排列与排列数的计算

排列组合的基本概念与应用排列组合是组合数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、统计学、计算机科学等领域。

本文将介绍排列组合的基本概念，并探讨它在实际问题中的应用。

一、排列与组合的概念1.1 排列排列是从一组元素中选择若干个元素按照一定的顺序排列而成的，不同顺序即为不同的排列。

设有n个元素，若从中选取m（m≤n）个元素排列，则称为从n个元素中选取m个元素的排列数，通常表示为P(n,m)。

排列数的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，"!"表示阶乘，即n! = n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。

1.2 组合组合是从一组元素中选择若干个元素而成的无序集合，不同选择方式即为不同的组合。

设有n个元素，若从中选取m（m≤n）个元素组合，则称为从n个元素中选取m个元素的组合数，通常表示为C(n,m)。

组合数的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! × (n-m)!)二、排列组合的应用2.1 数学中的应用排列组合在数学中有广泛的应用，例如概率论、统计学、组合数学等。

在概率论中，排列组合被用于计算事件的可能性；在统计学中，排列组合可以用于计算样本的排列方式；在组合数学中，排列组合被用于解决组合问题。

2.2 信息学竞赛中的应用排列组合在信息学竞赛中也是一个重要的概念，往往与计数问题有关。

在信息学竞赛中，经常会出现一些需要计算排列组合数的问题，比如从一组数中选取若干个数进行计算，或者对字符串进行排序等。

了解排列组合的基本概念和计算方法，能够帮助竞赛选手更好地解决这类问题。

2.3 实际问题中的应用排列组合在实际问题中也有广泛的应用。

举例来说，假设有一个班级里有10个学生，要从中选出3个学生组成一个小组，那么这个问题就是一个排列组合问题。

计算组合数可以得到答案，即C(10,3) = 120，表示共有120种不同的选组方式。

计数原理排列组合
计数原理是组合数学中的一种计数方法。

它主要用于确定一个事件发生的可能性的数量。

计数原理包括排列和组合两种方式。

排列是指将一组对象按照一定的顺序进行排列的方法。

假设有
n个不同的对象，要从中选择r个进行排列，那么排列数的计
算公式为：
P(n,r) = n! / (n-r)!
其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。

当r=n时，排列数P(n,n)即为对象全部进行排列的方法总数，
也就是n的阶乘。

组合是指从一组对象中选择出一些对象，而不考虑它们的顺序。

假设有n个不同的对象，要从中选择r个进行组合，那么组合
数的计算公式为：
C(n,r) = n! / (r! × (n-r)!)
其中，”C”表示组合数，r!表示r的阶乘。

组合数的计算公式
中的分母的r!是考虑到组合中的对象不考虑顺序，因此要除去重复的排列情况。

计数原理的应用广泛，涵盖了很多领域。

在组合数学中，计数原理可以用于组合数的计算，例如在概率论中，计数原理可以用于确定事件的样本空间的大小；在统计学中，计数原理可以
用于计算某个总体中的子集数量等。

因此，熟练掌握计数原理对于解决各种计数问题是非常重要的。

排列组合的计算方法及过程排列组合是数学中常用的计算方法，用于确定从一组元素中选择若干个元素的方式。

下面是排列组合的计算方法及过程：1. 排列 (Permutation)：排列是从一组元素中选取若干个元素进行有序排列的方式。

对于给定的n个元素中选取r个元素进行排列，排列数记为P(n, r)或nPr，计算公式如下：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。

2. 组合 (Combination)：组合是从一组元素中选取若干个元素进行无序组合的方式。

对于给定的n个元素中选取r个元素进行组合，组合数记为C(n, r)或nCr，计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)下面通过一个具体的例子来说明排列组合的计算过程：例：从A、B、C、D四个元素中选取3个元素进行排列和组合。

1. 排列：a. 计算排列数：P(4, 3) = 4! / (4 - 3)! = 4! / 1! = 4 * 3 * 2 = 24b. 列出所有排列方式：ABC, ABD, ACB, ACD, ADB, ADC,BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC,CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB,DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB2. 组合：a. 计算组合数：C(4, 3) = 4! / (3! * (4 - 3)!) = 4! / (3! * 1!) = 4b. 列出所有组合方式：ABC, ABD, ACD, BCD通过以上例子，可以看到排列和组合的计算方法和过程。

在实际应用中，排列组合常用于统计学、概率论、组合优化等领域，能够帮助解决很多问题。

排列组合公式/排列组合计算公式排列 A------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；An m=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! (规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；Cn m=A n m/m!=n!/((n-m)!*m!)C n m=C n n-m倒数排列、组合的概念和公式典型例题分析例1 设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有()A.60个B.48个C.36个 D.24个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有()A.140种B.84种C.70种 D.35种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式?解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C3 8×C15×C24×C22=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6在(x-)10的展开式中，x6的系数是()A.-27C610B.27C410C.-9C610D.9C410解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0.(五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为()A.1B.-1C.0D.2解：A.例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有()A.6种B.12种 C.18种 D.24种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。

排列P------和顺序有关组合C——不牵涉到顺序的问题排列分顺序，组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法."排列"把5本书分给3个人，有几种分法"组合"1排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(mc n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(mc n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2) ..... (n-m+1)= n!/(n-m)!( 规定0!=1).2. 组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(mc n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(贰n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n ,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!) ; c(n,m)=c(n,n-m);3. 其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r二n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,…nk 这n个元素的全排列数为n!/(n 1!* n2!*..* nk!).k类元素,每类的个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列(Pnm(n为下标，m为上标))Pnm=r X( n-1 ) .... (n-m+1); Pnm=n / (n-m) !(注：！是阶乘符号)；Pnn (两个n分别为上标和下标)=n !; 0! =1; Pn1 ( n 为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标，m为上标))Cnm二Pnm/Pmm Cnm二n /m!(n-m)!; Cnn (两个n 分别为上标和下标)=1 ; Cn1 (n为下标1为上标)二n; Cnm二Cnn-m 2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。