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东北师大附中2023~2024学年下学期第五次模拟考试高三数学满分：150分 考试时长：120分钟注意事项：1.答题前考生需将姓名､班级填写在答题卡指定位置上，并粘贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸､本试卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄皱､弄破，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，2i 33i z z +=+，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 的对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限2. 已知直线m 平面α，直线n ⊥平面β，则“m n ”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知两个向量,a b满足1a b b ⋅==，a b -= ，则a =r （ ）A 1B.C.D. 24. ABC 的内角A B C ､､所对的边分别为,1,2a b c a b A B ===､､，则c =（ ）A. 2B.C.D. 15. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，π13π,1624AB f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则5π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） .A. 0B.12C.D. 6. 过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线l 交拋物线于,A B 两点，已知8AB =，线段AB 的垂直平分线经过点()6,0M ，则p =（ ） A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为123S S S ､､，则它们的大小关系为（ ）A. 123S S S <<B. 321S S S <<C. 312S S S <<D. 231S S S <<8. 已知0.12e 1,,ln1.121a b c =-==，则（ ） A. b a c << B. <<c a b C. c b a <<D. <<b c a二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若集合A B B C = ，则一定有（ ） A. C B ⊆ B. B C ⊆ C. BA ⊆D. A B ⊆10. 已知函数()1221xx f x -=+，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 单调递增B. 函数()f x 值域为()0,2C. 函数()f x 的图象关于()0,1对称D. 函数()f x 的图象关于()1,1对称11. 已知12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，过1F 的直线交双曲线左､右两支于,A B 两点，若2ABF △为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（ ） A1+B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知直线:21l y kx k =--与圆22:5C x y +=相切，则k =__________.13. 春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________.14. 记表[](){},max x a b f x ∈示()f x 在区间[],a b 上的最大值，则[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值时，c =__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤.15. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AA AB M ==为1BB 中点，点N 在棱11A B 上，112A N NB =.（1）证明：MC 平面1NAC ； （2）求锐二面角1M AC N --余弦值..的16. 某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1：表1：序号数学物理1 144 952 130 903 124 794 120 855 110 696 107 827 103 808 102 629 100 6710 98 7511 98 6812 95 7713 94 5914 92 6515 90 5716 88 5817 85 7018 85 5519 80 52 20 7554（1）数学120分及以上记优秀，物理80分及以上记为优秀. （i ）完成如下列联表；物理成绩数学成绩优秀不优秀 合计优秀 不优秀 合计（ii ）依据0.01α=的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？ （2）从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2： 表2： 数学成绩 130 110 100 85 75 物理成绩9069677054如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.（i ）求样本相关系数r ；（ii ）建立物理成绩y 关于数学成绩x 的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）参考公式：（1）样本相关系数r =.为（2）经验回归方程ˆˆˆy a bx=+；.()()()121ˆˆˆ,. niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ （3）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：α0.1 0.05 0.01 00050.001 x α2.7063.8416.6357.87910.82817. 已知1a …，函数()ln 1af x ax x x =-+.（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若1x >时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1M 不过原点的直线:l y kx m =+交椭圆C 于,A B 两点，记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，且1214k k =. （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线l 的斜率k 为定值； （3）求MAB △面积的最大值.19. 对于数列{}n a ，称{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1Δn n n a a a n +=-∈N.对正整数()2k k ≥，称{}Δk n a 为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中()1111ΔΔΔΔΔk k k k n n n n a a a a ---+==-已知数列{}n a 的首项11a =，且{}1Δ2n n n a a +--为{}n a 的二阶差分数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(){}212,2n n b n n x =-+为数列{}n b 的一阶差分数列，对*n ∀∈N ，是否都有1C ni i n n i x a ==∑成立？并说明理由；（其中C in 为组合数）.（3）对于（2）中的数列{}n x ，令2n n x x n t t y -+=，其中122t <<.证明：2122nn ni i y -=<-∑.参考答案一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，2i 33i z z +=+，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则复数z 的对应点位于（ ） A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算化简以及共轭复数的定义，结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，则共轭复数为i(,R)z a b a b =-∈， 所以()()2i i i 3+3i a b a b -++=， 所以()()22i 3+3i a b a b -+-=，所以2323a b a b -=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，所以1i z =-，故复数z 对应的点位于第四象限. 故选：D.2. 已知直线m 平面α，直线n ⊥平面β，则“m n ”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由空间中的线面关系，分别验证命题的充分性与必要性即可得到结果. 【详解】因为直线m 平面α，直线n ⊥平面β，当m n 时，可得αβ⊥，即充分性满足； 当αβ⊥时，,m n 不一定平行，有可能相交还有可能异面，故必要性不满足； 所以“m n ”是“αβ⊥”的充分不必要条件..故选：A3. 已知两个向量,a b满足1a b b ⋅== ，a b -= ，则a =r （ ）A. 1B.C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】将a b -=两边平方，结合数量积的运算律计算可得.【详解】因为1a b b ⋅==，a b -= ，所以2232a a b b ⋅=-+，即222113a -⨯+= ，解得2=a 或2a =-r（舍去）.故选：D4. ABC 的内角A B C ､､所对的边分别为,1,2a b c a b A B ===､､，则c =（ ）A. 2B.C.D. 1【答案】A 【解析】【分析】由已知可得sin sin 2A B =，结合三角恒等变换，正弦定理可得2cos a b B =，由此可求A B C ､､，再结合勾股定理求c 即可. 【详解】因为2A B =，所以sin sin 2A B =，故sin 2sin cos A B B =， 由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以2cos a b B =，又1a b ==，所以cos B =()0,πB ∈， 所以π6B =，π3A =， 故π2πC A B =--=由勾股定理可得2224c a b =+=， 所以2c =， 故选：A.5. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，π13π,1624AB f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则5π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A. 0B.12C.D. 【答案】C 【解析】 【分析】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题可得，21π6x x -=，结合1sin 2x =的解可得()212π3x x ω-=，从而得到ω的值，再根据13π124f ⎛⎫=-⎪⎝⎭即可得2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而求得5π6f ⎛⎫⎪⎝⎭． 【详解】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π6AB =可得21π6x x -=， 由1sin 2x =可知，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，Z k ∈，由图可知， 当0ω>时，()215π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()212π3x x ω-=，4ω∴=；当0ω<时，()125π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()122π3x x ω-=，4ω∴=-；综上：4ω=±；因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设4ω=，则()()sin 4f x x ϕ=+， 因为13π13πsin 1246f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则13π3π2π,62k k ϕ+=+∈Z ，解得2π2π,Z 3k k ϕ=-+∈， 所以2π2()sin 42πsin 4π33f x x k x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5π10π22π2πsin πsin 2πsin 63333f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：C.6. 过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线l 交拋物线于,A B 两点，已知8AB =，线段AB 的垂直平分线经过点()6,0M ，则p =（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】B 【解析】【分析】设直线l 的方程为2px my =+，利用设而不求法求弦长AB 的表达式，再求线段AB 的垂直平分线，由条件列方程求,m p 可得结论.【详解】抛物线22y px =的焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭， 若直线l 的斜率斜率为0，则直线l 与抛物线22y px =只有一个交点，不满足条件， 故可设直线l 的方程为2px my =+， 联立222y px p x my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，化简可得2220y pmy p --=，方程2220y pmy p --=的判别式222440p m p ∆=+>， 设()()1122,,,A x y B x y ， 则212122,y y pm y y p +==-，所以()()21212221AB x x p m y y p p m =++=++=+，由已知()2218p m +=， 设AB 的中点为()00,P x y ，则0y pm =，202p x pm =+， 所以线段AB 的垂直平分线方程为22p y pm m x pm ⎛⎫-=---⎪⎝⎭，因为()6,0M 在线段AB 的垂直平分线上， 所以262p p pm =--，故2362p pm +=， 所以0m =，4p =. 故选：B.7. 如图，为球形物品设计制作正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒，最少用料分别记为123S S S ､､，则它们的大小关系为（ ）A. 123S S S <<B. 321S S S <<C. 312S S S <<D. 231S S S <<【答案】B 【解析】【分析】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，根据多面体的结构特征求出正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球半径与其表面积的关系，再进行比较.【详解】由题意包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体，下面求正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球的半径与其表面积的关系.设球形物品的半径为R ，则正方体的棱长为2R ，表面积()2226224S R R ==；设正四面体的棱长为a ，则正四面体的表面积为2214S a ==， 如图正四面体A BCD -，由正四面体的对称性与球的对称性可知内切球的球心在正四面体的高上，如图OG R =，底面等边三角形BCD 的高CE =，外接圆半径23CG ==，正四面体的高AG ===，体积211313V S R ==，所以211313V S R ==，又21S =，所以a =，所以正四面体的表面积221S ==；设正八面体的棱长为b ，如图，在正八面体中连接AF ，DB ，CE ，可得AF ，DB ，CE 互相垂直平分，四边形BCDE 为正方形，12OD BD ==，在Rt AOD 中，AO ===，则该正八面体的体积23123V b '=⨯⨯=，该八面体的表面积2328S ==，因为313S R V '=，即2313R ⨯⋅=，解得b =，所以)2223S ===，所以321S S S <<. 故选：B. 8. 已知0.12e 1,,ln1.121a b c =-==，则（ ） A. b a c << B. <<c a b C. c b a << D. <<b c a【答案】D 【解析】【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小. 【详解】设()e 1x f x x =--，()e 1xf x '=-，(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 为减函数，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，所以()(0)0f x f ≥=，(0.1)0f >，即0.1e 10.1->.设()ln 1g x x x =-+，11()1x g x x x-'=-=， ()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数，()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，所以()(1)0g x g ≤=，(1.1)0g <，即ln1.10.1<，所以a c >.设()2()ln 12x h x x x =+-+，()()()22214()01212h x x x x x x '=-=>++++， ()h x 为增函数，所以(0.1)(0)0h h >=，所以2ln1.121>，即c b >. 故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若集合A B B C = ，则一定有（ ） A. C B ⊆B. B C ⊆C. B A ⊆D. A B ⊆【答案】AC 【解析】【分析】根据A B A ⊆ 以及A B B ⊆ ，可得B C A ⋃⊆、B C B ⋃⊆、可得C B A ⊆⊆，结合选项即可求解.【详解】因为A B A ⊆ ，A B B C = ， 所以B C A ⋃⊆，所以BA ⊆，C A ⊆，因为A B B ⊆ ，A B B C = ，所以B C B ⋃⊆，所以C B ⊆，所以C B A ⊆⊆， 故选项A 、C 正确，B 、D 错误. 故选：AC.10. 已知函数()1221xx f x -=+，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 单调递增B. 函数()f x 值域为()0,2C. 函数()f x 的图象关于()0,1对称D. 函数()f x 的图象关于()1,1对称 【答案】ABD 【解析】【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A ，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B ，根据对称性的定义，()2f x -与()f x 的关系，即可判断CD.【详解】()111222222212121x x x x x f x ---+-===-+++， 函数22y t=-，121x t -=+，则1t >， 又内层函数121x t -=+在R 上单调递增，外层函数22y t=-在()1,∞+上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数()f x 单调递增，故A 正确；因为1211x -+>，所以120221x -<<+，则1202221x -<-<+，所以函数()f x 的值域为()0,2，故B正确；()2112422212221x x x x f x ----===+++，()()22f x f x -+=，所以函数()f x 关于点()1,1对称，故C 错误，D 正确. 故选：ABD11. 已知12,F F 分别为双曲线的左､右焦点，过1F 的直线交双曲线左､右两支于,A B 两点，若2ABF △为等腰直角三角形，则双曲线的离心率可以为（ ）A.1+B.C. D.【答案】BC 【解析】【分析】利用等边三角形的性质，结合双曲线的定义，建立,a c 的等量关系式求解.【详解】如果2BAF ∠为直角，设2AF AB m ==，则2BF =，又122BF BF a -=，212AF AF a -=，所以1AF =，由212AF AF a -=，则2m a -=，得(4m a =+，在12AF F △中，2221212AF AF F F +=，即2224m c ⎫+=⎪⎪⎭，即((222222444a a c +++=，化简得229c a=+e =如果2AF B ∠为直角，设2BF m =，则2AF m =，AB =，12AF m a =-，12BF m a =-+，因为122BF BF a -=，所以22a a -+=，故m =，在12AF F △中，由余弦定理可知()()22242822c a a a ⎛=-+--⋅⋅ ⎝，整理得22412c a =，即23e =，所以e =B 正确；如果2ABF ∠为直角，则2AB BF =，122BF BF a -=， 则12AF a =，又212AF AF a -=，所以24AF a =，22BF AF ==，()122BF a a =+=+， 在等腰直角12BF F △中，222212124BF BF F F c +==，即()()222224a c ++=，化简得225c a=+e =C 正确.故选：BC.【点睛】关键点睛：求解离心率的关键是结合题中的已知关系，找出,,a b c 之间的数量关系.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知直线:21l y kx k =--与圆22:5C x y +=相切，则k =__________. 【答案】2 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得k 的值. 【详解】直线l 的一般方程为210kx y k ---=，圆225x y +=的圆心C 的坐标为()0,0，半径r =，由于直线l 和圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离等于半径，=，解得2k =. 故答案为：2.13. 春暖花开季节，小王､小李､小张､小刘四人计划“五･一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖､净月､莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为__________. 【答案】23【解析】【分析】由古典概率结合条件概率的形式计算即可.【详解】至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去，其概率为21134422444C C C C 2C 33381+⨯+=， 至少有两人去南湖且有人去净月的概率为23444C 3C 22381⨯+=， 所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为222333=， 故答案为：23. 14. 记表[](){},max x a b f x ∈示()f x 在区间[],a b 上的最大值，则[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值时，c =__________.【答案】18##0.125 【解析】【分析】根据题意，[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值，即为()2f x x x c =-+在区间[]0,1上的最大值取得最小值，先用分段函数表示()f x 在区间[]0,1上的最大值，再根据图象求分段函数的最小值即可. 【详解】[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值，即为()2f x x x c =-+在区间[]0,1上最大值取得最小值，的因为()f x 的对称轴12x =，且()()01f f c ==， 所以()f x 的最大值为1124f c ⎛⎫=-⎪⎝⎭或()()01f f c ==， 当14c c -=时，即18c =， 所以 ()max1,81148c c f x c c ⎧⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩＞，，当18c =时，()max f x 取最小值，最小值为18. 故答案为：18.【点睛】关键点点睛：本题主要考查 函数的最值，关键在于理解题意，[]{}20,1max x x x c ∈-+取得最小值，即为()2f x x x c =-+在[]0,1的最大值取得最小值，所以先要将()f x 的最大值表示出来，再用分段函数的性质即可.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､解答过程或演算步骤.15. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AA AB M ==为1BB 中点，点N 在棱11A B 上，112A N NB =.（1）证明：MC 平面1NAC ；（2）求锐二面角1M AC N --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】（1）解法1：作出辅助线，得到线线平行，进而得到线面平行；解法2：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由0n CM ⋅=证明出结论；（2）解法1：作出辅助线，得到MDE ∠即为二面角1M AC N --的平面角，求出各边长，求出锐二面角的余弦值；解法2：求出平面的法向量，得到平面的法向量，求出答案. 【小问1详解】解法1：设11AC AC D ⋂=，则D 为1AC中点， 1AM AN E ⋂=，连接DE ， 延长AN 交1BB 延长线于F ， 由112A NNB =得112AA B F =，11,,AA MF A E EM E ==为1A M 中点，MC DE ，DE ⊂平面1,NAC MC ⊄平面1NAC ，MC 平面1NAC ，解法2：取AC 中点O ，取11A C 中点1O ，连接1,OB OO ， 因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以1,,AC OB OO 两两垂直， 以O 为坐标原点，1,,OB OC OO 所在直线分别为,,x y z 轴，建系如图，则()()())10,1,0,0,1,2,0,1,0,A C C M-，())11,2,0,2,2,1,13N AC CM ⎫-==-⎪⎪⎭，)14,0,3C N AM ⎫=-=⎪⎪⎭，设平面1NAC 的一个法向量为(),,n x y z =，则11220403n AC y z n C N x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令y =，则(2,x z n ===，0n CM MC ⋅=⊄，平面1NAC ，故MC 平面1NAC . 【小问2详解】解法1：因为12AA AB ==，所以1AA AC =，故四边形11ACC A 为正方形， 故1AC ⊥1AC ，且D 为1AC 中点，又AM ===，1C M ==，故1AM C M =，故DM ⊥1AC ，因为1A C DM D ⋂=，1,A C DM ⊂平面1MAC ， 所以1AC ⊥平面1MAC ，因为DE ⊂平面1MAC ，所以1AC DE ⊥， 所以MDE ∠即为二面角1M AC N --的平面角，又MC ===11122AD AC ===且11122DE MC EM A M ====DM ==222cos 2DE DM EM MDE DE DM ∠+-===⋅，故锐二面角1M AC N --. 解法2：设平面1MAC 的一个法向量为(),,m a b c =，则1220m AC b c m AM b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1b =，则()1,0,0,1,1c a m =-==-，cos ,m nm n m n ⋅===，所以锐二面角1M AC N --16. 某校研究性学习小组研究的课题是数学成绩与物理成绩的关系，随机抽取了20名同学期末考试中的数学成绩和物理成绩，如表1： 表1： 序号 数学 物理 1 144 95 2 130 90 3 124 79 4 120 85 5 110 69 6 107 82 7 103 80 8 102 62 9 100 67 10 98 75 11 98 68 12 95 77 13 94 59 14926515 90 5716 88 5817 85 7018 85 5519 80 5220 75 54（1）数学120分及以上记为优秀，物理80分及以上记为优秀.（i）完成如下列联表；物理成绩合计数学成绩优秀不优秀优秀不优秀合计α=的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联？（ii）依据0.01（2）从这20名同学中抽取5名同学的成绩作为样本，如表2：表2：数学成绩130 110 100 85 75物理成绩90 69 67 70 54如图所示：以横轴表示数学成绩､纵轴表示物理成绩建立直角坐标系，将表2中的成对样本数据表示为散点图，观察散点图，可以看出样本点集中在一条直线附近，由此推断数学成绩与物理成绩线性相关.（i ）求样本相关系数r ；（ii ）建立物理成绩y 关于数学成绩x 的一元线性回归模型，求经验回归方程，并预测数学成绩120的同学物理成绩大约为多少？（四舍五入取整数）参考公式：（1）样本相关系数r =.（2）经验回归方程ˆˆˆy a bx=+；.()()()121ˆˆˆ,. niii ni i x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ （3）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：α0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x α2.70638416.6357.87910.828【答案】（1）（i ）答案见解析；（ii ）认为数学成绩与物理成绩有关联.（2）（i ）3337；（ii ）9961018537y x =+，81分【解析】【分析】（1）（i ）由表1可直接填写列联表；（ii ）根据列联表，计算2χ的值，结合临界值表可得出结论； （2）（i ）根据参考公式计算样本相关系数；（ii ）根据参考公式计算经验回归方程，并将120x =代入，预测该同学的物理成绩. 【小问1详解】 （i ）物理成绩数学成绩优秀不优秀合计.优秀 3 1 4 不优秀 2 14 16 合计51520（ii ）零假设0H ：数学成绩与物理成绩相互独立，即数学成绩与物理成绩无关联.()()()()222()20(31412)416515n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯0.01206.667 6.6353α=≈>= 依据0.01α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为数学成绩与物理成绩有关联. 【小问2详解】（i ）由题意100,70x y ==， 所以r=33.37==（ii ）由题意()()()()()2222230201010315025ˆ1630100(15)(25)b ⨯+⨯-+⨯-+-⨯+-⨯-=+++-+- 990991850185==， 所以99610ˆ7010018537a y bx=-=-⨯=， 所以经验回归方程为9961018537y x =+， 当120x =时，996102986ˆ12080.7811853737y=⨯+=≈≈， 所以物理成绩约为81分.17. 已知1a …，函数()ln 1af x ax x x =-+.（1）当1a =时，求()f x 的最小值；（2）若1x >时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）0； （2）2a ….【解析】【分析】（1）由已知可得()1ln 1ln f x x x =+-='，进而可求()f x 的单调区间； （2）求导得()()11ln a f x a x x -'=+-，令()11ln ,a g x x x-=+-进而求导()()211a g x a x x-'=--，分类讨论可求a 的取值范围. 【小问1详解】当1a =时，()()ln 1,1ln 1ln f x x x x f x x x =-+=='+-，()()()0,1,0,x f x f x '∈<单调递减；()()()1,,0,x f x f x '∈+∞>单调递增；()min ()10f x f ==【小问2详解】()()()111ln 1ln a a f x a x ax a x x --=+-=+-'，设()()()1211ln ,1a a g x x xg x a x x--=+-=--'， ①若1a =，由（1）知()()10f x f >=，不合题意； ②若()()()211112,111a a a g x a x a x x x--⎡⎤<<=--='--⎣⎦， 设()()()()12211,(1)0,a a h x a xh x a x h x --=--=--'<单调递减，()()11120h a a =--=->，令()()11100110,(1)a a h xa xx a ---=--==-，()()()()01,,0,0,x x h x g x g x ∈>'>单调递增，()()10g x g >=，()()0,f x f x '>单调递增，()()10f x f >=，不合题意；③()()()212,1,,10a a x g x a x x∞-≥∈+-'=-<， ()g x 单调递减，()()()()10,0,g x g f x f x <=<'单调递减，()()10f x f <=；综上，2a ≥.18. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()2,1M不过原点的直线:l y kx m =+交椭圆C 于,A B 两点，记直线MA 的斜率为1k ，直线MB 的斜率为2k ，且1214k k =. （1）求椭圆C 的方程；（2）证明：直线l 的斜率k 为定值； （3）求MAB △面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=（2）证明见解析 （3）max S =【解析】【分析】（1）根据离心率和过点M ，用待定系数法可求出椭圆C 的方程； （2）设出直线并与椭圆进行联立，用韦达定理表示出1214k k =，并进行化简，即可求出斜率定值； （3）根据弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形面积，将其转化为函数，再利用导数求出最大值. 【小问1详解】依题意22222411c aa b b a c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得228,2a b ==，所以椭圆的标准方程为22182x y +=.【小问2详解】设直线l 方程为()()1122,0,,,,y kx m m A x y B x y =+≠，由22182y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222418480k x kmx m +++-=，()222121222848Δ16820,,4141km m k mx x x x k k --=+->+==++，()()()()121212121211112222kx m kx m y y k k x x x x +-+---=⋅=---- ()()()()2222222121221212224881(1)1(1)414148162444141m km k k m m k x x k m x x m k k m km x x x x k k --⋅+-⋅+-+-++-++==--++++++ ()()22224(1)12141244144k m m k m k m mk k -+---===++-++，解得12k =-【小问3详解】 由（2）得221,0,22402y x m m x mx m =-+≠-+-=， 22Δ1640,4,22,0m m m m =-><-<<≠，)22AB x h m =-=- MAB △的面积(122S AB h m ==-=， ()()3(2)2f m m m =-+，()()()2323(2)2(2)(2)44f m m m m m m =--++-=---'，令()0f m '＞，解得21m --＜＜，即()f m 在()2,1--上单调递增，令()0f m '＜，解得10m -＜＜或02m ＜＜，即()f m 在()10-，和()02，上单调递减， 所以当1m =-时，取到最大值()127f -=，MAB △的面积max S =【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，解决直线与椭圆的综合问题，关键在于（1）注意题设中每一个条件，明确确定直线和椭圆的条件；（2）直线和椭圆联立得韦达定理，与弦长公式和点到直线距离公式的结合运用；（3）求最值时，要善于转化为函数关系，利用导数来求解. 19. 对于数列{}n a ，称{}Δn a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1Δn n n a a a n +=-∈N.对正整数()2k k ≥，称{}Δk n a 为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中()1111ΔΔΔΔΔk k k k n n n n a a a a ---+==-已知数列.{}n a 的首项11a =，且{}1Δ2n n n a a +--为{}n a 的二阶差分数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(){}212,2n n b n n x =-+为数列{}n b 的一阶差分数列，对*n ∀∈N ，是否都有1C ni i n n i x a ==∑成立？并说明理由；（其中C in 为组合数）（3）对于（2）中数列{}n x ，令2n nx x n t t y -+=，其中122t <<.证明：2122nn ni i y -=<-∑.【答案】（1）12n n a n -=⋅；（2）成立，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）由二阶差分数列的定义可得21Δ2Δn n n n a a a +--=，将21ΔΔΔn n n a a a +=-，可得122n n n a a +-=，构造等差数列即可求解；（2）由一阶差分数列的定义可得1n n n x b b n +=-=，要证1Cnii n n i x a ==∑成立，即证121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅ ，根据二项式定理即可证明； （3）作差可得22n nnnt t --<++，故()()111112222nn n i i i ii i i i y t t --====+<+∑∑∑，根据等比数列的求和公式即可证明. 【小问1详解】 因为{}1Δ2nn n a a +--为{}na 的二阶差分数列，所以21Δ2Δn n n n aa a +--=，将21ΔΔΔn n n a a a +=-，代入得11Δ2ΔΔnn n n n a a a a ++--=-，整理得Δ2nn n a a -=，即122n n n a a +-=，所以111222n n n n a a ++-=.故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为12的等差数列， 因此，()111222n na n =+-⋅，即12n n a n -=⋅. 的【小问2详解】因为{}n x 为数列{}n b 的一阶差分数列，所以1n n n x b b n +=-=，故1Cni i n n i x a ==∑成立，即为121C 2C C 2n n n n n n n -+++=⋅ .① 当1n =时，①式成立； 当2n ≥时，因为()110111112(11)C C C n n n n n n n n n ------⋅=⋅+=⋅+++ ，且11C C k kn n n k --=，所以①成立，故对*n ∀∈N 都有1Cnii n n i x a ==∑成立.【小问3详解】2n n n t t y -+=，因为122t <<，所以(2)1,2n n nt t ><， 故()()()1222(2)10(2)n nnn n n n n tt t t t --⎡⎤+-+=-->⎣⎦，即22n n n n t t --<++， 所以()()()111111221111222212222112nnn n n i i ii i i i i y t t--===⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎢⎥=+<+=+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑()()2111121121222222222n nn n n n n--⎛⎫=-+-=-+<-⋅=- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。
2020届高三联合模拟考试理科数学试题一､选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}220A x Z x x =∈--≤，{}1,0,1B =-，则AB =( )A. {}1,0,1-B. {}0,1C.1,0,1,2D.{}12x x -≤≤【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，再利用交集的定义可求出集合A B .【详解】{}{}{}220121,0,1,2A x Z x x x Z x =∈--≤=∈-≤≤=-，因此，{}1,0,1A B =-.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2.复数(),z a bi a b R =+∈是()()212i i ++的共轭复数，则a b +=（ ） A. 5 B. 5-C. 5iD. 5i -【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则将复数()()212i i ++表示为一般形式，利用共轭复数的概念可求出a 与b 的值，即可得出+a b 的值.【详解】()()22122525i i i i i a bi ++=++==-，05a b =⎧∴⎨-=⎩，解得05a b =⎧⎨=-⎩，因此，5a b +=-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，同时也考查了共轭复数的概念以及利用复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.3.设命题:p 有的平行四边行是菱形，则p ⌝为（ ） A. 所有平行四边形都不是菱形 B. 有的菱形不是平行四边形 C. 有的平行四边形不是菱形 D. 不是菱形的四边形不是平行四边形【答案】A 【解析】 【分析】将命题p 改写为特称命题的形式，然后利用特称命题的否定可得出命题p ⌝. 【详解】命题:p 存在平行四边形为菱形，则命题:p ⌝所有平行四边形都不是菱形. 故选：A.【点睛】本题考查特称命题否定，解题的关键就是将原命题表示成特称命题的形式，属于基础题.4.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A. 4y x =±B. 14y x =±C. 2y x =±D.12y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可直接得出该双曲线的渐近线方程.【详解】由题意可知，双曲线2214y x -=的渐近线方程为2y x =±.故选：C.【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程，要熟悉渐近线方程与双曲线标准方程之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 5.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，63363S S -=，则5a =（ ） A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，利用条件63363S S -=求出d 的值，由此可计算出5a 的值. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则1163653263322363632a d a d S S d ⨯⨯++-=-==， 解得2d =，因此，5141429a a d =+=+⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列中相关项的计算，一般利用方程思想求出首项和公差的值，同时也涉及了等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.6.我国南宋时期的数学家秦九韶（约12021261-）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的值一个实例.若输入的4n =，5v =，2x =，则该程序框图计算的是（ ）A. 23451222324252⋅+⋅+⋅+⋅+⋅B. 1234122324252+⋅+⋅+⋅+⋅C. 012340212223242⋅+⋅+⋅+⋅+⋅D. 23450212223242⋅+⋅+⋅+⋅+⋅【答案】B 【解析】 【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i 、v 的值，当0i =时，不满足条件0i >，跳出循环，即可得解．【详解】输入4n =，5v =，2x =，则第一次：4i n ==，40i =>，524v =⋅+，3i =；第二次：30i =>，()25242352423v =⋅+⋅+=⋅+⋅+，2i =；第三次：20i =>，()23252423225242322v =⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+，1i =；第四次：10i =>，()324321524232221524232221v =⋅+⋅+⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+，0i =； 跳出循环，输出1234122324252v =+⋅+⋅+⋅+⋅. 故选：B ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i 、v 的值是解题的关键，属于基础题．7.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若2b c =，a =3A π=，则ABC∆的面积为（ ）A. 1B. 3C. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理求出b 、c 的值，然后利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】由余弦定理可得2222212cos 4222a b c bc A c c c c =+-=+-⨯⨯⨯，即236c =，解得c =2b c ==因此，ABC ∆的面积为11sin 222ABC S bc A ∆==⨯=故选：D.【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于基础题.8.已知直线a 、b 与平面α、β满足a α⊂，b β⊂，l αβ=，则下列命题中正确的是（ ）A. αβ⊥是a b ⊥的充分不必要条件B. a l ⊥是αβ⊥的充要条件C. 设αβ⊥，则a b ⊥是a l ⊥的必要不充分条件D. 设αβ⊥，则a b ⊥是a l ⊥的既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直、面面垂直的判定和性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断出各选项中命题的正误.【详解】对于A 选项，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，设α=平面ABCD ，β=平面11CDD C ，a BD =，1b C D =， 平面ABCD ⊥平面11CDD C ，BD ⊂平面ABCD ，1C D ⊂平面11CDD C ， 易知1BDC ∆为正三角形，则13BDC π∠=，则a b αβ⊥⇒⊥/； 设a AC =，b BD =，α=平面ABCD ，β=平面1BC D ，AC BD ⊥，但平面ABCD 与平面1BC D 不垂直，则a b αβ⊥⇒⊥/.所以，αβ⊥是a b ⊥的既不充分也不必要条件，A 选项错误； 对于B 选项，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，设α=平面ABCD ，β=平面1BC D ，a AC =，l BD =，AC BD ⊥，但平面ABCD 与平面1BC D 不垂直，即a l αβ⊥⇒⊥/； 设α=平面ABCD ，β=平面11CDD C ，1a C D =，l CD =，则14CDC π∠=，平面ABCD ⊥平面11CDD C ，但1C D 与CD 不垂直，即a l αβ⊥⇒⊥/， 所以，a l ⊥是αβ⊥的既不充分也不必要条件，B 选项错误； 对于C 、D 选项，如下图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，设α=平面ABCD ，β=平面11CDD C ，a BD =，1b DD =，l CD =，1BD DD ⊥，但BD 与CD 不垂直，所以，若αβ⊥，a b a l ⊥⇒⊥/；若αβ⊥，l αβ=，a l ⊥，a α⊂，a β∴⊥，b β⊂，a b ∴⊥，则a l a b ⊥⇒⊥.所以，若αβ⊥，则a b ⊥是a l ⊥的必要不充分条件，C 选项正确，D 选项错误. 故选：C.【点睛】本题以立体几何为载体，考查充分条件和必要条件的判断，要熟悉空间中垂直关系的判定和性质定理，结合几何体模型进行判断，考查推理能力，属于中等题.9.在正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP x AB y AD =+，则x y +的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设正方形ABCD 的边长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xAy ，可得出圆C 的方程为()()22222x y -+-=，可设点P 的坐标为()22cos ,22sin θθ++，根据向量的坐标运算可将x y +用θ的三角函数表示，利用辅助角公式和正弦函数的有界性可求出x y +的最大值.【详解】设正方形ABCD 的边长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xAy ，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，直线BD 的方程为221x y+=，即20x y +-=， 点C 到直线BD 的距离为22211d ==+则以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆C 的方程为()()22222x y -+-=， 设点P 的坐标为()22,22θθ+，由AP x AB y AD =+，得()()()()2,22,00,22,2x y x y θθ=+=，1cos 21sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪∴⎨⎪=+⎪⎩，所以，2sin 24x y πθθθ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 因此，x y +的最大值为3. 故选：C.【点睛】本题考查利用平面向量的基本定理求参数和的最小值，利用圆的有界性结合圆的参数方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.10.已知函数()()()36cos 0f x x x ωω=->，若存在a R ∈，使得()f x a +为奇函数，则ω的值可能为（ ） A.12πB.3πC.4π D.5π 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得()()()36cos f x a x a x a ω+=-++⎡⎤⎣⎦，由奇函数的性质分析可得6a =，进而可得()6k k Z ωπ=∈，则()6k k Z πω=∈，据此分析选项可得答案． 【详解】根据题意，函数()()36cos f x x x ω=-，()()()36cos f x a x a x a ω∴+=-++⎡⎤⎣⎦，若存在a R ∈，使得()y f x a =+为奇函数，令()()()()36cos g x f x a x a x a ω=+=-++⎡⎤⎣⎦，则()()()306cos 0g a a ω=-=.若60a -≠，则()cos 0a ω=，()2a k k Z πωπ∴=+∈，得()()212k a k Z πω+=∈，此时()()()3216cos 2k g x x a x k Z ωπ+⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭， 所以()()36sin g x x a x ω=+-或()()36sin g x x a x ω=-+-为奇函数， 若函数()()36sin g x x a x ω=+-为奇函数，由()()g x g x -=-可得()()336sin 6sin x a x x a x ωω--+-=-+-对任意的x ∈R 恒成立，()()3366x a x a ∴-+-=+-，66x a x a ∴-+-=+-，得0x =，对任意的x ∈R 不恒成立.同理，()()36sin g x x a x ω=-+-不可能为奇函数； 由上可知，6a =，则()()3cos 6g x x x ωω=+为奇函数，则()()g x g x -=-，得()()33cos 6cos 6x x x x ωωωω--=-+，可得()()cos 6cos 6x x ωωωω-=+，由两角和与差的余弦公式可得2sin sin60x ωω=， 则等式sin sin60x ωω=对任意的x ∈R 恒成立，则sin60ω=，则()6k k Z ωπ=∈， 得()6k k Z πω=∈，当2k =时，3πω=，A 、C 、D 都不满足. 故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及三角函数的恒等变形，属于中等题． 11.已知定义域为R 的函数()f x 满足()()1f x xf x '+>（()f x '为函数()f x 的导函数），则不等式()()()2111x f x f x x +->-+的解集为（ ）A. ()0,1B. [)1,+∞C. ()()0,11,+∞D. ()0,∞+【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()g x xf x x =-，根据条件判断()y g x =在R 上的单调性，然后将所求不等式分1x =、1x >和1x <三种情况得到不等式的解集．【详解】令()()g x xf x x =-，则()()()1g x f x xf x ''=+-， 定义域为R 的函数()y f x =满足()()1f x xf x '+>，()0g x '∴>，∴函数()y g x =在R 上单调递增，当0x =时，由()()1f x xf x '+>，知()01f >，∴当1x =时，显然不等式()()()2111x f x f x x +->-+成立.当1x >时，则10x -<，所以()()()()2221111x f x x f x x x--<--+-，整理得()()()()()()222111111xf x x x f x x ----<----，即()()211g x g x -<-，所以，211x x -<-，得20x x ->，则1x >； 当1x <时，则10x ->，所以()()()()2221111x f x x f x x x-->--+-，整理得()()()()()()222111111xf x x x f x x ---->----，即()()211g x g x ->-，所以，211x x ->-，得20x x -<，则01x <<. 综上所述，原不等式的解集为()0,∞+. 故选：D ．【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式和利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想和函数思想，属中档题．12.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 、Q 、R 在C 上，且PQR ∆的重心为F ，则PF QF +的取值范围为（ ） A. 993,,522⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦B. 994,,522⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. ()93,44,2⎛⎫⎪⎝⎭D. []3,5【答案】A 【解析】 【分析】根据重心坐标公式求出R 的横坐标为()3R P Q x x x =-+，纵坐标为()R P Q y y y =-+，设直线PQ 的方程为x ky m =+，与抛物线方程联立，用m 、k 求出表示出R 的坐标，结合抛物线的方程，求出k 的取值范围，再结合抛物线的定义可得出结论．【详解】由题意知，抛物线C 的焦点为()1,0F ，设点(),P P P x y 、(),Q Q Q x y 、(),R R R x y ，由重心的坐标公式得1303P Q RP Q R x x x y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，()3R P Q x x x ∴=-+，()R P Q y y y =-+，设直线PQ 的方程为x ky m =+，由24x ky m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ky m --=，()221616160k m k m ∆=+=+>，由韦达定理得4P Q y y k +=，4P Q y y m =-，所以，()()()2242P Q P Q P Q x x ky m ky m k y y m k m +=+++=++=+，故()23342R P Q x x x k m =-+=--，()4R P Q y y y k =-+=-，将点R 的坐标代入抛物线C 的方程得()22164342k k m =⨯--，得2238m k =-， 则()()228228360k m k∆=+=->，得2102k≤<， 则(]222422543,5P Q PF QF x x k m k +=++=++=-∈.()1,0F 不在直线PQ 上，则1m ≠，此时，218k ≠，则92PF QF +≠. 因此，PF QF +的取值范围是993,,522⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦. 故选：A.【点睛】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题． 二､填空题.13.已知函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足()()3233f x g x x x x -=++，则()()22f g -+=______.【答案】2- 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得()()22f g ---的值，结合函数()y g x =的奇偶性可得()()()()2222f g f g ---=-+，据此计算可得答案．【详解】根据题意，()()3233f x g x x x x -=++，则()()()()()3222232322f g ---=-+⨯-+⨯-=-. 又由函数()y g x =是奇函数，则()()22g g -=-，故()()()()22222f g f g -+=---=-. 故答案为：2-.【点睛】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．14.已知x ，y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z ＝2x +y 的最大值为_____.【答案】3. 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．【详解】解：11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是(1,1)A --，11,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，(2,1)C -，在ABC ∆中满足2z x y =+的最大值是点C ，代入得最大值等于3． 故答案为：3．【点睛】本题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.在ABC ∆中，6AB AC ==，4BC =，AD 是BC 边上的中线，将ABD ∆沿AD 折起，使二面角C AD B --等于120，则四面体ABCD 外接球的体积为______. 【答案】323π 【解析】 【分析】由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高AD 及底面外接圆的半径r ，利用公式222AD R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求出外接球的半径R ，进而求出外接球的体积．【详解】因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，在折起的过程中，AD BD ⊥，AD CD ⊥，BD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面BCD ， 因为二面角C AD B --等于120，所以120BDC ∠=，且2BD CD ==，2242AD AB BD =-=BCD ∆中，30CBD BCD ∠=∠=，BCD ∆外接圆半径为22sin 30BDr ==，设外接球的半径为R ，则()2222222232AD R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭因此，所以外接球的体积为(33442332333V R πππ==⨯=.故答案为：3π.【点睛】本题考查一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球半径与三棱锥棱长的关系及球的体积公式，考查计算能力，属于中档题．16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10a =，()()1112n nn n a a +⎡⎤=+-+-⎣⎦，则2n a =______，2n S =______.【答案】 (1). 212n -- (2). ()2143n -【解析】 【分析】令21n k =-，k *∈N ，根据递推关系即可求得2k a ，进而得出2n a ；令2n k =，k *∈N ，则可得到数列{}n a 的奇数项均为0，进而由等比数列的前n 项和公式求得2n S ． 【详解】令21n k =-，k *∈N ，则()()2121212211122k k k k k a a ----⎡⎤=+-+-=-⎣⎦，所以2122n n a -=-；令2n k =，k *∈N ，则()()()()222212121122220k k k k k k a a -+⎡⎤=+-+-=⨯-+-=⎣⎦， 所以，数列{}n a 所有的奇数项均为0. 因此，()()()1352122142142222143n n n nS---=-++++=-=-.故答案为：212n --；()2143n -.【点睛】本题考查由数列递推关系求数列通项及前n 项和，考查运算求解及逻辑推理能力，属于中档题．三､解答题:解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.17.下表给出的是某城市2015年至2018年，人均存款x （万元），人均消费y （万元）的几组对照数据.（1）试建立y 关于x 的线性回归方程；如果该城市2019年的人均存款为1.1万元，请根据线性回归方程预测2019年该城市的人均消费；（2）计算()()221211==-=--∑∑niii nii y y R y y ，并说明线性回归方程的拟合效果.附：回归方程y a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.【答案】（1）0.6y x =，人均存款为0.66万元；（2）20.9R =，人均存款解释了90%的人均消费的变化，x 、y 具有较好的拟合效果. 【解析】 【分析】（1）由已知数据求得b 和a 的值，则线性回归方程可求，把 1.1x =代入线性回归方程，求得y 值得答案；（2）由回归方程计算得1y 、2y 、3y 、4y 的值，再由公式()()221211==-=--∑∑niii nii y y R y y 求得2R 的值，进一步说明线性回归方程的拟合效果． 【详解】（1）()41110.60.70.80.90.7544i i x x ===+++=∑，()41110.350.450.450.550.4544i i y y ===+++=∑，()()()()()410.150.10.0500.0500.150.10.03iii x x y y =--=-⨯-+-⨯+⨯+⨯=∑，()()()42222210.150.050.050.150.05ii x x =-=-+-++=∑，()()()414210.03ˆ0.60.05iii i i x x y y bx x==--∴===-∑∑，0.450.60.750a y bx =-=-⨯=， ∴所求回归直线方程为0.6y x =，当 1.1x =时，0.6 1.10.66y =⨯=，预计该国家2019年的人均存款为0.66万元； （2）由回归方程计算得，10.36y =，20.42y =，30.48y =，40.54y =， 所以，()()()()()42222210.350.360.450.420.450.480.550.540.002i ii y y =-=-+-+-+-=∑，()()()()()42222210.350.450.450.450.450.4850.550.450.02i i y y=-=-+-+-+-=∑，()()42214210.002110.90.02i i i i i y y R y y==-=-=-=-∑∑， 说明人均存款解释了90%的人均消费的变化，x 、y 具有较好的拟合效果.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，同时也考查了相关指数的计算，考查计算能力，是基础题．18.如图，在矩形ABCD 中，1AB =，3BC =，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，3FAE π∠=，06EAB πθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭. .（1）求AE ，AF （用θ表示）； （2）求EAF ∆的面积S 的最小值.【答案】（1）1cos AE θ=，06cos 6AF πθπθ⎛⎫=<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭；（2）(32. 【解析】 【分析】（1）根据1AB =，BC =，分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中，利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF 即可；（2）由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后根据θ的范围，利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.【详解】（1）在Rt ABE ∆中，1AB =，所以1cos cos AB AE EAB θ==∠，在Rt ADF ∆中，AD =，236DAF EAB πππθ∠=--∠=-，0cos 6cos 6ADAF DAFπθθ⎫∴==<<⎪∠⎝⎭- ⎪⎝⎭； （2）13sin 234cos cos 622S AE AF ππθθ=⋅==⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭32sin 23πθ===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为06πθ<<，所以22333πππθ<+<2sin 223πθ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，当232ππθ+=时，即当12πθ=时，S取最小值(32.【点睛】本题考查了正弦型函数最值和三角形的面积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中等题．19.如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，侧面11B BCC 是矩形，12BB BC =，E 为1AA 的中点，平面1ECC ⊥平面ABCD .（1）证明：1CC ⊥平面ABCD ；（2）判断二面角1B EC B --是否为直二面角，不用说明理由； （3）求二面角1B EC C --的大小. 【答案】（1）见解析；（2）是；（3）120. 【解析】 【分析】（1）连接AC 、11A C 、BD ，平面1ECC 即为平面11AAC C ，推导出BD AC ⊥，1BD CC ⊥，1CC BC ⊥，由此能证明1CC ⊥平面ABCD ；（2）二面角1B EC B --是直二面角；（3）以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出二面角1B EC C --的大小． 【详解】（1）连接AC ，11A C ，BD .平面1ECC 即为平面11C CAA ，底面ABCD 是正方形，BD AC ∴⊥.又平面1ECC ⊥平面ABCD ，平面1ECC 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，BD ∴⊥平面1ECC ，又1CC ⊂平面1ECC ，1CC BD ∴⊥，侧面11B BCC 是矩形，1CC BC ∴⊥，又BD BC B ⋂=，BD ⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，1CC ∴⊥平面ABCD ； （2）二面角1B EC B --为直二面角；（3）由（1）可知，1CC CD ⊥，1CC BC ⊥，CD BC ⊥，故以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CD 为单位长度，建立如下图所示的空间直角坐标系C xyz -，则()0,1,0B ，()1,1,1E ，()1,0,0D ，所以()1,1,1CE =，()0,1,0CB =，设平面EBC 的法向量为(),,n x y z =，则00n CB y n CE x y z ⎧⋅==⎨⋅=++=⎩，令1x =，则0y =，1z =-，则()1,0,1n =-，由（1）知，BD ⊥平面1ECC ，所以，()1,1,0BD =-是平面1ECC 的一个法向量， 于是1cos ,2n BD n BD n BD⋅<>==⋅， 由（2）知二面角1B EC C --的平面角为钝角，所以二面角1B EC C --的大小为120.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查直二面角的判断，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 在左、右顶点分别为A 、B ，左焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M 、N 两点（M 和N 均不在坐标轴上），直线AM 、AN 分别与y 轴交于点P 、Q ，直线BM 、BN 分别与y 轴交于点R 、S ，求证：RSPQ为定值，并求出该定值. 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，定值13. 【解析】 【分析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由离心率及过的点和a 、b 、c 之间的关系求出椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为1x ky k ⎛=-≠ ⎝⎭，将直线l 与椭圆C 的方程联立，设点()11,M x y ，()22,N x y ，求出两根之和及两根之积，写出AM 、AN 的方程由题意求出P 、Q 的坐标，求出PQ 的值，同理由题意求出RS 的值，进而求出比值为定值．【详解】（1）设椭圆C焦距为()20c c >，由题意，22222191412a b a b c c a ⎧+=⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得24a =，23b =，所以，椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）由（1）知，()1,0F -，()2,0A -，()2,0B由题意，直线l 不与y 轴垂直，且不过椭圆C 的上、下顶点，故可设直线l的方程为13x ky k ⎛=-≠± ⎝⎭，设()11,M x y ，()22,N x y . 由221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()2234690k y ky +--=. ()214410k ∆=+>，由韦达定理，122634k y y k +=+，122934y y k =-+. 直线AM 的方程为()()11112221y y y x x x ky =+=+++，1120,1y P ky ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 同理，2220,1y Q ky ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 所以，()()12122121212222111y y y y PQ ky ky k y y k y y -=-=+++++()()()21212222234296213434y y k y y k k k k -+-==-++++， 直线BM 的方程为()()11112223y y y x x x ky =-=---，1120,3y R ky ⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 同理，2220,3y S ky ⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 所以，()()121221212126223339y y y y RS ky ky k y y k y y -=-=---++()()()212122222346918693434y y k y y k k k k -+-==--+++， 由题意，12y y ≠，故13RS PQ =. 【点睛】考查直线与椭圆的综合应用，考查椭圆标准方程的求解，以及弦长比值为定值问题的证明，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.21.已知函数()()21x f x x ax e a R -=-+-∈. （1）讨论函数()()x g x e f x =的单调性；（2）证明：当1a >时，函数()f x 有三个零点.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()y g x =的解析式，求导，分0a <、0a =及0a >解关于导函数的不等式即可得出函数()y g x =的单调区间； （2）易知函数()y f x =的零点就是函数()y g x =的零点，结合（1）的结论以及零点存在性定理即可得证．【详解】（1）()()()211x x g x e f x e x ax ==-+-， ()()()()21211x x g x e x ax x a e x x a '∴=-++-=++-. ①当0a <时，11a -<-，当()()11,,x a -∞∞∈--+时，()0g x '>，当()1,1x a ∈--时，()0g x '<. 函数()y g x =单调递增区间为(),1a -∞-，()1,-+∞，单调递减区间为()1,1a --； ②当0a =时，11a -=-，()0g x '≥，则函数()y g x =在R 上为增函数；③当0a >时，11a ->-，当()(),11,a x -+∞∈-∞-，()0g x '>，当()1,a 1x ∈--，()0g x '<.∴函数()y g x =的单调递增区间为(),1-∞-，()1,a -+∞，单调递减区间为()1,1a --； 综上所述，当0a <时，函数()y g x =的单调递增区间为(),1a -∞-，()1,-+∞，单调递减区间为()1,1a --；当0a =时，函数()y g x =的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调减区间；当0a >时，函数()y g x =的单调递增区间为(),1-∞-，()1,a -+∞，单调递减区间为()1,1a --；（2）0x e >，∴函数()y f x =的零点就是函数()y g x =的零点，当1a >时，由（1）知函数()y g x =在(),1-∞-，()1,a -+∞上单调递增，在()1,1a --上单调递减.当(),1x ∈-∞-时，函数()y g x =单调递增，因为()2110a g e +-=->，()()1212321a g a e a a ----=++-， 令()()122321a a e a a ϕ--=++-，则()()()()()121212324321211a a a a e a a a e a a e a a ϕ------'=-++--=---=-+-，1a >，()0a ϕ'∴<，函数()y a ϕ=在()1,+∞上单调递减，()()()271110g a a eϕϕ∴--=<=-<， 所以，存在()11,1x a ∈---，使得()10g x =，所以，函数()y g x =在(),1-∞-上有1个零点1x ；当()1,a 1x ∈--，()y g x =为减函数，极小值点10x a =->，且()00g =，所以，函数()y g x =在()1,a 1x ∈--有1个零点20x =；当()1,x a ∈-+∞，函数()y g x =为增函数，()10g a -<，()10a g a e =->，∴存在()31,x a a ∈-，使得()30g x =，所以函数()y g x =在()1,a -+∞有1个零点3x . 综上，当1a >时，函数()y g x =有三个零点，即函数()y f x =有三个零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及函数的零点，考查零点存在性定理，考查分类讨论思想及逻辑推理能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线221:2C x y y +=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为42ππρθ⎫=<<⎪⎭. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点(),M ρα在曲线2C 上，直线OM 交曲线1C 于点N ，求OM ON ⋅的最小值.【答案】（1）曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的直角坐标方程为()10y x x x=+>；（2）4. 【解析】【分析】（1）由222sin x y y ρρθ⎧+=⎨=⎩可将曲线1C 的方程化为极坐标方程，在曲线2C 的极坐标方程两边平方得()22sin cos cos 1ρθθθ-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意得出OM =，2sin ON α=，然后利用换元法和三角函数关系式的恒等变换并结合基本不等式可求出OM ON ⋅的最小值.【详解】（1）将222sin x y y ρρθ⎧+=⎨=⎩代入222x y y +=得，2sin ρθ=， 所以曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=.曲线2C 的方程可化为222sin cos cos 1,42ππρθθρθθ⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()210xy x x -=>，得()10y x x x=+>， 所以2C 的直角坐标方程为()10y x x x =+>； （2）由（1）及题设条件知，OM =，2sin ON α=，其中,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα， 所以222224sin 4tan sin cos cos tan 1OM ON a ααααα⋅==--，令tan 1t α=-， 因为,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，所以tan 1α>，所以0t >， 所以()222411484816t OM ON t t t +⎛⎫⋅==++≥⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当1t =，即tan 2α=，,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα时等号成立. 所以OM ON ⋅的最小值为4.【点睛】本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中等题型．23.已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =++-+.（1）当1a b c ===时，求不等式()5f x >的解集； （2）若()f x 的最小值为1，求a b c ++的值，并求222a b c b c a++的最小值. 【答案】（1）()(),22,-∞-+∞；（2）1a b c ++=，222a b c b c a++的最小值为1. 【解析】【分析】 （1）先将1a b c ===代入函数()y f x =的解析式中，得出()111f x x x =++-+，然后分1x ≥、11x -<<、1x ≤-三种情况来解不等式()5f x >，即可得出该不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求出()y f x =的最小值，从而得到a b c ++的值，再利用基本不等式求出222a b c b c a++的最小值. 【详解】（1）当1a b c ===时，()111f x x x =++-+，于是，不等式()5f x >可化为114x x ++->.当1x ≥时，不等式化为114x x ++->，解得2x >；当11x -<<时，不等式化为()114x x +-->，即24>，无解；当1x ≤-时，不等式化为()()114x x -+-->，即24x ->，解得2x <-.综上，不等式()5f x >的解集为()(),22,-∞-+∞；（2）由绝对值三角不等式得()()()1f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++=，所以1a b c ++=.由基本不等式得22a b a b +≥=，22b c b c +≥=，22c a c a +≥=， ()2222a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++，即2221a b c a b c b c a++≥++=， 2221a b c b c a∴++≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立， 因此，222a b c b c a++的最小值为1. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2024届高三联合模拟考试数学试题东北师大附中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的考生号､姓名､考场号填写在答题卡上，2.回答选择时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}22log 2,2x A xy x B y y −==−==∣∣，则A B ⋂=（ ）A.()0,2B.[]0,2C.()0,∞+D.(],2∞− 2.已知复数iz 1i=−，则z 的虚部为（ ） A.12−B.1i 2− C.12 D.1i 2 3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x ，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ） A.16 B.13 C.12 D.234.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知28,AB BC PAD ==和QBC 均为等边三角形，若二面角P AD B −−和Q BC A −−的大小均为120︒，则该刍薨的体积为（ ）A.303B.203 9932D.4843+ 5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）种 A.8 B.10 C.16 D.20 6.已知π3cos sin 6αα⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫− ⎪⎝⎭的值是（ ） A.3 B.14− C.14 37.已知点F 为地物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为（ ）A.22B.4C.322+D.6 8.已的1113sin ,cos ,ln 3332a b c ===，则（ ） A.c a b << B.c b a << C.b c a << D.b a c <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 满足*1121,,N 1n n a na n a n +==∈+，则下列结论成立的有（ ） A.42a =B.数列{}n na 是等比数列C.数列{}n a 为递增数列D.数列{}6n a −的前n 项和n S 的最小值为6S10.已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2,M 为空间中动点，N 为CD 中点，则下列结论中正确的是（ ）A.若M 为线段AN 上的动点，则1D M 与11B C 所成为的范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.若M 为侧面11ADD A 上的动点，且满足MN ∥平面1AD C ，则点M 2C.若M 为侧面11DCC D 上的动点，且2213MB =，则点M 的轨迹的长度为23π9D.若M 为侧面11ADD A 上的动点，则存在点M 满足23MB MN +=11.已知()()()()1ln ,e 1xf x x xg x x =+=+（其中e 2.71828=为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A.()f x '为函数()f x 的导函数，则方程()()2560f x f x ⎡⎤−'+=⎣⎦'有3个不等的实数解 B.()()()0,,x f x g x ∞∃∈+=C.若对任意0x >，不等式()()2ln ex g a x g x x −+≤−恒成立，则实数a 的最大值为-1D.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()21ln 21t x x +的最大值为1e三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.622x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的常数项为__________.13.已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=−，向量c 与3a b +共线，则||b c +的最小值为__________. 14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左，右焦点分别为12,,F F P 为C 右支上一点，21122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为M ，直线PM 交x 轴于点,3N PM MN =，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为13：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为34，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为25. （1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X ，求X 的分布列及期望， 16.（本小题15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,cos cos 2cos 0a C c A b B =+−=. （1）求B ；（2）若2AC CD =，且3BD =c . 17.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面是边长为2的正方形，且6PB BC =，点,O Q 分别为棱,CD PB 的中点，且DQ ⊥平面PBC .（1）证明：OQ ∥平面PAD ； （2）求二面角P AD Q −−的大小. 18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两焦点()()121,0,1,0F F −，且椭圆C 过33,P ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交椭圆C 于,M N 两点（,M N 与,A B 均不重合），记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，且1220k k −=，设AMN ，BMN 的面积分别为12,S S ，求12S S −的取值范围18.（本小题17分） 已知()2e2e xx f x a x =−（其中e 2.71828=为自然对数的底数）.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， （2）当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由； （3）()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.五校联合考试数学答案一､单选题1-8ACADB BCD二､多选题9.ABD 10.BC 11.AC三､填空题12.60 13.211414.75四､解答题15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A ， 则()3234510P A =⨯=. （2）随机变量X 的可能取值为1，2.()()323113221171,2.534320534320P X P X ==⨯+⨯===⨯+⨯=所以X 的分布列为：X 1 2P1320 720()137272.202020E X =+⨯= 16.解：（1）1,cos cos 2cos cos cos 2cos 0a C c A b B a C c A b B =∴+−=+−=.()sin cos sin cos 2sin cos sin 2sin cos 0.A C C A B B A C B B ∴+−=+−=又()1ππ,sin sin 0,cos 23A B C A C B B B ++=∴+=≠∴=∴=.（2）2AC CD =，设CD x =，则2AC x =，在ABC 中2222141cos ,1422c x B c x c c +−==∴+−=.在ABC 与BCD 中，22222142cos ,cos ,63042x c x BCA BCD x c x x∠∠+−−==∴−−=.2321321330,0c c c c c ±+∴−−=∴=>∴=. 17.解：（1）取PA 中点G ，连接,GQ GD ∴点Q 为PB 中点，GQ ∴∥1,2AB GQ AB =. 底面是边长为2的正方形，O 为CD 中点，DO ∴∥1,2AB DO AB =. GQ ∴∥,OD GQ OD =∴四边形GQOD 是平行四边形.OQ ∴∥DG . OQ ⊄平面,PAD GD ⊂平面,PAD OQ ∴∥平面PAD .（2）DQ ⊥平面,PBC BC ⊂平面PBC DQ BC ∴⊥.又底面是边长为2的正方形，,,DC BC DQ DC D BC ∴⊥⋂=∴⊥平面DCQ .OQ ⊂平面,DCQ BC OQ ∴⊥.又CQ ⊂平面,DCQ BC CQ ∴⊥. 26,6,2,2PB QB BC QC =∴==∴=底面是边长为2的正方形，22,2DB DQ DQ CQ ∴=∴==，O 为CD 中点，OQ DC ∴⊥.又,,BC OQ DC BC C OQ ⊥⋂=∴⊥平面ABCD .取AB 中点E ，以,,OE OC OQ 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −， 则()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,2,1,2O Q A B D P −−−−所以()()()4,0,2,2,0,0,2,1,1AP AD AQ =−=−=−， 设平面PAD 法向量为(),,m x y z =，则()4200,1,020m AP x z m m AD x ⎧⋅=−+=⎪∴=⎨⋅=−=⎪⎩ 设平面QAD 法向量为(),,n x y z =，则()200,1,120n AQ x y z n n AD x ⎧⋅=−++=⎪∴=−⎨⋅=−=⎪⎩ 2cos ,2m n m n m n⋅>==⋅ 又二面角P AD Q −−范围为()0,π，所以二面角P AD Q −−的大小为π4. 18.解：（1）由题意可得：2222213314c a b c ab ⎧⎪=⎪−=⎨⎪⎪+=⎩，解得2,31a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）依题意，()()2,0,2,0A B −，设()()1122,,,M x y N x y ，直线BM 斜率为BM k .若直线MN 的斜率为0，则点,M N 关于y 轴对称，必有120k k +=，不合题意.所以直线MN 的斜率必不为0，设其方程为()2x ty m m =+≠±，与椭圆C 的方程联立223412,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得()2223463120t y tmy m +++−=，所以()22Δ48340t m=+−>，且12221226,34312.34tm y y t m y y t ⎧+=−⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩因为()11,M x y 是椭圆上一点，满足 2211143x y +=，所以2121111221111314322444BM x y y y k k x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅=⋅===−+−−−， 则12324BM k k k =−=，即238BM k k −⋅=.因为()()1221222BM y y k k x x ⋅=−−()()()()121222121212222(2)y y y y ty m ty m t y y t m y y m ==+−+−+−++−()()()()()22222222223123432334,4(2)42831262(2)3434m m m t m m t m t m m m t t −−++====−−−−−−+−++ 所以23m =−，此时22432Δ4834483099t t ⎛⎫⎛⎫=+−=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故直线MN 恒过x 轴上一定点2,03D ⎛⎫−⎪⎝⎭. 因此()12222122264,343431232.34334tm t y y t t m y y t t ⎧+=−=⎪++⎪⎨−⎪==−++⎪⎩，所以12S S −=12121212222323y y y y ⎛⎫⎛⎫−−−−−−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()22212121222833243342283399433334t t y y y y y y t ++−=−=+−==+()2228314334934t t =−++令2122118340,,34439x S S x x t ⎛⎤=∈−=−+ ⎥+⎝⎦ 当211344t =+即0t =时，12S S −86212834860,399S S x x ⎛∴−=−+ ⎝⎦19.解：（1）当0a =时，()()()2,21x x f x xe f x x e =−=+'−.()14.f e =−∴'曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 ()41242.y e x e ex e =−−−=−+（2）当12a =时，()2122x xf x e xe =−，定义域为(),∞∞−+ ()()()22122,x x x x f x e x e e e x '=−+=−−令()e 22xF x x =−−，则()2xF x e '=−，当()(),ln2,0x F x ∞∈−'<；当()()ln2,,0x F x ∞∈+'>； 所以()F x 在(),ln2∞−递减，在()ln2,∞+上递增，()min ()ln222ln222ln20F x F ==−−=−< ()()2110,260F F e e−=>=−> 存在()11,ln2x ∈−使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，()1,x x ∞∈−时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增； ()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减； ()1,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值. （3）()()()222121xx x x f x ae x e e ae x '=−+=−−，由()()21111,0,00a x f x f a aa a a+∀∈+≤+=+=≤R ，得0a <，令()e 1xg x a x =−−，则()g x 在R 上递减，0x <时，()()()e 0,1,e ,0,e 11x x xa a g x a x a x ∈∈∴=−−>−−，则()()1110g a a a ∴−>−−−=又()110g ae −−=<，()01,1x a ∃∈−−使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =−−=且当()0,x x ∞∈−时，()0g x >即()0f x '>； 当()00,x x ∞∈+时，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x ∞−递增，在()0,x ∞+递减，()002max 00()2x x f x f x ae x e ∴==−，由()000001e 10,exx x g x a x a +=−−==， 由max 1()0f x a+≤得()000000e 1e 201x x x x x e x +−+≤+即()()00011101x x x −++≤+， 由010x +<得20011,21x x −≤∴−<−，001,e x x a +=∴设()1(21)e x x h x x +=−≤<−，则()0xxh x e −=>'， 可知()h x 在)2,1⎡−⎣上递增，()((()()221221210h x h e h x h e −−≥−==<−=实数a 的取值范围是()212e ⎡⎣.。
2020年吉林省示范高中高考数学五模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−2,−1,0，1，2，3}，B ={x|log 2x <2}，则A ∩B =( )A. {2,3}B. {1,2，3}C. {0,1，2，3}D. {−2,−1,0，1，2，3}2. 已知i 为虚数单位，则2−2i1+i =( )A. −2B. −2iC. 2D. 2i3. 已知函数f(x)={2x −1,x ∈[0,1](x −b)2,x ∈(1,3)，f(52)=f(0)，则实数b =( ) A. 1B. 52C. 3D. 44. 2020年西部某县一个生态果园公司根据当地的特产开发生产了A ，B 两种不同口味的果汁饮料．现随机抽取了两种果汁饮料各10瓶(均是500mL)组成的一个样本进行了检测，得到某种添加剂指标(毫克/升)的茎叶图如图，则对这种添加剂指标的分析正确的是( )A. A 种果汁饮料添加剂指标的平均值高于B 种果汁饮料添加剂指标的平均值B. A 种果汁饮料添加剂指标的中位数高于B 种果汁饮料添加剂指标的中位数C. A 种果汁饮料添加剂指标的方差高于B 种果汁饮料添加剂指标的方差D. A 种果汁饮料添加剂指标的最小值高于B 种果汁饮料添加剂指标的最小值5. 下面是由一个实体的半圆柱从上底面向下挖去一部分后而得到的几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π66.公元四世纪的古希腊数学家佩波斯提出：蜂巢的优美形状，是自然界最有效劳动的代表．他猜想人们所见到的截面呈六边形的蜂巢，是蜜蛑采用最少量的蝉蜡建造而成的．如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的顶点称为“晶格点”，重复的算作一个“晶格点”，已知第一行有1个六边形，第二行有2个六边形，每行比上一行多一个六边形(六边形均相同)，设图中前n行晶格点数b n满足b n+1−b n=2n+5，n∈N∗，则b10=()A. 101B. 123C. 141D. 1507.已知函数y=[x]称为高斯函数，其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，如图，则输出的S值为()A. 42B. 43C. 44D. 458.定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x)=f(4−x)，当x∈[0,2]时，f(x)=x2+x，则不等式f(x)>2的解集为()A. (2k+1,2k+3)，k∈ZB. (2k−1,2k+1)，k∈RC. (4k+1,4k+3)，k∈ZD. (4k−1,4k+1)，k∈Z9.已知F(−√3,0)是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点，P为双曲线C右支上一点，圆x2+y2=a2与y轴的正半轴交点为A，|PA|+|PF|的最小值4，则双曲线C的实轴长为()A. √2B. 2C. 2√2D. 2√310.已知函数f(x)=msinx+ncosx(m,n为常数，m⋅n≠0，x∈R)在x=π4处取得最大值2√2，将f(x)的图象向左平移ℎ(ℎ>0)个单位长度以后得到的图象与函数y=ksinx(k>0)的图象重合，则k+ℎ的最小值为()A. 3π4+2√2 B. 5π4+2√2 C. 7π4+√2 D. 7π4+2√211.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2(1,0)，P(1,32)为椭圆上一点，过左顶点A作直线l⊥x轴，Q为直线l上一点，AP⊥F2Q，则直线PQ在x轴上的截距为()A. 2B. 3C. 4D. 512.已知函数f(x)=2x+ax2(a>0)在(0,+∞)上的最小值为3，直线l在y轴上的截距为−1，则下列结论正确个数是()①实数a=1；②直线l的斜率为1时，l是曲线y=f(x)的切线；③曲线y=f(x)与直线l有且仅有一个交点．A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(1,x)，b⃗ =(1,x−1)，(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，则|a⃗+b⃗ |=______．14.任意写出一个自然数n，并且按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n+1，如果n是个偶数，则下一步变成n2，依照上述规律，将5作为首项，构造一个数列{a n}，则{a n}的前20项和为______．15.2019年末至2020年初，某在线教育公司为了适应线上教学的快速发展，近5个月加大了对该公司的网上教学使用软件的研发投入，过去5个月资金投入量x(单位：百万元)和收益y(单位：百万元)的数据如下表：若y与x的线性回归方程为ŷ=3x+a，则资金投入量为16百万元时，该月收益的预报值为______百万元．16.如图，已知直三棱柱ADF−BCE，AD⊥DF，AD=DF=CD=2，M为AB上一点，四棱锥F−AMCD的体积与该直三棱柱的体积之比为512，则异面直线AF与CM所成角的余弦值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC的内角A，B，C满足(sinA+sinB)(sinA−sinB)=(sinC−sinB)sinC，△ABC的面积为10√3．(1)求sin2A；(2)sinB+sinC=13√3，求△ABC的周长．1418.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD//BC，平面PAD⊥底面ABCD，PA=PD=AD=2BC=2CD=2，M为PC上一点，PA//平面BDM．(1)求PM：MC的值；(2)求四棱锥P−ABCD外接球的半径．19.搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品．曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子；洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X依次3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A和B两个广生产，从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示：(1)依据上表，若从上述等级系数为7和8的搪瓷水杯中抽取2件，求这2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的概率；(2)如图是5位网友对两厂生产的搪瓷水杯对比评分图，根据图表，利用评分均值和标准差比较两种搪瓷水杯的评分情况，并说明理由．20.已知抛物线E：y2=2px(p>0)恰好经过等腰梯形ABCD的四个顶点，AB//CD，AD的延长线与抛物,0)．线E的准线的交点M(−12(1)求抛物线E的方程；(2)证明：BD经过抛物线E的焦点．21. 已知函数f(x)=x(lnx −a)，F(x)=x 3−x +m ，若f(x)在(e,f(e))处的切线斜率为1．(1)若f(x)<F(x)在(1,+∞)上恒成立，求m 的最小值M ； (2)当m =M ，x ∈(0,1]时，求证：f(x)>e x ⋅F(x)．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =12+tcosαy =12+tsinα，(t 为参数)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l 2的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R)．(1)设直线l 2与曲线C 1相交于不同的两点A ，B ，求AB 中点的轨迹C 2的方程； (2)设直线l 1与C 2相交于E ，F 两点，求弦长EF 的最小值．23. 已知函数f(x)=|x −3|+|2x −1|的最小值为M ；(1)求函数f(x)<4的解集；(2)若a >0，b >0，a +b =1，求证：4a +14b ≥M 2．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={−2,−1,0，1，2，3}，B ={x|0<x <4}， ∴A ∩B ={1,2，3}． 故选：B ．可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了列举法、描述法的定义，对数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：2−2i1+i =2(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=2(12−2i +i 2)12−i2 =2×(−2i)2=−2i ． 故选：B ．利用复数代数形式的运算法则，计算即可． 本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)={2x −1,x ∈[0,1](x −b)2,x ∈(1,3)，则f(0)=20−1=0，f(52)=(52−b)2， 若f(52)=f(0)，则(52−b)2=0，解得b =52． 故选：B ．由函数的解析式，可得f(0)与f(52)的值，从而得到(52−b)2=0，然后求出b 的值． 本题考查分段函数的求值，关键是求出f(0)与f(52)的值，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：A、B种果汁饮料添加剂指标集中在以4为茎的茎上，A种果汁饮料添加剂指标集中在以2为茎的茎上，A错误；B、A种果汁饮料添加剂指标的中位数为23.5，B种果汁饮料添加剂指标的中位数为31.5，B错误；C、A种果汁饮料添加剂指标数据比较集中，而B种果汁饮料添加剂指标数据比较分散，所以B种果汁饮料添加剂指标的方差要大一些，C错误：故D正确．故选：D．根据茎叶图中提供的数据，结合平均数，中位数，方差的计算方法进行判断．本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了中位数与平均数的应用问题，是基础性题目．5.【答案】C【解析】解：根据题意，半圆柱挖去一个半圆锥，半圆柱的体积为12×2π=π，半圆锥的体积为13×π2×2=π3，所以该几何体的体积为π−π3=2π3．故选：C．判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．6.【答案】C【解析】C【解析】∵b n+1−b n=2n+5，n∈N∗，则(b n+2−b n+1)−(b n+1−b n)=2，所以数列{b n+1−b n}是以7为首项，2为公差的等差数列，当n≥2时，b n=b1+(b2−b1)+(b3−b2)+⋯+(b n−b n−1)=6+7+9+⋯+(2n+3)=6+(7+2n+3)(n−1)2=n2+4n+1，所以b10=141．故选：C．由题中已知易发现{b n+1−b n}是一个等差数列，并且b n可以用新数列的前n项和进行表示，进而求解．本题考查新数列的构造及前n项和的应用，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：当0<i<3时，log3i=0；3≤i<9时，log3i=1；9≤i<27时，log3i=2；i=27时，log3i=3，所以S=6×1+18×2+3=45．故选：D．模拟执行程序的运行过程，得出输出的结果是累加计算s的值．本题考查了程序框图的运行过程与累加求和问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f(x)为偶函数且满足f(x)=f(4−x)，则f(x+4)=f(4−x−4)=f(−x)= f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数，当x∈[0,2]时，f(x)=x2+x，此时若f(x)>2，则有x2+x>2，解可得x>1或x<−2，则有1<x≤2，又由f(x)满足f(x)=f(4−x)，则函数f(x)的图象关于直线x=2对称，则区间[2,4]上，f(x)>2⇒2<x< 3，则在区间[0,4]上，f(x)>2⇒1<x<3，又由f(x)的周期为4，不等式f(x)>2的解集为(4k+1,4k+3)，k∈Z；故选：C．根据题意，分析可得f(x)是周期为4的周期函数，结合函数的解析式分析不等式f(x)>2的解集，结合函数的周期性，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意，A(0,a)，设F′为双曲线的右焦点，则|PF|=2a+|PF′|，F(−√3,0)，F′(√3,0)．∴|PA|+|PF|=|PA|+2a+|PF′|=2a+(|PA|+|PF′|)≥2a+|AF′|=2a+√3+a2，三点P，A，F′共线时取等号．所以2a+√3+a2=4，解得a=1，故实轴长为2．故选：B．设F′为双曲线的右焦点，得到|PF|=2a+|PF′|，通过|PA|+|PF′|≥|AF′|=√3+a2，三点P，A，F′共线时取等号．求出a，即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．10.【答案】D【解析】解：由函数f(x)=msinx +ncosx =√m 2+n 2 sin(x +φ)，其中，tanφ=nm ， 在x =π4处取得最大值2√2， ∴√22(m +n)=√m 2+n 2，解得m =n =2，∴函数f(x)=2sinx +2cosx =2√2sin(x +π4).故把f(x)的图象向左平移ℎ(ℎ>0)个单位长度以后， 得到函数解析式为f(x)=2sinx +2cosx =2√2sin(x +ℎ+π4). 根据得到的图象与函数y =ksinx(k >0)的图象重合， ∴k =2√2，且ℎ+π4=2tπ，t ∈Z ， 求得k =2√2，ℎ=7π4，故k +ℎ的最小值为2√2+7π4，故选：D ．由题意利用正弦函数的图象和性质，求出m 、n 的值，可得f(x)的解析式，再利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得k 和h 的值，可得k +ℎ的最小值．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：由题意，得{1a +94b =1a 2−b 2=1，解得{a 2=4b 2=3，∴A(−2,0)，F 2(1,0)， ∴直线AP 的斜率k AP =321+2=12． 又AP ⊥F 2Q ，∴k AP ⋅k F 2Q =−1，即k F 2Q =−1k AP=−2，∴直线F 2Q 的方程y =−2(x −1)， 联立{y =−2(x −1)x =−2，得交点Q(−2,6)，∴P 、Q 两点连线的斜率k PQ =−32． ∴PQ 的直线方程为y −32=−32(x −1)， 令y =0，得x =2．故直线PQ 在x 轴上的截距为2， 故选：A ．由已知列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 的值，得到A ，F 2的坐标，求得直线F 2Q 的方程，进一步求解Q 的坐标，得到PQ 的方程，则答案可求．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】B【解析】解：因为f(x)=2x +ax 2的导数为f′(x)=2−2a x3=2(x3−a)x 3，当0<x <√a 3，f′(x)<0，f(x)递减；x >√a 3时，f′(x)>0，f(x)递增．可得f(√a 3)为最小值，且为3，即2√a 3+√a3=3，解得a =1，故①正确； 设切点A 为(m,2m +1m 2)，又因为f′(x)=2−2x 3，所以2−2m 3=1，解得m =√23，由切线方程y =x −1可得切点为(√23,√23−1)，代入f(x)=2x +1x 2不成立，所以直线l 不是曲线y =f(x)的切线，故②错误；又设直线l ：y =kx −1，则曲线y =f(x)与直线l 的交点个数等价为方程2x +1x 2=kx −1的根的个数． 由2x +1x 2=kx −1可得k =2+1x +1x 3， 令t =1x ，可得k =t 3+t +2，t ∈R ，t ≠0，设ℎ(t)=t 3+t +2，t ∈R ，ℎ′(t)=3t 2+1>0，所以ℎ(t)在R 上递增，且ℎ(t)∈R ， 而方程k =t 3+t +2，t ∈R ，t ≠0，所以当k =ℎ(0)=2时，k =t 3+t +2无实数根；当k ≠2时，k =t 3+t +2有且只有一个根． 故k =2时，曲线y =f(x)与直线l 没有交点；而当k ≠2时，曲线y =f(x)与直线l 有且只有一个交点．故③错误． 故选：B ．求得f(x)的导数，以及单调区间，可得最小值，解方程可得a ，可判断①；设切点A 为(m,2m +1m 2)，可得切线的斜率，解方程可得切点，可判断②；设直线l ：y =kx −1，运用函数与方程的关系，以及构造函数法，求得导数和单调性、值域，讨论可判断③．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、最值，以及函数方程的关系，考查方程思想和运算能力，以及推理能力，属于中档题．13.【答案】√5【解析】解：根据题意，向量a ⃗ =(1,x)，b ⃗ =(1,x −1)，若(a ⃗ −2b ⃗ )⊥a ⃗ ，则(a ⃗ −2b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =1+x 2−2(1+x 2−x)=0，解可得x =1，则(a ⃗ +b ⃗ )=(2,−1)，则|a ⃗ +b ⃗ |=√5； 故答案为：√5．根据题意，由向量垂直与数量积的关系可得(a ⃗ −2b ⃗ )⋅a ⃗ =a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =1+x 2−2(1+x 2−x)=0，解可得x 的值，即可得(a ⃗ +b ⃗ )的坐标，进而计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量模的分析计算，属于基础题．14.【答案】70【解析】解：因为a 1=5，a 2=16，a 3=8，a 4=4，a 5=2，a 6=1，a 7=4， 所以从第4项开始，数列{a n }是周期为3的数列， 所以前20项和为5+16+8+7×5+4+2=70． 故答案为：70．按照规律，写出首项为5的数列{a n }的前几项，通过观察找出规律，即可求解．本题主要考查归纳推理的应用，找出数列的规律是解决本题的关键，考查学生的推理能力．15.【答案】56.04【解析】解：由题意得，x −=2+4+8+10+125=7.2，14.21+20.31+31.18+37.83+44.675=29.64，所以a =y −−b ̂x −=29.64−3×7.2=8.04．所以y 关于x 的回归方程为y ̂=3x +8.04．把x =16代入回归方程得y ̂=3×16+8.04=56.04，故预报值为56.04百万元． 故答案为：56.04．求出样本中心，代入回归直线方程，求出a ，代入x =16，得到预报值即可． 本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．16.【答案】2√25【解析】【分析】本题考查了棱柱和棱锥的体积公式，异面直线所成角的定义及求法，余弦定理，考查了计算能力，属于中档题．可设AM=x，根据题意即可得出2(x+2)34=512，解出x=12，然后过点M作MN//BE，交EF于点N，并连接CN，从而得出∠CMN为异面直线AF与CM所成角，然后在△CMN中，根据余弦定理即可求出cos∠CMN的值．【解答】解：设AM=x，因为V F−AMCD=13×12×(x+2)×2×2=2(x+2)3，V ADF−BCE=4，所以2(x+2)34=512，解得x=12，如图，过M作MN//BE，交EF于点N，连接CN，则∠CMN为异面直线AF与CM所成角，因为CM=CN=52，MN=2√2，解三角形可得：cos∠CMN=254+8−2542×52×2√2=2√25．故答案为：2√25．17.【答案】解：(1)设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵(sinA+sinB)(sinA−sinB)=(sinC−sinB)sinC，可得(a+b)(a−b)=(c−b)c，化简可得，b2+c2−bc=a2，由余弦定理可得，cosA=b2+c2−a22bc =12，∵0<A<π，∴A=π3，∴sin2A =√32． (2)因为sinB +sinC =13√314，b sinB =c sinC =asinA =2R ，所以b +c =13√314⋅2R =13a 7．由10√3=12bcsinA ， ∴bc =40，因为b 2+c 2−bc =a 2， ∴(b +c)2−3bc =a 2， ∴(13a 7)2−120=a 2，∴a =7，所以△ABC 的周长为7+13=20．【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式可得b 2+c 2−bc =a 2，由余弦定理可得cos A 的值，结合范围0<A <π，可求A ，进而可求sin2A 的值． (2)利用正弦定理化简已知等式可得b +c =13a 7，利用三角形的面积公式可求bc =40，结合余弦定理可求a 的值，即可得解三角形的周长．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)如图，连接AC 交BD 于点N ，连接MN ，因为平面PAC ∩平面BDM =MN ，PA//平BDM ，所以PA//MN ，所以PMMC =ANNC ． 又因为△BCN∽△DAN ， 所以ADBC =ANNC =2，故PM MC =2．(2)根据题意，取AD 的中点O ，连接PO ，因为△PAD 为等边三角形，所以PO ⊥AD ，PO =√3． 因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD ∩底面ABCD =AD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．设△PAD 的重心为G ，则GO 平面ABCD ， AG =DG =PG =2√33．解等腰梯形ABCD，可得O为梯形ABCD外接圆的圆心，所以OD=OA=OB=OC=1，所以GD=GA=GB=GC=2√33，故G为四棱锥P−ABCD外接球球心，半径为2√33．【解析】(1)连接AC交BD于点N，连接MN，由已知线面平行转化线线平行，然后结合平行线分线段成比例即可求解；(2)根据题意，取AD的中点O，连接PO，由已知平面几何知识及线线垂直与线面垂直的相互转化关系可确定球心的位置，进而可求．本题主要考查了平行关系的相互转化，垂直的判断及性质的应用及三棱锥外接球半径的求解，属于中档试题．19.【答案】解：(1)设等级系数为7的搪瓷水杯为A，B，C，等级系数为8的搪瓷水杯为a，b，c，则从中抽取2件的基本事件为(A,B)，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,C)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(C,a)，(C,b)，(C,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)，共15种；其中2件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的基本事件为(a,b)，(a,c)，(b,c)，共3种，所以P=315=15，(2)因为x B−=(4+6+7+8+9)÷5=6.8，所以B厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.8，标准差为S=1.72，所以B厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为1.72，因为x A−=(5+6+6.5+7+8)÷5=6.5，所以A厂生产的搪瓷水杯的评分平均分为6.5，S=1，所以A厂生产的搪瓷水杯的评分标准差为S=1，综上，B 厂生产的糖瓷水杯的评分的均值较高； A 厂生产的搪瓷水杯的评分的标准差较小，比较稳定．【解析】(1)设等级系数为7的搪瓷水杯为A ，B ，C ，等级系数为8的搪瓷水杯为a ，b ，c ，列出所有的基本事件以及满足条件的事件，求出概率即可； (2)分别求出A ，B 的平均数和标准差，判断即可．本题考查了列举法求概率问题，考查平均数以及标准差问题，是一道常规题．20.【答案】(1)解：根据题意，M(−12,0)为抛物线E 的准线与对称轴的交点，∴p 2=12，则p =1，∴抛物线E 的方程为y 2=2x ；(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 1,−y 1)，D(x 2,y 2)， 设直线AD 的方程为y =k(x +12)，联立方程组{y =k(x +12)y 2=2x ，得k 2x 2+(k 2−2)x +k 24=0，∴x 1x 2=14且0<x 1<x 2，∴x 1<12<x 2．设BD 与x 轴的交点坐标为(n,0)(n >0)，直线BD 的方程为y =−y 1x 1−n(x −n)，与方程y 2=2x 联立，得y 12(x1−n)2x 2−(2y 12n (x 1−n)2+2)x +y 12n 2(x 1−n)2=0． 解得x 1x 2=n 2，∴n 2=14，即n =12． 故BD 经过抛物线E 的焦点．【解析】(1)由已知可得M 为抛物线E 的准线与对称轴的交点，从而求得p ，则抛物线方程可求； (2)分别设出A ，B ，D 的坐标，再设出AD 的方程，由抛物线方程联立，利用根与系数的关系可得A ，D 横坐标的乘积，设BD 的方程，与抛物线方程联立，再由根与系数的关系可得BD 与x 轴的交点的横坐标，则结论得证．本题考查抛物线方程的求法，考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意，f′(x)=lnx −a +1，∴f′(e)=lne −a +1=1，∴a =1，.………(1分)所以f(x)=x(lnx −1)，又f(x)<x 3−x +m ⇔m >xlnx −x 3， 令g(x)=xlnx −x 3，则ℎ(x)=g′(x)=1+lnx −3x 2，所以ℎ′(x)=1x−6x =1−6x 2x，.…………………………(3分)∵当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(1,+∞)上是减函数， ∴ℎ(x)<ℎ(1)=−2<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1,+∞)上是减函数， ∴g(x)<g(1)=−1，∴m 的最小值M =−1.………………………………(5分) (2)由(1)知，函数f(x)=x(lnx −1)，x ∈(0,1)，则f′(x)=lnx ， 当x ∈(0,1)时，f′(x)<0.故函数f(x)在(0,1)上单调递减． 所以f(x)>f(1)=−1.……………………………………(6分) 设函数G(x)=e x ⋅F(x)=(x 3−x −1)e x ， 则G′(x)=(x 3+3x 2−x −2)e x ．设函数p(x)=x 3+3x 2−x −2，则p′(x)=3x 2+6x −1，p′(x)在(0,1)上单调递增．当x ∈(0,1)时，p′(0)⋅p′(1)=−8<0，故存在x 0∈(0,1)，使得p′(x 0)=0，.………………(8分) 从而函数p(x)在(0,x 0)上单调递减；在(x 0,1)上单调递增． 当x ∈(0,x 0)时，p(x 0)<p(0)=−2． 当x ∈(x 0,1)时，p(x 0)<0，p(1)>0，故存在x 1∈(0,1)，使得G′(x 1)=0，.………………………………(10分) 即当x ∈(0,x 1)时，G′(x)<0，当x ∈(x 1,1)时，G′(x)>0， 从而函数G(x)在(0,x 1)上单调递减；在(x 1,1)上单调递增． 因为G(0)=−1，G(1)=−e ， 故当x ∈(0,1)时，G(x)<G(0)=−1，所以f(x)>e x ⋅F(x).…………………………(12分)【解析】(1)根据切线斜率求出a 的值，问题转化为m >xlnx −x 3，令g(x)=xlnx −x 3，根据函数的单调性求出M 即可；(2)代入M 的值，根据函数的单调性分别求出f(x)的最小值和G(x)=e x ⋅F(x)的最大值，证明结论即可． 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)将{x =ρcosθy =ρsinθ代入方程ρ=4cosθ，得x 2+y 2−4x =0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，中点M(x 0,y 0)， 则直线l 2普通方程为y =kx(k =tanθ0)， ∴(1+k 2)x 2−4x =0， ∴x 1+x 2=11+k 2，∴x 0=x 1+x 22=21+k 2，y 0=2k1+k 2．消去k ，得C 2的方程为(x −1)2+y 2=1(x ≠0)． (2)根据题意，直线l 1过定点(12,12)，且在C 2的内部． (12+tsinα−1)2+(12+tsinα)2=1， 整理可得t 2+(sinα−cosα)t −12=0，所以|EF|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√3−sin2α≥√2． 当α=π4时等号成立， 故弦长|EF|的最小值为√2．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程之间进行转换，再根据条件求出C 2的方程．(2)利用直线和曲线的位置关系，将问题转换为一元二次方程根和系数关系式，再求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】(1)解：①当x ≥3时，解x −3+2x −1<4，得x <83(无解)，②当12<x <3时，解3−x +2x −1<4，得12<x <2； ③当x ≤12时，解3−x +1−2x <4，得0<x ≤12； 综合①②③得：不等式f(x)<4的解集为(0,2)． (2)证明：由(1)知，当x =12，f(x)min =52=M ， 因为a >0，b >0，a +b =1， 则4a +14b =(a +b)(4a +14b )=4+14+4b a +a 4b ≥174+2√4b a ⋅a 4b =254=M 2，故4a +14b ≥M 2，当且仅当a =45，b =15时，等号成立．【解析】(1)去绝对值，分类讨论可求f(x)<4的解集．(2)由(1)可得f(x)min =52=M ，由a +b =1，可得4a +14b =(a +b)(4a +14b )，利用基本不等式可证得结论． 本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．。
2020年吉林省长春市东北师范大学附属中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知幂函数的图像经过（9，3），则=A.3B.C.D.1参考答案：C设幂函数为，则，即，所以，即，所以，选C.2. 命题：若，则是的充分不必要条件；命题：函数的定义域是，则 ( )A．“或”为真 B．“且”为真 C．真假 D．假假参考答案：A3. 则的值为参考答案：C4. 若的图象必不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限参考答案：B5. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种参考答案：D考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，有=1种结果，当取得4个奇数时，有=5种结果，当取得2奇2偶时有=6×10=60∴共有1+5+60=66种结果，故选D点评：本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题．6. 右图是一个几何体的三视图，则该几体的侧面积是（）A．12 B．18 C．24 D．30参考答案：D略7. P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心参考答案：答案：D8. 若集合P=，，则集合Q不可能是（）＞参考答案：D9. 已知全集U={l，2，3，4，5，6}，集合A={l，2．4：6}，集合B={l，3，5}，则（）A．{l,2,3,4,5,6} B．{1，2,4,6} C．{2,4,6} D．{2,3,4,5,6}参考答案：10. 已知，则的值为 ( )A． B． C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 实数满足不等式组，则的取值范围是_______________.参考答案：略12. 已知的导函数为.若，且当时，，则不等式的解集是 .参考答案：令，则由，可得，故为偶函数，又当时，即，所以在上为增函数.不等式可化为，所以有，解得.13. 已知，，那么的值是_参考答案：14. 已知函数在区间内恰有9个零点，则实数的值为参考答案：由，得，即．设，令，则．考察的函数的零点个数，即如下图所示为，的图象，易知：（1）方程的一个根为1，另一个根为时，在内有三个零点，此时，解得；（1）方程的一个根为－1，另一个根为时，在内有三个零点，此时，解得．综上可知当时，在内有3个解．再由可知，．综上可知，．15. 若圆关于直线对称，由点向圆作切线，切点为，则线段的最小值为．参考答案：316. 在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点的概率为．参考答案：考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据f（x）有极值，得到f'（x）=0有两个不同的根，求出a、b的关系式，利用几何概型的概率公式即可的得到结论解答：解：在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点则f′（x）=x2+2mx﹣（n2﹣π）=0有两个不同的根，即判别式△=4m2+4（n2﹣π）＞0，即m2+n2＞π对应区域的面积为4π2﹣π2．如图∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=．故答案为：．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键17. 给定区域:,令点集是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______条不同的直线.参考答案：画出可行域如图所示,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,,,及共个整点.故可确定条不同的直线.三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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理科数学
本试卷共8页．本试卷满分150分，考试时间为120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合{}260,{21,}A x x x B x x k k Z =--≤==-∈，则A
B =（ ） A. {1,1}-
B. {1,3}
C. {1,1,3}-
D. {1,3}- 【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合一元二次不等式的解法可得{}23A x x =-≤≤，再由集合交集的概念即可得解.
【详解】由题意{}()(){}{}
26032023A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤， 所以{}{}{}2321,1,1,3A B x x x x k k Z ⋂=-≤≤⋂=-∈=-.
故选：C.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合交集的运算与运算求解能力，属于。
名校精编卷 第1页（共6页） 名校精编卷 第2页（共6页） 东北师范大学附属中学 高三第五次模拟考试数学（文科）试题 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．已知复数 ，若，则= A ． 2 B ． C ． D ． 5 2．已知集合，则 A ． B ． C ． D ． 3．已知向量,满足，，，则 A ． B ． C ． D ． 4．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部尺，重斤，尾部尺，重斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．” A ． 6斤 B ． 7斤 C ． 斤 D ． 斤 5．在区间上随机取两个数x ，y ，记P 为事件“”的概率，则 A ． B ． C ． D ．6．在中，则 A ． B ． C ． D ． 7．已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是 A ． B ． C ． D ． 8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为 A ． B ． C ． D ． 9．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的值的取值范围是 A ． 或 B ． C ． 或 D ． 或 10．已知双曲线方程为，它的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 A ． B ． C ． D ． 11．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，若线段的长分别为，则的最小值是此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号A． 10 B． 9 C． 8 D． 712．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A． B． C． D．二、填空题13．已知，则__________．14．已知实数满足则的最小值为_____ .15．棱长均为的直三棱柱的外接球的表面积是 _________．16．已知函数，①当时，有最大值；②对于任意的，函数是上的增函数；③对于任意的，函数一定存在最小值；④对于任意的，都有．其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题17．已知数列的前项和，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．18．长春市统计局对某公司月收入在元内的职工进行一次统计，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示职工月收入在区间内，单位：元）.（Ⅰ）请估计该公司的职工月收入在内的概率；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数.19．如图，四棱锥中，平面底面，△是等边三角形，底面为梯形，且，∥，.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求到平面的距离.20．已知椭圆的离心率为，点在上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且，求证：为定值．21．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；好教育云平台名校精编卷第3页（共6页）好教育云平台名校精编卷第4页（共6页）（Ⅲ）求证：.22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C:为参数）和定点，，是曲线C的左，右焦点.（Ⅰ）求经过点且垂直于直线的直线的参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.23．已知函数（）．（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）若，证明．名校精编卷第5页（共6页）名校精编卷第6页（共6页）东北师范大学附属中学高三第五次模拟考试数学（文科）试题数学答案参考答案1．C【解析】【分析】首先求得x,y的值，然后求解复数z的模即可.【详解】由复数相等的充分必要条件有：，即，则，.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．B【解析】【分析】首先求得集合A，然后逐一考查所给选项是否正确即可.【详解】求解一元二次不等式可得，据此可知，选项A错误；，选项B正确；集合AB之间不具有包含关系，选项CD错误；本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的包含关系，交集、并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．A【解析】【分析】由题意结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：，则.本题选择A选项.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．4．D【解析】【分析】将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可.【详解】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.由等差数列的性质可知：，则，即中间三尺共重斤.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．D【解析】【分析】由题意结合几何概型计算公式求解满足题意的概率值即可.好教育云平台名校精编卷答案第1页（共18页）好教育云平台名校精编卷答案第2页（共18页）【详解】如图所示，表示的平面区域为，平面区域内满足的部分为阴影部分的区域，其中，，结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为.本题选择D选项.【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.6．A【解析】【分析】由题意结合正弦定理首先求得b的值，然后利用余弦定理求解c的值即可.【详解】由正弦定理可得，且，由余弦定理可得：.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．7．B【解析】【分析】首先求得的值，然后结合三角函数的性质和图象确定的值即可.【详解】由函数的最小正周期公式可得：，则函数的解析式为，将的图象向右平移个单位长度或所得的函数解析式为：，函数图象关于轴对称，则函数为偶函数，即当时：，则，①令可得：，其余选项明显不适合①式.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的平移变换，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构，然后求解其表面积即可.好教育云平台名校精编卷答案第3页（共18页）好教育云平台名校精编卷答案第4页（共18页）【详解】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为，圆锥的高，其母线长，则该几何体的表面积为：.本题选择C选项.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．9．C【解析】由题意知，该程序的功能是求函数的值域．①当时，在区间上单调递增，∴，即；②当时，，当且仅当，即时等号成立．综上输出的值的取值范围是或．选C．10．A【解析】方法一：双曲线的渐近线方程为，则，圆的方程，圆心为，所以，化简可得，则离心率.方法二：因为焦点到渐近线的距离为，则有平行线的对应成比例可得知，即则离心率为. 选A.11．B【解析】【分析】由题意结合抛物线焦点弦的性质结合均值不等式的结论求解的最小值即可.【详解】由抛物线焦点弦的性质可知：，则，当且仅当时等号成立.即的最小值是9.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查抛物线焦点弦的性质，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．D【解析】【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数的取值范围即可.【详解】不等式即，好教育云平台名校精编卷答案第5页（共18页）好教育云平台名校精编卷答案第6页（共18页）结合可得恒成立，即恒成立，构造函数，由题意可知函数在定义域内单调递增，故恒成立，即恒成立，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增；则的最小值为，据此可得实数的取值范围为.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．1【解析】【分析】原式分母看作“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将的值代入计算即可求出值.【详解】，原式.故答案为：1.【点睛】(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角α的弦切互化．(2) 注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.14．【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分，将化为，作出直线并平移，使之经过可行域，易知经过点时，纵截距最小，此时。
