《排列及排列数的计算》PPT课件
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1.2 第一课时 排列与排列数公式 课件(北师大选修2-3)
特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与 顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相 同的排列．元素有序还是无序是判定是否为排列问题的关
键．
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1．下列命题，
①abc和bac是两个不同的排列；②从甲、乙、丙三人
中选两人站成一排，所有的站法有6种；③过不共线的 三点中的任两点所作直线的条数为6. 其中为真命题的是 A．①② C．②③ 答案：A 返回 B．①③ D．①②③ ( )
－1 n－m Am · A n－1！ － n 1 n－m (3) ＝ · (n－m)！· －1 An [ n － 1 － m － 1 ] ！ n－1
1 ＝1. n－1！
(12 分)
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[一点通]
m (1)排列数的第一个公式 An ＝n(n－1)…(n－
m＋1)适用于具体计算以及解当 m 较小时的含有排列数的方 程和不等式．在运用该公式时要注意它的特点：从 n 起连续 写出 m 个数的乘积即可． (2)排列数的第二个公式 Am n＝ n！ 适用于与排列数 n－m！
顺序 排成一列， 叫作 从n个不同的元素中任意取出m个
元素 的一个排列.
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已知数字1,2,3,4,5,6. 问题1：从1,2,3,4,5,6中选出两个数字，能构成多少个
没有重复数字的两位数？
提示：有6×5＝30个． 问题2：从1,2,3,4,5,6中选出三个数字，能构成多少个 没有重复数字的三位数？ 提示：有6×5×4＝120个． 返回
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4．A，B，C，D四名同学排成一行照相，要求自左向右，
A不排第一，B不排第四，试写出所有排列方法．
解：因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可以B，C， D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图 如图．
排列⑵全排列与排列数公式的运算PPT课件
2.阶乘：正整数1到n的连乘积叫做n的阶乘.记作：
n!
3.规定：0！=1 1!=1
2!=2×1＝2 3!=3×2×1＝6 4!=4×3×2×1＝24 5!=5×4×3×2×1＝120
6!=6×5×4×3×2×1＝720 7×6!=7！ (n+1)×n!=(n+1)！ n×n!=((n+1-1)×n!
∵n≥3且n∈N＊
∴（n－3)(4n－23）=0
∴n=3
过手练习:榜榜第69页例3的变式训练
第10页/共14页
课堂小结
排列数公式
Anm n(n 1)(n 2)(n m1)
n! (n m)!
n,m N*,m n
一般地：连乘形式用于 Anm 值的计算；阶 乘形式用于有关Anm 的式子化简。
一般地：连乘形式用于 Anm 值的计算；阶 乘形式用于有关Anm 的式子化简。
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2021/6/13
新疆奎屯市第一高级中学
特级教师王新敞
6
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2021/6/13
新疆奎屯市第一高级中学
特级教师王新敞
7
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例题讲解
例1 计算：⑴ A77 ⑵ A64 ⑶ （（—nn－－—13—））—！！ 解：⑴ A77 = 7！ =7×6！＝7×720＝5040 ⑵ A64 = 6×5×4×3 =360 ⑶ （（—nn－－—13—））—！！=（—n—－—3）—（！—n（—－n—3－）—2！）—（—n—－—1） = n2－3n+2
⑵ 排列是m步的集成结果：“取出第1个元素放到第1 位” 、 “取出第2个元素放到第2位” 、……、“取出第m个元素 放到第m或位看”作. 是两大步的集成结果：先“取出m个不同 元素”，再“按照一定顺序将m个不同元素排成一列”. ⑶ 两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全 相同， 且元素的排列顺序也完全相同.
排列 课件(人教版)
知,所有的四位数为: 1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,23 41,2413,2431,3124,3142,3214,3241,3412,3421,4123 ,4132,4213,4231,4312,4321,共24个四位数．
【名师点评】 判定是不是排列问题,要抓住排列的本 质特征,第一取出的元素无重复性,第二选出的元素必须 与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同 才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是否是排 列的关键．
题型二 排列数的计算
例2 (1)计算 2A34＋A44; (2)计算4AA8488＋－2AA59 58; (3)求 3Ax8＝4Ax9－1中的 x. 【解】 (1)2A34＋A44＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝72.
【防范措施】 解含排列数的方程或不等式,要注意排列数
Amn 中,m,n∈N*,且 m≤n 这些限制条件,要注意含排列数的
方程和不等式中未知数的取值范围．
排列及排列数公式
1．排列 (1)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照 __一__定_的__顺__序____排成一列,叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列． (2) 两 个 排 列 相 同 , 当 且 仅 当 两 个 排 列 的 元 素 __完__全__相__同__,且元素的__排__列_顺__序____也相同．
3．全排列
(1)定义:n 个不同元素全部取出的一个排列．
(2)计算公式:
Ann＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！.
(3)阶乘:正整数 1 到 n 的连乘积．
(4)规定:0！＝1.
(5)排列数公式的另一种形式
:Amn ＝
【名师点评】 判定是不是排列问题,要抓住排列的本 质特征,第一取出的元素无重复性,第二选出的元素必须 与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同 才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是否是排 列的关键．
题型二 排列数的计算
例2 (1)计算 2A34＋A44; (2)计算4AA8488＋－2AA59 58; (3)求 3Ax8＝4Ax9－1中的 x. 【解】 (1)2A34＋A44＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝72.
【防范措施】 解含排列数的方程或不等式,要注意排列数
Amn 中,m,n∈N*,且 m≤n 这些限制条件,要注意含排列数的
方程和不等式中未知数的取值范围．
排列及排列数公式
1．排列 (1)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照 __一__定_的__顺__序____排成一列,叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列． (2) 两 个 排 列 相 同 , 当 且 仅 当 两 个 排 列 的 元 素 __完__全__相__同__,且元素的__排__列_顺__序____也相同．
3．全排列
(1)定义:n 个不同元素全部取出的一个排列．
(2)计算公式:
Ann＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！.
(3)阶乘:正整数 1 到 n 的连乘积．
(4)规定:0！＝1.
(5)排列数公式的另一种形式
:Amn ＝
6.2.2排列数-【精品课件】高中数学人教A版选择性必修第三册
3
学习新知
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做
从n个不同的元素中取出m个元素的排列数。用符号
表示。
排列数与一个排列相同吗？
如：问题1中从4个不同的元素a,b,c,d中任取2个元素的排列有
ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc共12个，
：
邢
启
强
14
课堂小结
排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成
一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为
完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．
由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与
位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以
根据排列的意义写出所有的排列．
讲
(n m)!
(n m)! (n m)!
m
讲
课
人
：
邢
启
强
m
A
n
9
练习1：证明：
证明：
讲
课
人
：
邢
启
强
A 8A 7 A A
8
7
6
7
8
7
6
7
A 8A 7 A 8A 8A A A
8
7
6
7
7
7
7
8
7
6
7
7
7
7
10
巩固练习
3
7
1．与 A10·A7不相等的是( B )
8
问题5：证明：（1）
证明：
（1）
m1
n An-1
6.2.2 排列数(课件)高二数学(新教材人教A版选择性必修第三册)
十位数字和百位数字的排法种数有
A
2 4
种
，
故
奇
数
有
A
1 3
×A
2 4
＝
3×4×3＝36(个)．
3．用 1,2,3,4,5,6,7 这 7 个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数 位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________ 个． 144 解析：先排奇数位有 A44种，再排偶数位有 A33种，故共有 A44A33 ＝144(个)．
() A．720
B．360
C．240
D．120
C 解析：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作 一人，与其余四人全排列共有 A55种排法，但甲、乙两人之间有 A22种 排法． 由分步乘法计数原理知，共有 A55A22＝240(种)不同的排法．
2．6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数
1．在实际排列问题中，有些元素必须相邻．在解决此类问题时，一 般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个“大元 素”与其他元素一起排列，再对这些元素进行全排列． 2．排列问题中，解决“不相邻”问题的有效方法是“插空法”，也 就是先将其余元素排好，再将要求不相邻的元素插入空中进行排列．
1．6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有
解：(1)方法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从 5 个男生中 选 2 人排列，有 A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A66种排法， 因此共有 A25A66＝14 400(种)不同排法． 方法二(元素分析法)：从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A36种排 法，其余位置无限制，有 A55种排法，因此共有 A36A55＝14 400(种)不 同排法．
排列ppt课件
B 告不能 3 个连续播放，则不同的播放方式有( )
A.144 种
B.72 种
C.36 种
D.24 种
解析：先考虑第一个和最后一个位置必为公益广告，有
A
2 3
6
种，
另一公益广告插入 3 个商业广告之间，有 A12 2 种，
再考虑 3 个商业广告的顺序，有 A33 6 种，故共有626 72 种.
根据排列的定义，一个排列包含两个方面的意义：一是"取出元素"，二是 "按 照一定顺序排成一列". 因此，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列 顺序完全相同.例如，问题 1 中“AB”与“AC”，“AB”与“BA”均是两个不同的 排列.
从 n 个不同元素中取出 m m n 个不同的元素，所有不同排列的个数叫作从 n
A
A 3 3
34
6 4 3 2
144
种.
7.甲、乙、丙、丁共四名同学进行劳动技能比赛，决出第 1 名到第 4 名的名次，已
知甲不是第 1 名，乙不是第 4 名，则这 4 个人名次排列的可能情况共有___1__4_____
种.
解析：当乙是第 1 名时，甲、丙、丁共 3 名同学有 A33 6 种排法；
个不同元素中取出
m
个元素的排列数，用符号
A
m n
表示.
对于问题
1，是求从
5
个不同元素中取出
2
个元素的排列数，记为
A
2 5
，由分步乘法
计数原理可以算得 A52 5 4 20 .
对于问题 2，是求从
4
个不同元素中取认
3
个元素的排列数，记为
A
3 4
《排列及排列数的计算》
P32 =3 2
问题2. 从1，2，3，4这4个数字中，每次取3个排成一个三位数，共
可得到多少个不同的三位数？
P43 =4 3 2
问题3. 甲、乙、丙三人排成一列照相，共有多少种不同的排法？
P33 =3 2 1
探究新知
由以上几个问题，我们可以得到：
P32 =3 2=6， P43 =4 3 2=24， P33 =3 2 1 6
2.排列数：Pnm
3.排列数公式:(1) Pnm n(n 1)(n 2) (n-m+1)
（n
n! m)!
(2) Pnn n! n(n 1)(n 2) 3 21
(3)
课后作业
1.阅读部分：教材
2.书写部分：课单练习题.
3.思考：分析下列问题是不是排列问题，并说明理由. (1)从2,3,4,5四个数字中，任选两个做乘法，其不同
探究新知
1.排列： 一般地，从n个不同元素中任取m (m≤n)个不同元素，按照
一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一 个排列． (1)排列可分为两个步骤：
取出m个不同的元素；按顺序排成一列. (2) 当m＜n时叫做选排列，当m=n时叫做全排列．
典型例题
例1 写出从4个元素a, b, c, d中任取2个元素的所有排列．
(1) “一个排列” ：指从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序 排成一列，是指具体的排列方式，不是数；
(2)“排列数”：指从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列 的个数，是一个数。
观察思考
问题1. 从高三汽车一班甲、乙、丙3名同学中选2名,一名担任班长,
一名担任副班长,则共有多少种不同的选法?
典型例题
问题2. 从1，2，3，4这4个数字中，每次取3个排成一个三位数，共
可得到多少个不同的三位数？
P43 =4 3 2
问题3. 甲、乙、丙三人排成一列照相，共有多少种不同的排法？
P33 =3 2 1
探究新知
由以上几个问题，我们可以得到：
P32 =3 2=6， P43 =4 3 2=24， P33 =3 2 1 6
2.排列数：Pnm
3.排列数公式:(1) Pnm n(n 1)(n 2) (n-m+1)
（n
n! m)!
(2) Pnn n! n(n 1)(n 2) 3 21
(3)
课后作业
1.阅读部分：教材
2.书写部分：课单练习题.
3.思考：分析下列问题是不是排列问题，并说明理由. (1)从2,3,4,5四个数字中，任选两个做乘法，其不同
探究新知
1.排列： 一般地，从n个不同元素中任取m (m≤n)个不同元素，按照
一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一 个排列． (1)排列可分为两个步骤：
取出m个不同的元素；按顺序排成一列. (2) 当m＜n时叫做选排列，当m=n时叫做全排列．
典型例题
例1 写出从4个元素a, b, c, d中任取2个元素的所有排列．
(1) “一个排列” ：指从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序 排成一列，是指具体的排列方式，不是数；
(2)“排列数”：指从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列 的个数，是一个数。
观察思考
问题1. 从高三汽车一班甲、乙、丙3名同学中选2名,一名担任班长,
一名担任副班长,则共有多少种不同的选法?
典型例题
数据结构-排序PPT课件
平均情况时间复杂度
O(nlogn)，归并排序的平均时间复杂度为O(nlogn)。其中，n为待排序序列的长度。
06
基数排序
基数排序是一种非比较型整数排序算法，其原理是将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较。
分配和收集
基数排序是一种稳定的排序算法，即相同的元素在排序后仍保持原有的顺序。
文件系统需要对文件和目录进行排序，以便用户可以更方便地浏览和管理文件。
数据挖掘和分析中需要对数据进行排序，以便发现数据中的模式和趋势。
计算机图形学中需要对图形数据进行排序，以便进行高效的渲染和操作。
数据库系统
文件系统
数据挖掘和分析
计算机图形学
02
插入排序
将待排序的元素按其排序码的大小，逐个插入到已经排好序的有序序列中，直到所有元素插入完毕。
简单选择排序
基本思想：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。 时间复杂度：堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待排序元素的个数。 稳定性：堆排序是不稳定的排序算法。 优点：堆排序在最坏的情况下也能保证时间复杂度为O(nlogn)，并且其空间复杂度为O(1)，是一种效率较高的排序算法。
基数排序的实现过程
空间复杂度
基数排序的空间复杂度为O(n+k)，其中n为待排序数组的长度，k为计数数组的长度。
时间复杂度
基数排序的时间复杂度为O(d(n+k))，其中d为最大位数，n为待排序数组的长度，k为计数数组的长度。
适用场景
当待排序数组的元素位数较少且范围较小时，基数排序具有较高的效率。然而，当元素位数较多或范围较大时，基数排序可能不是最优选择。
O(nlogn)，归并排序的平均时间复杂度为O(nlogn)。其中，n为待排序序列的长度。
06
基数排序
基数排序是一种非比较型整数排序算法，其原理是将整数按位数切割成不同的数字，然后按每个位数分别比较。
分配和收集
基数排序是一种稳定的排序算法，即相同的元素在排序后仍保持原有的顺序。
文件系统需要对文件和目录进行排序，以便用户可以更方便地浏览和管理文件。
数据挖掘和分析中需要对数据进行排序，以便发现数据中的模式和趋势。
计算机图形学中需要对图形数据进行排序，以便进行高效的渲染和操作。
数据库系统
文件系统
数据挖掘和分析
计算机图形学
02
插入排序
将待排序的元素按其排序码的大小，逐个插入到已经排好序的有序序列中，直到所有元素插入完毕。
简单选择排序
基本思想：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。 时间复杂度：堆排序的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待排序元素的个数。 稳定性：堆排序是不稳定的排序算法。 优点：堆排序在最坏的情况下也能保证时间复杂度为O(nlogn)，并且其空间复杂度为O(1)，是一种效率较高的排序算法。
基数排序的实现过程
空间复杂度
基数排序的空间复杂度为O(n+k)，其中n为待排序数组的长度，k为计数数组的长度。
时间复杂度
基数排序的时间复杂度为O(d(n+k))，其中d为最大位数，n为待排序数组的长度，k为计数数组的长度。
适用场景
当待排序数组的元素位数较少且范围较小时，基数排序具有较高的效率。然而，当元素位数较多或范围较大时，基数排序可能不是最优选择。
排列数课件——2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
(2)方程A5xA＋3xA4x＝4(x≥5，x∈N*)的解是____5____.
解析 因为 A5x＋A4x＝4A3x， 所以（x－x！5）！＋（x－x！4）！＝4·（x－x！3）！， 所以 1＋x－1 4＝（x－3）4（x－4）， 则x2－6x＋5＝0，解得x＝5或x＝1(舍).
创新设计习题讲解 ——分层精练
6.不等式 A2n－1－n<7 的解集为________.
答案 {3，4} 解析 由 A2n－1－n<7， 得(n－1)(n－2)－n<7， 整理，得 n2－4n－5<0，解得－1<n<5. 又 n－1≥2 且 n∈N*，即 n≥3 且 n∈N*， 所以 n＝3 或 n＝4.
9.求关于 x 的不等式 Ax8<6A x8－2的解集.
探究 从n个不同元素中取出m个元素的排列数Anm (m≤n)是多少?
我们先从特殊情况开始探究，思考从n个不同元素中任取2个元素的排 列数An2 是多少？An3 又是多少？进而归纳Anm (m n) 是多少？
排列数 An2 可以按依次填2个空位得到： n n 1 An2 n(n 1).
同理，排列数 An3 可以按依次填3个空位得到： n n 1 n 2 An3 n(n 1)(n 2).
排列数公式的阶乘形式：
Anm
n! . (n m)!
课堂练习（课本P20）
1. 计算：(1) A142 ； (2) A88 ； (3) A155 15A144 ；
•解 (1) A142 121110 9 11880 ；
：
(2) A88 8 7 6 5 4 3 21 40320 ；
(4)
课堂小结：
1. 排列数公式：Anm n(n 1)(n 2) (n m 1). (m, n N*且m n)
人教版高中数学选择性必修3《排列数》PPT课件
解 (1)因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且共有69-n-(55-n)+1
=15(个),
所以(55-n)(56-n)…(69-n)=A15
.
69-
2A58 +7A48
(2)
A88 -A59
2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5
=
8×7×6×5×4×3×2×1-9×8×7×6×5
(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种?
(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种?
(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种?
思路分析若元素相邻,则可将相邻元素视为一个元素,即将甲、乙或甲、乙、
丙“捆绑”在一起,视为一个元素,与其他元素一起排列.至于不相邻问题,可
以用“总”的排法减去“相邻”的排法,也可以用插空法解决.
(方法三 等机会法)
9 个人的全排列数有A99 种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意,甲不
在中间及两端的排法总数是A99
6
× 9=241 920(种).
(方法四 间接法)
共有A99 -3A88 =6A88 =241 920(种)排法.
(2)先排甲、乙,再排其余 7 人,共有A22 × A77 =10 080(种)排法.
第六章
6.2.1 排列 6.2.2 排列数
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简
单的排列.(数学抽象)
2.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关
计算.(数学运算)
3.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的
排列与排列数(课件)-高二数学同步精品课堂(人教A版2019选择性必修第三册)
叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A
表示.
三、排列数公式
探究：从n个不同元素中取出m个元素的排列数A
（m≤n）是多少？
可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数A2 ，可以这样考虑：
假定有排好顺序的两个空位，如图所示，从n个不同元素中取出2个元素去填
空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种
可得到多少个不同的点的坐标？
(3)从 10 名同学中任抽 2 名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方
法？
(4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门
出来，不同的出入方式有多少种？
(5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、
乙两个盒子里，有多少种不同的放法？
排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，
有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
[对点练清]
判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来
回的票价相同)；
(2)选 2 个小组分别去植树和种菜；
(3)选 2 个小组去种菜；
(4)选 10 人组成一个学习小组；
排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数2 .
现在来计算有多少种填法.完成“填空”这件事
可以分为两个步骤完成：
第1步，填第1个位置的元素，可以从这n个不同元素中任选1个，有n种选法；
第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的（n-1）个元素中任选1个，有
（n-1）种选法.
根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为A2 ＝n（n-1）.
表示.
三、排列数公式
探究：从n个不同元素中取出m个元素的排列数A
（m≤n）是多少？
可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数A2 ，可以这样考虑：
假定有排好顺序的两个空位，如图所示，从n个不同元素中取出2个元素去填
空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种
可得到多少个不同的点的坐标？
(3)从 10 名同学中任抽 2 名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方
法？
(4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门
出来，不同的出入方式有多少种？
(5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、
乙两个盒子里，有多少种不同的放法？
排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，
有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．
[对点练清]
判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来
回的票价相同)；
(2)选 2 个小组分别去植树和种菜；
(3)选 2 个小组去种菜；
(4)选 10 人组成一个学习小组；
排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数2 .
现在来计算有多少种填法.完成“填空”这件事
可以分为两个步骤完成：
第1步，填第1个位置的元素，可以从这n个不同元素中任选1个，有n种选法；
第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的（n-1）个元素中任选1个，有
（n-1）种选法.
根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为A2 ＝n（n-1）.
排列数课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
“ ≤ 且， ∈ ∗ ”的运用.
练习
方法技巧：
2.排列数的化简与证明技巧
应用排列数公式可以对含有排列数的式子进行化简和证明，化简的过程要对排
列数进行变形，并要熟悉排列数之间的内在联系.解题时要灵活的运用如下变式：
①! = ( − 1)!
；②
=
−1
−1 ；③
∙ ! = ( + 1)! − !
(2)(方法一 间接法)7 人任意排列,有A77 种排法,甲、乙两人相邻的排法有A22 × A66 种,故甲、
乙不相邻的排法有A77 − A22 × A66 =3 600(种).
(方法二 插空法)将其余 5 人全排列,有A55 种排法,5 人之间及两端共有 6 个位
置,任选 2 个排甲、乙两人,有A26 种排法.故共有A55 × A26 =3 600(种)排法.
=
( − ) × ⋯ × 2 × 1
!
= − =
.
− ( − )！
6！
2！
.
新知探索
特别地，我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排
l
列.这时，排列数公式中 = ，即有 = × ( − 1) × ( − 2) × ⋯ × 3 × 3 × 1.
素中任取个元素的每一种排列对应的是什么事件.
(3)对于相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法.
[提醒]避免排列的重复和遗漏.
课堂小结
全排列：将个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到的连乘积.正整数1到
的连乘积，叫做的阶乘，用!表示.3.排列数公式：
∗
(1)乘积形式：
=
(
−
1)(
题型3
《排列》ppt课件
问题2
排列数的定义 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素的所有排列 数叫作从n个元素中取出m个元素的 排列数
������������ ������ 表示.
的个
,用符号
问题3
排列数公式及其推导 由 ������������ ������ 的意义 : 假定有排好顺序的 2 个空位,从 n 个元 素 a 1 ,a2,…,an 中任取 2 个元素去填空,一个空位填 一个元素 , 每一种填法就得到一个排列,反过来,任 一个排列总可以由这样的一种填法得到 ,因此,所有 不同的填法的种数就是排列数������������ ������ .
【解析】由题易知 n=17,又∵4=17-m+1,∴m=14.
4
从 2,3,5,7,11 这五个数字中,任取 2 个数字组成分 数, 不同值的分数共有多少个?
【解析】因为从 2,3,5,7,11 这五个数字中,任 取 2 个数字组成分数,分数的值各不相同,所以不同 值的分数的个数等于从这五个数字中任取 2 个数字 的排列数 ������������ ������ =5×4=20.
到n的连乘积,叫作
n的阶乘 ,表示 n! ,即 ������������ ������ = n! ,
规定:
0!=1
.
.. 导. 学 固思
1
89×90×91×92×…×100 可表示为( C ). A. ������������������ B. ������������������ C. ������������������ D. ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������
高中数学第六章计数原理6.2.2排列数课件新人教A版选择性必修第三册
2．计算：A1248 AA614112 ＝________．
8！ 12！ 【解析】方法一：A1248AA164112 ＝41！2××118！！ ＝54！ ！ ＝5.
5！ 方法二：A1248AA614112 ＝（8×71×26××（5）11××（101×2…×1×16×）10×9） ＝5.
答案：5
3．求证：Amn＋1 －Amn ＝mAmn －1 .
(3)把五位数的每个数位看成五个空，数字4，5共有A52 ＝5×4＝20种排法，然后把 数字1，2，3按照3，2，1的顺序插入，只有一种方式．根据分步乘法计数原理， 可知由1，2，3，4，5组成的无重复数字且数字1，2，3必须按由大到小顺序排列 的五位数有A25 ×1＝20个．
【类题通法】数字排列问题的解题策略 (1)解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的 限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决 该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位 子，当一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论． (2)常用方法：直接法、间接法． (3)注意事项：解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当进行分类和分 步，尤其注意特殊元素“0”的处理．
【解析】根据题意由于丁必须在丙完成后立即进行，故可把丁丙视为一个元素， 先不管其他限制条件，使其与其他四项工程进行全排列共有A55 种排法，这些排 法中，甲、乙、丙相对顺序共有A33 种，所以满足条件的排法种数是AA5533 ＝20. 答案：20
探究点二 与数字有关的排列问题 【典例2】以下问题最终结果用数字表示 (1)由0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字的五位偶数？ (2)由1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字且2，3不相邻的五位数？ (3)由1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字且数字1，2，3必须按由大到小 顺序排列的五位数？
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（
n
n
! m
)!
(2) P n n n ! n (n 1 )(n 2 )L 3 2 1
(3) 0 ! 1
-
13
课后作业
1.阅读部分：教材
2.书写部分：课单练习题.
3.思考：分析下列问题是不是排列问题，并说明理由. (1)从2,3,4,5四个数字中，任选两个做乘法，其不同
的结果有多少种?
位数，其中偶数有多少个？
百位 十位
个位
解：共有偶数 P21P42=24个
12
归纳小结
本次课你学到了 哪些知识？
3.1.1 排列与排列数的计算
1.排列: (1)取出m个元素；(2)按照一定顺序排成一列
2.排列数：P
m n
3.排列数公式:(1) P n m n (n 1 )(n 2 )L ( n - m + 1 )
(2)从2,3,4,5四个数字中，任选两个做除法，其不同 的结果有多少种?
-
14
个数叫做从n个不同元素中任取m个不同元素的排列数．记做 P
m n
.
(1) “一个排列” ：指从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序 排成一列，是指具体的排列方式，不是数；
(2)“排列数”：指从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列 的个数，是一个数。
-
5
观察思考
问题1. 从高三汽车一班甲、乙、丙3名同学中选2名,一名担任班长,
第三章 概率与统计
3.1.1 排列及排列数的计算
邛崃市职业教育中心 王姗姗
-
1
观察思考
问题1. 从高三汽车一班甲、乙、丙3名同学中选2名,一名担任班长,
一名担任副班长,则共有多少种不同的选法?
共有3×2=6（种） 问题2. 从1，2，3，4这4个数字中，每次取3个排成一个三位数，共
可得到多少个不同的三位数？ 共有4×3×2=24（个）
P
2 n
=56，那么n=
8
.
（2）用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的
三位数，共有 60 个. 共有 P53=543=60个
2.在A，B，C，D四个候选人中，选出正副班长各一个，
选法的种数是多少？
3.用1，2，解3，：4不，同5选这法五的个种数数字是，P组42 =成4 没 3有=重12复数字的三
观察这三个排列数，你能找出这里面的规律吗？ 找出规律，并计算以下几个排列数：
P 52=54=20， P 62=65=30，P n2 n(n1)，P n3=n(n1)(n2)
所以Pnm n ( n 1)( n 2 ) L (n m1)
-
7
探究新知 共有m个因数
3.排列数公式： 一般地，从n个不同元素中任取m (m≤n)个元素的
问题3. 甲、乙、丙三人排成一排照相，共能照出多少张不同站位的照 片？ 共有3×2×1=6（张）
-
2
探究新知
1.排列： 一般地，从n个不同元素中任取m (m≤n)个不同元素，按照
一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一 个排列． (1)排列可分为两个步骤：
取出m个不同的元素；按顺序排成一列. (2) 当m＜n时叫做选排列，当m=n时叫做全排列．
（1）当m =n时，P nn =n(n－1)(n－2)…3×2×1= n!叫做n的阶乘，
即
P
n n
= n!
=
n(n－1)(n－2)…3×2×1.
（2）规定 0 ! 1
（3）P n m n (n 1 )(n 2 )L ( n - m + 1 ) (n m )(n m 1 )L 3 2 1 (n m )(n m 1 )L 3 2 1
一名担任副班长,则共有多少种不同的选法?
P32 = 3 2
问题2. 从1，2，3，4这4个数字中，每次取3个排成一个三位数，共
可得到多少个不同的三位数？
P43=432
问题3. 甲、乙、丙三人排成一列照相，共有多少种不同的排法？
P33=321
-
6
探究新知
由以上几个问题，我们可以得到：
P32=32=6， P43=432=24，P33=3216
的排列数 P n m n (n 1 )(n 2 )L ( n - m + 1 ) ，其中，m，n N*
且m ≤n．
第一个因数为n
最后一个因数
从每大一到个第小因一，数个后比因面前数为为nn-m+1
一个少1
公式特征
从大到小，后面每一个因数比前一个少1
最后一个因数为n-m+1
共有m个因数
-
8
探索新知
（
n
n
! m
)!
-
9
典型例题
例2
计算
P
2 5
和
P
4．
4
解
P
2 5
=5×4=20，
P 4 44 ！ 4 3 2 12 4 ．
例3 小华准备从7本世界名著中任选3本，分别送给甲、乙、丙 3位同学，每人1本，共有多少种选法？
解 不同的送法的种数是
P7 3765210． 即共有210种不同送法．
分析：选出3本不同的书分，析分别
送给甲、乙、丙3位同学，书的 不同排序，结果是不同的.因此选 法的种数是从7个不同元素中取3 个元素的排列数．
-
10
典型例题
例4 用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的3位数？
解 所求三位数的个数为
P 5 1P 5 25 (54 ) 1 0 0 ． 分析：因为百位上的数字 不能为0，所以分成两步考
-
3
典型例题
例1 写出从4个元素a, b, c, d中任取2个元素的所有排列．
分析：先取一个元素放在左边，再从另外三个元素中取一个放在右边
解 所有排列为
b
a
a
a
ab，ac，a ad，cba，bc，bbd，cca，cb，cd，dba，db，ddc b
d
d
d
c
-
4
探究新知
2.排列数：从n个不同元素中任取m（m≤n）个不同元素的所有排列的
像殊，例位分4置步这，骤样然来，后研“再究首考问先虑题考一”虑般是特元本殊素章虑上的元或中问的数素位经题数字或置常．字中特第；任一第取步二2个先步数排从排百剩列位余． 使用的方法．
-
11
强化练习
1.填空
解：∵ P n 2 =n(n-1)， ∴ n(n-1)=56.
∴n=8或n=-7（舍去）
（1）已知