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高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)1.复数就像平面上的点，有实部和虚部。
2.复数就像向量，有大小和方向。
3.复数就像计算机中的复数类型，有实部和虚部。
4.复数就像两个数字的有序对，有序对的第一个数字是实部，第二个数字是虚部。
改写：关于复数的四种类比推理，可以用不同的比喻来描述复数的实部和虚部。
一种比喻是将复数看作平面上的点，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标；另一种比喻是将复数看作向量，实部和虚部分别对应向量的大小和方向；还可以将复数看作计算机中的复数类型，实部和虚部分别对应类型中的两个数；最后一种比喻是将复数看作有序对，实部和虚部分别对应有序对的第一个数字和第二个数字。
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则。
②由向量a的性质|a|²＝a²，可以类比得到复数z的性质：|z|²＝z²。
③方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R，且a≠0)有两个不同的实数根的条件是b²－4ac>0，类比可得方程ax²＋bx＋c＝0 (a，b，c∈C且a≠0)有两个不同的复数根的条件是b²－4ac>0.④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义。
其中类比得到的结论正确的是：A。
①③B。
②④C。
②③D。
①④2.删除明显有问题的段落。
3.填空题：11.若复数z满足z＋i＝0，则|z|＝1.12.直线y＝kx＋1与曲线y＝x³＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为4.13.第n个正方形数是n²。
14.＋＋＝AA′BB′CC′；＋＋＋＝AA′BB′CC′DD′。
4.解答题：15.1) F(x)的单调区间为(-∞。
0)和(2.+∞)。
2) F(x)在[1,5]上的最小值为-5，最大值为9.16.因为AD⊥BC，所以AB²=AD²+DB²。
又因为AB⊥AC，所以AC²=AD²+DC²。
3.2复数的四则运算复习：我们引入这样一个数/ J把/叫做虚数单位"并且规定：*=-1;形如尹bid, bWR）的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示•复数的代数形式^通常用字母运表示，即i (a w R.b e R)。
复数集C 和实数集R 之间有什么关系?「实数b = o纯虚数o = 0, b 工0 非纯虚数QH O, b^O实部 虚部 其中「称为虚数单位。
复数a+bi< 虚数b 工0 Z = Q 讨如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.若a，b,c，d e R,a+bi = c + di 特别地，a=b=Oa+b i二Do问题：a=0是z二a+b i （a、bwR）为纯虚数白勺必要不充分条件注意:一般地，两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小？答案：当且仅当两个复数都是实数时，才能比较大小.1 •复数加减法的运算法则：(1)运算法则:设复数G二a+b i, z2=c+d i,那么:z1+z2=(a+c) + (b+d) i ;z〔-Z2二(a-c) + (b-d) i. 即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)•⑵复数的加法满足交换律、结合律,即对任何Z” Z2, Z3ec,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2) +Z3二Z[+(Z2+Z3)-二二寸 — I —— 9—) + (T Z —「)H(Z寸+E)— — +—2 •复数的乘法(1)复数乘法的法则复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i 2换成T, 并且把实部合并•即：(a+b i) (c+d i)二ac+bc i +ad i +bd i2=(ac-bd)+(bc+ad)i.(2)复数乘法的运算定理复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.即对田可Z2, Z3有Z1Z2=Z2Z1：Z1Z2)Z3=Z1 Z2Z3)Zl(z2+z3)=z1z2+z1z3-例2：计算（1）（。
3.2 复数的四则运算（苏教版选修1-2）一、填空题（每小题6分，共30分）1.已知复数错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
.2.已知复数错误!未找到引用源。
且错误!未找到引用源。
是实数，则实数错误!未找到引用源。
.3.已知错误!未找到引用源。
是关于错误!未找到引用源。
的方程错误!未找到引用源。
的一个根，则实数错误!未找到引用源。
，实数错误!未找到引用源。
.4.已知复数错误!未找到引用源。
则复数错误!未找到引用源。
为.5.复数错误!未找到引用源。
等于 .二、解答题（共70分）6.（10分）关于错误!未找到引用源。
的方程错误!未找到引用源。
有实根，求实数错误!未找到引用源。
的值..7.（12分）已知错误!未找到引用源。
为共轭复数，且错误!未找到引用源。
求错误!未找到引用源。
的值.8.（12分）已知复数错误!未找到引用源。
且错误!未找到引用源。
,求错误!未找到引用源。
的值.9.（12分）已知z 是虚数，且z +z 1是实数，求证：11+-z z 是纯虚数.10.（12分）计算：(1)错误!未找到引用源。
(2)错误!未找到引用源。
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11.（12分）已知错误!未找到引用源。
是关于错误!未找到引用源。
的方程错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
的一个根，求实数错误!未找到引用源。
的值.3.2 复数的四则运算（苏教版选修1-2）答题纸得分：一、填空题1. 2. 3.4. 5.二、解答题6.7.8.9.10.11.3.2 复数的四则运算（苏教版选修1-2）答案1. 错误!未找到引用源。
解析:∵错误!未找到引用源。
∴错误!未找到引用源。
又错误!未找到引用源。
∴错误!未找到引用源。
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解析: 错误!未找到引用源。
因为错误!未找到引用源。
是实数，所以错误!未找到引用源。
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复数的新题速递
复数的题目具有活而不难的特点，且常考常新，要求具有灵活处理问题的能力，注意抓好基础，对复数的概念和运算要熟练掌握．同时在运算过程中要注意复数问题实数化方法，复数相关公式的灵活运用等．同学们在阅读本版“复数运算的常用方法”的基础上，再看下例．
例 设i 是虚数单位，12ω=-+，则使得(i )1n ω=成立的最小的正整数n 的值等于__________．
分析：可以先将复数i ω求出，再取123n =，，，逐一计算验证，从而求出n 的最小值；也可以根据复数i ω的幂值的周期性进行求解．
解法一：由于12ω=-+，
所以1i i 2
ω=，
于是21(i )2ω=，3(i )i ω=-，41(i )2ω=-+，51(i )i 2
ω=-，
6(i )1ω=-，71(i )i 22ω=
+，81(i )22ω=--，9(i )i ω=，101(i )22ω=-，
111(i )i 22
ω=-+，12(i )1ω=． 所以n 的最小值是12．
解法二：由于1i i =，2i 1=-，3i i =-，4i 1=，12ω=-+，212ω=-，31ω=，
所以1212124334(i )i (i )()1ωωω===，
故使(i )1n ω=成立的最小正整数是12．
点评：本题主要考查复数的乘法运算以及两个常用的虚数i ，ω的有关性
质．对于虚数单位i ，它的幂值具有周期性，复数12ω=-是1的一个虚立方根，它的幂值也具有周期性，利用这些性质可以方便地解决这类题目，它能考查同学们探索问题、解决问题的能力．。
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课时素养评价十二复数的乘方与除法运算(25分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)= ( )A.1B.-1C.iD.-i【解析】选D.====-i.2.若将复数表示为a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式,则a+b=( )A.0B.1C.2D.-1【解析】选B.因为==i,=a+bi,所以a=0,b=1,所以a+b=1.3.若z2+z+1=0,则z2 017+z2 018+z2 020+z2 021的值为( )A.2B.-2C.-+iD.-±i【解析】选B.因为z2+z+1=0,两边同乘(z-1),得z3-1=0,所以z3=1(z≠1),则z4=z,z2 017=(z3)672·z=z,于是原式=z2 017(1+z+z3+z4)=z(1+z+1+z)=z(2+2z)=2(z+z2)=-2.4.已知=1+i(i为虚数单位),则复数z等于( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【解析】选D.由题意,得z===-1-i.5.已知复数z满足:(1-i)z=4+2i(i为虚数单位),则z的虚部为( )A.1B.3C.3iD.-3【解析】选B.因为(1-i)·z=4+2i,所以z====1+3i,所以虚部为3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知i为虚数单位,若复数z=+i(a∈R)的实部与虚部互为相反数,则a=____________;=____________.【解析】z=+i=+i=+i,因为复数z=+i(a∈R)的实部与虚部互为相反数,所以-=,解得a=-.z=-+i,所以=--i.答案:- --i7.已知复数z=,则z·=____________.【解析】z=====-+,所以=--,于是z·=.答案:8.设a是实数,且∈R,则实数a=_______________. 【解析】因为∈R,所以不妨设=x,x∈R,则1+ai=(1+i)x=x+xi,所以有所以a=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.计算下列各题:(1)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).(2)+5+i2-.(3)(+i)5++.【解析】(1)原式=2(4-i)(3-i)+(7-i)(4-3i)=2(12-3i-4i+i2)+(28-4i-21i+3i2)=2(11-7i)+25(1-i)=47-39i.(2)原式=+5+i2-=i+5-1-i=i+4-i=4.(3)原式=-i·()5·[(1+i)2]2·(1+i)++i7=16(-1+i)--i =-+(16-1)i.10.复数z=,若z2+<0,求纯虚数a.【解析】z====1-i.因为a为纯虚数,所以可设a=mi(m≠0),则z2+=(1-i)2+=-2i+=-+i<0,所以解得m=4,所以a=4i.(20分钟·40分)1.(2020·全国Ⅱ卷)(1-i)4= ( )A.-4B.4C.-4iD.4i【解析】选A.(1-i)4===(-2i)2=-4.2.(5分)定义运算=ad-bc,则符合条件=4+2i的复数z=( )A.3+iB.3-iC.1+3iD.-1+3i【解析】选B.由定义知zi+z=4+2i,所以z===3-i.3.(5分)已知复数z=是纯虚数,则θ=_______________. 【解析】=(tan θ-)+i,因为z=是纯虚数,所以tan θ-=0,所以θ=kπ+(k∈Z).答案:kπ+(k∈Z)4.(5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=____________.【解析】因为zi=1+i,所以z==+1=1-i.所以z2=(1-i)2=1+i2-2i=-2i.答案:-2i5.(10分)计算:(1).(2)+.【解析】(1)==.(2)原式=+=+=i+i=2i.6.(10分)已知z2=8+6i,求z3-16z-.【解题指南】要求z3-16z-的值,应先求出复数z,再代入求解. 【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi=8+6i,所以解得或当z=3+i时,z3-16z-=(z2-16)z-=(-8+6i)(3+i)-=-30+10i-30+10i=-60+20i.当z=-3-i时,z3-16z-=(z2-16)z-=(-8+6i)(-3-i)+=30-10i+30-10i=60-20i.综上所述,z3-16z-=-60+20i或z3-16z-=60-20i.关闭Word文档返回原板块。
3.2《复数的四则运算》同步检测(2)一、基础过关1.1122(,,,x y x y ∈ R ）定义运算“⊙”为1z ⊙2z ＝2121y y x x +，设非零复数21,ωω在复平面内对应的点分别为21,P P ,点O 为坐标原点，若1ω⊙2ω＝0，则在21OP P ∆中，21OP P ∠的大小为__________.2．若且21z z 为纯虚数，则实数的值为___________. 二、能力提升3已知复数z 满足: 13i ,z z =+-求22(1i)(34i)2z++的值4.四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A B C ，，三点对应的复数分别为求D 点对应的复数．5. 已知复数z 满足|z |＝5，且(3+ 4i)z 是纯虚数，求z ．4 3 , 2 21iz i a z - = + =三、探究与拓展6.设1zz 是纯虚数，求复数z 对应的点的轨迹方程．7.已知复数1z ，2z 满足120z z ≠，1212z z z z +=-，证明：21220z z <．答案解析1. 解析一：（解析法）设，故得点),(111b a P，),(222b a P ，且2121b b a a +＝0，即12211-=⋅a b a b .从而有＝12211-=⋅a b a b .故21OP OP ⊥,也即.解析二：（用复数的模）同解析一的假设，知21212121||||b a OP +==ω,22222222||||b a OP +==ω,＝2121b a +＋2222b a +－2（2121b b a a +） ＝2121b a +＋2222b a +－2×0＝2121b a +＋2222b a +＝21||OP ＋22||OP .由勾股定理的逆定理知.解析三：（用向量的数量积）同解析一的假设，知，则有故.2.83 解析： 12z z =，又21z z 为纯虚数，3a －8＝0，且6＋4a ≠0,38=∴a .3. 解：设i(,)z a b a b =+∈R ，而13i ,z z =+-即2213i i 0a b a b +--++=,25) 4 6 ( 8 3 25 8 4 6 3 ) 4 3 )( 4 3 ( ) 4 3 )( 2 ( 4 3 2 ia a a i i a i i i i a i i a + + - = - + + = + - + + = - + ), ( ), , ( 22 211 1b a OP b a OP = = 221212 212 21 | ) ( ) ( | | | | | i b b a a P P - + - = - = ω ω21OP OP kk⋅ ， 0, ( , 21 2 2 2 1 1 1 ≠ + = + = a a i b a i b a ω ω则224,10,43i.3,30a a b a z b b ⎧=-⎧⎪++-=⇒=-+⎨⎨=-=⎩⎪⎩22(1i)(34i)2i(724i)247i34i 22(43i)43iz ++-++===+-+-.4．解：由已知并应用中点公式可得AC 的中点对应的复数为， 所以D 点对应的复数为[]32221)i 35i.2⨯+⨯-=+（- 5 解：设 z ＝x ＋y i （x , y ∈R ）, ∵ |z |＝5，∴ x 2＋y 2＝25.又(3＋4i)z =(3＋4i)(x ＋y i)＝(3x －4y )+(4x ＋3y )i 是纯虚数， ∴340,430,x y x y -=⎧⎨+≠⎩ 联立三个关系式解得4,3,x y =⎧⎨=⎩或4,3.=-⎧⎨=-⎩x y∴ z =4＋3i 或z ＝－4－3i ．6. 解：∵1z z + 是纯虚数，∴()1z z ++1z z +=0 ，即1z z ++1zz +=, ∴2(1)(1)zz z zz z ++++=0 ，∴).设i (，∈R )，2( 2＋2)＋2＝0（≠0），∴ (x ＋12)2＋y 2＝14（y ≠0）．它为复数z 对应点的轨迹方程． 7. 证明：设复数1z ，2z 在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由1212z z z z +=-知，以1OZ ，2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，12OZ OZ ⊥∴，故可设12i(,0)z k k k z =∈≠R ,所以2122222i z k k z ==-.32 2 i +。
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2011年阳山中学《复数》达标练习题一． 从数与形两个视角深刻理解复数的概念1、复数1-3i 的实部是 虚部是 ；复数2i-5的实部是 虚部是 ；复数1的实部是 虚部是 ；复数2i 的实部是 虚部是 .2、“复数),(R b a bi a Z ∈+=是纯虚数”是“0=a ”的 条件 3“0=a ”是“复数),(R b a bi a Z ∈+=是纯虚数”的 条件4、已知复数Z=(i m m m m )3()6522-++-，当 时，Z=0； 当 时，Z 是实数；当 时，Z 是虚数；当 时，Z 是纯虚数.5、在复平面内，O 是原点，已知向量OA 对应复数2+i,若点A 关于实轴的对称点位点B,则向量OB 对应的复数是 ；若点A 关于虚轴的对称点为点C 则向量OC 对应的复数是6（2010北京）在复平面内，复数i i 32,56+-+对应的点分别为B A ,。
若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是7、在复平面内，复数i -1对应的点与原点的距离是8、若复数)()1(12R a i a a Z ∈++-=是纯虚数，则Z =9、复数,2,221i Z i a Z +-=+=如果21Z Z <，则实数a 的取值范围是10、在复平面内对应的点.若复数Z 满足条件1=Z ，则复数Z 对应的点的轨迹是11、已知复数Z=(i m m m )23()122+-+-，当m 取何值时，Z 在复平面内对应的点.（1）位于第三象限.（2）在直线y=2x 上12、已知复数Z=(i m m m m )145()15822--++-，当m 取何值时，Z 在复平面内对应的点.（1）位于虚轴的负半轴；（2）位于第四象限.二、理解复数相等的充要条件1、若（i i y x y x 217)5()23-=-++，则x= ;y=2、若（x+y-3）+(x-3)i=0，则x= ;y= 3．已知11m ni i=-+，m n i 其中，是实数，是虚数单位，m ni +=则 4、若复数,3)(i i y x y x -=-++则复数yi x +在复平面内所对应的点在第 象限 5、若i b i a -=-)2(，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则22b a +=6、若0<<y x ，i i y x xy 52)(22-=+-，则=x三、能进行复数的加减运算及加减运算原理的应用1、计算:（6-3i ）-(3+2i) =2、计算:-3i-(3+2i) =3、在复平面内，复数6+5i 与-3+5i 对应的向量分别是OA 、OB ，其中O 是原点，求向量AB 及向量BA 对应的复数4、ABCD 是复平面内的平行四边形，A,B,C 三点对应的复数分别是1+3i,i,2+i ，求点D 对应的复数.四、能进行复数的乘除运算及乘除运算原理的应用1、计算：133i i+-=2、计算：()223i -= 3、计算： 3)2321(i -= 4、计算：()ii i --2)2(32= 5、已知复数Z 满足()333i z i +=，则Z=6、复数13z i =+，21z i =-，则复数21z z -在复平面内对应的点位于第 象限;复数12z z 在复平面内对应的点位于第 象限.7、复数)1)(21(i i -+在复平面内对应点在第 象限.8、复数35-i 的共轭复数是 . 9、“ad=bc ”是“复数a+bi 与c+di 的积是实数”的（ ）A 、充分但不必要条件；B 、必要但不充分条件；C 、既不充分又不必要条件；D 、充要条件.10、“复数a+bi 与c+di 的积是实数”是“ad=bc ”的（ ）A 、充分但不必要条件；B 、必要但不充分条件；C 、既不充分又不必要条件；D 、充要条件.11、已知（1+3i ）Z =4+3i,求Z 及Z Z12、Z Z +2iZ=8+6i,求Z13、C Z ∈，满足R Z Z ∈+1，41-Z 是纯虚数，求Z14、已知3i-2是关于x 的方程202=-+q px x 的一个根，求p,q 的值.15、已知关于ｘ的方程022)2(2=++++ki x i k x 有实根，求这个方程的实根以及实数ｋ的值．１６、解方程：0542=+-x x１７、（1）试求87654321,,,,,,,i i i i i i i i 的值；（2）由（1）推测n i （n )*∈N 的值有什么规律，并用式子表示出来。
3.2 复数的四则运算1、若复数z 满足1z =,则34i z --的最小值为( )A.1B.2C.3D.42、若i 为虚数单位,图中复平面内点Z 表示复数z ,则表示复数1z i+的点是( )A. EB. FC. GD. H 3、复数12,z z 分别对应复平面内的点12,M M ,且1212z z z z +=-,线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +,则2212z z +等于( )A.10B.25C.100D.2004、在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3i +,13i +,则对应的复数是( )A. 24i +B. 24i -+C. 42i -+D. 42i -5、设11i z i +=-,()21f x x x =-+,则()f z = ( ) A. iB. i -C. 1i -+D. 1i --6、(1)(2)i i +-=( )A. 3i --B. 3i -+C. 3i -D. 3i -7、i 是虚数单位, 411i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭等于( ) A. iB. i -C. 1D. 1-8、若复数 (32)z i i =- (i 是虚数单位),则z = ( )A. 32i -B. 32i +C. 23i +D. 23i -9、设i 是虚数单位,则复数32i i -= ( ) A. i -B. 3i -C. iD. 3i10、a 为正实数,i 为虚数单位, ii 2a +=,则a = ( ) A.2 B.D. 111、若12z a i =+,234z i =-,且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为__________. 12、设复数z 满足234z i =+ (i 是虚数单位)则z 的模为 .13、若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭__________. 14、已知a ,b R ∈,i 是虚数单位.若()()1a i i bi ++=,则a bi +=__________.15、已知复数()()()13113i i i z i -+--+=,()z ai a R ω=+∈,当z ω≤,求a 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：复数z 满足1z =,则复数z 对应的点的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,34i z --表示圆上的点到点()3,4的距离, 点()3,4到原点的距离是5,34i z --的最小值为51 4.-=2答案及解析：答案：D解析：由图知复数3z i =+,则()()()()31321111i i z i i i i i i +-+===-+++-,所以复数1z i +所对应的点是H .3答案及解析：答案：C 解析：由1212z z z z +=-,可知, 12OM OM ⊥,故12OM M ∆为直角三角形,故有2222221212124100z z OM OM M M OM +=+===,故选c.4答案及解析：解析：依题意有CD BA OA OB ==-.而()()31342i i i +--+=-,而CD 对应的复数为42i -,故选D.5答案及解析：答案：A解析：6答案及解析：答案：D解析：7答案及解析：答案：C 解析：()()()4244411211112i i i i i i i ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫====⎢⎥ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦或()()()()2224221211112i i i i i i ⎡⎤++⎛⎫===⎢⎥ ⎪-⎝⎭--⎢⎥⎣⎦.8答案及解析：答案：D解析：因为()3223z i i i =-=+,所以23z i =-,故选D.【考点定位】本题考查复数的基本运算,属于容易题.9答案及解析：答案：C 解析：322i i i i i-=-+=,故选C.10答案及解析：答案：B解析：∵i ii i 2a a ++===,∴a =又0a >,∴a =故选B.11答案及解析： 答案：83解析：()()()()()122343846 23434345a i i a a i z a i z i i i ++-+++===--+,它是纯虚数,所以380a -=,且460a +≠,解得83a =.故答案为: 83.12答案及解析：解析：∵234z i =+,∴225z z ===,∴z .13答案及解析：答案：6解析：∵12z i =+, ∴12z i =-. ∴11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭.14答案及解析：答案：12i +解析：由复数相等的定义求得a ,b 的值,即得复数.由()()1a i i bi ++=可得()()11a a i bi -++=,因此10a -=,1a b +=,解得1a =,2b =,故12a bi i +=+.15答案及解析：答案：()()()13113i i i z i -+--+=()()241311i i i i i i +-++===-, 因为()111z ai i ai a i ω=+=-+=+-, 所以()()()111112122a i i a i a ai z i ω+-+⎡⎤+--+⎣⎦===-.所以z ω=≤,所以2220a a --≤,所以11a ≤≤故a 的取值范围是1⎡⎣.解析：。
3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3共轭复数问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38]复数的加减运算[例1] 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.复数的乘法[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2＝－1＋3i. 答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝3， 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.共轭复数的概念[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [思路点拨]设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i(a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ，∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数， ∴由 az ＋2b z＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2，a 2＝－4，对应得 b 1＝－1，b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2，b ＝－1 或 a ＝－4，b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i 看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、 填空题1．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为________． 解析：(－i ＋3)－(－2＋5i) ＝－i ＋3＋2－5i ＝－6i ＋5.答案：5－6i2．若复数z ＝1－2i ，(i 为虚数单位)则z ·z ＋z 的实部是________． 解析：∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. 答案：63．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 解析：∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i) ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i＝－2i又z＋z＝2.∴z－z＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.。
高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔==Ｄ．11z z -是纯虚数或零答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限 Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ）Ａ．32Ｄ．3答案：Ａ8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2- Ｂ． Ｃ． Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA ，复数2ω对应的向量为OB ．那么向量AB 对应的复数是（ ）Ａ．1Ｂ．1-Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =． Ａ．0 Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．3答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线答案：Ａ二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角．答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ．答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ．答案：216．定义运算ab ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ．答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，yx的最大值．解：2x yi -+=∵22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知yx18．已知1z i a b =+，，为实数． （1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--，ω=∴； （2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知21z x =，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，．20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω．解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi --+=+++∴2222(4)4(2)a b bi a b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴ 222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴ 2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++ 844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i ++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点， z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围． （2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，，则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭． 因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； （2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++． 因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数； （3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦ 因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1．高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，，Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ）Ａ．{}M =实数 Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M 实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆 Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ） Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离 Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z 12z z -=（ ）Ａ．1Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i -14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ．答案：必要条件，但不是充分条件15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ．答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)n n i i -+-=· ．答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ．解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+，由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭． （1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-； （2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ ，2OZ 分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ ，2OZ 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =． 又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，2(11)OZ =-，．1258OZ OZ =∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴． 211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<．21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值．解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心， 画图可知，1z i =-时，min z =。
