排列与组合.版块四.排列数组合数的计算与证明.学生版

深入剖析初中数学解题技巧之排列与组合问题在初中数学学习中，排列与组合问题是一个常见的解题类型。

针对这一问题，本文将深入剖析初中数学解题技巧，并提供一些有用的方法与技巧。

一、排列问题排列是指从给定的对象集合中选取若干个对象按照一定的次序排列。

常见的排列问题有以下两种情况：1.1 不重复对象的全排列在解决这类问题时，我们首先要确定所给的对象集合和选取的对象个数。

然后，根据排列的定义，使用乘法原理计算排列数，即将选取的对象个数逐个乘起来。

例如，当有4个不重复的对象需要排列，选取其中2个进行排列时，排列数为4×3=12。

1.2 含有重复对象的排列当问题中存在重复的对象时，我们需要将重复的对象进行分类。

比如，有4个对象中有2个相同，在选取2个对象进行排列时，我们可以将问题拆分为两类：选取两个相同的对象进行排列和选取一个重复对象和一个不重复对象进行排列。

然后，分别计算两类情况下的排列数，并将结果相加。

二、组合问题组合是指从给定对象集合中选取若干个对象，但不考虑其次序。

常见的组合问题有以下两种情况：2.1 不重复对象的组合解决这类问题时，首先要确定所给的对象集合和选取的对象个数。

然后，应用组合数的公式计算组合数，公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示对象总数，m表示选取的对象个数。

2.2 含有重复对象的组合当问题中存在重复的对象时，我们需要进行分类。

例如，有4个对象中有2个相同，在选取3个对象进行组合时，我们可以将问题拆分为两类：选取两个相同的对象和选取三个不同的对象。

然后，分别计算两类情况下的组合数，并将结果相加。

三、解题技巧与方法在解决排列与组合问题时，以下三个方法是十分常用且有效的：3.1 确定问题类型与条件首先，我们需要明确题目中所给的对象集合、选取的对象个数以及问题类型是排列还是组合。

明确题目条件有助于我们在解题过程中选择合适的公式和方法。

3.2 运用数学公式与原理排列与组合问题的解题过程中，数学公式和原理是非常重要的。

数学中的排列与组合知识点总结在数学中，排列和组合是两个重要的概念。

它们在各个领域都有广泛的应用，特别是在概率论、统计学和组合数学中。

本文将对排列和组合的概念、性质和应用进行总结。

一、排列的概念与性质排列是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列。

设有n个元素，则从中选取m个元素进行排列的方式记为P(n, m)。

排列的计算公式为：P(n, m) = n!/(n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。

排列的性质如下：1. 排列数P(n, m)满足如下关系：P(n, m) = P(n-1, m) + P(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n，有P(n, n) = n!，即n个元素的全排列数为n 的阶乘。

3. 当m>n时，P(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行排列。

4. 当m=0时，P(n, m) = 1，即不取任何元素进行排列时，排列数为1。

二、组合的概念与性质组合是从一组元素中选取若干个元素组成一个集合，而不考虑元素的顺序。

设有n个元素，则从中选取m个元素进行组合的方式记为C(n, m)。

组合的计算公式为：C(n, m) = n!/(m!(n-m)! )组合的性质如下：1. 组合数C(n, m)满足如下关系：C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n，有C(n, 0) = C(n, n) = 1，即不取任何元素或者取出全部元素的组合数为1。

3. 当m>n时，C(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行组合。

4. 组合数C(n, m)与排列数P(n, m)之间存在以下关系：C(n, m) = P(n, m)/m!三、排列与组合的应用1. 概率计算：排列和组合在概率计算中有广泛的应用。

排列与组合的问题与解法排列与组合是组合数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、计算机科学、统计学等领域。

在解决排列与组合的问题时，我们需要理解其基本定义和相关的解法。

本文将介绍排列与组合的概念和性质，并详细阐述其中的解题方法。

一、排列和组合的定义排列和组合是数学中用于描述元素选择和排列方式的概念。

它们的区别在于排列考虑元素的顺序，而组合则不考虑顺序。

1. 排列排列是指从给定元素集合中选取一部分元素进行排列，形成不同的顺序。

设有n个元素，选取m个进行排列，称为从n个元素中取m个元素的排列数，记作P(n, m)。

其计算公式为：P(n, m) = n! / (n - m)!其中，“!”表示阶乘，即连乘从1到n的所有正整数。

2. 组合组合是指从给定元素集合中选取一部分元素，但不考虑元素的顺序，形成的集合。

设有n个元素，选取m个进行组合，称为从n个元素中取m个元素的组合数，记作C(n, m)或者(n choose m)。

其计算公式为：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)二、排列和组合的性质排列和组合有一些基本的性质，这些性质可以帮助我们在解决问题时快速计算排列数和组合数。

1. 互补关系排列和组合存在互补关系，即P(n, m) = C(n, m) * m!这是因为从n个元素中选取m个元素形成一个组合后，通过对选取的元素进行排列产生不同的排列方式，因此需要乘以m!。

2. 递推关系排列和组合之间还存在递推关系。

假设有n个元素，选取m个进行排列或者组合，有以下递推关系：P(n, m) = P(n-1, m) + P(n-1, m-1)C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)递推关系的理解可以通过递归方式进行推导，也可以从组合数的角度去理解。

三、排列和组合的应用举例排列和组合的概念和解法在实际问题中有广泛应用。

下面通过几个典型例子来说明其应用。

1. 生日问题假设一个班级有30个学生，问至少有两个学生生日相同的概率是多少？解法：这个问题可以通过计算不同生日组合的数量，然后除以总的可能组合数量来得到概率。

排列与组合的概念与计算公式1．排列 （在乎顺序）全排列：n 个人全部来排队，队长为n 。

第一个位置可以选n 个，第二位置可以选n-1个，以此类推得： P(n,n)=n(n-1)(n-2)……3*2*1= n! (规定0!=1).部分排列：n 个人选m 个来排队(m<=n)。

第一个位置可以选n 个，第二位置可以选n-1个，以此类推，第m 个（最后一个）可以选(n-m+1)个，得：P(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n! / (n-m)! (规定0!=1).2．组合（ 不在乎顺序）n 个人m(m<=n)个出来，不排队，不在乎顺序C(n,m)。

如果在乎排列那么就是P(n,m)，如果不在乎那么就要除掉重复，那么重复了多少？同样选出的来的m 个人，他们还要“全排”得到P(n,m)，所以得： C(n,m) * m! = P(n,m)C(n,m)= P(n,m) / m!=n! / ( (n-m)! * m! )组合数的性质1:)(,n m C C m n n m n ≤=-组合数的性质２:)(,111n m C C C m n m n m n ≤+=--- 如果编程实现,以上两个公式有没有帮助？练习：311P 、811P 、311C 、811C 、9991001C3．其他排列与组合（1）圆排列：n 个人全部来围成一圈为Q(n,n)，其中已经排好的一圈，从不同位置断开，又变成不同的队列。

所以：Q(n,n)*n=P(n,n) >>> Q(n)=P(n,n)/n=(n-1)！由此可知，部分圆排Q(n,r)＝P(n,r)/r=n!/(r*(n-r)!).（2）重复排列 (有限)：k 种不一样的球，每种球的个数分别是a1,a2,...ak,设n=a1+a2+…+ak ，这n 个球的全排列数，为 n!/(a1!*a2!*...*ak!).（3）重复组合 (无限)：n 种不一样的球，每种球的个数是无限的,从中选k 个出来，不用排列，是组合，为C(n+k-1,k).证明：假设选出来的数（排好序）1<=b1<=b2<=b3…….<=bk<=n这题的难点就是=号，现在去掉=号，所以有：1<= b1 < b2+1 < b3+2 < b4+3 …….< bk+k-1 <=n+k-1 中间还是k 个数！不过已经不是b 系列，而是c 系列 假设c[i]:=b[i]+i-1，所以1<= c1 < c2 < c3 < c4 …….< ck <=n+k-1所以问题就开始转换为无重复组合问题，即在n+k-1个元素中选中k个的组合数C(n+k-1,k)。

排列与组合是数学中的基本概念，尤其在概率论、统计学和离散数学等领域中有着重要的应用。

以下是关于排列与组合知识的详细讲解：一、基本概念排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

排列的个数用符号Pₙₙ或P(n,m)表示。

例如，从3个不同的数字（1、2、3）中任取2个数字进行排列，可能的排列有：12、13、21、23、31、32，共6种。

因此，P₃₂= 6。

组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

组合的个数用符号Cₙₙ或C(n,m)表示。

例如，从3个不同的数字（1、2、3）中任取2个数字进行组合，可能的组合有：12、13、21、23、31、32，但由于组合不考虑顺序，所以这6种排列被视为同一种组合。

因此，C₃₂= 1。

二、计算公式排列的计算公式：Pₙₙ= n! / (n-m)!，其中“!”表示阶乘，即n! = n ×(n-1) ×(n-2) × ... ×3 ×2 ×1。

例如，P₄₂= 4! / (4-2)! = (4×3×2×1) / (2×1) = 12。

组合的计算公式：Cₙₙ= n! / [m!(n-m)!]。

这个公式也可以理解为从n个不同元素中取出m个元素的排列数除以m个元素的排列数。

例如，C₄₂= 4! / [2!(4-2)!] = (4×3×2×1) / (2×1) / (2×1) = 6。

三、排列与组合的关系排列和组合之间存在密切的关系。

对于从n个不同元素中取出m个元素的情况，排列数Pₙₙ和组合数Cₙₙ之间的关系为：Pₙₙ= m ×Cₙₙ。

这意味着从n个不同元素中取出m个元素的排列数等于从n个不同元素中取出m个元素的组合数乘以m。

要求层次 重难点加法原理、乘法原理分类加法计数原理、分步乘法计数原理B分类加法计数原理、分步乘法计数原理 ① 理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；② 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题C要求层次 重难点排列与组合 排列、组合的概念B 排列与组合① 理解排列、组合的概念．② 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．③ 能解决简单的实际问题．排列数公式、组合数公式C 用排列与组合解决一些简单的实际问题C1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用知识内容高考要求排列与组合如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示． 排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列．n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． 4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； ③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有： ①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．版块一.加法原理【例1】 高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．典例分析【例2】若a、b是正整数，且6a b，则以()≤a b为坐标的点共有多少个？，【例3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648【例4】用数字12345，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8B．24C．48D．120【例5】用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．版块二.乘法原理【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法．【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______．【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有种．【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？板块三.基本计数原理的综合应用【例11】用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答）【例12】若自然数n使得作竖式加法(1)(2)++++均不产生进位现象．则称n为“可连n n n数”．例如：32是“可连数”，因323334++不产生进位现象；23不是“可连数”，因++产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为（）232425A．27B．36C．39D．48【例13】 由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？【例14】 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）【例15】 如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A ．96B ．84C ．60D ．48板块四.排列数组合数的计算与证明【例1】 解不等式2886x x A A -<【例2】 证明：98789878A 9A 8A A -+=．【例3】 解方程322A 100A x x =．【例4】 解不等式288A 6A x x -<．【例5】 解方程：32111C 24C x x +=【例6】 解不等式：188C 3C m m->．版块五.排列组合问题的常见模型【例7】 三个女生和五个男生排成一排⑴ 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？⑵ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ ⑶ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【例8】 6个人站成一排：⑴其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？ ⑵其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？⑶其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？ ⑷其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？【例9】 12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（ ）A ．2283C A B ．2686C A C ．2286C A D ．2285C A【例10】两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_______．【例11】给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑵可能组成多少个四位奇数？⑶可能组成多少个四位偶数？⑷可能组成多少个自然数？【例12】用0到9这10个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例13】6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？⑴一堆一本，一堆两本，一堆三本；⑵甲得一本，乙得两本，丙得三本；⑶一人得一本，一人得二本，一人得三本；⑷平均分给甲、乙、丙三人；⑸平均分成三堆．【例14】 有6本不同的书⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？ ⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？ ⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【例15】 如图，正五边形ABCDE 中，若把顶点A 、B 、C 、D 、E 染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法有（ ） A ． 30种 B ． 27种 C ． 24种 D ． 21种【例16】 将123，，填入33 的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有____________．321321321版块六.排列组合问题的常用方法总结【例1】 从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有 ．【例2】 北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A ．124414128C C CB ．124414128C A A C ．12441412833C C C A D ．12443141283C C C A【例3】 在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有（ ）A ．30个B ．35个C ．20个D ．15个【例4】 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，⑴从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【例5】已知集合{5}C=，，，从这三个集合中各取一个元素构A=，{12}B=，，{134}成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．33B．34C．35D．36【例6】甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．【例7】{}A=，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的A的子集个数为，，，129_____．【例8】有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？【例9】 不定方程12350...100x x x x ++++=中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组．【例10】 三个人坐在一排8个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．【例11】 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．【例12】 停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种．【例13】 四个不同的小球放入编号为1234，，，的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______种．（用数字作答）【例14】6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？【例15】用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？【例16】一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？。

小学六年级小升初数学专题复习（22）——排列与组合一、简单的排列、组合知识归纳1．排列组合的概念：所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序．组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序．排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数．2．解决排列、组合问题的基本原理：分类计数原理与分步计数原理．（1）分类计数原理（也称加法原理）：指完成一件事有很多种方法，各种方法相互独立，但用其中任何一种方法都可以做完这件事．那么各种不同的方法数加起来，其和就是完成这件事的方法总数．如从甲地到乙地，乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以共有3+2=5种不同的走法．（2）分步计数原理（也称乘法原理）：指完成一件事，需要分成多个步骤，每个步骤中又有多种方法，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．那么，每个步骤中的方法数相乘，其积就是完成这件事的方法总数．如从甲地经过丙地到乙地，先有3条路可到丙地，再有2路可到乙地，所以共有3×2=6种不同的走法．常考题型例1：有4支足球队，每两支球队打一场比赛，一共要比赛（）A、4场B、6场C、8场分析：两两之间比赛，每只球队就要打3场比赛，一共要打4×3场比赛，这样每场比赛就被算了2次，所以再除以2就是全部的比赛场次．解：4×3÷2，=12÷2，=6（场）；故选：B．点评：甲与乙比赛和乙与甲的比赛是同一场比赛，所以要再除以2．例2：小华从学校到少年宫有2条路线，从少年宫到公园有3条路线，那么小华从学校到公园一共有（）条路线可以走．A、3B、4C、5D、6分析：小华从学校到公园分两个步骤完成，第一步小华从学校到少年宫有2条路线即有两种方法，第二步从少年宫到公园有3条路线即有3种方法，根据乘法原理，即可得解．解：2×3=6，答：小华从学校到少年宫有2条路线，从小年宫到公园有3条路线，那么小华从学校到公园一共有6条路线可以走；故选：D．点评：此题考查了简单的排列组合，分步完成用乘法原理．一．选择题（共6小题）1．用3、5、0三个数字组成的两位数有（）个。

排列与组合问题的常用方法排列与组合是组合数学中的两个重要概念。

它们在概率论、统计学、计算机科学、组合优化等领域中有广泛的应用。

本文将介绍排列与组合的基本概念、常用方法和应用。

一、排列排列是指从一组元素中按照一定的顺序选择若干元素的方式。

假设有n个元素，要求从中选择m个元素，且要按照一定的顺序排列。

则这样的选择方式叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用P(n, m)表示。

1.全排列全排列是指对n个元素进行排列，将它们按照不同的顺序排列的方法总数。

全排列的个数为n!（n的阶乘）。

2.有重复元素的排列当n个元素中有重复元素时，全排列的个数存在重复。

此时，需要除以重复元素的个数来去除重复的排列。

3.部分元素排列有时候，从n个元素中选择r个元素进行排列，即P(n, r)，其中r小于n。

这时，排列的个数为n*(n-1)*...*(n-r+1)，即n的降序排列的前r项的乘积。

二、组合组合是指从一组元素中选择若干元素的方式，不考虑其顺序。

假设有n个元素，要求从中选择m个元素，但不考虑它们的顺序。

则这样的选择方式叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C(n, m)表示。

1.递推公式组合数满足以下递推公式：C(n,m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)，其中C(n, 0) = C(n, n) = 1。

2.全组合全组合是指从n个元素中选择0个、1个、2个......直到n个元素进行组合的方法总数。

全组合的个数为2^n。

3.有重复元素的组合当n个元素中有k个重复元素时，组合的个数存在重复现象。

此时，可以引入多重组合数的概念，表示从n个元素中选择m个元素的组合个数，但是允许每个元素选择的次数有上限。

多重组合数的计算可以通过动态规划等方法进行。

三、常用方法1.迭代法排列与组合问题可以通过迭代的方法求解。

可以使用递归或循环的方式进行迭代，根据问题的要求和具体情况选择合适的方法。

2.数学公式有时候，排列与组合问题可以通过数学公式进行求解。

1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m nn n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）知识内容排列数组合数的计算与证明⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析排列数组合数的简单计算【例1】 对于满足13n ≥的正整数n ，()()()56...12n n n ---=（ ）A ．712A n -B ．75A n -C ．85A n -D ．125A n -【例2】 计算37Α=______．【例3】 计算310A ，66A ；【例4】 计算27C =______，57C =_______．【例5】 计算310C ，68C ；【例6】 计算37A ，410A ，37C ，4850C ，231919C C +．【例7】 已知4321140n n +=ΑΑ，求n 的值．【例8】 解不等式2886x x A A -<【例9】 证明：98789878A 9A 8A A -+=．【例10】 解方程322A 100A x x =．【例11】 解不等式288A 6A x x -<．【例12】 解方程：32111C 24C x x +=【例13】 解不等式：188C 3C m m->．【例14】 设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦），对于给定的n *∈N ，定义[][](1)(1)C (1)(1)x n n n n x x x x x --+=--+L L ，[)1x ∈+∞，，则当332x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，函数8C x的值域是（ ）A ．16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．284,3⎛⎫ ⎪⎝⎭U [)28,56D ．16284,,2833⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦U【例15】 组合数C r n ()1n r n r >∈Z ≥，、恒等于（ ） A ．111C 1r n r n --++ B ．()()1111C r n n r --++ C ．11C r n nr --D ．11C r n n r--【例16】 已知12222C :C :C 3:5:5m m m n n n +++++=，求m 、n 的值．排列数组合数公式的应用【例17】 已知32212020212221C C C C C n n n n ---+<<-，求21C n的值．【例18】 若2622020C C ,()n n n ++=∈N ，则n =_______【例19】 若11C C C 345m m m n n n-+=∶∶∶∶，则n m -=【例20】 证明：1C (1)C C k k k n n n n k k +=++【例21】 证明：110011C C 11nn i i n n i i i n ++===++∑∑．【例22】 求证：11211A A (1)A m m m n n n m -----=+- ．【例23】 证明：102nkn nk kC n -==⋅∑．【例24】 证明：1230123()2n nn n n n n n n n C C C nC C C C ++++=+++L L ．【例25】 求证：1121C C C C C n n n n n n n n n m n m ++++++++++=L ；【例26】 计算：239999C C +，012945613C C C C ++++L【例27】 证明：011220C C C C C C C C C k k k k km n m n m n m n n m --+++++=L ．（其中min{}≤，k m n ）【例28】 解方程12253333C C C 4x x x x x x x --++++=++Α【例29】 确定函数3A x 的单调区间．【例30】 规定A (1)(1)m x x x x m =--+L ，其中x ∈R ，m 为正整数，且0A 1x =，这是排列数A m n（,n m 是正整数，且m n ≤）的一种推广． ⑴求315A -的值；⑵排列数的两个性质：①11A A m m n n n --=，②11A A A m m m n n n m -++=（其中,m n 是正整数）．是否都能推广到A m x （x ∈R ，m 是正整数）的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．。