实数集与函数解读

第一章实数集与函数1 实数一、实数及其性质定义1：(两个实数的大小关系) 给定两个非负实数x=a0.a1a2…a n…，y=b0.b1b2…b n…，其中a0，b0为非负整数，a k，b k（k=1,2,…）为整数，0≤a k≤9，0≤b k≤9。

若有a k=b k，k=1,2,…，则称x与y相等，记为x=y；若a0>b0或存在非负整数j，使得a k=b k（k=1,2,…j）而a j+1>b j+1，则称x大于y或y小于x，分别记为x>y或y<x.定义2：设x=a0.a1a2…a n…为非负实数。

称有理数x n=a0.a1a2…a n为实数x的n位不足近似，而有理数= x n称为实数x的n位过剩近似，n=1,2,….对于负实数x= -a0.a1a2…a n…，其n位不足近似与过剩近似分别规定为x n= -a0.a1a2…a n与= -a0.a1a2…a n.命题：设x=a0.a1a2…，y=b0.b1b2…为两个实数，则x>y等价条件是：存在非负整数n，使得x n>.例1：设x、y为实数，x<y. 证明：存在有理数r满足x<r<y.证：由于x<y，故存在非负整数n，使得<y n. 令r=(+y n)，则r为有理数，且有：x≤<r<y n<y，即得x<r<y.实数的一些主要性质：1. 实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数；2. 实数集是有序的，即任意两个实数a、b必满足下述三个关系之一：a<b，a=b，a>b.3. 实数的大小关系具有传递性，即a>b，b>c，则有a>c.4. 实数具有阿基米德性，即对任何a、b∈R，若b>a>0，则存在正整数n，使得na>b.5. 实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有其它实数，且既有有理数，也有无理数；6. 如果在一条直线(通常画成水平直线)上确定一点O作为原点，指定一个方向为正向(通常把指向右边的方向规定为正向)，并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。

数学分析知识点总结第一章实数集与函数§1实数授课章节：第一章实数集与函数——§1实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质1、实数．[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：对于正有限小数其中，记；对于正整数则记；对于负有限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0表示为0＝例：；利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义1给定两个非负实数，. 其中为非负整数，为整数，．若有，则称与相等，记为；若或存在非负整数，使得，而，则称大于或小于，分别记为或．对于负实数、，若按上述规定分别有或，则分别称为与（或）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义2（不足近似与过剩近似）：为非负实数，称有理数为实数的位不足近似；称为实数的位过剩近似，.对于负实数，其位不足近似；位过剩近似.注：实数的不足近似当增大时不减，即有；过剩近似当n增大时不增，即有．命题：记，为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数n，使（其中为的位不足近似，为的位过剩近似）．命题应用例1．设为实数，，证明存在有理数，满足．证明：由，知：存在非负整数n，使得．令，则r为有理数，且．即．3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．）．1）封闭性（实数集对）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：，关系，三者必居其一，也只居其一.3）传递性：，．4）阿基米德性：使得．5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．6）一一对应关系：实数集与数轴上的点有着一一对应关系．例2．设，证明：若对任何正数，有，则．（提示：反证法．利用“有序性”，取）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数的绝对值的定义为．2、几何意义从数轴看，数的绝对值就是点到原点的距离．表示就是数轴上点与之间的距离．3、性质1）（非负性）；2）；3），；4）对任何有（三角不等式）；5）；6）（）．三、几个重要不等式1、2、均值不等式:对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有平均值不等式:即：等号当且仅当时成立.3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式当且,且时,有严格不等式证：由且4、利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式有上式右端任何一项.［练习］P4．5［课堂小结］：实数：.[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引言。

第一章 实数集与函数教学进度：使用六个学时 一 .实数1．实数集的元素构成：有理数与无理数。

有理数是可以用分数形式),(互素q p qp 表示的数，或者也可以说可用有限小数或无限的循环小数来表示；无限的不循环小数则称为无理数。

2．任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。

举例： 917291792182&L L ...==L L 00000.= 978&.−=−3．如何定义两个实数的大小定义1 ，为两个非负的实数，若L L n a a a x 10.=L L n b b b y 10.=1），则称x,y 相等，记为),,,,(,L L n k b a k k 10==y x =。

2）若或00b a >),,(..,l k b a t s l k k L 10==∃而，则称x 大于y ，记为11++>l l b a .y x > 下面会给出通过有限小数来比较实数大小的等价条件，先来介绍一个概念。

定义2 设是一个非负实数。

称有理数L L n a a a x 10.=n n a a a x L 10.=为x 的n 位不足近似，而有理数n n n a a a x 10110+=L . 位x 的n 位过剩近似， .,,L 10=n 举例 的0位，1位，2位，3位的不足近似是5，5.1, 5.17, 5.178 ; 0位，L 178965.1位，2位，3位的过剩近似是：6，5.2, 5.18, 5.179. 从这个例子可以看出：不足近似是递增的，过剩近似是递减的。

对于负实数又是如何定义不足与过剩近似？对于负实数L L n a a a x 10.−=，注 1.n n x x x ≤≤2.实数x 的n 位不足近似随着n 的增大不减；实数x 的n 位过剩近似n x n x 随着n 的增大不增。

命题 设，为两个实数，则L L n a a a x 10.=L L n b b b y 10.=y x >的等价条件是：存在非负整数n ，使得.n n y x >因此就不在此叙述。

第一章 实数集与函数（10学时）§１．实数教学目的：使学生把握实数的大体性质．教学重点：（１）明白得并熟练运用实数的有序性、浓密性和封锁性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质和几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方式：教学．（部份内容自学）教学程序：引言上节课中，咱们与大伙儿一起探讨了《分析》这门旅程的研究对象、要紧内容等话题．从本节课开始，咱们就大体依照教材顺序给大伙儿介绍这门课程的要紧内容．第一，从大伙儿都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 什么缘故从“实数”开始．答：《数学分析》研究的大体对象是函数，但那个地址的“函数”是概念在“实数集”上的（《复变函数》研究的是概念在复数集上的函数）．为此，咱们要先了解一下实数的有关性质．一 实数及其性质 １、实数(,q p q p ⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，咱们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无穷小数”．为此作如下规定： ,n a 其,,n n a ≠19999n a -；关于正整数0,x a =1).9999；关于负有限小数（包括负整，那么先将y -表示为无穷小数，此刻所得的小数之前加负号．０＝0.0000例：2.001 2.0009999→3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确信的无穷小数来表示．但新的问题又显现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1） 概念１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．假设有,1,2,k k a b k ==，那么称x 与y 相等，记为x y =；假设00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，那么称x 大于y 或y 小于x ，别离记为x y >或y x <．关于负实数x 、y ，假设按上述规定别离有x y -=-或x y ->-，那么别离称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．概念２（不足近似与多余近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位多余近似；关于实数01nx a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位多余近似01n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤ 多余近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥．命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，那么x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位多余近似）．命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，知足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，那么r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数经常使用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．● 封锁性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四那么运算是封锁的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必知足以下关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 浓密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：假设对任何正数ε，有a b ε<+，那么a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二 、绝对值与不等式（分析论证的大体工具）．１．绝对值的概念实数a 的绝对值的概念为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 确实是点a 到原点的距离．熟悉到这一点超级有效，与此相应，||x a - 表示确实是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）． ［练习］Ｐ４． ５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生把握确界原理，成立起实数确界的清楚概念。

第一讲实数与实函数1 . 1 实数与实函数的基本概念一．实数实数包括有理数和无理数．有理数，就是能够表示成qp形式的数，其中 p 是整数， q 是不为零的整数．如果用小数表示，有理数都可以表示成有限小数，或无限循环小数．无理数，就是不能表示成qp形式的数，也就是无限不循环的小数．如果将有限小数也表示成无限小数，例如：数 1 可表示为 1=1.000… ；也可以表示为 l=0.999… （注：这是实无限的观点），为唯一性起见，数学上作了一个约定，就是不以零为循环节．数 1 约定的表示为l=0.999…，因此，实数就是一个可以用无限小数表示的数．二、实数的性质1 ．实数集合 R 是一个阿基米德有序域( 1 ）在实数集合 R 上定义加法“ + ”和乘法“× ”两种运算，对两种运算分别满足交换律、结合律，以及乘法关于加法的分配律；对加法，有“零元”和“负元”；对乘法有“单位元”和“逆元” ; R 成为一个“域”.( 2 ）在集合 R 上定义了一种序关系“ < " ，且满足传递性：即对 R c b a ∈∀,, ，若 a < b , b < c ,则 a ＜c ；三歧性：即对 ,,R b a ∈∀，关系 a < b , a =b , a > b 三者必居其一,也只居其一 R 是一个全序集．( 3 ) R 中的元素满足阿基米德性：对 R 中的任意两个正数 a , b ，必存在自然数 n ，使得 na ＞b.2 ．实数集合 R 是一个完备集定义1.1（距离空间）设 X 是一个集合，定义映射+→⨯R X X :ρ，满足 ( 1 ）非负性：对();0,,,y x y x X y x =⇔=∈∀ρ ( 2 ）对称性：()()x y y x ,,ρρ= ；( 3 ）三角不等式：()()()y z z x y x ,,,ρρρ+≤;则称ρ是点集 X 上的一个距离．如果 X 是一个线性空间，称()ρ,X 是一个距离空间 。

*§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数奇函数与偶函数 周期函数定义1有界函数设 f 定义在D 上.R,,(),M x D f x M f D ∃∈∀∈≤若则称在上有上界；R,,(),L x D f x L f D ∃∈∀∈≥若则称在上有下界；R,,(),.M x D f x M f D ∃∈∀∈≤若则称在上有界.上既有上界又有下界在上有界在易证D f D f ⇔00R,,(),M x D f x M f D ∀∈∃∈>若则称在上无上界;00R,,(),L x D f x L f D 若则称在上无下界；∀∈∃∈<00R,,(),.M x D f x M f D ∀∈∃∈>若则称在上无界π:()tan [0,),.2f x x =证明在上无上界有下界例1 π[0,).2上有下界0R,arctan(1),M x M ∀∈=+取π[0,).2上无上界0,L =取证 在因此f 00π[0,),tan 1,2x x M M ∈=+>则且在因此f π[0,),(),2x f x L ∀∈≥则)},(sup{)(x g x g ≤()()sup{()}sup{()},f x g x f x g x ≤因此,sup{()}sup{()}x f x g x 由的任意性可知,)}()({的一个上界是x g x f )}.({sup )}({sup )}()({sup x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈≤因此,()sup{()},x D f x f x ∀∈≤有证 :{()()}{()}{()}.sup sup sup x Dx Dx Df xg x f x g x ∈∈∈≤证明(),().f x g x D 设函数是上的正值有界函数例2例3(),()f x g x D 设在上有界,证明:inf{()()}inf{()}sup{()}.x Dx Dx Df xg x f x g x ∈∈∈+≤+ 证 000,,()inf{()}.x Dx D f x f x εε∈∀>∃∈<+使0()sup{()},x Dg x g x ∈≤又故00()()inf{()}sup{()}.x Dx Df xg x f x g x ε∈∈+<++因此00inf{()()}()()x Df xg x f x g x ∈+≤+inf{()}sup{()}.x Dx Df xg x ∈∈≤+§4具有某些特性的函数 有界函数 奇函数与偶函数 周期函数定义2单调函数∀∈<1212,,,x x D x x 若当时≤12(i)()(),f x f x f D 有则称为上的增函数;<12()(),.f x f x f 特别有时称为严格增函数≥12(ii)()(),f x f x f D 有则称为上的减函数;>12()(),.f x f x f 特别有时称为严格减函数.上的函数是定义在设D f ()()f xg x 不难知道,若和是正值严格增的,则()()f x g x 也是正值严格增的.单调函数证例4 2121N ,R n n n y x-+-∈=任意在上严格增;22+R R nn y x-=在上严格增,在上严格减.上为正值严格增，在由+=R x y 1112y y y =可知.上亦正值严格增在+R +R y n 在由归纳法，若已证,上为正值严格增上亦正值在可知++=R y y y n n 11.严格增12210,0,x x x x <<<-<-若则于是2221212121()(),()(),n n n n x x x x ---<--<-2221212121,nnn n x x x x --<>即.21R n y 上严格减,而在上严格增.--121200,x x x x ≤<<≤若或则21212121121200n n n n xxxx----≤<<≤或，21R n y -这证明了在上严格增.2R n y -这就证明了在[]R,y x=易证函数在上是增函数但非严格例5 增.xyO111-1-222-2-343定理1.211,().f f f D --且在其定义域上也是严格增函数(),,y f x x D f =∈设为严格增函数则必有反函数11,,f f f --类似地严格减函数必有反函数且在其.定义域上也是严格减函数,().x D f x y ∈=使,()f D y f D 设在上严格增则∀∈证 只有一个 1212,()(),x x f x y f x ∃<==事实上,若使f则与.的严格增性质相矛盾,),(,2121y y D f y y <∈∀1212,,y y f x x <<由于及的严格增性必有即111122(),(),x f y x f y --==1112()(),f y f y --<n y 因此的反函+R nn y x =由于在上严格增,例6 +,R rn r y x m==在上亦为严格增.1/+R nn z x =数在上严格增,故对任意有理数1:f 再证必是严格增的-1.f -因此也是严格增函数01,R .a <<时在上严格减121122,,,r r Q x r r x ∃∈<<<使因此11sup{,}x ra a r Q r x =∈<22sup{,}.x ra r Q r x a ≤∈<=1,R xy a a =>证明：当时在上严格增;例7 12121.,,.a x x x x Q >∀<设由的稠密性,证 01,R .xa a <<类似可证当时在上严格减log ,xa y x y a ==由于是的反函数因此+log 1R a y x a =>当时,在上严格增；log a y x =+01,R .a <<当时在上严格减当 12r r a a ≤<§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数周期函数定义1奇函数和偶函数.,:,D x D x D ∈-∈∀必有即关于原点对称设,()(),x D f x f x ∀∈-=-若.f D 称为上的奇函数,()(),x D f x f x ∀∈-=若.f D 称为上的偶函数偶函数的充要条件是:(,)()(,)();x y G f x y G f ∈⇔--∈(,)()(,)().x y G f x y G f 或∈⇔-∈()G f f 显然,若记为的图象,则()f x 是奇函数或奇函数与偶函数§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数周期函数21sin ,tan ,n y x y x y x+===例如 是奇函数,2cos ,ny x y x ==是偶函数.(=++211ln 1(e e )2x xy x x y -是奇函数=-的反函数，从而它也是奇函数.而 奇函数与偶函数§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数奇函数与偶函数 周期定义4周期函数),()(,x f x f D x =±∈±σσ且必有,.f f σ则称为周期函数为的一个周期,f 若周期函数的所有正周期中有一个最小的周期f 则称此最小正周期为的基本周期,简称周期..0,f D x D σ∃>∀∈ 设为上定义的函数若使函数§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数奇函数与偶函数 周期注1 周期函数的定义域不一定是R. 例如：.sin )(x x f =sin 2π,x 的周期为tan π,x 的周期为例8 注2 周期函数不一定有最小周期. 例如狄利克雷函 数以任意正有理数为周期，但没有最小周期. 例9 任意正有理数是狄利克雷函数 的周期. ()D x 证 设+Q ,R.r x ∈∈Q,Q,()1();x x r D x r D x ∈+∈+==若则Q,Q,()0().x x r D x r D x ∉+∉+==若则因此,()r D x 是的一个周期.函数复习思考题1.f (x )在[a ,b ]上定义，是否一定存在某个区间 0000[,][,],()[,]a b a b f x a b ⊂使在上是单调函数?2.构造在[0,1]上定义的函数f (x ),使其在任何 00[,][0,1],().a b f x ⊂上无界3. 用肯定语句叙述下列概念: (1) 非周期函数；(2) 非奇函数； (3) 非单调增函数.。