2-11第十一节 变化率与导数、导数的计算练习题(2015年高考总复习)

第十一节 变化率与导数、导数的计算时间：45分钟 分值：100分基 础 必 做一、选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )] ＝3(x 2－a 2)． 答案 C2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194B.174C.154D.134解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.答案 D3．(2014·大纲全国卷)曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析 ∵y ＝x ex －1，∴y ′＝ex －1＋x ex －1.∴k ＝y ′|x ＝1＝e 0＋e 0＝2，选C. 答案 C4．(2015·山东烟台期末)若点P 是函数y ＝e x －e －x－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6 B.3π4 C.π4D.π6解析 由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x＋e －x－3≥2e x·e －x－3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)，所以α的最小值是3π4，故选B.答案 B5．(2014·重庆七校联盟联考)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率是( )A ．2B ．1C ．3D ．－2解析 由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8两边求导，得f ′(x )＝2f ′(2－x )×(－1)－2x ＋8.令x ＝1得 f ′(1)＝2f ′(1)×(－1)－2＋8⇒f ′(1)＝2，∴k ＝2.答案 A6．已知函数f (x )＝x 2的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3 B ．(0，－4) C ．(2,3)D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－14 解析 由题，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，f ′(x )＝2x ，则过A ，B 两点的切线斜率k 1＝2x 1，k 2＝2x 2，又切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即x 1x 2＝－14.两条切线方程分别为l 1：y ＝2x 1x－x 21，l 2：y ＝2x 2x －x 22，联立得(x 1－x 2)[2x －(x 1＋x 2)]＝0，因为x 1≠x 2，所以x ＝x 1＋x 22，代入l 1，解得y ＝x 1x 2＝－14，故选D.答案 D 二、填空题7．若曲线y ＝32x 2＋x －12的某一切线与直线y ＝4x ＋3平行，则切线方程为________．解析 设切点为(x 0，y 0)，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 0＋1,3x 0＋1＝4⇒x 0＝1. 又y 0＝32x 20＋x 0－12＝2，则切点为(1,2)，故切线的方程为y －2＝4(x －1)⇒y ＝4x －2. 答案 y ＝4x －28．(2014·陕西五校联考)已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为________．解析 点(1,3)既在直线y ＝kx ＋1上，也在曲线y ＝x 3＋ax ＋b 上，代入解得k ＝2，a＋b ＝2，又y ′|x ＝1＝2，∴3＋a ＝2，解得a ＝－1.∴b ＝3.答案 39．已知函数f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)的图象与直线x ＝1交于点P ，若函数f (x )的图象在点P处的切线与x 轴交点的横坐标为x n 则log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013的值为________．解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n，∴f ′(1)＝n ＋1. 又P (1,1)，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)． 令y ＝0，得x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1， ∴x 1x 2x 3…x 2 013＝12·23·34…2 0132 014＝12 014.∴log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013 ＝log 2 014x 1x 2x 3…x 2 013＝log 2 01412 014＝－1. 答案 －1 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程． 解 (1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， ∴所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20－3.又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)．故其斜率可表示为y 0－－2x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1.又x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)， 解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝－94. ∴y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值． (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝0，f ′0＝－a a ＋2＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0.∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 培 优 演 练1．设函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处切线的斜率为k ，则函数k ＝g (t )的部分图象为( )解析 ∵f (x )＝x sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝x cos x ，∴k ＝g (t )＝t cos t .g (t )为奇函数且当0<t <π时，g (t )>0，故选B. 答案 B2．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析 由y ＝x 2(x >0)得，y ′＝2x ，所以函数y ＝x 2(x >0)在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y－a 2k ＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝a k 2，所以a k ＋1＝a k 2，所以{a k }是首项为16，公比为12的等比数列，所以a 1＋a 3＋a 5＝16＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝21.答案 213．(2015·汉城国际学校调研)已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝mx 3＋nx 2，f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝－m ＋n ＝2，f ′－1＝3m －2n ＝－3，∴m ＝1，n ＝3.∴f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)． 由f ′(x )<0，得－2<x <0. 由题意，得[t ，t ＋1]⊆[－2,0]． ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－2，t ＋1≤0，∴－2≤t ≤－1.答案 [－2，－1]4．(2014·北京卷)已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2,1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1,2)，B (2,10)，C (0,2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)解 (1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3. 令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎪⎫－22＝2， f ⎝⎛⎭⎪⎫22＝－2，f (1)＝－1. 所以f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)． 则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3， 所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)． 因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)． 整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0. 设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)， g (x )与g ′(x )的情况如下：所以g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(0)>0且g(1)<0，即－3<t<－1时，因为g(－1)＝t－7<0，g(2)＝t＋11>0，所以g(x)分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．。

第十一节变化率与导数的概念、导数的运算题号 123456答案(1 , f(1))处的切线斜率为()A. 2 B 1 C. 1 D . — 2则y = f(x)在点(1 , f(1))处的切线斜率为—1. 答案：B2. (2013 •淄博模拟)已知函数f(x) = ax 2 + 3x — 2在点(2 , f(2))处的切线斜率为7,则 实数a 的值为()A.— 1 B . 1C.± 1 D . — 2解析: f ' (x) = 2ax + 3,依题意 f ' (2) = 7,即 4a + 3 = 7,得 a = 1,故选 B. 答案：B1 3.已知物体的运动方程是 s = 3t 3— 6t 2+ 32t(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为30的时刻是()A. 2秒或4秒B . 2秒或16秒 C. 8秒或16秒D . 4秒或8秒解析：瞬时速度v = s '= t 2— 12t + 32，令v = 0可得t = 4或t = 8.故选D. 答案：D4. (2014 •合肥模拟)若 f(x) = 2xf ' (1) + x 2，贝U f ' (0)等于( )A. 2 B . 0 C.— 2 D . — 4解析：f ' (x) = 2f ' (1) + 2x ,令 x = 1，则 f ' (1) = 2f ' (1) + 2,得 f ' (1) =— 2, 所以 f ' (0) = 2f ' (1 ) + 0=— 4. 答案：D点评：本题在对f(x)求导时易出错，原因是不能将2f '⑴ 看成x 的系数.1.设f(x)为可导函数,且满足lim X f 0(1)— f (1—2x )=—1,则曲线y = f(x)在点解析：limx f0f (1)— f (1 — 2x )2xlim x f0f (1 — 2x )—f (1)—2x=—1, 即y 'x =1= — 1 ,5. x21(2013 •天津河东区二模)已知曲线y= - —3ln x的一条切线的斜率为刁则切点的横坐标为()A.3 B . 2C.11 D. 2x 1解析：设切点的横坐标为x o,因为曲线y= 4 —3ln x的一条切线的斜率为？，所以y'x o 3 1 一= <)——，解得x o= 3(舍去x o= —2)，即切点的横坐标为 3.故选A.2 X o 2答案：A6. 若曲线y = x2在点(a, a2)(a>0)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a等于()A. 2 B . 4C^/2 D.萌解析：T点(a , a2)在曲线y= x2上，y'= 2x,切线的斜率为k = y'| x=a= 2a,切线方程为y—a = 2a(x —a).令x= 0，得y i = —a , a 1 a3令y = 0,得x i = 2，由面积关系得2区i lly i| = 2，即4 = 2，解得a= 2.故选A.答案：A7.(2013 •江西卷)若曲线y = x" + 1( a€ R)在点(1 , 2)处的切线经过坐标原点，则a 解析：y'=ax "：贝U k =a，故切线方程y=ax过点(1 , 2)解得a = 2.答案：2& (2013 •山西太原一模)已知a€ R,函数f(x) = x3+ ax2+ (a —3)x的导函数是偶函数，则曲线y = f(x)在原点处的切线方程为___________________________ .解析：f' (x) = 3x2+ 2ax + a —3，因为f' (x)是偶函数，所以该二次函数的对称轴为y 轴，所以a= 0,所以k = f ' (0) =—3，所以切线方程为y = —3x,即3x+ y = 0.答案：3x+ y= 0n n9. 已知函数f(x) = f' _______________________ — cos x + sin x，贝U f —的值为.解析：n n由题意，得f' (x) = —f' —sin x + cos x ? f' _=4 4—f'n n n —sin 一+ cos,, 4 4 42 2=2 - 1.2 1 + 2••• f(x)=( 一」2 — 1)cos x + sin x , •f4= (2— 1) cos4 +sin4 =匸答案：110. (2013 •江西卷)设函数 f(x)在(0,+^)内可导，且 f(e x ) = x + e x ，贝U f ' (1)=解析：分析：先求出函数f(x)的解析式，进而可求 f ‘ (1).解析：设 t = e x (t > 0)，则 x = In t ，故 f(t) = In t +1 , 1f ' (t) = t + 1，所以 f ' (1) = 1 + 1 = 2. 答案：211. 已知函数 f(x) = x + x —16.(1) 求曲线y = f(x)在点(2 , — 6)处的切线的方程；一 1 一(2) 如果曲线y = f(x)的某一切线与直线 y =— 4X + 3垂直，求切点坐标与切线的方程. 解析：⑴ 可判定点(2 , — 6)在曲线y = f(x) 上,因为f ' (x) = 3x 2+ 1,所以在点(2 , — 6)处的切线的斜率为 k = f ' (2) = 13.所以切线的方程为 y — ( — 6) = 13(x — 2)，即y = 13x — 32. 一 1 一(2)因为切线与直线y =— 4X + 3垂直， 所以切线的斜率 k = 4.设切点的坐标为(x o , y o )，贝U f ' (x 0) = 3x 2 + 1 = 4,x 0= 1,x 0=— 1 , 所以X 0=± 1,所以或y 0=— 14 y 0=— 18.所以切线方程为 y + 14= 4(x — 1)或y + 18= 4(x + 1), 即 y = 4x — 18 或 y = 4x — 14.3212 .已知函数 f(x) = x + (1 — a)x — a(a + 2)x + b(a , b € R). (1) 若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为一3，求a , b 的值;(2) 若曲线y = f(x)存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围. 解析：f ' (x) = 3x + 2(1 — a)x — a(a + 2). f (0)= b = 0,7t(1)由题意得2f' ( 0)=—a (a + 2)=—3,解得 b = 0, a=— 3 或 a = 1.⑵因为曲线y = f(x)存在两条垂直于y轴的切线.所以关于x的方程f' (x) = 3x2+ 2(1 —a)x —a(a + 2) = 0有两个不相等的实数根, 所以△= 4(1 —a)2+ 12a(a + 2) >0,21即4a + 4a+ 1 >0,所以a^—，+ 1 1所以a的取值范围为—a, — 2 U —2, .。

《变化率与导数》（理） 一、平均变化率1、已知函数()224f x x =-的图象上一点()1,2-及附近一点()1,2x y +∆-+∆，则yx∆∆等于（ ） A ．4 B ．4xC ．42x +∆D ．()242x +∆2、一质点运动的方程为253s t =-，则在一段时间[]1,1t +∆内相应的平均速度是（ ）A ．36t ∆+B ．36t -∆+C ．36t ∆-D ．36t -∆-二、导数的定义1、设()f x 在x 处可导，则()()lim2h f x h f x h h→+--等于（ ）A ．()2f x 'B ．()12f x ' C ．()f x ' D ．()4f x '2、若函数()f x 在0x 处的切线的斜率为k ，则极限()()0002limx f x x f x x∆→-∆-=∆_______．3、若()f x 在0x 处可导，则()()0002lim x f x x f x x∆→-∆-=∆________________．4、若()03f x '=-，则()()0003limh f x h f x h h→+--等于_____________．三、基本初等函数求导1、求下列函数的导函数 （1）()324y x x=-（2）sin xy x=（3）3cos 4sin y x x =- （4）()223y x =+(5)y ＝x ＋x 5＋sin xx 2； (6)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；（7）y =x sin x (8)y ＝11－x ＋11＋x； (9)y ＝x n e x ； (10)y ＝cos xsin x ； (11)y ＝e x ln x ；（12）y =x 2cos x2、若y =(2x 2-3)(x 2-4),则y ’= .3、若21,2xy x +=-则y ’= . 4、若423335,x x y x -+-=则y ’= . 5、若1cos ,1cos xy x+=-则y ’= .6、已知f （x ）=354337xx x x ++，则f ′（x ）=___________．7、已知f （x ）=xx++-1111，则f ′（x ）=___________．8、已知f （x ）=xx2cos 12sin +，则f ′（x ）=___________．9．质点运动方程是s =t 2（1+sin t ），则当t =2π时，瞬时速度为___________．10.质点的运动方程是23,s t t=+求质点在时刻t=4时的速度.11、f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′（－1）=4，则a 的值等于_______ 12、若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为________________13、若函数f (x )满足f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为( )A ．0B ． 2C ．1D ．－1四、曲线切线问题1、曲线221y x =+在()1,3P -处的切线方程是___________2、曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线方程是__________3、函数1y x =-在1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭处的切线方程是__________________4、与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是______．5、曲线2122y x =-在点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的倾斜角是________6、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程是______7、曲线y ＝sin x sin x ＋cos x－12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )．A ．－12 B.12 C ．－22 D.22 8、求过点（2，0）且与曲线y =x1相切的直线的方程． 9、若曲线f (x )＝ax 2＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 10、已知曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10上一点P ，求过曲线上P 点的所有切线中，斜率最小的切线方程．11、已知函数f (x )＝13x 3＋3xf ′(a )(其中a ∈R)，且f (a )＝76，求：(1)f (x )的表达式；(2)曲线y ＝f (x )在x ＝a 处的切线方程． 12、已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．13、、已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12，和直线m ：y ＝kx ＋9，又f ′(－1)＝0. (1)求a 的值；(2)是否存在k 的值，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．14、设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．五、复合函数求导1、（1）y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (4)y ＝ln(2x ＋5)．(5)y ＝x 2＋1； (6)y ＝sin 22x ； (7)y ＝e －x sin 2x;(8)y ＝ln 1＋x 2. (9)()ln 2y x =+ (10)4)31(1x y -=.(11)51xx y -= (12)x y 23-=(13)y=x 21-cos x(14)y=ln (x +21x +)(15)y =(x 2－3x +2)2sin3 (16)cos 3xy =(17)y =(18)y =32)12(1-x (19)y =4131+x(20)y =sin(3x －6π)(21)y =cos(1+x 2) (22)2sin x y =(23))13sin(ln -=x y ． (24) y =sin x 3+sin 33x ； (25)122sin -=x xy (26)Y=)2(log 2-x a(27)y=)132ln(2++x x2．已知y =21sin2x +sin x ，那么y ′是（ ） A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．非奇非偶函数3．函数y =sin 3（3x +4π）的导数为_____________4.若y=（sinx-cosx 3)，则y ’= .5.若y=2cos 1x +，则y ’= .6.若y=sin 3(4x+3)，则y ’= .7．函数y =（1+sin3x ）3是由___________两个函数复合而成．8．曲线y =sin3x 在点P （3π，0）处切线的斜率为___________．9.求曲线2211(2,)(3)4y M x x =-在处的切线方程.10．函数y =cos （sin x ）的导数为（ ）A ．－［sin （sin x ）］cos xB ．－sin （sin x ）C ．［sin （sin x ）］cos xD ．sin （cos x ） 11．函数y =cos2x +sin x 的导数为（ ）A ．－2sin2x +xx2cos B ．2sin2x +xx 2cosC ．－2sin2x +xx 2sin D ．2sin2x －xx 2cos12．过曲线y =11+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为 A ．2y －8x +7=0 B ．2y +8x +7=0 C ．2y +8x －9=0 D ．2y －8x +9=013．函数y =x sin （2x －2π）cos （2x +2π）的导数是______________．14．函数y =)32cos(π-x 的导数为______________． 15．函数y =cos 3x 1的导数是___________． 16．函数y =ln （3－2x －x 2）的导数为( )A ．32+xB ．2231x x -- C ．32222-++x x x D ．32222-+-x x x17．函数y =lncos2x 的导数为( )A ．－tan2xB ．－2tan2xC ．2tan xD ．2tan2x 18．函数y =x ln 的导数为A ．2x x lnB ．xx ln 2C ．xx ln 1 D ．xx ln 2119．在曲线y =59++x x 的切线中，经过原点的切线为________________． 20.函数y =ln （lnx ）的导数为 . 21.函数y =lg (1+cosx )的导数为 .22.求函数y =ln 22132x x +-的导数．23．下列求导数运算正确的是( )A ．（x +x 1）′=1+21xB ．（log 2x ）′=2ln 1xC ．（3x ）′=3x log 3eD ．（x 2cos x ）′=－2x sin x 24．函数y =xxa 22-（a >0且a ≠1），那么y ′为( )A ．xxa 22-ln aB ．2（ln a ）xxa 22- C ．2（x －1）xx a 22-·ln a D ．（x －1）xx a22-ln a25．函数y =sin32x 的导数为( ) A ．2（cos32x ）·32x ·ln3 B ．（ln3）·32x ·cos32xC ．cos32xD ．32x ·cos32x26．设y =xx ee 2)12(+，则y ′=___________． 27．函数y =x22的导数为y ′=___________．28．曲线y =e x －e ln x 在点（e ，1）处的切线方程为___________． 29.求函数y=e 2x lnx 的导数.。

课时提升作业(十三)变化率与导数、导数的计算(25分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·哈尔滨模拟)已知f(x)=x(2 013+ln x),f ′(x0)=2 014,则x0等于( )A.e2B.1C.ln 2D.e【解析】选B.因为f(x)=2 013x+xln x,所以f ′(x)=2 013+ln x+1=2 014+ln x,又因为f ′(x0)=2 014,所以2 014+ln x0=2 014,解得x0=1.2.若f(x)=2xf ′(1)+x2,则f ′(0)等于( )A.2B.0C.-2D.-4【解析】选D.f ′(x)=2f ′(1)+2x,令x=1,则f ′(1)=2f ′(1)+2,得f ′(1)=-2,所以f ′(0)=2f ′(1)+0=-4.【误区警示】本题在对f(x)求导时易出错,原因是不能将2f ′(1)看成x 的系数.3.(2015·重庆模拟)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a 的值为( )A.1B.2C.-1D.-2【解析】选B.设切点坐标为(x0,y0),由y ′=1x a +知0x x y |='=01x a + =1,即x0+a=1.解方程组()00000x a 1,y ln x a ,y x 1,+=⎧⎪=+⎨⎪=+⎩得00x 1,y 0,a 2.=-⎧⎪=⎨⎪=⎩故选B.【加固训练】已知函数y=xln x,则其在点x=1处的切线方程是( )A.y=2x-2B.y=2x+2C.y=x-1D.y=x+1【解析】选C.因为y=x ln x.所以y ′=1×ln x+x ·1x =1+ln x,y ′|x=1=1.又当x=1时y=0.所以切线方程为y=x-1.4.已知曲线y=14x2-3ln x 的一条切线的斜率为-12,则切点横坐标为( )A.-2B.3C.2或-3D.2【解析】选D.设切点坐标为(x0,y0),因为y ′=13x ,2x - 所以0x x 00131y |x ,2x 2='=-=- 即20x +x0-6=0,解得x0=2或x0=-3(舍),故选D.【误区警示】本题易误选C,原因是忽视了函数的定义域. 5.(2015·唐山模拟)若曲线y=x12-在点(m,m 12-)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则m 的值为( ) A.8 B.-8 C.64 D.-64【解析】选C.y ′=321x 2--,切线的斜率k=321m 2--⋅,切线方程为y- m 12-=321m 2-- (x-m).从而直线的横、纵截距分别为3m,123m 2-.所以三角形的面积S=12×|3m ×123m 2-|=129m 4,由129m 4=18得m=64.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2013·江西高考)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(ex)=x+ex,则f ′(1)= .【解题提示】利用换元法求出f(x),再求导.【解析】令ex=t,则x=ln t. f(t)=t+ln t.所以f(x)=x+ln x.所以f ′(x)=1+1x ,从而f ′(1)=2.答案:27.(2013·广东高考)若曲线y=kx+ln x 在点(1,k)处的切线平行于x 轴,则k= .【解析】y ′=k+1x ,则y ′|x=1=k+1=0.解得k=-1.答案:-18.(2015·郑州模拟)曲线y=31x 3+x 在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 . 【解析】若y=31x 3+x,则y ′|x=1=2,即曲线y=31x 3+x 在点4(1,)3处的切线方程是y-43=2(x-1),它与坐标轴的交点是12(,0),0,),33-(围成的三角形的面积为19. 答案:19三、解答题(每小题10分,共20分) 9.已知曲线y=31x3+43.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程.(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.【解析】(1)根据已知得点P(2,4)是切点且y ′=x2,所以在点P(2,4)处的切线的斜率为y ′|x=2=4.所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.(2)设曲线y=31x 3+43与过点P(2,4)的切线相切于点30014A(x ,x ),33+则切线的斜率为02x x 0y |x ='=.所以切线方程为()3200014y (x )x x x 33-+=-,即y=230024x x x 33⋅-+.因为点P(2,4)在切线上,所以4=2300242x x 33-+,即30x -320x +4=0,所以30x +20x -420x +4=0,所以20x (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,所以(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.10.已知函数f(x)=2ax 6x b -+的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0,求y=f(x)的解析式.【解析】由已知得,-1+2f(-1)+5=0,所以f(-1)=-2,即切点为(-1,-2).又f ′(x)=()()()()()2222ax 6x b ax 6x b x b -'+--+'+()222ax 12x ab ,x b -++=+所以()2a 62,1b a 12ab 1,21b --⎧=-⎪+⎪⎨--+⎪=-+⎪⎩解得a 2,b 3.=⎧⎨=⎩所以f(x)=22x 6x 3-+.(20分钟 40分)1.(5分)(2015·淮南模拟)点P 是曲线x2-y-ln x=0上的任意一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离为( )A.1B.32C.52D.2【解析】选D.将x2-y-ln x=0变形为y=x2-ln x(x>0),则y ′=2x-1x ,令y ′=1,则x=1或x=-12(舍),可知函数y=x2-ln x 的斜率为1的切线的切点横坐标为x=1,纵坐标为y=1.故切线方程为x-y=0.则点P 到直线y=x-2的最小距离即x-y=0与y=x-2的两平行线间的距离0222+=.2.(5分)已知f1(x)=sin x+cos x,记f2(x)=f ′1(x),f3(x)=f ′2(x),…,fn(x)=f ′n-1(x)(n ∈N*,且n ≥2),则12 2 014 2 015f ()f ()f ()f ()2222ππππ++⋅⋅⋅++= . 【解题提示】分别求出f1(x),f2(x),f3(x),f4(x),发现其规律再求解.【解析】f1(x)=sin x+cos x,f2(x)=cos x-sin x,f3(x)=-sin x-cos x,f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x,…,因此,函数fn(x)(n ∈N*)周期性出现且周期为4.又f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0,所以12 2 014 2 015123f ()f (f ()f ()f ()f ()f ()2222222πππππππ++⋅⋅⋅++=++） sin cos cos sin sin cos 1.222222ππππππ=++---=-答案:-13.(5分)(2015·武汉模拟)已知曲线f(x)=xn+1(n ∈N*)与直线x=1交于点P,设曲线y=f(x)在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为xn,则log2 015x1+log2 015x2+…+log2 015x2 014的值为 .【解析】由题意知P(1,1),f ′(x)=(n+1)xn,k=f ′(1)=n+1,点P(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得x=1-1nn1n1=++,即xn=nn1+,所以x1·x2·…·x2 014=123 2 013 2 0141 234 2 014 2 015 2 015⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=,则log2 015x1+log2 015x2+...+log2 015x2 014=log2 015(x1·x2·…x2 014)=log2 01512 015=-1.答案:-14.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-14x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.【解析】(1)可判定点(2,-6)在曲线y=f(x)上.因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1.所以曲线在点(2,-6)处的切线的斜率为f′(2)=13. 所以切线的方程为y-(-6)=13(x-2),即13x-y-32=0.(2)设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)=23x+1,所以直线l的方程为y=(32x+1)(x-x0)+3x+x0-16.又因为直线l过点(0,0),所以0=(32x+1)(-x0)+3x+x0-16,整理得3x=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,所以直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)因为切线与直线y=-x4+3垂直,所以切线的斜率为4.设切点的坐标为(x0′,y0′),则f′(x0′)=3x′20+1=4,所以x0′=±1,所以x1,y14'=⎧⎨'=-⎩或x1,y18.'=-⎧⎨'=-⎩即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),所以切线方程为y-(-14)=4(x-1)或y-(-18)=4(x+1).即4x-y-18=0或4x-y-14=0. 【加固训练】(2014·沧州模拟)已知函数f (x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b ∈R).(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求a,b 的值.(2)若曲线y=f(x)存在两条垂直于y 轴的切线,求a 的取值范围.【解析】f ′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).(1)由题意得()()()f 0b 0,f 0a a 23,==⎧⎪⎨'=-+=-⎪⎩解得b=0,a=-3或a=1.(2)因为曲线y=f(x)存在两条垂直于y 轴的切线.所以关于x 的方程f ′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0有两个不相等的实数根,所以Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,即4a2+4a+1>0,所以a ≠-12.所以a 的取值范围为11(,)(,)22-∞-⋃-+∞.5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)=x-2x ,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率相同,求a 的值,并判断两条切线是否为同一条直线.【解题提示】分别对f(x),g(x)求导.求出切线斜率,然后求出a 可得切线方程,再判断.【解析】根据题意有f ′(x)=1+22x ,g ′(x)=-a x .曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f ′(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线斜率为g ′(1)=-a.所以f ′(1)=g ′(1),即a=-3.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y-f(1)=3(x-1),得:y+1=3(x-1),即切线方程为3x-y-4=0.曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为y-g(1)=3(x-1).得y+6=3(x-1),即切线方程为3x-y-9=0,所以,两条切线不是同一条直线.。

变化的快慢与变化率精选题31道一．选择题（共14小题）1．设函数f（x）可导，则等于（）A．f′（1）B．3f′（1）C．D．f′（3）2．已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图，则对于函数y＝f（x）的描述正确的是（）A．在（﹣∞，0）上为减函数B．在x＝0处取得最大值C．在（4，+∞）上为减函数D．在x＝2处取得最小值3．若y＝f（x）在（﹣∞，+∞）可导，且，则f′（a）＝（）A．B．2C．3D．4．在曲线y＝x2+1的图象上取一点（1，2）及邻近一点（1+△x，2+△y），则△y：△x为（）A．△x++2B．△x﹣﹣2C．△x+2D．2+△x﹣5．若f（x）＝lnx+x3，则＝（）A．1B．2C．4D．86．设f（x）在x＝1处的导数为2，则＝（）A．B．C．D．67．函数y＝x2在区间[x0，x0+△x]上的平均变化率为k1，在[x0﹣△x，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是（）A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．k1与k2的大小关系不确定8．设函数f（x）＝x2﹣1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是（）A．2.1B．0.21C．1.21D．12.19．设f（x）是可导函数，当h→0时，，则f'（x0）＝（）A．2B．C．﹣2D．10．设函数f（x）＝x2+ax，且，则a＝（）A．B．C．1D．﹣111．设函数y＝f（x）可导，则等于（）A．f'（1）B．3f'（1）C．D．以上都不对12．已知函数f（x）＝e2x，则＝（）A．e B．﹣e C．e2D．﹣e213．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（1）＝﹣1，则＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣114．已知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为1，则＝（）A．0B．C．1D．2二．多选题（共2小题）（多选）15．某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式S（t）＝3sin（t+），则下列说法正确的有（）A．S（t）在[0，2]上的平均变化率为m/hB．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24hC．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低D．18时潮水起落的速度为m/h（多选）16．小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时的瞬时速度为V（t），区间[0，t1]，[0，t2]，[t1，t2]上的平均速度分别为V1，V2，V3，则下列判断正确的有（）A．V1＜V2＜V3B．C．对于V i（i＝1，2，3），存在m t∈（0，t2），使得V（m t）＝V1D．整个过程小明行走的速度一直在加快三．填空题（共14小题）17．酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是．18．函数f（x）＝lnx在区间[1，e]上的平均变化率为．19．设函数f（x）可导，则＝．20．已知函数f（x）＝2x3，则＝．21．酒杯的形状为倒立的圆锥（如图），杯深9cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为3cm时，水升高的瞬时变化率为．22．如图，酒杯的形状为倒立的圆锥．杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，则当水深为4cm时，时刻t＝s，水升高的瞬时变化率v＝cm/s．23．已知函数，则＝．24．已知函数f（x）＝3x2﹣x，则＝．25．已知f'（x0）＝3，则＝．26．函数y＝x2+x在x＝1到x＝1+h之间的平均变化率为．27．如图，函数y＝f（x）在[1，3]上的平均变化率为．28．已知一物体的运动方程是S＝24t﹣3t2（S的单位为m，t的单位为s），则该物体在时间段[0，6]内的平均速度与t时刻的瞬时速度相等，则t＝s．29．在x＝1附近，取△x＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是．30．已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为，则在t＝40min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为mm/min．四．解答题（共1小题）31．已知自由落体运动的方程为（g为常数），求：（1）落体在t0到t0+d这段时间内的平均速度；（2）落体在t＝10s这一时刻的瞬时速度．变化的快慢与变化率精选题31道参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．设函数f（x）可导，则等于（）A．f′（1）B．3f′（1）C．D．f′（3）【分析】利用导数的定义即可得出．【解答】解：＝＝．故选：C．【点评】本题考查了导数的定义，属于基础题．2．已知函数y＝f（x），其导函数y＝f'（x）的图象如图，则对于函数y＝f（x）的描述正确的是（）A．在（﹣∞，0）上为减函数B．在x＝0处取得最大值C．在（4，+∞）上为减函数D．在x＝2处取得最小值【分析】结合图象，求出函数的单调区间，在判断函数的最值．【解答】解：当0＜x＜2或x＞4时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，2），（4，+∞）上单调递减，当2＜x＜4或x＜0时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（2，4）（﹣∞，0）上单调递增，∴当x＝0或x＝4时函数取的极大值，∴函数f（x）最大值为，max{f（0），f（4）}，无最小值，故选：C．【点评】本题考查了导数和函数的单调性和极值，最值的关系，属于中档题．3．若y＝f（x）在（﹣∞，+∞）可导，且，则f′（a）＝（）A．B．2C．3D．【分析】根据导数的定义进行求解即可．【解答】解：∵，∴•＝1，即f′（a）＝1，则f′（a）＝，故选：D．【点评】本题主要考查导数的计算，根据导数的极限定义进行转化是解决本题的关键．4．在曲线y＝x2+1的图象上取一点（1，2）及邻近一点（1+△x，2+△y），则△y：△x为（）A．△x++2B．△x﹣﹣2C．△x+2D．2+△x﹣【分析】此题应用函数值的变化量与自变量的变化量的比值求得．【解答】解：△y：△x＝＝△x+2．故选：C．【点评】通过计算函数值的变化来解，比较简单．5．若f（x）＝lnx+x3，则＝（）A．1B．2C．4D．8【分析】根据题意，求出f（x）的导数，进而可得f′（1）＝4，又由极限的性质可得由＝2f′（1），计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝lnx+x3，其导数f′（x）＝+3x2，则f′（1）＝4，又由＝2×＝2f′（1），则＝8，故选：D．【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的性质和计算，属于基础题．6．设f（x）在x＝1处的导数为2，则＝（）A．B．C．D．6【分析】根据＝＝f′（1），即可求出．【解答】∵f′（1）＝2，∴＝＝f′（1）＝，故选：A．【点评】本题考查了函数的变化率与导数的关系，属于基础题．7．函数y＝x2在区间[x0，x0+△x]上的平均变化率为k1，在[x0﹣△x，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是（）A．k1＞k2B．k1＜k2C．k1＝k2D．k1与k2的大小关系不确定【分析】直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解．【解答】解：∵函数y＝f（x）＝x2在x0到x0+△x之间的平均变化量为：△y＝f（x0+△x）﹣f（x0）＝（x0+△x）2﹣（x0）2＝△x（2x0+△x）∴k1＝＝2x0+△x．∵函数y＝f（x）＝x2在x0﹣△x到x0之间的平均变化量为：△y＝f（x0）﹣f（x0﹣△x）＝（x0）2﹣（x0﹣△x）2＝△x（2x0﹣△x）∴k2＝＝2x0﹣△x．∵k1﹣k2＝2△x，而△x＞0，故k1＞k2．故选：A．【点评】本题考查了函数的平均变化率的概念及的求法，解答此题的关键是熟记概念，是基础题．8．设函数f（x）＝x2﹣1，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是（）A．2.1B．0.21C．1.21D．12.1【分析】求出自变量x的改变量，求出函数值的改变量，由函数值的改变量除以自变量的改变量即可得到答案．【解答】解：△x＝1.1﹣1＝0.1，△y＝1.12﹣1﹣（12﹣1）＝0.21．所以函数的平均变化率为．故选：A．【点评】本题考查了变化的快慢与变化率，是基础的概念题．9．设f（x）是可导函数，当h→0时，，则f'（x0）＝（）A．2B．C．﹣2D．【分析】根据导数的定义即可求出．【解答】解：当h→0时，，则f'（x0）＝＝﹣2，故选：C．【点评】本题考查了导数的定义，属于基础题10．设函数f（x）＝x2+ax，且，则a＝（）A．B．C．1D．﹣1【分析】根据题意，求出函数的导数，进而可得f′（1）的值，由导数的定义可得f′（1）＝＝2+a＝1，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x2+ax，则f′（x）＝2x+a，则有f′（1）＝2+a，若，即f′（1）＝＝2+a＝1，解可得：a＝﹣1；故选：D．【点评】本题考查导数的计算以及极限的性质，注意导数的定义，属于基础题．11．设函数y＝f（x）可导，则等于（）A．f'（1）B．3f'（1）C．D．以上都不对【分析】利用导数的定义式f′（x）＝可得答案．【解答】解：∵函数y＝f（x）可导，根据导数的定义式f′（x）＝可得∴＝f'（1），故选：A．【点评】本题考查平均变化率的极限，即导数的定义，属于基础题．12．已知函数f（x）＝e2x，则＝（）A．e B．﹣e C．e2D．﹣e2【分析】求导，根据导数在某点的极限值，即可求得结论．【解答】解：∵f（x）＝e2x，∴f′（x）＝2e2x，∴＝﹣＝﹣f′（1）＝﹣2e2＝﹣e2，故选：D．【点评】本题考查了导数的定义与运算法则，属于基础题．13．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（1）＝﹣1，则＝（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【分析】直接利用导数的定义进行求解即可．【解答】解：根据导数的定义可知，＝f'（1）＝﹣1．故选：D．【点评】本题考查了平均变化率的应用，涉及了导数定义的理解和应用，解题的关键是掌握导数的定义，属于基础题．14．已知函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为1，则＝（）A．0B．C．1D．2【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解．【解答】解：因为函数y＝f（x）在x＝x0处的导数为1，则＝＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了导数的定义的简单应用，属于基础试题．二．多选题（共2小题）（多选）15．某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式S（t）＝3sin（t+），则下列说法正确的有（）A．S（t）在[0，2]上的平均变化率为m/hB．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24hC．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低D．18时潮水起落的速度为m/h【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，S（t）在[0，2]上的平均变化率＝＝﹣，A错误，对于B，S（t）＝3sin（t+），其最小正周期为＝24，则相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h，B正确，对于C，当t＝6时，S（6）＝3sin（×6+）＝﹣，不是S（t）的最小值，C 错误，对于D，S（t）＝3sin（t+），其导数S′（t）＝3（t+）′cos（t+）＝cos（t+），则有S′（18）＝，D正确，故选：BD．【点评】本题考查变化率的计算，涉及正弦函数的性质，属于基础题．（多选）16．小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时的瞬时速度为V（t），区间[0，t1]，[0，t2]，[t1，t2]上的平均速度分别为V1，V2，V3，则下列判断正确的有（）A．V1＜V2＜V3B．C．对于V i（i＝1，2，3），存在m t∈（0，t2），使得V（m t）＝V1D．整个过程小明行走的速度一直在加快【分析】可通过题意，分别表示出V1，V2，V3，再根据选项A，B进行比大小，即可确定；选项C可根据图像，由线与直线的交点，即可判断，选项D，可以观察曲线在各点处的切线方程的斜率，即可判断．【解答】解；由题意可知；V1＝，V2＝，v3＝，由图像可知t1＜t2且2t1＞t2，因此V1＝＜V2＝，t2﹣2（t2﹣t1）＝2t1﹣t2＞0，所以t2＞2（t2﹣t1），因此V2＝＜v3＝，此时V1＜V2＜V3，故A正确；由V1+V3﹣2V3＝S0（），＝＞0，故＞V2，故B正确；由图像可知，直线与曲线的交点为（t1，），故存在m i∈（0，t2），使得V（m i）＝V i，即当m i＝t1时，V（t1）＝V1，故C正确；t时刻的瞬时速度为V（t），判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，由图像可知，当t＝t1时，切线方程的斜率最大，故在此时，平均速度最快，故D不正确．故选：ABC．【点评】本题考查根据函数图像研究平均速度的大小，变化快慢的比较，属中档题．三．填空题（共14小题）17．酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是．【分析】作出如图的图象，建立起水面高h与时间t的函数关系，利用导数求出水面升高时的瞬时变化率即得到正确答案【解答】解：由题意，如图，设t时刻水面高为h，水面圆半径是r，由图知可得r＝h，此时水的体积为×π×r2×h＝又由题设条件知，此时的水量为20t故有20t＝，故有h＝h'＝××又当h＝4时，有t＝，故h＝4时，h'＝××＝当水深为4cm时，则水面升高的瞬时变化率是故答案为【点评】本题考查变化的快慢与变化率，正确解答本题关键是得出高度关于时间的函数关系，然后利用导数求出高度为4时刻的导数值，即得出此时的变化率，本题是一个应用题求解此类题，正确理解题意很关键．由于所得的解析式复杂，解题时运算量较大，要认真解题避免因为运算出错导致解题失败．18．函数f（x）＝lnx在区间[1，e]上的平均变化率为．【分析】根据平均变化率的公式进行求解即可．【解答】解：函数f（x）＝lnx在区间[1，e]上的平均变化率为．故答案为：．【点评】本题考查了函数在给定区间上的平均变化率，属基础题．19．设函数f（x）可导，则＝．【分析】利用导数的定义进行分析即可得到答案．【解答】解：因为函数f（x）可导，所以＝．故答案为：．【点评】本题考查了瞬时变化率与导数的关系的应用，属于基础题．20．已知函数f（x）＝2x3，则＝0．【分析】根据条件得出＝f′（0），再运用导数运算公式求解即可．【解答】解：∵f（x）＝2x3，∴f′（x）＝6x2，∴＝f′（0）＝0，故答案为：0．【点评】本题考查了导数的概念，关键理解极限给出式子，导数的计算公式，属于基础题．21．酒杯的形状为倒立的圆锥（如图），杯深9cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为3cm时，水升高的瞬时变化率为．【分析】作出如图的图象，建立起水面高h与时间t的函数关系，利用导数求出水面升高时的瞬时变化率即可．【解答】解：由题意，如图，设t时刻水面高为h，水面圆半径是r，由图知＝可得r＝h，此时水的体积为×π×r2×h＝πh3，又由题设条件知，此时的水量为20t，故有20t＝πh3，故有h＝，∴h′＝××，又当h＝3时，此时t＝，故h＝3时，h'＝，当水深为3cm时，水升高的瞬时变化率v＝cm/s．故答案为：．【点评】本题考查变化的快慢与变化率，本题关键是得出高度关于时间的函数关系，然后利用导数求出高度的导数即可．22．如图，酒杯的形状为倒立的圆锥．杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，则当水深为4cm时，时刻t＝s，水升高的瞬时变化率v＝cm/s．【分析】作出如图的图象，建立起水面高h与时间t的函数关系，利用导数求出水面升高时的瞬时变化率即得到正确答案【解答】解：由题意，如图，设t时刻水面高为h，水面圆半径是r，由图知＝可得r＝h，此时水的体积为×π×r2×h＝h3，又由题设条件知，此时的水量为20t，故有20t＝h3，故有h＝（•t），∴h′＝×（•t）×，又当h＝4时，此时t＝，故h＝4时，h'＝×（）×＝，当水深为4cm时，水升高的瞬时变化率v＝cm/s，故答案为：，．【点评】本题考查变化的快慢与变化率，正确解答本题关键是得出高度关于时间的函数关系，然后利用导数求出高度为4时刻的导数值，即得出此时的变化率，本题是一个应用题求解此类题，正确理解题意很关键．由于所得的解析式复杂，解题时运算量较大，要认真解题避免因为运算出错导致解题失败．23．已知函数，则＝﹣4．【分析】根据题意，由极限的运算性质可得原式＝2f'（0），求出函数f（x）的导数，进而可得f′（1）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，，而函数，其导数f'（x）＝3x﹣2e x，则f'（0）＝3×0﹣2e0＝﹣2，故，故答案为：﹣4．【点评】本题考查导数的定义，涉及极限的运算性质，属于基础题．24．已知函数f（x）＝3x2﹣x，则＝10．【分析】根据f（x）的表达式，求出f（1+△x）﹣f（1﹣△x），再求出极限即可．【解答】解：∵f（x）＝3x2﹣x，∴f（1+△x）﹣f（1﹣△x）＝3（1+△x）2﹣（1+△x）﹣3（1﹣△x）2+（1﹣△x）＝10△x，∴＝＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查导数概念和应用，属于基础题．25．已知f'（x0）＝3，则＝6．【分析】利用平均变化率以及导数的定义求解即可．【解答】解：因为f'（x0）＝3，则＝3，所以＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了平均变化率以及导数的定义的理解与应用，属于基础题．26．函数y＝x2+x在x＝1到x＝1+h之间的平均变化率为h+3．【分析】根据题意，由平均变化率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数y＝x2+x，Δy＝（1+h）2+（1+h）﹣1﹣1＝h2+3h，Δx＝1+h﹣1＝h，则其平均变化率＝＝h+3，故答案为：h+3．【点评】本题考查函数的平均变化率的概念及的求法，注意平均变化率的计算，是基础题．27．如图，函数y＝f（x）在[1，3]上的平均变化率为﹣1．【分析】根据平均变化率公式计算可得；【解答】解：依题意可得f（1）＝3、f（3）＝1，所以f（x）在[1，3]上的平均变化率；故答案为：﹣1．【点评】本题考查平均变化率的求法，考查计算能力，是基础题．28．已知一物体的运动方程是S＝24t﹣3t2（S的单位为m，t的单位为s），则该物体在时间段[0，6]内的平均速度与t时刻的瞬时速度相等，则t＝3s．【分析】利用平均变化率，导数的计算公式求解即可．【解答】解：∵S＝24t﹣3t2，∴S′＝24﹣6t，∴物体在时间段[0，6]内的平均速度为＝24﹣6t，∴t＝3，故答案为：3．【点评】本题主要考查了平均变化率，导数的计算公式，属于基础题．29．在x＝1附近，取△x＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是③．【分析】分别求出各个函数在△x＝0.3时的平均变化率，再比较即可．【解答】解：△x＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1，②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2+△x＝2.3，③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3+3△x+（△x）2＝3.99，④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝﹣＝﹣，∴k3＞k2＞k1＞k4．所以平均变化率最大的是：③．故答案为：③．【点评】本题主要考查了函数的变化快慢，考查了函数的平均变化率，是基础题．30．已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：mm）与时间（单位：mm）的函数关系可近似表示为，则在t＝40min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为mm/min．【分析】直接求出函数的导数，代入时刻t＝40min，可得降雨强度．【解答】解：因为，∵，∴，故在t＝40min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为．故答案为：．【点评】本题主要考查导数的实际应用，属于基础题．四．解答题（共1小题）31．已知自由落体运动的方程为（g为常数），求：（1）落体在t0到t0+d这段时间内的平均速度；（2）落体在t＝10s这一时刻的瞬时速度．【分析】（1）根据平均速度公式计算；（2）首先求落体在[10，10+Δt]这段时间的平均速度，当Δt趋近于0时，求平均速度的极限，即落体在t＝10s这一时刻的瞬时速度．【解答】解：（1）落体在t0到t0+d这段时间内的平均速度是：；（2）落体在[10，10+Δt]这段时间的平均速度是：，当Δt无限趋近于0时，平均速度趋近于10g，所以落体在t＝10s这一时刻的瞬时速度时10g．【点评】本题考查平均速度、瞬时速度、极限等基础知识，考查运算求解能力，是基础题。

第十一节变化率与导数、导数的计算[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x 0处的瞬时变化率lim Δx→0f x0＋Δx－f x0Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx.(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．[探究] 1.f ′(x )与f ′(x 0)有何区别与联系？提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是常数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值． 2．曲线y ＝f (x )在点P 0(x 0，y 0)处的切线与过点P 0x 0，y 0)的切线，两种说法有区别吗？提示：(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．3．过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ，过函数y ＝f (x )图象上一点P 的切线与图象也只有公共点P 吗？提示：不一定，它们可能有2个或3个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)f xg x ′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．3C ．4D ．－73解析：选B ∵f (x )＝13x 3＋2x ＋1，∴f ′(x )＝x 2＋2.∴f ′(－1)＝3.2．曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线方程为( ) A ．x ＋y ＋2＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0D ．x －y －2＝0解析：选A ∵f (x )＝2x －x 3，∴f ′(x )＝2－3x 2. ∴f ′(－1)＝2－3＝－1. 又f (－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为y ＋1＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋2＝0. 3．y ＝x 2cos x 的导数是( ) A ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin x B ．y ′＝2x cos x －x 2sin x C ．y ＝2x cos x D ．y ′＝－x 2sin x解析：选B y ′＝2x cos x －x 2sin x . 4．(教材习题改编)曲线y ＝sin xx在点M (π，0)处的切线方程是________．解析：∵f (x )＝sin x x ，∴f ′(x )＝x ·cos x －sin xx2， ∴f ′(π)＝－ππ2＝－1π.∴切线方程为y ＝－1π(x －π)，即x ＋πy －π＝0.答案：x ＋πy －π＝05．(教材习题改编)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.解析：由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝3－1＝2. 答案：2[例1] 求下列函数的导数(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ；(2)y ＝ln xx；(3)y ＝tan x ； (4)y ＝3x e x－2x＋e.[自主解答] (1)∵y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x－x ＝x 12-－x 12，∴y ′＝(x 12-)′－(x 12)′＝－12x 32-－12x 12-.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝ln x ′x －x ′ln x x 2＝1x·x －ln xx 2＝1－ln xx2. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x ＝cos x cos x －sin x －sin x cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝(3x e x)′－(2x)′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′＝3x (ln 3)·e x ＋3x e x－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.若将本例(3)中“tan x ”改为“sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4”如何求解？解：∵y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝－sin x 2cos x 2＝－12sin x∴y ′＝－12cos x ．———————————————————求函数的导数的方法(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．1．求下列函数的导数(1)y ＝x ＋x 5＋sin xx 2；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝11－x ＋11＋x ；(4)y ＝cos 2x sin x ＋cos x .解：(1)∵y ＝x 12＋x 5＋sin xx 2＝x32-＋x 3＋sin x x2，∴y ′＝(x32-)′＋(x 3)′＋(x －2sin x )′＝－32x 52-＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2c os x .(2)y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.(3)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－－x －x2＝2－x2.(4)y ＝cos 2xsin x ＋cos x＝cos x －sin x ，∴y ′＝－sin x －cos x . [例2] 求下列复合函数的导数： (1)y ＝(2x －3)5；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)． [自主解答] (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5由y ＝u 5与u ＝2x －3复合而成，∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5)′(2x －3)′ ＝5u 4·2＝10u 4＝10(2x －3)4.(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x 由y ＝u 12与u ＝3－x 复合而成． ∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′ ＝12u －12(－1)＝－12u 12-＝－123－x ＝3－x 2x －6.(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y ′x ＝y ′u ·u ′v ·v ′x ＝2u ·cos v ·2 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ， ∴y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5.———————————————————复合函数求导应注意三点一要分清中间变量与复合关系；二是复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的任一环；三是必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其复合关系．2．求下列复合函数的导数：(1)y ＝(1＋sin x )2；(2)y ＝ln x 2＋1；(3)y ＝1－3x4；(4)y ＝x 1＋x 2.解：(1)y ′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x . (2)y ′＝(ln x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·( x 2＋1)′ ＝1x 2＋1·12(x 2＋1)12 ·(x 2＋1)′＝xx 2＋1.(3)设u ＝1－3x ，y ＝u －4.则y x ′＝y u ′·u x ′＝－4u －5·(－3) ＝12－3x5.(4)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′·1＋x 2＋x () 1＋x 2′＝1＋x 2＋x 21＋x2＝1＋2x21＋x2.[例3] (1)(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．(2)已知曲线y ＝13x 3＋43.①求曲线在点P (2,4)处的切线方程； ②求斜率为4的曲线的切线方程． [自主解答] (1)y ＝x 22，y ′＝x ，∴y ′|x ＝4＝4，y ′|x ＝－2＝－2.点P 的坐标为(4,8)，点Q 的坐标为(－2,2)， ∴在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8.在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，得A (1，－4)，则A 点的纵坐标为－4.(2)①∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.②设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4，x 0＝±2.切点为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， ∴切线方程为y －4＝4(x －2)或y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0或12x －3y ＋20＝0. [答案] (1)－4若将本例(2)①中“在点P (2,4)”改为“过点P (2,4)”如何求解？ 解：设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P，在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋\f(4,3)，即x 30－3x 20＋4＝0.∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0. ∴x 20x 0＋－x 0＋x 0－＝0.∴x 0＋x 0－2＝0.解得x 0＝－1或x 0＝2.故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.———————————————————1．求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)． 2．求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为x ＝x 0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．3．已知函数f (x )＝2 x ＋1(x >－1)，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线l 分别交x 轴和y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求x 0＝1时，切线l 的方程；(2)若P 点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，233，求△AOB 的面积．解：(1)f ′(x )＝1x ＋1，则f ′(x 0)＝1x 0＋1， 则曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))的切线方程为y －f (x 0)＝1x 0＋1(x －x 0)，即y ＝x x 0＋1＋x 0＋2x 0＋1. 所以当x 0＝1时，切线l 的方程为x －2y ＋3＝0. (2)当x ＝0时，y ＝x 0＋2x 0＋1； 当y ＝0时，x ＝－x 0－2. S △AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋2x 0＋1x 0＋＝x 0＋22 x 0＋1， ∴S △AOB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋222－23＋1＝839.[例4] 已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12C.[)－1，＋∞D.(]－∞，－1[自主解答] 由题意知曲线上存在某点的导数为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x＝1有正根，即2ax 2＋2x －1＝0有正根． 当a ≥0时，显然满足题意；当a <0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a <0.综上，a ≥－12.[答案] A ——————————————————— 导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．4．若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ(0<θ<π)，且f (x )＋f ′(x )是奇函数，则θ＝________.解析：∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ， ∴f ′(x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ. 于是y ＝f ′(x )＋f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＋θ＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋θ＋π2＝2cos(3x ＋θ)，由于y ＝f (x )＋f ′(x )＝2cos(3x ＋θ)是奇函数， ∴θ＝k π＋π2(k ∈Z )．又0<θ<π，∴θ＝π2.答案：π2个区别——“过某点”与“在某点”的区别曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．个防范——导数运算及切线的理解应注意的问题(1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． (2)利用导数公式求导数时，只要根据几种基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．(3)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．(4)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧.易误警示——导数几何意义应用的易误点[典例] (2013·杭州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A.[答案] A [易误辨析]1．如果审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点，则易误选B.2．解决与导数的几何意义有关的问题时， 应重点注意以下几点： (1)首先确定已知点是否为曲线的切点是解题的关键；(2)基本初等函数的导数和导数运算法则是正确解决此类问题的保证； (3)熟练掌握直线的方程与斜率的求解是正确解决此类问题的前提． [变式训练]1．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12 C ．－22D.22解析：选By ′＝cos xx ＋cos x －x －sin xxx ＋cos x 2＝1x ＋cos x2，故y ′⎪⎪⎪4x π=＝12.∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12. 2．已知函数f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，则函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线方程是________．解析：由f (x )＝x 3＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2－x ，可得f ′(x )＝3x 2＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －1，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23×23－1，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－1，即f (x )＝x 3－x 2－x .则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233－⎝ ⎛⎭⎪⎫232－23＝－2227，故函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线方程是 y ＋2227＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －23，即27x ＋27y ＋4＝0.答案：27x ＋27y ＋4＝0一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )解析：选D 据函数的图象易知，x <0时恒有f ′(x )>0，当x >0时，恒有f ′(x )<0.2．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．不确定解析：选C 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1，∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f ′(x )>0， ∴f (x )＝cos x ＋x 是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的增函数，注意到－π3<π3，于是有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 3．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( ) A ．0 B ．－1 C.12D ．2解析：选C f ′(x )＝3x 2－2tx －4，f ′(－1)＝3＋2t －4＝0，t ＝12.4．曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 依题意得y ′＝(x ＋1)e x＋2，则曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率为y ′|x ＝0，故曲线y ＝x e x＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝3x ，即y＝3x －1.5．(2013·大庆模拟)已知直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 有公共点，则k 的最大值为( ) A ．1 B.1e C.2eD.2e解析：选B 从函数图象知在直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 相切时，k 取最大值．y ′＝(lnx )′＝1x ＝k ，x ＝1k (k ≠0)，切线方程为y －ln 1k ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1k ，又切线过原点(0,0)，代入方程解得ln k ＝－1，k ＝1e.6．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2.下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x解析：选A 由已知，令x ＝0得2f (0)>0，排除B 、D 两项；令f (x )＝x 2＋14，则2x 2＋12＋x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14′＝4x 2＋12>x 2，但x 2＋14>x 对x ＝12不成立，排除C 项．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4. 答案：－48．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是________．解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.答案：x －y －2＝09．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 解析：曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解． 又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0. 故实数a 的取值范围是(－∞，0)．答案：(－∞，0)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y ＝f (x )的解析式．解：由已知得，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2，即切点为(－1，－2)．又f ′(x )＝ax －x 2＋b －ax －x 2＋bx 2＋b 2＝－ax 2＋12x ＋ab x 2＋b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b ＝－2，－a －12＋ab ＋b 2＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.∴f (x )＝2x －6x 2＋3.11．如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a <－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程； (2)求△ABD 的面积S 1.解：(1)由条件知点A (－1,2)为直线l 1与抛物线C 的切点． ∵y ′＝4x ，∴直线l 1的斜率k ＝－4. 所以直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)， 即4x ＋y ＋2＝0.(2)点A 的坐标为(－1,2)，由条件可求得点B 的坐标为(a,2a 2)， 点D 的坐标为(a ，－4a －2)，∴△ABD 的面积为S 1＝12×|2a 2－(－4a －2)|×|－1－a |＝|(a ＋1)3|＝－(a ＋1)3.12．如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |. 解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)， ∵y ＝e x，∴y ′＝e x，∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n )．(2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1，∴x k ＝－(k －1)， ∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n1－e －1＝e －e 1－ne －1，即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－ne －1.1．设函数f (x )在x 0处可导，则lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx等于( )A ．f ′(x 0)B ．－f ′(x 0)C ．f (x 0)D ．－f (x 0)解析：选B lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0Δx＝－lim Δx →0 f [x 0＋－Δx－f x 0－Δx＝－f ′(x 0)．2．求下列各函数的导数：(1)(x )′＝12x 12-；(2)(a x)′＝a 2ln x ；(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ； (4)⎝⎛⎭⎪⎫x x ＋1′＝1x ＋1，其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选B 根据函数的求导公式知只有(1)正确．3．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析：∵y ′＝2x ，∴点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12.∴a 3＝4，a 5＝1.∴a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：214．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b x2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y－y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0.从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

第1讲变化率与导数、导数的计算一、选择题1.设y＝x2e x，则y′＝()A.x2e x＋2xB.2xe xC.(2x＋x2)e xD.(x＋x2)e x解析y′＝2xe x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.答案 C2.已知函数f(x)的导函数为f′（x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于() A.－e B.－1C.1D.e解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′（x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案 B3.曲线y＝sin x＋e x在点(0，1)处的切线方程是()A.x－3y＋3＝0B.x－2y＋2＝0C.2x－y＋1＝0D.3x－y＋1＝0解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.答案 C4.(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为()A.eB.－eC.1e D.－1e解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′｜x＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e.答案 C5.(2017·昆明诊断)设曲线y ＝1＋cos xsin x 在点π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于() A.－1B.12C.－2D.2解析∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′｜x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1. 答案A二、填空题6.若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，则a ＝________. 解析因为y ′＝2ax －1x，所以y ′｜x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，解得a ＝12.答案127.(2017·长沙一中月考)如图，y ＝f(x)是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f(x)在x ＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g ′（x)是g(x)的导函数，则g ′(3)＝________. 解析由图形可知：f(3)＝1，f ′(3)＝－13，∵g ′（x)＝f(x)＋xf ′（x)，∴g ′(3)＝f(3)＋3f ′(3)＝1－1＝0. 答案8.(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k ＝y ′｜x＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.又该切线与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0，∴a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案8三、解答题9.已知点M是曲线y＝13x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围.解(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，所以当x＝2时，y′＝－1，y＝5 3，所以斜率最小的切线过点2，53，斜率k＝－1，所以切线方程为x＋y－113＝0.(2)由(1)得k≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈0，π2∪3π4，π.10.已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限.(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程.解(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4).(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－14.∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－14(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.11.(2016·山东卷)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是() A.y＝sin x B.y＝ln xC.y＝e xD.y＝x3解析若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′（x2)＝－1.对于A：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π（k∈Z)时，结论成立；对于B：y′＝1x，若有1x1·1x2＝－1，即x1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于C：y′＝e x，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；对于D：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.答案 A12.(2017·合肥模拟)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y ＝x－2的最小距离为()A.1B.32C.52D. 2解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1，1)，点(1，1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为 2.答案 D13.若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.解析∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′（x)＝x－a＋1x (x>0).∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′（x)存在零点，即x＋1x－a＝0有解，∴a＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号).答案[2，＋∞)14.已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0).若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线.解根据题意有f′（x)＝1＋2x2，g′（x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1). 所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。

高中数学变化率问题、导数精选题目（附答案）(1)函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子f(x2)－f(x1)x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为Δy Δx.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．②若物体运动的路程与时间的关系式是S＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率f(t0＋Δt)－f(t0)Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．(3)导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(4)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(5)导函数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．2．已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．3．若一物体的运动方程为S ＝⎩⎨⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：S )．求：(1)物体在t ＝3 S 到t ＝5 S 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 S 时的瞬时速度．求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系S ＝S (t )；(2)求时间改变量Δt ，位移改变量ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； (3)求平均速度Δs Δt； (4)求瞬时速度v ＝lim Δt →0Δs Δt. 4．一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：S )，若该质点在t ＝2 S 时的瞬时速度为8 m/S ，求常数a 的值．[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f (x )＝|x |在x ＝0处是否存在导数？解：不一定，f (x )＝|x |在x ＝0处不存在导数．因为Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝|Δx |Δx ＝⎩⎨⎧1，Δx >0，－1，Δx <0，所以当Δx →0时，Δy Δx 的极限不存在，从而在x ＝0处的导数不存在．5．利用导数的定义求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．6．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．7．已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．8．已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．9．若曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．10．已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?11．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的()(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()12．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()参考答案：1.解：(1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.(1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的形式．2.解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f(2)－f(1) 2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f(5)－f(3)5－3＝5＋15－⎝⎛⎭⎪⎫3＋132＝14 15.因为12<14 15，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．3.[尝试解答](1)因为ΔS＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 S到t＝5 S这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/S)．(2)因为ΔS＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以Δs Δt＝3(Δt)2－12ΔtΔt＝3Δt－12，则物体在t＝1 S时的瞬时速度为S′(1)＝limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0(3Δt－12)＝－12(m/S)．4.解：因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2S 时，瞬时速度为S ′(2)＝lim Δx →0 Δs Δt＝4a (m/S )． 由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.5.解： Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ， ∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4ΔxΔx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δt →0(3Δx ＋4)＝4. 6.解：由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝li m Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 7.解： (1)设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝lim Δx →0 x 20＋2x 0·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx＝2x 0， ∴y ′|x ＝1＝2.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.(2)点P (3,5)不在曲线y ＝x 2上，设切点为(x 0，y 0)， 由(1)知，y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，由P (3,5)在所求直线上得5－y 0＝2x 0(3－x 0)，① 再由A (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上得y 0＝x 20，② 联立①，②得x 0＝1或x 0＝5.从而切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2， 此时切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10， 此时切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上所述，过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y ＝2x －1或y ＝10x－25.8.解：y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.9.解：设P点坐标为(x0，y0)，Δy Δx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋1－x30＋3x20－1Δx＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.所以f′(x0)＝limΔx→0[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0]＝3x20－6x0，于是3x20－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x ＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.10.解：设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).11.解：(1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.12.解析：选D函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．。

第十一节 变化率与导数、导数的计算强化训练1.若曲线2y x ax b =++在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( )A.a =1,b =1B.a =-1,b =1C.a =1,b =-1D.a =-1,b =-1答案:A解析:∵y ′=2x +a , ∴曲线2y x ax b =++在(0,b )处的切线方程斜率为a ,切线方程为y -b =ax ,即ax -y +b =0.∴a =1,b =1.2.若42()f x ax bx c =++满足f ′(1)=2,则f ′(-1)等于( )A.-4B.-2C.2D.4答案:B解析:求导后导函数为奇函数,所以选择B.3.某市在一次降雨过程中,降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可近似地表示为()y f t ==则在时刻t =40 min 的降雨强度为( )A.20 mm/minB.400 mm/minC.12 mm/minD.14mm/min 答案:D解析:f ′()10t ==∴f ′1(40)4==,选D. 4.f ′(x )是31()213f x x x =++的导函数,则f ′(-1)的值是 . 答案:3解析:f ′2()2x x =+,故f ′(-1)=3.5.函数y =x cos x 在3x π=处的导数值是 .答案:12-解析:y ′=cos x -x sin x ,当3x π=时,y ′12=-.6.已知函数f (x )=ln 21()(2x g x x a a ,=+为常数),直线l 与函数f (x ),g (x )的图象都相切,且l 与函数f (x )、g (x )图象的切点的横坐标为1,求直线l 的方程及a 的值.解:由f ′(x )|11x ==,故直线l 的斜率为1,切点为(1,f (1)),即(1,0),∴l :y =x -1. ①又∵g ′(x )=x =1, 切点为1(1)2a ,+. ∴l :1()12y a x -+=-, 即12y x a =-+. ② 比较①和②的系数得112a -+=-, ∴12a =-.见课后作业B题组一 导数的概念和计算1.设f (x )=x ln x ,若f ′0()2x =,则0x 等于( )A.e 2B.eC.ln22D.ln2 答案:B解析:f ′1()1x x x=⋅+⋅ln x =1+ln x , 由1+ln 02x =,知0x =e.2.设0()f x =cos 10()x f x f ,=′21()()x f x f ,=′(x ),…,1()n n f x f +=′()x n ,∈N ,则2010()f x 等于( )A.sin xB.-sin xC.cos xD.-cos x答案:D 解析:∵1()(f x =cos x )′=-sin 2()x f x ,=(-sin x )′=-cos 3()(x f x ,=-cos x )′=sin x , 4()(f x =sin x )′=cos x ,…,由此可知()n f x 的值周期性重复出现,周期为4,故20102()()f x f x ==-cos x3.设函数32sin ()3f x x x θ=++tan θ,其中5[0]12θπ∈,,则导数f ′(1)的取值范围是( )A.[-2,2]B.C.2]D.2] 答案:D解析:∵f ′(x )=sin 2x θ⋅+cos x θ⋅,∴f ′(1)=sin θ+2θ=sin ()3θπ+. ∵5[0]12θπ∈,, ∴3[]433θπππ+∈,.∴sin ()1]3θπ+∈.∴f ′(1)2]∈.4.已知221()x f x x+=的导函数为f ′(x ),则f ′(i)等于(i 为虚数单位)( ) A.-1-2iB.-2-2iC.-2+2iD.2-2i答案:D 解析:因为f ′2422(21)()x x x x x -+=,所以f ′(i)242i 2i(2i 1)242i-+==-+-i=2-2i. 5.设函数f (x )=x (x +k )(x +2k )(x -3k ),且f ′(0)=6,则k 等于( )A.0B.-1C.3D.-6答案:B解析:f ′(x )=(x +k )(x +2k )(x -3k )+x [(x +k )(x +2k )(x -3k )]′,故f ′3(0)6k =-.又f ′(0)=6,故k =-1.题组二 导数的几何意义6.(2011江西高考,文4)曲线y =e x 在点A(0,1)处的切线斜率为( )A.1B.2C.eD.1e答案:A解析:y ′=e x ,当x =0时,e 01=,即y ′=1.7.若曲线2()f x ax =+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 . 答案:(0)-∞,解析:f ′1()2x ax x=+. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线,∴f ′(x )=0有解,即120ax x+=有解. ∴212a x=-. ∴(0)a ∈-∞,.8.已知函数3()16f x x x =+-.(1)求曲线y =f (x )在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l 为曲线y =f (x )的切线,且经过原点,求直线l 的方程及切点坐标;(3)如果曲线y =f (x )的某一切线与直线14y x =-+3垂直,求切点坐标与切线的方程. 解:(1)∵f ′3()(16)x x x =+-′231x =+,∴在点(2,-6)处的切线的斜率为k =f ′(2)=13.∴切线的方程为y =13(x -2)+(-6),即y =13x -32.(2)法一:设切点为00()x y ,,则直线l 的斜率为f ′200()31x x =+,∴直线l 的方程为200(31)()y x x x =+-+30x +016x -.又∵直线l 过点(0,0),∴2300000(31)()16x x x x =+-++-.整理得308x ,=-.∴02x =-.∴30(2)(2)1626y =-+--=-,23(2)113k =⨯-+=.∴直线l 的方程为y =13x ,切点坐标为(-2,-26).法二:设直线l 的方程为y =kx ,切点为00()x y ,,则3000000160y x x k x x -+-==,- 又∵k =f ′200()31x x =+, ∴3200001631x x x x +-=+.解之得02x =-. ∴30(2)(2)1626y =-+--=-,23(2)113k =⨯-+=.∴直线l 的方程为y =13x ,切点坐标为(-2,-26).(3)∵切线与直线34x y =-+垂直, ∴切线的斜率k =4.设切点的坐标为00()x y ,,则f ′200()314x x =+=,∴01x =±.∴00114x y =,⎧⎨=-,⎩ 或00118x y =-,⎧⎨=-.⎩切线方程为y =4(x -1)-14或y =4(x +1)-18.即y =4x -18或y =4x -14.题组三 导数的灵活运用9.曲线2x y x =+在点(-1,-1)处的切线方程为( ) A.y =2x +1 B.y =2x -1C.y =-2x -3D.y =-2x -2 答案:A解析:y ′22(2)x =+|12x =-=, 所以切线方程为y +1=2(x +1),即为y =2x +1. 10.已知直线x +2y -4=0与抛物线24y x =相交于A 、B 两点,O 是坐标原点,P 在抛物线的弧AOB上,当△PAB 面积最大时,P 点坐标为 .答案:(4,-4)解析:|AB |为定值,△PAB 面积最大,只要P 到AB 的距离最大,只要点P 是抛物线上平行于AB 的切线的切点,设P (x ,y ).由图可知,点P 在x 轴下方的图象上,∴y =-.∴y ′=∵12AB k =-, ∴12=-. ∴x =4,代入24(0)y x y =<得y =-4.∴P (4,-4).11.对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠,定义:设f ″(x )是函数y =f (x )的导函数y =f ′(x )的导数,若f ″(x )=0有实数解0x ,则称点0(x ,0())f x 为函数y =f (x )的”拐点”.现已知32()322f x x x x =-+-,请解答下列问题:(1)求函数f (x )的”拐点”A 的坐标;(2)求证f (x )的图象关于”拐点”A 对称.解:(1)f ′2()362x x x f =-+,″(x )=6x -6.令f ″(x )=6x -6=0得x =13(1)1322f ,=-+-=-2.∴拐点A (1,-2).(2)证明:设00()P x y ,是y =f (x )图象上任意一点,则320000322y x x x =-+-,因为00()P x y ,关于A(1,-2)的对称点为P ′0(2x -04)y ,--,把P ′代入y =f (x )得左边3200004322y x x x =--=-+--, 右边0(2)x -33-0(2)x -202(2)x +--2=32000322x x x -+--. ∴左边=右边.∴P ′00(24)x y -,--在y =f (x )图象上.∴y=f(x)的图象关于点A对称.。