数理方程：第10讲格林函数法

格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。

格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。

其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。

格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。

2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。

它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。

3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。

计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。

总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。

格林函数法解非齐次方程格林函数法是一种常用的解非齐次方程的数学方法。

它基于格林函数的概念，通过求解格林函数来得到非齐次方程的解。

在本文中，我们将介绍格林函数法的基本原理和应用，并通过一个具体的例子来说明如何使用格林函数法解非齐次方程。

让我们来了解一下什么是格林函数。

在偏微分方程中，格林函数是一种特殊的函数，它可以用来表示在某个点上施加单位源时在整个空间内引起的响应。

格林函数可以看作是一个狄拉克函数的解，它满足齐次方程和边界条件，并且在单位源点上的值为1。

通过求解格林函数，我们可以得到非齐次方程的解。

接下来，我们来看一个具体的例子。

假设我们要解一个一维非齐次波动方程：∂^2u/∂t^2 - c^2 ∂^2u/∂x^2 = f(x,t)其中，u是待求解的函数，c是波速，f(x,t)是给定的源函数。

为了使用格林函数法，我们首先需要求解齐次方程的格林函数G(x,t;x',t')，即满足以下方程的函数：∂^2G/∂t^2 - c^2 ∂^2G/∂x^2 = 0边界条件为：G(x,0;x',t') = 0∂G/∂t(x,0;x',t') = 0G(0,t;x',t') = 0G(L,t;x',t') = 0其中，L是空间的长度。

通过求解该齐次方程，我们可以得到格林函数G(x,t;x',t')的表达式。

接下来，我们可以使用格林函数来求解非齐次方程。

假设非齐次方程的源函数为f(x,t)，我们可以将其表示为格林函数G(x,t;x',t')的积分形式：u(x,t) = ∫G(x,t;x',t')f(x',t')dx'dt'通过这个积分形式，我们可以将非齐次方程的解表示为格林函数和源函数的积分。

这样，我们就可以通过求解格林函数来得到非齐次方程的解。

让我们通过一个具体的例子来说明如何使用格林函数法解非齐次方程。

格林函数法
若L 一个带平滑系数的线性微分算子，当求解形如()L u f =的微分方程时，若对于任意的向量y 都存在广义函数()G x,y ，使得
[]()()L G δ=x x,y x-y
（此处下标x 表示L 作用于()G x,y 时将其当做以x 为自变量的广义函数，而y 为参数） 若再令
()()()d u G f =⎰x x,y y y
将上式代入()L u f =则有
[]()()d ()()d ()()d ()L G f L G f f f δ⎡⎤===⎣⎦
⎰⎰⎰x x,y y y x,y y y x -y y y x 故此时()u x 是微分方程()L u f =的解。

采用上述方法求解微分方程的方法称为格林函数法，广义函数()G x,y 也称为格林函数。

数学物理方法知识体系
数学物理方法所要解决的问题：求解（偏）微分方程
本学期学过的求解方法：变量分离法、积分变换法、格林函数法
变量分离法涉及知识点：傅里叶级数、函数的正交系、贝塞尔函数（Chap.2~Chap.5） 积分变换法涉及知识点：傅里叶变换、拉普拉斯变换、广义函数（Chap.7~Chap.9） 格林函数法涉及知识点：格林函数（Chap.10）
例题数量统计。

格林函数法求解稳定场问题1 格林函数法求解稳定场问题(Green ’s Function) Green ’s Function, 又名源函数，或影响函数，是数学物理中的一个重要概念。

从物理上看，一个数学物理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间关系：Heat Eq.：()2222 ,u a u f r t t∂-∇=∂v 表示温度场u 与热源(),f r t v之间关系 Poission ’s Eq.：()20u f r ρε∇=-=-v表示静电场u 与电荷分布()f r v之间的关系场可以由一个连续的体分布源、面分布源或线分布源产生，也可以由一个点源产生。

但是，最重要的是连续分布源所产生的场，可以由无限多个电源在同样空间所产生的场线性叠加得到。

例如，在有限体内连续分布电荷在无界区域中产生的电势：()''04r dV r r ρφπεΩ=-⎰r r r这就是把连续分布电荷体产生的电势用点电荷产生的电势叠加表示。

或者说，知道了一个点源的场，就可以通过叠加的方法算出任意源的场。

所以，研究点源及其所产生场之间的关系十分重要。

这里就引入Green ’s Functions 的概念。

Green ’s Functions ：代表一个点源所产生的场。

普遍而准确地说，格林函数是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。

所以，我们需要在特定的边值问题中来讨论 Green ’s Functions.下面，我们先给出Green ’s Functions 的意义，再介绍如何在几个典型区域求出格林函数，并证明格林函数的对称性，最后用格林函数法求解泊松方程的边值问题。

实际上，只限于讨论泊松方程的第一类边值问题所对应的 Green ’s Functions 。

2 泊松方程的格林函数静电场中常遇到的泊松方程的边值问题：()()()()()201 f s u r r u r u r r n ρεαβϕ⎧∇=-⎪⎪⎨∂⎡⎤⎪+=⎢⎥⎪∂⎣⎦⎩vv v v v 这里讨论的是静电场()u r v， ()f r ρv 代表自由电荷密度。

格林函数法求解微分方程
格林函数法是一种求解微分方程的方法，它是根据古典力学而发明的概念，用估计和拟合许多非定常系统的性质。

格林函数法是一种分析非线性普朗克方程组的一种数值解法。

它的核心思想是将微分方程变为一个带有参数的集合。

这些参数由拟合一个已知的，特殊的曲线来决定，该曲线由格林函数提供。

格林函数法用于求解微分方程的程序是以下：首先确定能够描述所需问题的格林函数表达式；其次，确定格林函数的变量；然后，将格林函数代入微分方程，解出相关的变量；最后，将解得的变量带入格林函数，得到解得的微分方程。

格林函数法有很多优点：第一，格林函数法可以用来求解复杂的非线性微分方程；第二，格林函数法只需要一定的数学知识；第三，格林函数法可以显著缩短求解时间；第四，它允许有效地比较结果。

格林函数法是一种非常有用的微分方程求解方法，它可以很快地对任何较为复杂的微分方程，只要有正确的算法，就能快速地得出精确的解。

它也比较灵活且简洁，可以用于求解许多复杂的问题，比如物理运动方面的微分方程。

常微分方程格林函数格林函数（Green's function）是常微分方程理论中的一个重要概念。

格林函数是指线性常微分方程解的特定形式，用于将非齐次方程的解表示为齐次方程的解与一个特定的函数的线性组合。

格林函数的理论有广泛的应用，包括电磁学、量子力学、流体力学等领域。

我们考虑一个形如L[u]=f(某)的一维线性常微分方程，其中L是一个线性微分算子，u是未知函数，f(某)是已知函数。

我们想要找到方程的解u(某)。

为此，我们引入格林函数G(某,t)，满足以下两个条件：1. 对于每个固定的t，在某>t的区域内，格林函数满足L[G(某,t)]=δ(某-t)，其中δ(某-t)是Diracδ函数。

2.对于边界条件G(a,t)=G(b,t)=0，其中a和b是方程所涉及的区域的边界。

为了求解方程L[u]=f(某)，将解表示为u(某)=∫G(某,t)f(t)dt，其中积分是对整个区间进行的。

然后，我们可以利用格林函数的性质来计算系数函数G(某,t)与未知函数u(某)之间的关系，从而得到方程L[u]=f(某)的解u(某)。

对于常微分方程来说，我们可以通过求解格林函数来求解对应的非齐次方程。

具体的求解步骤如下：1.首先，求解齐次方程L[u]=0，并找到其解u_h(某)。

2.接下来，我们需要求解L[G(某,t)]=δ(某-t)的齐次方程，即L[G(某,t)]=0。

3.根据格林函数的边界条件，我们可以得到G(a,t)和G(b,t)的表达式，并利用这些条件分析求解。

4.最后，将方程的非齐次项f(某)代入到格林函数的表达式中，得到方程的解u(某)。

格林函数的概念和求解方法在物理和工程领域中广泛应用。

例如，在电磁学中，可以利用格林函数求解电荷分布所引起的电势分布；在量子力学中，格林函数用于描述定态和非定态系统中的粒子传播；在流体力学中，格林函数被用于描述流体的流动行为。

总之，格林函数是常微分方程理论中的重要工具，它可以将非齐次方程的解表示为齐次方程的解与一个特定的函数的线性组合。