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高考专题训练一集合与常用逻辑用语班级________ 姓名________ 时间：45分钟分值：75分总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2011·福建)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( )A．i∈S B．i2∈SC．i3∈S D.2i∈S解析：i2＝－1∈S，故选B.答案：B2．(2011·辽宁)已知M，N为集合I的非空真子集，且M、N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N＝( )A．M B．NC．I D．∅解析：用韦恩图可知N M，∴M∪N＝M.答案：A3．(2011·广东)设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是( )A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的解析：取T＝{x|x＝2n－1，n∈Z}，V＝{x|x＝2n，n∈Z}则此时T，V对乘法均封闭且满足条件取T ＝{x |x ＝2n －1，n ∈Z 且n ≠0，n ≠1}，V ＝{x |x ＝－1或x ＝1或x ＝2n ，n ∈Z}则此时T ，V 均满足条件，但T 对乘法封闭，V 对乘法不封闭． 由此可知，V 、T 中至少有一个关于乘法封闭． 答案：A4．(2011·陕西)设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b | B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b 解析：由互逆命题的关系知，选D. 答案：D5．(2011·湖北)若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补，记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ＝0 即a 2＋b 2＝a ＋b ，则a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab ， ∴ab ＝0，∴a ≥0，b ≥0，且a 与b 互补． 答案：C6．已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是( ) A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点 B ．p ：f －x f x ＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan βD ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A解析：对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，从而可得m <－2或m >6.所以p 是q 的必要不充分条件；对于B ，由f －x f x ＝1⇒f (－x )＝f (x )⇒y ＝f (x )是偶函数，但由y ＝f (x )是偶函数不能推出f －x f x 1，例如函数f (x )＝0，所以p 是q 的充分不必要条件；对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q的既不充分也不必要条件；对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ；反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ，即A ∩B ＝A .所以p ⇔q .综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D ，故选D. 答案：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 7．(2011·上海)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝________. 解析：∵U ＝R ，A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}＝{x |x ≤0或x ≥1}∴∁U A ＝{x |0<x <1}． 答案：{x |0<x <1}8．设集合M ＝{(x ，y )|x ＝(y ＋3)·|y －1|＋(y ＋3)，－52≤y ≤3}，若(a ，b )∈M 且对M 中的其他元素(c ，d )，总有c ≥a ，则a ＝________.解析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口．怎样理解“对M 中的其他元素(c ，d )，总有c ≥a ”？M 中的元素又有什么特点？依题可知，本题等价于求函数x ＝f (y )＝(y ＋3)·|y －1|＋(x ＋3)在－52≤y ≤3时的最小值．(1)当－52≤y ≤1时，x ＝(y ＋3)·|y －1|＋(y ＋3)＝－y 2－y ＋6＝－⎝⎛⎫y ＋122＋254，y ＝－52时，x min ＝94. (2)当1≤y ≤3时，x ＝(y ＋3)(y －1)＋(y ＋3)＝y 2＋3y ＝⎝⎛⎭⎫y ＋322－94，当y ＝1时，x min＝4.而4>94，因此当y ＝－52时，x 有最小值94，即a ＝94.答案：949．已知f (x )＝x 2，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∀x 1∈[－1,3]，∂x 2∈[0,2]，f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．解析：由已知可得f min (x 1)≥g min (x 2)，即0≥14－m ，∴m ≥14.答案：m ≥1410．(2011·安徽“江南十校联考”)给出下列命题：①y ＝1是幂函数；②函数f (x )＝2x－x 2的零点有2个；③⎝⎛⎭⎫x ＋1x＋25展开式的项数是6项； ④函数y ＝sin x (x ∈[－π，π])的图象与x 轴围成的图形的面积是S ＝⎠⎛－ππsin x d x ；⑤若ξ～N(1，σ2)，且P(0≤ξ≤1)＝0.3，则P(ξ≥2)＝0.2. 其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的编号)．解析：y ＝1不是幂函数，①是假命题；作出函数y ＝2x 、y ＝x 2的图象，知函数f(x)＝2x －x 2有3个零点(1负2正，2正分别是2、4)，②错误；⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋25的展开式含有x 5、x 4、 (x)－5共11项，③错误；⎠⎛－ππsin x d x ＝－cos x|π－π＝0，④显然错误，函数y ＝sin x(x∈[－π，π])的图象与x 轴围成的图形的面积应为⎠⎛－ππ|sin x |d x ；如图，P (0≤ξ≤1)表示x ＝0、x ＝1与正态密度曲线围成区域的面积，由正态密度曲线的对称性知：x ＝1、x ＝2与正态密度曲线围成区域的面积为0.3，P (ξ≥2)表示x ≥2与正态密度曲线围成区域的面积，P (ξ≥2)＝1－2×0.320.2，⑤正确． 答案：⑤三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(12分)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解：若方程x2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2，即p ：m >2.若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3.因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一个为真，又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一个为假．因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 真q 假，或p 假q 真．所以⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，解得m ≥3或1<m ≤2.12．(13分)设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }． (1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A －B 与B －A 是否一定相等，说明你的理由；(3)已知A ＝{x |x >4}，B ＝{x ||x |<6}，求A －(A －B )和B －(B －A )，由此你可以得到什么结论？(不必证明)．解：(1)如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A －B ＝{1}．(2)不一定相等，由(1)B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}，故A －B ≠B －A ；又如，A ＝B ＝{1,2,3}时，A －B ＝∅，B －A ＝∅，此时A －B ＝B －A .故A －B 与B －A 不一定相等．(3)因为A －B ＝{x |x ≥6}，B －A ＝{x |－6<x ≤4}，A －(A －B )＝{x |4<x <6}，B －(B －A )＝{x |4<x <6}，由此猜测一般对于两个集合A 、B ，有A －(A －B )＝B －(B －A )．。
2021年高考数学二轮复习专题能力训练1集合与常用逻辑用语理一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1,或x>3},则A∩B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}2.(xx浙江镇海中学5月模拟)设集合A={x|x<-2,或x>1,x∈R},B={x|x<0,或x>2,x∈R},则(∁R A)∩B是()A.(-2,0)B.(-2,0]C.[-2,0)D.R3.原命题为“若<a n,n∈N*,则数列{a n}是递减数列”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假4.“直线l与平面α内的两条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知α,β∈(0,π),则“sin α+sin β<”是“sin(α+β)<”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},则集合A×B中属于集合{(x,y)|log x y∈N}的元素个数是()A.3B.4C.8D.97.(xx浙江“超级全能生”8月联考)设A,B是有限集合,定义:d(A,B)=,其中card(A)表示有限集合A中的元素个数,则下列不一定正确的是()A.d(A,B)≥card(A∩B)B.d(A,B)=C.d(A,B)≤D.d(A,B)=[card(A)+card(B)+|card(A)-card(B)|]8.已知集合A={x∈R|x2-2x-3<0},B={x∈R|-1<x<m},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则实数m的取值范围为()A.(3,+∞)B.(-1,3)C.[3,+∞)D.(-1,3]二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知集合A={3,m2},B={-1,3,2m-1}.若A⊆B,则实数m的值为.10.已知集合A={x|(x-2)(x+5)<0},B={x|x2-2x-3≥0},全集U=R,则A∩B=,A∪(∁U B)=.11.设全集U=R,集合A={x|x(x-2)<0},B={x|x<a},若A与B的关系如图所示,则实数a的取值范围是.12.设集合P={t|数列{n2+tn(n∈N*)}单调递增},集合Q={t|函数f(x)=kx2+tx在区间[1,+∞)上单调递增},若“t∈P”是“t∈Q”的充分不必要条件,则实数k的最小值为.13.给出下列四个命题:①在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B;②若0<a<1,则函数f(x)=x2+a x-3只有一个零点;③函数y=2sin x cos x在上是单调递减函数;④若lg a+lg b=lg(a+b),则a+b的最小值为4.其中真命题的序号是.14.若X是一个集合,τ是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足:①X属于τ,空集⌀属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a,b,c},对于下面给出的四个集合τ:①τ={⌀,{a},{c},{a,b,c}};②τ={⌀,{b},{c},{b,c},{a,b,c}};③τ={⌀,{a},{a,b},{a,c}};④τ={⌀,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是.三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知集合A={x|2<x<7},B={x|2<x<10},C={x|5-a<x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若C⊆B,求实数a的取值范围.16.(本小题满分15分)已知p:-x2+16x-60>0,q:>0,r:关于x的不等式x2-3ax+2a2<0(x∈R).(1)当a>0时,是否存在a使得r是p的充分不必要条件?(2)若r是p的必要不充分条件,且r是q的充分不必要条件,试求a的取值范围.参考答案专题能力训练1集合与常用逻辑用语1.A解析A∩B={x|-2<x<-1}.故选A.2.C解析∵集合A={x|x<-2或x>1,x∈R},∴∁R A={x|-2≤x≤1}.∵集合B={x|x<0或x>2,x∈R},∴(∁R A)∩B={x|-2≤x<0}=[-2,0).故选C.3.A解析由<a n,得a n+a n+1<2a n,即a n+1<a n.所以当<a n时,必有a n+1<a n,则数列{a n}是递减数列.反之,若数列{a n}是递减数列,必有a n+1<a n,从而有<a n.所以原命题及其逆命题均是真命题,从而其否命题及其逆否命题也均是真命题.4.B解析根据线面垂直的判定:l与α内的两条相交直线垂直⇔l⊥α,故是必要不充分条件,应选B.5.A解析当α=β=时,sin α=sin β=1,sin α+sin β=2,sin(α+β)=0<,所以后不能推前,又sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β<sin α+sin β,所以前推后成立.故选A.6.B解析由给出的定义得A×B={(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),( 4,2),(4,4),(4,6),(4,8)}.其中log22=1,log24=2,log28=3,log44=1,因此一共有4个元素,应选B.7.C解析∵card(A∪B)≥card(A∩B),∴d(A,B)≥card(A∩B),选项A正确;∵d(A,B)===,∴选项B正确;∵d(A,B)=,∴选项C错误;又|card(A)-card(B)|≥0,∴d(A,B)≤[card(A)+card(B)+|card(A)-card(B)|],选项D 正确.故选C.8.A解析A={x∈R|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},∵x∈A是x∈B的充分不必要条件,∴A⫋B,∴m>3.故选A.9.1解析∵A⊆B,∴m2=2m-1或m2=-1(舍).由m2=2m-1得m=1.经检验m=1时符合题意.10.{x|-5<x≤-1}{x|-5<x<3}解析由题意知集合A={x|(x-2)(x+5)<0}={x|-5<x<2},B={x|x2-2x-3≥0}={x|x≥3或x≤-1},所以∁U B={x|-1<x<3},A∩B={x|-5<x≤-1},A∪(∁U B)={x|-5<x<3}.11.a≥2解析因为A={x|x(x-2)<0}={x|0<x<2},又Venn图表达的集合关系是A⊆B,B={x|x<a},所以a≥2.12. 解析因为数列{n2+tn(n∈N*)}单调递增,所以(n+1)2+t(n+1)>n2+tn,可得t>-2n-1,又n∈N*,所以t>-3.因为函数f(x)=kx2+tx在区间[1,+∞)上单调递增,所以其图象的对称轴x=-≤1,且k>0,所以t≥-2k,又“t∈P”是“t∈Q”的充分不必要条件,所以-2k≤-3,即k≥.故实数k的最小值为.13.①④解析在△ABC中,A>B⇒a>b⇒2R sin A>2R sin B⇒sin A>sin B,故①为真命题.在同一直角坐标系内作出函数y1=3-x2,y2=a x(0<a<1)的图象如图所示.由图知两函数图象有两个交点,故②为假命题.由y=2sin x cos x=sin 2x,又x∈时,2x∈,可知y=2sin x cos x在上是增函数,因此③为假命题.④中由lg a+lg b=lg(a+b)知ab=a+b,且a>0,b>0.又ab≤,所以令a+b=t(t>0),则4t≤t2,即t≥4,因此④为真命题.14.②④解析①τ={⌀,{a},{c},{a,b,c}},但是{a}∪{c}={a,c}∉τ,所以①错;②④都满足集合X上的一个拓扑的集合τ的三个条件,所以②④正确;③{a,b}∪{a,c}={a,c,b}∉τ,故错.所以答案为②④.15.解 (1)A∪B={x|2<x<10},∁R A={x|x≤2或x≥7},(∁R A)∩B={x|7≤x<10}.(2)①当C=⌀时,满足C⊆B,此时5-a≥a,得a≤;②当C≠⌀时,若C⊆B,则解得<a≤3.故由①②得实数a的取值范围是a≤3.16.解 (1)由-x2+16x-60>0,解得6<x<10,当a>0时,由x2-3ax+2a2<0,解得a<x<2a.若r 是p的充分不必要条件,则(a,2a)⊆(6,10)且两集合不相等,则a无解,不存在.(2)由-x2+16x-60>0,解得6<x<10,由>0,解得x>1.当a>0时,由x2-3ax+2a2<0,解得a<x<2a.若r是p的必要不充分条件,则(6,10)⊆(a,2a),此时5≤a≤6.①若r是q的充分不必要条件,则(a,2a)⊆(1,+∞),此时a≥1.②由①②得5≤a≤6.当a<0时,由x2-3ax+2a2<0,解得2a<x<a<0,而若r是p的必要不充分条件,(6,10)⊆(a,2a)不成立,(a,2a)⊆(1,+∞)也不成立,不存在a值.当a=0时,由x2-3ax+2a2<0,解得r为⌀,(6,10)⊆⌀不成立,不存在a值.综上,5≤a≤6为所求.。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练专题01集合与常用逻辑用语考点1 集合的含义与表示1．（2021·江苏高三模拟）已知集合(){},2,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．12D ．13【答案】D【解析】由题意可知，集合A 中的元素有：()2,0-、()1,1--、()1,0-、()1,1-、()0,2-、()0,1-、()0,0、()0,1、()0,2、()1,1-、()1,0、()1,1、()2,0，共13个.故选：D.2．（2021·江西高三模拟）已知集合{}2|210,A x ax x a =++=∈R 只有一个元素，则a 的取值集合为（ ） A ．{1} B ．{0} C ．{0,1,1}- D ．{0,1}【答案】D【解析】①当0a =时，1{}2A =-，此时满足条件；②当0a ≠时，A 中只有一个元素的话，440a ∆=-=，解得1a =，综上，a 的取值集合为{0，1}．故选：D ． 考点2 集合间的基本关系3．（2021·西安市经开第一中学高三模拟）集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()[),10,-∞-⋃+∞D ．()1,00,13⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】B A ⊆，∴①当B =∅时，即10ax +无解，此时0a =，满足题意．②当B ≠∅时，即10ax +有解，当0a >时，可得1xa-， 要使B A ⊆，则需要011a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得01a <<．当0a <时，可得1xa-， 要使B A ⊆，则需要013a a <⎧⎪⎨-⎪⎩，解得103a -<，综上，实数a 的取值范围是1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．故选：A ．4．（2021·四川石室中学高三一模）已知集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，则M 的子集个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，所以当,,x y z 都是正数时，4m =；当,,x y z 都是负数时，4m =-；当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =， 当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =，所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8，故选D. 考点3 集合的基本运算 角度1：交集运算5．（2021·四川高三三模（文））设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |24x x --＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |2＜x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}【答案】A【解析】∵A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．故选：A ．6．（2021·浙江瑞安中学高三模拟）已知集合{}31A x Z x =∈-<<，{}2,B y y x x A ==∈，则A B 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为{}{}2,1,031A x Z x =-∈--=<<所以{}{}4,2,02,=B y y x x A =--=∈， 所以{}=2,0A B -，所以A B 的元素个数为2个.故选B. 角度2：并集运算7．（2021·陕西高三模拟）已知集合{}21,M x x k k Z ==+∈，集合{}43,N y y k k Z ==+∈，则M N ⋃=（ ）A ．{}62,x x k k Z =+∈B ．{}42,x x k k Z =+∈C ．{}21,x x k k Z =+∈D ．∅【答案】C【解析】因为集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，集合{}(){}43,2211,N y y k k y y k k ==+∈==++∈Z Z ，因为x ∈N 时，x M ∈成立，所以{}21,M N x x k k ⋃==+∈Z .故选：C.8．（2021·天津高三二模）已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--=，则M N ⋂=___________.【答案】{}2-【解析】因为集合{|42}M x x =-<<，{}2{|60}2,3N x x x =--==-，所以M N ⋂= {}2-角度3：补集运算9．（2021·四川高三零模（文））设全集{}*|9U x x =∈<N ，集合{}3,4,5,6A =，则U A （ ）A ．{}1,2,3,8B ．{}1,2,7,8C ．{}0,1,2,7D ．{}0,1,2,7,8【答案】B【解析】因为{}{}*91,2,3,4|,5,6,7,8U x x =∈<=N ，{}3,4,5,6A =，所以{}1,2,7,8U A =．故选：B ．10．（2021·江苏省江浦高级中学高三月考）已知集合{}1U x x =>，{}2A x x =>，则UA________．【答案】{}12x x <≤【解析】{}1U x x =>，{}2A x x =>，∴12U A x x ，角度4：交、并、补混合运算11．（2021·辽宁高三二模）已知U =R ，{}2M x x =≤，{}11N x x =-≤≤，则UM N =（ ）A ．{1x x <-或}12x <≤B ．{}12x x <≤C ．{1x x ≤-或}12x ≤≤D ．{}12x x ≤≤【答案】A【解析】因为{1U N x x =<-或1}x >，所以{1U M C N x x ⋂=<-或12}x <≤.故选：A.12．（2021·山东烟台市·烟台二中高三三模）已知集合{}13A x x =<<，{}2B x x =<，则RAB =（ ）A ．{}12x x <<B ．{}23x x <<C ．{}23x x ≤<D ．{}3x x >【答案】C 【解析】{}13A x x =<<，{}2B x x =<，{}R 2B x x ∴=≥，{}R 23A B x x ∴⋂=≤<.故选：C.13．【多选】（2021·重庆高三三模）已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足()U A B B =，则下列关系一定正确的是（ ） A ．A B =∅ B ．A B B = C ．A B U ⋃= D ．()U B A A =【答案】CD【解析】令{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，满足()U A B B =，但A B ⋂≠∅，A B B ≠，故A ，B 均不正确； 由()U A B B =，知UA B ⊆，∴()()UU AA AB =⊆，∴A B U ⋃=，由UA B ⊆，知UB A ⊆，∴()U B A A =，故C ，D 均正确.故选CD.14．（2021·江苏高三模拟）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩，即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 角度5：利用集合的运算求参数15．（2021·江西高三模拟）已知集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】{|113}m m -<<【解析】由题意，集合{|23},{|9}A x x B x m x m =-<<=<<+，若A B ⋂=∅时，则有92m +≤-或3m ≥，解得11m ≤-或3m ≥，所以当A B ⋂≠∅时，实数m 的取值范围为{|113}m m -<<.16．（2021·山东高三模拟）集合{}{}240,1,,2,.A a B a =-=-若{}2,1,0,4,16A B ⋃=--，则a =（ ） A ．±1 B ．2± C ．3± D ．4±【答案】B【解析】由{}2,1,0,4,16A B ⋃=--知，24416a a ⎧=⎨=⎩，解得2a =±故选：B考点4 集合中的新定义17.（2021·黑龙江哈师大附中高三三模（理））设全集{}1,2,3,4,5,6U =，且U 的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{}2,4表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000；对于任意两集合A ，B ，我们定义集合运算{A B x x A -=∈且}x B ∉，()()A B A B B A *=-⋃-．若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则A B *表示的6位字符串是（ ） A ．101010 B ．011001C ．010101D ．000111【答案】C【解析】由题意可得若{}2,3,4,5A =，{}3,5,6B =，则{}2,4,6A B *=， 所以此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第6个字符为1， 其余字符均为0，即A B *表示的6位字符串是010101.故选C18．【多选】（2021·开原市第二高级中学高三三模）满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}{}12312,,,Ma a a a a =的集合M 可能是（ ）A ．{}12,a aB ．{}123,,a a aC ．{}124,,a a aD ．{}1234,,,a a a a【答案】AC 【解析】∵{}{}12312,,,Ma a a a a =，∴集合M 一定含有元素12,a a ，一定不含有3a ，∴12{,}M a a =或124{,,}M a a a =．故选AC ．19．（2021·江苏省宜兴中学高三模拟）设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若1k A -∉且1k A +∉，则k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个． 【答案】7【解析】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合S 不含“孤立元”， 则集合S 中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8，{}7,8,9，共7个．考点5 全称量词与特称量词20．“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是（ ） A ．[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥ B ．(,2)x ∀∈-∞，2log 1x > C ．0(,2)x ∃∈-∞，20log 1x ≥ D ．[2,)x ∃∈+∞，2log 1x ≤【答案】A【解析】“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”是特称命题，特称命题的否定是全称命题， 所以“0[2,)x ∃∈+∞，20log 1x <”的否定是“[2,)x ∀∈+∞，2log 1x ≥”.故选：A21．（2021·黑龙江大庆中学高三期末）命题“0x ∀>，总有()11xx e +>”的否定是（ ）A ．0x ∀>，总有()11xx e +≤ B ．0x ∀≤，总有()11xx e +≤C ．00x ∃≤，使得()0011xx e +≤D ．00x ∃>，使得()0011xx e +≤【答案】D【解析】由全称命题的否定可知，命题“0x ∀>，总有()11xx e +>”的否定是“00x ∃>，使得()0011xx e +≤”.故选D.考点6 充分条件、必要条件的判断22．（2021·南京师范大学附属扬子中学高三模拟）设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分又不必要【答案】A【解析】甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙⇒甲， 乙是丙的充要条件，即乙⇔丙，丁是丙的必要非充分条件，即丙⇒丁，丁⇒丙，所以甲⇒丁，丁⇒甲，即甲是丁的充分不必要条件，故选：A .23．（2021·宁波中学高三模拟）△ABC 中，“△ABC 是钝角三角形”是“AB AC BC +<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】在△ABC 中，若∠A 为锐角，如图画出平行四边形ABCD ∴AB AC AD +=易知AD BC >∴“△ABC 是钝角三角形”不一定能推出“AB AC BC +<”； 在△ABC 中，A B C ，，三点不共线， ∵AB AC BC +<∴AB AC AC AB +<-∴22AB AC AC AB +<-∴0AB AC ⋅<∴∠A 为钝角∴△ABC 为钝角三角形 ∴“AB AC BC +<”能推出“△ABC 是钝角三角形”故“△ABC 是钝角三角”是“AB AC BC +<”的必要不充分条件,故选：B. 考点7 充分条件、必要条件的应用24．（2021·内蒙古高三二模（理））设计如下图的四个电路图，则能表示“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件的一个电路图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】选项A ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件； 选项B ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的充要条件； 选项C ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件；选项D ：“开关A 闭合”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件.故选：C.25．（2021·山东高三其他模拟）已知p ：x a ≥，q ：23x a +<，且p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()1-∞-，C ．[)1+∞，D ．()1+∞，【答案】A【解析】因为q ：23x a +<，所以:2323q a x a --<<-+， 记{}|2323A x a x a =--<<-+；:p x a ≥，记为{}|B x x a =≥．因为p 是q 的必要不充分条件，所以A B ，所以23a a ≤--，解得1a ≤-．故选:A ．26．（2021·河北衡水中学高三模拟）若不等式()21x a -<成立的充分不必要条件是12x <<，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[]1,2【解析】由()21x a -<得11a x a -<<+，因为12x <<是不等式()21x a -<成立的充分不必要条件， ∴满足1112a a -≤⎧⎨+≥⎩且等号不能同时取得，即21a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤． 考点8 根据命题的真假求参数的取值范围11 / 11 27．（2021·涡阳县育萃高级中学高三月考（文））若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题，则m 的取值范围是（ ）A ．12m -≤≤B ．12m -<<C ．1m ≤-或2m ≥D ．1m <-或2m >【答案】A【解析】若命题“0x R ∃∈，200220x mx m +++<”为假命题， 则命题“x R ∀∈，2220x mx m +++≥”为真命题，即判别式()2=4420m m ∆-+≤，即()()210m m -+≤，解得12m -≤≤.故选：A.28．（2021·广东石门中学高三其他模拟）若“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】356a ≥ 【解析】因为“2[4,6],10x x ax ∃∈-->”为假命题，所以[]24,6,10x x ax ∀∈--≤恒成立， 即1x a x -≤在[]4,6恒成立，所以max 1a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭且[]4,6x ∈， 又因为()1f x x x=-在[]4,6上是增函数，所以()()max 1356666f x f ==-=，所以356a ≥.。
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高考小题专攻练 1。
集合、常用逻辑用语、向量、复数、算法、合情推理小题强化练,练就速度和技能,掌握高考得分点!一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M=,N=,则M∩N= （)A。
B。
C. D。
【解析】选A。
因为M中不等式的解为—2≤x≤2，即M=.同样N=，则M∩N=。
2.已知向量a=（4,2),b=（x，3),且a∥b,则x的值是( )A.-6B.6C.-D.【解析】选B.因为向量a=(4,2),b=（x，3），且a∥b,所以4×3-2x=0,解得x=6。
3.下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分;④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是（n-2)·180°。
第1讲集合与常用逻辑用语考情解读(1)集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年也出现一些集合的新定义问题．(2)高考中考查命题的真假判断或命题的否定或充要条件的判断．1．集合的概念、关系(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.2．集合的基本运算(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.3．四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．4．充分条件与必要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．5．基本逻辑联结词(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．6．全称量词与存在量词“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.热点一集合的关系及运算例1(1)(2014·四川改编)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝________.(2)(2013·广东改编)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列命题正确的是________．①(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S；②(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S；③(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S；④(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S.思维启迪明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．答案(1){－1,0,1,2}(2)②解析(1)因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}．(2)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，可以排除①③④，故②正确．思维升华(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．(1)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1<x<4}，则M∩N＝________.(2)(2013·山东改编)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．答案(1){2,3}(2)5解析(1)集合N是要求在(1,4)范围内取整数，所以N＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}，所以M∩N＝{2,3}．－2，－1，0，1，2.(2)x－y∈{}热点二四种命题与充要条件例2(1)(2014·天津改编)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件．(2)(2014·江西改编)下列叙述中正确的是________．①若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”；②若a，b，c∈R，则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”；③命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”；④l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β.思维启迪要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义．答案(1)充要(2)④解析(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；当b>0时，a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.综上可知a>b⇔a|a|>b|b|.(2)由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，①错；因为ab2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c时，若b2＝0，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，②错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，③错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确．思维升华(1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例．(1)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是________．(2)“log3M>log3N”是“M>N成立”的________条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)答案(1)若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数(2)充分不必要解析(1)判断词“都是”的否定是“不都是”．(2)由log3M>log3N，又因为对数函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)单调递增，所以M>N；当M>N 时，由于不知道M、N是否为正数，所以log3M、log3N不一定有意义．故不能推出log3M>log3N，所以“log3M>log3N”是“M>N成立”的充分不必要条件．热点三逻辑联结词、量词例3(1)已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，sin x<x，则下列命题正确的是________．①命题p∨q是假命题②命题p∧q是真命题③命题p ∧(綈q )是真命题 ④命题p ∨(綈q )是假命题(2)已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是_________________________________________________________________．思维启迪 (1)先判断命题p 、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；(2)含量词的命题要理解量词含义，确定参数范围．答案 (1)③ (2)[1，＋∞)解析 (1)对于命题p ，取x ＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p 为真命题；对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin(－π2)＝－1，此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题，故③正确．(2)∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假命题，得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题，得綈q ：∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0为真命题，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②，得m ≥1.思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．(1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列命题中正确的是________．①p 真q 假 ②p 假q 真③“p ∧q ”为假 ④“p ∧q ”为真(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)③ (2)(1，＋∞)解析 (1)△ABC 中，C >B ⇔c >b ⇔2R sin C >2R sin B (R 为△ABC 外接圆半径)，所以C >B ⇔sin C >sin B .故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件，命题p 是假命题．若c ＝0，当a >b 时，则ac 2＝0＝bc 2，故a >b ac 2>bc 2，若ac 2>bc 2，则必有c ≠0，则c 2>0，则有a >b ，所以ac 2>bc 2⇒a >b ，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件，故命题q 也是假命题．(2)命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.1．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和Venn图加以解决．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.真题感悟1．(2014·浙江改编)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝________.答案{2}解析因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x<5}，故∁U A＝{2}．2．(2014·重庆改编)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是________．①p∧q②綈p∧綈q③綈p∧q④p∧綈q答案④解析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q、綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，故④为真命题．押题精练1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.2．已知下列命题：①命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1<3x ”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题；③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中正确的命题是________．答案 ②解析 命题“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则(綈p )∧(綈q )为真命题，故②正确；a >5⇒a >2，但a >2a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．3．已知p ：x ＋210－x≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由x ＋210－x≥0，得－2≤x <10，即p ：－2≤x <10； 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，得[x －(1＋m )]·[x －(1－m )]≤0，所以1＋m ≤x ≤1－m ，即q ：1＋m ≤x ≤1－m .又因为p 是q 的必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，1－m <10，解得m ≥－3， 又m <0，所以实数m 的取值范围是－3≤m <0.(推荐时间：40分钟)1．(2014·陕西改编)设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N ＝________. 答案 [0,1)解析 N ＝{x |－1<x <1}，M ∩N ＝[0,1)．2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为_______________________________________________________________． 答案 13解析 若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13.3．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为________．答案 7解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的________条件．答案 必要不充分解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，a <1.log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以前者是后者的必要不充分条件．5．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x ，则该命题的否定是________． 答案 ∀x ∈(0，π2)，使得cos x >x 解析 原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题．而“cos x ≤x ”的否定是“cos x >x ”．6．在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的________条件． 答案 充要解析 在A ＝60°时，有cos A ＝12，因为角A 是△ABC 的内角，所以，当cos A ＝12时，也只有A ＝60°，因此，是充要条件．7．(2013·湖北改编)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B ＝________.答案 {x |0≤x <2或x >4}解析 ∵A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2}＝{x |0≤x <2或x >4}．8．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是_________________________________________________________________．答案 2解析 集合A 表示直线l ：x ＋y －1＝0上的点的集合，集合B 表示抛物线C ：y ＝x 2＋1上的点的集合．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，y ＝x 2＋1消去y 得x 2＋x ＝0， 由于Δ>0，所以直线l 与抛物线C 有两个交点．即A ∩B 有2个元素．9．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．①p 为真；②綈q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真．答案 ③解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确．10．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝a }，B ＝{(x ，y )|y ＝b x ＋1，b >0，b ≠1}，若集合A ∩B 只有一个真子集，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 由于集合B 中的元素是指数函数y ＝b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A ∩B 只有一个真子集，那么y ＝b x ＋1(b >0，b ≠1)与y ＝a 的图象只能有一个交点，所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．11．已知集合P ＝{x |x (x －1)≥0}，Q ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则P ∩Q ＝__________.答案 (1，＋∞)解析 由x (x －1)≥0可得x ≤0或x ≥1，则P ＝(－∞，0]∪[1，＋∞)；又由x －1>0可得x >1，则Q ＝(1，＋∞)，所以P ∩Q ＝(1，＋∞)．12．已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则b a＝________.答案 －4解析 由A ＝{x |x >2或x <－1}，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，可得B ＝{x |－1≤x ≤4}，则a＝－1，b ＝4，故b a＝－4. 13．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________.答案 1解析 根据题意可得：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0是真命题，则Δ<0，即22－4m <0，m >1，故a ＝1.14．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)答案 ①④解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对③，因由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．15．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．答案 ②④解析 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x，y)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，对于k∈(0,1)，因为(kx)3＋(ky)3－(kx)2·(ky)＝0⇒x3＋y3－x2y＝0，所以(kx，ky)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，故④是具有性质P的点集．综上，具有性质P的点集是②④.。
1.集合、常用逻辑用语、不等式考向1 集合的概念及运算1.(2022·全国甲·理3)设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x 2-4x+3=0},则∁U (A ∪B )=( ) A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0}2.(2022·全国乙·理1)设全集U={1,2,3,4,5},集合M 满足∁U M={1,3},则( )A.2∈MB.3∈MC.4∉MD.5∉M3.(2022·新高考八省第二次T8联考)设集合A={x|log 2(x-1)<2},B={x|x<5},则( )A.A=BB.B ⊆AC.A ⊆BD.A ∩B=⌀ 4.(2022·安徽蚌埠质检三)设集合M={x|x=C 5m ,m ∈N *,m ≤5},则M 的子集个数为( )A.8B.16C.32D.64考向2 充分条件、必要条件与充要条件5.(2022·浙江·4)设x ∈R ,则“sin x=1”是“cos x=0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.(2022·河南濮阳一模)“b ≤1”是“函数f (x )={bx +2,x >0,log 2(x +2)+b ,-2<x ≤0是在(-2,+∞)上的单调函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若x ,y ∈R ,则“x<|y|”是“x 2<y 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(2022·河南许昌质检)若(x-a )2<4成立的一个充分不必要条件是1+12-x ≤0,则实数a 的取值范围为( ) A.(-∞,4] B.[1,4] C.(1,4)D.(1,4]考向3 常用逻辑用语9.(2022·河南郑州质检)已知命题p :∃x 0∈R ,3sin x 0+4cos x 0=4√2;命题q :∀x ∈R ,1e |x|≤1.则下列命题中为真命题的是 ( )A.p ∧qB.(¬p )∧qC.p ∨(¬q )D.¬(p ∨q )10.(2022·河南焦作一模)已知命题p :∃x 0∈N *,lg x 0<0,q :∀x ∈R ,cos x ≤1,则下列命题是真命题的是( ) A.p ∧q B.(¬p )∧q C.p ∧(¬q )D.¬(p ∨q )11.(2022·河南洛阳一模)已知命题p :"x ∈R ,x 2+x+1>0;命题q :若a>b ,则1a<1b.下列命题为真命题的是( ) A.(¬p )∨q B.(¬p )∧(¬q ) C.p ∧qD.p ∨q12.若“∃x 0∈12,2,使得2x 02-λx 0+1<0成立”是假命题,则实数λ的取值范围为 .考向4 不等关系及线性规划13.(2022·河南许昌质检)已知a>b>0,且a+b=1,则下列结论正确的是( ) A.ln(a-b )>0 B.√a +√b >2 C.b a >a bD.1a +1b >414.(2022·河南焦作二模)已知x ,y 满足约束条 件{2x -3y +6≥0,2x +y +2≥0,4x -y -8≤0,则3x-2y 的最大值为 ( )A.1B.4C.7D.1115.(2022·浙江·3)若实数x ,y 满足约束条件{x -2≥0,2x +y -7≤0,x -y -2≤0,则z=3x+4y 的最大值是( )A.20B.18C.13D.616.(2022·河南濮阳一模)设x ,y 满足约束条件{y ≥2x ,y ≥-x ,y ≤2,则z=y-x 的最大值是 .1.集合、常用逻辑用语、不等式1.D 解析: 由题意知B={1,3},则A ∪B={-1,1,2,3}, 所以∁U (A ∪B )={-2,0}, 故选D .2.A 解析: ∵U={1,2,3,4,5},∁U M={1,3}, ∴M={2,4,5},∴2∈M ,3∉M ,4∈M ,5∈M. 故选A .3.C 解析: log 2(x-1)<2⇔0<x-1<4⇔1<x<5,∴A={x|log 2(x-1)<2}={x|1<x<5},即A ⊆B ,故选C .4.A 解析: 因为C 51=C 54,C 52=C 53,所以集合中含有3个元素,则M 的子集个数为23=8,故选A .5.A 解析: 由sin x=1,得x=2k π+π2,k ∈Z ,此时cos x=0;由cos x=0,得x=k π+π2,k ∈Z ,此时sin x=±1,故选A .6.B 解析: 依题意,函数f (x )是在(-2,+∞)上的单调函数, ∵y=log 2(x+2)+b 在(-2,0]上单调递增, ∴f (x )在(-2,+∞)上单调递增, 需b>0且1+b ≤2,即0<b ≤1. 故选B .7.B 解析: 由x<|y|推不出x 2<y 2,如x=-3,y=1;由x 2<y 2得|x|<|y|,又因为x ≤|x|,所以x ≤|x|<|y|,所以x 2<y 2⇒x<|y|. 故选B .8.D 解析: 根据题意,(x-a )2<4⇔-2<x-a<2⇔a-2<x<a+2,不等式的解集为(a-2,a+2); 1+12-x ≤0⇔3-x2-x ≤0⇔(x-3)(x-2)≤0且x ≠2,解得2<x ≤3,不等式的解集为(2,3]; 若(x-a )2<4成立的一个充分不必要条件是1+12-x ≤0,则(2,3]⫋(a-2,a+2);则有{a -2≤2,a +2>3,解得1<a ≤4,即a 的取值范围为(1,4]. 故选D .9.B 解析: ∵3sin x+4cos x=5sin(x+θ)∈[-5,5],tan θ=43,4√2>5,∴命题p 为假命题.∵|x|≥0,∴1e|x|≤1e=1,∴命题q 为真命题,∴p ∧q 为假命题;(¬p )∧q 为真命题;p ∨(¬q )为假命题;¬(p ∨q )为假命题.故选B .10.B 解析: 因为∀x ∈N *,lg x ≥0,所以命题p 为假命题,¬p 为真命题.因为∀x ∈R ,cos x ≤1成立,所以命题q 为真命题,所以(¬p )∧q 为真命题.11.D 解析: 对命题p ,因为x 2+x+1=x+122+34>0恒成立,故命题p 为真命题.对命题q ,当a 为正数,b 为负数时,命题不成立,故命题q 为假命题,故只有选项D 为真命题,故选D .12.(-∞,2√2] 解析: 由题意得,“∀x ∈12,2,2x 2-λx+1≥0”为真命题,即λ≤2x+1x .因为2x+1x≥2√2x ·1x=2√2,当且仅当2x=1x,即x=√22时,等号成立,所以实数λ的取值范围为(-∞,2√2].13.D 解析: ∵a>b>0,且a+b=1,∴12<a<1,0<b<12, ∴0<a-b<1,ln (a-b )<0,故A 错误;∵1>a>b>0,∴√a +√b <1+1=2,故B 错误; 令f (x )=lnxx (0<x<1),则f'(x )=1-lnxx 2>0,故f (x )在(0,1)上单调递增,故lna a>lnb b,即b ln a>a ln b ,即ln a b >ln b a ,∴a b >b a ,故C 错误; ∵a>b>0,∴1a +1b =a+b a +a+b b =2+b a +a b ≥2+2√b a ·ab=4,当且仅当a=b 时,等号成立,∴1a +1b >4,故D正确.14. D 解析: 不等式组{2x -3y +6≥0,2x +y +2≥0,4x -y -8≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示,联立方程组{2x +y +2=0,4x -y -8=0,解得{x =1,y =-4,即B (1,-4),平移直线3x-2y=0至经过点B 时目标函数u=3x-2y 取得最大值,即u max =3×1-2×(-4)=11.15. B 解析: 根据约束条件画出可行域.可知当直线y=-34x+z4过点(2,3)时,z 取到最大值,为18,故选B .16.4 解析: 画出可行域如图所示,化目标函数为斜截式方程y=x+z ,则当直线y=x+z 在y 轴上截距最大时,z 取得最大值,联立{y =2,y =-x , 解得{x =-2,y =2,。
2020年高考数学二轮复习专题01：集合与常用逻辑用语一、单选题（共14题；共28分）1. ( 2分) 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. ( 2分) 已知集合A= ,B= ,则=（）A. B. C. D.3. ( 2分) 设全集为R，函数的定义域为M，则为（）A. (－∞，1)B. (1，＋∞)C. (－∞，1]D. [1，＋∞)4. ( 2分) 已知集合，，则（）A. B. C. D.5. ( 2分) 若集合，，则（）A. B. C. D.6. ( 2分) 如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.7. ( 2分) 若非空集合，，满足，且不是的子集，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. ( 2分) 命题：“ ，使”，这个命题的否定是A. ，使B. ，使C.，使D. ，使9. ( 2分) 已知命题p：命题“ ”的否定是“ ”；命题q：在△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“ ”是“a>b”的充要条件，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.10. ( 2分) 已知.若“ ”是真命题，则实数a的取值范围是（）A. (1，+∞) B. (－∞，3) C. (1，3) D.11. ( 2分) 已知，，，，则是（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12. ( 2分) 已知命题：，，则命题的否定为（）A. ，B. ，C. ，D. ，13. ( 2分) 下列说法正确的是（）A. 命题“ ”的否定是：“ ”B. “ ”是“ ”的必要不充分条件C.命题“若，则”的否命题是：若，则D.命题“若，则”的逆否命题为真命题.14. ( 2分) 有下列四个命题：⑴“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A. （1）（2）B. （2）（3）C. （4）D. （1）（2）（3）二、填空题（共3题；共5分）15. ( 2分 ) 已知，，，则________，________．16. ( 1分 ) 条件 ，条件，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是________．17. ( 2分 ) 已知命题p ：对任意的，不等式恒成立，则为________；若为假命题，则m 的取值范围是________．三、解答题（共4题；共40分）18. ( 10分 ) 设全集 .（1）当 时，求；（2）若，求实数 的取值范围.19. ( 10分 ) 设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则 ∈A(a≠1)．求证：（1）若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； （2）集合A 不可能是单元素集．20. ( 10分 ) 设 ，命题“方程有实数根”， 命题 “对任意实数 ，恒成立”.（1）若 为真命题，求 的最大值；（2）若为真命题，且为假命题，求 的取值范围.21. ( 10分 ) 设命题，命题 ：关于 不等式的解集为.（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；（2）若命题 或 是真命题， 且 是假命题，求实数 的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：由题得，∴.故答案为：A.【分析】通过解不等式求出集合B，结合交集的运算，求出.2.【答案】C【考点】交集及其运算，一元二次不等式的解法【解析】【解答】先解不等式得0<x<4,集合B= .由题意知集合A表示奇数集,所以A∩B= ,故答案为：C.【分析】通过解一元二次不等式求出集合B，结合集合A的含义及交集的运算，即可求出.3.【答案】A【考点】补集及其运算【解析】【解答】全集为R，函数的定义域为M＝{x| 0}＝{x|x 1}，则∁R M＝{x|x<1}＝(－∞，1)．故答案为：A．【分析】通过求函数的定义域求出M，即可得到相应的补集.4.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故答案为：A.【分析】通过解不等式求出集合A和集合B，结合补集和交集运算，即可求出.5.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用，集合的相等，交集及其运算【解析】【解答】集合，集合，，则,故答案为：【分析】利用绝对值不等式求解方法求出集合M的元素x的取值范围和利用一元二次不等式求出集合N 的元素y的取值范围，再来判断集合M和N的关系及二者的集合交集运算的结果，从而选出答案。
集合与常用逻辑用语【考纲解读】1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的从属关系,知道常用数集及其记号,了解集合中元素的确定性,互异性,无序性.会用集合语言表示有关数学对象.2.掌握集合的表示方法----列举法和描述法,并能进行自然语言与集合语言的相互转换,了解有限集与无限集的概念.3.了解集合间包含关系的意义,理解子集、真子集的概念和意义，会判断简单集合的相等关系.4．理解并集、交集的概念和意义，掌握有关集合并集、交集的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.掌握并集、交集的求法.5．了解全集的意义，理解补集的概念.掌握全集与补集的术语和符号，并会用它们正确地表示一些简单的集合，能用图示法表示集合之间的关系.掌握补集的求法.6.理解命题的概念;了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析种命题的相互关系;理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.7.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.8.理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【考点预测】3.注意弄清元素与集合、集合与集合之间的包含关系.4.能根据Venn图表达的集合关系进行相关的运算.5.注意区分否命题与命题的否定,前者是同时否定条件和结论,而后者只否定结论.6.原命题与其逆否命题等价,当直接判定命题条件的充要性有困难时，可等价地转化为对该命题的逆否命题进行判断.7.全称命题的否定是存在性命题,存在性命题的否定是全称命题.【考点在线】考点一集合的概念例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．这类题目主要考察不等式的性质成立的条件，以及条件与结论的充要关系.【备考提示】：正确理解集合中的代表元素是解答好本题的关键.练习1:若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．Q C． D．不知道【答案】B【解析】事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．考点二集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．(a2－3a－8), a3＋例2.若A={2，4, a3－2a2－a＋7},B={1, a＋1, a2－2a＋2,－12a2＋3a＋7}，且A∩B={2，5}，则实数a的值是________．【答案】2【解析】∵A∩B={2，5}，∴a3－2a2－a＋7=5,由此求得a=2或a=±1． A={2,4,5}.当a=1时，a2－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1．当a=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1．当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．故a=2为所求．【解析】分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=a c且a＋2b=a c2，消去b得：a＋a c2－2a c=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=a c2且a＋2b=a c，消去b得：2a c2－a c－a=0，．∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－12考点三集合间的关系例3.设集合A={a|a=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________．【答案】A=B【解析】任设a∈A，则a=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)，∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ a∈B,故A B⊆．①又任设b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故B A⊆②由①、②知A=B．【名师点睛】这里说明a∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理．【备考提示】：集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．考点四要注意利用数形结合思想解决集合问题集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．例4.设全集U={x|0<x<10,x∈N*}，若A∩B={3}，A∩C U B={1，5，7}，C U A∩C U B={9}，则集合A、B是________．【答案】A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}.【解析】由题意,画出图如下:由图可知: A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．【名师点睛】本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．【备考提示】：熟练数形结合的思想是解答好本题的关键.练习4.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．【答案】A∪B=R,A∩B={x|－6≤x＜－3或0<x≤1}.【解析】本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}．如图所示，∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0<x≤1}．【易错专区】问题1：空集例1.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－a x＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为______．解：∵ A∪B=A，,∴⊆B A∵ A={1，2}，∴ B=∅或B={1}或B={2}或B={1，2}．若B=∅，则令△<0得a∈∅；若B={1}，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；若B={2}，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根，∴a∈∅；若B={1，2}则令△>0得a∈R且a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2代入方程得a=3．1.（2011年高考山东卷文科1)设集合 M ={x|(x+3)(x-2)<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =( )（A ）[1,2) (B)[1,2] (C)( 2,3] (D)[2,3]【答案】A【解析】因为{}|32M x x =-<<，所以{}|12M N x x ⋂=≤<，故选A.2. （2011年高考海南卷文科1)已知集合{}0,1,2,3,4M =,{}1,3,5N =,P M N =⋂,则P 的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个【答案】B【解析】因为{}1,3M N ⋂=中有两个元素，所以其子集个数为224=个，选B. 3．(2011年高考安徽卷文科2)集合}{,,,,,U =123456，}{,,S =145,}{,,T =234,则()U S C T 等于( )（A ）}{,,,1456 (B) }{,15 (C) }{4 (D) }{,,,,12345 【答案】B【解析】{}1,5,6U T =，所以(){}1,6U S T =.故选B.4．(2011年高考广东卷文科2)已知集合(){,|A x y x y =、为实数，且}221x y +=，5． （2011年高考江西卷文科2)若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ）A.M N ⋃B.M N ⋂C.()()U U C M C N ⋃D.()()U U C M C N ⋂【答案】D【解析】{}4,3,2,1=⋃N M ,Φ=⋂N M ,()(){}6,5,4,3,2,1=⋃N C M C U U ,()(){}6,5=⋂N C M C U U .6.（2011年高考福建卷文科1)若集合M=｛-1，0，1｝，N=｛0，1，2｝，则M∩N 等于A.｛0，1｝B.｛-1，0，1｝C.｛0，1，2｝D.｛-1，0，1，2｝【答案】A【解析】因为{}{}{}1,0,10,1,20,1M N ⋂=-⋂=,故选A.7．（2011年高考湖南卷文科1)设全集{1,2,3,4,5},{2,4},U U M N M C N ===则N =（ ）A ．{1,2,3}B ．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4}答案：B解析：画出韦恩图，可知N ={1,3,5}。
