【学霸优课】2017数学(理)一轮对点训练：8-1-2 表面积 Word版含解析

1．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 答案 A解析 由题意知a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝3，不妨设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→·MF 2→＝x 20－3＋y 20＝3y 20－1<0，所以－33<y 0<33，故选A.2．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 A解析 如图所示，由题意知BC 为双曲线的通径，所以|BC |＝2b 2a ，则|BF |＝b 2a .又|AF |＝c －a ，因为BD ⊥AC ，DC ⊥AB ，所以点D 在x 轴上，由Rt △BF A ∽Rt △DFB ，得|BF |2＝|AF |·|FD |，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＝(c －a )·|FD |，所以|FD |＝b 4a 2(c －a )，则由题意知b 4a 2(c －a )<a ＋a 2＋b 2，即b4a 2(c －a )<a＋c ，所以b 4<a 2(c －a )(a ＋c )，即b 4<a 2(c 2－a 2)，即b 4<a 2b 2，所以0<b 2a 2<1，解得0<b a <1，而双曲线的渐近线斜率为±ba ，所以双曲线的渐近线斜率的取值范围是(－1,0)∪(0,1)，故选A.3．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433 B.233 C ．3 D ．2答案 A解析 解法一：设椭圆长半轴为a 1，双曲线实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c .由余弦定理4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3.而|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2，可得a 21＋3a 22＝4c 2.令a 1＝2c cos θ，a 2＝2c3sin θ，即a 1c ＋a 2c ＝2cos θ＋23sin θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ＋13sin θ＝433⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ＋12sin θ＝433sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3故最大值为433，故选A.解法二：不妨设P 在第一象限，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n .在△PF 1F 2中，由余弦定理得m 2＋n 2－mn ＝4c 2.设椭圆的长轴长为2a 1，离心率为e 1，双曲线的实轴长为2a 2，离心率为e 2，它们的焦距为2c ，则1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝m ＋n 2＋m －n 2c＝mc . ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 22＝m 2c 2＝4m 2m 2＋n 2－mn ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2－n m ＋1，易知⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2－nm ＋1的最小值为34.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 2max ＝433.故选A.4.已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .(1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；(2)若l 过点⎝⎛⎭⎪⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．解 (1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kb k 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9b k 2＋9.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k ，即k OM ·k ＝－9.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k >0，k ≠3.由(1)得OM 的方程为y ＝－9k x . 设点P 的横坐标为x P .由⎩⎨⎧y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2得x 2P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2＋9. 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝m (3－k )3，因此x M ＝k (k －3)m3(k 2＋9).四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP互相平分，即x P ＝2x M .于是±km3k 2＋9＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9)，解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7.因为k i >0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形．5. 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2bm x ＋b 2－1＝0.因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，①设M 为AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2， 代入直线方程y ＝mx ＋12 解得b ＝－m 2＋22m 2.② 由①②得m <－63或m >63.(2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12， 且O 到直线AB 的距离d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12时，等号成立． 故△AOB 面积的最大值为22.6．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)； (2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )． 设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ .点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．7．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l被椭圆E 截得的线段长为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，点(2，1)在椭圆E 上，因此，⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，c a ＝22.解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C ，D 两点． 如果存在定点Q 满足条件，则有|QC ||QD |＝|PC ||PD |＝1，即|QC |＝|QD |. 所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M ，N 两点， 则M ，N 的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．由|QM ||QN |＝|PM ||PN |，有|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1，解得y 0＝1或y 0＝2.所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只可能为(0,2)．下面证明：对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|P A ||PB |. 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k .易知，点B 关于y 轴对称的点B ′的坐标为(－x 2，y 2)． 又k QA ＝y 1－2x 1＝kx 1－1x 1＝k －1x 1，k OB ′＝y 2－2－x 2＝kx 2－1－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1，所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线． 所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|P A ||PB |.故存在与P 不同的定点Q (0,2)，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立．8．已知抛物线C 1：x 2＝4y 的焦点F 也是椭圆C 2：y 2a 2＋x2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，C 1与C 2的公共弦的长为2 6.(1)求C 2的方程；(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且AC →与BD →同向．①|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率；②设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M .证明：直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．解 (1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)．因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦的长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为x 2＝4y ，由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±6，32，所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①，②得a 2＝9，b 2＝8.故C 2的方程为y 29＋x28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)． ①因为AC →与BD →同向，且|AC |＝|BD |，所以AC →＝BD →，从而x 3－x 1＝x 4－x 2，即x 1－x 2＝x 3－x 4，于是(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 3＋x 4)2－4x 3x 4.③设直线方程有两种形式，第一种，y ＝kx ＋m ，注意斜率不存在的情况；第二种，x ＝ty ＋n .注意与x 轴平行的情况．设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y得x 2－4kx －4＝0.而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.④由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0.而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2.⑤将④，⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2，即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2，所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64，即直线l 的斜率为±64. ②证明：由x 2＝4y 得y ′＝x2，所以C 1在点A 处的切线方程为y－y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 1x 2－x 214.令y ＝0得x ＝x 12，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，0，所以FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12，－1.而F A →＝(x 1，y 1－1)，于是F A →·FM →＝x 212－y 1＋1＝x 214＋1>0，因此∠AFM 是锐角，从而∠MFD ＝180°－∠AFM 是钝角．故直线l 绕点F 旋转时，△MFD 总是钝角三角形．9．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0. 因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t4＝3，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)①证明：由(1)知F (1,0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0)， 因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1.由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8by 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1,0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)． 所以直线AE 过定点F (1,0)． ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0.设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)， 由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0.所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m2＝4(x 0＋1)x 0＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0.则△ABE 的面积S ＝12×4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0·⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＋2≥16，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．解 (1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )．则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－(－2)＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m .直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎨⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3. 所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3，又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ .②由①可得，|TF |＝m 2＋1， |PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(m 2＋1) [(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝(m 2＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24(m 2＋1)m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·(m 2＋3)2m 2＋1＝124·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥ 124·(4＋4)＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值．所以当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．11．如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标； (2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .解(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0.由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2km b 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2.又点P 在第一象限，故点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－a 2k b 2＋a 2k 2，b 2b 2＋a 2k 2. (2)证明：由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2k b 2＋a 2k 2＋b 2k b 2＋a 2k 21＋k2，整理得d ＝a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b2k 2. 因为a 2k 2＋b2k 2≥2ab ，所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k 2≤a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab＝a －b ， 当且仅当k 2＝ba 时等号成立．所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .12．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解 解法一：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以ba ＝2，所以c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca ＝ 5. (2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1. 设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a ，又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8， 因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2， 此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1. 以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝⎛⎭⎪⎫－m k ，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m 2＋k ，由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|得，12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 2－k －2m 2＋k ＝8， 即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 216＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)，又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.解法二：(1)同解法一．(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x ，得y 1＝2t 1－2m ，同理得y 2＝－2t1＋2m.设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)． 由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得 12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t1－2m ＋2t 1＋2m ＝8， 所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎨⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a 2＝1，得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0.因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0，即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0， 即(1－4m 2)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.解法三：(1)同解法一．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0， 因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m24－k 2，又因为△OAB 的面积为8， 所以12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝8， 又易知sin ∠AOB ＝45，所以25x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4.所以－m 24－k2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a 2＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0，因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0，即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 216＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.。

1．若幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫3，33，则其定义域为( )A ．{x |x ∈R ，且x >0}B ．{x |x ∈R ，且x <0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．R答案 A解析 设f (x )＝x α，∴3α＝33，α＝－12，f (x )＝x－12，∴其定义域为{x |x >0}，选A 项．2．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x13 ，②y ＝x 2，③y ＝x12 ，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x12 ，④y ＝x －1 C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x12 ，④y ＝x －1D ．①y ＝x13 ，②y ＝x12 ，③y ＝x 2，④y ＝x －1答案 B解析 ②的图象关于y 轴对称，②应为偶函数，故排除选项C 、D.①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A.选B.3．若f (x )＝x 23－x －12，则满足f (x )<0的x 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 令y 1＝x23 ，y 2＝x －12 ，则f (x )<0即为y 1<y 2.函数y 1＝x23 ，y 2＝x－12的图象如图所示，由图象知：当0<x <1时，y 1<y 2，所以满足f (x )<0的x 的取值范围是(0,1)．4.已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)·x －5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.答案 －1解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，－5m －3>0，解得m ＝－1.。

1.已知 m， n 是两条不一样直线，α，β是两个不一样平面，则以下命题正确的选项是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若 m， n 平行于同一平面，则m 与 n 平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若 m， n 不平行，则m 与 n 不行能垂直于同一平面答案D分析 A 中，垂直于同一个平面的两个平面可能订交也可能平行，故 A 错误； B 中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、订交或异面，故 B 错误； C 中，若两个平面订交，则一个平面内与交线平行的直线必定和另一个平面平行，故 C 错误； D 中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不行能垂直于同一个平面，故 D 正确．2．以下图，在多面体 A 1B 1D 1DCBA中，四边形AA 1B1B ， ADD1A 1，ABCD均为正方形， E 为B 1D1的中点，过 A 1， D， E 的平面交CD1于 F.(1)证明： EF∥ B1C；(2)求二面角E－ A1D －B 1的余弦值．解 (1)证明：由正方形的性质可知A 1B1∥ AB ∥ DC，且 A 1B1＝ AB ＝ DC，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，进而 B1C∥ A 1D ，又 A 1D? 面 A 1DE，B 1C?面 A 1DE ，于是 B 1C∥面 A 1DE. 又 B1C? 面 B 1CD 1，面 A 1DE∩面 B 1CD 1＝ EF，所以 EF∥ B1C.(2)由于四边形AA 1B1B ， ADD 1A 1，ABCD均为正方形，所以AA 1⊥ AB ， AA 1⊥AD ，→→→AB ⊥ AD 且 AA 1＝ AB ＝AD ，以 A 为原点，分别以AB ， AD ，AA 1为 x 轴， y 轴和 z 轴单位正向量成立以下图的空间直角坐标系，可得点的坐标 A(0,0,0) ，B(1,0,0) ，D(0,1,0) ，A 1(0,0,1) ， B 1(1,0,1) ， D1 (0,1,1) ，而 E 点为 B 1D1的中点，所以 E 点的坐标为 (0.5,0.5,1) ．→→设面 A 1DE 的法向量 n1＝ (r1，s1，t1)，而该面上向量 A 1E＝ (0.5,0.5,0) ，A 1D ＝ (0,1，－ 1)，→→0.5r1＋0.5s1＝ 0，n1＝ (－ 1,1,1)．由 n1⊥ A 1E， n1⊥ A 1D得(－1,1,1) 为其一组解，所以可取s1－t1＝ 0，→→设面 A 1B 1CD 的法向量 n2＝(r 2，s2，t2) ，而该面上向量 A 1B1＝(1,0,0) ，A 1D ＝(0,1，－ 1)，由此同理可得n2＝ (0,1,1) ．所以联合图形知二面角E－ A 1D －B 1的余弦值为|n1·n2| ＝2＝6.|n1 | |n·2|3× 233．如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD是矩形， AB ⊥平面 BEC ，BE⊥ EC，AB ＝ BE ＝ EC＝ 2， G， F 分别是线段 BE ， DC 的中点．(1)求证： GF∥平面 ADE ；(2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值．解法一(1)证明：如图，取AE 的中点 H，连结 HG ， HD，又G是 BE的中点，1所以 GH ∥ AB ，且 GH ＝2AB.又 F是 CD 的中点，1所以 DF ＝2CD.由四边形 ABCD 是矩形得，AB ∥CD ， AB ＝ CD，所以 GH ∥ DF，且 GH ＝ DF，进而四边形HGFD 是平行四边形，所以GF∥ DH.又 DH ? 平面 ADE ， GF?平面 ADE ，所以 GF∥平面 ADE.(2)如图，在平面 BEC 内，过 B 点作 BQ ∥ EC.由于 BE ⊥CE，所以 BQ⊥ BE.又由于 AB ⊥平面 BEC ，所以 AB ⊥ BE ，AB ⊥ BQ.→→→以 B 为原点，分别以 BE ， BQ，BA 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向成立空间直角坐标系，则 A(0,0,2) ，B(0,0,0) ， E(2,0,0) ， F(2,2,1) ．由于 AB ⊥平面 BEC ，→所以 BA ＝ (0,0,2) 为平面 BEC 的法向量．设 n ＝(x ， y ， z)为平面 AEF 的法向量．→ →又 AE ＝ (2,0，－ 2)， AF ＝ (2,2，－ 1)，→n ·AE ＝ 0，2x － 2z ＝ 0， 由得→2x ＋ 2y － z ＝ 0，n ·AF ＝ 0，取 z ＝2，得 n ＝ (2，－ 1,2)．→→n ·BA 4 2进而 cos 〈 n ， BA 〉＝→ ＝ 3×2＝ 3， |n| |BA · |所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为23.解法二 (1)证明：以以下图，取 AB 中点 M ，连结 MG ， MF.又 G 是 BE 的中点，可知 GM ∥AE.又 AE ? 平面 ADE ，GM ?平面 ADE ，所以 GM ∥平面 ADE.在矩形 ABCD 中，由 M ， F 分别是 AB ，CD 的中点得MF ∥ AD.又 AD ? 平面 ADE ，MF?平面 ADE ，所以 MF ∥平面 ADE.又由于 GM ∩MF ＝ M ， GM ? 平面 GMF ，MF ? 平面 GMF ，所以平面 GMF ∥平面 ADE.由于 GF? 平面 GMF ，所以 GF∥平面 ADE.(2)同解法一．4．一个正方体的平面睁开图及该正方体的直观图的表示图以下图．在正方体中，设BC 的中点为M ， GH 的中点为N.(1)请将字母F， G， H 标志在正方体相应的极点处( 不需说明原因 )；(2)证明：直线MN ∥平面 BDH ；(3)求二面角 A －EG－ M 的余弦值．解 (1)点 F， G， H 的地点以以下图所示．(2)证明：连结BD ，设 O 为由于 M，N 分别是 BC，GH BD 的中点，连结的中点，OM ， OH.所以OM ∥ CD，且1OM ＝2CD，1HN ∥CD ，且 HN ＝2CD.所以 OM ∥HN，OM ＝HN.所以 MNHO 是平行四边形，进而MN ∥ OH.又 MN ?平面 BDH ，OH? 平面 BDH ，所以 MN ∥平面 BDH.(3)解法一：连结AC ，过 M 作 MP⊥ AC 于 P.在正方体 ABCD －EFGH 中， AC ∥ EG，所以 MP ⊥EG.过 P 作 PK⊥EG 于 K，连结 KM.所以 EG⊥平面 PKM ，进而 KM ⊥ EG.所以∠ PKM 是二面角 A －EG－ M 的平面角．设 AD ＝ 2，则 CM ＝ 1，PK＝ 2.2在 Rt△CMP 中， PM ＝ CMsin45°＝2 .在 Rt△PKM 中， KM ＝PK 2＋ PM 2＝322.PK 22所以 cos∠ PKM ＝KM＝ 3 .2 2即二面角 A － EG－ M 的余弦值为3 .→→→解法二：以以下图，以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DH 的方向为 x， y，z 轴的正方向，成立空间直角坐标系 D－ xyz.设 AD ＝ 2，则 M(1,2,0) ，G(0,2,2) ，E(2,0,2) ， O(1,1,0) ，→→所以 GE＝ (2，－ 2,0)，MG ＝ (－ 1,0,2)．设平面 EGM 的一个法向量为n1＝ (x， y， z)，→n1·GE＝ 0，2x－ 2y ＝ 0，由得→－x＋ 2z＝ 0，n1·MG ＝ 0，取 x＝2，得 n1＝ (2,2,1) ．在正方体 ABCD －EFGH 中， DO ⊥平面 AEGC ，→则可取平面 AEG 的一个法向量为n2＝ DO＝(1,1,0) ．所以 cos〈 n ， n 〉＝n1·n2＝2＋ 2＋0＝22，12|n1| |n·2|4＋ 4＋1× 1＋ 1＋ 032 2故二面角 A － EG－ M 的余弦值为.35．如图，在三棱台DEF－ ABC 中， AB ＝ 2DE ，G，H 分别为 AC ， BC 的中点．(1)求证： BD ∥平面 FGH；(2)若 CF ⊥平面 ABC ， AB ⊥BC， CF＝ DE ，∠ BAC ＝ 45°，求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角 (锐角 )的大小．解 (1)证法一：连结 DG ， CD ，设 CD∩GF ＝ O，连结 OH.在三棱台 DEF －ABC 中，AB ＝ 2DE， G 为 AC 的中点，可得 DF ∥ GC， DF＝ GC，所以四边形DFCG 为平行四边形．则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以 OH ∥ BD.又 OH? 平面 FGH ， BD ?平面 FGH，所以 BD ∥平面 FGH.证法二：在三棱台DEF －ABC 中，由 BC ＝2EF， H 为 BC 的中点，可得 BH ∥ EF， BH ＝ EF，所以四边形 BHFE 为平行四边形，可得 BE ∥ HF.在△ ABC 中， G 为 AC 的中点， H 为 BC 的中点，所以 GH ∥ AB.又 GH∩HF ＝H ，所以平面 FGH∥平面 ABED.由于 BD ? 平面 ABED ，所以 BD ∥平面 FGH.(2)解法一：设AB ＝ 2，则 CF＝ 1.在三棱台 DEF －ABC 中，G 为 AC 的中点，1由 DF＝2AC ＝GC，可得四边形DGCF 为平行四边形，所以 DG ∥ FC.又 FC⊥平面 ABC ，所以 DG⊥平面 ABC.连结 GB ，在△ ABC 中，由 AB ⊥ BC ，∠ BAC ＝45°， G 是 AC 中点，所以 AB ＝ BC， GB⊥GC，所以 GB ， GC， GD 两两垂直．以 G 为坐标原点，成立以下图的空间直角坐标系G－ xyz.所以 G(0,0,0) ，B( 2， 0,0)， C(0 ，2，0) ，D(0,0,1) ．可得 H2，2， 0 ， F(0，2， 1)．22→2，2， 0→故 GH＝， GF＝ (0，2， 1)设 n＝ (x， y， z)是平面 FGH 的法向量，则22→n·GH＝ 0，x＋y＝ 0，由可得→2y＋ z＝ 0.n·GF＝ 0，可得平面 FGH 的一个法向量n＝ (1，－ 1， 2)．→→由于 GB是平面 ACFD的一个法向量， GB＝ (2， 0,0)，→→GB·n 2＝1.所以 cos〈 GB， n〉＝＝→2 2 2|GB| ·|n|所以平面 FGH 与平面 ACFD所成角 (锐角 )的大小为 60°.解法二：作HM ⊥ AC 于点 M ，作 MN ⊥ GF 于点 N，连结 NH， BG.由 FC⊥平面 ABC ，得 HM ⊥ FC.又 FC∩AC ＝ C，所以 HM ⊥平面 ACFD ，所以 GF⊥ NH ，所以∠ MNH 即为所求的角．1 2设 AB ＝ 2，在△ BGC 中， MH ∥BG， MH ＝2BG ＝2，由△ GNM ∽△ GCF，可得MNFC＝GMGF，6进而 MN＝.由 HM ⊥平面 ACFD ， MN ? 平面 ACFD ，得 HM⊥MN，所以 tan∠MNH ＝HM＝3，MN所以∠ MNH ＝ 60°.所以平面 FGH 与平面 ACFD 所成角 (锐角 )的大小为60°.6．如图，四棱锥P－ ABCD 中，底面ABCD 为矩形， PA⊥平面 ABCD ， E 为 PD 的中点．(1)证明： PB∥平面 AEC ；(2)设二面角 D －AE － C 为 60°， AP＝ 1， AD ＝3，求三棱锥E－ACD 的体积．解 (1)证明：连结 BD 交 AC 于点 O，连结 EO.由于 ABCD 为矩形，所以O 为 BD 的中点．又 E 为 PD 的中点，所以EO∥ PB.EO? 平面 AEC ，PB ?平面 AEC ，所以 PB ∥平面 AEC.(2)由于 PA⊥平面 ABCD ， ABCD 为矩形，所以AB ， AD ，AP两两垂直．→→如图，以 A 为坐标原点， AB 的方向为 x 轴的正方向， |AP|为单位长，成立空间直角坐标系A － xyz.31→13则 D(0，3， 0)， P(0,0,1)， E 0，2，2，AE＝0，2，2.→设 B(m,0,0)(m>0) ，则 C(m ， 3， 0)， AC ＝ (m， 3， 0)，设 n1＝ (x，y， z)为平面 ACE 的法向量，→mx＋3y ＝ 0，n1·AC ＝ 0，则即31→2 y＋2z＝ 0，n1·AE ＝0，可取 n1＝3，－ 1， 3. m又 n2＝ (1,0,0) 为平面 DAE 的法向量，由题设 |cos〈 n1， n2〉 |＝1，即32＝1，23＋ 4m2解得 m＝3.由于 E 为 PD 的中点，所以三棱锥E－ ACD 的高为1.三棱锥 E－ ACD 的体积2211313 V＝×× 3××＝8.32227．如图，在四棱柱 ABCD － A 1B 1C1D1中，底面 ABCD 是等腰梯形，∠ DAB ＝ 60°，AB＝2CD ＝ 2，M 是线段 AB 的中点．(1)求证： C1M ∥平面 A 1ADD 1；(2)若 CD 1垂直于平面ABCD 且 CD 1＝3，求平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的角 (锐角 )的余弦值．解 (1)证明：由于四边形 ABCD 是等腰梯形，且 AB ＝ 2CD ，所以 AB ∥ DC.又由 M 是 AB 的中点，所以 CD ∥ MA 且 CD＝ MA. 连结AD 1，在四棱柱ABCD － A 1B 1C1D1中，由于 CD ∥ C1D1， CD ＝ C1D 1，可得 C1D 1∥ MA ， C1D 1＝ MA ，所以四边形AMC 1D1为平行四边形．所以 C1M ∥ D1A ，又 C1M ?平面 A 1ADD 1， D1A ? 平面 A 1ADD 1，所以 C1M ∥平面 A 1ADD 1.(2)解法一：连结 AC ， MC ，由 (1) 知， CD∥ AM 且 CD＝ AM ，所以四边形 AMCD 为平行四边形．可得 BC ＝ AD ＝ MC ，由题意∠ ABC ＝∠ DAB ＝ 60°，所以△ MBC 为正三角形，所以AB ＝ 2BC＝ 2，CA ＝ 3，所以 CA ⊥ CB.以 C 为坐标原点，成立以下图空间直角坐标系C－ xyz.所以 A(3， 0,0)， B(0,1,0) ，D 1(0,0，3)．31所以M，，0，→31→→13所以MD 1＝－ 2，－2， 3 ，D1C1＝MB ＝(－2，2， 0).设平面 C1D1 M 的一个法向量n＝ (x， y， z)，→n·D 1C1＝0，3x－ y＝ 0，由得→3x＋ y－ 2 3z＝ 0，n·MD 1＝ 0，可得平面 C1 D1M 的一个法向量 n＝(1 ，3，1)．→→→CD 1·n5又 CD1＝ (0,0，3)为平面 ABCD 的一个法向量．所以cos〈CD 1， n〉＝＝→ 5.|CD1||n|所以平面 C1 D1M 和平面 ABCD 所成的角 (锐角 )的余弦值为5 5.解法二：由 (1) 知平面 D 1C1M∩平面 ABCD ＝ AB ，过 C 向 AB 引垂线交 AB 于 N，连结 D1N.由 CD 1⊥平面 ABCD ，可得 D 1N⊥ AB ，所以∠ D 1NC 为二面角 C1－ AB － C 的平面角．在 Rt△BNC 中， BC ＝ 1，∠ NBC ＝ 60°，可得 CN＝32.2215所以 ND 1＝ CD1＋ CN＝ 2.3在 Rt△D 1CN 中， cos∠ D 1NC＝CN ＝2＝5 .D 1N1552所以平面 C1 D1M 和平面 ABCD所成的角 (锐角 )的余弦值为5.58．如图，在三棱锥P－ ABC 中， D ，E， F 分别为棱 PC， AC ， AB 的中点．已知 PA⊥AC ， PA＝ 6， BC ＝ 8，DF ＝5.求证： (1) 直线 PA∥平面 DEF；(2)平面 BDE ⊥平面 ABC.证明(1) 由于 D， E 分别为棱PC， AC 的中点，所以DE ∥ PA.又由于 PA?平面 DEF ， DE ? 平面 DEF ，所以直线PA∥平面 DEF.(2)由于 D， E，F 分别为棱PC， AC ， AB 的中点， PA＝ 6，BC ＝8，所以 DE ∥ PA， DE ＝1PA＝ 3，EF＝1B C＝ 4. 22又由于 DF ＝ 5，故 DF 2＝DE 2＋ EF2，所以∠ DEF ＝ 90°，即 DE⊥ EF.又 PA⊥ AC ， DE ∥PA，所以 DE ⊥ AC.由于 AC∩EF ＝ E， AC ? 平面 ABC ，EF? 平面 ABC ，所以 DE ⊥平面 ABC.又 DE ? 平面 BDE ，所以平面BDE ⊥平面 ABC.。

1．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 ⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254解析 由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a>0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 2.过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．答案22解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b2＝1①， x 22a 2＋y 22b2＝1②. ①、②两式相减并整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.把已知条件代入上式得，－12＝－b 2a 2×22，∴b 2a 2＝12，故椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝22.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 57解析 如图，设右焦点为F 1，|BF|＝x ，则cos ∠ABF ＝x 2＋102－6220x ＝45.解得x ＝8，故∠AFB ＝90°.由椭圆及直线关于原点对称可知|AF 1|＝8，且∠FAF 1＝90°，△FAF 1是直角三角形，|F 1F 2|＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，e ＝c a ＝57.4．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M 在线段AB 上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b)，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧5b 4＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝5，解得b ＝3.所以a ＝35， 故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.5．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝＋22＋－22＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法一：连接QF 1，如图，设点P(x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c.由|PF 1|＝|PQ|>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a. 从而由|PF 1|＝|PQ|＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ|，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得 e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 解法二：连接QF 1，如上图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a.从而由|PF 1|＝|PQ|＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ|，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|. |PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a. 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c)2， 因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝－22＋2－2＝ 9－62＝6－ 3.6.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为12c.(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bca， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为 x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M(－2,1)是线段AB 的中点，且|AB|＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k(x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k(2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－＋1＋4k 2，x 1x 2＝＋2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－＋1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB|＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝521＋x 22－4x 1x 2＝2－.由|AB|＝10，得 2－＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为 x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M(－2,1)对称，且|AB|＝10.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2, x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0. 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB|＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝521＋x 22－4x 1x 2＝2－.由|AB|＝10，得 2－＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.7．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB|＝32|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切．求直线l 的斜率．解 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)． 由|AB|＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P(x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B(0，c)， 有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c)． 由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c)c ＋y 0c ＝0. 又c≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c 2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c3，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T(x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝1－2＋1－2＝53c. 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx. 由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪k ⎝⎛⎭⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ， 整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15.所以，直线l 的斜率为4＋15或4－15. 8．已知椭圆C 的中心在原点，离心率e ＝32，右焦点为F(3，0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OP →＋OA →与FA →共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，又离心率e ＝32，右焦点为F(3，0)， ∴c a ＝32，c ＝3，∴a ＝2，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设椭圆C 上存在点P(x 0，y 0)，使得向量OP →＋OA →与FA →共线． ∵OP →＋OA →＝(x 0，y 0＋1)，FA →＝(－3，1)， ∴x 0＝－3(y 0＋1)． ①又点P(x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1. ② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1或⎩⎨⎧x 0＝－837，y 0＝17.∴P(0，－1)或P ⎝⎛⎭⎫－837，17.当点P 的坐标为(0，－1)时，直线AP 的方程为x ＝0，当点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫－837，17时，直线AP 的方程为3x －4y ＋4＝0，故存在满足题意的点P ，直线AP 的方程为x ＝0或3x －4y ＋4＝0.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 上一点N 到Q(0,3)距离的最大值为4，过点M(3,0)的直线交椭圆C 于点A 、B.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|AB|<3时，求实数t 的取值范围．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2.设N(x ，y)，则 |NQ|＝－2＋－2＝4b 2－4y 2＋－2＝－3y 2－6y ＋4b 2＋9 ＝－＋2＋4b 2＋12.当y ＝－1时，|NQ|有最大值4b 2＋12，则4b 2＋12＝4， 解得b 2＝1，∴a 2＝4，故椭圆方程是x 24＋y 2＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y)， 直线AB 的方程为y ＝k(x －3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0. 则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，x 1·x 2＝36k 2－41＋4k 2，Δ＝(－24k 2)2－16(9k 2－1)(1＋4k 2)>0，解得k 2<15.由题意得OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t(x ，y)， 则x ＝1t(x 1＋x 2)＝24k 2＋4k 2，y ＝1t (y 1＋y 2)＝1t[k(x 1＋x 2)－6k]＝－6k＋4k 2.由点P 在椭圆上，得22t2＋4k 22＋144k 2t2＋4k 22＝4，化简得36k 2＝t 2(1＋4k 2)．① 由|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|<3，得(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<3，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤242k 4＋4k 22－2－1＋4k 2<3， 化简，得(8k 2－1)(16k 2＋13)>0， 则8k 2－1>0，即k 2>18，∴18<k2<15.②由①得t2＝36k21＋4k2＝9－91＋4k2，由②得3<t2<4，∴－2<t<－3或3<t<2.故实数t的取值范围为－2<t<－3或3<t<2.。

1.已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t.若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( ) A ．13 B ．15C ．19D ．21答案 A解析 依题意，以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，所以点P(1,4)，B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C(0，t)，所以PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝⎝⎛⎭⎫1t －1×(－1)－4×(t －4)＝17－1t－4t≤17－21t×4t ＝13(当且仅当1t ＝4t ，即t ＝12时取等号)，所以PB →·PC →的最大值为13，故选A. 2．设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5答案 A解析 由|a ＋b|＝10得a 2＋b 2＋2a·b ＝10，①由|a －b|＝6得a 2＋b 2－2a·b ＝6，②①－②得4a·b ＝4，∴a·b ＝1，故选A.3．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC.若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( ) A.12 B.23C.56D.712答案 C解析 以AB →，AD →为基向量，则AE →·AF →＝(AB →＋λAD →)·(AD →＋μAB →)＝μAB →2＋λAD →2＋(1＋λμ)AB →·AD →＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1①.CE →·CF →＝(λ－1)BC →·(μ－1)DC →＝－2(λ－1)(μ－1)＝－23②，由①②可得λ＋μ＝56. 4．已知点O 为△ABC 的外心，且|AC →|＝4，|AB →|＝2，则AO →·BC →＝________.答案 6解析 因为点O 为△ABC 的外心，且|AC →|＝4，|AB →|＝2，所以AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝A O →·AC →－AO →·AB →＝|AO →||AC →|cos 〈AO →，AC →〉－|AO →||AB →|·cos 〈AO →，AB →〉＝|AC →||AC →|×12－|AB →||AB →|×12＝6. 5．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BCcosB＝(23)2＋22－2×23×2cos30°＝4，∴AC ＝2，∴AC ＝BC ＝2，∴∠CAB ＝30°，∠DAC ＝60°.AD ＝1，∴AE ∈[1,2]，∵AE →＝AD →＋μAB →，∴|AE →|2＝(AD →＋μAB →)2＝|AD →|2＋|μAB →|2＝1＋(23)2μ2＝1＋12μ2，μ2＝|AE →|2－112，∵|AE →|∈[1,2]， ∴μ2∈⎣⎡⎦⎤0，14，由梯形ABCD 知μ≥0，∴μ∈⎣⎡⎦⎤0，12. 6．设G 是△ABC 的重心，且7sinA·GA →＋3sinB·GB →＋37sinC·GC →＝0，则角B 的大小为________．答案 π3解析 ∵7sinA·GA →＋3sinB·GB →＋37sinC·GC →＝0，设三角形的边长顺次为a ，b ，c ，由正弦定理得7a·GA →＋3b·GB →＋37c·GC →＝0，由点G 为△ABC 的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：3GA →＝BA →＋CA →，3GB →＝CB →＋AB →，3GC →＝AC →＋BC →， 代入上式得：7a(BA →＋CA →)＋3b(CB →＋AB →)＋37c(AC →＋BC →)＝0，又CA →＝CB →＋BA →，上式可化为：7a(2BA →＋CB →)＋3b(AB →＋CB →)＋37c·(－BA →＋2BC →)＝0，即(27a －3b －37c)BA →＋(－7a －3b ＋67c)BC →＝0，则有⎩⎨⎧ 27a －3b －37c ＝0， ①－7a －3b ＋67c ＝0， ②①－②得37a ＝97c ，即a ∶c ＝3∶1，设a ＝3k ，c ＝k ，代入①得b ＝7k ，∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9k 2＋k 2－7k 26k 2＝12，∴B ＝π3. 7.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sinx ，cosx)，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tanx 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值． 解 (1)∵m ⊥n ，∴m·n ＝0. 故22sinx －22cosx ＝0，∴tanx ＝1. (2)∵m 与n 的夹角为π3，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n|＝22sinx －22cosx 1×1＝12，故sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12.又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，x －π4＝π6，即x ＝5π12，故x 的值为5π12.。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1 •答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2 •作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3•非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4 •考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

X1.已知集合A={x|x<1} , B={x|3 1}，则A. AI B {x|x 0}B. AUB RC. AUB {x|x 1}D. AI B2 .如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是3.设有下面四个命题P1 :若复数z满足丄 R，则z R ;zP2:若复数z满足z2R，则z R ;P3:若复数N,Z2满足Z1Z2 R，则zi Z2 ;P 4:若复数z R ，则z R .其中的真命题为1 6 2—)(1 x)6展开式中X 2的系数为 X7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A . A>1 000 和 n=n+1A . P l , P 3B . P l , P 4C . P 2,P 3D . P 2, P 44 •记S 为等｛a n ｝的前n 项和.若a 4a524，Ss 48，则｛a n ｝的公差为C . 45.函数f (X )在()单调递减，且为奇函数.若 f(1)1，则满足 1 f(x 2) 1的X 的取值范围[2,2]B .[ 1,1]C •[0,4]D . [1,3]6 . (1A . 15B . 20C . 30D . 352，俯视图为等腰直角三角形A . 10B . 12 8 .右面程序框图是为了求出满足C . 14D . 163n -2n >1000的最小偶数n ,那么在號「詞和=两个空白框中，可以分别填入B . A>1 000 和n=n+2C . A 1 000 和n=n+1D . A 1 000 和n=n+29.已知曲线C1: y=cos x，C2：2 ny=s in (2x+ )，则下面结论正确的是到曲线C 2到曲线C 2到曲线C 2得到曲线C 2x y z11.设xyz 为正数，且23 5，则二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。

考点规范练35　空间几何体的表面积与体积基础巩固组1.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是( )A.4πB.3πC.2πD.π答案:C解析:由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱,底面半径为1,高为1,其侧面积S=2πrh=2π×1×1=2π.2.(2015安徽,文9)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A.1+B.1+2C.2+D.2答案:C解析:由三视图可得该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=.取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1.由勾股定理得AC=,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得S△ABC=S△ACD=,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+.3.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为( )A.πB.4πC.4πD.6π〚导学号32470497〛答案:B解析:如图,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任一点,则OO'=,O'M=1,∴OM=,即球的半径为.∴V=π()3=4π.4.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.8-2πB.8-πC.8-D.8-答案:B解析:由三视图知,该几何体为棱长为2的正方体割去两个底面半径为1的圆柱,所以该几何体的体积为23-2×π×12×2×=8-π.5.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( )A. B.4π C.2π D.答案:D解析:因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半,所以半径r==1,所以V球=×13=.故选D.6.(2015课标全国Ⅰ,文6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛〚导学号32470498〛答案:B解析:设圆锥的底面半径为R,高为h.∵米堆底部的弧长为8尺,∴·2πR=8,∴R=.∵h=5,∴米堆的体积V=πR2h=×π××5.∵π≈3,∴V≈(立方尺).∴堆放的米约有≈22(斛).7.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2= .答案:1∶24解析:设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h,底面三角形ABC的面积为S,则V1=S·h=Sh=V2,即V1∶V2=1∶24.8.(2015上海,文6)若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a= .〚导学号32470499〛答案:4解析:依题意,×a×a××a=16,解得a=4.9.(2015天津,文10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 m3.答案:解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,左、右两边是两个相同的圆锥,底面半径为1,高为1;中间是一个圆柱,底面半径为1,高为2,所以该几何体的体积V=2××π×12×1+π×12×2=+2π=.10.(2015四川,文14)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是 .答案:解析:由题意,可得直三棱柱ABC-A1B1C1如图所示.其中AB=AC=AA1=BB1=CC1=A1B1=A1C1=1.∵M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中点,∴MN=,NP=1.∴S△MNP=×1=.∵点A1到平面MNP的距离为AM=,∴.11.如图,已知某几何体的三视图如下(单位:cm):(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积和体积.解:(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的组合体.由PA1=PD1= cm,A1D1=AD=2 cm,可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×+2××()2=22+4(cm2),体积V=23+×()2×2=10(cm3).12.一个几何体的三视图如图所示.已知主视图是底边长为1的平行四边形,左视图是一个长为、宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的表面积S.解:(1)由三视图可知,该几何体是一个斜四棱柱(如图),其底面是边长为1的正方形,高为,所以V=1×1×.(2)由三视图可知,该四棱柱中,A1D⊥平面ABCD,CD⊥平面BCC1B1,所以AA1=2,侧面ABB1A1,CDD1C1均为矩形.S=2×(1×1+1×+1×2)=6+2.能力提升组13.具有如图所示的主视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为( )A.3B.7+3C.πD.14解析:由主视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.由图可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为2×(1×3+1×1+3×1)=14.14.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为( ) A. B. C. D.〚导学号32470500〛答案:A解析:如图,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,容易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,∴S△AGD=S△BHC=×1=.∴V=V E-ADG+V F-BHC+V AGD-BHC=2V E-ADG+V AGD-BHC=×2+×1=.15.已知球的直径SC=4,A,B是该球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为( )A.3B.2C.D.1〚导学号32470501〛解析:如图所示,由题意知,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SBC都是有一个角为30°的直角三角形,其中AB=,SC=4,所以SA=SB=2,AC=BC=2,作BD⊥SC于D点,连接AD,易证SC⊥平面ABD,因此V S-ABC=×()2×4=.16.(2015重庆,文5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.+2πB.C.D.答案:B解析:由三视图可知,该几何体是一个组合体,其中左边是半个圆锥,底面半径为1,高为1,所以其体积V1=π·12·1·;右边是一个圆柱,底面半径为1,高为2,所以其体积V2=π·12·2=2π,故该几何体的体积为V=V1+V2=+2π=.17.如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(1)求证:CD⊥平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.解:(方法一)(1)证明:∵AB⊥平面BCD,CD⫋平面BCD,∴AB⊥CD.又∵CD⊥BD,AB∩BD=B,AB⫋平面ABD,BD⫋平面ABD,∴CD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BCD,得AB⊥BD,∵AB=BD=1,∴S△ABD=.∵M是AD的中点,∴S△ABM=S△ABD=.由(1)知,CD⊥平面ABD,∴三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积V A-MBC=V C-ABM=S△ABM·h=.(方法二)(1)同方法一.(2)由AB⊥平面BCD知,平面ABD⊥平面BCD,又平面ABD∩平面BCD=BD,如图,过点M作MN⊥BD交BD于点N,则MN⊥平面BCD,且MN=AB=.又CD⊥BD,BD=CD=1,∴S△BCD=.∴三棱锥A-MBC的体积V A-MBC=V A-BCD-V M-BCD=AB·S△BCD-MN·S△BCD=.18.(2015课标全国Ⅱ,文19)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解:(1)交线围成的正方形EHGF如图.(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH==6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为.。