数学物理方法-18 Laplace方程的格林函数法

第四章拉氏方程的格林函数法.docx第四章拉氏方程的格林函数法前面儿章，介绍了儿种求解PDE定解问题的方法：分离变量法、行波法、积分变换法。

?本章介绍令一种求解拉氏方程的格林函数法。

首先来看一下我们要研究的定解问题是怎么捉出的。

§4.1拉氏方程边值问题的提法在第一章中，我们知道，对于无源的稳恒热传导问题满足拉氏方程，它的边值问题一般有三种提法。

研究最多的就是前面两种。

1)第一边值问题边界条件为:心要求的解心C2(Q)AC°(Q),既比在区域Q上连续，在Q上有二阶连续导数,满足拉氏方程且在边界上与/吻合。

Q = Q + 「为边界；称第一-边值问题为狄利克莱(Dirichlet)问题，简称狄氏问题。

通常称拉氏方程的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并满足拉氏方程的连续函数为调和函数。

2)第二边值问题边界条件为:単=/,on r要求的解ue C2(Q)nC*(Q),既u在区域豆上有一阶连续导数，在Q 上有二阶连续导数，满足拉氏方程且在边界上满足上边界条件。

称第二边值问题为牛曼(Neumarm)问题，简称牛氏问题。

前面两种边值问题都是在Q内求解拉氏方程，故称此类方程为内问题。

另外, 冇这样一类问题，如已知某区域边界上的温度，要求该区域Z外的温度分布情况, 这就归结为在区域Q外求解拉氏问题，称这样的问题为外问题。

注：对于外问题來说，求解通常都是在无界区域上，这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例了。

Aw = 0, r > 1, r = Vx2 + r2 + z2易知u = Vu = \!r都是上定解问题的解，这就出现了解的不唯一性，为了保证解的唯一性，通常我们要加一些限制条件，三维问题时limw = 0厂T8二维问题通常假定解冇界。

3）狄氏外问题（略）4）牛氏外问题（略）§ 4.2格林公式及其应用一、格林公式的推导为建立拉氏方程解的积分公式,我们先推导格林函数，它由曲面积分的Guass 公式直接导出。

第四章格林函数法拉普拉斯方程边值问题的求解方法调和函数： 1 拉普拉斯（Laplace ）方程的基本解§4.1 格林（Green ）公式及其应用具有二阶连续偏导数的调和方程的连续解；或满足Laplace 方程的函数。

三维Laplace 方程的基本解：22200011(,,)()()()MM u x y z r x x y y z z ==-+-+-特点：除 点外，任一点满足Laplace 方程。

0000(,,)M x y z 同学们自己验证。

二维Laplace 方程的基本解：220011(,)lnln()()MM u x y r x x y y ==-+-特点：除 点外，任一点满足Laplace 方程。

000(,)M x y 同学们自己验证。

问题：基本解是否为整个区域内的解？2 Green 公式（1）奥－高公式（高斯公式）：设 是有界区域， 是其边界曲面且足够光滑， 在 上连续，在 内有连续偏导数，则ΩΓΩ+Γ(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z Ω()(cos cos cos )P Q R d P Q R dS x y z αβγΩΓ∂∂∂++Ω=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰推导：令 其中 是 的外法线方向。

{cos ,cos ,cos }n αβγ=Γ（2）第一Green 公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且足够光滑， 及其一阶偏导数在 上连续，在 内有二阶连续偏导数，则ΩΓΩ+Γ(,,),(,,)u x y z v x y z Ω()v u v u v u vu vd u dS d n x x y y z z ΩΓΩ∂∂∂∂∂∂∂∆Ω=-++Ω∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,,v v vP u Q u R ux y z∂∂∂===∂∂∂代入高斯公式，并注意方向导数公式即可得。

（2）第二Green 公式：设 是有界区域， 是其边界曲面且足够光滑， 及其一阶偏导数在 上连续，在 内有二阶连续偏导数，则ΩΓΩ+Γ(,,),(,,)u x y z v x y z Ω(()v uu v v ud u v dS n n ΩΓ∂∂∆-∆Ω=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰推导：由第一Green 公式，有()v u v u v u v u vd u dS d n x x y y z z ΩΓΩ∂∂∂∂∂∂∂∆Ω=-++Ω∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()u u v u v u v v ud v dS d n x x y y z z ΩΓΩ∂∂∂∂∂∂∂∆Ω=-++Ω∂∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰两式相减即可得。

拉普拉斯方程的格林函数法
本次课主要内容
4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法4.2 格林公式
4.1拉普拉斯方程边值问题的提法
狄氏问题
•在区域Ω内找一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知。

3、内问题与外问题
以上两个边值问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部求拉普拉斯方程的解，这样的问题称为内问题。

重点讨论内问题
4.2 格林公式
二个格林公式
借助于二个格林公式，可以得到拉氏方程的狄氏问题与牛曼问题的解的积分表达式。

为何引入格林公式
积分公式的起点是通过直接积分或分部积分将未知函数从微分号下解脱出来
我们要求解的数值方程中均含有Δ，格林公式是将未知函数从微分算符Δ下解脱出来的工具。

而格林公式则是曲面积分中高斯公式的直接推论。

两个推论(Gauss 公式)
格林公式建立了区域Ω中的场与边界Γ上的场之间的关系。

因此，利用格林公式可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。

格林公式说明了两种标量场之间应该满足的关系。

因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林公式求解另一种场的分布特性。

3、调和函数的性质
1、定义：如果函数u(x,y,z)满足:(1)在具有二阶连续偏导数；Ω+Γ称u 为Ω上的调和函数。

2、调和函数的性质。

2
∇=u (2)。

第四章Laplace⽅程的格林函数法第四章 Laplace ⽅程的格林函数法在第⼆、三两章，系统介绍了求解数学物理⽅程的三种常⽤⽅法—分离变量法、⾏波法与积分变换法，本章来介绍Laplace ⽅程的格林函数法。

先讨论此⽅程解的⼀些重要性质，在建⽴格林函数的概念，然后通过格林函数建⽴Laplace ⽅程第⼀边值问题解的积分表达式。

§4.1 Laplace ⽅程边值问题的提法在第⼀章，从⽆源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维Laplace ⽅程22222220u u uu u x y z=?≡++=作为描述稳定和平衡等物理现象的Laplace ⽅程，它不能提初始条件。

⾄于边界条件，如第⼀章所述的三种类型，应⽤得较多的是如下两种边值问题。

（1）第⼀边值问题在空间(,,)x y z 中某⼀个区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ，要求这样⼀个函数(,,)u x y z ，它在闭域Ω+Γ（或记作Ω）上连续，在Ω内有⼆阶连续偏导数且满⾜Laplace ⽅程，在Γ上与已知函数f 相重合，即uf Γ=（4.1）第⼀边值问题也称为狄利克莱（Dirichlet ）问题，或简称狄⽒问题，§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄⽒问题。

Laplace ⽅程的连续解，也就是所，具有⼆阶连续偏导数并且满⾜Laplace ⽅程的连续函数，称为调和函数。

所以，狄⽒问题也可以换⼀种说法：在区域Ω内找⼀个调和函数，它在边界Γ上的值为已知。

（2）第⼆边值问题在某光滑的闭曲⾯Γ上给出连续函数f ，要求寻找这样⼀个函数(,,)u x y z ，它在Γ内部的区域Ω中是调和函数，在Ω+Γ上连续，在Γ上任⼀点处法向导数un存在，并且等于已知函数f 在该点的值：u f nΓ= （4.2）这⾥n 是Γ的外法向⽮量。

第⼆边值问题也称纽曼（Neumann ）问题。

以上两个问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部要求满⾜Laplace ⽅程的解，这样的问题称为内问题。

第6章 拉普拉斯方程的格林函数法在第4、5两章，我们较系统地介绍了求解数学物理方程的三种常用方法——分离变量法、行波法与积分变换法.本章我们来介绍拉普拉斯方程的格林函数法.先讨论此方程解的一些重要性质，再建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立拉普拉斯方程第一边值问题解的积分表达式.6.1 拉普拉斯方程边值问题的提法在第3章，我们已从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维拉普拉斯方程22222220.u u uu x y z∂∂∂∇≡++=∂∂∂作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程，它不能提初始条件.至于边界条件，如第一章所述有三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题.（1）第一边值问题 在空间(,,)x y z 中某一区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ，要求这样一个函数(,,)u x y z ，它在闭域Ω+Γ (或记作Ω)上连续，在Ω内存在二阶偏导数且满足拉普拉斯方程，在Γ上与已知函数f 相重合，即.u f Γ= (6.1)第一边值问题也称为狄利克莱(Dirichlet)问题，或简称狄氏问题.4.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题.拉普拉斯方程的连续解称为调和函数.所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域Ω内找一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知.（2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面Γ上给出连续函数f ，要求寻找这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ内部的区域Ω中是调和函数，在Ω+Γ上连续，在Γ上任一点处法向导数un∂∂存在，并且等于已知函数f 在该点的值： .uf n Γ∂=∂ （6.2） 这里n 是Γ的外法向矢量.第二边值值问题也称牛曼（Neumann ）问题.以上两个边值问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部求拉普拉斯方程的解.这样的问题称为内问题.在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题的另一种提法.例如，当确定某物体外部的稳恒温度场时，就归结为在区域Ω的外部求调和函数u ，使满足边界条件,u f Γ=这里Γ是Ω的边界，f 表示物体表面的温度分布，象这样的定解解问题称为拉普拉斯方程的外问题.由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上给出的，定解问题的解是否应加以一定的限制？基于在电学上总是假定在无穷远处的电位为零，所以在外问题中常常要求附加一个条件*）lim (,,)0(r u x y z r →∞==（6.3）（3）狄氏外问题 在空间(,,)x y z 的某一闭曲面Γ上给定连续函数f ，要找出这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ的外部区域'Ω内调和，在'Ω+Γ上连续，当点(,,)x y z 趋于无穷远时，(,,)u x y z 满足条件(6.3)，并且它在边界Γ上取所给的函数值.u f Γ= （6.4）（4）牛曼外问题 在光滑的闭曲面Γ上给定连续函数f ，要找出这样一个函数(,,)u x y z ，它的闭曲面Γ的外面部区域'Ω内调和，在'Ω+Γ上连续，在无穷远处满足条件(6.3)，而且它在Γ上任一点的法向导数'un ∂∂存在，并满足 ,'uf n Γ∂=∂ （6.5） 这里n '是边界曲面Γ的内法向矢量.下面我们重点讨论内问题，所用的方法也可以用于外问题.6．2 格林公式为了建立拉普拉斯方程解的积分表达式，需要先推导出格林公式，而格林公式则线面积分中奥-高公式的直接推论.设Ω是以足够光滑的曲面Γ为边界的有界区域，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 是在Ω+Γ上连续的，在Ω内具有一阶连续偏导数的任意函数，则成立如下的奥-高公式*）从数学角度讲，补充了这个条件就能保证外问题的解是唯一的，如果不具有这个条件，外问题的解可能不唯一.例如，在单位圆Γ外求调和函数，在边界上满足1=Γu.容易看出，及1),,(1≡z y x u22221),,(zy x z y x u ++=都在单位圆外满足拉普拉斯方程，并且在单位圆Γ上满足上述边界条件.P Q R d x y z Ω⎛⎫∂∂∂++Ω ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ [cos(,)cos(,)cos(,)],P n x Q n y R n z dS Γ=++⎰⎰ (6.6)其中d Ω是体积元素，n 是Γ的外法向矢量，dS 是Γ上的面积元素.下面来推导公式(6.6)的两个推论.设函数(,,)u x y z 和(,,)v x y z 在Ω+Γ上具有一阶连续偏导数，在Ω内具有连续的二阶偏导数.在(6.6)中令,,,v v v P uQ u R u x y z∂∂∂===∂∂∂ 则有2()u v u v u v u v d d x x y y z z ΩΩ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∇Ω+++Ω ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ,vudS nΓ∂=∂⎰⎰ 或2().vu v d u dS grad u grad v d n ΩΓΩ∂∇Ω=-⋅Ω∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （6.7） (6.7)式称为第一格林(Green)公式.在公式(6.7)中交换,u v 位置，则得2().uv u d v dS grad u grad v d n ΩΓΩ∂∇Ω=-⋅Ω∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （6.8） 将(6.7)与(6.8)式相减得到22().v u u v v u d u v dS n n ΩΓ∂∂⎛⎫∇-∇Ω=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ （6.9） (6.9)式称为第二格林公式.利用格林公式我们可以推出调和函数的一些基本性质. (i)调和函数的积分表达式所谓调和函数的积分表达式，就是用调和函数及其在区域边界Γ上的法向导数沿Γ的积分来表达调和函数在Ω内任一点的值.设0000(,,)M x y z 是Ω内某一固定点，现在我们就来求调和函数在这点的值，为此，构造一个函数1v r == （6.10）函数1r除点0M 外处处满足拉普拉斯方程，这函数在研究三维拉普拉斯方程中起着重要的作用，通常称它为三维拉普拉斯方程的基本解.由于1v r=在Ω内有奇异点0M ,我们作一个以0M 为中心，以充分小的正数ε为半径的球面,εΓ在Ω内挖去,εΓ所包围的球域K ε得到区域K εΩ-（图6-1），在K εΩ-内1v r=是连续可微的.在公式(4.9)中取u 为调和函数，而图6-1取1v r=，并以K εΩ-代替该公式中的Ω，得 221111(),K u r u u d u dS r r n r n εεΩ-Γ+Γ⎡⎤⎛⎫∂ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎢⎥∇-∇Ω=-∂∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰ （6.11） 因为在K εΩ-内2210,0.u r∇=∇=而在球面εΓ上221111,r r n r r ε⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-==∂∂ 因此22211144,r u dS udS u u n εεπεπεεΓΓ⎛⎫∂ ⎪⎝⎭==⋅=∂⎰⎰⎰⎰其中u 是函数u 在球面εΓ上的平均值.同理可得22211144,r u dS udS u u n εεπεπεεΓΓ⎛⎫∂ ⎪⎝⎭==⋅=∂⎰⎰⎰⎰ 此外u n ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭是un ∂∂在球面εΓ上的平均值，将此两式代入(6.11)可得 11440.u u u dS u n r r n n εππεΓ⎛⎫⎛⎫∂∂∂⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 现在令0,ε→由于00lim ()u u M ε→=（因为(,,)u x y z 是连续函数），0lim 40u n επε→⎛⎫∂=⎪∂⎝⎭（因为(,,)u x y z 是一阶连续可微的，故un∂∂有界）则得 000111()()(),4MM MM u M u M u M dS n r r n πΓ⎡⎤⎛⎫∂∂⎢⎥=--⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰ (6.12)此外为明确起见，我们将r =记成0MM r .(6.12)说明，对于在Ω+Γ上有连续一阶偏导数的调和函数u ，它在区域Ω内任一点0M 的值，可通过积分表达式(6.12)用这个函数在区域边界Γ上的值及其在Γ上的法向导数来表示*）.(ii)牛曼内问题有解的必要条件设u 是在以Γ为边界的区域Ω内的调和函数，在Ω+Γ上有一阶连续偏导数，则在公式(6.9)中取u 为所给的调和函数，取1v =，就得到0udS nΓ∂=∂⎰⎰(6.13) 由(6.13)可得牛曼内问题u f nΓ⎛⎫∂=⎪∂⎝⎭有解的必要条件为函数f 满足*）上面的推导是假定点),,(0000z y x M 在区域Ω内，如果0M 在Ω外或0M 在边界Γ上，我们也可用同样方法推得另外两个式子，把它们合并在一起可得⎰⎰Γ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΓΩ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-。