端D 的仰角为β.若AB ＝a,0<β<α<π2,则水塔CD 的高度为（ ） A.a sin (α－β)sin αsin βB.a sin αsin βsin (α－β) C.a sin (α－β)sin βsin αD.a sin αsin (α－β)sin β考点 解三角形求高度 题点 测量俯角（仰角）求高度 【参考答案】B【试题解析】根据题意知,在△ABD 中,∠ADB ＝α－β,由正弦定理,得a sin (α－β)＝ADsin β,即AD ＝a sin βsin (α－β).在Rt △ACD 中,CD ＝AD sin α＝a sin αsin βsin (α－β).2.如图所示,在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m 到达B 处,又测得C 对于山坡的斜度为45°,若CD ＝50 m,山坡对于地平面的坡度为θ,则cos θ等于（ ） A.32 B.22C.3－1D.2－1 考点 解三角形求角度 题点 解三角形求角度 【参考答案】C【试题解析】在△ABC 中,由正弦定理得AB sin 30°＝ACsin 135°,∴AC ＝100 2.在△ADC 中,AC sin (θ＋90°)＝CDsin 15°,∴cos θ＝sin （θ＋90°）＝AC ·sin 15°CD＝3－1.3.一架飞机在海拔8 000 m 的高度飞行,在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是30°和45°,则这个海岛的宽度为________ m.（精确到0.1 m ） 考点 解三角形求宽度题点 已知高度、俯角（仰角）求宽度 【参考答案】5 856.4【试题解析】宽＝8 000tan 30°－8 000tan 45°＝5 856.4（m ）.4.甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别是________________. 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角（仰角）求高度 【参考答案】203米,4033米【试题解析】甲楼的高为20tan 60°＝20×3＝203（米）, 乙楼的高为203－20tan 30°＝203－20×33＝4033（米）. 5.某船开始看见一灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°的方向航行45 km 后,看见该灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是________ km. 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离 【参考答案】15 3【试题解析】设灯塔位置为A ,船的初始位置为O ,船的终止位置为B , 由题意知∠AOB ＝30°,∠OAB ＝120°, 则∠OBA ＝30°,所以由正弦定理,得AB ＝153, 即此时船与灯塔的距离是15 3 km.1.在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些过程较繁琐,如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选择最佳的计算方式.2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达,这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理和余弦定理,计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离,然后转化为解直角三角形的问题.一、选择题1.为了测某塔AB 的高度,在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶的仰角为30°,塔基的俯角为45°,那么塔AB 的高为（ ） A.20⎝⎛⎭⎫1＋33 m B.20⎝⎛⎭⎫1＋32 m C.20（1＋3） m D.30 m考点 解三角形求高度 题点 测量俯角（仰角）求高度 【参考答案】A【试题解析】塔的高度为20tan 30°＋20tan 45°＝20⎝⎛⎭⎫1＋33（m ）,故选A. 2.在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在地面上前进600 m 后测得仰角为2θ,继续在地面上前进200 3 m 以后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度为（ ） A.200 m B.300 m C.400 m D.100 3 m 考点 解三角形求高度 题点 测量俯角（仰角）求高度 【参考答案】B【试题解析】如图,△BED ,△BDC 为等腰三角形,BD ＝ED ＝600 m, BC ＝DC ＝200 3 m. 在△BCD 中,由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32,∵0°<2θ<90°,∴2θ＝30°,4θ＝60°. 在Rt △ABC 中,AB ＝BC sin 4θ＝2003×32＝300（m ）, 故选B.3.海上有A ,B 两个小岛相距10 n mile,从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角,从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角,则B ,C 间的距离是（ ） A.10 3 n mile B.1063 n mileC.5 2 n mileD.5 6 n mile考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离【参考答案】D【试题解析】在△ABC 中,C ＝180°－60°－75°＝45°. 由正弦定理,得BC sin A ＝AB sin C ,∴BC sin 60°＝10sin 45°,解得BC ＝5 6 n mile.4.已知两座灯塔A ,B 与海洋观察站C 的距离相等,灯塔A 在观察站C 的北偏东40°,灯塔B 在观察站C 的南偏东60°,则灯塔A 在灯塔B 的（ ） A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10°D.南偏西10°考点 三角形中角度的求解 题点 三角形中角度的求解 【参考答案】B【试题解析】如图,因为△ABC 为等腰三角形,所以∠CBA ＝12（180°－80°）＝50°,60°－50°＝10°,故选B.5.从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°,看正南方向有一只船俯角为45°,则此时两船间的距离为（ ） A.2h 米 B.2h 米 C.3h 米D.22h 米考点 解三角形求距离 题点 测量俯角（仰角）求距离 【参考答案】A【试题解析】如图所示, BC ＝3h ,AC ＝h ,∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h （米）.6.某人在C 点测得某塔在南偏西80°,塔顶仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ,测得塔顶A 的仰角为30°,则塔高为（ ） A.15 m B.5 m C.10 m D.12 m 考点 解三角形求高度题点 测量俯角（仰角）求高度 【参考答案】C【试题解析】如图,设塔高为h ,在Rt △AOC 中,∠ACO ＝45°, 则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中,∠ADO ＝30°, 则OD ＝3h .在△OCD 中,∠OCD ＝120°, CD ＝10, 由余弦定理,得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD , 即（3h ）2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°, ∴h 2－5h －50＝0,解得h ＝10或h ＝－5（舍）. 即塔高为10 m.7.一艘海轮从A 处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B 处,在C 处有一座灯塔,海轮在A 处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B 处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B ,C 两点间的距离是（ ） A.10 2 海里 B.10 3 海里 C.20 3 海里 D.20 2 海里考点 解三角形求距离 题点 测量俯角（仰角）求距离 【参考答案】A【试题解析】如图所示,易知,在△ABC 中,AB ＝20,∠CAB ＝30°,∠ACB ＝45°, 根据正弦定理得 BC sin 30°＝ABsin 45°, 解得BC ＝10 2.8.要测量河流一侧某建筑物的高度,在河流的另一侧选择甲、乙两个观测点,在甲、乙两点分别测得该建筑物顶点的仰角为45°,30°,在水平面上测得该建筑物和甲地连线与甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500 m,则该建筑物的高度是（ ） A.100 2 m B.400 m C.200 3 mD.500 m 考点 解三角形求高度题点 测量俯角（仰角）求高度【参考答案】D【试题解析】由题意画出示意图,设高AB ＝h ,在Rt △ABC 中,由已知得BC ＝h .在Rt △ABD 中,由已知得BD ＝3h .在△BCD 中,由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ×CD ×cos ∠BCD ,得3h 2＝h 2＋5002＋h ×500,解得h ＝500（m ）（负值舍去）.故选D.二、填空题9.如图所示为一角槽,已知AB ⊥AD ,AB ⊥BE ,并测量得AC ＝3 mm,BC ＝2 2 mm,AB ＝29 mm,则∠ACB ＝________.考点 解三角形求角度题点 解三角形求角度【参考答案】3π4【试题解析】在△ABC 中,由余弦定理,得cos ∠ACB ＝32＋(22)2－(29)22×3×22＝－22. 因为∠ACB ∈（0,π）,所以∠ACB ＝3π4.10.如图,测量河对岸的塔高AB 时,选取与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ,测得∠BCD ＝15°,∠BDC ＝30°,CD ＝30米,并在点C 测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB ＝________米.考点 解三角形求高度题点 测量俯角（仰角）求高度【参考答案】15 6【试题解析】在△BCD 中,∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理,得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD, 所以 BC ＝30sin 30°sin 135°＝15 2. 在Rt △ABC 中,AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×tan 60°＝156（米）.11.如图,A ,B ,C ,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B ,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°,30°,于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°,AC ＝0.1 km.若AB ＝BD ,则B ,D 间的距离为________km.考点 解三角形求距离题点 测量俯角（仰角）求距离 【参考答案】32＋620【试题解析】在△ABC 中,∠BCA ＝60°,∠ABC ＝75°－60°＝15°,AC ＝0.1 km,由正弦定理,得AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC ,所以AB ＝0.1sin 60°sin 15°＝32＋620（km ）,又因为BD ＝AB ,所以BD ＝32＋620（km ）.三、解答题12.如图所示,在地面上共线的三点A ,B ,C 处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB ＝BC ＝60 m,求建筑物的高度.考点 解三角形求高度题点 测量俯角（仰角）求高度解 设建筑物的高度为h ,由题图知,P A ＝2h ,PB ＝2h ,PC ＝233h ,∴在△PBA 和△PBC 中,分别由余弦定理,得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h ,①cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h .②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°,∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③,解得h ＝306或h ＝－306（舍去）,即建筑物的高度为30 6 m.13.甲船在A 处,乙船在A 的南偏东45°方向,距A 有9海里的B 处,并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶,若甲船以28海里/时的速度行驶,用多少小时能最快追上乙船？ 考点 解三角形求距离题点 测量方向角求距离解 如图所示,设用t 小时甲船能追上乙船,且在C 处相遇.在△ABC 中,AC ＝28t ,BC ＝20t ,AB ＝9,∠ABC ＝180°－45°－15°＝120°.由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ,即（28t ）2＝92＋（20t ）2－2×9×20t ×⎝⎛⎭⎫－12, 128t 2－60t －27＝0,∴t ＝34或t ＝－932（舍去）, ∴甲船用34小时能最快追上乙船. 四、探究与拓展14.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔的最大仰角为30°,则塔高为________ m.考点 解三角形求高度题点 测量方向角、仰角求高度 【参考答案】10(3－3)3【试题解析】如图所示,设AE 为塔,B 为塔正东方向一点,沿南偏西60°前进40 m 到达C 处,即BC ＝40,∠CAB ＝135°,∠ABC ＝30°,∠ACB ＝15°.在△ABC 中,AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠CAB , 即AC sin 30°＝40sin 135°,∴AC ＝20 2. 过点A 作AG ⊥BC ,垂足为G ,此时仰角∠AGE 最大,在△ABC 中,由面积公式知12×BC ×AG ＝12×BC ×AC ×sin ∠ACB . ∴AG ＝AC ×CB ×sin ∠ACB BC＝AC ×sin ∠ACB ＝202sin 15°,∴AG ＝202sin （45°－30°）＝202⎝⎛⎭⎫22×32－22×12 ＝10（3－1）.在Rt △AEG 中,∵AE ＝AG tan ∠AGE ,∴AE ＝10（3－1）×33＝10－1033, ∴塔高为⎝⎛⎭⎫10－1033 m. 15.为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1千米处不能收到手机信号,检查员抽查某市一考点,在考点正西3千米有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12千米的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格？考点 解三角形的实际综合应用题点 解三角形的实际综合应用解 如图所示,考点为A ,检查开始处为B ,设检查员行驶到公路上C ,D 两点之间时收不到信号,即公路上C ,D 两点到考点的距离为1千米.在△ABC 中,AB ＝3（千米）,AC ＝1（千米）,∠ABC ＝30°, 由正弦定理,得sin ∠ACB ＝sin 30°AC ×AB ＝32, ∴∠ACB ＝120°（∠ACB ＝60°不合题意）,∴∠BAC ＝30°,∴BC ＝AC ＝1（千米）.在△ACD 中,AC ＝AD ＝1,∠ACD ＝60°,∴△ACD 为等边三角形,∴CD ＝1（千米）.∵BC 12×60＝5,∴在BC 上需5分钟,CD 上需5分钟. ∴最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟才算合格.。

章末复习学习目标 1.整合知识结构,进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式证明不等式,求解最值问题.1.“三个二次”之间的关系所谓三个二次,指的是①二次函数图象与x 轴的交点；②相应的一元二次方程的实根；③一元二次不等式的解集端点.解决其中任何一个“二次”问题,要善于联想其余两个,并灵活转化. 2.规划问题（1）规划问题的求解步骤 ①把问题要求转化为约束条件； ②根据约束条件作出可行域； ③对目标函数变形并解释其几何意义； ④移动目标函数寻找最优解； ⑤解相关方程组求出最优解. （2）关注非线性①确定非线性约束条件表示的平面区域.可类比线性约束条件,以曲线定界,以特殊点定域； ②常见的非线性目标函数有（ⅰ）y －bx －a,其几何意义为可行域上任一点（x ,y ）与定点（a ,b ）连线的斜率；（ⅱ）(x －a )2＋(y －b )2,其几何意义为可行域上任一点（x ,y ）与定点（a ,b ）的距离. 3.基本不等式利用基本不等式证明不等式和求最值的区别①利用基本不等式证明不等式,只需关注不等式成立的条件.②利用基本不等式求最值,需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等.1.当a ≠0时,（ax －1）（x －1）＞0⇔⎝⎛⎭⎫x －1a （x －1）＞0.（×） 2.目标函数z ＝x ＋ay ,当a <0时,当纵截距取最小值时,z 才取最大值.（√） 3.用a 2＋b 2≥2ab 求最值时,不用满足条件“a ＞0,b ＞0”.（√）类型一 “三个二次”之间的关系例1 设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ,如果M ⊆[1,4],求实数a 的取值范围. 考点 “三个二次”间对应关系的应用 题点 由“三个二次”间对应关系求参数值 解 M ⊆[1,4]有两种情况：其一是M ＝∅,此时Δ<0；其二是M ≠∅,此时Δ＝0或Δ＞0,下面分三种情况计算a 的取值范围. 设f （x ）＝x 2－2ax ＋a ＋2, 对方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0,有Δ＝（－2a ）2－4（a ＋2）＝4（a 2－a －2）, ①当Δ<0时,－1<a <2,M ＝∅⊆[1,4],满足题意； ②当Δ＝0时,a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时,M ＝{－1}⊈[1,4],不满足题意； 当a ＝2时,M ＝{2}⊆[1,4],满足题意. ③当Δ＞0时,a <－1或a ＞2.设方程f （x ）＝0的两根为x 1,x 2,且x 1<x 2, 那么M ＝[x 1,x 2],M ⊆[1,4]等价于1≤x 1<x 2≤4,即⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≥0且f (4)≥0，1<a <4且Δ>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，a ≤187，1<a <4，a <－1或a >2，解得2<a ≤187,综上可知,当M ⊆[1,4]时,a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，187. 思维升华 （1）“三个二次”之间要选择一个运算简单的方向进行转化. （2）用不等式组来刻画两根的位置体现了数形结合的思想.跟踪训练1 若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是（1,m ）,则m ＝________. 考点 “三个二次”间对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值 【参考答案】2【试题解析】因为ax 2－6x ＋a 2<0的解集是（1,m ）,所以1,m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的根,且m ＞1,由⎩⎪⎨⎪⎧m >1，1＋m ＝6a ，1·m ＝a ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，a ＝2.类型二 规划问题例2 已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z ＝2x ＋y 的最大值和最小值.考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值解 如图,阴影部分（含边界）为不等式组所表示的可行域. 设l 0：2x ＋y ＝0,l ：2x ＋y ＝z ,则z 的几何意义是直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距,显然,直线越往上移动,对应在y 轴上的截距越大,即z 越大；直线越往下移动,对应在y 轴上的截距越小,即z 越小.上下平移直线l 0,可得当l 0过点A （5,2）时,z max ＝2×5＋2＝12；当l 0过点B （1,1）时,z min ＝2×1＋1＝3.反思与感悟 （1）因为最优解与可行域的边界斜率有关,所以画可行域要尽可能精确. （2）线性目标函数的最值与纵截距不一定是增函数关系,所以要关注纵截距越大,z 越大还是越小.跟踪训练2 某人承揽一项业务,需做文字标牌4个,绘画标牌5个.现有两种规格的原料,甲种规格每张3 m 2,可做文字标牌1个,绘画标牌2个；乙种规格每张2 m 2,可做文字标牌2个,绘画标牌1个,求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小. 考点 实际生活中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用解 设需要甲种原料x 张,乙种原料y 张,则可做文字标牌（x ＋2y ）个,绘画标牌（2x ＋y ）个,由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥5，x ＋2y ≥4，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .所用原料的总面积为z ＝3x ＋2y ,作出可行域如图阴影部分（含边界）所示. 在一组平行直线3x ＋2y ＝z 中,经过可行域内的点A 时,z 取得最小值,直线2x ＋y ＝5和直线x ＋2y ＝4的交点为A （2,1）, 即最优解为（2,1）.所以使用甲种规格原料2张,乙种规格原料1张,可使总的用料面积最小. 类型三 利用基本不等式求最值 命题角度1 无附加条件型 例3 设f （x ）＝50xx 2＋1.（1）求f （x ）在[0,＋∞）上的最大值； （2）求f （x ）在[2,＋∞）上的最大值. 考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值解 （1）当x ＝0时,f （0）＝0,当x ＞0时,有x ＋1x ≥2,∴f （x ）＝50x x 2＋1＝50x ＋1x ≤25.当且仅当x ＝1x ,即x ＝1时等号成立,∴f （x ）在[0,＋∞）上的最大值是25.（2）∵函数y ＝x ＋1x 在[2,＋∞）上是增函数且恒为正,∴f （x ）＝50x ＋1x 在[2,＋∞）上是减函数,且f （2）＝20.∴f （x ）在[2,＋∞）上的最大值为20.反思与感悟 利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等”,缺一不可,可以通过拼凑、换元等手段进行变形以构造定值.如“相等”的条件不具备,可以考虑用函数的单调性求解. 跟踪训练3 求函数y ＝1x －3＋x （x ＞3）的最小值.考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值解 ∵y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋x －3＋3,x ＞3,∴x －3＞0,1x －3＞0,∴y ≥21x －3·(x －3)＋3＝5.当且仅当1x －3＝x －3,即x ＝4时,y 有最小值5.命题角度2 有附加条件的最值问题例4 函数y ＝a 1－x （a ＞0,a ≠1）的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx ＋ny －1＝0（mn ＞0）上,则1m ＋1n 的最小值为________.考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 【参考答案】4【试题解析】y ＝a 1－x （a ＞0,a ≠1）的图象恒过定点A （1,1）,∵点A 在直线mx ＋ny －1＝0上, ∴m ＋n ＝1, 方法一1m ＋1n ＝m ＋n mn ＝1mn ≥1⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝4, 当且仅当m ＝n ＝12时,取等号.方法二1m ＋1n＝（m ＋n ）⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·mn＝4, 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，n m ＝m n ，即m ＝n ＝12时取等号.∴⎝⎛⎭⎫1m ＋1n min ＝4.反思与感悟 当所给附加条件是一个等式时,常见的用法有两个：一个是用这个等式消元,化为命题角度1的类型；一个是直接利用该等式代入,或构造定值. 跟踪训练4 设x ,y 都是正数,且1x ＋2y ＝3,求2x ＋y 的最小值.考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 解 ∵1x ＋2y ＝3,∴13⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝1. ∴2x ＋y ＝（2x ＋y ）×1＝（2x ＋y ）×13⎝⎛⎭⎫1x ＋2y＝13⎝⎛⎭⎫4＋y x ＋4x y ≥13⎝⎛⎭⎫4＋2y x ·4x y ＝43＋43＝83. 当且仅当y x ＝4xy ,即y ＝2x 时,取等号.又∵1x ＋2y ＝3,∴x ＝23,y ＝43.∴2x ＋y 的最小值为83.1.已知实数x ,y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝mx －y （m ≠0）取得最大值时的最优解有无穷多个,则实数m 的值为（ ） A.1 B.12 C.－12 D.－1考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题 【参考答案】A【试题解析】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分（包含边界）所示,由图可知当直线y ＝mx －z （m ≠0）与直线2x －2y ＋1＝0重合,即m ＝1时,目标函数z ＝mx －y 取最大值的最优解有无穷多个,故选A.2.若不等式ax 2＋bx －2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2<x <－14,则a ＋b 等于（ ） A.－18 B.8 C.－13 D.1 考点 一元二次不等式的应用 题点 已知解集求参数的取值范围 【参考答案】C【试题解析】∵－2和－14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根.∴⎩⎨⎧－2＋⎝⎛⎭⎫－14＝－ba，－2×⎝⎛⎭⎫－14＝－2a，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－9，∴a ＋b ＝－13.3.设a ＞b ＞0,则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是（ ）A.1B.2C.3D.4 考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 【参考答案】D【试题解析】a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝a （a －b ）＋1a (a －b )＋ab ＋1ab ≥2＋2＝4,当且仅当a （a －b ）＝1且ab ＝1, 即a ＝2,b ＝22时取等号. 4.若不等式4（a －2）x 2＋2（a －2）x －1<0对一切x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是__________. 【参考答案】（－2,2]【试题解析】不等式4（a －2）x 2＋2（a －2）x －1<0,当a －2＝0,即a ＝2时,不等式恒成立,符合题意；当a －2≠0时,要使不等式恒成立,需⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，a －2<0，解得－2<a <2,所以a 的取值范围为（－2,2].1.不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础,是不等式的证明和解不等式的主要依据.因此,要熟练掌握和运用不等式的八条性质. 2.一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（或≥0,<0,≤0）（其中a ≠0）的求解,要联想两个方面的问题：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点；方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根.按照Δ＞0,Δ＝0,Δ<0分三种情况讨论对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（或≥0,<0,≤0）（a ＞0）的解集. 3.二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点（x ,y ）,实数Ax ＋By ＋C 的符号相同,取一个特殊点（x 0,y 0）,根据实数Ax 0＋By 0＋C 的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域,可简记为“直线定界,特殊点定域”.特别地,当C ≠0时,常取原点作为特殊点. 4.求目标函数最优解的方法通过平移目标函数所对应的直线,可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点,于是在选择题中关于线性规划的最值问题,可采用求解方程组代入检验的方法求解. 5.运用基本不等式求最值时把握三个条件①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.一、选择题1.若a <0,－1<b <0,则有（ ） A.a ＞ab ＞ab 2 B.ab 2＞ab ＞a C.ab ＞a ＞ab 2 D.ab ＞ab 2＞a考点 实数大小的比较题点 利用不等式的性质比较大小 【参考答案】D【试题解析】∵a <0,－1<b <0, ∴ab ＞0,ab 2<0, ∴ab ＞a ,ab ＞ab 2. ∵0<1＋b <1,1－b ＞1＞0,∴a －ab 2＝a （1－b 2）＝a （1＋b ）（1－b ）<0, ∴a <ab 2, ∴a <ab 2<ab .2.原点和点（1,1）在直线x ＋y ＝a 两侧,则a 的取值范围是（ ） A.a <0或a ＞2 B.0<a <2 C.a ＝0或a ＝2D.0≤a ≤2 考点 二元一次不等式（组）表示的平面区域 题点 二元一次不等式（组）表示的平面区域的判定 【参考答案】B【试题解析】原点和点（1,1）在直线x ＋y ＝a 两侧,将原点（0,0）和点（1,1）代入x ＋y －a 中,结果异号,即－a （1＋1－a ）<0,故0<a <2. 3.不等式x －2x ＋3≤2的解集是（ ）A.{x |x <－8或x ＞－3}B.{x |x ≤－8或x ＞－3}C.{x |－3≤x ≤2}D.{x |－3<x ≤2}考点 分式不等式的解法 题点 分式不等式的解法【参考答案】B【试题解析】原不等式可化为x －2x ＋3－2≤0,即－x －8x ＋3≤0,即（x ＋3）（x ＋8）≥0且x ≠－3,解得x ≤－8或x ＞－3.4.若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx －1的取值范围是（ ）A.（－1,1）B.（－∞,－1）∪（1,＋∞）C.（－∞,－1）D.[1,＋∞）考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求斜率型目标函数的最值 【参考答案】B【试题解析】可行域如图阴影部分,yx －1的几何意义是区域内的点与点（1,0）连线的斜率,易求得y x －1＞1或yx －1<－1.5.如果a ∈R ,且a 2＋a <0,那么a ,a 2,－a ,－a 2的大小关系是（ ） A.a 2＞a ＞－a 2＞－a B.－a ＞a 2＞－a 2＞a C.－a ＞a 2＞a ＞－a 2 D.a 2＞－a ＞a ＞－a 2考点 实数大小的比较题点 利用不等式的性质比较大小 【参考答案】B 【试题解析】∵a 2＋a <0, ∴a （a ＋1）<0,∴－1<a <0. 取a ＝－12,可知－a ＞a 2＞－a 2＞a .6.设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by （a ＞0,b ＞0）的最大值为4,则ab 的取值范围是（ ） A.（0,4） B.（0,4] C.[4,＋∞）D.（4,＋∞）考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 【参考答案】B【试题解析】作出不等式组表示的区域（如图中阴影部分所示）,由图可知,当目标函数的图象z ＝ax ＋by （a ＞0,b ＞0）过点A （1,1）时,z 取最大值,∴a ＋b ＝4,∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4（当且仅当a ＝b ＝2时取等号）,又∵a ＞0,b ＞0,∴ab ∈（0,4],故选B.7.已知圆C ：（x －a ）2＋（y －b ）2＝1,平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切,则a 2＋b 2的最大值为（ ） A.5 B.29 C.37D.49考点 非线性目标函数的最值问题 题点 求非线性目标函数最值问题综合 【参考答案】C【试题解析】由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界.∵圆C 与x 轴相切,∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点（6,1）处时,|a |max ＝6.∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37.故选C.二、填空题8.已知x ,y ∈（0,＋∞）,且满足x 3＋y4＝1,则xy 的最大值为________.考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 【参考答案】3【试题解析】因为x ＞0,y ＞0,x 3＋y4＝1,所以x 3＋y 4≥2x 3·y 4＝xy 3（当且仅当x 3＝y 4＝12,即x ＝32,y ＝2时取等号）, 即xy3≤1,解得xy ≤3, 所以xy 的最大值为3.9.若关于x 的方程8x 2－（m －1）x ＋m －7＝0的两根均大于1,则m 的取值范围是________. 考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数范围【参考答案】[25,＋∞）【试题解析】令f （x ）＝8x 2－（m －1）x ＋m －7.∵方程8x 2－（m －1）x ＋m －7＝0的两根均大于1,∴由二次函数图象得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(m －1)2－32(m －7)≥0，m －116＞1，f (1)＞0解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥25或m ≤9，m ＞17，m ∈R ，∴m 的取值范围是[25,＋∞）.10.函数y ＝x ＋22x ＋5的最大值是________. 考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值【参考答案】24【试题解析】设t ＝x ＋2,从而x ＝t 2－2（t ≥0）,则y ＝t 2t 2＋1. 当t ＝0时,y ＝0；当t ＞0时,y ＝12t ＋1t ≤12 2t ·1t ＝24, 当且仅当2t ＝1t ,即t ＝22时等号成立, 即当x ＝－32时,y max ＝24. 11.已知a ＞0,b ＞0且a ≠b ,则a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小关系是________________. 考点 实数大小的比较题点 作差法比较大小【参考答案】a 2b ＋b 2a＞a ＋b【试题解析】∵⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b 2a －（a ＋b ）＝a 2b －b ＋b 2a－a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a＝（a 2－b 2）⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝（a 2－b 2）a －b ab ＝(a －b )2(a ＋b )ab , 又∵a ＞0,b ＞0,a ≠b ,∴（a －b ）2＞0,a ＋b ＞0,ab ＞0,∴⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b 2a －（a ＋b ）＞0,∴a 2b ＋b 2a＞a ＋b . 三、解答题12.正数x ,y 满足1x ＋9y＝1. （1）求xy 的最小值；（2）求x ＋2y 的最小值.考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值解 （1）由1＝1x ＋9y≥21x ·9y ,得xy ≥36,当且仅当1x ＝9y ,即y ＝9x ＝18时取等号,故xy 的最小值为36.（2）由题意,可得x ＋2y ＝（x ＋2y ）⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y≥19＋22y x ·9x y ＝19＋62,当且仅当2y x ＝9x y, 即9x 2＝2y 2时取等号,故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.13.已知不等式mx 2－mx －1<0.（1）若当x ∈R 时不等式恒成立,求实数m 的取值范围；（2）若x ∈[1,3]时不等式恒成立,求实数m 的取值范围.考点 一元二次不等式恒成立问题题点 一元二次不等式在区间上恒成立解 （1）①若m ＝0,原不等式可化为－1<0,显然恒成立；②若m ≠0,则不等式mx 2－mx －1<0恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，解得－4<m <0. 综上可知,实数m 的取值范围是（－4,0].（2）令f （x ）＝mx 2－mx －1,①当m ＝0时,f （x ）＝－1<0显然恒成立；②当m ＞0时,若对于x ∈[1,3]不等式恒成立,只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)<0，f (3)<0即可, 由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝－1<0，f (3)＝9m －3m －1<0，解得m <16, 所以0<m <16. ③当m <0时,函数f （x ）的图象开口向下,对称轴为x ＝12,若当x ∈[1,3]时不等式恒成立,结合函数图象知只需f （1）<0即可,解得m ∈R ,所以m <0符合题意.综上所述,实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，16. 四、探究与拓展14.x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，2y －x ＋2≥0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －2ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为（ ）A.12或－1 B.1或－12 C.2或1D.2或－1 考点 线性规划中的参数问题题点 无数个最优解问题【参考答案】B【试题解析】作出可行域如图中阴影部分（包含边界）所示.由z ＝y －2ax ,得y ＝2ax ＋z .当2a ＝2或2a ＝－1,即a ＝1或a ＝－12时, z ＝y －2ax 取得最大值的最优解不唯一,故选B.15.已知正数a ,b ,c 满足：5c －3a ≤b ≤4c －a ,b ≥a ＋c ,求b a的最大值. 考点 非线性目标函数的最值问题题点 求斜率型目标函数的最值 解 题设条件可转化为⎩⎪⎨⎪⎧ 3a c ＋b c ≥5，a c ＋b c ≤4，b c －a c ≥1，记x ＝a c ,y ＝b c ,则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≥5，x ＋y ≤4，y －x ≥1，表示第一象限内三直线围成的如图所示的三角形及其内部. 且目标函数为z ＝y x ,它表示区域内的点与坐标原点连线的斜率.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝5，x ＋y ＝4，得交点坐标为C ⎝⎛⎭⎫12，72,此时z max ＝7,即b a 的最大值为7.。

1 数列中的数学思想数学思想在以后的学习中起着重要的作用,若能根据问题的题设特点,灵活地运用相应的数学思想,往往能迅速找到解题思路,从而简便、准确求解. 1.方程思想例1 在等比数列{a n }中,已知a 1＋a 2＋a 3＝7,a 1a 2a 3＝8,求通项a n .分析 欲求通项a n ,需求出a 1及q ,为此根据题设构造关于a 1与q 的方程组即可求解.解 方法一 ∵a 1a 3＝a 22,∴a 1a 2a 3＝a 32＝8,∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，解得a 1＝1,a 3＝4或a 1＝4,a 3＝1.当a 1＝1时,q ＝2；当a 1＝4时,q ＝12.故a n ＝2n－1或a n ＝23－n .方法二 由等比数列的定义知a 2＝a 1q ,a 3＝a 1q 2代入已知,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，a 1·a 1q ·a 1q 2＝8， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7，a 31q 3＝8， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7， ①a 1q ＝2， ② 将a 1＝2q 代入①得2q 2－5q ＋2＝0,∴q ＝2或q ＝12,由②得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12.∴a n ＝2n－1或a n ＝23－n .2.分类讨论思想例2 已知{a n }是各项均为正数的等差数列,且lg a 1,lg a 2,lg a 4也成等差数列,若b n ＝21na ,n ＝1,2,3,…,证明：{b n }为等比数列. 证明 由于lg a 1,lg a 2,lg a 4成等差数列, 所以2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4,则a 22＝a 1·a 4. 设等差数列{a n }的公差为d , 则有（a 1＋d ）2＝a 1（a 1＋3d ）, 整理得d 2＝da 1,从而d （d －a 1）＝0. （1）当d ＝0时,数列{a n }为常数列, 又b n ＝21na ,则{b n }也是常数列, 此时{b n }是首项为正数1a 2,公比为1的等比数列.（2）当d ＝a 1≠0时,则a 2n ＝a 1＋（2n －1）d ＝d ＋（2n －1）d ＝2n d , 所以b n ＝21n a ＝12d ·12n －1, 这时{b n }是首项为b 1＝12d ,公比为12的等比数列.综上,{b n }为等比数列. 3.特殊化思想例3 在数列{a n }中,若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝k （k 为常数）,n ∈N *,则称{a n }为“等差比数列”.下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为0.其中正确的判断是（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.①④分析 本题为新定义题,且结论具有开放性,解决本题可借助新定义构造特殊数列,排除不正确的判断,从而简捷求解.【试题解析】数列a ,a ,…,a （a ≠0）既是等差数列,又是等比数列,但不满足a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝k ,即不是等差比数列,故②、③不正确.故选D. 【参考答案】D4.整体思想例4 在等比数列{a n }中,a 9＋a 10＝a （a ≠0）,a 19＋a 20＝b ,则a 99＋a 100＝________. 分析 根据题设条件可知a 19＋a 20a 9＋a 10＝q 10＝ba ,而a 99＋a 100a 9＋a 10＝q 90,故可整体代入求解.【试题解析】设等比数列{a n }的公比为q , 则a 19＋a 20a 9＋a 10＝q 10＝ba ,又a 99＋a 100a 9＋a 10＝q 90＝（q 10）9＝⎝⎛⎭⎫b a 9, 故a 99＋a 100＝⎝⎛⎭⎫b a 9（a 9＋a 10）＝b9a 8. 【参考答案】b 9a82 求数列通项的四大法宝1.公式法题设中有a n 与S n 的关系式时,常用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2来求解.例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2,求其通项公式a n . 解 当n ＝1时,a 1＝S 1＝31－2＝1；当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝3n －2－（3n －1－2）＝3n －3n －1＝2×3n －1,又a 1＝1≠2×31－1,所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2×3n －1，n ≥2. 2.累加法若数列{a n }满足a n －a n －1＝f （n －1）（n ≥2）,且f （1）＋f （2）＋…＋f （n －1）可求,则可用累加法求通项.例2 已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＝3n －1＋a n －1（n ≥2）,求其通项公式a n .解 由已知,得a n －a n －1＝3n －1（n ≥2）,所以a 2－a 1＝3,a 3－a 2＝32,a 4－a 3＝33,…,a n －a n －1＝3n －1,以上各式左右两边分别相加,得 a n －a 1＝3＋32＋33＋…＋3n －1,所以a n ＝3(1－3n －1)1－3＋1＝3n －12（n ≥2）,又n ＝1时,a 1＝1＝31－12,所以a n ＝3n －12（n ∈N *）.3.叠乘法若数列{a n }满足a na n －1＝f （n －1）（n ≥2）,其中f （1）·f （2）·…·f （n －1）可求,则可用叠乘法求通项.例3 已知数列{a n }中,a 1＝3,a n ＝3n －43n －1a n －1（a n ≠0,n ≥2）,求其通项公式a n .解 由a 1＝3,a n ＝3n －43n －1a n －1,得a n a n －1＝3n －43n －1,所以a 2a 1＝25,a 3a 2＝58,a 4a 3＝811,a 5a 4＝1114,…,a n a n －1＝3n －43n －1（n ≥2）,以上各式左右两边分别相乘,得a na 1＝23n －1, 所以a n ＝63n －1（n ≥2）,又a 1＝3＝63×1－1,所以a n ＝63n －1（n ∈N *）.4.构造法当题中出现a n ＋1＝pa n ＋q （pq ≠0且p ≠1）的形式时,把a n ＋1＝pa n ＋q 变形为a n ＋1＋λ＝p （a n ＋λ）,即a n ＋1＝pa n ＋λ（p －1）,令λ（p －1）＝q ,解得λ＝qp －1,从而构造出等比数列{a n ＋λ}.例4 数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝14a n ＋3（n ∈N *）,求其通项公式a n .解 设a n ＋1＋t ＝14（a n ＋t ）,则a n ＋1＝14a n －34t ,与已知比较,得－34t ＝3,所以t ＝－4,故a n ＋1－4＝14（a n －4）,又a 1－4＝1－4＝－3≠0,故数列{a n －4}是首项为－3,公比为14的等比数列,因此a n －4＝－3×⎝⎛⎭⎫14n －1,即a n ＝4－3×⎝⎛⎭⎫14n －1（n ∈N *）.3 如何研究数列的单调性和最大（小）项研究数列的单调性和最大（小）项,首选作差,其次可以考虑借助函数单调性例1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1,则该数列是否有最大项,若有,求出最大项的项数；若无,说明理由.解 a n ＋1－a n ＝（n ＋1）·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9,当n ＞3时,a n ＋1－a n <0； 当1≤n ≤3时,a n ＋1－a n ＞0.综上,可知{a n }在n ∈{1,2,3}时,单调递增；在n ∈{4,5,6,7,…}时,单调递减.所以存在最大项,且第4项为最大项.点评 之所以首选作差,是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样,函数单调性要设任意x 1<x 2,而数列只需研究相邻两项a n ＋1－a n ,证明难度是不一样的.例2 在数列{a n }中,a n ＝n － 2 006n － 2 007,则该数列前100项中的最大项与最小项分别是________.分析 可以先把a n ＝n － 2 006n － 2 007用分离常数法进行化简,然后再研究函数f （x ）＝1＋2 007－ 2 006x － 2 007的性质,得出该数列前100项中的最大项与最小项.【试题解析】a n ＝n － 2 006n － 2 007＝1＋ 2 007－ 2 006n － 2 007,设f （x ）＝1＋ 2 007－ 2 006x － 2 007,则f （x ）在区间（－∞, 2 007）与（ 2 007,＋∞）上都是减函数. 因为44< 2 007<45,故数列{a n }在n ≤44时递减,在n ≥45时递减,借助f （x ）＝1＋ 2 007－ 2 006x － 2 007的图象知数列{a n }的最大值为a 45,最小值为a 44.故答案为a 45,a 44. 【参考答案】a 45,a 44点评 本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项,此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性,然后再判断数列的最大项与最小项.4 提高运算速度七妙招数列问题的灵活性、技巧性较强,因此,在解数列问题时必须研究技巧与策略,以求做到：选择捷径、合理解题,本文归纳了七种常见策略. 第一招 活用概念数列的概念是求解数列问题的基础,灵活运用数列的概念,往往能出奇制胜.例1 已知{a n }是公差为2的等差数列,若a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝100,那么a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98等于（ ） A.166 B.66 C.34D.100【试题解析】若先求出a 1,再求和,运算较为繁琐.注意到两个和式中的项数相等,且均是等差数列.由于（a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98）－（a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97）＝（a 2－a 1）＋（a 5－a 4）＋（a 8－a 7）＋…＋（a 98－a 97）＝33d ＝66,所以a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98＝100＋66＝166,故选A. 【参考答案】A点评 活用等差、等比数列的概念,沟通有关元素间的内在联系,使运算得以简化. 第二招 巧用性质数列的性质是数列的升华,巧妙运用数列的性质,往往可以使问题简单明了,解题更快捷方便. 例2 各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 7a 8＝9,则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 14等于（ ） A.12 B.14 C.10 D.10＋log 32【试题解析】若设出a 1和q ,利用基本量法求解,显然运算量较大.若利用性质a 1a 14＝a 2a 13＝…＝a 7a 8＝9,则a 1a 2…a 14＝（a 7a 8）7＝97,所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 14＝log 397＝14,故选B. 【参考答案】B点评 数列的性质是对数列内涵的揭示与显化,是求解数列问题的有力武器. 第三招 灵用变式在求解数列问题过程中,可以利用等差或等比数列的变形公式来处理有关问题. 例3 已知等差数列{a n }中,a 3＝3,a 10＝388,则该数列的通项a n ＝________.【试题解析】利用等差数列的变形公式求得公差,再结合等差数列的变形公式求得通项.设等差数列{a n }的公差为d ,则d ＝a 10－a 310－3＝388－37＝55,a n ＝a 3＋（n －3）d ＝3＋（n －3）×55＝55n－162.【参考答案】55n －162点评 常规方法是联立方程组,求出首项与公差,再由数列的通项公式求解.而利用变形公式可以回避求解数列的首项,直接求解公差,再结合变形公式求得通项. 第四招 整体考虑通过研究问题的整体形式、整体结构,避免局部运算的困扰,达到简捷解决问题的目的. 例4 设S n 表示等差数列{a n }的前n 项和,且S 9＝18,S n ＝240,若a n －4＝30,试求n 的值. 分析 常规解法是设出基本量a 1,d ,列方程组求解,但较繁琐；若能利用整体思维,则可少走弯路,使计算合理又迅速. 解 由S 9＝18,即9(a 1＋a 9)2＝18,则a 1＋a 9＝4＝2a 5, 故a 5＝2,又S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 5＋a n －4)2＝n (2＋30)2＝240,所以n ＝15.点评 本题解法不在a 1,d 上做文章,而是将S n 变形整理用a 5＋a n －4表示,使解题过程大大简化. 第五招 数形结合数列是一类特殊的函数,所以可以借助函数的图象,通过数形结合解数列问题. 例5 在公差d <0的等差数列{a n }中,已知S 8＝S 18,则此数列的前多少项的和最大？分析 用数形结合法解等差数列问题应抓住两个方面：①通项a n 联系一次函数,对于等差数列的有关问题通过构造点共线模型,可简化解题过程；②前n 项和S n 联系二次函数,利用二次函数的对称性及最值.解 设f （x ）＝xa 1＋x (x －1)2d ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2x , 则（n ,S n ）在该二次函数的图象上, 由于S 8＝S 18,d <0,所以y ＝f （x ）的对称轴是x ＝8＋182＝13,且开口向下,故当n ＝13时,S n 取得最大值, 故数列{a n }的前13项的和最大.点评 从直观性角度研究数列问题,可使问题变得生动形象,易于求解. 第六招 分解重组在处理数列求和问题时,若数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分,则对数列的前n 项和进行重新分解,分别求和.例6 在数列{a n }中,已知a 1＝56,a 2＝1936,且{b n }是公差为－1的等差数列,b n ＝log 2⎝⎛⎭⎫a n ＋1－13a n ,{c n }是公比为13的等比数列,c n ＝a n ＋1－12a n ,求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n .分析 由已知条件,事先无法估计a n 解析式的结构,因此不能用待定系数法求a n .但是利用等差数列{b n }和等比数列{c n }可以得出关于a n ＋1和a n 的两个等式,消去a n ＋1,即可得a n .再根据a n 求解对应的前n 项和.解 因为a 1＝56,a 2＝1936,所以b 1＝log 2⎝⎛⎭⎫1936－13×56＝－2,c 1＝1936－12×56＝132,又{b n }是公差为－1的等差数列, {c n }是公比为13的等比数列,所以⎩⎪⎨⎪⎧b n＝－n －1，c n ＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 即⎩⎨⎧log 2⎝⎛⎭⎫a n ＋1－13a n ＝－n －1，a n ＋1－12a n ＝⎝⎛⎭⎫13n ＋1，则⎩⎨⎧a n ＋1－13a n ＝12n ＋1，an ＋1－12a n ＝13n ＋1，解得a n ＝32n －23n ,所以S n ＝3·⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n －2·⎝⎛⎭⎫13＋132＋…＋13n ＝2－32n ＋13n .点评 通项虽不是等比数列,但可拆为两个等比数列的和的形式,再分别利用等比数列的求和公式求和. 第七招 合理化归化归意识是把待解决的问题转化为已有知识范围内问题的一种数学意识,包括将复杂式子化简、为达某一目的对数学表达式进行变形、从目标入手进行分析等.例7 数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1＝1,a n ＋1＝n ＋2n S n （n ＝1,2,3,…）,证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列.分析 要证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列,必须把问题化成与S nn 这个整体有关的问题,通过等比数列的定义加以证明.证明 由于a n ＋1＝n ＋2n S n ,a n ＋1＝S n ＋1－S n ,则（n ＋2）S n ＝n （S n ＋1－S n ）, 整理得nS n ＋1＝2（n ＋1）S n ,即S n ＋1n ＋1＝2S nn, 又S n ≠0,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项,2为公比的等比数列.点评 将数列中的复杂问题进行转化,关键是找准方向,再利用已知等差或等比数列的相关知识求解.5 盘点数列中的易错问题1.对数列的概念理解不准而致错例1 已知数列{a n }是递增数列,且对于任意的n ∈N *,a n ＝n 2＋λn 恒成立,则实数λ的取值范围是________.[错解] 因为a n ＝n 2＋λn 是关于n 的二次函数,且n ≥1,所以－λ2≤1,解得λ≥－2.[点拨] 数列是以正整数N *（或它的有限子集{1,2,…,n }）为定义域的函数,因此它的图象只是一些孤立的点.[正解1] 设f （x ）＝x 2＋λx ,则其图象的对称轴为x ＝－λ2,因为a n ＝n 2＋λn ,所以点（n ,a n ）在f （x ）的图象上,由数列{a n }是递增数列可知,若－λ2≤1,得λ≥－2；如图所示,当2－⎝⎛⎭⎫－λ2＞－λ2－1,即λ＞－3时,数列{a n }也是单调递增的. 故λ的取值范围为（－3,＋∞）. [正解2] 因为数列{a n }是递增数列, 所以a n ＋1－a n ＞0 （n ∈N *）恒成立.又a n ＝n 2＋λn （n ∈N *）,所以（n ＋1）2＋λ（n ＋1）－（n 2＋λn ）＞0恒成立,即2n ＋1＋λ＞0.所以λ＞－（2n ＋1） （n ∈N *）恒成立.而n ∈N *时,－（2n ＋1）的最大值为－3（n ＝1时）, 所以λ的取值范围是（－3,＋∞）.2.忽视数列与函数的区别而致错例2 设函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f （n ）,n ∈N *,且数列{a n }是递增数列,则实数a 的取值范围是________.[错解] 因为数列{a n }是递增数列,且点（n ,a n ）在函数f （x ）的图象上,所以分段函数f （x ）是递增函数,故实数a 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，7(3－a )－3<a ，解得94<a <3.[点拨] 上述解法把数列单调递增完全等同于所在的函数单调递增,忽视了二者的区别,事实上,数列是递增数列时,所在函数不一定单调递增. [正解] 由题意,得点（n ,a n ）分布在分段函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上.因此当3－a ＞0时,a 1<a 2<a 3<…<a 7； 当a ＞1时,a 8<a 9<a 10<…； 为使数列{a n }递增还需a 7<a 8. 故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3,故实数a 的取值范围是（2,3）. 3.公式使用条件考虑不周全而致错例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋2n ＋1,求a n .[错解] a n ＝S n －S n －1＝（3n ＋2n ＋1）－[3n －1＋2（n －1）＋1]＝2·3n －1＋2.[点拨] 公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2是分段的,因为n ＝1时,S n －1无意义.在上述解答中,应加上限制条件n ≥2,然后验证n ＝1时的值是否适合n ≥2时的表达式. [正解] a 1＝S 1＝6； 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝（3n ＋2n ＋1）－[3n －1＋2（n －1）＋1] ＝2·3n －1＋2.由于a 1不适合此式,故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6，n ＝1，2·3n －1＋2，n ≥2.4.审题不细心,忽略细节而致错例4 首项为9的等差数列,从第7项起开始为负数,求公差d 的取值范围. [错解] a 7＝a 1＋6d ＝9＋6d <0,∴d <－32.[点拨] 忽略了“开始”一词的含义,题目强调了第7项是该等差数列中的第一个负项,应有a 6≥0.[正解] 设a n ＝9＋（n －1）d ,由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝9＋5d ≥0，a 7＝9＋6d <0， 得－95≤d <－32. 温馨点评 审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败.5.忽略概念中的隐含条件而致错例5 一个凸n 边形的各内角度数成等差数列,其最小角为120°,公差为5°,求凸n 边形的边数.[错解] 一方面凸n 边形的内角和为S n ,S n ＝120°n ＋n (n －1)2×5°. 另一方面,凸n 边形内角和为（n －2）×180°.所以120n ＋n (n －1)2×5＝（n －2）×180. 化简整理得n 2－25n ＋144＝0,所以n ＝9或n ＝16.即凸n 边形的边数为9或16.[点拨] 凸n 边形的每个内角都小于180°.当n ＝16时,最大内角为120°＋15×5°＝195°＞180°应该舍掉.[正解] 凸n 边形内角和为（n －2）×180°,所以120n ＋n (n －1)2×5＝（n －2）×180, 解得n ＝9或n ＝16.当n ＝9时,最大内角为120°＋8×5°＝160°<180°；当n ＝16时,最大内角为120°＋15×5°＝195°＞180°舍去.所以凸n 边形的边数为9.6.忽视等差数列前n 项和公式的基本特征而致错例6 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,且对一切正整数n 都有S n T n＝5n ＋32n ＋7,试求a 9b 9的值. [错解] 设S n ＝（5n ＋3）k ,T n ＝（2n ＋7）k ,k ≠0,则a 9＝S 9－S 8＝（5×9＋3）k －（5×8＋3）k ＝5k ,b 9＝T 9－T 8＝（2×9＋7）k －（2×8＋7）k ＝2k ,所以a 9b 9＝52. [点拨] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7, 设S n ＝（5n ＋3）k ,T n ＝（2n ＋7）k ,这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数,没有准确把握前n 项和公式的特点.[正解] 因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列,故设S n ＝n （5n ＋3）k ,T n ＝n （2n ＋7）k ,k ≠0,则a 9＝S 9－S 8＝9×（5×9＋3）k －8×（5×8＋3）k ＝88k ,b 9＝T 9－T 8＝9×（2×9＋7）k －8×（2×8＋7）k ＝41k ,所以a 9b 9＝8841. 温馨点评 等差数列的前n 项和S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ,当d ≠0时,点（n ,S n ）在二次函数f （x ）＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象上.当d ＝0时,S n ＝na 1,但是本题不属于这种情况⎝ ⎛⎭⎪⎫否则S n T n ＝na 1nb 1＝a 1b 1与S n T n ＝5n ＋32n ＋7矛盾. 7.等差数列的特点考虑不周全而致错例7 在等差数列{a n }中,已知a 1＝20,前n 项和为S n ,且S 10＝S 15,求当n 取何值时,S n 有最大值,并求出它的最大值.[错解] 设公差为d ,∵S 10＝S 15,∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d , 得120d ＝－200,即d ＝－53, ∴a n ＝20－（n －1）·53, 当a n ＞0时,20－（n －1）·53＞0,∴n <13. ∴n ＝12时,S n 最大,S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130. ∴当n ＝12时,S n 有最大值S 12＝130.[点拨] 解中仅解不等式a n ＞0是不正确的,事实上应解a n ≥0,a n ＋1≤0.[正解] 设等差数列{a n }的公差为d .由a 1＝20,S 10＝S 15,得10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ,解得公差d ＝－53. ∵S 10＝S 15,∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0,∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13,∴a 13＝0.∵公差d <0,a 1＞0,∴a 1,a 2,…,a 11,a 12均为正数,而a 14及以后各项均为负数.∴当n ＝12或13时,S n 有最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.8.忽略题目中的隐含条件而致错例8 已知数列－1,a 1,a 2,－4成等差数列,－1,b 1,b 2,b 3,－4成等比数列,求a 2－a 1b 2的值. [错解] ∵－1,a 1,a 2,－4成等差数列,设公差为d ,则a 2－a 1＝d ＝13[（－4）－（－1）]＝－1. ∵－1,b 1,b 2,b 3,－4成等比数列,∴b 22＝（－1）×（－4）＝4,∴b 2＝±2. 当b 2＝2时,a 2－a 1b 2＝－12＝－12, 当b 2＝－2时,a 2－a 1b 2＝－1－2＝12. ∴a 2－a 1b 2＝±12. [点拨] 注意b 2的符号已经确定,且b 2<0,忽视了这一隐含条件,就容易产生上面的错误.[正解] ∵－1,a 1,a 2,－4成等差数列,设公差为d ,则a 2－a 1＝d ＝13[（－4）－（－1）]＝－1, ∵－1,b 1,b 2,b 3,－4成等比数列,∴b 22＝（－1）×（－4）＝4,∴b 2＝±2.若设公比为q ,则b 2＝（－1）q 2,∴b 2<0.∴b 2＝－2,∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.9.求和时项数不清而致错例9 求1＋2＋22＋…＋2n 的和.[错解] 1＋2＋22＋ (2)＝1－2n1－2＝2n －1. [点拨] 错因在于没有搞清项数,首项为1＝20,末项为2n ,项数应为n ＋1.[正解] 这是一个首项为1,公比为2的等比数列前n ＋1项的和,所以1＋2＋22＋…＋2n ＝1－2n ＋11－2＝2n ＋1－1.10.利用等比数列求和公式忽视q ＝1的情形而致错例10 已知等比数列{a n }中,a 3＝4,S 3＝12,求数列{a n }的通项公式.[错解] 设等比数列的公比为q ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝12， 解得q ＝－12. 所以a n ＝a 3q n －3＝4·⎝⎛⎭⎫－12n －3＝⎝⎛⎭⎫－12n －5. [点拨] 上述解法中忽视了等比数列前n 项和公式中q ＝1这一特殊情况.[正解] 当q ＝1时,a 3＝4,a 1＝a 2＝a 3＝4,S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12, 所以q ＝1符合题意,a n ＝4.当q ≠1时,⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝12，解得q ＝－12,a n ＝a 3q n －3＝⎝⎛⎭⎫－12n －5. 故数列通项公式为a n ＝4或a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －5.以上十例论述了数列中常见的一些错误及其原因,当然数列解题中的错误原因还有未尽之处,本文旨在抛砖引玉,使同学们在学习中养成良好的纠错习惯.集“错”成册,常翻常阅,引以为戒,警钟长鸣.。

章末检测试卷（一）（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分） 1.在△ABC 中,AB ＝5,BC ＝6,AC ＝8,则△ABC 的形状是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形 考点 判断三角形形状题点 利用余弦定理判断三角形形状 【参考答案】B【试题解析】∵最大边AC 所对角为B , 又cos B ＝52＋62－822×5×6<0,∴B 为钝角,△ABC 为钝角三角形. 2.在△ABC 中,若a ＝52b ,A ＝2B ,则cos B 等于（ ） A.53 B.54 C.55 D.56考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 【参考答案】B【试题解析】由正弦定理,得a b ＝sin A sin B ,∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ,∴sin 2B sin B ＝52,∴cos B ＝54.3.已知△ABC 的外接圆的半径是3,a ＝3,则A 等于（ ） A.30°或150° B.30°或60° C.60°或120°D.60°或150°考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解 【参考答案】A【试题解析】根据正弦定理,得a sin A ＝2R ,sin A ＝a 2R ＝12,∵0°<A <180°,∴A ＝30°或A ＝150°.4.在△ABC 中,a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ,则△ABC 的形状是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的理解 【参考答案】B【试题解析】原式可化为a sin A ＝b sin B ,由正弦定理知a 2＝b 2,∴a ＝b ,∴△ABC 为等腰三角形. 5.已知在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且c 2－b 2＝ab ,C ＝π3,则sin Asin B 的值为（ ）A.12B.1C.2D.3 考点 正弦、余弦定理解三角形综合 题点 正弦、余弦定理解三角形综合 【参考答案】C【试题解析】由余弦定理得c 2－b 2＝a 2－2ab cos C ＝a 2－ab ＝ab ,所以a ＝2b ,所以由正弦定理得sin A sin B ＝ab＝2. 6.在△ABC 中,已知a ＝5,b ＝15,A ＝30°,则c 等于（ ） A.2 5 B. 5 C.25或 5D.以上都不对考点 用余弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角用余弦定理解三角形 【参考答案】C【试题解析】∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A , ∴5＝15＋c 2－215×c ×32, 化简得c 2－35c ＋10＝0,即（c －25）（c －5）＝0, ∴c ＝25或c ＝ 5.7.已知△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶（k ＋1）∶2k ,则k 的取值范围是（ ） A.（2,＋∞） B.（－∞,0） C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞考点 正弦定理及其变形应用题点 正弦定理的理解 【参考答案】D【试题解析】由正弦定理,得a ＝mk ,b ＝m （k ＋1）,c ＝2mk （m ＞0）,∵⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b >c ，a ＋c >b ，即⎩⎪⎨⎪⎧m (2k ＋1)>2mk ，3mk >m (k ＋1)，∴k ＞12.8.△ABC 的两边长分别为2,3,其夹角的余弦值为13,则其外接圆的直径为（ ）A.922B.924C.928D.9 2考点 正弦、余弦定理解三角形综合 题点 正弦、余弦定理解三角形综合 【参考答案】B【试题解析】设另一条边为x , 则x 2＝22＋32－2×2×3×13＝9,∴x ＝3.设cos θ＝13,θ为长度为2,3的两边的夹角,则sin θ＝1－cos 2θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924.9.根据下列情况,判断三角形解的情况,其中正确的是（ ） A.a ＝8,b ＝16,A ＝30°,有两解 B.b ＝18,c ＝20,B ＝60°,有一解 C.a ＝5,c ＝2,A ＝90°,无解 D.a ＝30,b ＝25,A ＝150°,有一解 考点 判断三角形形状题点 利用余弦定理判断三角形形状 【参考答案】D【试题解析】A 中,∵a sin A ＝b sin B,∴sin B ＝16×sin 30°8＝1,∴B ＝90°,即只有一解；B 中,∵sinC ＝20sin 60°18＝539,且c ＞b ,∴C ＞B ,故有两解； C 中,∵A ＝90°,a ＝5,c ＝2,∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21,即有解,故A,B,C 都不正确,由排除法知应选D.10.如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值,则（ ） A.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B.△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C.△A 1B 1C 1是钝角三角形,△A 2B 2C 2是锐角三角形D.△A 1B 1C 1是锐角三角形,△A 2B 2C 2是钝角三角形 考点 判断三角形形状题点 利用正弦、余弦定理、三角变换判断三角形形状 【参考答案】D【试题解析】△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0, 则△A 1B 1C 1是锐角三角形, 若△A 2B 2C 2是锐角三角形,由⎩⎪⎨⎪⎧ sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1，那么A 2＋B 2＋C 2＝π2,矛盾,若△A 2B 2C 2是直角三角形,不妨设A 2＝π2,则cos A 1＝sin A 2＝1,A 1＝0,矛盾. 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形.11.在斜三角形ABC 中,sin A ＝－2cos B ·cos C ,且tan B ·tan C ＝1－2,则角A 的值为（ ） A.π4 B.π3 C.π2 D.3π4考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合 【参考答案】A 【试题解析】由题意知,sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin （B ＋C ） ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ,在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2, 又tan （B ＋C ）＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ,即tan A ＝1,又0<A <π,所以A ＝π4.12.在△ABC 中,AB ＝7,AC ＝6,M 是BC 的中点,AM ＝4,则BC 等于（ ） A.21 B.106 C.69 D.154 考点 几何图形中的计算问题 题点 三角形有关的几何图形计算问题 【参考答案】B【试题解析】设BC ＝a ,则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中,AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ×AM ×cos ∠AMB , 即72＝14a 2＋42－2×a2×4×cos ∠AMB ,①在△ACM 中,AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ×CM ×cos ∠AMC , 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2×cos ∠AMB ,②①＋②得72＋62＝42＋42＋12a 2,所以a ＝106.二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且cos Ccos B ＝－2a ＋c b ,则角B 的大小为________.考点 余弦定理及其变形应用 题点 用余弦定理求边或角的取值范围 【参考答案】2π3【试题解析】根据余弦定理,得cos Ccos B ＝a 2＋b 2－c 22ab a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋b 2－c 2a 2＋c 2－b 2×c b ＝－2a ＋c b . 化简可得a 2＋c 2－b 2＝－ac ,所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12,B 为△ABC 的内角,所以B ＝2π3.14.已知△ABC 中,3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0,则cos C ＝________. 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用【参考答案】13【试题解析】由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0, 得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理,得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab2ab ＝13.15.在△ABC 中,若A ＝120°,AB ＝5,BC ＝7,则sin B ＝________. 考点 用正弦定理解三角形题点 已知两边及其中一边对角解三角形 【参考答案】3314【试题解析】由正弦定理得7sin 120°＝5sin C,∴sin C ＝5314,且C 为锐角（A ＝120°）.∴cos C ＝1114.∴sin B ＝sin （180°－120°－C ）＝sin （60°－C ） ＝32cos C －12sin C ＝32×1114－12×5314＝3314. 16.太湖中有一小岛C ,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上,汽车行驶1 km 到达B 处后,又测得小岛在南偏西75°的方向上,则小岛到公路的距离是________km. 考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离 【参考答案】36【试题解析】如图,∠CAB ＝15°, ∠CBA ＝180°－75°＝105°, ∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°, AB ＝1（km ）.在△ABC 中,由正弦定理,得 BC sin ∠CAB ＝ABsin ∠ACB,∴BC ＝1sin 60°×sin 15°＝32－66（km ）.设C 到直线AB 的距离为d ,则d ＝BC ·sin 75°＝32－66×6＋24＝36（km ）. 三、解答题（本大题共6小题,共70分）17.（10分）在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a ＝2,cos B ＝35.（1）若b ＝4,求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC ＝4,求b ,c 的值. 考点 正弦、余弦定理解三角形综合 题点 正弦、余弦定理解三角形综合 解 （1）∵cos B ＝35＞0,0<B <π,∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理a sin A ＝b sin B ,得sin A ＝a b sin B ＝25.（2）∵S △ABC ＝12ac sin B ＝45c ＝4,∴c ＝5.由余弦定理,得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17,∴b ＝17.18.（12分）在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知△ABC 的面积为315,b －c ＝2,cos A ＝－14.（1）求a 和sin C 的值； （2）求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值. 考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合 解 （1）在△ABC 中,由cos A ＝－14,可得sin A ＝154. 由S △ABC ＝12bc sin A ＝315,得bc ＝24.又由b －c ＝2,解得b ＝6,c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,可得a ＝8. 由a sin A ＝c sin C ,得sin C ＝158. （2）cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6＝32（2cos 2A －1）－12×2sin A ·cos A ＝15－7316. 19.（12分）在△ABC 中,a ＝3,b ＝26,B ＝2A . （1）求cos A 的值； （2）求c 的值.考点 正弦、余弦定理解三角形综合 题点 正弦、余弦定理解三角形综合 解 （1）在△ABC 中,由正弦定理,得 a sin A ＝b sin B ,∴3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A , ∴cos A ＝63. （2）由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,得 32＝（26）2＋c 2－2×26c ×63, 则c 2－8c ＋15＝0.∴c ＝5或c ＝3. 当c ＝3时,a ＝c ,∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π,知B ＝π2,与a 2＋c 2≠b 2矛盾.∴c ＝3舍去.故c 的值为5.20.（12分）已知△ABC 的角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,设向量m ＝（a ,b ）,n ＝（sin B ,sin A ）,p ＝（b －2,a －2）.（1）若m ∥n ,求证：△ABC 为等腰三角形； （2）若m ⊥p ,边长c ＝2,角C ＝π3,求△ABC 的面积.考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与平面向量的综合 （1）证明 ∵m ∥n ,∴a sin A ＝b sin B , 由正弦定理,得a 2＝b 2,∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形.（2）解 由题意知m ·p ＝0,即a （b －2）＋b （a －2）＝0. ∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知,4＝a 2＋b 2－ab ＝（a ＋b ）2－3ab , 即（ab ）2－3ab －4＝0. ∴ab ＝4（ab ＝－1舍去）,∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.21.（12分）如图,已知A ,B ,C 是一条直路上的三点,AB 与BC 各等于1 km,从三点分别遥望塔M ,在A 处看见塔在北偏东45°方向,在B 处看见塔在正东方向,在C 处看见塔在南偏东60°方向,求塔到直路ABC 的最短距离.考点 解三角形求距离 题点 测量方向角求距离解 由题意得∠CMB ＝30°,∠AMB ＝45°, ∵AB ＝BC ＝1,∴S △MAB ＝S △MBC ,即12MA ×MB ×sin 45°＝12MC ×MB ×sin 30°, ∴MC ＝2MA ,在△MAC 中,由余弦定理,得 AC 2＝MA 2＋MC 2－2MA ×MC ×cos 75°, ∴MA 2＝43－22cos 75°,设M 到AB 的距离为h ,则由△MAC 的面积得 12MA ×MC ×sin 75°＝12AC ×h , ∴h ＝2MA 22×sin 75°＝22×43－22cos 75°×sin 75°＝7＋5313（km ）. ∴塔到直路ABC 的最短距离为7＋5313km.22.（12分）如图所示,在扇形AOB 中,∠AOB 的大小为π3,半径为2,在半径OA 上有一动点C （不与O ,A 重合）,过点C 作平行于OB 的直线交AB 于点P .（1）若C 是半径OA 的中点,求线段PC 的长；（2）若∠COP ＝θ,求△POC 面积的最大值及此时θ的值.考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角函数的综合 解 （1）在△POC 中,∠OCP ＝2π3,OP ＝2,OC ＝1,由OP 2＝OC 2＋PC 2－2OC ·PC cos 2π3, 得PC 2＋PC －3＝0, 解得PC ＝13－12. （2）∵CP ∥OB ,∴∠CPO ＝∠POB ＝π3－θ.在△POC 中,由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CPsin θ,即2sin2π3＝CP sin θ, ∴CP ＝43sin θ, 又OC sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝OPsin 2π3, ∴OC ＝43sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ. 记△POC 的面积为S , 则S ＝12CP ·OC ·sin 2π3＝12×43sin θ×43sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ×32 ＝43sin θ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ ＝43sin θ·⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ ＝2sin θcos θ－23sin 2θ ＝sin 2θ＋33cos 2θ－33＝233sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6－33, ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3,∴2θ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6,∴当2θ＋π6＝π2, 即θ＝π6时,S 取得最大值,最大值为33.。

模块综合试卷（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分） 1.已知a ＞b ,则下列不等式成立的是（ ） A.a 2－b 2＞0 B.ac ＞bc C.ac 2＞bc 2 D.2a ＞2b考点 不等式的性质 题点 不等式的性质 【参考答案】D【试题解析】A 中,当a ＝0,b ＝－1时,a 2－b 2＝0－1＝－1<0,所以A 错误.B 中,当c ＝0时,ac ＝bc ＝0,所以B 错.C 中,当c ＝0时,ac 2＝bc 2＝0,C 错.D 中,因为y ＝2x 为单调递增函数,所以当a ＞b 时,2a ＞2b 成立.2.在△ABC 中,A <B <C ,且C ≠π2,则下列结论中正确的是（ ）A.tan A <tan CB.tan A ＞tan CC.sin A <sin CD.cos A <cos C 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用 【参考答案】C【试题解析】由大边对大角及A <B <C ,可得a <c ,由正弦定理得,2R sin A <2R sin C ,所以sin A <sin C .3.已知a ＞b ＞0,c ＞d ＞0,则（ ） A.c a ＞d bB.ac ＞bdC.a －c ＞b －dD.b c ＞ad 考点 不等式的性质 题点 不等式的性质 【参考答案】B4.在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4,则cos C 的值为（ ） A.23 B.－23 C.14 D.－14 考点 正弦定理及其变形应用 题点 正弦定理的变形应用【参考答案】D【试题解析】∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4, ∴a ∶b ∶c ＝3∶2∶4,设a ＝3k ,则b ＝2k ,c ＝4k ,k ＞0, ∴cos C ＝(3k )2＋(2k )2－(4k )22·(3k )·(2k )＝－14.5.已知等比数列{a n }的各项均为正数,公比q ≠1,设P ＝a 3＋a 92,Q ＝a 5·a 7,则P 与Q 的大小关系是（ ） A.P ＞Q B.P <Q C.P ＝QD.无法确定考点 基本不等式比较大小 题点 利用基本不等式比较大小 【参考答案】A【试题解析】由题设知a n ＞0,q ＞0且q ≠1,所以a 3≠a 9,a 3＞0,a 9＞0,P ＝a 3＋a 92＞a 3·a 9,因为a 3·a 9＝a 5·a 7,所以P ＞Q .6.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，x －1≤0，则目标函数z ＝3x －2y 的最小值为（ ）A.－5B.－4C.－2D.3 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 【参考答案】B【试题解析】由约束条件可得可行域（如图阴影部分含边界所示）,对于目标函数z ＝3x －2y ,可化为y ＝32x －12z ,要使z 取最小值,可知过A 点时取得.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即A （0,2）, ∴z min ＝3×0－2×2＝－4.7.等差数列{a n }的公差d <0,且a 21＝a 211,则数列{a n }的前n 项和S n 取最大值时的项数n 是（ ）A.5B.6C.5或6D.6或7 考点 等差数列前n 项和最值 题点 求等差数列前n 项和的最值 【参考答案】C【试题解析】由题设可知a 1＝－a 11,所以a 1＋a 11＝0,所以a 6＝0.因为d <0,故a 5＞0,a 7<0,所以n ＝5或6.8.如图,目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB （含边界）,若C ⎝⎛⎭⎫23，45是该目标函数z ＝ax －y 的最优解,则a 的取值范围是（ ）A.⎝⎛⎭⎫－103，－512B.⎝⎛⎭⎫－125，－310 C.⎝⎛⎭⎫310，125D.⎝⎛⎭⎫－125，310 考点 线性目标最优解 题点 线性规划的理解 【参考答案】B【试题解析】利用目标函数的斜率a 与最优点为C ,依线性规划知识知－125<a <－310.9.已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a ＝2,且（2＋b ）（sin A －sin B ）＝（c －b ）sin C ,则△ABC 面积的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C.2 D. 5考点 面积与周长的最值或取值范围问题 题点 面积的最值或取值范围 【参考答案】B【试题解析】由a ＝2,且（2＋b ）（sin A －sin B ）＝（c －b ）sin C ,故（a ＋b ）（sin A －sin B ）＝（c －b ）sin C ,又根据正弦定理,得（a ＋b ）（a －b ）＝（c －b ）c ,化简得b 2＋c 2－a 2＝bc ,故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12,所以A ＝60°,又b 2＋c 2－bc ＝4≥bc ,故S △ABC ＝12bc sin A ≤3（当且仅当b＝c 时,取等号）.10.已知锐角三角形的边长分别为2,4,x ,则x 的取值范围是（ ） A.1<x < 5 B.5<x <13 C.1<x <2 5D.23<x <2 5 考点 判断三角形形状题点 已知三角形形状求边的取值范围 【参考答案】D【试题解析】由于△ABC 为锐角三角形,故有⎩⎪⎨⎪⎧22＋42>x 2，22＋x 2>42，解得23<x <2 5.11.若在等差数列{a n }中,d ＝－2,a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 31＝50,那么a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42的值为（ ）A.60B.－82C.182D.－96 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 【参考答案】B【试题解析】a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42 ＝a 1＋d ＋a 4＋2d ＋a 7＋3d ＋…＋a 31＋11d＝（a 1＋a 4＋…＋a 31）＋（d ＋2d ＋3d ＋…＋11d ） ＝50＋11×122d ＝50＋66d ＝－82.12.设正实数x ,y ,z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0,则当xy z 取得最大值时,2x ＋1y －2z 的最大值是（ ）A.0B.1C.94 D.3【参考答案】B【试题解析】xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1, 当且仅当x ＝2y 时等号成立,此时z ＝2y 2,2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y ＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1, 当且仅当y ＝1时等号成立,故所求的最大值为1. 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13.已知不等式x 2＋bx －b －34＞0的解集为R ,则b 的取值范围是________.考点 一元二次不等式的应用 题点 已知解集求参数的取值范围 【参考答案】（－3,－1）【试题解析】由题意知b 2－4⎝⎛⎭⎫－b －34<0,即b 2＋4b ＋3<0,所以－3<b <－1. 14.在等差数列{a n }中,若a 1－a 4－a 8－a 12＋a 15＝2,则S 15＝________. 考点 等差数列的性质题点 利用等差数列项数的规律解题 【参考答案】－30【试题解析】因为a 4＋a 12＝a 1＋a 15＝2a 8,所以a 8＝－2.所以S 15＝a 1＋a 152×15＝a 8×15＝－2×15＝－30.15.在△ABC 中,已知AB ＝2,AC ＝3,A ＝60°.则sin 2C ＝________. 考点 用余弦定理解三角形 题点 已知两边及其夹角解三角形 【参考答案】437【试题解析】由余弦定理知,BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7,所以BC＝7.由正弦定理知,AB sin C ＝BC sin A ,所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB <BC ,所以C 为锐角,则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C cos C ＝2×217×277＝437. 16.若a ,b ∈R ,ab ＞0,则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.考点 基本不等式求最值 题点 利用基本不等式求最值 【参考答案】4【试题解析】a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4,前一个等号成立的条件是a 2＝2b 2,后一个等号成立的条件是ab ＝12,两个等号可以同时成立,当且仅当a 2＝22,b 2＝24时取等号.三、解答题（本大题共6小题,共70分）17.（10分）在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c . （1）若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A ,求A 的值； （2）若cos A ＝13,b ＝3c ,求sin C 的值.考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合解 （1）由题意知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A ,从而sin A ＝3cos A ,且cos A ≠0,所以tanA ＝3,因为0<A <π,所以A ＝π3.（2）由cos A ＝13,b ＝3c ,及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,得b 2＝a 2＋c 2,所以△ABC 是直角三角形,且B ＝π2,所以sin C ＝cos A ＝13.18.（12分）某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张240元,使用规定：不记名,每卡每次只限1人,每天只限1次.某班有48名学生,老师打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次还要包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的车费均为40元.若使每个同学游8次,则购买几张游泳卡最合算？每人最少交多少钱？ 考点 基本不等式的实际应用 题点 基本不等式的实际应用解 设购买x 张游泳卡,则游泳活动总支出为y ＝48×8x ×40＋240x ,即y ＝240⎝⎛⎭⎫64x ＋x （x ∈N *）. 所以y ＝240⎝⎛⎭⎫64x ＋x ≥240×264x·x ＝3 840, 当且仅当64x ＝x ,即x ＝8时,最合算,每人最少交钱3 84048＝80（元）.即购买8张游泳卡最合算,每人最少交80元.19.（12分） 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,等比数列{b n }的前n 项和为T n （n ∈N *）,a 1＝－1,b 1＝1,a 2＋b 2＝2.（1）若a 3＋b 3＝5,求{b n }的通项公式； （2）若T 3＝21,求S 3. 考点 等差等比数列综合应用 题点 等差等比基本量问题综合 解 设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则a n ＝－1＋（n －1）d ,b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.①（1）由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝3，q ＝0（舍去）,⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1（n ∈N *）.（2）由b 1＝1,T 3＝21,得q 2＋q －20＝0, 解得q ＝－5,q ＝4,当q ＝－5时,由①得d ＝8,则S 3＝21, 当q ＝4时,由①得d ＝－1,则S 3＝－6.20.（12分） 已知△ABC 的外接圆半径为1,且角A ,B ,C 成等差数列,若角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,求a 2＋c 2的取值范围.考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角函数的综合解 由A ,B ,C 成等差数列,得2B ＝A ＋C ,又A ＋B ＋C ＝180°,所以B ＝60°,A ＋C ＝120°.设A ＝60°＋α,得C ＝60°－α.由0°<A <120°,0°<C <120°,得－60°<α<60°. 由正弦定理,得a ＝2R sin A ＝2sin A ,c ＝2R sin C ＝2sin C . 所以a 2＋c 2＝4（sin 2A ＋sin 2C ）＝4⎝⎛⎭⎫1－cos 2A 2＋1－cos 2C 2＝4－2（cos 2A ＋cos 2C ）＝4－2[cos （120°＋2α）＋cos （120°－2α）]＝4＋2cos 2α. 因为－60°<α<60°,所以－120°<2α<120°. 所以－12<cos 2α≤1.所以a 2＋c 2∈（3,6].21.（12分） 若关于x 的不等式（2x －1）2<ax 2的解集中的整数恰有3个,求实数a 的取值范围.考点 “三个二次”间对应关系的应用 题点 由“三个二次”的对应关系求参数值 解 原不等式可化为（4－a ）x 2－4x ＋1<0（a ＞0）,由于该不等式的解集中的整数恰有3个,则有4－a ＞0,即a <4,故0<a <4, 解不等式有2－a 4－a <x <2＋a 4－a ,即2－a (2＋a )(2－a )<x <2＋a(2＋a )(2－a ),亦即14<12＋a <12<12－a 且12＋a <x <12－a,要使该不等式的解集中的整数恰有3个,那么3<12－a<4,解得259<a <4916.22.（12分） 电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ,y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（1）用x ,y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域； （2）问电视台每周播放甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多？ 考点 生活实际中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用解 （1）由已知x ,y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ∈N ，y ∈N .该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分内的整点（包括边界）：（2）设总收视人次为z 万,则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ,将它变形为y ＝－125x ＋z 25,这是斜率为－125,随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距,当z25取得最大值时,z 的值最大. 又因为x ,y 满足约束条件,所以由图可知,当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时,截距z 25最大,即z 最大.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为（6,3）,所以,电视台每周播放甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.。

第2课时 等比数列前n 项和的性质及应用学习目标 1.理解等比数列前n 项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.3.会用错位相减法求和.知识点一 等比数列前n 项和公式的函数特征思考 若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1,那么数列{a n }是不是等比数列？若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－1呢？【参考答案】当S n ＝2n －1时,a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －1，n ≥2n ∈N *是等比数列；当S n ＝2n ＋1－1时,a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2n ∈N *不是等比数列.梳理 当公比q ≠1时,设A ＝a 1q －1,等比数列的前n 项和公式是S n ＝A （q n －1）.即S n 是n 的指数型函数.当公比q ＝1时,因为a 1≠0,所以S n ＝na 1,S n 是n 的正比例函数. 知识点二 等比数列前n 项和的性质思考 若公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 成等比数列吗？ 【参考答案】设{a n }的公比为q ,则S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 都不为0, S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n , S 2n －S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n ＝a 1q n ＋a 2q n ＋…＋a n q n ＝q n S n , S 3n －S 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n ＝a n ＋1q n ＋a n ＋2q n ＋…＋a 2n q n ＝q n （S 2n －S n ）,∴S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 成等比数列,公比为q n . 梳理 等比数列{a n }前n 项和的三个常用性质（1）数列{a n }为公比不为－1的等比数列,S n 为其前n 项和,则S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 仍构成等比数列.（2）若{a n }是公比为q 的等比数列,则S n ＋m ＝S n ＋q n S m （n ,m ∈N *）.（3）若{a n }是公比为q 的等比数列,S 偶,S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,则：①在其前2n 项中,S 偶S 奇＝q ；②在其前2n ＋1项中,S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋… －a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋21＋q（q ≠－1）.1.对于公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和公式,其q n 的系数与常数项互为相反数.（√）2.当{a n }为等差数列,{b n }为公比不是1的等比数列时,求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和,适用错位相减法.（√）类型一 等比数列前n 项和公式的函数特征应用例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1（a 是不为零且不等于1的常数）,求证：数列{a n }为等比数列.考点 等比数列前n 项和 题点 等比数列前n 项和综合问题证明 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝（a －1）·a n －1；当n ＝1时,a 1＝a －1,满足上式, ∴a n ＝（a －1）·a n －1,n ∈N *.∴a n ＋1a n＝a , ∴数列{a n }是等比数列.反思与感悟 （1）已知S n ,通过a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ,应特别注意n ≥2时,a n ＝S n－S n －1.（2）若数列{a n }的前n 项和S n ＝A （q n －1）,其中A ≠0,q ≠0且q ≠1,则{a n }是等比数列. 跟踪训练1 若{a n }是等比数列,且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ,则t ＝________.考点 等比数列前n 项和 题点 等比数列前n 项和综合问题 【参考答案】－13【试题解析】显然q ≠1,此时应有S n ＝A （q n －1）,又S n ＝13·3n ＋t ,∴t ＝－13.类型二 等比数列前n 项和的性质 命题角度1 连续n 项之和问题例2 已知等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别为S n ,S 2n ,S 3n ,求证：S 2n ＋S 22n ＝S n （S 2n ＋S 3n ）. 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列证明 方法一 设此等比数列的公比为q ,首项为a 1, 当q ＝1时,S n ＝na 1,S 2n ＝2na 1,S 3n ＝3na 1,∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21,S n （S 2n ＋S 3n ）＝na 1（2na 1＋3na 1）＝5n 2a 21,∴S 2n ＋S 22n ＝S n （S 2n ＋S 3n ）.当q ≠1时,S n ＝a 11－q（1－q n ）,S 2n ＝a 11－q （1－q 2n ）,S 3n ＝a 11－q（1－q 3n ）,∴S 2n ＋S 22n ＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·[（1－q n ）2＋（1－q 2n ）2] ＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·（1－q n ）2·（2＋2q n ＋q 2n ）.又S n （S 2n ＋S 3n ）＝⎝⎛⎭⎫a 11－q 2·（1－q n ）2·（2＋2q n ＋q 2n ）,∴S 2n ＋S 22n ＝S n （S 2n ＋S 3n ）.方法二 根据等比数列的性质有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n （1＋q n ）,S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ,∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋[S n （1＋q n ）]2＝S 2n （2＋2q n ＋q 2n ）, S n （S 2n ＋S 3n ）＝S 2n （2＋2q n ＋q 2n ）. ∴S 2n ＋S 22n ＝S n （S 2n ＋S 3n ）.反思与感悟 处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法（1）运用等比数列的前n 项和公式,要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形,在解有关的方程（组）时,通常用约分或两式相除的方法进行消元. （2）灵活运用等比数列前n 项和的有关性质.跟踪训练2 在等比数列{a n }中,已知S n ＝48,S 2n ＝60,求S 3n . 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 解 因为S 2n ≠2S n ,所以q ≠1,由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48，a 1(1－q2n)1－q＝60，①②②÷①得1＋q n ＝54,即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q＝64,所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 命题角度2 不连续n 项之和问题例3 已知等比数列{a n }的公比q ＝－13,则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于（ ）A.－3B.－13C.3D.13考点 等比数列前n 项和的性质 题点 等比数列奇偶项和的性质 【参考答案】A【试题解析】∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝a 1q ＋a 3q ＋a 5q ＋a 7q ＝q （a 1＋a 3＋a 5＋a 7） ∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝1q＝－3.反思与感悟 注意观察序号之间的联系,发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快.跟踪训练3 设数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列；数列{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,则1236a a a a b b b b ++++…＝________. 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 等比数列奇偶项和的性质 【参考答案】126 【试题解析】11111112,n n n nn na a a a a ab b q q b b q +++---⋅===⋅ ∴{n a b }是首项为b 2,公比为2的等比数列.12662(12)126.12a a ab b b b -∴+++==-…类型三 错位相减法求和例4 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和.考点 错位相减法求和 题点 错位相减法求和 解 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ,则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1,两式相减,得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1,即12S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .反思与感悟 一般地,如果数列{a n }是等差数列,{b n }是公比不为1的等比数列,求数列{a n b n }的前n 项和时,可采用错位相减法.跟踪训练4 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n （x ≠0）. 考点 错位相减求和 题点 错位相减求和解 当x ＝1时,S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；当x ≠1时,S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n , xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋（n －1）x n ＋nx n ＋1,∴（1－x ）S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1,∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得,S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，x ＝1，x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x ，x ≠1且x ≠0.1.已知等比数列{a n }的公比为2,且其前5项和为1,那么{a n }的前10项和等于（ ） A.31 B.33 C.35D.37考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 【参考答案】B【试题解析】设{a n }的公比为q ,由题意,q ＝2,a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1,则a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝q 5（a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5）＝q 5＝25＝32,∴S 10＝1＋32＝33.2.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16,则x 的值为（ ）A.13B.－13C.12D.－12考点 等比数列前n 项和 题点 等比数列前n 项和综合问题 【参考答案】C【试题解析】方法一 ∵S n ＝x ·3n －1－16＝x 3·3n －16,由S n ＝A （q n －1）,得x 3＝16,∴x ＝12,故选C.方法二 当n ＝1时,a 1＝S 1＝x －16；当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2x ·3n －2,∵{a n }是等比数列,∴n ＝1时也应适合a n ＝2x ·3n －2,即2x ·3－1＝x －16,解得x ＝12.3.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c ,等比数列{b n }的前n 项和T n ＝3n ＋d ,则向量a ＝（c ,d ）的模为（ ） A.1 B. 2 C. 3D.无法确定考点 等比数列前n 项和 题点 等比数列前n 项和综合问题 【参考答案】A【试题解析】由等差数列与等比数列的前n 项和公式知,c ＝0,d ＝－1,所以向量a ＝（c ,d ）的模为1.4.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若q ＝2,S 100＝36,则a 1＋a 3＋…＋a 99等于（ ） A.24 B.12 C.18 D.22 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 【参考答案】B【试题解析】设a 1＋a 3＋…＋a 99＝S ,则a 2＋a 4＋…＋a 100＝2S .∵S 100＝36,∴3S ＝36,∴S ＝12,∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝12.1.在利用等比数列前n 项和公式时,一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；若{a n }是等比数列,且a n ＞0,则{lg a n }构成等差数列.2.等比数列前n 项和中用到的数学思想 （1）分类讨论思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1＞0,q ＞1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0,q ＞1或a 1＞0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列.（2）函数思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n （q ＞0且q ≠1）常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1（q n －1）（q ≠1）.设A ＝a 1q －1,则S n ＝A （q n －1）与指数函数相联系.（3）整体思想：应用等比数列前n 项和公式时,常把q n ,a 11－q当成整体求解.一、选择题1.等比数列{a n }中,a 3＝3S 2＋2,a 4＝3S 3＋2,则公比q 等于（ ） A.2 B.12 C.4D.14考点 等比数列前n 项和的性质 题点 等比数列前n 项和性质综合 【参考答案】C【试题解析】∵a 3＝3S 2＋2,a 4＝3S 3＋2, ∴a 4－a 3＝3（S 3－S 2）＝3a 3,即a 4＝4a 3, ∴q ＝a 4a 3＝4,故选C.2.设{a n }是公比为q 的等比数列,S n 是它的前n 项和,若{S n }是等差数列,则q 等于（ ） A.1 B.0 C.1或0D.－1考点 等比数列前n 项和的性质 题点 等比数列前n 项和性质综合 【参考答案】A【试题解析】∵S n －S n －1＝a n ,又{S n }是等差数列, ∴a n 为定值,即数列{a n }为常数列, ∴q ＝a na n －1＝1.3.在等比数列{a n }中,已知S 30＝13S 10,S 10＋S 30＝140,则S 20等于（ ） A.90 B.70 C.40 D.30 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 【参考答案】C【试题解析】∵S 30≠3S 10,∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10，S 30＝130，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10，a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0,∴q 10＝3,∴S 20＝S 10（1＋q 10）＝10×（1＋3）＝40.4.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,若存在m ∈N *,满足S 2m S m ＝9,a 2m a m ＝5m ＋1m －1,则数列{a n }的公比为（ ）A.－2B.2C.－3D.3 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 【参考答案】B【试题解析】设公比为q ,若q ＝1,则S 2mS m ＝2,与题中条件矛盾,故q ≠1.∵S 2mS m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q＝q m ＋1＝9,∴q m ＝8. ∴a 2m a m ＝a 1q2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1, ∴m ＝3,∴q 3＝8,∴q ＝2.5.已知等比数列{a n }的公比为q ,记b n ＝a m （n －1）＋1＋a m （n －1）＋2＋…＋a m （n －1）＋m ,c n ＝a m （n －1）＋1· a m （n －1）＋2·…·a m （n －1）＋m （m ,n ∈N *）,则以下结论一定正确的是（ ） A.数列{b n }为等差数列,公差为q m B.数列{b n }为等比数列,公比为q 2m C.数列{c n }为等比数列,公比为qm 2 D.数列{c n }为等比数列,公比为qm m 考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 【参考答案】C【试题解析】∵{a n }是等比数列, ∴a mn ＋m a m (n －1)＋m＝q mn＋m －m （n －1）－m＝q m ,∴c n ＋1c n ＝a mn ＋1·a mn ＋2·…·a mn ＋ma m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m＝（q m ）m ＝2m q .6.设{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和,已知a 2a 4＝1,S 3＝7,则S 5等于（ ） A.152 B.314 C.334D.172考点 等比数列前n 项和的性质 题点 等比数列前n 项和性质综合 【参考答案】B【试题解析】∵{a n }是由正数组成的等比数列,且a 2a 4＝1, ∴设{a n }的公比为q ,则q ＞0,且a 23＝1,即a 3＝1. ∵S 3＝7,∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q＋1＝7,即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13（舍去）,∴a 1＝1q 2＝4.∴S 5＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝8⎝⎛⎭⎫1－125＝314.7.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1＝1,a n ＋1＝3S n （n ≥1,n ∈N *）,则a 6等于（ ） A.3×44 B.3×44＋1 C.45D.45＋1考点 等比数列前n 项和的性质 题点 等比数列前n 项和性质综合 【参考答案】A【试题解析】当n ≥1时,a n ＋1＝3S n ,则a n ＋2＝3S n ＋1, ∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1, 即a n ＋2＝4a n ＋1,∴该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍, 即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列.又a 2＝3S 1＝3a 1＝3,∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2，n ∈N *. ∴当n ＝6时,a 6＝3×46－2＝3×44.8.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3＝2,S 6＝18,则S 10S 5等于（ ）A.－3B.5C.－31D.33考点 等比数列前n 项和的性质 题点 连续m 项的和成等比数列 【参考答案】D【试题解析】由题意知公比q ≠1,S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q ＝1＋q 3＝9, ∴q ＝2,S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q ＝1＋q 5＝1＋25＝33. 二、填空题9.等比数列{a n }共2n 项,其和为－240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q ＝________.考点 等比数列前n 项和的性质题点 等比数列奇偶项和的性质【参考答案】2【试题解析】根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， ∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 10.已知首项为1的等比数列{a n }是摆动数列,S n 是{a n }的前n 项和,且S 4S 2＝5,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________.考点 等比数列前n 项和的性质题点 等比数列前n 项和性质综合【参考答案】1116【试题解析】S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝5,q ＝±2. ∵{a n }是摆动数列,∴q ＝－2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 首项为1,公比为－12, 前5项和为1·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－1251－⎝⎛⎭⎫－12＝1＋13232＝1116. 三、解答题11.已知等比数列{a n }中,a 1＝2,a 3＋2是a 2和a 4的等差中项.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n ＝a n log 2a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .考点 错位相减法求和题点 错位相减法求和解 （1）设数列{a n }的公比为q ,由题意知2（a 3＋2）＝a 2＋a 4,∴q 3－2q 2＋q －2＝0,即（q －2）（q 2＋1）＝0.∴q ＝2,即a n ＝2·2n －1＝2n ,n ∈N *. （2）由题意得,b n ＝n ·2n ,∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ,①2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋（n －1）·2n ＋n ·2n ＋1,②①－②,得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝－2－（n －1）·2n ＋1. ∴S n ＝2＋（n －1）·2n ＋1,n ∈N *. 12.中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征,测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一,再不实施“放开二胎”新政策,整个社会将会出现一系列的问题.若某地区2015年人口总数为45万,实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人.从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.（1）求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式；（注：2016年为第一年）（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万,则需调整政策,否则继续实施.问到2036年是否需要调整政策？考点 等比数列前n 项和应用题题点 等比数列前n 项和的应用题解 （1）当n ≤10时,数列{a n }是首项为45.5,公差为0.5的等差数列,所以a n ＝45.5＋0.5×（n －1）＝45＋0.5n .当n ≥11时,数列{a n }是以0.99为公比的等比数列.又a 10＝50,所以a n ＝50×0.99n －10,因此新政策实施后第n 年的人口总数a n （单位：万人）的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧45＋0.5n ，1≤n ≤10，n ∈N *50×0.99n －10，11≤n ≤20，n ∈N *. （2）设S n 为数列{a n }的前n 项和,则从2016年到2035年共20年,由等差数列及等比数列的求和公式得S 20＝S 10＋（a 11＋a 12＋…＋a 20）＝477.5＋4 950×（1－0.9910）≈950.8（万）,所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为S 2020≈47.54万. 因为S 2020<49,故到2036年不需要调整政策. 13.已知{a n }是以a 为首项,q 为公比的等比数列,S n 为它的前n 项和.（1）当S 1,S 3,S 4成等差数列时,求q 的值；（2）当S m ,S n ,S l 成等差数列时,求证：对任意自然数k ,a m ＋k ,a n ＋k ,a l ＋k 也成等差数列. 考点 等比数列前n 项和的性质题点 等比数列前n 项和性质综合（1）解 由已知,得a n ＝aq n －1,因此S 1＝a ,S 3＝a （1＋q ＋q 2）,S 4＝a （1＋q ＋q 2＋q 3）.当S 1,S 3,S 4成等差数列时,S 4－S 3＝S 3－S 1,可得aq 3＝aq ＋aq 2,化简得q 2－q －1＝0.解得q ＝1±52. （2）证明 若q ＝1,则{a n }的各项均为a ,此时a m ＋k ,a n ＋k ,a l ＋k 显然成等差数列.若q ≠1,由S m ,S n ,S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ,即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1, 整理得q m ＋q l ＝2q n .因此a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1（q m ＋q l ）＝2aq n ＋k －1＝2a n ＋k ,所以a m ＋k ,a n ＋k ,a l ＋k 成等差数列.四、探究与拓展14.数列{a n }满足：a 1＝43,且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n（n ∈N *）,则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 018a 2 018＝________. 考点 等比数列前n 项和的性质题点 等比数列前n 项和性质综合【参考答案】2 01723＋13×42 018【试题解析】由题意可知n ＋1a n ＋1＝34＋14·n a n, 即n ＋1a n ＋1－1＝14⎝⎛⎭⎫n a n －1, 又1a 1－1＝－14, 所以n a n ＝1－14n , 所以1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n ＝n －14⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14 ＝n －13＋13·14n , 则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 018a 2 018＝2 018－13＋13×142 018 ＝2 01723＋13×42 018.15.已知数列{a n}的前n项和S n＝3（2n－1）,数列{b n}的通项公式为b n＝5n－2.数列{a n}和{b n}的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{c n}.若数列{c n}的第n项恰为数列{a n}的第k n项,则数列{k n}的前32项的和是________.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合【参考答案】2 016【试题解析】当n≥2时,a n＝S n－S n－1＝3（2n－1）－3（2n－1－1）＝3×2n－1,当n＝1时,a1＝S1＝3,∴a n＝3×2n－1.令a t＝b s,∴3×2t－1＝5s－2,则s＝3×2t－1＋25.t＝1,s＝1,符合题意；t＝2,s＝85,不合题意；t＝3,s＝145,不合题意；t＝4,s＝265,不合题意；t＝5,s＝10,符合题意；…；∴{k n}是以1为首项,4为公差的等差数列,∴数列{k n}的前32项之和为32×1＋32×312×4＝2016.。