数学分析之实数集与函数

数学分析第一章实数集与函数§1.实数一、 实数及其性质1. 实数的定义：实数，是有理数和无理数的总称。

2. 实数的六大性质：①（四则运算封闭性）：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算封闭，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。

②（有序性）：实数集是有序的，即任意两个实数a, b 必满足以下三种关系之一：a<b 、a=b 、a>b 。

③（传递性）：实数的大小关系具有传递性，即若a>b, b>c 则a>c 。

④（阿基米德性）：实数具有阿基米德性，即对任何a, b ∈R, 若b>a>0,则存在正整数na>b.⑤(稠密性)：实数集R 具有稠密性，即任意两个不相等的实数之间必有另外一个实数，且既有有理数也有无理数。

⑥实数集R 与数轴上点一一对应。

二、 绝对值与不等式1. 实数绝对值的性质： ①0;00a a a a =-≥==当且仅当时有 ②-a a a ≤≤ ③;a h h a h a h h a h <<=>-<<≤<=>-≤≤ ④a b a b a b -≤±≤+三角不等式⑤ab a b = ⑥(0)a a b b b=≠ §2数集·确界原理一、 区间与邻域1. 有限区间：开区间：{}x a x b <<记作(),a b ；闭区间：{}x a x b ≤≤记作[],a b ；半开半闭区间：{}x a x b ≤<记作[),a b ，{}x a x b <≤记作(],a b无限区间：(]{},a x a -∞=≤，(){},a x x a -∞=≤，(){},a x x a +∞=>，(){},x x R -∞+∞=-∞<<+∞=2. 邻域：设a R ∈,0>,满足绝对值不等式x a -<的全体实数x 的集合称为点a 的邻域，记作();U a 或写作()U a ，即有(){}();,U a x x a a a =-<=-+。

第一章实数集与函数§1 实数数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数.为此, 我们先简要叙述实数的有关概念.一实数及其性质在中学数学课程中, 我们知道实数由有理数与无理数两部分组成.有理数可用分数形式p( p、q 为整数, q≠0 ) 表示, 也可用有限十进小数或无限十进循环q小数来表示; 而无限十进不循环小数则称为无理数.有理数和无理数统称为实数.为了以下讨论的需要, 我们把有限小数( 包括整数) 也表示为无限小数.对此我们作如下规定: 对于正有限小数( 包括正整数) x , 当x = a0 . a1 a2 a n 时, 其中0≤a i ≤9 , i = 1 , 2 , , n , a n ≠0 , a0 为非负整数, 记x = a0 . a1 a2 ( a n - 1) 999 9 ,而当x = a0 为正整数时, 则记x = ( a0 - 1 ) .999 9 ,例如2 .001 记为2.000 999 9 ; 对于负有限小数( 包括负整数) y , 则先将- y 表示为无限小数, 再在所得无限小数之前加负号, 例如- 8 记为- 7.999 9 ; 又规定数0 表示为0.000 0 .于是, 任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.我们已经熟知比较两个有理数大小的方法.现定义两个实数的大小关系.定义1 给定两个非负实数x = a0 . a1 a2 a n , y = b0 .b1 b2 b n ,其中a0 , b0 为非负整数, a k , b k ( k = 1 , 2 , ) 为整数, 0≤a k ≤9 , 0≤b k ≤9 .若有a k =b k , k = 0 , 1 , 2 , ,则称x 与y 相等, 记为x = y; 若a0 > b0 或存在非负整数l , 使得a k =b k ( k = 0 , 1 , 2 , , l ) 而a l + 1 > b l + 1 ,则称x 大于y 或y 小于x , 分别记为x > y 或y < x .2 第一章实数集与函数对于负实数x , y, 若按上述规定分别有- x = - y 与- x > - y , 则分别称x = y 与x < y( 或y > x) .另外, 自然规定任何非负实数大于任何负实数.以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件.为此, 先给出如下定义.定义 2 设x = a0 . a1 a2 a n 为非负实数.称有理数x n = a0 . a1 a2 a n为实数x 的n位不足近似, 而有理数x n = x n + 称为x 的n位过剩近似, n = 0 , 1 , 2 , . 1 10 n对于负实数x = - a0 .a1 a2 a n , 其n 位不足近似与过剩近似分别规定为1x n = - a0 .a1 a2 a n - n 与x n = - a0 .a1 a2 a n .10注不难看出, 实数x 的不足近似x n 当n 增大时不减, 即有x0 ≤x1 ≤x2 ≤, 而过剩近似x n 当n 增大时不增, 即有x0 ≥x1 ≥x2 ≥.我们有以下的命题设x = a0 .a1 a2 与y = b0 . b1 b2 为两个实数, 则x > y 的等价条件是: 存在非负整数n , 使得x n > y n ,其中x n 表示x 的n 位不足近似, y n 表示y 的n 位过剩近似.关于这个命题的证明, 以及关于实数的四则运算法则的定义, 可参阅本书附录Ⅱ第八节.例1 设x、y 为实数, x < y .证明: 存在有理数r 满足x < r < y .证由于x < y , 故存在非负整数n , 使得x n < y n .令r = 1( x n + y n ) ,2则r 为有理数, 且有即得x < r < y .x ≤ x n < r < y n ≤y,为方便起见, 通常将全体实数构成的集合记为R , 即R = { x x 为实数} .实数有如下一些主要性质:1 . 实数集R 对加、减、乘、除( 除数不为0 ) 四则运算是封闭的, 即任意两个§1 实数3实数的和、差、积、商( 除数不为0) 仍然是实数.2 . 实数集是有序的, 即任意两实数a、b 必满足下述三个关系之一: a < b,a = b, a >b .3 . 实数的大小关系具有传递性, 即若a > b, b > c, 则有a > c .4 . 实数具有阿基米德( Archimedes ) 性, 即对任何a、b∈R , 若b > a > 0 , 则存在正整数n , 使得na > b .5 . 实数集R 具有稠密性, 即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数, 且既有有理数( 见例1 ) , 也有无理数.6 . 如果在一直线( 通常画成水平直线) 上确定一点O 作为原点, 指定一个方向为正向( 通常把指向右方的方向规定为正向) , 并规定一个单位长度, 则称此直线为数轴.任一实数都对应数轴上唯一的一点; 反之, 数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数.于是, 实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系.在本书以后的叙述中, 常把“实数a”与“数轴上的点a”这两种说法看作具有相同的含义.例2 设a、b∈R .证明: 若对任何正数ε有a < b + ε, 则a≤b .证用反证法.倘若结论不成立, 则根据实数集的有序性, 有a > b .令ε= a - b, 则ε为正数且 a = b + ε, 但这与假设 a < b + ε相矛盾.从而必有a≤b .关于实数的定义与性质的详细论述, 有兴趣的读者可参阅本书附录Ⅱ .二绝对值与不等式实数a 的绝对值定义为a = a , a ≥0 ,- a , a < 0 .从数轴上看, 数a 的绝对值| a | 就是点 a 到原点的距离.实数的绝对值有如下一些性质:1 . | a | = | - a | ≥0; 当且仅当 a = 0 时有| a | = 0 .2 . - | a | ≤ a≤ | a | .3 . | a | < h! - h < a < h; | a | ≤ h! - h≤ a≤ h ( h > 0) .4 . 对于任何a、b∈R 有如下的三角形不等式:a -b ≤ a ±b ≤ a + b .5 . | ab | = | a | | b| .6 . ab| a || b|( b≠ 0) .下面只证明性质4 , 其余性质由读者自行证明. 由性质2 有=4 第一章实数集与函数两式相加后得到- a ≤ a ≤ a , - b ≤ b ≤ b .- ( a + b ) ≤ a + b ≤ a + b .根据性质3 , 上式等价于a +b ≤ a + b . ( 1) 将(1 ) 式中 b 换成- b, ( 1) 式右边不变, 即得| a - b | ≤| a | + | b | , 这就证明了性质4 不等式的右半部分.又由| a | = | a - b + b | , 据(1 ) 式有a ≤ a -b + b .从而得a -b ≤ a - b . ( 2) 将(2 ) 式中 b 换成- b, 即得| a | - | b | ≤| a + b | .性质4 得证.习题1 . 设a 为有理数, x 为无理数.证明:( 1) a + x 是无理数; ( 2)当a≠0 时, ax 是无理数.2 . 试在数轴上表示出下列不等式的解:( 1) x ( x2 - 1) > 0; ( 2) | x - 1 | < | x - 3 | ;( 3) x - 1 - 2 x - 1≥ 3 x - 2 .3 . 设a、b∈R .证明:若对任何正数ε有| a - b| < ε, 则a = b .4 . 设x ≠0 ,证明x + 1 x5 . 证明: 对任何x ∈R 有≥2 , 并说明其中等号何时成立.( 1) | x - 1 | + | x - 2 | ≥1; ( 2) | x - 1 | + | x - 2 | + | x - 3 | ≥2 .6 . 设a、b、c∈R+ ( R+ 表示全体正实数的集合) .证明a2 + b2- a2+ c2 ≤ b - c .你能说明此不等式的几何意义吗?7 . 设x > 0 , b > 0 , a≠b .证明a + x介于 1 与a之间.b + x b8 . 设p 为正整数.证明:若p 不是完全平方数, 则p是无理数.9 . 设a、b 为给定实数.试用不等式符号(不用绝对值符号) 表示下列不等式的解:( 1) | x - a| < | x - b | ; ( 2) | x - a | < x - b; (3) | x2 - a | < b .§2 数集·确界原理本节中我们先定义R 中两类重要的数集———区间与邻域, 然后讨论有界集§2 数集·确界原理5并给出确界定义和确界原理.一区间与邻域设a、b∈R , 且 a < b .我们称数集{ x | a < x < b} 为开区间, 记作( a , b) ; 数集{ x | a≤x≤b} 称为闭区间, 记作[ a , b] ; 数集{ x | a≤x < b} 和{ x | a < x ≤b} 都称为半开半闭区间, 分别记作[ a , b) 和( a , b] .以上这几类区间统称为有限区间.从数轴上来看, 开区间( a , b) 表示a、b 两点间所有点的集合, 闭区间[ a, b] 比开区间( a , b) 多两个端点, 半开半闭区间[ a, b) 比开区间( a, b) 多一个端点 a 等.满足关系式x ≥a 的全体实数x 的集合记作[ a , + ∞) , 这里符号∞读作“无穷大”, + ∞读作“正无穷大”.类似地, 我们记( - ∞ , a] = { x x ≤ a} , ( a , + ∞ ) = { x x > a} ,( - ∞, a) = { x x < a} , ( - ∞, + ∞) = { x - ∞< x < + ∞} = R , 其中- ∞读作“负无穷大”.以上这几类数集都称为无限区间.有限区间和无限区间统称为区间.设a∈R , δ> 0 .满足绝对值不等式| x - a | < δ的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域, 记作U ( a;δ) , 或简单地写作U( a ) , 即有U( a; δ) = { x x - a < δ} = ( a - δ, a + δ) .点a 的空心δ邻域定义为U°(a;δ) = { x 0 < x - a < δ} ,它也可简单地记作U°( a) .注意, U°( a;δ) 与U( a;δ) 的差别在于: U°( a;δ) 不包含点 a .此外, 我们还常用到以下几种邻域:点a 的δ右邻域U + ( a;δ) = [ a , a + δ) , 简记为U + ( a) ;点a 的δ左邻域U - ( a;δ) = ( a - δ, a] , 简记为U - ( a) ;( U- ( a ) 与U+ ( a ) 去除点 a 后, 分别为点 a 的空心δ左、右邻域, 简记为U°- ( a) 与U°+ ( a) .)∞邻域U( ∞) = { x | x | > M} , 其中M 为充分大的正数( 下同) ;+ ∞邻域U( + ∞) = { x | x > M}; - ∞邻域U( - ∞) = { x | x < - M} .二有界集·确界原理定义1 设S 为R 中的一个数集.若存在数M ( L ) , 使得对一切x ∈S , 都有x ≤M( x≥L) , 则称S 为有上界( 下界) 的数集, 数M( L) 称为S 的一个上界( 下界) .6 第一章实数集与函数若数集S 既有上界又有下界, 则称S 为有界集.若S 不是有界集, 则称S 为无界集.例1 证明数集N + = { n | n 为正整数}有下界而无上界.证显然, 任何一个不大于1 的实数都是N + 的下界, 故N + 为有下界的数集.为证N + 无上界, 按照定义只须证明: 对于无论多么大的数M, 总存在某个正整数n0 ( ∈N + ) , 使得n0 > M .事实上, 对任何正数M ( 无论多么大) , 取n0 = [ M ] + 1 ①, 则n0 ∈N + , 且n0 > M .这就证明了N + 无上界.读者还可自行证明: 任何有限区间都是有界集, 无限区间都是无界集; 由有限个数组成的数集是有界集.若数集S 有上界, 则显然它有无穷多个上界, 而其中最小的一个上界常常具有重要的作用, 称它为数集S 的上确界.同样, 有下界数集的最大下界, 称为该数集的下确界.下面给出数集的上确界和下确界的精确定义.定义2 设S 是R 中的一个数集.若数η满足:( i) 对一切x∈S , 有x≤η, 即η是S 的上界;( ii) 对任何α< η, 存在x0 ∈S , 使得x0 > α, 即η又是S 的最小上界,则称数η为数集S 的上确界, 记作η = sup S② .定义3 设S 是R 中的一个数集.若数ξ满足:( i) 对一切x∈S , 有x≥ξ, 即ξ是S 的下界;( ii) 对任何β> ξ, 存在x0 ∈S , 使得x0 < β, 即ξ又是S 的最大下界,则称数ξ为数集S 的下确界, 记作ξ= inf S .上确界与下确界统称为确界.例2 设S = { x |x 为区间(0 , 1 ) 中的有理数} .试按上、下确界的定义验证: sup S = 1 , inf S = 0 .解先验证sup S = 1 :( i) 对一切x∈S , 显然有x≤1 , 即1 是S 的上界.( ii) 对任何α< 1 , 若α≤0 , 则任取x0 ∈S 都有x0 > α; 若α> 0 , 则由有理数集在实数集中的稠密性, 在( α, 1) 中必有有理数x0 , 即存在x0 ∈S , 使得x0 > α.类似地可验证inf S = 0 .读者还可自行验证: 闭区间[0 , 1 ]的上、下确界分别为1 和0 ; 对于数集①[ x] 表示不超过数x 的最大整数, 例如[ 2 .9 ] = 2 , [ - 4 .1 ] = - 5 .②sup 是拉丁文supremum ( 上确界) 一词的简写; 下面的inf 是拉丁文infimum ( 下确界) 一词的简写.E = ( - 1 ) §2 数集·确界原理7nn n = 1 , 2 , , 有 sup E = N + = 1 , 而没有上确界 . 1 2 , inf E = - 1 ; 正整数集 N + 有下确界 inf 注 1 由上 ( 下 ) 确界的定义可见 , 若数集 S 存在上 ( 下 ) 确界 , 则一定是唯一 的 .又若数集 S 存在上、下确界 , 则有 inf S ≤s up S .注 2 从上面一些例子可见 , 数集 S 的确界可能属于 S , 也可能不属于 S . 例 3 设数集 S 有上确界 .证明η = sup S ∈ S !η = max S ① .证 ª ) 设 η= sup S ∈ S , 则对一切 x ∈ S 有 x ≤η, 而 η∈ S , 故 η是数集 S 中最大的数 , 即 η= max S .Ï ) 设 η= max S , 则 η∈ S ; 下面验证 η= sup S:( i ) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤η, 即 η是 S 的上界 ;( ii ) 对任何 α< η, 只 须取 x 0 = η∈ S , 则 x 0 > α .从 而满 足 η= sup S 的 定 义 .关于数集确界的存在性 , 我们给出如下确界原理 .定理 1 .1 ( 确界原理 ) 设 S 为非空数集 .若 S 有上界 , 则 S 必有上确界 ; 若 S 有下界 , 则 S 必有下确界 .证 我们只证明关于上确界的结论 , 后一结论可类似地证明 .为叙述的方便起见 , 不妨设 S 含有非负数 .由于 S 有上界 , 故可找到非负整 数 n , 使得1) 对于任何 x ∈ S 有 x < n + 1 ;2) 存在 a 0 ∈ S , 使 a 0 ≥ n .对半开区间 [ n , n + 1) 作 10 等分 , 分点为 n .1 , n .2 ,, n .9 , 则存在 0 , 1 , 2 , , 9 中的一个数 n 1 , 使得1) 对于任何 x ∈ S 有 x < n . n 1 + 1 ; 102) 存在 a 1 ∈ S , 使 a 1 ≥ n . n 1 .再对半开区间 [ n . n 1 , n . n 1 + 1 ) 作 10 等 分 , 则 存在 0 , 1 , 2 , , 9 中的一 个 10数 n 2 , 使得1) 对于任何 x ∈ S 有 x < n . n 1 n 2 + 1 ; 1022) 存在 a 2 ∈ S , 使 a 2 ≥ n . n 1 n 2 .① 记号 max 是 maxim um( 最大 ) 一 词的 简写 , η= max S 表 示数 η是 数集 S 中 最大 的数 .以下 将出 现 的记号 min 是 minimu m( 最小 ) 一 词的简 写 , min S 表示 数集 S 中 最小 的数 .8 第一章实数集与函数继续不断地10 等分在前一步骤中所得到的半开区间, 可知对任何k = 1 , 2 , , 存在0 , 1 , 2 , , 9 中的一个数n k , 使得1) 对于任何x∈S 有x < n . n1 n2 n k + 1; ( 1)10 k2) 存在a k ∈S , 使a k ≥n . n1 n2 n k .将上述步骤无限地进行下去, 得到实数η= n . n1 n2 n k .以下证明η= sup S .为此只需证明:( i) 对一切x∈S 有x≤η; ( ii ) 对任何α< η, 存在a′∈S 使α< a′.倘若结论( i ) 不成立, 即存在x ∈S 使x > η, 则可找到x 的k 位不足近似x k , 使从而得x k > 珔ηk = n . n1 n2 n k +1,10 kx > n . n1 n2 n k +1,10 k但这与不等式(1 ) 相矛盾.于是( i) 得证.现设α< η, 则存在k 使η的k 位不足近似ηk > 珔αk , 即n . n1 n2 n k > 珔αk .根据数η的构造, 存在a′∈S 使a′≥ηk , 从而有a′≥ηk > 珔αk ≥α,即得到α< a′.这说明( ii) 成立.在本书中确界原理是极限理论的基础, 读者应给予充分的重视.例4 设 A 、B为非空数集, 满足: 对一切x∈A 和y∈B 有x ≤y .证明: 数集A 有上确界, 数集 B 有下确界, 且sup A ≤ inf B . ( 2) 证由假设, 数集 B 中任一数y 都是数集 A 的上界, A 中任一数x 都是 B 的下界, 故由确界原理推知数集 A 有上确界, 数集 B 有下确界.现证不等式(2 ) .对任何y∈B , y 是数集A 的一个上界, 而由上确界的定义知, sup A 是数集A 的最小上界, 故有sup A≤y .而此式又表明数sup A 是数集B 的一个下界, 故由下确界定义证得sup A≤inf B .例5 设 A 、B为非空有界数集, S = A ∪ B .证明:( i) sup S = max{sup A , sup B};( ii) inf S = min{inf A , inf B} .证由于S = A ∪B 显然也是非空有界数集, 因此S 的上、下确界都存在.( i) 对任何x∈S , 有x∈A 或x∈Bªx≤sup A 或x≤sup B , 从而有x ≤§2 数集·确界原理9max{sup A , sup B} , 故得sup S≤max{ sup A , sup B} .另一方面, 对任何x∈A , 有x ∈S ªx ≤sup S ªs up A ≤sup S ; 同理又有sup B≤sup S .所以sup S≥max{sup A , sup B} .综上, 即证得sup S = max{sup A , sup B} .( ii) 可类似地证明.若把+ ∞和- ∞补充到实数集中, 并规定任一实数 a 与+ ∞、- ∞的大小关系为: a < + ∞, a > - ∞, - ∞< + ∞, 则确界概念可扩充为:若数集S 无上界, 则定义+ ∞为S 的非正常上确界, 记作sup S = + ∞;若S 无下界, 则定义- ∞为S 的非正常下确界, 记作inf S = - ∞.相应地, 前面定义2 和定义3 中所定义的确界分别称为正常上、下确界.在上述扩充意义下,我们有推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界( 正常的或非正常的) .例如, 对于正整数集N+ 有inf N+ = 1 , sup N+ = + ∞; 对于数集S = { y y = 2 - x2 , x ∈R } ( 3) 有inf S = - ∞, sup S = 2 .习题1 . 用区间表示下列不等式的解:( 1) | 1 - x | - x ≥0; ( 2) x + 1x≤6 ;( 3) ( x - a) ( x - b) ( x - c) > 0( a , b , c 为常数, 且 a < b < c) ;( 4) sin x ≥ 2 .22 . 设S 为非空数集.试对下列概念给出定义:( 1) S 无上界; ( 2) S 无界.3 . 试证明由(3 )式所确定的数集S 有上界而无下界.4 . 求下列数集的上、下确界, 并依定义加以验证:( 1) S = { x | x2 < 2} ; (2 ) S = { x | x = n !, n∈ N+ } ;( 3) S = { x | x 为(0 , 1 )内的无理数} ;( 4) S = { x | x = 1 - 1, n∈N+ } .2 n5 . 设S 为非空有下界数集.证明:inf S = ξ∈ S!ξ = min S .6 . 设S 为非空数集, 定义S - = { x | - x ∈S} .证明:( 1) inf S - = - sup S; ( 2) sup S - = - inf S .7 . 设A 、B皆为非空有界数集, 定义数集A +B = { z | z = x + y, x ∈ A , y ∈ B} .10 第一章实数集与函数证明: (1) sup( A + B) = sup A + sup B; ( 2) inf( A + B) = inf A + inf B .8 . 设a > 0 , a≠1 , x 为有理数.证明sup{ a r | r 为有理数, r < x} , 当a > 1 ,a x =inf{ a r | r 为有理数, r < x} , 当a < 1 .§3 函数概念关于函数概念, 在中学数学中我们已有了初步的了解, 本节将对此作进一步的讨论.一函数的定义定义1 给定两个实数集 D 和M , 若有对应法则 f , 使对D 内每一个数x , 都有唯一的一个数y∈M 与它相对应, 则称 f 是定义在数集D 上的函数, 记作f : D → M ,( 1)x 組y .数集 D 称为函数 f 的定义域, x 所对应的数y , 称为f 在点x 的函数值, 常记为f ( x) .全体函数值的集合f ( D) = { y y = f ( x ) , x ∈ D} ( ÌM)称为函数f 的值域.(1 ) 中第一式“D→M”表示按法则 f 建立数集D到M 的函数关系; 第二式“x 組y”表示这两个数集中元素之间的对应关系, 也可记为“x 組f ( x) ”.习惯上, 我们称此函数关系中的x 为自变量, y 为因变量.关于函数的定义, 我们作如下几点说明:1 . 定义1 中的实数集M 常以R 来代替, 于是定义域 D 和对应法则 f 就成为确定函数的两个主要因素.所以, 我们也常用y = f ( x ) , x ∈D表示一个函数.由此, 我们说某两个函数相同, 是指它们有相同的定义域和对应法则.如果两个函数对应法则相同而定义域不同, 那么这两个函数仍是不相同的.例如 f ( x ) = 1 , x ∈R 和g( x) = 1 , x∈R \ {0 } 是不相同的两个函数.另一方面, 两个相同的函数, 其对应法则的表达形式可能不同, 例如φ( x) = x , x ∈R 和ψ( x) = x2 , x ∈R .2 . 我们在中学数学中已经知道,表示函数的主要方法是公式法, 即用数学运算式子来表示函数.这时, 函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量值的全体,通常称为存在域.在这种情况下,函数的定义域( 即存在域) D 可省略不写,而只用对应法则 f 来表示一个函数,此时可简单地说“函数y = f ( x)”或“函数f”.§3 函 数 概 念113 . 函数 f 给出了 x 轴上的点集 D 到 y 轴上 点集 M 之间 的单值 对应 , 也 称 为映射 .对于 a ∈ D, f ( a) 称为映射 f 下 a 的象 , a 则称为 f ( a) 的原象 .4 . 在函数定义中 , 对每一个 x ∈ D , 只能有唯一的 一个 y 值 与它对 应 , 这 样 定义的函数称为单值函数 .若同 一个 x 值 可以 对应 多于 一 个的 y 值 , 则 称这 种 函数为多值函数 .在本书范围内 , 我们只讨论单值函数 .二 函数的表示法在中学课程里 , 我们已经知道函数 的表 示法主 要有 三种 , 即 解析法 ( 或称 公 式法 ) 、列表法和图象法 . 有些函数在其定义域的不同部 分用 不同的 公式 表达 , 这 类函数 通常 称为 分 段函数 .例如 , 函数sgn x =1 , x > 0 , 0 ,x = 0 ,- 1 , x < 0是分段函数 , 称为符号函数 , 其图象如图 1 - 1 所示 . 又如函数 f ( x ) = | x | 也可 用 如下 的 分 段函 数 形式 来表示 :图 1 - 1f ( x) =x ,x ≥ 0 ,- x , x < 0 .它还可表示为 f ( x) = x sgn x .函数 y = f ( x ) , x ∈ D 又可用如下有序数对的集合 :G = { ( x , y) y = f ( x ) , x ∈ D} 来表示 .在坐标平面上 , 集合 G 的每一个元素 ( x , y ) 表 示平面上 的一个点 , 因 而 集合 G 在坐标平面 上 描绘 出 这 个函 数 的图 象 .这 就 是用 图 象法 表 示 函数 的 依 据 .有些函数难以用解析法、列表法 或图 象法来 表示 , 只 能用 语言来 描述 .如 定 义在 R 上的狄利克雷 ( Dirichlet ) 函数1 , 当 x 为有理数 ,D( x) =0 , 当 x 为无理数 和定义在 [0 , 1 ] 上的黎曼 ( Riemann ) 函数1 , 当 x = p ( p , q ∈ N + , p为既约真分数 ) ,R ( x) =q qq0 ,当 x = 0 , 1 和 (0 , 1 ) 内的无理数 .三 函数的四则运算给定两个函数 f , x ∈ D 1 和 g , x ∈ D 2 , 记 D = D 1 ∩ D 2 , 并设 D ≠¹?.我们定* 2 12第一章 实数集与函数义 f 与 g 在 D 上的和、差、积运算如下 :F( x ) = f ( x) + g ( x ) , x ∈ D,G( x) = f ( x ) - g( x) , x ∈ D,H( x ) = f ( x) g( x) , x ∈ D .若在 D 中剔除使 g( x) = 0 的 x 值 , 即令D = D 1 ∩ { x g( x) ≠ 0 , x ∈ D 2 } ≠ ¹?,可在 D *上定义 f 与 g 的商的运算如下 :L( x ) = f ( x) , x ∈ D *.g( x )注 若 D = D 1 ∩ D 2 = ¹?, 则 f 与 g 不能进行四则运算 .例如 , 设f ( x) = 1 - x 2, x ∈ D 1 = { x x ≤ 1} , g( x) =x 2- 4 , x ∈ D = { xx ≥ 2 } ,由于 D 1 ∩ D 2 = ¹?, 所以表达式f ( x ) + g( x) =1 - x 2+x 2- 4是没有意义的 .以后为叙述方便 , 函数 f 与 g 的和、差、积、商常分别写作f +g , f - g, fg , f.g四 复合函数设有两函数y = f ( u) , u ∈ D, u = g( x ) , x ∈ E .( 2)记 E * = { x | g( x ) ∈ D } ∩ E .若 E *≠¹?, 则对每一个 x ∈ E *, 可通过函数 g 对 应 D 内唯一的一个值 u , 而 u 又通过函数 f 对应唯一的一个值 y .这就确定了一 个定义在 E *上的函数 , 它以 x 为自变量 , y 为因变量 , 记作y = f ( g( x ) ) , x ∈ E *或 y = ( f g) ( x) , x ∈ E *, 称为函数 f 和 g 的 复合函 数 .并称 f 为 外函数 , g 为内函 数 , ( 2) 式中 的 u 为 中 间变量 .函数 f 和 g 的复合运算也可简单地写作 f g . 例 1 函数 y = f ( u ) = u , u ∈ D = [0 , + ∞ ) 与 函数 u = g( x ) = 1 - x 2, x ∈ E = R 的复合函数为y = f ( g( x ) ) =1 - x2或 ( f g) ( x ) =1 - x 2,其定义域 E *= [ - 1 , 1] Ì E .复合函数也可由多个函数相继复 合而 成 .例如 , 由三 个函 数 y = sin u , u =§3 函数概念13v 与v = 1 - x2 ( 它们的定义域取为各自的存在域)相继复合而得的复合函数为y = sin 1 - x2 , x ∈[ - 1 , 1] .注当且仅当 E * ≠¹?( 即D∩g ( E) ≠¹?) 时, 函数 f 与g 才能进行复合. 例如, 以y = f ( u) = arc sin u , u∈D = [ - 1 , 1 ] 为外函数, u = g( x ) = 2 + x2 , x ∈E = R 为内函数, 就不能进行复合.这是因为外函数的定义域 D = [ - 1 , 1 ] 与内函数的值域g( E ) = [ 2 , + ∞) 不相交.五反函数函数y = f ( x ) 的自变量x 与因变量y 的关系往往是相对的.有时我们不仅要研究y 随x 而变化的状况, 也要研究x 随y 而变化的状况.对此, 我们引入反函数概念.设函数y = f ( x ) , x ∈ D ( 3) 满足: 对于值域 f ( D) 中的每一个值y, D 中有且只有一个值x 使得f ( x) = y,则按此对应法则得到一个定义在 f ( D) 上的函数, 称这个函数为 f 的反函数, 记作f - 1 : f ( D) → D,y 組x或x = f - 1 ( y) , y ∈ f ( D) . ( 4) 注1 函数 f 有反函数, 意味着 f 是D 与 f ( D) 之间的一个一一映射.我们称 f - 1 为映射 f 的逆映射, 它把集合 f ( D) 映射到集合D, 即把 f ( D) 中的每一个值 f ( a) 对应到 D 中唯一的一个值 a .这时称a 为逆映射 f - 1 下f ( a) 的象,而f ( a ) 则是 a 在逆映射f - 1 下的原象.从上述讨论还可看到, 函数 f 也是函数 f - 1 的反函数.或者说, f 与f - 1 互为反函数.并有f - 1 ( f ( x ) ) ≡ x , x ∈ D ,f ( f - 1 ( y) ) ≡ y , y ∈ f ( D) .注2 在反函数 f - 1 的表示式( 4) 中, 是以y 为自变量, x 为因变量.若按习惯仍用x 作为自变量的记号, y 作为因变量的记号, 则函数( 3 ) 的反函数( 4 ) 可改写为y = f - 1 ( x ) , x ∈ f ( D) . ( 5) 例如, 按习惯记法, 函数y = ax + b ( a≠0 ) , y = a x ( a > 0 , a ≠1 ) 与y = sin x ,14第一章 实数集与函数x ∈ - π , π的反函数分别是2 2x - b a , y = log a x 与 y = arcsin x . 应该注意 , 尽管反函数 f - 1的表示式 (4 ) 与 ( 5) 的形式不同 , 但它 们仍表示 同 一个函数 , 因 为它 们的定 义域 都是 f ( D) , 对应 法则 都是 f - 1, 只是 所用 变量 的 记号不同而已 .六 初等函数在中学数学中 , 读者已经熟悉基本初等函数有以下六类 : 常量函数 y = c ( c 是常数 ) ; 幂函数 y = x α(α为实数 ) ; 指数函数 y = a x( a > 0 , a ≠ 1) ; 对数函数 y = log a x ( a > 0 , a ≠1 ) ;三角函数 y = sin x( 正弦函数 ) , y = cos x ( 余弦函数 ) ,y = tan x( 正切函数 ) , y = cot x( 余切函数 ) ; 反三角函数y = arcsin x( 反正弦函数 ) , y = arccos x ( 反余弦函数 ) ,y = arctan x ( 反正切函数 ) , y = arccot x( 反余切函数 ) .这里我们要指 出 , 幂函 数 y = x α和指数 函数 y = a x都涉 及乘幂 , 而 在中 学 数学课程中只给出了有理指数乘幂的定 义 .下面 我们借 助确 界来 定义无 理指 数 幂 , 使它与有理指数幂一起构成实指数乘幂 , 并保持有理指数幂的基本性质 .定义 2 给定实数 a > 0 , a ≠1 .设 x 为无理数 , 我们规定a x= sup { arr 为有理数 } , 当 a > 1 时 ,r < xinf { arr 为有理数 } , 当 0 < a < 1 时 .r < x( 6)( 7)注 1 对任一无理数 x , 必有有理数 r 0 , 使 x < r 0 , 则当有理数 r < x 时有 r < r 0 , 从而由有理数乘幂的性质 , 当 a > 1 时有 a r< ar.这表明非空数集{ a r r < x , r 为有理数 }有一个上界 a r 0 .由确界原理 , 该数集有上确界 , 所以 ( 6) 式右边是一个确定的数 . 同理 , 当 0 < a < 1 时 (7 ) 式右边也是一个定数 .注 2 由§2 习题 8 可知 , 当 x 为有理数时 , 同样可 按 ( 6 ) 式和 (7 ) 式来表 示 a x, 而且与我们以前所熟知的有理数乘幂的概念是 一致的 .这样 , 无论 x 是有 理 数还是无理数 , a x都可用 (6 ) 式和 ( 7) 式来统一表示 .定义 3 由基本初等函 数 经过 有限 次四 则运 算 与复 合运 算所 得到 的 函数 ,y =§3 函数概念15统称为初等函数.不是初等函数的函数, 称为非初等函数.如在本节第二段中给出的狄利克雷函数和黎曼函数, 都是非初等函数.习题1 . 试作下列函数的图象:( 1) y = x2 + 1 ; (2) y = ( x + 1) 2 ;( 3) y = 1 - ( x + 1 )2 ; (4) y = sgn( sin x) ;3 x , | x | > 1 ,( 5) y = x3 , | x | < 1 ,3 , | x | = 1 .2 . 试比较函数y = a x 与y = log a x 分别当 a = 2 和 a = 1 时2的图象.3 . 根据图1 - 2 写出定义在[ 0 , 1 ] 上的分段函数f1 ( x ) 和f2 ( x )的解析表示式.4 . 确定下列初等函数的存在域:( 1) y = sin( sin x) ; ( 2) y = lg( lg x) ;( 3) y = arcsin lg x105 . 设函数f ( x) = ; ( 4) y = lg arcsinx.102 + x , x ≤0 ,2 x , x > 0 .图 1 - 2求: (1 ) f ( - 3) , f (0 ) , f ( 1) ; (2 ) f (Δx) - f ( 0) , f ( - Δx) - f ( 0) (Δx > 0) .6 . 设函数 f ( x ) = 1, 求1 + xf (2 + x) , f ( 2 x) , f ( x2 ) , f ( f ( x) ) , f 1.f ( x )7 . 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成:( 1) y = (1 + x) 20 ; (2 ) y = ( arcsin x2 ) 2 ;2 ( 3) y = lg(1 + 1 + x2 ) ; (4 ) y = 2sin x .8 . 在什么条件下,函数的反函数就是它本身? y =ax + bcx + d9 . 试作函数y = arcsin (sin x )的图象.10 . 试问下列等式是否成立:16 第一章实数集与函数( 1) tan( arctan x) = x , x∈R ;( 2) arctan( tan x) = x , x≠kπ+ 11 . 试问y = | x | 是初等函数吗? π2, k = 0 , ±1 ,±2 , .12 . 证明关于函数y = [ x ]的如下不等式:( 1) 当x > 0 时, 1 - x < x 1x≤1;( 2) 当x < 0 时, 1≤x 1x< 1 - x .§4 具有某些特性的函数在本节中, 我们将介绍以后常用到的几类具有某些特性的函数.一有界函数定义 1 设f 为定义在 D 上的函数.若存在数M( L) , 使得对每一个x∈D 有f ( x ) ≤ M ( f ( x) ≥ L) ,则称 f 为 D 上的有上( 下) 界函数, M( L) 称为 f 在D 上的一个上( 下) 界.根据定义, f 在D 上有上( 下) 界, 意味着值域 f ( D) 是一个有上( 下) 界的数集.又若M( L) 为 f 在D 上的上( 下) 界, 则任何大于( 小于) M ( L) 的数也是 f 在D 上的上( 下) 界.定义2 设f 为定义在 D 上的函数.若存在正数M , 使得对每一个x ∈D 有则称f 为D 上的有界函数.f ( x ) ≤M , ( 1)根据定义, f 在D 上有界, 意味着值域 f ( D) 是一个有界集.又按定义不难验证: f 在D 上有界的充要条件是f 在D 上既有上界又有下界.( 1) 式的几何意义是: 若 f 为D 上的有界函数, 则 f 的图象完全落在直线y = M 与y = - M 之间.例如, 正弦函数sin x 和余弦函数cos x 为R 上的有界函数, 因为对每一个x∈R 都有| sin x | ≤1 和| cos x | ≤1 .关于函数 f 在数集D上无上界、无下界或无界的定义, 可按上述相应定义的否定说法来叙述.例如, 设 f 为定义在D 上的函数, 若对任何M( 无论M 多大) , 都存在x0 ∈D , 使得 f ( x0 ) > M , 则称 f 为D 上的无上界函数.作为练习, 读者可自行写出无下界函数与无界函数的定义.§4 具有某些特性的函数 17例 1 证明 f ( x) = 1为 (0 , 1 ] 上的无上界函数 .x证 对任何正数 M , 取 ( 0 , 1] 上一点 x 0 = 1, 则有M + 1f ( x 0 ) = 1x 0= M + 1 > M .故按上述定义 , f 为 ( 0 , 1] 上的无上界函数 .前面已经指出 , f 在 其 定 义域 D 上 有上 界 , 是 指 值域 f ( D) 为 有 上 界 的 数 集 .于是 由 确界 原 理 , 数 集 f ( D) 有上 确 界 .通 常 , 我 们 把 f ( D) 的 上 确 界 记 为 sup f ( x ) , 并称之为 f 在 D 上的上确界 .类似地 , 若 f 在其定义域 D 上有下界 , 则x ∈ Df 在 D 上的下确界记为 inf f ( x) .x ∈ D例 2 设 f , g 为 D 上的有界函数 .证明 : (i ) ) inf f ( x) + inf g( x) ≤ inf { f ( x) + g( x) } ;x ∈ Dx ∈ Dx ∈ D(i )) sup { f ( x) + g( x) } ≤sup f ( x ) + sup g( x ) .x ∈ D证 ( i ) 对任何 x ∈ D 有x ∈ Dx ∈ Dinf f ( x ) ≤ f ( x) , inf g( x ) ≤ g( x) ª inf f ( x) + inf g( x ) ≤ f ( x) + g( x) .x ∈ Dx ∈ Dx ∈ Dx ∈ D上式表明 , 数 inf f ( x ) + inf g( x ) 是函数 f + g 在 D 上的一个下界 , 从而x ∈ Dx ∈ Dinf f ( x) + inf g( x) ≤ inf { f ( x ) + g( x) } .x ∈ D( ii ) 可类似地证明 ( 略 ) .x ∈ Dx ∈ D注 例 2 中的两个不等式 , 其严格的不等号有可能成立 .例如 , 设f ( x ) = x , g( x ) = - x , x ∈ [ - 1 , 1 ] ,则有 inf | x | ≤ 1f ( x ) = inf | x | ≤ 1g( x) = - 1 , sup | x | ≤ 1f ( x) = sup | x | ≤ 1g( x ) = 1 , 而inf | x| ≤ 1{ f ( x) + g ( x ) } = sup { f ( x ) + g( x) } = 0 .| x | ≤ 1二 单调函数定义 3 设 f 为定义在 D 上的函数 .若对任何 x 1 , x 2 ∈ D , 当 x 1 < x 2 时 , 总 有( i ) f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) , 则称 f 为 D 上的增函数 , 特别当成立严格不等式 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) 时 , 称 f 为 D 上的严格增函数 ;(ii ) f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) , 则 称 f 为 D 上 的 减 函 数 , 特 别 当 成 立 严 格 不 等 式 f ( x 1 ) > f ( x 2 ) 时 , 称 f 为 D 上的严格减函数 ;增函数和减函数统称为单调函 数 , 严格 增函 数和严 格减 函数统 称为 严格 单 调函数 .例 3 函数 y = x 3在 R 上是 严格 增的 .因为 对任 何 x 1 , x 2 ∈ R , 当 x 1 < x 21 2- 1 - 1 - 11 2 1 2 1 1 218第一章 实数集与函数时总有x33x 123 2即 x 3< x 3.2- x 1 = ( x 2 - x 1 ) x 2 + 2+ 4x 1 > 0 ,例 4 函数 y = [ x ] 在 R 上是增的 .因为对任何 x 1 , x 2 ∈R , 当 x 1 < x 2 时 显然有 [ x 1 ] ≤ [ x 2 ] .但 此 函 数 在 R 上 不 是 严 格 增 的 , 若 取 x 1 = 0 , x 2 = 12 , 则 有[ x 1 ] = [ x 2 ] = 0 , 即定义中所要求的严格不等式不成立 .此函数的图象如图 1 - 3 所示 .严格单调 函 数 的 图 象与 任 一 平 行 于 x 轴 的 直 线至多有一个交 点 , 这一 特性 保 证了 它 必定 具 有反 函数 .定理 1 .2 设 y = f ( x ) , x ∈ D 为严 格增 ( 减 ) 函数 , 则 f 必有反函数 f - 1, 且 f - 1在其定义域 f ( D) 上也是严格增 ( 减 ) 函数 .证 设 f 在 D 上 严格 增 .对任 一 y ∈ f ( D) , 有 x ∈ D 使 f ( x) = y .下面证明这样的 x 只能有一个 .图 1 - 3事实上 , 对于 D 内任一 x 1 ≠ x , 由 f 在 D 上的严格增性 , 当 x 1 < x 时 f ( x 1 ) < y, 当 x 1 > x 时有 f ( x 1 ) > y, 总之 f ( x 1 ) ≠ y .这就说 明 , 对 每一个 y ∈ f ( D) , 都 只 存在唯 一的 一个 x ∈ D, 使 得 f ( x ) = y , 从而 函 数 f 存在 反函 数 x = f - 1( y) , y ∈ f ( D) .现证 f - 1也是 严格 增的 .任取 y , y ∈ f ( D) , y < y .设 x = f- 1( y ) , x = f - 1 ( y 2 ) , 则 y 1 = f ( x 1 ) , y 2 = f ( x 2 ) .由 y 1 < y 2 及 f 的严 格增 性 , 显然 有 x 1< x 2 , 即 f ( y 1 ) < f ( y 2 ) .所以反函数 f 是严格增的 .例 5 函数 y = x 2在 ( - ∞ , 0 ) 上是 严格减 的 , 有反 函数 ( 按习惯 记法 ) y = - x , x ∈ ( 0 , + ∞ ) ; y = x 2在 [0 , + ∞ ) 上是 严格 增的 , 有 反 函数 y = x , x ∈ [0 , + ∞ ) 。

第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时 )一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算32sin、实数定义等问题引入.2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记,但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。

第一章 实数集与函数§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明：⑴x a +是无理数.⑵当0≠a 时，ax 是无理数.证： ⑴ 假设x a +是有理数，则x a x a =-+)(是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾， 故x a +是无理数.⑵假设ax 是有理数，则x aax =为有理数，这与题设x 为无理数相矛盾 故ax 是无理数.1、 试在数轴上表示出下列不等式的解：⑴ 0)1(2>-x x ；⑵⑶2、 设a 、R b ∈.证明：若对任何正数ε有ε<-b a ，则b a =.证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <;若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a -=-.令b a -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-b a b a 矛盾;若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a -=-.令a b -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-a b b a 矛盾;从而必有b a =.3、 设0≠x ,证明21≥+xx ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x1同号,从而21211=⋅≥+=+x x x x x x , 等号当且仅当x x 1=,即1±=x 时成立.4、 证明:对任何R x ∈,有⑴ 121≥-+-x x ；⑵2321≥-+-+-x x x证: ⑴因为21111-=+-≤--x x x , 所以121≥-+-x x . ⑵因为21132-+-≤-≤--x x x x , 所以2321≥-+-+-x x x5、 设a 、b 、+∈R c (+R 表示全体正实数的集合),证明:c b c a b a -≤+-+2222 证:对任意的正实数a 、b 、c 有)(22222c b a bc a +≤,两端同时加244c b a +,有224222222242c b a c a b a bc a c b a +++≤++, 即))(()(222222c a b a bc a ++≤+ bc c a b a a 2))((2222222-≤++-,两端再同加22c b +,则有c b c a b a -≤+-+2222其几何意义为:当c b ≠时,以),(b a ,),(c a ,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边.当c b =时,此三角形变为以),(c a ,)0,0(为端点的线段,此时等号成立6、 设0,0>>b x ,且b a ≠,证明x b x a ++介于1与b a 之间. 证:因为x b a b x b x a +-=++-1,)()(x b b a b x b a x b x a +-=-++,且0,0>>b x 所以当b a >时, ba xb x a <++<1; 当b a <时, 1<++<xb x a b a ; 故x b x a ++总介于1与b a 之间.7、 设p 为正整数,证明:若p 不是完全平方数,则p 是无理数 证:假设p 是有理数,则存在正整数m 、n 使n m p =，且m 与n 互素. 于是22m p n =.可见n 能整除2m .由于m 与n 互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u 、v 使1=+nv mu .从而m mnv u m =+2因n 能整除2m ,又能整除mnv ,故能整除其和,于是n 可整除m ,这样1=n 因此2m p =.这与p 不是完全平方数相矛盾, 故p 是无理数8、 设a 与b 为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：⑴ b x a x -<-；⑵b x a x -<-；⑶b a x <-2. 解: ⑴原不等式等价于11<---bx b a 这又等价于20<--<b x b a 即⎩⎨⎧-<-<>b x b a b x 220或⎩⎨⎧->-><b x b a b x 220 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>>b a b a x b x 2或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<<ba b a x b x 2 故当b a >时,不等式的解为2b a x +> 当b a <时,不等式的解为2b a x +< 当b a =时,不等式无解.⑵原不等式等价于⎩⎨⎧-<->b x a x b x 且⎩⎨⎧-<->b x x a b x 即⎩⎨⎧>>b a b x 且⎪⎩⎪⎨⎧+>>2b a x b x 故当b a >时,21b x +>; 当b a ≤时,不等式无解.⑶当0≤b 时,显然原不等式无解,当0>b 时原不等式等价于b a x b a +<<-2 因此①当0≤+b a 或0≤b 时,无解 ②当0>+b a 且0>b 时,有解Ⅰ 如果b a ≥,则解为b a x b a +<<- 即b a x b a +<<-或b a x b a +>>--Ⅱ 如果b a <,则解为b a x +< 即b a x b a +<<+-。

数学分析的基本内容和方法数学分析是一门研究函数定义、连续性、极限、导数、积分等基本概念和定理的学科，是现代数学的重要分支之一、它主要包括实分析和复分析两个方面，其中实分析研究实数域上的函数，而复分析则研究复数域上的函数。

1.实数和实数集：实数是数学分析的基础，它是由有理数和无理数组成的数集。

实数集具有完备性（即实数集中的每个非空有上界的子集都有最小上界）和连续性等性质。

2.函数：函数是数学分析的核心概念，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数可以用数学表达式、图形或数据表格表示。

数学分析主要研究实函数和复函数的性质和特征。

3.极限和连续：极限是数学分析研究的重要概念，它描述函数在其中一点或无穷远点的趋势。

当自变量趋近其中一值时，函数的极限描述了函数值的变化情况。

连续是极限的重要应用，它描述的是函数在其中一点附近的连续性。

4.导数和微分：导数是函数在其中一点的变化率，表示函数在该点的斜率。

数学分析研究导数的计算、性质和应用。

微分是导数的基本应用之一，它描述函数在其中一点的局部线性变化。

5.积分和微积分基本定理：积分是函数的面积或曲线长度的求解方法，它是导数的逆运算。

数学分析研究积分的计算、性质和应用。

微积分基本定理是数学分析的核心定理之一，它描述了导数和积分之间的关系。

1.定义和定理证明：数学分析强调严密的定义和定理证明，它要求对每个概念和定理进行准确定义，并通过逻辑推导和推理证明定理的正确性。

2.极限讨论和计算：极限是数学分析的核心概念，它涉及到无穷、趋势和趋近等概念。

数学分析要求对极限的讨论和计算进行严谨的推导和证明。

3.导函数和积分的计算：导函数和积分是数学分析的重要工具和计算方法，它们涉及到表达式的求导和积分，要求灵活运用公式和技巧进行计算。

4.数学模型的建立和应用：数学分析是数学建模和应用的重要方法之一，它要求通过建立数学模型，分析和解决实际问题。

总之，数学分析是一门研究函数定义、连续性、极限、导数、积分等基本概念和定理的学科。

数学分析(mathematical analysis)课程简介一、背景:从切线、面积等问题引入.1极限 (limit) —— 变量数学的基本运算.2数学分析的基本内容：数学分析以极限作为工具来研究函数的一门学科（仅在实数范围内进行讨论）.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数,并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.3 数学分析的形成过程：孕育于古希腊时期:在我国很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes 就有了积分思想.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期:十七世纪下半叶到十九时纪上半叶——微积分的创建时期:十九时纪上半叶到二十时纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期.二、内容安排1.课时分配: 第一学期16×6=96; 第二学期18×6=108;第三学期18×4=72.2.内容分配: 第一学期一元函数微分学; 第二学期一元函数积分学与级数论; 第三学期二元函数微积分学.第一章 实数集与函数（计划课时：6 时）P1—22§1 实 数（1时）一．实数及其性质：回顾中学中关于实数集的定义.1. 实数用无限小数表示的方法:为了把有限小数(包括整数)表示为无限小数, 规定: 对于正有限小数(包括正整数)x ,n a a a a x 210. 时,其中,90 i a ,0,,,2,1 n a n i 0a 为非负整数,记 9999)1(.210 n a a a a x ; 而当0a x 为正整数时,则记 9999).1(0 a x ;对于负有限小数(包括负整数)y ,则先将y 表示为无限小数,再在所得无限小数之前加负号;又规定数0表示为 000.0.例如 010999.2011.2 , 999.78 .2. 实数的大小:定义1: (实数大小的概念)见[1]P1.定义2: (不足近似与过剩近似的概念)见[1]P2.命题: 设 210.a a a x 与 210.b b b y 为两个实数,则y x n ,使得n n y x .例1 设x 、y 为实数，y x .证明：存在有理数r 满足y r x . [1]P17E1.3. 实数的性质:⑴.四则运算封闭性:⑵.三歧性(即有序性):⑶.Rrchimedes 性:b na N n a b R b a ,,0,,.⑷.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.⑸.实数集的几何表示 ─── 数轴:⑺.两实数相等的充要条件: . ,0 b a b a二. 区间和邻域的概念:见[1]P5三.几个重要不等式:1. 绝对值不等式: 定义 . , max a a a [1]P2 的六个不等式.2. 其它不等式: ⑴ ,222ab b a .1 sin x . sin x x⑵ 均值不等式: 对,,,,21R n a a a 记,1 )(121 n i i n i a n n a a a a M (算术平均值) ,)(1121n n i i n n i a a a a a G(几何平均值) .1111111)(1121 n i i n i i n i a n a n a a a na H (调和平均值)有平均值不等式: ),( )( )(i i i a M a G a H 等号当且仅当n a a a 21时成立.⑶ Bernoulli 不等式: ,1 x 有不等式 . ,1)1(N n nx x n当1 x 且 0 x , N n 且2 n 时, 有严格不等式 .1)1(nx x n 证 由 01 x 且 111)1(1)1( ,01 nn x n x x).1( )1( x n x n n n .1)1( nx x n ⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对,0 h 由二项展开式,!3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h 有 n h )1( 上式右端任何一项. Ex [1]P4: 3，4，5，6；§2 确界原理（2时）一、有界数集:定义(上、下有界,有界), 闭区间、b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，如集合 ) , ( ,sin x x y y E 也是有界数集.二、无界数集: 定义, ) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , ( 等都是无界数集,如集合) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 也是无界数集. 三、确界:给出直观和刻画两种定义.例1 ⑴,) 1(1n S n 则._______inf ______,sup S S⑵.),0( ,sin x x y y E 则._________inf ________,sup E E例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3 设S 和A 是非空数集，且有.A S 则有 .inf inf ,sup sup A S A S .例4 设A 和B 是非空数集. 若对A x 和,B y 都有,y x 则有.inf sup B A证,B y y 是A 的上界,.sup y A A sup 是B 的下界,.inf sup B A 例5 A 和B 为非空数集, .B A S 试证明:. inf , inf m in inf B A S 证 ,S x 有A x 或,B x 由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf 或 . inf , inf m in .inf B A x B x 即 inf , inf m in B A 是数集S 的下界, . inf , inf m in inf B A S 又S A S , 的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界, S inf 是A 的下界, ;inf inf A S 同理有.inf inf B S 于是有inf , inf m in inf B A S . 综上, 有 inf , inf m in inf B A S .四、数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.五、确界与最值的关系:设E 为数集.⑴E 的最值必属于E , 但确界未必, 确界是一种临界点.⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.⑶若E max 存在, 必有 .sup max E E 对下确界有类似的结论.六、确界原理: Th (确界原理).Ex [1]P9: 2，4，5.§3 函数概念 ( 2时 )一. 函数的定义:1. 函数: [1]P10—11的四点说明.2. 定义域: 定义域和存在域.3. 函数的表示法:4. 反函数: 一 一对应, 反函数存在定理.5. 函数的代数运算:二.分段函数:函数1 ,,1 ,2,1 ,1)(2x x x x x x f 和 1 ,,1 ,2)(2x x x x x g ,123)( x x f 去掉绝对值符号.例2 .1 ,1,1 ,)(x x x x x f 求 ).2( ),1( ),0(f f f例3 设 .10 ,)5(,10 ,3)(x x f f x x x f 求 ).5(f三. 复合函数:例4 .1)( ,)(2x x g u u u f y 求 ).()(x g f x g f 并求定义域. 例5 ⑴ ._______________)( ,1)1(2 x f x x x f⑵ .1122x x x x f则) ( )( x fA. ,2xB. ,12 xC. ,22 xD. .22 x四. 初等函数:1. 基本初等函数:2. 初等函数:3. 初等函数的几个特例: 设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数, 则⑴ )( x f 是初等函数, 因为 .)( )( 2x f x f⑵ )( , )(m ax )(x g x f x 和 )( , )(m in )(x g x f x 都是初等函数, 因为 )( , )(m ax )(x g x f x )()()()(21x g x f x g x f ,)( , )(m in )(x g x f x )()()()(21x g x f x g x f .⑶ 幂指函数 0)( )()( x f x f x g 是初等函数,因为 .)()(ln )()(ln )()(x f x g x f x g e e x f x g五. 介绍一些特殊函数:1. 符号函数2. Dirichlet 函数3. Riemann 函数4. 取整函数5. 非负小数部分函数Ex [1]P15 1(4)(5)，2, 3，4，5, 6, 7, 8；§4 具有某些特性的函数 ( 1时 )一、有界函数: 有界与无界函数的概念. 例1 验证函数 325)(2 x xx f 在R 内有界.解法一 由,62322)3()2(32222x x x x 当0 x 时,有.3625625325325 )( 22 x xx xx xx f 30 )0( f ,对 ,R x 总有 ,3 )( x f 即)(x f 在R 内有界. 解法二 令 3252 x xy 关于x 的二次方程 03522 y x yx 有实数根.22245 y .2 ,42425,02 y y解法三 令2,2 ,23t tgt x 对应). , ( x 于是tt tt tg tgt tgt tgtx x x f 2222sec 1cos sin 65123353232235325)(.6252sin 625)( ,2sin 625t x f t例2 见[1]P17.例3 见[1]P17.二、关于单调函数、奇偶函数和周期函数 (略) ，参阅[1]P17—19， Ex [1]P20 1，2, 3，4，5, 6, 7；。

第一章 实数集与函数思考与练习 1-11. 下述命题哪些成立?哪些不成立?①任何两个有理数的差是有理数. （成立） ②任何两个无理数的差是无理数. （不成立） ③两个不同无理数之间,总有别的无理数. （成立）2. 可以写成两个整数的比的数称为 有理数 .3. 任何两个实数之间都有别的实数，这个性质称为实数的 稠密性 .4. 在 9999.0和1之间还有别的数吗？ （没有）5. 0111213141234567891.0是有理数还是无理数？(你将看到在一个给定数字序列中的模型).0.12345678910111213141516171819202199100101102103104105106107108是无理数6. 求两个无理数,使其和是有理数. (0=∈ ）7.“如果P 则Q ”的逆否命题是 “如果非Q 则非P ” .8. 公理和定义是已被认可的,而 定理 则必须证明.9. 设a 为有理数,x 为无理数,证明:①x a +是无理数; ②当0≠a 时,x a ⋅是无理数. 证：① 用反证法：若x a +是有理数，则由有理数对四则运算的封闭性，知()x a x a =+-∈ ，与已知矛盾，所以x a +是无理数。

②用反证法：若a x ⋅是有理数，则由有理数对四则运算的封闭性，知()0axx a a=∈≠ ，与已知矛盾，所以a x ⋅是无理数。

10. 证明:在任意两个不同的实数之间,一定存在一个有理数;也一定存在无穷多个有理数(提示:如果b a <,则0>-a b ,所以存在一个自然数n 使得a b n-<1.考虑整数集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>b n k k 并注意到有下界的整数集一定有最小数). 证法1 (1) 由题目条件，可设b a <，则0>-a b ，由欧基米德定律，存在一个自然数n 使得a b n -<1，所以1a b b n <-<，又⎭⎬⎫⎩⎨⎧>b n k k 有下界，故有最小整数0k k k b n ⎧⎫∈>⎨⎬⎩⎭，所以当0m k <时，有mb n≤，因而有01k b n -≤,且01k a b n -≤≤,01k n -∈ .(事实上,如果0011k ka ab n n n->⇒+>>,此为矛盾) (2) 同上可证,在a 与01k c n -=(或01k n-与b )之间一定有另一个有理数d ,不妨设c d <,则()()(),,,1d cc cd a b n n n+-+∈⊂∈> ,即,a b 之间有无穷多个有理数. 证法2 由题目条件，可设b a <,由第1节的命题可知,存在非负整数n ,使得n n b b a a >>>,而,n n b a ∈ ,第一个结论得证.又因而()1,2n nn n n b a b a b +=∈⋂ ,而()12,2n n nn n b a b a b +=∈⋂ ,()1,,2k kn n n n n b a b a b -+=∈⋂ ,即,a b 之间有无穷多个有理数.第二个结论的另一证法:因为()()(),,,1n nn n n b a a a b a b n n n+-+∈⊂∈> ,即,a b之间有无穷多个有理数.11. 写出下述命题的逆命题、否命题和逆否命题,并指出哪些命题是真命题. ① 如果今天下雨,我就在家里工作; ╳② 如果这个候选人符合所有的条件,她就能被聘用; √③ 设c b a ,,是三角形的边长,如果222c b a =+,则这个三角形是直角三角形; √ ④ 如果角ABC 是锐角,则<00角ABC 090<;√ ⑤ 如果b a <,则22b a <.╳①逆命题: 今天我在家工作,是因为天下雨. ╳ 否命题: 如果今天不下雨,我就不在家工作. ╳ 逆否命题: 今天我不在家工作,是因为天没下雨. ╳②逆命题: 如果这个候选人能被聘用,是因为她符合所有的条件; ╳ 否命题: 如果这个候选人不符合某些条件,她就不能被聘用; ╳逆否命题: 如果这个候选人没被聘用,那就是因为她不符合某些条件. √ ③逆命题: 设c b a ,,是直角三角形的边长,则222c b a =+;√否命题: 设c b a ,,是三角形的边长,如果222a b c +≠,则这个三角形不是直角三角形; √逆否命题: 设c b a ,,是三角形的边长,如果这个三角形不是直角三角形, 则222a b c +≠;√④逆命题: 如果<00角ABC 090<,则角ABC 是锐角; √ 否命题: 如果角ABC 不是锐角,则角ABC 090≥.√ 逆否命题: 如果角ABC 090≥,则角ABC 不是锐角; √ ⑤逆命题: 如果22b a <,则b a <.╳否命题: 如果a b ≥,则22a b ≥.╳ 逆否命题: 如果22a b ≥,则a b ≥.╳ 12.若ε,x 和y 都是实数,下述命题哪些为真? ① 对任何00,2>⇒>x x x ; √ ② 对任何00,2>⇔>x x x ; ╳ ③ 对任何x x x >2,; ╳④ 对任何x ,存在y 使得2x y >; √⑤ 对任何正数y ,存在另一个正数x ,使得y x <<0; √ ⑥ 对任何的1,+<x x x ; √⑦ 存在一个自然数N ,使得N 大于任何素数; ╳⑧ 对任何的0>x ,存在一个y ,使得x y 1>; √ ⑨ 对任何的正数x ,存在一个自然数n ,使得x n <1; √⑩ 对任何的正数ε,都存在一个正整数n ,使得ε<n 21. √思考与练习 1-21. 下述命题成立的有:①由不等式z y y x ≤≤,和x z ≤可得z y x ==.√ ②如果x 和y 是实数,则()()0≤--x y y x .√ ③如果0<<b a ,则ba 11>.√ ④如果对任意的正数ε,都有ε<x ,则0=x .√ ⑤如果y x <,则y x <. ╳⑥如果实数x 和y 同号,则y x y x +=+√ ⑦如果1<r ,则r r r -≤-≤+111111.√ ⑧如果1>r ,则rr r +≤-≤-111111.√ 2. 下述等式成立的有①x x =-; ②22x x =; ③y x xy =; ④ x x =2.答: ②, ③.3. 不等式()4202≤-≤x 与220≤-≤x 所表示的实数范围是否相同?答:不相同, ()4202≤-≤x 所表示的实数范围是区间[]0,4,而220≤-≤x 所表示的实数范围是区间[2,4].4. 2<x 与42<x 表示的实数范围相同吗?答:相同,都是开区间()2,2-.5. 与32≤-x 等价的不等式是 -1 ≤≤x 5 .6. 如果b a ≤,则下列哪些结论为正确的:①ab a ≤2 ②33-≤-b a ③b a a 23≤ ④b a -≤-. 答: ②, ③.7. 试在数轴上表示出下列不等式的解:① 112+≥-x x ②31-<-x x ③23121-≥---x x x .解 ① 由⎩⎨⎧<<-<⎩⎨⎧⎩⎨⎧>-<>⇒>->⇒>-1101100100)1(22x x x x x x x x x 或或如图2-1； ② 两边平方得29612)3()1(22<⇒+-<+-⇒-<-x x x x x ，如图2-2；③ 两边平方得1210)12)(1(223)12)(1(223==⇒≥---⇒-≥----x x x x x x x x 且，此为矛盾，故解集为空集；用图形法给出数轴表示，如图2-3图2-1 图2-2 图2-3 8. 设R b a ∈, 证明:对任何正数ε有ε<-b a ,则b a =.证 用反证法.若b a ≠,则令00>-=b a ε,由已知得b a b a -=<-0ε,此为矛盾.故b a =.9. 求δ(依赖于ε),使下述的蕴涵关系成立:①εδ<-⇒<-1535x x ; ② εδ<+⇒<+3666x x .解: ①3εδ=,②6εδ=10. 证明92922+≤+-x x x . (提示:用绝对值的三角形不等式,并注意到ab b a 110<⇒<<) 证 22222999x x x x x ++-≤≤++.11. 若0≠a ,则2122≥+a a . (提示:考虑21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a )证 2222211110220a a a a a a a a ⎛⎫-≥⇒-⋅+=-+≥⇒ ⎪⎝⎭2122≥+a a .12. 解不等式019922≤+++++xx x x .解 1002299111x x x x x x-+++++=- ,故不等式的为1x <.13. 如果3211111R R R R ++=,且4030,3020,2010321≤≤≤≤≤≤R R R ,求R 的取值范围.解131********=12020304010203060R ++≤≤++=。

第一章 实数集与函数习题§1实数1、 设a 为有理数，x 为无理数。

证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。

2、 试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。

3、 设a 、b ∈R 。

证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。

4、 设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。

5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。

6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。

证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。

你能说明此不等式的几何意义吗7、 设x>0，b>0，a ≠b 。

证明x b x a ++介于1与ba 之间。

8、 设p 为正整数。

证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。

9、 设a 、b 为给定实数。

试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。

§2数集、确界原理1、 用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6； （3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）；（4）sinx ≥22。

2、 设S 为非空数集。

试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。

3、 试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。

4、 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n21，n ∈+N }。

第1章实数集与函数1.1本章要点详解本章要点■实数■数集•确界原理■函数的概念■复合函数与反函数重难点导学一、实数1．实数的表示若规定：012012..(1)999n n a a a a a a a a =- 则有限十进小数都能表示成无限循环小数．2．两个实数的大小关系给定两个非负实数其中a 0，b 0为非负整数，a k ，b k （k ＝1，2…）为整数，0≤a k ≤9，0≤b k ≤9．若有则称x 与y 相等，记为x ＝y ；若a 0＞b 0或存在非负整数l ，使得则称x 大于y 或y 小于x ．分别记为x ＞y 或y ＜x ．对于负实数x ，y ，若按上述规定分别有－x ＝－y 与－x ＞－y ，则分别称x ＝y 与x ＜y （或y ＞x ）．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数．3．实数的性质（1）实数集R 对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数．（2）实数集是有序的，即任意两实数a ，b 必满足下述三个关系之一：a ＜b ，a ＝b ，a ＞b ．（3）实数的大小关系具有传递性，即若a ＞b ，b ＞c ，则有a ＞c ．（4）实数具有阿基米德性，即对任何a ，b ∈R ，若b ＞a ＞0，则存在正整数n ，使得na ＞b ．（5）实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数．且既有有理数，也有无理数．（6）实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系．任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点都唯一地代表一个实数．4．绝对值与不等式（1）绝对值①定义||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩②性质a ．|a |＝|－a |≥0；当且仅当a ＝0时有|a |＝0；b ．－|a |≤a ≤|a |；c ．|a |＜h ⇔－h ＜a ＜h ；|a |≤h ⇔－h ≤a ≤h （h ＞0）；d ．三角形不等式：；f ．；g ．．（2）几个重要不等式①222a b ab +≥， sin 1x ≤， sin x x ≤；②均值不等式：12,,,n a a a +∀∈R ，令1211() n n i ii a a a M a a n n =+++==∑ 1121()nnn i n i i G a a a a a =⎛⎫== ⎪⎝⎭∏ 12111()111111i n nni i iinn H a a a a n a a =====+++∑∑ 有平均值不等式() () ()i i i H a G a M a ≤≤等号当且仅当12n a a a === 时成立．③Bernoulli 不等式1x ∀>-，有不等式(1)1, n x nx n +≥+∈N ，且当0x ≠时，(1)1nx nx +>+．二、数集•确界原理1．区间与邻域（1）区间设a,b∈R，且a＜b．称数集{x|a＜x＜b}为开区间，记作（a，b）；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a，b]；数集{x|a≤x＜b}和{x|a＜x≤b}都为半开半闭区间，分别记作[a，b）和（a，b]，以上这几类区间统称为有限区间．满足关系式x≥a的全体实数x的集合记作[a，＋∞）．符号∞读作“无穷大”，＋∞读作“正无穷大”．记其中－∞读作“负无穷大”．以上这几类数集都称为无限区间．有限区间和无限区间统称为区间．（2）邻域设a∈R，δ＞0，满足绝对值不等式|x－a|＜δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U（a，δ），或简单地写作U（a）．即有U（a；δ）＝{x||x－a|＜δ}＝（a－δ，a＋δ）点a的空心δ邻域定义为U0（a；δ）＝{x|0＜|x－a|＜δ}2．上确界与下确界（1）相关概念①设S是R中的一个数集．若存在数M（L），使得对一切x∈S，都有x≤M（x≥L），则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的个上界（下界）．若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集．②设S是R中的一个数集．若数η满足a．对一切x∈S，有x≤η，即η是S的上界；b．对任何α＜η，存在x0∈S，使得x0＞α，即又是S的最小上界．则称数η为数集S的上确界，记作η＝sup S③设S是R中的一个数集．若数ξ满足a．对一切x∈S，有x≥ξ，即ξ是S的下界；b．对任何β＞ξ，存在x0∈S，使得x0＜β，即ξ又是S的最大下界．则称数ξ为数集S的下确界，记作ξ＝inf S④上确界与下确界统称为确界．（2）重要定理①确界原理：设S为非空数集．若S有上界，则S必有上确界；若S有下界,则S必有下确界；②推广的确界原理：任一非空数集必有上、下确界．三、函数的概念1．函数的定义给定两个实数集D和M，若有对应法则f，使对D内每一个数x，都有唯一的一个数y ∈M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y称为f在点x的函数值，常记为f（x）．2．函数的表示法主要有三种：表格法、图像法、解析法（公式法）．3．几个特殊的函数（1）常值函数y =c其定义域为D =(－∞，＋∞),其值域为R f ={c }．（2）绝对值函数0||0xx y x x x ≥⎧⎪==⎨⎪-<⎩其定义域为D ＝(－∞,＋∞),其值域为R f =[0,＋∞)．（3）符号函数10sgn 0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩其定义域为D ＝(－∞，＋∞),其值域为R f ={－1，0，1}．（4）取整函数：y=[x ]，[x ]表示不超过x 的最大整数；（5）“非负小数部分”函数[]y x x =-，(,)x ∈-∞+∞它的定义域是(),D =-∞+∞，值域是[)0,1f R =．（6）狄利克雷函数1()0x Qy D x x Q∈⎧==⎨∉⎩其定义域为D ＝(－∞，＋∞)，其值域为f R ={0，1}．（7）取最值函数。

数学分析知识点总结第一章实数集与函数§1实数讲课章节：第一章实数集时函数――§1实数教学目的：并使学生掌控实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并娴熟运用实数绝对值的有关性质以及几个常用的不等式．（它们就是分析论证的关键工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：开场白上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”已经开始．请问：《数学分析》研究的基本对象就是函数，但这里的“函数”就是定义在“实数集”上的（后继课《微分函数》研究的就是定义在复数集上的函数）．为此，我们必须先介绍一下实数的有关性质．一、实数及其性质1、实数q?有理数:任何有理数都可以用分数形式(p,q为整数且q?0)则表示，?p??也可以用非常有限十入小数或无穷十入小数去则表示.无理数:用无穷十昂格吕尔县循环小数则表示.r??x|x为实数?--全体实数的子集．[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下探讨的须要，我们把“有限小数”（包含整数）也则表示为“无限小数”．为此并作如下规定：对于i?9正有限小数x?a0.a1a2?an,其中；0?ai??,nan?1a0为,非负2整数,,a0.a1?,an?1(an?01)9999,?，记x?y，对于正整数x?a0,则录x?(a0?1).9999?；对于正数有限小数（包含正数整数）则先将?y则表示为无限小数，现在税金的小数之前提负号．0则表示为0＝0.0000?1基准：2.001?2.0009999?；3?2.9999?；?2.001??2.009999?；?3??2.9999?利用上述规定，任何实数都需用一个确认的无限小数去则表示．在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义1取值两个非负实数x?a0.a1?an?，y?b0.b1?bn?.其中a0,b0为非负整数，ak,bk(k?1,?2,为整数，0?ak?9,0?bk?9．若存有ak?bk,k?0,1?,，则称2x与y相等，记为x?y；若a0?b0或存在非负整数l，使ak?bk,k?0,1,2,?,l，而al?1?bl?1，则表示x大于y或y大于x，分别记作x?y或y?x．对于正数实数x、y，若按上述规定分别存有?x??y或?x??y，则分别称作x?y与x?y （或y?x）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数去比较）．定义2（不足近似与过剩近似）：x?a0.a1?an?为非负实数，称有理数xn?a0.a1?an为实数x的n十一位严重不足对数；xn?xn?110n称作实数x的n十一位短缺将近似，n?0,1,2,?.对于正数实数x??a0.a1?an?，其n十一位严重不足对数xn??a0.a1?an?剩下对数xn??a0.a1?an.注：实数x的不足近似xn当n增大时不减，即有x0?x1?x2??；过剩近似xn110n；n位过当n增大时不增，即有x0?x1?x2??．命题：记x?a0.a1?an?，y?b0.b1?bn?为两个实数，则x?y的等价条件是：存在非负整数n，使xn?yn（其中xn为x的n位不足近似，yn为y的n位过剩近似）．命题应用基准1．设x,y为实x?y，证明存在有理数r，满足x?r?y．2证明：由x?y，知：存在非负整数n，使得xn?yn．令r?为有理数，且x?xn?r?yn?y．即x?r?y．12?xn?yn?，则r3、实数常用性质（参见第三章ⅱ．p289?p302）．1）封闭性（实数集r对?,?,?,?）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：?a,b?r，关系a?b,a?b,a?b，三者必居其一，也只位居其一.3）传递性：?a，b，c?r，若a?b,b?c，则a?c．4）阿基米德性：?a,b?r,b?a?0??n?n使na?b．5）稠密性：两个左右的实数之间总存有另一个实数．6）一一对应关系：实数集r与数轴上的点有着一一对应关系．例2．设?a,b?r，证明：若对任何正数?，有a?b??，则a?b．（提示信息：反证法．利用“有序性”，挑??a?b）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义a,实数a的绝对值的定义为|a|aa?0a?0．2、几何意义从数轴看，数a的绝对值|a|就是点a到原点的距离．|x?a|表示就是数轴上点x与a之间的距离．3、性质1）|a|?|?a|?0;|a|?0?a?0（非负性）；2）?|a|?a?|a|；3）|a|?h??h?a?h，|a|?h??h?a?h.(h?0)；4）对任何a,b?r有|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|（三角不等式）；5）|ab|?|a|?|b|；6）ab?|a||b|（b?0）．3三、几个关键不等式1、a2?b2?2ab,sinx?1.sinx?x.2、均值不等式:对?a1,a2,?,an?r?,记m(ai)?a1?a2annn?1n?a,(算术平均值)ii?1n1g(ai)?h(ai)?na1a2?an??nai??,(几何平均值)?i?1?n1a1?1a21an?11nn?i?11ai?nn?ai?11i.(调和平均值)有平均值不等式:h(ai)?g(ai)?m(ai),即：n1a1?1a21an?na1a2?an?a1?a2ann等号当且仅当a1?a2an时成立.3、bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)x1,有不等式(1?x)?1?nx,n?n.n当x??1且x?0,n?n且n?2时,存有严苛不等式(1?x)n?1?nx.证：由1?x?0且1?x?0,?(1?x)n?n?1?(1?x)n?1?11??nn(1?x)n?n(1?x).?(1?x)n?1?nx.4、利用二项展开式得到的不等式:对?h?0,由二项展开式(1?h)n?1?nh?n(n?1)2!h?2n(n?1)(n?2)3!hh,3n存有(1?h)n?上式右端任何一项.［练］p4．5［课堂小结］：实数：??一实数及其性质?二绝对值与不等式.[作业]p4．1．(1)，2．(2)、(3)，34§2数集和确界原理讲课章节：第一章实数集时函数――§2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1)掌控邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用领域.教学方法：讲授居多.教学程序：先通过练形式备考上节课的内容，以检验学习效果，此后引入新课.引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题并作了详细探讨；此后又使大家自学了第一章§1实数的有关内容.下面，我们先去检验一下自学的效果如何！1、证明：对任何x?r有：(1)|x?1|?|x?2|?1；(2)|x?1|?|x?2|?|x?3|?2.x11(x2)1x2,x1x21）（（1）（2）x?1?x?2?1,x?2?x?3?1,x?2?x?3?2.三式相加化简即可）（2、证明：|x|?|y|?|x?y|.3、设a,b?r，证明：若对任何正数?有a?b??，则a?b.4、设x,y?r,x?y，证明：存在有理数r满足y?r?x.[衍生]：①由题1可以M18x至什么样的结论呢？这样思索就是搞科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集r中的两类主要的数集――区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界带出确界定义及确界中存有性定理（确界原理）.一、区间与邻域1、区间（用以则表示变量的变化范围）5。