实数集与函数.

第一章 实数集与函数习题§1实数1、 设a 为有理数，x 为无理数。

证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。

2、 试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。

3、 设a 、b ∈R 。

证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。

4、 设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。

5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。

6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。

证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。

你能说明此不等式的几何意义吗？7、 设x>0，b>0，a ≠b 。

证明x b x a ++介于1与ba 之间。

8、 设p 为正整数。

证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。

9、 设a 、b 为给定实数。

试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。

§2数集、确界原理1、 用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6； （3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）；（4）sinx ≥22。

2、 设S 为非空数集。

试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。

3、 试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。

4、 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n21，n ∈+N }。

第一章 实数集与函数知识脉络1．实数的构成，正规表示；2. 实数的不足近似和过剩近似的求法；3 确界的定义以及利用确界的定义证明数集的确界问题；4. 复合函数的定义，会求给定函数的复合函数，将给定的复合函数进行分解；5.函数的特性：有界性、单调性、奇偶性、周期性；6. 初等函数的定义，会判断一个函数是否是初等函数。

一、填空题1． 若)(x f 的定义域为[]4,0，则函数)1()1()(-++=x f x f x g 的定义域为____ _____；2．函数 2112++-=x x y 的定义域是 ； 3．函数 xx y 1arctan 3+-= 的定义域是 ； 4．212arccos x x y +=的定义域是 ，值域是 ； 5．设⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤<≤-=31 1-10 201 2)(x x x x x f x ，则)(x f 的定义域是 ，=)0(f ，)1(f = ；6．设⎩⎨⎧<≤+<<-=20102 sin )(2x x x x x f ，则=)2(πf ； 7．设)(x f y =的定义域是]1,0[，则)(2x f 的定义域是 ；8．若xx f -=11)(，则=)]([x f f ，=)]}([{x f f f ； 9．若31)1(22++=+x x x x f ，则=)(x f ； 10.设函数 53)1(2++=+x x x f ，则 )(=x f ；11．设函数, 1)(, ln 1)(+=+=x x g x x f 则=)]([x g f ；12.设x e x f =)(，[]21)(x x g f -=，则=)(x g _____ __；13．设 24 1 , 1() 2 , 1x x x f x x x ⎧++≥=⎨+<⎩ ，则 )4(+x f = ；14．设 , cos )(, )(2)(x a x e x f a x +==-ϕ则 =)]([x f ϕ ；15．函数 1 , 1≥-=x x y 的反函数是 ；16．函数11+-=x x y 的反函数是 ； 17．函数 2tan 32sin 2x x y += 的周期是 ； 18．把函数 32arcsin ln x y = 分解为简单函数 ；二、选择题1．点0x 的)0(>δδ邻域是区间（ ）． )(A ], [00δδ+-x x )(B (δδ+-00, x x ］)(C ［δδ+-00, x x ) )(D 00(,)x x δδ-+2．函数)1lg(1-=x y 的定义域是（ ）． )(A (1, )+∞ )(B ) , 1()1 , 0(∞+)(C ) , 2()2 , 0(∞+ )(D ) , (22) , 1(∞+3．设11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，则{[()]}f f f x =（ ）． )(A 0 )(B 1 )(C ()f x )(D 0111x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩ 4．cos ()sin (R)x f x x x e x =∈是（ ）)(A 有界函数 )(B 单调函数 )(C 周期函数 )(D 偶函数5．若2)1()1(xx xf +=，则=)(x f （ ）． )(A 2)1(+x x )(B 2)1(x x + )(C 2)1(x + )(D 2)1(x - 6．如果)1,0( log ,2≠>==a a x u u y a ，则将y 表示成x 的函数是（ ）)(A 2log x a )(B x a 2log )(C x a log 2 )(D x a 2log7．下列函数不是周期函数的是（ ）)(A sin x )(B ()D x )(C sin ()x D x + )(D []x8．下列的叙述正确的是（ ）)(A 有限数集必有确界，并且确界一定属于这个数集)(B 周期函数的定义域一定是实数集 )(C x 不是初等函数)(D 若定义在区间I 上的函数()f x 不单调，必存在子区间*I I ⊂，使()f x 在*I 上单调三、试解下列各题1．（浙江师范大学2006年）证明不等式111a b a b a b a b+≤+++++ 2. 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： ⑴{}22S x x =<； ⑵{}!,S x x n n +==∈N ； ⑶{}(0,1)S x x =为内的无理数； ⑷11,2n S x x n +⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭N 3．S 为非空有下界数集，证明: inf S S ξ=∈的充要条件是min S ξ=.4．设S 为非空数集，定义{}S x x S -=-∈，证明inf sup S S -=-；5．设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集{},,A B z z x y x A y B +==+∈∈， 证明：⑴sup()sup sup A B A B +=+，⑵inf()inf inf A B A B +=+6. 证明21()f x x=为(0,1)上的无界函数： 7.设()f x 在区间I 上有界，记sup (),inf ()x I x I M f x m f x ∈∈==，证明,sup ()()x x If x f x M m '''∈'''-=-。

第一章 实数集与函数教学进度：使用六个学时 一 .实数1．实数集的元素构成：有理数与无理数。

有理数是可以用分数形式),(互素q p qp 表示的数，或者也可以说可用有限小数或无限的循环小数来表示；无限的不循环小数则称为无理数。

2．任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。

举例： 917291792182&L L ...==L L 00000.= 978&.−=−3．如何定义两个实数的大小定义1 ，为两个非负的实数，若L L n a a a x 10.=L L n b b b y 10.=1），则称x,y 相等，记为),,,,(,L L n k b a k k 10==y x =。

2）若或00b a >),,(..,l k b a t s l k k L 10==∃而，则称x 大于y ，记为11++>l l b a .y x > 下面会给出通过有限小数来比较实数大小的等价条件，先来介绍一个概念。

定义2 设是一个非负实数。

称有理数L L n a a a x 10.=n n a a a x L 10.=为x 的n 位不足近似，而有理数n n n a a a x 10110+=L . 位x 的n 位过剩近似， .,,L 10=n 举例 的0位，1位，2位，3位的不足近似是5，5.1, 5.17, 5.178 ; 0位，L 178965.1位，2位，3位的过剩近似是：6，5.2, 5.18, 5.179. 从这个例子可以看出：不足近似是递增的，过剩近似是递减的。

对于负实数又是如何定义不足与过剩近似？对于负实数L L n a a a x 10.−=，注 1.n n x x x ≤≤2.实数x 的n 位不足近似随着n 的增大不减；实数x 的n 位过剩近似n x n x 随着n 的增大不增。

命题 设，为两个实数，则L L n a a a x 10.=L L n b b b y 10.=y x >的等价条件是：存在非负整数n ，使得.n n y x >因此就不在此叙述。

第一章实数集与函数§1 实数数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数.为此, 我们先简要叙述实数的有关概念.一实数及其性质在中学数学课程中, 我们知道实数由有理数与无理数两部分组成.有理数可用分数形式p( p、q 为整数, q≠0 ) 表示, 也可用有限十进小数或无限十进循环q小数来表示; 而无限十进不循环小数则称为无理数.有理数和无理数统称为实数.为了以下讨论的需要, 我们把有限小数( 包括整数) 也表示为无限小数.对此我们作如下规定: 对于正有限小数( 包括正整数) x , 当x = a0 . a1 a2 a n 时, 其中0≤a i ≤9 , i = 1 , 2 , , n , a n ≠0 , a0 为非负整数, 记x = a0 . a1 a2 ( a n - 1) 999 9 ,而当x = a0 为正整数时, 则记x = ( a0 - 1 ) .999 9 ,例如2 .001 记为2.000 999 9 ; 对于负有限小数( 包括负整数) y , 则先将- y 表示为无限小数, 再在所得无限小数之前加负号, 例如- 8 记为- 7.999 9 ; 又规定数0 表示为0.000 0 .于是, 任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.我们已经熟知比较两个有理数大小的方法.现定义两个实数的大小关系.定义1 给定两个非负实数x = a0 . a1 a2 a n , y = b0 .b1 b2 b n ,其中a0 , b0 为非负整数, a k , b k ( k = 1 , 2 , ) 为整数, 0≤a k ≤9 , 0≤b k ≤9 .若有a k =b k , k = 0 , 1 , 2 , ,则称x 与y 相等, 记为x = y; 若a0 > b0 或存在非负整数l , 使得a k =b k ( k = 0 , 1 , 2 , , l ) 而a l + 1 > b l + 1 ,则称x 大于y 或y 小于x , 分别记为x > y 或y < x .2 第一章实数集与函数对于负实数x , y, 若按上述规定分别有- x = - y 与- x > - y , 则分别称x = y 与x < y( 或y > x) .另外, 自然规定任何非负实数大于任何负实数.以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件.为此, 先给出如下定义.定义 2 设x = a0 . a1 a2 a n 为非负实数.称有理数x n = a0 . a1 a2 a n为实数x 的n位不足近似, 而有理数x n = x n + 称为x 的n位过剩近似, n = 0 , 1 , 2 , . 1 10 n对于负实数x = - a0 .a1 a2 a n , 其n 位不足近似与过剩近似分别规定为1x n = - a0 .a1 a2 a n - n 与x n = - a0 .a1 a2 a n .10注不难看出, 实数x 的不足近似x n 当n 增大时不减, 即有x0 ≤x1 ≤x2 ≤, 而过剩近似x n 当n 增大时不增, 即有x0 ≥x1 ≥x2 ≥.我们有以下的命题设x = a0 .a1 a2 与y = b0 . b1 b2 为两个实数, 则x > y 的等价条件是: 存在非负整数n , 使得x n > y n ,其中x n 表示x 的n 位不足近似, y n 表示y 的n 位过剩近似.关于这个命题的证明, 以及关于实数的四则运算法则的定义, 可参阅本书附录Ⅱ第八节.例1 设x、y 为实数, x < y .证明: 存在有理数r 满足x < r < y .证由于x < y , 故存在非负整数n , 使得x n < y n .令r = 1( x n + y n ) ,2则r 为有理数, 且有即得x < r < y .x ≤ x n < r < y n ≤y,为方便起见, 通常将全体实数构成的集合记为R , 即R = { x x 为实数} .实数有如下一些主要性质:1 . 实数集R 对加、减、乘、除( 除数不为0 ) 四则运算是封闭的, 即任意两个§1 实数3实数的和、差、积、商( 除数不为0) 仍然是实数.2 . 实数集是有序的, 即任意两实数a、b 必满足下述三个关系之一: a < b,a = b, a >b .3 . 实数的大小关系具有传递性, 即若a > b, b > c, 则有a > c .4 . 实数具有阿基米德( Archimedes ) 性, 即对任何a、b∈R , 若b > a > 0 , 则存在正整数n , 使得na > b .5 . 实数集R 具有稠密性, 即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数, 且既有有理数( 见例1 ) , 也有无理数.6 . 如果在一直线( 通常画成水平直线) 上确定一点O 作为原点, 指定一个方向为正向( 通常把指向右方的方向规定为正向) , 并规定一个单位长度, 则称此直线为数轴.任一实数都对应数轴上唯一的一点; 反之, 数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数.于是, 实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系.在本书以后的叙述中, 常把“实数a”与“数轴上的点a”这两种说法看作具有相同的含义.例2 设a、b∈R .证明: 若对任何正数ε有a < b + ε, 则a≤b .证用反证法.倘若结论不成立, 则根据实数集的有序性, 有a > b .令ε= a - b, 则ε为正数且 a = b + ε, 但这与假设 a < b + ε相矛盾.从而必有a≤b .关于实数的定义与性质的详细论述, 有兴趣的读者可参阅本书附录Ⅱ .二绝对值与不等式实数a 的绝对值定义为a = a , a ≥0 ,- a , a < 0 .从数轴上看, 数a 的绝对值| a | 就是点 a 到原点的距离.实数的绝对值有如下一些性质:1 . | a | = | - a | ≥0; 当且仅当 a = 0 时有| a | = 0 .2 . - | a | ≤ a≤ | a | .3 . | a | < h! - h < a < h; | a | ≤ h! - h≤ a≤ h ( h > 0) .4 . 对于任何a、b∈R 有如下的三角形不等式:a -b ≤ a ±b ≤ a + b .5 . | ab | = | a | | b| .6 . ab| a || b|( b≠ 0) .下面只证明性质4 , 其余性质由读者自行证明. 由性质2 有=4 第一章实数集与函数两式相加后得到- a ≤ a ≤ a , - b ≤ b ≤ b .- ( a + b ) ≤ a + b ≤ a + b .根据性质3 , 上式等价于a +b ≤ a + b . ( 1) 将(1 ) 式中 b 换成- b, ( 1) 式右边不变, 即得| a - b | ≤| a | + | b | , 这就证明了性质4 不等式的右半部分.又由| a | = | a - b + b | , 据(1 ) 式有a ≤ a -b + b .从而得a -b ≤ a - b . ( 2) 将(2 ) 式中 b 换成- b, 即得| a | - | b | ≤| a + b | .性质4 得证.习题1 . 设a 为有理数, x 为无理数.证明:( 1) a + x 是无理数; ( 2)当a≠0 时, ax 是无理数.2 . 试在数轴上表示出下列不等式的解:( 1) x ( x2 - 1) > 0; ( 2) | x - 1 | < | x - 3 | ;( 3) x - 1 - 2 x - 1≥ 3 x - 2 .3 . 设a、b∈R .证明:若对任何正数ε有| a - b| < ε, 则a = b .4 . 设x ≠0 ,证明x + 1 x5 . 证明: 对任何x ∈R 有≥2 , 并说明其中等号何时成立.( 1) | x - 1 | + | x - 2 | ≥1; ( 2) | x - 1 | + | x - 2 | + | x - 3 | ≥2 .6 . 设a、b、c∈R+ ( R+ 表示全体正实数的集合) .证明a2 + b2- a2+ c2 ≤ b - c .你能说明此不等式的几何意义吗?7 . 设x > 0 , b > 0 , a≠b .证明a + x介于 1 与a之间.b + x b8 . 设p 为正整数.证明:若p 不是完全平方数, 则p是无理数.9 . 设a、b 为给定实数.试用不等式符号(不用绝对值符号) 表示下列不等式的解:( 1) | x - a| < | x - b | ; ( 2) | x - a | < x - b; (3) | x2 - a | < b .§2 数集·确界原理本节中我们先定义R 中两类重要的数集———区间与邻域, 然后讨论有界集§2 数集·确界原理5并给出确界定义和确界原理.一区间与邻域设a、b∈R , 且 a < b .我们称数集{ x | a < x < b} 为开区间, 记作( a , b) ; 数集{ x | a≤x≤b} 称为闭区间, 记作[ a , b] ; 数集{ x | a≤x < b} 和{ x | a < x ≤b} 都称为半开半闭区间, 分别记作[ a , b) 和( a , b] .以上这几类区间统称为有限区间.从数轴上来看, 开区间( a , b) 表示a、b 两点间所有点的集合, 闭区间[ a, b] 比开区间( a , b) 多两个端点, 半开半闭区间[ a, b) 比开区间( a, b) 多一个端点 a 等.满足关系式x ≥a 的全体实数x 的集合记作[ a , + ∞) , 这里符号∞读作“无穷大”, + ∞读作“正无穷大”.类似地, 我们记( - ∞ , a] = { x x ≤ a} , ( a , + ∞ ) = { x x > a} ,( - ∞, a) = { x x < a} , ( - ∞, + ∞) = { x - ∞< x < + ∞} = R , 其中- ∞读作“负无穷大”.以上这几类数集都称为无限区间.有限区间和无限区间统称为区间.设a∈R , δ> 0 .满足绝对值不等式| x - a | < δ的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域, 记作U ( a;δ) , 或简单地写作U( a ) , 即有U( a; δ) = { x x - a < δ} = ( a - δ, a + δ) .点a 的空心δ邻域定义为U°(a;δ) = { x 0 < x - a < δ} ,它也可简单地记作U°( a) .注意, U°( a;δ) 与U( a;δ) 的差别在于: U°( a;δ) 不包含点 a .此外, 我们还常用到以下几种邻域:点a 的δ右邻域U + ( a;δ) = [ a , a + δ) , 简记为U + ( a) ;点a 的δ左邻域U - ( a;δ) = ( a - δ, a] , 简记为U - ( a) ;( U- ( a ) 与U+ ( a ) 去除点 a 后, 分别为点 a 的空心δ左、右邻域, 简记为U°- ( a) 与U°+ ( a) .)∞邻域U( ∞) = { x | x | > M} , 其中M 为充分大的正数( 下同) ;+ ∞邻域U( + ∞) = { x | x > M}; - ∞邻域U( - ∞) = { x | x < - M} .二有界集·确界原理定义1 设S 为R 中的一个数集.若存在数M ( L ) , 使得对一切x ∈S , 都有x ≤M( x≥L) , 则称S 为有上界( 下界) 的数集, 数M( L) 称为S 的一个上界( 下界) .6 第一章实数集与函数若数集S 既有上界又有下界, 则称S 为有界集.若S 不是有界集, 则称S 为无界集.例1 证明数集N + = { n | n 为正整数}有下界而无上界.证显然, 任何一个不大于1 的实数都是N + 的下界, 故N + 为有下界的数集.为证N + 无上界, 按照定义只须证明: 对于无论多么大的数M, 总存在某个正整数n0 ( ∈N + ) , 使得n0 > M .事实上, 对任何正数M ( 无论多么大) , 取n0 = [ M ] + 1 ①, 则n0 ∈N + , 且n0 > M .这就证明了N + 无上界.读者还可自行证明: 任何有限区间都是有界集, 无限区间都是无界集; 由有限个数组成的数集是有界集.若数集S 有上界, 则显然它有无穷多个上界, 而其中最小的一个上界常常具有重要的作用, 称它为数集S 的上确界.同样, 有下界数集的最大下界, 称为该数集的下确界.下面给出数集的上确界和下确界的精确定义.定义2 设S 是R 中的一个数集.若数η满足:( i) 对一切x∈S , 有x≤η, 即η是S 的上界;( ii) 对任何α< η, 存在x0 ∈S , 使得x0 > α, 即η又是S 的最小上界,则称数η为数集S 的上确界, 记作η = sup S② .定义3 设S 是R 中的一个数集.若数ξ满足:( i) 对一切x∈S , 有x≥ξ, 即ξ是S 的下界;( ii) 对任何β> ξ, 存在x0 ∈S , 使得x0 < β, 即ξ又是S 的最大下界,则称数ξ为数集S 的下确界, 记作ξ= inf S .上确界与下确界统称为确界.例2 设S = { x |x 为区间(0 , 1 ) 中的有理数} .试按上、下确界的定义验证: sup S = 1 , inf S = 0 .解先验证sup S = 1 :( i) 对一切x∈S , 显然有x≤1 , 即1 是S 的上界.( ii) 对任何α< 1 , 若α≤0 , 则任取x0 ∈S 都有x0 > α; 若α> 0 , 则由有理数集在实数集中的稠密性, 在( α, 1) 中必有有理数x0 , 即存在x0 ∈S , 使得x0 > α.类似地可验证inf S = 0 .读者还可自行验证: 闭区间[0 , 1 ]的上、下确界分别为1 和0 ; 对于数集①[ x] 表示不超过数x 的最大整数, 例如[ 2 .9 ] = 2 , [ - 4 .1 ] = - 5 .②sup 是拉丁文supremum ( 上确界) 一词的简写; 下面的inf 是拉丁文infimum ( 下确界) 一词的简写.E = ( - 1 ) §2 数集·确界原理7nn n = 1 , 2 , , 有 sup E = N + = 1 , 而没有上确界 . 1 2 , inf E = - 1 ; 正整数集 N + 有下确界 inf 注 1 由上 ( 下 ) 确界的定义可见 , 若数集 S 存在上 ( 下 ) 确界 , 则一定是唯一 的 .又若数集 S 存在上、下确界 , 则有 inf S ≤s up S .注 2 从上面一些例子可见 , 数集 S 的确界可能属于 S , 也可能不属于 S . 例 3 设数集 S 有上确界 .证明η = sup S ∈ S !η = max S ① .证 ª ) 设 η= sup S ∈ S , 则对一切 x ∈ S 有 x ≤η, 而 η∈ S , 故 η是数集 S 中最大的数 , 即 η= max S .Ï ) 设 η= max S , 则 η∈ S ; 下面验证 η= sup S:( i ) 对一切 x ∈ S , 有 x ≤η, 即 η是 S 的上界 ;( ii ) 对任何 α< η, 只 须取 x 0 = η∈ S , 则 x 0 > α .从 而满 足 η= sup S 的 定 义 .关于数集确界的存在性 , 我们给出如下确界原理 .定理 1 .1 ( 确界原理 ) 设 S 为非空数集 .若 S 有上界 , 则 S 必有上确界 ; 若 S 有下界 , 则 S 必有下确界 .证 我们只证明关于上确界的结论 , 后一结论可类似地证明 .为叙述的方便起见 , 不妨设 S 含有非负数 .由于 S 有上界 , 故可找到非负整 数 n , 使得1) 对于任何 x ∈ S 有 x < n + 1 ;2) 存在 a 0 ∈ S , 使 a 0 ≥ n .对半开区间 [ n , n + 1) 作 10 等分 , 分点为 n .1 , n .2 ,, n .9 , 则存在 0 , 1 , 2 , , 9 中的一个数 n 1 , 使得1) 对于任何 x ∈ S 有 x < n . n 1 + 1 ; 102) 存在 a 1 ∈ S , 使 a 1 ≥ n . n 1 .再对半开区间 [ n . n 1 , n . n 1 + 1 ) 作 10 等 分 , 则 存在 0 , 1 , 2 , , 9 中的一 个 10数 n 2 , 使得1) 对于任何 x ∈ S 有 x < n . n 1 n 2 + 1 ; 1022) 存在 a 2 ∈ S , 使 a 2 ≥ n . n 1 n 2 .① 记号 max 是 maxim um( 最大 ) 一 词的 简写 , η= max S 表 示数 η是 数集 S 中 最大 的数 .以下 将出 现 的记号 min 是 minimu m( 最小 ) 一 词的简 写 , min S 表示 数集 S 中 最小 的数 .8 第一章实数集与函数继续不断地10 等分在前一步骤中所得到的半开区间, 可知对任何k = 1 , 2 , , 存在0 , 1 , 2 , , 9 中的一个数n k , 使得1) 对于任何x∈S 有x < n . n1 n2 n k + 1; ( 1)10 k2) 存在a k ∈S , 使a k ≥n . n1 n2 n k .将上述步骤无限地进行下去, 得到实数η= n . n1 n2 n k .以下证明η= sup S .为此只需证明:( i) 对一切x∈S 有x≤η; ( ii ) 对任何α< η, 存在a′∈S 使α< a′.倘若结论( i ) 不成立, 即存在x ∈S 使x > η, 则可找到x 的k 位不足近似x k , 使从而得x k > 珔ηk = n . n1 n2 n k +1,10 kx > n . n1 n2 n k +1,10 k但这与不等式(1 ) 相矛盾.于是( i) 得证.现设α< η, 则存在k 使η的k 位不足近似ηk > 珔αk , 即n . n1 n2 n k > 珔αk .根据数η的构造, 存在a′∈S 使a′≥ηk , 从而有a′≥ηk > 珔αk ≥α,即得到α< a′.这说明( ii) 成立.在本书中确界原理是极限理论的基础, 读者应给予充分的重视.例4 设 A 、B为非空数集, 满足: 对一切x∈A 和y∈B 有x ≤y .证明: 数集A 有上确界, 数集 B 有下确界, 且sup A ≤ inf B . ( 2) 证由假设, 数集 B 中任一数y 都是数集 A 的上界, A 中任一数x 都是 B 的下界, 故由确界原理推知数集 A 有上确界, 数集 B 有下确界.现证不等式(2 ) .对任何y∈B , y 是数集A 的一个上界, 而由上确界的定义知, sup A 是数集A 的最小上界, 故有sup A≤y .而此式又表明数sup A 是数集B 的一个下界, 故由下确界定义证得sup A≤inf B .例5 设 A 、B为非空有界数集, S = A ∪ B .证明:( i) sup S = max{sup A , sup B};( ii) inf S = min{inf A , inf B} .证由于S = A ∪B 显然也是非空有界数集, 因此S 的上、下确界都存在.( i) 对任何x∈S , 有x∈A 或x∈Bªx≤sup A 或x≤sup B , 从而有x ≤§2 数集·确界原理9max{sup A , sup B} , 故得sup S≤max{ sup A , sup B} .另一方面, 对任何x∈A , 有x ∈S ªx ≤sup S ªs up A ≤sup S ; 同理又有sup B≤sup S .所以sup S≥max{sup A , sup B} .综上, 即证得sup S = max{sup A , sup B} .( ii) 可类似地证明.若把+ ∞和- ∞补充到实数集中, 并规定任一实数 a 与+ ∞、- ∞的大小关系为: a < + ∞, a > - ∞, - ∞< + ∞, 则确界概念可扩充为:若数集S 无上界, 则定义+ ∞为S 的非正常上确界, 记作sup S = + ∞;若S 无下界, 则定义- ∞为S 的非正常下确界, 记作inf S = - ∞.相应地, 前面定义2 和定义3 中所定义的确界分别称为正常上、下确界.在上述扩充意义下,我们有推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界( 正常的或非正常的) .例如, 对于正整数集N+ 有inf N+ = 1 , sup N+ = + ∞; 对于数集S = { y y = 2 - x2 , x ∈R } ( 3) 有inf S = - ∞, sup S = 2 .习题1 . 用区间表示下列不等式的解:( 1) | 1 - x | - x ≥0; ( 2) x + 1x≤6 ;( 3) ( x - a) ( x - b) ( x - c) > 0( a , b , c 为常数, 且 a < b < c) ;( 4) sin x ≥ 2 .22 . 设S 为非空数集.试对下列概念给出定义:( 1) S 无上界; ( 2) S 无界.3 . 试证明由(3 )式所确定的数集S 有上界而无下界.4 . 求下列数集的上、下确界, 并依定义加以验证:( 1) S = { x | x2 < 2} ; (2 ) S = { x | x = n !, n∈ N+ } ;( 3) S = { x | x 为(0 , 1 )内的无理数} ;( 4) S = { x | x = 1 - 1, n∈N+ } .2 n5 . 设S 为非空有下界数集.证明:inf S = ξ∈ S!ξ = min S .6 . 设S 为非空数集, 定义S - = { x | - x ∈S} .证明:( 1) inf S - = - sup S; ( 2) sup S - = - inf S .7 . 设A 、B皆为非空有界数集, 定义数集A +B = { z | z = x + y, x ∈ A , y ∈ B} .10 第一章实数集与函数证明: (1) sup( A + B) = sup A + sup B; ( 2) inf( A + B) = inf A + inf B .8 . 设a > 0 , a≠1 , x 为有理数.证明sup{ a r | r 为有理数, r < x} , 当a > 1 ,a x =inf{ a r | r 为有理数, r < x} , 当a < 1 .§3 函数概念关于函数概念, 在中学数学中我们已有了初步的了解, 本节将对此作进一步的讨论.一函数的定义定义1 给定两个实数集 D 和M , 若有对应法则 f , 使对D 内每一个数x , 都有唯一的一个数y∈M 与它相对应, 则称 f 是定义在数集D 上的函数, 记作f : D → M ,( 1)x 組y .数集 D 称为函数 f 的定义域, x 所对应的数y , 称为f 在点x 的函数值, 常记为f ( x) .全体函数值的集合f ( D) = { y y = f ( x ) , x ∈ D} ( ÌM)称为函数f 的值域.(1 ) 中第一式“D→M”表示按法则 f 建立数集D到M 的函数关系; 第二式“x 組y”表示这两个数集中元素之间的对应关系, 也可记为“x 組f ( x) ”.习惯上, 我们称此函数关系中的x 为自变量, y 为因变量.关于函数的定义, 我们作如下几点说明:1 . 定义1 中的实数集M 常以R 来代替, 于是定义域 D 和对应法则 f 就成为确定函数的两个主要因素.所以, 我们也常用y = f ( x ) , x ∈D表示一个函数.由此, 我们说某两个函数相同, 是指它们有相同的定义域和对应法则.如果两个函数对应法则相同而定义域不同, 那么这两个函数仍是不相同的.例如 f ( x ) = 1 , x ∈R 和g( x) = 1 , x∈R \ {0 } 是不相同的两个函数.另一方面, 两个相同的函数, 其对应法则的表达形式可能不同, 例如φ( x) = x , x ∈R 和ψ( x) = x2 , x ∈R .2 . 我们在中学数学中已经知道,表示函数的主要方法是公式法, 即用数学运算式子来表示函数.这时, 函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量值的全体,通常称为存在域.在这种情况下,函数的定义域( 即存在域) D 可省略不写,而只用对应法则 f 来表示一个函数,此时可简单地说“函数y = f ( x)”或“函数f”.§3 函 数 概 念113 . 函数 f 给出了 x 轴上的点集 D 到 y 轴上 点集 M 之间 的单值 对应 , 也 称 为映射 .对于 a ∈ D, f ( a) 称为映射 f 下 a 的象 , a 则称为 f ( a) 的原象 .4 . 在函数定义中 , 对每一个 x ∈ D , 只能有唯一的 一个 y 值 与它对 应 , 这 样 定义的函数称为单值函数 .若同 一个 x 值 可以 对应 多于 一 个的 y 值 , 则 称这 种 函数为多值函数 .在本书范围内 , 我们只讨论单值函数 .二 函数的表示法在中学课程里 , 我们已经知道函数 的表 示法主 要有 三种 , 即 解析法 ( 或称 公 式法 ) 、列表法和图象法 . 有些函数在其定义域的不同部 分用 不同的 公式 表达 , 这 类函数 通常 称为 分 段函数 .例如 , 函数sgn x =1 , x > 0 , 0 ,x = 0 ,- 1 , x < 0是分段函数 , 称为符号函数 , 其图象如图 1 - 1 所示 . 又如函数 f ( x ) = | x | 也可 用 如下 的 分 段函 数 形式 来表示 :图 1 - 1f ( x) =x ,x ≥ 0 ,- x , x < 0 .它还可表示为 f ( x) = x sgn x .函数 y = f ( x ) , x ∈ D 又可用如下有序数对的集合 :G = { ( x , y) y = f ( x ) , x ∈ D} 来表示 .在坐标平面上 , 集合 G 的每一个元素 ( x , y ) 表 示平面上 的一个点 , 因 而 集合 G 在坐标平面 上 描绘 出 这 个函 数 的图 象 .这 就 是用 图 象法 表 示 函数 的 依 据 .有些函数难以用解析法、列表法 或图 象法来 表示 , 只 能用 语言来 描述 .如 定 义在 R 上的狄利克雷 ( Dirichlet ) 函数1 , 当 x 为有理数 ,D( x) =0 , 当 x 为无理数 和定义在 [0 , 1 ] 上的黎曼 ( Riemann ) 函数1 , 当 x = p ( p , q ∈ N + , p为既约真分数 ) ,R ( x) =q qq0 ,当 x = 0 , 1 和 (0 , 1 ) 内的无理数 .三 函数的四则运算给定两个函数 f , x ∈ D 1 和 g , x ∈ D 2 , 记 D = D 1 ∩ D 2 , 并设 D ≠¹?.我们定* 2 12第一章 实数集与函数义 f 与 g 在 D 上的和、差、积运算如下 :F( x ) = f ( x) + g ( x ) , x ∈ D,G( x) = f ( x ) - g( x) , x ∈ D,H( x ) = f ( x) g( x) , x ∈ D .若在 D 中剔除使 g( x) = 0 的 x 值 , 即令D = D 1 ∩ { x g( x) ≠ 0 , x ∈ D 2 } ≠ ¹?,可在 D *上定义 f 与 g 的商的运算如下 :L( x ) = f ( x) , x ∈ D *.g( x )注 若 D = D 1 ∩ D 2 = ¹?, 则 f 与 g 不能进行四则运算 .例如 , 设f ( x) = 1 - x 2, x ∈ D 1 = { x x ≤ 1} , g( x) =x 2- 4 , x ∈ D = { xx ≥ 2 } ,由于 D 1 ∩ D 2 = ¹?, 所以表达式f ( x ) + g( x) =1 - x 2+x 2- 4是没有意义的 .以后为叙述方便 , 函数 f 与 g 的和、差、积、商常分别写作f +g , f - g, fg , f.g四 复合函数设有两函数y = f ( u) , u ∈ D, u = g( x ) , x ∈ E .( 2)记 E * = { x | g( x ) ∈ D } ∩ E .若 E *≠¹?, 则对每一个 x ∈ E *, 可通过函数 g 对 应 D 内唯一的一个值 u , 而 u 又通过函数 f 对应唯一的一个值 y .这就确定了一 个定义在 E *上的函数 , 它以 x 为自变量 , y 为因变量 , 记作y = f ( g( x ) ) , x ∈ E *或 y = ( f g) ( x) , x ∈ E *, 称为函数 f 和 g 的 复合函 数 .并称 f 为 外函数 , g 为内函 数 , ( 2) 式中 的 u 为 中 间变量 .函数 f 和 g 的复合运算也可简单地写作 f g . 例 1 函数 y = f ( u ) = u , u ∈ D = [0 , + ∞ ) 与 函数 u = g( x ) = 1 - x 2, x ∈ E = R 的复合函数为y = f ( g( x ) ) =1 - x2或 ( f g) ( x ) =1 - x 2,其定义域 E *= [ - 1 , 1] Ì E .复合函数也可由多个函数相继复 合而 成 .例如 , 由三 个函 数 y = sin u , u =§3 函数概念13v 与v = 1 - x2 ( 它们的定义域取为各自的存在域)相继复合而得的复合函数为y = sin 1 - x2 , x ∈[ - 1 , 1] .注当且仅当 E * ≠¹?( 即D∩g ( E) ≠¹?) 时, 函数 f 与g 才能进行复合. 例如, 以y = f ( u) = arc sin u , u∈D = [ - 1 , 1 ] 为外函数, u = g( x ) = 2 + x2 , x ∈E = R 为内函数, 就不能进行复合.这是因为外函数的定义域 D = [ - 1 , 1 ] 与内函数的值域g( E ) = [ 2 , + ∞) 不相交.五反函数函数y = f ( x ) 的自变量x 与因变量y 的关系往往是相对的.有时我们不仅要研究y 随x 而变化的状况, 也要研究x 随y 而变化的状况.对此, 我们引入反函数概念.设函数y = f ( x ) , x ∈ D ( 3) 满足: 对于值域 f ( D) 中的每一个值y, D 中有且只有一个值x 使得f ( x) = y,则按此对应法则得到一个定义在 f ( D) 上的函数, 称这个函数为 f 的反函数, 记作f - 1 : f ( D) → D,y 組x或x = f - 1 ( y) , y ∈ f ( D) . ( 4) 注1 函数 f 有反函数, 意味着 f 是D 与 f ( D) 之间的一个一一映射.我们称 f - 1 为映射 f 的逆映射, 它把集合 f ( D) 映射到集合D, 即把 f ( D) 中的每一个值 f ( a) 对应到 D 中唯一的一个值 a .这时称a 为逆映射 f - 1 下f ( a) 的象,而f ( a ) 则是 a 在逆映射f - 1 下的原象.从上述讨论还可看到, 函数 f 也是函数 f - 1 的反函数.或者说, f 与f - 1 互为反函数.并有f - 1 ( f ( x ) ) ≡ x , x ∈ D ,f ( f - 1 ( y) ) ≡ y , y ∈ f ( D) .注2 在反函数 f - 1 的表示式( 4) 中, 是以y 为自变量, x 为因变量.若按习惯仍用x 作为自变量的记号, y 作为因变量的记号, 则函数( 3 ) 的反函数( 4 ) 可改写为y = f - 1 ( x ) , x ∈ f ( D) . ( 5) 例如, 按习惯记法, 函数y = ax + b ( a≠0 ) , y = a x ( a > 0 , a ≠1 ) 与y = sin x ,14第一章 实数集与函数x ∈ - π , π的反函数分别是2 2x - b a , y = log a x 与 y = arcsin x . 应该注意 , 尽管反函数 f - 1的表示式 (4 ) 与 ( 5) 的形式不同 , 但它 们仍表示 同 一个函数 , 因 为它 们的定 义域 都是 f ( D) , 对应 法则 都是 f - 1, 只是 所用 变量 的 记号不同而已 .六 初等函数在中学数学中 , 读者已经熟悉基本初等函数有以下六类 : 常量函数 y = c ( c 是常数 ) ; 幂函数 y = x α(α为实数 ) ; 指数函数 y = a x( a > 0 , a ≠ 1) ; 对数函数 y = log a x ( a > 0 , a ≠1 ) ;三角函数 y = sin x( 正弦函数 ) , y = cos x ( 余弦函数 ) ,y = tan x( 正切函数 ) , y = cot x( 余切函数 ) ; 反三角函数y = arcsin x( 反正弦函数 ) , y = arccos x ( 反余弦函数 ) ,y = arctan x ( 反正切函数 ) , y = arccot x( 反余切函数 ) .这里我们要指 出 , 幂函 数 y = x α和指数 函数 y = a x都涉 及乘幂 , 而 在中 学 数学课程中只给出了有理指数乘幂的定 义 .下面 我们借 助确 界来 定义无 理指 数 幂 , 使它与有理指数幂一起构成实指数乘幂 , 并保持有理指数幂的基本性质 .定义 2 给定实数 a > 0 , a ≠1 .设 x 为无理数 , 我们规定a x= sup { arr 为有理数 } , 当 a > 1 时 ,r < xinf { arr 为有理数 } , 当 0 < a < 1 时 .r < x( 6)( 7)注 1 对任一无理数 x , 必有有理数 r 0 , 使 x < r 0 , 则当有理数 r < x 时有 r < r 0 , 从而由有理数乘幂的性质 , 当 a > 1 时有 a r< ar.这表明非空数集{ a r r < x , r 为有理数 }有一个上界 a r 0 .由确界原理 , 该数集有上确界 , 所以 ( 6) 式右边是一个确定的数 . 同理 , 当 0 < a < 1 时 (7 ) 式右边也是一个定数 .注 2 由§2 习题 8 可知 , 当 x 为有理数时 , 同样可 按 ( 6 ) 式和 (7 ) 式来表 示 a x, 而且与我们以前所熟知的有理数乘幂的概念是 一致的 .这样 , 无论 x 是有 理 数还是无理数 , a x都可用 (6 ) 式和 ( 7) 式来统一表示 .定义 3 由基本初等函 数 经过 有限 次四 则运 算 与复 合运 算所 得到 的 函数 ,y =§3 函数概念15统称为初等函数.不是初等函数的函数, 称为非初等函数.如在本节第二段中给出的狄利克雷函数和黎曼函数, 都是非初等函数.习题1 . 试作下列函数的图象:( 1) y = x2 + 1 ; (2) y = ( x + 1) 2 ;( 3) y = 1 - ( x + 1 )2 ; (4) y = sgn( sin x) ;3 x , | x | > 1 ,( 5) y = x3 , | x | < 1 ,3 , | x | = 1 .2 . 试比较函数y = a x 与y = log a x 分别当 a = 2 和 a = 1 时2的图象.3 . 根据图1 - 2 写出定义在[ 0 , 1 ] 上的分段函数f1 ( x ) 和f2 ( x )的解析表示式.4 . 确定下列初等函数的存在域:( 1) y = sin( sin x) ; ( 2) y = lg( lg x) ;( 3) y = arcsin lg x105 . 设函数f ( x) = ; ( 4) y = lg arcsinx.102 + x , x ≤0 ,2 x , x > 0 .图 1 - 2求: (1 ) f ( - 3) , f (0 ) , f ( 1) ; (2 ) f (Δx) - f ( 0) , f ( - Δx) - f ( 0) (Δx > 0) .6 . 设函数 f ( x ) = 1, 求1 + xf (2 + x) , f ( 2 x) , f ( x2 ) , f ( f ( x) ) , f 1.f ( x )7 . 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成:( 1) y = (1 + x) 20 ; (2 ) y = ( arcsin x2 ) 2 ;2 ( 3) y = lg(1 + 1 + x2 ) ; (4 ) y = 2sin x .8 . 在什么条件下,函数的反函数就是它本身? y =ax + bcx + d9 . 试作函数y = arcsin (sin x )的图象.10 . 试问下列等式是否成立:16 第一章实数集与函数( 1) tan( arctan x) = x , x∈R ;( 2) arctan( tan x) = x , x≠kπ+ 11 . 试问y = | x | 是初等函数吗? π2, k = 0 , ±1 ,±2 , .12 . 证明关于函数y = [ x ]的如下不等式:( 1) 当x > 0 时, 1 - x < x 1x≤1;( 2) 当x < 0 时, 1≤x 1x< 1 - x .§4 具有某些特性的函数在本节中, 我们将介绍以后常用到的几类具有某些特性的函数.一有界函数定义 1 设f 为定义在 D 上的函数.若存在数M( L) , 使得对每一个x∈D 有f ( x ) ≤ M ( f ( x) ≥ L) ,则称 f 为 D 上的有上( 下) 界函数, M( L) 称为 f 在D 上的一个上( 下) 界.根据定义, f 在D 上有上( 下) 界, 意味着值域 f ( D) 是一个有上( 下) 界的数集.又若M( L) 为 f 在D 上的上( 下) 界, 则任何大于( 小于) M ( L) 的数也是 f 在D 上的上( 下) 界.定义2 设f 为定义在 D 上的函数.若存在正数M , 使得对每一个x ∈D 有则称f 为D 上的有界函数.f ( x ) ≤M , ( 1)根据定义, f 在D 上有界, 意味着值域 f ( D) 是一个有界集.又按定义不难验证: f 在D 上有界的充要条件是f 在D 上既有上界又有下界.( 1) 式的几何意义是: 若 f 为D 上的有界函数, 则 f 的图象完全落在直线y = M 与y = - M 之间.例如, 正弦函数sin x 和余弦函数cos x 为R 上的有界函数, 因为对每一个x∈R 都有| sin x | ≤1 和| cos x | ≤1 .关于函数 f 在数集D上无上界、无下界或无界的定义, 可按上述相应定义的否定说法来叙述.例如, 设 f 为定义在D 上的函数, 若对任何M( 无论M 多大) , 都存在x0 ∈D , 使得 f ( x0 ) > M , 则称 f 为D 上的无上界函数.作为练习, 读者可自行写出无下界函数与无界函数的定义.§4 具有某些特性的函数 17例 1 证明 f ( x) = 1为 (0 , 1 ] 上的无上界函数 .x证 对任何正数 M , 取 ( 0 , 1] 上一点 x 0 = 1, 则有M + 1f ( x 0 ) = 1x 0= M + 1 > M .故按上述定义 , f 为 ( 0 , 1] 上的无上界函数 .前面已经指出 , f 在 其 定 义域 D 上 有上 界 , 是 指 值域 f ( D) 为 有 上 界 的 数 集 .于是 由 确界 原 理 , 数 集 f ( D) 有上 确 界 .通 常 , 我 们 把 f ( D) 的 上 确 界 记 为 sup f ( x ) , 并称之为 f 在 D 上的上确界 .类似地 , 若 f 在其定义域 D 上有下界 , 则x ∈ Df 在 D 上的下确界记为 inf f ( x) .x ∈ D例 2 设 f , g 为 D 上的有界函数 .证明 : (i ) ) inf f ( x) + inf g( x) ≤ inf { f ( x) + g( x) } ;x ∈ Dx ∈ Dx ∈ D(i )) sup { f ( x) + g( x) } ≤sup f ( x ) + sup g( x ) .x ∈ D证 ( i ) 对任何 x ∈ D 有x ∈ Dx ∈ Dinf f ( x ) ≤ f ( x) , inf g( x ) ≤ g( x) ª inf f ( x) + inf g( x ) ≤ f ( x) + g( x) .x ∈ Dx ∈ Dx ∈ Dx ∈ D上式表明 , 数 inf f ( x ) + inf g( x ) 是函数 f + g 在 D 上的一个下界 , 从而x ∈ Dx ∈ Dinf f ( x) + inf g( x) ≤ inf { f ( x ) + g( x) } .x ∈ D( ii ) 可类似地证明 ( 略 ) .x ∈ Dx ∈ D注 例 2 中的两个不等式 , 其严格的不等号有可能成立 .例如 , 设f ( x ) = x , g( x ) = - x , x ∈ [ - 1 , 1 ] ,则有 inf | x | ≤ 1f ( x ) = inf | x | ≤ 1g( x) = - 1 , sup | x | ≤ 1f ( x) = sup | x | ≤ 1g( x ) = 1 , 而inf | x| ≤ 1{ f ( x) + g ( x ) } = sup { f ( x ) + g( x) } = 0 .| x | ≤ 1二 单调函数定义 3 设 f 为定义在 D 上的函数 .若对任何 x 1 , x 2 ∈ D , 当 x 1 < x 2 时 , 总 有( i ) f ( x 1 ) ≤ f ( x 2 ) , 则称 f 为 D 上的增函数 , 特别当成立严格不等式 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) 时 , 称 f 为 D 上的严格增函数 ;(ii ) f ( x 1 ) ≥ f ( x 2 ) , 则 称 f 为 D 上 的 减 函 数 , 特 别 当 成 立 严 格 不 等 式 f ( x 1 ) > f ( x 2 ) 时 , 称 f 为 D 上的严格减函数 ;增函数和减函数统称为单调函 数 , 严格 增函 数和严 格减 函数统 称为 严格 单 调函数 .例 3 函数 y = x 3在 R 上是 严格 增的 .因为 对任 何 x 1 , x 2 ∈ R , 当 x 1 < x 21 2- 1 - 1 - 11 2 1 2 1 1 218第一章 实数集与函数时总有x33x 123 2即 x 3< x 3.2- x 1 = ( x 2 - x 1 ) x 2 + 2+ 4x 1 > 0 ,例 4 函数 y = [ x ] 在 R 上是增的 .因为对任何 x 1 , x 2 ∈R , 当 x 1 < x 2 时 显然有 [ x 1 ] ≤ [ x 2 ] .但 此 函 数 在 R 上 不 是 严 格 增 的 , 若 取 x 1 = 0 , x 2 = 12 , 则 有[ x 1 ] = [ x 2 ] = 0 , 即定义中所要求的严格不等式不成立 .此函数的图象如图 1 - 3 所示 .严格单调 函 数 的 图 象与 任 一 平 行 于 x 轴 的 直 线至多有一个交 点 , 这一 特性 保 证了 它 必定 具 有反 函数 .定理 1 .2 设 y = f ( x ) , x ∈ D 为严 格增 ( 减 ) 函数 , 则 f 必有反函数 f - 1, 且 f - 1在其定义域 f ( D) 上也是严格增 ( 减 ) 函数 .证 设 f 在 D 上 严格 增 .对任 一 y ∈ f ( D) , 有 x ∈ D 使 f ( x) = y .下面证明这样的 x 只能有一个 .图 1 - 3事实上 , 对于 D 内任一 x 1 ≠ x , 由 f 在 D 上的严格增性 , 当 x 1 < x 时 f ( x 1 ) < y, 当 x 1 > x 时有 f ( x 1 ) > y, 总之 f ( x 1 ) ≠ y .这就说 明 , 对 每一个 y ∈ f ( D) , 都 只 存在唯 一的 一个 x ∈ D, 使 得 f ( x ) = y , 从而 函 数 f 存在 反函 数 x = f - 1( y) , y ∈ f ( D) .现证 f - 1也是 严格 增的 .任取 y , y ∈ f ( D) , y < y .设 x = f- 1( y ) , x = f - 1 ( y 2 ) , 则 y 1 = f ( x 1 ) , y 2 = f ( x 2 ) .由 y 1 < y 2 及 f 的严 格增 性 , 显然 有 x 1< x 2 , 即 f ( y 1 ) < f ( y 2 ) .所以反函数 f 是严格增的 .例 5 函数 y = x 2在 ( - ∞ , 0 ) 上是 严格减 的 , 有反 函数 ( 按习惯 记法 ) y = - x , x ∈ ( 0 , + ∞ ) ; y = x 2在 [0 , + ∞ ) 上是 严格 增的 , 有 反 函数 y = x , x ∈ [0 , + ∞ ) 。

第一章 实数集与函数（10学时）§１．实数教学目的：使学生把握实数的大体性质．教学重点：（１）明白得并熟练运用实数的有序性、浓密性和封锁性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质和几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具） 教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方式：教学．（部份内容自学）教学程序：引言上节课中，咱们与大伙儿一起探讨了《分析》这门旅程的研究对象、要紧内容等话题．从本节课开始，咱们就大体依照教材顺序给大伙儿介绍这门课程的要紧内容．第一，从大伙儿都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 什么缘故从“实数”开始．答：《数学分析》研究的大体对象是函数，但那个地址的“函数”是概念在“实数集”上的（《复变函数》研究的是概念在复数集上的函数）．为此，咱们要先了解一下实数的有关性质．一 实数及其性质 １、实数(,q p q p ⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，咱们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无穷小数”．为此作如下规定： ,n a 其,,n n a ≠19999n a -；关于正整数0,x a =1).9999；关于负有限小数（包括负整，那么先将y -表示为无穷小数，此刻所得的小数之前加负号．０＝0.0000例：2.001 2.0009999→3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确信的无穷小数来表示．但新的问题又显现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1） 概念１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．假设有,1,2,k k a b k ==，那么称x 与y 相等，记为x y =；假设00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，那么称x 大于y 或y 小于x ，别离记为x y >或y x <．关于负实数x 、y ，假设按上述规定别离有x y -=-或x y ->-，那么别离称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．概念２（不足近似与多余近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位多余近似；关于实数01nx a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位多余近似01n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤ 多余近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥．命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，那么x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位多余近似）．命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，知足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，那么r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数经常使用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．● 封锁性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四那么运算是封锁的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必知足以下关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 浓密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：假设对任何正数ε，有a b ε<+，那么a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二 、绝对值与不等式（分析论证的大体工具）．１．绝对值的概念实数a 的绝对值的概念为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 确实是点a 到原点的距离．熟悉到这一点超级有效，与此相应，||x a - 表示确实是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）． ［练习］Ｐ４． ５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生把握确界原理，成立起实数确界的清楚概念。

《数学分析》科目考试大纲考试内容及要求：第一章实数集与函数（一）考核知识点1．实数集的性质2．确界定义和确界原理3．函数的概念及表示法，分段函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数4. 具有某些特性的函数（二）考核要求1. 实数集的性质（1）熟练掌握：（i）实数及其性质；（ii）绝对值与不等式.（2）深刻理解：（i）实数有序性，大小关系的传递性，稠密性，阿基米德性，实数集对四则运算的封闭性以及实数集与数轴上的点的一一对应关系；（ii）绝对值的定义及性质.（3）简单应用：（i）会比较实数的大小，能在数轴上表示不等式的解；（ii）会利用绝对值的性质证明简单的不等式.（4）综合应用：会利用实数的性质和绝对值的性质证明有关的不等式，会解简单的不等式.2. 确界定义和确界原理（1）熟练掌握：（i）区间与邻域；（ii）有界集、无界集与确界原理.（2）深刻理解：（i）区间与邻域的定义及表示法；（ii）确界的定义及确界原理.（3）简单应用：用区间表示不等式的解，证明数集的有界性，求数集的上、下确界.（4）综合应用：会用确界的定义证明某个实数是某数集的上确界（或下确界），证明某数集无界.3. 函数的概念（1）熟练掌握：（i）函数的定义；（ii）函数的表示法；（iii）函数的四则运算；（iv）复合函数；（v）反函数；（vi）初等函数.（2）深刻理解：（i）函数概念的两大要素；（ii）分段函数，掌握整数部分函数，小数部分函数，符号函数，狄利克雷和黎曼函数；（iii）函数能够进行四则运算的条件；（iv）复合函数中内函数的值域与外函数的定义域的关系；（v）反函数存在的条件.（3）简单应用：会求函数的定义域、值域，比较几个函数的大小，会求分段函数和复合函数的表达式，能熟练地描绘六类基本初等函数的图像.（4）综合应用：作简单的复合函数的图像，求函数的反函数，证明有关的不等式，会建立简单应用问题的函数关系.4. 具有某些特性的函数（1）熟练掌握：（i）有界函数；（ii）单调函数；（iii）奇函数和偶函数；（iv）周期函数.（2）深刻理解：（i）有界函数和无界函数的定义；（ii）单调函数的定义及其图像的性质；（iii）奇函数和偶函数的定义及其图像的性质；（iv）周期函数的定义及其图像的性质..（3）简单应用：（i）会求函数的上下界，判断无界函数；（ii）判断函数的单调性；（iii）判断周期函数；（iv）判断函数的奇偶性.（4）综合应用：利用函数的各种特性解决简单的应用问题.第二章数列极限(一) 考核知识点1．数列极限的定义2．收敛数列的性质3．数列极限存在的条件(二) 考核要求1. 数列极限的定义ε定义，数（1）熟练掌握：数列的敛散性概念，数列极限的N-列极限的几何意义.ε定义”的逻辑结构，深刻理（2）深刻理解：数列极限的“N-ε定义”解ε的任意性，N的相应性；用“N-ε定义”的证明数列的极限的表述方法；“N-否定说法.（3）简单应用：能够通过观察法初步判断数列的敛散性.ε语言”证明数列的极限存在.（4）综合应用：会用“N-2. 收敛数列的性质（1）熟练掌握：数列极限的唯一性，有界性，收敛数列的保号性，保不等式性，迫敛性，数列极限的四则运算法则，数列子列的概念.（2）深刻理解：收敛数列诸性质的证明.（3）简单应用：运用收敛数列的四则运算法则计算数列的极限.（4）综合应用：运用数列极限的唯一性，收敛数列的有界性、保号性，数列极限的迫敛性等证明数列的各种性质，判断发散数列.3.数列极限存在的条件（1）熟练掌握：（i）单调有界原理；（ii）柯西收敛准则.（2）深刻理解： 单调有界原理和柯西收敛准则的实质及其否定命题.（3）简单应用：会用单调有界原理证明某些极限的存在性.（4）综合应用：会用单调有界原理和柯西收敛准则证明某些极限问题，会用柯西收敛准则的否定命题证明数列发散.第三章 函数极限(一) 考核知识点1．函数极限的定义2．函数极限的性质3．函数极限存在的条件4．两个重要的极限5．无穷大量与无穷小量(二) 考核要求1.函数极限的定义（1）熟练掌握：（i ）∞→x 时函数极限的定义；（ii ）0x x →时函数极限的定义.（2）深刻理解：（i ）A x f x =∞→)(lim 的“X -ε定义”的逻辑结构，深刻理解ε的任意性，X 的相应性；用“X-ε定义”证明函数极限的表述方法；“X -ε定义”的否定说法.（ii ）A x f x x =→)(lim 0的“δε-定义”的逻辑结构，深刻理解ε的任意性，δ的相应性；用“δε-定义”证明函数极限的表述方法；单侧极限和极限A x f x x =→)(lim 0存在的充要条件；“δε-定义”的否定说法.（3）简单应用： 会用“A x f x =∞→)(lim 的X -ε定义”和“A x f x x =→)(lim 0的δε-定义”证明简单函数的极限.（4）综合应用： 会用“A x f x =∞→)(lim 的X -ε定义”和“A x f x x =→)(lim 0的δε-定义”等分析语言证明一般的函数极限问题；用极限存在的充要条件证明极限不存在.2.函数极限的性质（1）熟练掌握：函数极限的唯一性，有极限的函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性，函数极限的迫敛性，函数极限的四则运算法则.（2）深刻理解：函数极限诸性质的证明.（3）简单应用：运用函数极限的四则运算法则计算函数的极限.（4）综合应用：运用函数极限的唯一性，局部有界性、局部保号性，函数极限的迫敛性等证明函数的各种性质.3.函数极限存在的条件（1）熟练掌握：（i ）归结原则；（ii ）柯西收敛准则.（2）深刻理解：归结原则和柯西收敛准则的实质.（3）简单应用：会用归结原则证明函数的极限不存在，用柯西收敛准则证明函数极限存在.（4）综合应用：用柯西收敛准则的否定命题证明函数极限不存在.4.两个重要的极限（1）熟练掌握：1sin lim 0=→x x x ，e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim . （2）深刻理解：两个重要极限的证明.（3）简单应用：利用两个重要极限求极限的方法.（4）综合应用：综合利用归结原则和两个重要极限求极限的方法.5.无穷小量与无穷大量（1）熟练掌握：无穷小量，无穷大量.（2）深刻理解：无穷小量和无穷大量的性质和关系，无穷小量的比较.（3）简单应用：无穷小量的比较方法，用无穷小量和无穷大量求极限.（4）综合应用：用等价无穷小求极限.第四章 函数的连续性（一）考核知识点1．连续性概念2．连续函数的性质3．初等函数的连续性（二）考核要求1. 连续性概念（1）熟练掌握：函数在一点的连续性，区间上的连续函数，间断点及其分类.（2）深刻理解：函数在一点左、右连续的概念，函数在一点的连续的充要条件.（3）简单应用：用定义证明函数在一点连续.（4）综合应用：利用函数在一点的连续的充要条件证明函数在一点连续.2.连续函数的性质（1）熟练掌握：连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的基本性质，反函数的连续性，复合函数的连续性.（2）深刻理解：一致连续性.（3）简单应用：用连续函数求极限.（4）综合应用：证明函数的一致连续性，利用闭区间上连续函数的基本性质论证某些问题.3.初等函数的连续性（1）熟练掌握：基本初等函数的连续性.（2）深刻理解：初等函数在其定义的区间内连续.（3）简单应用：证明基本初等函数在定义域内连续，判断初等函数间断点的类型.（4）综合应用：证明一般初等函数在定义域内连续，判断分段函数间断点的类型.第五章导数与微分（一）考核知识点1．导数的概念2．求导法则3．参变量函数的导数4．高阶导数5．微分（二）考核要求1.导数的概念（1）熟练掌握：导数的定义，导函数.（2）深刻理解：函数在一点的变化率，左、右导数，导数的几何意义，导函数的介值性，函数可导与连续的关系.（3）简单应用：会求函数的平均变化率，确定曲线切线的斜率，求函数的稳定点.（4）综合应用：求分段函数的导数，运用导数概念证明曲线的某些几何性质.2.求导法则（1）熟练掌握：导数的四则运算，反函数的导数，复合导数的导数，基本求导法则与公式.（2）深刻理解：导数的四则运算、反函数的导数、复合导数的导数、基本求导法则与公式的证明.（3）简单应用：会用各种求导法则计算初等函数的导数.（4）综合应用：综合运用各种求导法则计算函数的导数.3.参变量函数的导数（1）熟练掌握：参变量函数的导数的定义.（2）深刻理解：参变量函数的导数的几何意义.（3）简单应用：会求参变量函数所确定函数的导数.（4）综合应用：利用参变量函数的导数证明曲线的某些几何性质.4.高阶导数（1）熟练掌握：高阶导数的定义.（2）深刻理解：高阶导函数的概念.（3）简单应用：高阶导数的计算.（4）综合应用：利用莱布尼茨公式计算高阶导数，计算参变量函数的高阶导数.5.微分（1）熟练掌握：微分概念.（2）深刻理解：微分的几何意义，导数与微分的关系，一阶微分形式的不变性.（3）简单应用：微分的计算.（4）综合应用：高阶微分的计算，微分在近似计算中的应用.第六章微分中值定理及其应用（一）考核知识点1．拉格朗日定理和函数单调性2．柯西中值定理和不定式极限3．泰勒公式4．函数的极值与最值5．函数的凸性与拐点，函数图像的讨论（二）考核要求1.拉格朗日定理和函数单调性（1）熟练掌握：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，函数单调性.（2）深刻理解：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件与结论、证明方法，它们的几何意义.（3）简单应用：判断函数是否满足罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会求简单函数的中值点.（4）综合应用：用拉格朗日中值定理证明函数的单调性，利用拉格朗日中值定理和函数的单调性，证明某些恒等式和不等式.2. 柯西中值定理和不定式极限（1）熟练掌握：柯西中值定理，不定式的极限.（2）深刻理解：柯西中值定理的证明方法，求不定式极限的方法.（3）简单应用：求不定式的极限.（4）综合应用：用柯西中值定理证明某些带中值的等式.3. 泰勒公式（1）熟练掌握：泰勒定理，泰勒公式，麦克劳林公式.（2）深刻理解：泰勒定理的实质，泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系.（3）简单应用：利用泰勒定理展开六种函数的麦克劳林公式，余项估计.（4）综合应用：利用泰勒公式和等价无穷小变换计算极限，泰勒公式在近似计算上的应用.4. 函数的极值与最大〔小〕值（1）熟练掌握：函数的极值与最值，取极值的必要条件，驻点.（2）深刻理解：判断极值的两个充分条件.（3）简单应用：会求函数极值与最值.（4）综合应用：证明某些不等式，解决求最值的应用问题.5. 函数的凸性与拐点，函数图像的讨论（1）熟练掌握：函数图像的凸性与拐点，函数图像的性态.（2）深刻理解：凸函数，函数为凸函数的充要条件，曲线的渐近线.（3）简单应用：判断函数图像的凸性与拐点，渐近线的求法，函数图像的性态的讨论，简单函数图像的描绘.（4）综合应用：利用函数的凸性证明不等式.第七章实数的完备性（一）考核知识点1．关于实数集完备性的基本定理2．闭区间上连续函数性质的证明（二）考核要求1.关于实数集完备性的基本定理（1）熟练掌握：实数集完备性的意义，实数集完备性的几个基本定理.（2）深刻理解：区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理的条件和结论，它们的证明方法，理解有理数集不满足完备性定理的原因（3）简单应用：会求数集的聚点、确界.（4）综合应用：实数集完备性的几个基本定理的等价性证明.2. 闭区间上连续函数性质的证明（1）熟练掌握：闭区间上连续函数的有界性，有最大、最小值性，介值性和一致连续性.（2）深刻理解：闭区间上连续函数性质的证明思路和方法.第八章不定积分（一）考核知识点1．不定积分概念与基本积分公式2．换元积分法与分部积分法3．有理函数和可化为有理函数的不定积分（二）考核要求1.不定积分概念与基本积分公式（1）熟练掌握：原函数、不定积分及二者的区别，基本积分表.（2）深刻理解：原函数与导数的关系，不定积分的基本性质，不定积分的几何意义.（3）简单应用：会求简单初等函数的不定积分.（4）综合应用：根据不定积分的几何意义求曲线方程.2.换元积分法与分部积分法（1）熟练掌握：换元积分法，分部积分法.（2）深刻理解：换元积分法与复合函数求导法则的关系，分部积分法与乘积求导法的关系.（3）简单应用：会用换元积分法与分部积分法计算简单函数的不定积分.（4）综合应用：综合运用换元积分法与分部积分法计算某些函数的不定积分，证明某些递推公式.3.有理函数和可化为有理函数的不定积分（1）熟练掌握：有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积分.（2）深刻理解：以上各种不定积分的计算步骤.（3）应用：会算有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积分.第九章定积分（一）考核知识点1．定积分概念和性质2．可积条件3．微积分学基本定理·定积分的计算（二）考核要求1.定积分概念和性质（1）熟练掌握：定积分的实际背景，黎曼和，定积分的性质.（2）深刻理解：构造积分和的方法，定积分及其性质的几何意义.（3）简单应用：用定积分定义计算简单函数的定积分，利用定积分的性质比较积分的大小，估计积分值.（4）综合应用：用定积分定义计算某些复杂和式的极限，利用定积分的性质证明不等式，论证函数的某些性质.2.可积条件（1）熟练掌握：可积的必要条件和充分条件，可积函数类.（2）深刻理解：达布和，可积准则及其证明方法.（3）简单应用：判断函数的可积性.（4）综合应用：论证可积函数的某些性质.3.微积分学基本定理和定积分的计算（1）熟练掌握：变限定积分所确定的函数及其性质，微积分学基本定理.（2）深刻理解：微积分学基本定理的实质，原函数的存在性.（3）简单应用：用牛顿——莱布尼茨公式计算定积分，用换元积分法与分部积分法计算定积分.（4）综合应用：综合运用各种方法计算定积分.第十章定积分的应用（一）考核知识点：平面图形的面积，由平行截面面积求体积，平面曲线的弧长，旋转曲面的面积（二）考核要求1．熟练掌握：用定积分表达和计算一些几何量.2．深刻理解：定积分的应用的实质—微元法.3．应用：计算平面图形的面积，由平行截面面积求体积，平面曲线的弧长，旋转曲面的面积.第十一章反常积分（一）考核知识点1．反常积分概念2．无穷积分的性质与收敛判别3．瑕积分的性质与收敛判别（二）考核要求1.反常积分概念（1）熟练掌握：两类反常积分的定义.（2）深刻理解：反常积分即变限定积分的极限.2.无穷积分的性质与收敛判别（1）熟练掌握：无穷积分的性质，条件收敛，绝对收敛.（2）深刻理解：比较判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法.（3）简单应用：计算无穷积分，判别无穷积分的收敛性.（4）综合应用：运用无穷积分的性质和判别法论证某些问题.3.瑕积分的性质与收敛判别（1）熟练掌握：瑕积分的性质，条件收敛，绝对收敛.（2）深刻理解：比较判别法.（3）简单应用：计算，瑕积分，判别瑕积分的收敛性.（4）综合应用：运用瑕积分的性质和判别法论证某些问题.第十二章数项级数（一）考核知识点1．级数的收敛性2．正项级数和一般项级数（二）考核要求1. 级数的收敛性（1）熟练掌握：数项级数的定义.（2）深刻理解：级数收敛、发散的概念，收敛级数的性质，级数收敛的柯西准则.（3）简单应用：判断级数的收敛和发散.（4）综合应用：应用柯西准则讨论级数的敛散性.2.正项级数（1）熟练掌握：正项级数收敛的必要条件，正项级数的比较原则.（2）深刻理解：正项级数收敛比式判别法，根式判别法和积分判别法.（3）简单应用：判别正项级数的收敛性.（4）综合应用：运用正项级数收敛的必要条件，比较原则和几个判别法等论证一些问题.3.一般项级数（1）熟练掌握：交错级数的概念，条件收敛与绝对收敛的概念及关系，莱布尼茨判别法.（2）深刻理解：绝对收敛级数的性质，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法.（3）应用：判别一般项级数的收敛性.第十三章函数列与函数项级数（一）考核知识点1．一致收敛性2．一致收敛函数列与函数项级数的性质（二）考核要求1.一致收敛性（1）熟练掌握：函数列与函数项级数的一致收敛性的定义，一致收敛的充要条件.（2）深刻理解：一致收敛定义的否定叙述，一致收敛的柯西准则，函数列与函数项级数一致收敛性的判别法（3）应用：会用一致收敛性的定义或判别法判别函数列的一致收敛性，用M判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法判别一些函数级数的一致收敛性.2.一致收敛函数列与函数项级数的性质（1）熟练掌握：一致收敛函数列的极限函数与函数项级数的和函数.（2）深刻理解：连续性，可积性，可微性定理.（3）简单应用：由定理讨论函数项级数的和函数的连续性，可积性，可微性.（4）综合应用：由定理证明和函数的分析性质，计算函数项级数的积分.第十四章幂级数（一）考核知识点1．幂级数2．函数的幂级数展开式（二）考核要求1.幂级数（1）熟练掌握：幂级数的定义.（2）深刻理解：幂级数的性质.（3）应用：幂级数的计算，求幂级数的收敛半径、收敛域.2.函数的幂级数展开式（1）熟练掌握：泰勒级数定义.（2）深刻理解：泰勒级数和麦克劳林级数.（3）简单应用：六个常用的初等函数的麦克劳林级数.（4）综合应用：把一些简单的函数展成泰勒级数或麦克劳林级数.第十六章多元函数的极限与连续（一）考核知识点1．平面点集与多元函数2．二元函数的极限和连续性（二）考核要求1.平面点集与多元函数（1）熟练掌握：二元函数和二元函数极限的定义.弄清二重极限与累次极限的区别极其联系.（2）深刻理解：平面点集的一些概念：邻域、内点、界点、聚点、开区域、闭区域、有界区域、无界区域等.完备性定理.（3）简单应用：求函数的定义域，画定义域的图形，说明何种点集.（4）综合应用：判断平面点集的性质及其平面点集的聚点与界点.2.二元函数的极限和连续性（1）熟练掌握：二元函数的极限和连续性的概念.（2）深刻理解：累次极限和二元连续函数的性质.（3）简单应用：求累次极限，运用连续性定理.（4）综合应用：会求函数的极限.讨论函数的连续性.第十七章多元函数微分学（一）考核知识点1．可微性2．复合函数微分法3．方向导数与梯度及泰勒公式与极值问题（二）考核要求1.可微性（1）熟练掌握：可微与全微分定义.可微性几何意义及应用.（2）深刻理解：可微性条件.（3）简单应用：可微性充分条件.（4）综合应用：求函数的导数.2.复合函数微分法（1）熟练掌握：复合函数的有关定义.（2）深刻理解：复合函数的全微分（3）简单应用：复合函数的求导法则.（4）综合应用：求函数的偏导数或导数.3.方向导数与梯度及泰勒公式与极值问题（1）熟练掌握：方向导数与梯度的定义.（2）深刻理解：中值定理和极值充分条件.（3）简单应用：熟练计算偏导数和高阶偏导数.（4）综合应用：运用泰勒公式解决极值问题.第十八章隐函数定理及其应用（一）考核知识点1．隐函数及隐函数组2．几何应用和条件极值（二）考核要求1.隐函数及隐函数组（1）熟练掌握：隐函数及隐函数组的概念，反函数组与坐标变换.（2）深刻理解：隐函数定理和隐函数组的定理.（3）简单应用：隐函数存在性的条件分析.（4）综合应用：对隐函数求导.2.几何应用和条件极值（1）熟练掌握：平面曲线、空间曲线的切线于法平面，曲面的切平面与法线.（2）深刻理解：条件极值.（3）简单应用：拉格朗日函数.（4）综合应用：应用拉格朗日乘数法求函数的条件极值.第十九章含参量积分（一）考核知识点1．含参量正常积分2．含参量反常积分（二）考核要求1. 含参量正常积分（1）熟练掌握：含参量积分的定义.（2）深刻理解：含参量积分的连续性、可微性、可积性.（3）简单应用：累次积分.（4）综合应用：求函数的积分.2. 含参量反常积分（1）熟练掌握：含参量反常积分的定义.（2）深刻理解：含参量反常积分的性质.（3）简单应用：一致收敛及其判别法.（4）综合应用：证明一致收敛性.第二十章曲线积分（一）考核知识点1．第一型曲线积分2．第二型曲线积分（二）考核要求1. 第一型曲线积分（1）熟练掌握：第一型曲线积分的定义.（2）深刻理解：第一型曲线积分的性质.（3）应用：第一型曲线积分的计算.2. 第二型曲线积分（1）熟练掌握：第二型曲线积分的定义.（2）深刻理解：第二型曲线积分的性质，第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系.（3）应用：第二型曲线积分的计算.第二十一章重积分（一）考核知识点1．二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算2．格林公式•曲线积分与路线的无关性3．二重积分的变量变换与三重积分4．重积分的应用（二）考核要求1.二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算（1）熟练掌握：二重积分的概念极其存在性，平面图形的存在性.（2）深刻理解：二重积分的性质.二元函数的可积性定理.（3）简单应用：直角坐标系下二重积分的计算.（4）综合应用：计算二重积分及二重积分所围的区域.2. 格林公式•曲线积分与路线的无关性（1）熟练掌握：连通区域的概念，（2）深刻理解：格林公式，积分与路线的无关性定理.（3）简单应用：验证积分与路线无关并会求积分.（4）综合应用：应用格林公式计算曲线积分.3.二重积分的变量变换与三重积分（1）熟练掌握：三重积分的概念.（2）深刻理解：二重积分的可积函数类与性质，二重积分的变量变换公式与化三重积分为累次积分.（3）简单应用：用极坐标计算二重积分，会三重积分换元法.（4）综合应用：对积分进行极坐标变换并计算二重积分.计算三重积分及累次积分.第二十二章曲面积分（一）考核知识点1．第一型曲面积分和第二型曲面积分2．高斯公式与托克斯公式（二）考核要求1.第一型曲面积分和第二型曲面积分（1）熟练掌握：第一型曲面积分和第二型曲面积分的定义及二者之间的关系.（2）深刻理解：第一型曲面积分和第二型曲面积分的物理背景.（3）应用：第一型曲面积分和第二型曲面积分的计算.2.高斯公式与托克斯公式（1）熟练掌握：高斯公式和斯托克斯公式的物理意义.（2）深刻理解：高斯公式和斯托克斯公式及其证明过程.（3）应用：用高斯公式和斯托克斯公式计算曲面积分.。

第一章实数集与函数§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明：⑴x a +是无理数.⑵当0≠a 时，ax 是无理数.证： ⑴ 假设x a +是有理数，则x a x a =-+)(是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾， 故x a +是无理数.⑵假设ax 是有理数，则x aax=为有理数，这与题设x 为无理数相矛盾 故ax 是无理数.1、 试在数轴上表示出下列不等式的解： ⑴ 0)1(2>-x x ；⑵⑶2、 设a 、R b ∈.证明：若对任何正数ε有ε<-b a ，则b a =. 证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <; 若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a -=-.令b a -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-b a b a 矛盾; 若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a -=-.令a b -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-a b b a 矛盾; 从而必有b a =. 3、 设0≠x ,证明21≥+xx ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x 1同号,从而21211=⋅≥+=+xx x x x x , 等号当且仅当xx 1=,即1±=x 时成立.4、 证明:对任何R x ∈,有⑴ 121≥-+-x x ；⑵2321≥-+-+-x x x 证: ⑴因为21111-=+-≤--x x x ,所以121≥-+-x x .⑵因为21132-+-≤-≤--x x x x , 所以2321≥-+-+-x x x5、 设a 、b 、+∈R c (+R 表示全体正实数的集合),证明:c b c a b a -≤+-+2222证:对任意的正实数a 、b 、c 有)(22222c b a bc a +≤,两端同时加244c b a +,有224222222242c b a c a b a bc a c b a +++≤++, 即))(()(222222c a b a bc a ++≤+bc c a b a a 2))((2222222-≤++-,两端再同加22c b +,则有c b c a b a -≤+-+2222其几何意义为:当c b ≠时,以),(b a ,),(c a ,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边. 当c b =时,此三角形变为以),(c a ,)0,0(为端点的线段,此时等号成立6、 设0,0>>b x ,且b a ≠,证明x b x a ++介于1与ba之间. 证:因为x b a b x b x a +-=++-1,)()(x b b a b x b a x b x a +-=-++,且0,0>>b x 所以当b a >时, b ax b x a <++<1; 当b a <时, 1<++<xb xa b a ; 故x b x a ++总介于1与ba 之间.7、 设p 为正整数,证明:若p 不是完全平方数,则p 是无理数证:假设p 是有理数,则存在正整数m 、n 使nmp =，且m 与n 互素. 于是22m p n =.可见n 能整除2m .由于m 与n 互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u 、v 使1=+nv mu .从而m mnv u m =+2因n 能整除2m ,又能整除mnv ,故能整除其和,于是n 可整除m ,这样1=n 因此2m p =.这与p 不是完全平方数相矛盾, 故p 是无理数8、 设a 与b 为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： ⑴ b x a x -<-；⑵b x a x -<-；⑶b a x <-2.解: ⑴原不等式等价于11<---bx ba 这又等价于20<--<b x b a 即⎩⎨⎧-<-<>b x b a b x 220或⎩⎨⎧->-><b x b a bx 220即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>>b a b a x b x 2或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<<ba b a x b x 2故当b a >时,不等式的解为2ba x +>当b a <时,不等式的解为2ba x +<当b a =时,不等式无解.⑵原不等式等价于⎩⎨⎧-<->b x a x b x 且⎩⎨⎧-<->b x x a bx即⎩⎨⎧>>b a b x 且⎪⎩⎪⎨⎧+>>2b a x bx 故当b a >时,21bx +>; 当b a ≤时,不等式无解. ⑶当0≤b 时,显然原不等式无解,当0>b 时原不等式等价于b a x b a +<<-2因此①当0≤+b a 或0≤b 时,无解②当0>+b a 且0>b 时,有解 Ⅰ 如果b a ≥,则解为b a x b a +<<-即b a x b a +<<-或b a x b a +>>--Ⅱ 如果b a <,则解为b a x +< 即b a x b a +<<+-§2数集 确界原理1、 用区间表示下列不等式的解: ⑴01≥--x x ;⑵61≤+xx ; ⑶0))()((>---c x b x a x (a 、b 、c 为常数,且c b a <<)⑷22sin ≥x 解 ⑴原不等式等价于以下不等式组⎩⎨⎧≥--<011x x x 或⎩⎨⎧≥--≥011x x x前一不等式组的解为21≤x ，后一不等式组无解. 所以原不等式的解为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈21,x ⑵不等式61≤+xx 等价于616≤+≤-x x这又等价于不等式组⎩⎨⎧≤+≤->x x x x 61602或⎩⎨⎧-≤+≤<xx x x 61602前一不等式组的解为]223,223[+-∈x ，后一不等式组解为]223,223[+---∈x . 因此原不等式解为 ]223,223[]223,223[+-+---∈x⑶令))()(()(c x b x a x x f ---=,则由c b a <<知:⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈>-∞∈<= ;),(),(,0;),(),(,0)(c b a x c b a x x f因此0)(>x f 当且仅当 ;),(),(∞+∈c b a x因此原不等式的解为 ),(),(∞+∈c b a x .⑷当]43,4[ππ∈x 时22sin ≥x .由正弦函数的周期性知22sin ≥x 的解是]432,42[ππππ++∈k k x ,其中k 是整数2、设S 为非空数集,试给出下列概念的定义:⑴数集S 没有上界; ⑵数集S 无界.解: ⑴设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 没有上界 ⑵设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 无界3、证明:由(3)式确定的数集有上界,无下界. 证:{}22R x x y y S ∈-==.对任意的R x ∈,222≤-=x y 所以数集S 有上界2而对任意的0>M ,取m x +=31,则S M M x y ∈--=--===1322211, 但M y -<1,因此数集S 无下界4、 求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证. ⑴{}22<=x x S⑵{},!为自然数n n x x S ==; ⑶{})1,0(内的无理数为x x S =; ⑷⎩⎨⎧=-==},2,1,211 n x x S n 解: ⑴2sup =S ,2inf -=S ,以下依定义加以验证.由22<x 知22<<-x ,因之对任意的S x ∈,有2<x 且2->x ,即2,2-分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,不妨设22<ε,于是存在220ε-=x ,221ε+-=x使0x 、1x S ∈，但ε->20x ，ε+-<21x ，所以2sup =S ,2inf -=S⑵+∞=S sup ,1inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，+∞<≤x 1，所以1是S 的下界.对任意的自然数n ,+∞<!n ,所以+∞=S sup ;对任意的0>ε,存在S x ∈==1!11,使ε+<11x ,所以1inf =S ⑶1sup =S ,0inf =S ,以下依定义加以验证.对任意的S x ∈，有10<<x ，所以1、0分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,取εη<<0，且使η-1为无理数，则η-1S ∈，εη->-11 所以1sup =S ；由η的取法知η是无理数，S ∈η，εεη+=<0，所以0inf =S⑷1sup =S ,21inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，有121≤≤x ，所以1、21分别是S 的上、下界.对任意的0>ε，必存在自然数k ，使S x k k ∈-=211，且ε->-=1211k k x所以1sup =S又S x ∈=-=21211,ε+<=-=2121211x 所以21inf =S5. 设S 为非空有下界数集.证明:S S S min inf =⇔∈=ξξ证:设S S ∈=inf ξ,则对一切S x ∈有ξ≥x ,而S ∈ξ,故ξ是数集S 中最小的数,即S min =ξ. 设S min =ξ,则S ∈ξ,下面验证S inf =ξ. Ⅰ 对一切S x ∈,有ξ≥x ,即ξ是S 的下界. Ⅱ 对任何ξβ>,只须取S x ∈=ξ0,则β<0x ,从而ξ不是S 的下界,故S inf =ξ.6.设S 为非空数集,定义}{S x x S ∈-=-,证明:⑴S S sup inf -=-⑵S S inf sup -=-证: ⑴设-=S inf ξ,由下确界的定义知,对任意的-∈S x ,有ξ≥x ,且对任意的0>ε,存在-∈S x 0,使εξ+<0x由}{S x x S ∈-=-知, 对任意的S x ∈-,ξ-≤-x ,且存在S x ∈-0,使εξ-->-0x ,由上确界的定义知ξ-=-S sup ,即S S sup inf -=-. 同理可证⑵式成立.7.设B A 、皆为非空有界数集,定义数集},,{B y A x y x z z B A ∈∈+==+. 证明: ⑴B A B A sup sup )sup(+=+ ⑵B A B A inf inf )inf(+=+ 证: ⑴设1sup η=A ,2sup η=B .对任意的B A z +∈,存在A x ∈,B y ∈,使y x z +=. 于是1η≤x ,2η≤y ,从而21ηη+≤z对任意的0>ε,必存在A x ∈0,B y ∈0且210εη->x ,220εη->y ,则存在B A y x z +∈+=000,使εηη-+>)(210z ,所以B A B A sup sup )sup(21+=+=+ηη ⑵同理可证8.设x a a ,1,0≠>为有理数,证明:{{⎪⎩⎪⎨⎧<>=<<,1}inf ,1}sup a r a a r a a rxr r x r x ，当为有理数，当为有理数证: 只证1>a 的情况, 1<a 的情况可以类似地予以证明.设}{x r r a E r<=，为有理数.因为1>a ,r a 严格递增,故对任意的有理数x r <,有x r a a <,即x a 是E 的一个上界.对任意的0>ε,不妨设x a <ε,于是必存在有理数x r <0,使得xr x a a a <<-0ε.事实上,由x a log 递增知:xx a a <-<ε0等价于x a a xa x a =<-log )(log ε取有理数0r ,使得x r a xa <<-0)(log ε.所以E a xsup =,即}{sup 为有理数r aa rxr x<=§4具有某些特征的函数1、证明:21)(x xx f +=是R 上的有界函数. 证: 利用不等式212x x +≤有2112211)(22≤+=+=x x xx x f 对一切的),(∞+-∞∈x 都成立 故21)(x xx f +=是R 上的有界函数2、⑴证明陈述无界函数的定义; ⑵证明:21)(x x f =为)1,0(上的无界函数. ⑶举出函数f 的例子,使f 为闭区间]1,0[上的无界函数.解: ⑴设)(x f 在D 上有定义,若对任意的正数M ,都存在D x ∈0,使M x f >)(0,则称函数)(x f 为D 上的无界函数.⑵对任意的正数M ,存在)1,0(110∈+=M x ,使M M x x f >+==11)(2所以21)(xx f =为)1,0(上的无界函数. ⑶设⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f .下证)(x f 为无界函数0>∀M ,]1,0(110∈+=∃M x ,使得M M x f >+=1)(0 所以⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f 是闭区间[0,1]上的无界函数.3、 证明下列函数在指定区间上的单调性: ⑴13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增; ⑵x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增;⑶x y cos =在],0[π上严格递减.证: ⑴任取1x 、),(2∞+-∞∈x ，21x x <， 则0)(3)13()13()()(212121<-=---=-x x x x x f x f ， 可见)()(21x f x f <，所以13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增. ⑵任取1x 、]2,2[2ππ-∈x ，21x x <，则有22221ππ<+<-x x ,02221<-≤-x x π, 因此02cos21>+x x ,02sin 21<-x x , 从而02sin 2cos 2sin sin )()(21212121<-+=-=-x x x x x x x f x f , 故)()(21x f x f <,所以x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增.⑶任取1x 、],0[2π∈x ，21x x <,则π<+<2021x x ,02221<-≤-x x π, 从而02sin21>+x x ,02sin 21<-x x 02sin 2sin2cos cos )()(21212121>-+-=-=-x x x x x x x f x f 故)()(21x f x f >,所以x y cos =在],0[π上严格递减.4、 判别下列函数的奇偶性:(1)12)(24-+=x x x f ;(2) x x x f sin )(+=;(3)22)(x e x x f -=; (4))1lg()(2x x x f -+=解(1)因)(121)(2)()(2424x f x x x x x f =-+=--+-=-, 故12)(24-+=x x x f 是偶函数. (2)因),()sin ()sin()()(x f x x x x x f -=+-=-+-=-故x x x f sin )(+=是奇函数.(3)因)()()(222)(2x f e x e x x f x x ==-=----,故22)(x e x x f -=是偶函数. (4))()1lg(11lg)1lg())(1lg()(2222x f x x x x x x x x x f -=++-=++=++-=-++-=-故)1lg()(2x x x f -+=是奇函数.5、 求下列函数的周期:(1)x x f 2cos )(=;(2)x x f 3tan )(=;(3)3sin 22cos )(xx x f +=. 解 (1) )2cos 1(21cos )(2x x x f +==,而x 2cos 1+的周期是π,所以x x f 2cos )(=的周期是π. (2))3tan(x 的周期是3π,所以x x f 3tan )(=的周期是3π. (3)2cos x 的周期是π4,3sin x 的周期是π6,所以3sin 22cos )(xx x f +=的周期是π12.6、 设)(x f 为定义在],[a a -上的任一函数,证明: (1) ],[),()()(a a x x f x f x F -∈-+=为偶函数; (2) ],[),()()(a a x x f x f x G -∈--=为奇函数; (3) f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.证 (1)由已知函数)(x F 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀)()()()()()(x F x f x f x f x f x F =-+=+-=-.故)(x F 为],[a a -的偶函数.(2) 由已知函数)(x G 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀有)()]()([)()()(x G x f x f x f x f x G -=---=--=-.故)(x G 为],[a a -的奇函数.(3)由(1)(2)知: ),(2)()(x f x G x F =+从而)(21)(212)()()(x G x F x G x F x f +=+=,而)(x F ,)(x G 分别是偶函数和奇函数.显然)(21x F 也是偶函数, )(21x G 也是奇函数.从而f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.7、 设)(x f ,)(x g 为定义在D 上的有界函数,且对任一)()(,x g x f D x ≤∈,证明:(1))(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈≤;(2) )(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤. 证 (1)假设)(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈>. 令))(sup )(sup (21x g x f D x D x ∈∈-=ε,则0>ε 由上确界定义知,存在D x ∈0,))(sup )(sup (21)(sup )(0x g x f x f x f Dx D x D x ∈∈∈+=->ε,又对任意的D x ∈,<)(x g ))(sup )(sup (21)(sup x g x f x g D x D x D x ∈∈∈+=+ε. 由此知)()(0x g x f >,这与题设)()()(D x x g x f ∈∀≤相矛盾,所以)(sup )(sup x g x f D x D x ∈∈≤.(2)同理可证结论成立.8、 设f 为定义在D 上的有界函数,证明:(1) )(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-;(2) )(sup )}({inf x f x f Dx D x ∈∈-=- 证: (1)令ξ=∈)(inf x f Dx .由下确界的定义知,对任意的D x ∈,ξ≥)(x f ,即ξ-≤-)(x f , 可见ξ-是)(x f -的一个上界;对任意的0>ε,存在D x ∈0,使εξ+<)(0x f ,即εξ-->-)(0x f ,可见ξ-是)(x f -的上界中最小者.所以)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-=-ξ(2)同理可证结论成立.9、 证明:函数x x f tan )(=在)2,2(ππ-内为无界函数,但在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.证: (1)对任意的正数M ,取)1arctan(0+=M x , 则220ππ<<-x ,M M M x >+=+=1)1(tan(arctantan 0 所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内是无界函数. (2)任取[]b a ,)2,2(ππ-∈,由于x tan 在[]b a ,上是严格递增的,从而b x a tan tan tan ≤≤对任意的[]b a x ,∈都成立.令}tan ,tan max{a a M =,则对一切的[]b a x ,∈,有M x ≤tan ,所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.10、 讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x x x D ,0,1)(的周期性、单调性、有界性。