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第1章实数集与函数1.1本章要点详解本章要点■实数■数集•确界原理■函数的概念■复合函数与反函数重难点导学一、实数1．实数的表示若规定：012012..(1)999n n a a a a a a a a =- 则有限十进小数都能表示成无限循环小数．2．两个实数的大小关系给定两个非负实数其中a 0，b 0为非负整数，a k ，b k （k ＝1，2…）为整数，0≤a k ≤9，0≤b k ≤9．若有则称x 与y 相等，记为x ＝y ；若a 0＞b 0或存在非负整数l ，使得则称x 大于y 或y 小于x ．分别记为x ＞y 或y ＜x ．对于负实数x ，y ，若按上述规定分别有－x ＝－y 与－x ＞－y ，则分别称x ＝y 与x ＜y （或y ＞x ）．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数．3．实数的性质（1）实数集R 对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数．（2）实数集是有序的，即任意两实数a ，b 必满足下述三个关系之一：a ＜b ，a ＝b ，a ＞b ．（3）实数的大小关系具有传递性，即若a ＞b ，b ＞c ，则有a ＞c ．（4）实数具有阿基米德性，即对任何a ，b ∈R ，若b ＞a ＞0，则存在正整数n ，使得na ＞b ．（5）实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数．且既有有理数，也有无理数．（6）实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系．任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点都唯一地代表一个实数．4．绝对值与不等式（1）绝对值①定义||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩②性质a ．|a |＝|－a |≥0；当且仅当a ＝0时有|a |＝0；b ．－|a |≤a ≤|a |；c ．|a |＜h ⇔－h ＜a ＜h ；|a |≤h ⇔－h ≤a ≤h （h ＞0）；d ．三角形不等式：；f ．；g ．．（2）几个重要不等式①222a b ab +≥， sin 1x ≤， sin x x ≤；②均值不等式：12,,,n a a a +∀∈R ，令1211() n n i ii a a a M a a n n =+++==∑ 1121()nnn i n i i G a a a a a =⎛⎫== ⎪⎝⎭∏ 12111()111111i n nni i iinn H a a a a n a a =====+++∑∑ 有平均值不等式() () ()i i i H a G a M a ≤≤等号当且仅当12n a a a === 时成立．③Bernoulli 不等式1x ∀>-，有不等式(1)1, n x nx n +≥+∈N ，且当0x ≠时，(1)1nx nx +>+．二、数集•确界原理1．区间与邻域（1）区间设a,b∈R，且a＜b．称数集{x|a＜x＜b}为开区间，记作（a，b）；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a，b]；数集{x|a≤x＜b}和{x|a＜x≤b}都为半开半闭区间，分别记作[a，b）和（a，b]，以上这几类区间统称为有限区间．满足关系式x≥a的全体实数x的集合记作[a，＋∞）．符号∞读作“无穷大”，＋∞读作“正无穷大”．记其中－∞读作“负无穷大”．以上这几类数集都称为无限区间．有限区间和无限区间统称为区间．（2）邻域设a∈R，δ＞0，满足绝对值不等式|x－a|＜δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U（a，δ），或简单地写作U（a）．即有U（a；δ）＝{x||x－a|＜δ}＝（a－δ，a＋δ）点a的空心δ邻域定义为U0（a；δ）＝{x|0＜|x－a|＜δ}2．上确界与下确界（1）相关概念①设S是R中的一个数集．若存在数M（L），使得对一切x∈S，都有x≤M（x≥L），则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的个上界（下界）．若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集．②设S是R中的一个数集．若数η满足a．对一切x∈S，有x≤η，即η是S的上界；b．对任何α＜η，存在x0∈S，使得x0＞α，即又是S的最小上界．则称数η为数集S的上确界，记作η＝sup S③设S是R中的一个数集．若数ξ满足a．对一切x∈S，有x≥ξ，即ξ是S的下界；b．对任何β＞ξ，存在x0∈S，使得x0＜β，即ξ又是S的最大下界．则称数ξ为数集S的下确界，记作ξ＝inf S④上确界与下确界统称为确界．（2）重要定理①确界原理：设S为非空数集．若S有上界，则S必有上确界；若S有下界,则S必有下确界；②推广的确界原理：任一非空数集必有上、下确界．三、函数的概念1．函数的定义给定两个实数集D和M，若有对应法则f，使对D内每一个数x，都有唯一的一个数y ∈M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y称为f在点x的函数值，常记为f（x）．2．函数的表示法主要有三种：表格法、图像法、解析法（公式法）．3．几个特殊的函数（1）常值函数y =c其定义域为D =(－∞，＋∞),其值域为R f ={c }．（2）绝对值函数0||0xx y x x x ≥⎧⎪==⎨⎪-<⎩其定义域为D ＝(－∞,＋∞),其值域为R f =[0,＋∞)．（3）符号函数10sgn 0010x y x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩其定义域为D ＝(－∞，＋∞),其值域为R f ={－1，0，1}．（4）取整函数：y=[x ]，[x ]表示不超过x 的最大整数；（5）“非负小数部分”函数[]y x x =-，(,)x ∈-∞+∞它的定义域是(),D =-∞+∞，值域是[)0,1f R =．（6）狄利克雷函数1()0x Qy D x x Q∈⎧==⎨∉⎩其定义域为D ＝(－∞，＋∞)，其值域为f R ={0，1}．（7）取最值函数。
一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界*点击以上标题可直接前往对应内容记号与术语(;){|||}:U a x x a a δδδ=-<点的邻域；(;){|0||}:U a x x a a δδδ=<-<o点的空心邻域；(;){|0}:U a x x a a δδδ+=≤-<点的右邻域；(;){|0}:U a x a x a δδδ-=≤-<点的左邻域；(;){|||}:U M x x M M ∞=>∞的邻域；(;){|}:U M x x M M +∞=>+∞的邻域；(;){|}:U M x x M M -∞=<-∞的邻域；.；max :S S 数集的最大值min :S S 数集的最小值后退前进目录退出定义1有界集R,.S S 设⊂≠∅(1)R,,,M x S x M M 若使得则称为∃∈∀∈≤,.S S 的一个上界称为有上界的数集(2)R,,,L x S x L L 若使得则称为∃∈∀∈≥,.S S 的一个下界称为有下界的数集.S 则称为有界集(3),S 若既有上界又有下界:0,,||.M x S x M ∃>∀∈≤其充要条件为使有(1),,S S '若不是有上界的数集则称无上界00R,,.M x S x M ∀∈∃∈>使得(2),,S S '若不是有下界的数集则称无下界00R,,.L x S x L ∀∈∃∈<使得(3),,S S '若不是有界的数集则称无界集000,,||.M x S x M ∀>∃∈>使得即即即[]102[]1,M x M M +=>+>取证取L = 1,{2|N },.nS n +=∈证明数集无上界有下界例1例22+31N .2n S n n ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭证明数集有界证2+31N ,2n n n -∀∈.S 因此有界,,2L x S x n ≥∈=∀则故S 有下界.因此S 无上界.,1,<∈∀M R M 若;210M x >=取，若1≥M 233122n n n ≤+111,22≤+=定义2确界:R . R,满足若设∈≠⊂η∅S S .sup ,S S =ηη记为的上确界是则称;,)i (η≤∈∀x S x ,,(ii)0S x ∈∃<∀ηα0,x α>使得若数集S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中最小的一个具有重要的作用. 确界. 确界.最小的上界称为上同样，若S 有下界，则最大的下界称为下定义3R,.R :S S ξ设若满足⊂≠∅∈(i),;x S x ξ∀∈≥00(ii),,;x S x βξβ∀>∃∈<.inf ,S S =ξξ记为的下确界是则称00,.x S x εξε∀>∃∈<+0,(ii)下确界定义中的亦可换成注2注1由定义,下确界是最大的下界.注4(ii)显然,条件亦可换成:00,.x S x εηε∀>∃∈>-0,注3 条件(i) 说明是的一个上界, S η比小的数都不是的上界,从而是最小的上界S ηη界,条件(ii )说明即上确界是最小的上界.证先证sup S =1.;111,i)(≤-=∈∀n x S x .,211000αα>∈-=≤x S x ，则取若(ii) 1.α<设例3 11,1,2,,S x x n n ⎧⎫==-=⎨⎬⎩⎭设证明L .0inf 1sup ==S S ，.1sup =S 因此，00,10,,,n αεα若令由阿基米德性>=->∃01.n ε使得<00011,1.x S x n εα取则=-∈>-=.0inf =S 因此.0inf =S 再证00(ii)0,0,.x S x αα∀>∃=∈<;011,)i (≥-=∈∀nx S x 以下确界原理作为公理,不予证明.虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的存在性, 不一定有最小值, 例如(0, ∞) 无最小值.这是由于上界集是无限集, 而无限数集确界存在性定理定理1.1（确界原理）设若有上界则必有上确界⊂≠∅S S S SR,.,;若有下界则必有下确界,.S S.,,y x B y A x ≤∈∀∈∀有:.,满足为非空数集设B A 例4.inf sup B A ≤且证明：数集A 有上确界，数集B 有下确界，由定义, 上确界sup A 是最小的上界, 因此, 任意证由假设, B 中任一数y 都是A 的上界, A 中的任界, B 有下确界.y ∈B ; sup A ≤y . 而inf B 是最大的下界, 因此sup A ≤inf B.一数x 都是B 的下界. 因此由确界原理, A 有上确这样, sup A 又是B 的一个下界,例5,R 中非空有上界的数集是设S (i)R,{|},a S a x a x S ∈+=+∈若定义则sup {}sup ;S a S a +=+=∈(ii)>0,{|},b bS bx x S 若定义则sup {}sup .bS b S =⋅证,)i (a S a x +∈+∀,S x ∈其中必有,sup S x ≤于是.sup a S a x +≤+,,00S x ∈∃>∀ε对于使,sup 0ε->S x 从而,0a S a x +∈+且,)(sup 0ε-+>+a S a x 因此.sup )sup(a S a S +=+,)ii (bS bx ∈∀其中,S x ∈必有,sup S x ≤于是.sup S b bx ≤0,0,b εεε'∀>=>令则存在,0S x ∈使0sup ,x S ε'>-因此0sup sup .bx b S b b S εε'>-=-这就证明了.sup }sup{S b bS =非正常确界;R,)i (.1+∞<<∞-∈∀a a 规定supN ,inf{2|N }.nn +=+∞-∈=-∞2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界..sup ,)ii (+∞=S S 记无上界若.inf ,-∞=S S 记无下界若例2 设数集1R ,.A B x A x +⎧⎫⊂=∈⎨⎬⎩⎭求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=例1,M ε1令=001,,.x B x M εε=∃∈<令于是0001,.y A y M x 且=∈>证设sup .A 若=+∞,0.x B x ∀∈>显然0,ε∀>于是0001,.y B y x ε=∈<且因此inf 0.B =sup .A 因此=+∞反之,若inf 0,B =则0,M ∀>求证:sup inf 0.A B 的充要条件是=+∞=sup ,A =+∞则由于00,.x A x M ∃∈>复习思考题2. 1212,,S S S S ⊂和都是数集且21sup sup S S 和比较.inf inf 21的大小和及S S .sup S a =其中形式一定为,),[∞+a 1. 数集S 有上界，则S 的所有上界组成的集合是否3. 在上确界的定义中，00(ii),,x S x αηα使∀<∃∈>能否改为00(ii ),,?x S x αηα'∀<∃∈≥使或改为00(ii ),,?x S x αηα使''∀≤∃∈≥。
*§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数奇函数与偶函数 周期函数定义1有界函数设 f 定义在D 上.R,,(),M x D f x M f D ∃∈∀∈≤若则称在上有上界；R,,(),L x D f x L f D ∃∈∀∈≥若则称在上有下界；R,,(),.M x D f x M f D ∃∈∀∈≤若则称在上有界.上既有上界又有下界在上有界在易证D f D f ⇔00R,,(),M x D f x M f D ∀∈∃∈>若则称在上无上界;00R,,(),L x D f x L f D 若则称在上无下界；∀∈∃∈<00R,,(),.M x D f x M f D ∀∈∃∈>若则称在上无界π:()tan [0,),.2f x x =证明在上无上界有下界例1 π[0,).2上有下界0R,arctan(1),M x M ∀∈=+取π[0,).2上无上界0,L =取证 在因此f 00π[0,),tan 1,2x x M M ∈=+>则且在因此f π[0,),(),2x f x L ∀∈≥则)},(sup{)(x g x g ≤()()sup{()}sup{()},f x g x f x g x ≤因此,sup{()}sup{()}x f x g x 由的任意性可知,)}()({的一个上界是x g x f )}.({sup )}({sup )}()({sup x g x f x g x f Dx Dx Dx ∈∈∈≤因此,()sup{()},x D f x f x ∀∈≤有证 :{()()}{()}{()}.sup sup sup x Dx Dx Df xg x f x g x ∈∈∈≤证明(),().f x g x D 设函数是上的正值有界函数例2例3(),()f x g x D 设在上有界,证明:inf{()()}inf{()}sup{()}.x Dx Dx Df xg x f x g x ∈∈∈+≤+ 证 000,,()inf{()}.x Dx D f x f x εε∈∀>∃∈<+使0()sup{()},x Dg x g x ∈≤又故00()()inf{()}sup{()}.x Dx Df xg x f x g x ε∈∈+<++因此00inf{()()}()()x Df xg x f x g x ∈+≤+inf{()}sup{()}.x Dx Df xg x ∈∈≤+§4具有某些特性的函数 有界函数 奇函数与偶函数 周期函数定义2单调函数∀∈<1212,,,x x D x x 若当时≤12(i)()(),f x f x f D 有则称为上的增函数;<12()(),.f x f x f 特别有时称为严格增函数≥12(ii)()(),f x f x f D 有则称为上的减函数;>12()(),.f x f x f 特别有时称为严格减函数.上的函数是定义在设D f ()()f xg x 不难知道,若和是正值严格增的,则()()f x g x 也是正值严格增的.单调函数证例4 2121N ,R n n n y x-+-∈=任意在上严格增;22+R R nn y x-=在上严格增,在上严格减.上为正值严格增，在由+=R x y 1112y y y =可知.上亦正值严格增在+R +R y n 在由归纳法，若已证,上为正值严格增上亦正值在可知++=R y y y n n 11.严格增12210,0,x x x x <<<-<-若则于是2221212121()(),()(),n n n n x x x x ---<--<-2221212121,nnn n x x x x --<>即.21R n y 上严格减,而在上严格增.--121200,x x x x ≤<<≤若或则21212121121200n n n n xxxx----≤<<≤或，21R n y -这证明了在上严格增.2R n y -这就证明了在[]R,y x=易证函数在上是增函数但非严格例5 增.xyO111-1-222-2-343定理1.211,().f f f D --且在其定义域上也是严格增函数(),,y f x x D f =∈设为严格增函数则必有反函数11,,f f f --类似地严格减函数必有反函数且在其.定义域上也是严格减函数,().x D f x y ∈=使,()f D y f D 设在上严格增则∀∈证 只有一个 1212,()(),x x f x y f x ∃<==事实上,若使f则与.的严格增性质相矛盾,),(,2121y y D f y y <∈∀1212,,y y f x x <<由于及的严格增性必有即111122(),(),x f y x f y --==1112()(),f y f y --<n y 因此的反函+R nn y x =由于在上严格增,例6 +,R rn r y x m==在上亦为严格增.1/+R nn z x =数在上严格增,故对任意有理数1:f 再证必是严格增的-1.f -因此也是严格增函数01,R .a <<时在上严格减121122,,,r r Q x r r x ∃∈<<<使因此11sup{,}x ra a r Q r x =∈<22sup{,}.x ra r Q r x a ≤∈<=1,R xy a a =>证明：当时在上严格增;例7 12121.,,.a x x x x Q >∀<设由的稠密性,证 01,R .xa a <<类似可证当时在上严格减log ,xa y x y a ==由于是的反函数因此+log 1R a y x a =>当时,在上严格增；log a y x =+01,R .a <<当时在上严格减当 12r r a a ≤<§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数周期函数定义1奇函数和偶函数.,:,D x D x D ∈-∈∀必有即关于原点对称设,()(),x D f x f x ∀∈-=-若.f D 称为上的奇函数,()(),x D f x f x ∀∈-=若.f D 称为上的偶函数偶函数的充要条件是:(,)()(,)();x y G f x y G f ∈⇔--∈(,)()(,)().x y G f x y G f 或∈⇔-∈()G f f 显然,若记为的图象,则()f x 是奇函数或奇函数与偶函数§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数周期函数21sin ,tan ,n y x y x y x+===例如 是奇函数,2cos ,ny x y x ==是偶函数.(=++211ln 1(e e )2x xy x x y -是奇函数=-的反函数，从而它也是奇函数.而 奇函数与偶函数§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数奇函数与偶函数 周期定义4周期函数),()(,x f x f D x =±∈±σσ且必有,.f f σ则称为周期函数为的一个周期,f 若周期函数的所有正周期中有一个最小的周期f 则称此最小正周期为的基本周期,简称周期..0,f D x D σ∃>∀∈ 设为上定义的函数若使函数§4具有某些特性的函数 有界函数 单调函数奇函数与偶函数 周期注1 周期函数的定义域不一定是R. 例如：.sin )(x x f =sin 2π,x 的周期为tan π,x 的周期为例8 注2 周期函数不一定有最小周期. 例如狄利克雷函 数以任意正有理数为周期，但没有最小周期. 例9 任意正有理数是狄利克雷函数 的周期. ()D x 证 设+Q ,R.r x ∈∈Q,Q,()1();x x r D x r D x ∈+∈+==若则Q,Q,()0().x x r D x r D x ∉+∉+==若则因此,()r D x 是的一个周期.函数复习思考题1.f (x )在[a ,b ]上定义，是否一定存在某个区间 0000[,][,],()[,]a b a b f x a b ⊂使在上是单调函数?2.构造在[0,1]上定义的函数f (x ),使其在任何 00[,][0,1],().a b f x ⊂上无界3. 用肯定语句叙述下列概念: (1) 非周期函数；(2) 非奇函数； (3) 非单调增函数.。
