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第一章实数集与函数§1 实数§2 数集˖确界原理§3 函数概念§4 具有某些特性的函数一实数及其性质一实数及其性质二绝对值不等式实 数有理数：无理数：(,,0).为整数pp q q q有限十进制小数或无限十进制循环小数， 无限十进制不循环小数.(1). 任何一个实数都可以用十进制小数表示.若 +012R ,.;nx x a a a a ∈=则.,2,1},9,,2,1,0{,N 0 =∈∈n a a n 其中 71=2+=2.3333=2.33371=3+=3.522(1). 任何一个实数都可以用十进制小数表示.若 +012R ,.;nx x a a a a ∈=则.,2,1},9,,2,1,0{,N 0 =∈∈n a a n 其中 012R ,..nx x a a a a -∈=-则若99)1(.1210-=-k k a a a a a x . 9)1(.1210 -=-k k a a a a a 又可表示为 71=3+=3.522=3.4999=3.491=0.9999=0.999)1(.1210-=-k k a a a a a x . 9)1(.1210 -=-k k a a a a a 又可表示为10.142857.7=Q,∈∀x x 可用循环十进制小数表示.(3). Q {|,,Z,0}mx x m n n n==∈≠其中表示有理数集.=π 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971...e 2.7182818284 5904523536 028******* 6624977572 ...=x=.1010010001.0.1010010001.0 =x =π 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971...=e 2.7182818284 5904523536 028******* 6624977572 ...任何实数都可以用一个确定的无限小数表示. 若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的. 即: 若 ,.210 n a a a a x =,.210 n b b b b y =.,2,1,0, ==⇔=n b a y x n n 则 用无限小数表示实数，称为正规表示.00+N ,或使x y a b n >⇔>∃∈.,..11210210++>=n n n n b a b b b b a a a a 而 定义1+,R ,x y ∀∈若 是正规的十进制小数表示, 规定012.ny b b b b =012.,n x a a a a =00+11N ,(0,1,,),.或使而i i n n a b n a b i n a b ++⇔>∃∈==>=e 2.7182818284 5904523536……. =x 2.7182818184 5904523536…….e x>00+N ,或使x y a b n >⇔>∃∈.,..11210210++>=n n n n b a b b b b a a a a 而 定义1+,R ,x y ∀∈若 是正规的十进制小数表示, 规定.y x y x -<-⇔>规定,R ,x y -∀∈012.ny b b b b =012.,n x a a a a =00+11N ,(0,1,,),.或使而i i n n a b n a b i n a b ++⇔>∃∈==>定义2 设 012.nx a a a a =为非负实数, 称有理数012.n nx a a a a =为的 位不足近似值. x n =π 3.1415926535 8979323846...=16π 3.1415926535 897932=1π 3.1=10π 3.1415926535=3π 3.141 =2π 3.14定义2 设 012.nx a a a a =为非负实数, 称有理数012.n nx a a a a =为的 位不足近似值. x n =π 3.1415926535 8979323846...=16π 3.1415926535 897932 有理数 0121.+10n n nx a a a a =为的 位过剩近似值. x n =16π 3.1415926535 897933=1π 3.1 =10π 3.1415926535 =3π 3.141 =2π 3.14 =1π 3.2=π 3.15 =π 3.142=10π 3.1415926536++1+1N .有n n n n n x x x x x ∀∈≤≤≤≤定义2 设 012.nx a a a a =为非负实数, 称有理数012.n nx a a a a =为的 位不足近似值. x n =π 3.1415926535 8979323846...=16π 3.1415926535 897932 有理数 0121.+10n n nx a a a a =为的 位过剩近似值. x n =16π 3.1415926535 897933012.,nx a a a a =-对于负实数 =1π 3.1 =10π 3.1415926535=3π 3.141 =2π 3.14 =π 3.2 =π 3.15 =π 3.142 =π 3.1415926536 π≤≤≤≤≤π≥≥≥≥≥++1+1N .有n n n n n x x x x x ∀∈≤≤≤≤定义2 设 012.nx a a a a =为非负实数, 称有理数012.n nx a a a a =为的 位不足近似值. x n 有理数 0121.+10n n nx a a a a =为的 位过剩近似值. x n 012.,nx a a a a =-对于负实数 的位不足近似值为: x n 0121.10n n nx a a a a =--的位过剩近似值为: x n .x a a a a =-012n 012n N x y n +>⇔∃∈则 ，使得 . n nx y >命题的证明可参阅附录.012n 012n N x y n +>⇔∃∈则 ，使得 . n nx y >命题的证明可参阅附录.例1 ,R ,x y x y ∀∈>，证明:存在有理数r 满足 .x r y >>命题 设 与 为两个实数， 012.n x a a a a =012.n y b b b b =N x y n +>⇔∃∈则 ，使得 . n n x y >命题的证明可参阅附录. 例1 ,R ,x y x y ∀∈>，证明:存在有理数r 满足 .x r y >>, 因为x y >证明 根据命题存在非负整数n,使得 .n n x y >+,2n n x y r =令 则r 为有理数，且 .n n x x r y y ≥>>≥谢谢！。
第一章 实数集与函数（10学时）§１．实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一 实数及其性质 １、实数(,q p q p ⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：；对于正整数0,x a =1).9999；对于负有限小数（包括负整数），则先将y -表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．０＝0.0000例：2.001 2.0009999→3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1） 定义１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,1,2,k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义２（不足近似与过剩近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似；对于实数01nx a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位过剩近似01n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤ 过剩近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥．命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）． 命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．● 封闭性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必满足下列关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）．１．绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，||x a - 表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）． ［练习］Ｐ４． ５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。
第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时 )一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算sin、实数定义等问题引入.322.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。
《数学分析》科目考试大纲考试内容及要求：第一章实数集与函数（一）考核知识点1．实数集的性质2．确界定义和确界原理3．函数的概念及表示法，分段函数，基本初等函数的性质及其图形，初等函数4. 具有某些特性的函数（二）考核要求1. 实数集的性质（1）熟练掌握：（i）实数及其性质；（ii）绝对值与不等式.（2）深刻理解：（i）实数有序性，大小关系的传递性，稠密性，阿基米德性，实数集对四则运算的封闭性以及实数集与数轴上的点的一一对应关系；（ii）绝对值的定义及性质.（3）简单应用：（i）会比较实数的大小，能在数轴上表示不等式的解；（ii）会利用绝对值的性质证明简单的不等式.（4）综合应用：会利用实数的性质和绝对值的性质证明有关的不等式，会解简单的不等式.2. 确界定义和确界原理（1）熟练掌握：（i）区间与邻域；（ii）有界集、无界集与确界原理.（2）深刻理解：（i）区间与邻域的定义及表示法；（ii）确界的定义及确界原理.（3）简单应用：用区间表示不等式的解，证明数集的有界性，求数集的上、下确界.（4）综合应用：会用确界的定义证明某个实数是某数集的上确界（或下确界），证明某数集无界.3. 函数的概念（1）熟练掌握：（i）函数的定义；（ii）函数的表示法；（iii）函数的四则运算；（iv）复合函数；（v）反函数；（vi）初等函数.（2）深刻理解：（i）函数概念的两大要素；（ii）分段函数，掌握整数部分函数，小数部分函数，符号函数，狄利克雷和黎曼函数；（iii）函数能够进行四则运算的条件；（iv）复合函数中内函数的值域与外函数的定义域的关系；（v）反函数存在的条件.（3）简单应用：会求函数的定义域、值域，比较几个函数的大小，会求分段函数和复合函数的表达式，能熟练地描绘六类基本初等函数的图像.（4）综合应用：作简单的复合函数的图像，求函数的反函数，证明有关的不等式，会建立简单应用问题的函数关系.4. 具有某些特性的函数（1）熟练掌握：（i）有界函数；（ii）单调函数；（iii）奇函数和偶函数；（iv）周期函数.（2）深刻理解：（i）有界函数和无界函数的定义；（ii）单调函数的定义及其图像的性质；（iii）奇函数和偶函数的定义及其图像的性质；（iv）周期函数的定义及其图像的性质..（3）简单应用：（i）会求函数的上下界，判断无界函数；（ii）判断函数的单调性；（iii）判断周期函数；（iv）判断函数的奇偶性.（4）综合应用：利用函数的各种特性解决简单的应用问题.第二章数列极限(一) 考核知识点1．数列极限的定义2．收敛数列的性质3．数列极限存在的条件(二) 考核要求1. 数列极限的定义ε定义，数（1）熟练掌握：数列的敛散性概念，数列极限的N-列极限的几何意义.ε定义”的逻辑结构，深刻理（2）深刻理解：数列极限的“N-ε定义”解ε的任意性，N的相应性；用“N-ε定义”的证明数列的极限的表述方法；“N-否定说法.（3）简单应用：能够通过观察法初步判断数列的敛散性.ε语言”证明数列的极限存在.（4）综合应用：会用“N-2. 收敛数列的性质（1）熟练掌握：数列极限的唯一性，有界性，收敛数列的保号性，保不等式性，迫敛性，数列极限的四则运算法则，数列子列的概念.（2）深刻理解：收敛数列诸性质的证明.（3）简单应用：运用收敛数列的四则运算法则计算数列的极限.（4）综合应用：运用数列极限的唯一性，收敛数列的有界性、保号性，数列极限的迫敛性等证明数列的各种性质，判断发散数列.3.数列极限存在的条件（1）熟练掌握：（i）单调有界原理；（ii）柯西收敛准则.（2）深刻理解： 单调有界原理和柯西收敛准则的实质及其否定命题.（3）简单应用：会用单调有界原理证明某些极限的存在性.（4）综合应用：会用单调有界原理和柯西收敛准则证明某些极限问题，会用柯西收敛准则的否定命题证明数列发散.第三章 函数极限(一) 考核知识点1．函数极限的定义2．函数极限的性质3．函数极限存在的条件4．两个重要的极限5．无穷大量与无穷小量(二) 考核要求1.函数极限的定义（1）熟练掌握：（i ）∞→x 时函数极限的定义；（ii ）0x x →时函数极限的定义.（2）深刻理解：（i ）A x f x =∞→)(lim 的“X -ε定义”的逻辑结构，深刻理解ε的任意性，X 的相应性；用“X-ε定义”证明函数极限的表述方法；“X -ε定义”的否定说法.（ii ）A x f x x =→)(lim 0的“δε-定义”的逻辑结构，深刻理解ε的任意性，δ的相应性；用“δε-定义”证明函数极限的表述方法；单侧极限和极限A x f x x =→)(lim 0存在的充要条件；“δε-定义”的否定说法.（3）简单应用： 会用“A x f x =∞→)(lim 的X -ε定义”和“A x f x x =→)(lim 0的δε-定义”证明简单函数的极限.（4）综合应用： 会用“A x f x =∞→)(lim 的X -ε定义”和“A x f x x =→)(lim 0的δε-定义”等分析语言证明一般的函数极限问题；用极限存在的充要条件证明极限不存在.2.函数极限的性质（1）熟练掌握：函数极限的唯一性，有极限的函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性，函数极限的迫敛性，函数极限的四则运算法则.（2）深刻理解：函数极限诸性质的证明.（3）简单应用：运用函数极限的四则运算法则计算函数的极限.（4）综合应用：运用函数极限的唯一性，局部有界性、局部保号性，函数极限的迫敛性等证明函数的各种性质.3.函数极限存在的条件（1）熟练掌握：（i ）归结原则；（ii ）柯西收敛准则.（2）深刻理解：归结原则和柯西收敛准则的实质.（3）简单应用：会用归结原则证明函数的极限不存在，用柯西收敛准则证明函数极限存在.（4）综合应用：用柯西收敛准则的否定命题证明函数极限不存在.4.两个重要的极限（1）熟练掌握：1sin lim 0=→x x x ，e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim . （2）深刻理解：两个重要极限的证明.（3）简单应用：利用两个重要极限求极限的方法.（4）综合应用：综合利用归结原则和两个重要极限求极限的方法.5.无穷小量与无穷大量（1）熟练掌握：无穷小量，无穷大量.（2）深刻理解：无穷小量和无穷大量的性质和关系，无穷小量的比较.（3）简单应用：无穷小量的比较方法，用无穷小量和无穷大量求极限.（4）综合应用：用等价无穷小求极限.第四章 函数的连续性（一）考核知识点1．连续性概念2．连续函数的性质3．初等函数的连续性（二）考核要求1. 连续性概念（1）熟练掌握：函数在一点的连续性，区间上的连续函数，间断点及其分类.（2）深刻理解：函数在一点左、右连续的概念，函数在一点的连续的充要条件.（3）简单应用：用定义证明函数在一点连续.（4）综合应用：利用函数在一点的连续的充要条件证明函数在一点连续.2.连续函数的性质（1）熟练掌握：连续函数的局部性质，闭区间上连续函数的基本性质，反函数的连续性，复合函数的连续性.（2）深刻理解：一致连续性.（3）简单应用：用连续函数求极限.（4）综合应用：证明函数的一致连续性，利用闭区间上连续函数的基本性质论证某些问题.3.初等函数的连续性（1）熟练掌握：基本初等函数的连续性.（2）深刻理解：初等函数在其定义的区间内连续.（3）简单应用：证明基本初等函数在定义域内连续，判断初等函数间断点的类型.（4）综合应用：证明一般初等函数在定义域内连续，判断分段函数间断点的类型.第五章导数与微分（一）考核知识点1．导数的概念2．求导法则3．参变量函数的导数4．高阶导数5．微分（二）考核要求1.导数的概念（1）熟练掌握：导数的定义，导函数.（2）深刻理解：函数在一点的变化率，左、右导数，导数的几何意义，导函数的介值性，函数可导与连续的关系.（3）简单应用：会求函数的平均变化率，确定曲线切线的斜率，求函数的稳定点.（4）综合应用：求分段函数的导数，运用导数概念证明曲线的某些几何性质.2.求导法则（1）熟练掌握：导数的四则运算，反函数的导数，复合导数的导数，基本求导法则与公式.（2）深刻理解：导数的四则运算、反函数的导数、复合导数的导数、基本求导法则与公式的证明.（3）简单应用：会用各种求导法则计算初等函数的导数.（4）综合应用：综合运用各种求导法则计算函数的导数.3.参变量函数的导数（1）熟练掌握：参变量函数的导数的定义.（2）深刻理解：参变量函数的导数的几何意义.（3）简单应用：会求参变量函数所确定函数的导数.（4）综合应用：利用参变量函数的导数证明曲线的某些几何性质.4.高阶导数（1）熟练掌握：高阶导数的定义.（2）深刻理解：高阶导函数的概念.（3）简单应用：高阶导数的计算.（4）综合应用：利用莱布尼茨公式计算高阶导数，计算参变量函数的高阶导数.5.微分（1）熟练掌握：微分概念.（2）深刻理解：微分的几何意义，导数与微分的关系，一阶微分形式的不变性.（3）简单应用：微分的计算.（4）综合应用：高阶微分的计算，微分在近似计算中的应用.第六章微分中值定理及其应用（一）考核知识点1．拉格朗日定理和函数单调性2．柯西中值定理和不定式极限3．泰勒公式4．函数的极值与最值5．函数的凸性与拐点，函数图像的讨论（二）考核要求1.拉格朗日定理和函数单调性（1）熟练掌握：罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，函数单调性.（2）深刻理解：罗尔中值定理和拉格朗日中值定理的条件与结论、证明方法，它们的几何意义.（3）简单应用：判断函数是否满足罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会求简单函数的中值点.（4）综合应用：用拉格朗日中值定理证明函数的单调性，利用拉格朗日中值定理和函数的单调性，证明某些恒等式和不等式.2. 柯西中值定理和不定式极限（1）熟练掌握：柯西中值定理，不定式的极限.（2）深刻理解：柯西中值定理的证明方法，求不定式极限的方法.（3）简单应用：求不定式的极限.（4）综合应用：用柯西中值定理证明某些带中值的等式.3. 泰勒公式（1）熟练掌握：泰勒定理，泰勒公式，麦克劳林公式.（2）深刻理解：泰勒定理的实质，泰勒公式与拉格朗日中值定理的关系.（3）简单应用：利用泰勒定理展开六种函数的麦克劳林公式，余项估计.（4）综合应用：利用泰勒公式和等价无穷小变换计算极限，泰勒公式在近似计算上的应用.4. 函数的极值与最大〔小〕值（1）熟练掌握：函数的极值与最值，取极值的必要条件，驻点.（2）深刻理解：判断极值的两个充分条件.（3）简单应用：会求函数极值与最值.（4）综合应用：证明某些不等式，解决求最值的应用问题.5. 函数的凸性与拐点，函数图像的讨论（1）熟练掌握：函数图像的凸性与拐点，函数图像的性态.（2）深刻理解：凸函数，函数为凸函数的充要条件，曲线的渐近线.（3）简单应用：判断函数图像的凸性与拐点，渐近线的求法，函数图像的性态的讨论，简单函数图像的描绘.（4）综合应用：利用函数的凸性证明不等式.第七章实数的完备性（一）考核知识点1．关于实数集完备性的基本定理2．闭区间上连续函数性质的证明（二）考核要求1.关于实数集完备性的基本定理（1）熟练掌握：实数集完备性的意义，实数集完备性的几个基本定理.（2）深刻理解：区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理的条件和结论，它们的证明方法，理解有理数集不满足完备性定理的原因（3）简单应用：会求数集的聚点、确界.（4）综合应用：实数集完备性的几个基本定理的等价性证明.2. 闭区间上连续函数性质的证明（1）熟练掌握：闭区间上连续函数的有界性，有最大、最小值性，介值性和一致连续性.（2）深刻理解：闭区间上连续函数性质的证明思路和方法.第八章不定积分（一）考核知识点1．不定积分概念与基本积分公式2．换元积分法与分部积分法3．有理函数和可化为有理函数的不定积分（二）考核要求1.不定积分概念与基本积分公式（1）熟练掌握：原函数、不定积分及二者的区别，基本积分表.（2）深刻理解：原函数与导数的关系，不定积分的基本性质，不定积分的几何意义.（3）简单应用：会求简单初等函数的不定积分.（4）综合应用：根据不定积分的几何意义求曲线方程.2.换元积分法与分部积分法（1）熟练掌握：换元积分法，分部积分法.（2）深刻理解：换元积分法与复合函数求导法则的关系，分部积分法与乘积求导法的关系.（3）简单应用：会用换元积分法与分部积分法计算简单函数的不定积分.（4）综合应用：综合运用换元积分法与分部积分法计算某些函数的不定积分，证明某些递推公式.3.有理函数和可化为有理函数的不定积分（1）熟练掌握：有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积分.（2）深刻理解：以上各种不定积分的计算步骤.（3）应用：会算有理函数、三角函数有理式和某些无理函数的不定积分.第九章定积分（一）考核知识点1．定积分概念和性质2．可积条件3．微积分学基本定理·定积分的计算（二）考核要求1.定积分概念和性质（1）熟练掌握：定积分的实际背景，黎曼和，定积分的性质.（2）深刻理解：构造积分和的方法，定积分及其性质的几何意义.（3）简单应用：用定积分定义计算简单函数的定积分，利用定积分的性质比较积分的大小，估计积分值.（4）综合应用：用定积分定义计算某些复杂和式的极限，利用定积分的性质证明不等式，论证函数的某些性质.2.可积条件（1）熟练掌握：可积的必要条件和充分条件，可积函数类.（2）深刻理解：达布和，可积准则及其证明方法.（3）简单应用：判断函数的可积性.（4）综合应用：论证可积函数的某些性质.3.微积分学基本定理和定积分的计算（1）熟练掌握：变限定积分所确定的函数及其性质，微积分学基本定理.（2）深刻理解：微积分学基本定理的实质，原函数的存在性.（3）简单应用：用牛顿——莱布尼茨公式计算定积分，用换元积分法与分部积分法计算定积分.（4）综合应用：综合运用各种方法计算定积分.第十章定积分的应用（一）考核知识点：平面图形的面积，由平行截面面积求体积，平面曲线的弧长，旋转曲面的面积（二）考核要求1．熟练掌握：用定积分表达和计算一些几何量.2．深刻理解：定积分的应用的实质—微元法.3．应用：计算平面图形的面积，由平行截面面积求体积，平面曲线的弧长，旋转曲面的面积.第十一章反常积分（一）考核知识点1．反常积分概念2．无穷积分的性质与收敛判别3．瑕积分的性质与收敛判别（二）考核要求1.反常积分概念（1）熟练掌握：两类反常积分的定义.（2）深刻理解：反常积分即变限定积分的极限.2.无穷积分的性质与收敛判别（1）熟练掌握：无穷积分的性质，条件收敛，绝对收敛.（2）深刻理解：比较判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法.（3）简单应用：计算无穷积分，判别无穷积分的收敛性.（4）综合应用：运用无穷积分的性质和判别法论证某些问题.3.瑕积分的性质与收敛判别（1）熟练掌握：瑕积分的性质，条件收敛，绝对收敛.（2）深刻理解：比较判别法.（3）简单应用：计算，瑕积分，判别瑕积分的收敛性.（4）综合应用：运用瑕积分的性质和判别法论证某些问题.第十二章数项级数（一）考核知识点1．级数的收敛性2．正项级数和一般项级数（二）考核要求1. 级数的收敛性（1）熟练掌握：数项级数的定义.（2）深刻理解：级数收敛、发散的概念，收敛级数的性质，级数收敛的柯西准则.（3）简单应用：判断级数的收敛和发散.（4）综合应用：应用柯西准则讨论级数的敛散性.2.正项级数（1）熟练掌握：正项级数收敛的必要条件，正项级数的比较原则.（2）深刻理解：正项级数收敛比式判别法，根式判别法和积分判别法.（3）简单应用：判别正项级数的收敛性.（4）综合应用：运用正项级数收敛的必要条件，比较原则和几个判别法等论证一些问题.3.一般项级数（1）熟练掌握：交错级数的概念，条件收敛与绝对收敛的概念及关系，莱布尼茨判别法.（2）深刻理解：绝对收敛级数的性质，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法.（3）应用：判别一般项级数的收敛性.第十三章函数列与函数项级数（一）考核知识点1．一致收敛性2．一致收敛函数列与函数项级数的性质（二）考核要求1.一致收敛性（1）熟练掌握：函数列与函数项级数的一致收敛性的定义，一致收敛的充要条件.（2）深刻理解：一致收敛定义的否定叙述，一致收敛的柯西准则，函数列与函数项级数一致收敛性的判别法（3）应用：会用一致收敛性的定义或判别法判别函数列的一致收敛性，用M判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法判别一些函数级数的一致收敛性.2.一致收敛函数列与函数项级数的性质（1）熟练掌握：一致收敛函数列的极限函数与函数项级数的和函数.（2）深刻理解：连续性，可积性，可微性定理.（3）简单应用：由定理讨论函数项级数的和函数的连续性，可积性，可微性.（4）综合应用：由定理证明和函数的分析性质，计算函数项级数的积分.第十四章幂级数（一）考核知识点1．幂级数2．函数的幂级数展开式（二）考核要求1.幂级数（1）熟练掌握：幂级数的定义.（2）深刻理解：幂级数的性质.（3）应用：幂级数的计算，求幂级数的收敛半径、收敛域.2.函数的幂级数展开式（1）熟练掌握：泰勒级数定义.（2）深刻理解：泰勒级数和麦克劳林级数.（3）简单应用：六个常用的初等函数的麦克劳林级数.（4）综合应用：把一些简单的函数展成泰勒级数或麦克劳林级数.第十六章多元函数的极限与连续（一）考核知识点1．平面点集与多元函数2．二元函数的极限和连续性（二）考核要求1.平面点集与多元函数（1）熟练掌握：二元函数和二元函数极限的定义.弄清二重极限与累次极限的区别极其联系.（2）深刻理解：平面点集的一些概念：邻域、内点、界点、聚点、开区域、闭区域、有界区域、无界区域等.完备性定理.（3）简单应用：求函数的定义域，画定义域的图形，说明何种点集.（4）综合应用：判断平面点集的性质及其平面点集的聚点与界点.2.二元函数的极限和连续性（1）熟练掌握：二元函数的极限和连续性的概念.（2）深刻理解：累次极限和二元连续函数的性质.（3）简单应用：求累次极限，运用连续性定理.（4）综合应用：会求函数的极限.讨论函数的连续性.第十七章多元函数微分学（一）考核知识点1．可微性2．复合函数微分法3．方向导数与梯度及泰勒公式与极值问题（二）考核要求1.可微性（1）熟练掌握：可微与全微分定义.可微性几何意义及应用.（2）深刻理解：可微性条件.（3）简单应用：可微性充分条件.（4）综合应用：求函数的导数.2.复合函数微分法（1）熟练掌握：复合函数的有关定义.（2）深刻理解：复合函数的全微分（3）简单应用：复合函数的求导法则.（4）综合应用：求函数的偏导数或导数.3.方向导数与梯度及泰勒公式与极值问题（1）熟练掌握：方向导数与梯度的定义.（2）深刻理解：中值定理和极值充分条件.（3）简单应用：熟练计算偏导数和高阶偏导数.（4）综合应用：运用泰勒公式解决极值问题.第十八章隐函数定理及其应用（一）考核知识点1．隐函数及隐函数组2．几何应用和条件极值（二）考核要求1.隐函数及隐函数组（1）熟练掌握：隐函数及隐函数组的概念，反函数组与坐标变换.（2）深刻理解：隐函数定理和隐函数组的定理.（3）简单应用：隐函数存在性的条件分析.（4）综合应用：对隐函数求导.2.几何应用和条件极值（1）熟练掌握：平面曲线、空间曲线的切线于法平面，曲面的切平面与法线.（2）深刻理解：条件极值.（3）简单应用：拉格朗日函数.（4）综合应用：应用拉格朗日乘数法求函数的条件极值.第十九章含参量积分（一）考核知识点1．含参量正常积分2．含参量反常积分（二）考核要求1. 含参量正常积分（1）熟练掌握：含参量积分的定义.（2）深刻理解：含参量积分的连续性、可微性、可积性.（3）简单应用：累次积分.（4）综合应用：求函数的积分.2. 含参量反常积分（1）熟练掌握：含参量反常积分的定义.（2）深刻理解：含参量反常积分的性质.（3）简单应用：一致收敛及其判别法.（4）综合应用：证明一致收敛性.第二十章曲线积分（一）考核知识点1．第一型曲线积分2．第二型曲线积分（二）考核要求1. 第一型曲线积分（1）熟练掌握：第一型曲线积分的定义.（2）深刻理解：第一型曲线积分的性质.（3）应用：第一型曲线积分的计算.2. 第二型曲线积分（1）熟练掌握：第二型曲线积分的定义.（2）深刻理解：第二型曲线积分的性质，第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系.（3）应用：第二型曲线积分的计算.第二十一章重积分（一）考核知识点1．二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算2．格林公式•曲线积分与路线的无关性3．二重积分的变量变换与三重积分4．重积分的应用（二）考核要求1.二重积分的概念及直角坐标系下二重积分的计算（1）熟练掌握：二重积分的概念极其存在性，平面图形的存在性.（2）深刻理解：二重积分的性质.二元函数的可积性定理.（3）简单应用：直角坐标系下二重积分的计算.（4）综合应用：计算二重积分及二重积分所围的区域.2. 格林公式•曲线积分与路线的无关性（1）熟练掌握：连通区域的概念，（2）深刻理解：格林公式，积分与路线的无关性定理.（3）简单应用：验证积分与路线无关并会求积分.（4）综合应用：应用格林公式计算曲线积分.3.二重积分的变量变换与三重积分（1）熟练掌握：三重积分的概念.（2）深刻理解：二重积分的可积函数类与性质，二重积分的变量变换公式与化三重积分为累次积分.（3）简单应用：用极坐标计算二重积分，会三重积分换元法.（4）综合应用：对积分进行极坐标变换并计算二重积分.计算三重积分及累次积分.第二十二章曲面积分（一）考核知识点1．第一型曲面积分和第二型曲面积分2．高斯公式与托克斯公式（二）考核要求1.第一型曲面积分和第二型曲面积分（1）熟练掌握：第一型曲面积分和第二型曲面积分的定义及二者之间的关系.（2）深刻理解：第一型曲面积分和第二型曲面积分的物理背景.（3）应用：第一型曲面积分和第二型曲面积分的计算.2.高斯公式与托克斯公式（1）熟练掌握：高斯公式和斯托克斯公式的物理意义.（2）深刻理解：高斯公式和斯托克斯公式及其证明过程.（3）应用：用高斯公式和斯托克斯公式计算曲面积分.。
第一章 实数集与函数§1 实数1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。
证：（1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a+x –a 是有理数。
这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。
（2）假设ax 是有理数，于是ax x a=是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax是无理数。
2. 试在数轴上表示出下列不等式的解:(1)2(1)0;x x -> (2)|1||3|;x x -<-≥解：（1）由原不等式有220,0,1010.x x x x ><⎧⎧⎨⎨->-<⎩⎩或 而前一个不等式组的解集是{}|1A x x =>，后一个不等式组的解集 {}|10B x x =-<<，故（1）的解集是.A B（2）由原不等式有113x x -<-，于是2113x +<-。
所以21113x -<+<-，即1013x<<-，则31,2x x -><故（2）的解集为(),2-∞。
（30≥≥，从而对不等式两端平方有12132x x x -+--≥-。
因此有0≤，所以0=， 由此得11,2x x ==或。
但检验知112x x ==和均不符合原不等式。
所以原不等式的解集为∅。
3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b证：由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而a=b 。
另证：（反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。
这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而a=b 。
第一章 实数集与函数（12学时）§１．实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一 实数及其性质 １、实数(,q p q p ⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示.{}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定： ,n a 其中,,nn a ≠19999n a -；对于正整数0(1).9999a -；对于负有限小数（包括负整数）y ，则先将y -表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．０＝例：2.001 2.0009999→ 3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1） 定义１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,1,2,k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义２（不足近似与过剩近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01nx a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似；对于实数01n x a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位过剩近似01n n x a a a =-.注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤过剩近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥． 命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）．命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得nn x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）． ● 封闭性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必满足下列关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）．１．绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩． ２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，||x a -表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）．［练习］Ｐ４． ５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。
数学分析教学方案（2005年5月初稿，2007年10月修改）第一章 实数集与函数§1 实数(一) 教学目的：把握实数的大体概念和最多见的不等式，以备以后各章应用．(二) 教学内容：实数的大体性质和绝对值的不等式．(1) 大体要求：实数的有序性，浓密性，阿基米德性．(2) 较高要求：实数的四那么运算．(三) 教学建议：(1) 本节要紧温习中学的有关实数的知识．(2) 讲清用无穷小数统一表示实数的意义和引入不足近似值与多余近似值的作用．§2 数集.确界原理(一) 教学目的：把握实数的区间与邻域概念，把握集合的有界性和确界概念．(二) 教学内容：实数的区间与邻域；集合的上下界，上确界和下确界；确界原理．(1) 大体要求：把握实数的区间与邻域概念；分清最大值与上确界的联系与区别；结合具体集合，能指出其确界；能用一种方式，证明集合 A 的上确界为 λ．即： ,,λ≤∈∀x A x 且 ,λ<∀a ∃0x 0,x A ∈a >；或,,λ≤∈∀x A x 且 ,,00A x ∈∃>∀ε ελ->0x ． (2) 较高要求：把握确界原理的证明，并用确界原理熟悉实数的完备性．(三) 教学建议：(1) 此节重点是确界概念和确界原理．不可强行要求一步到位，对多数学生可只布置证明具体集合的确界的习题．(2) 此节难点亦是确界概念和确界原理．对较勤学生可布置证明抽象集合的确界的习题．§3 函数概念(一) 教学目的：把握函数概念和不同的表示方式．(二) 教学内容：函数的概念与表示法；复合函数与反函数；初等函数．(1) 大体要求：把握函数的概念与表示法；明白得复合函数与反函数；知道初等函数的概念，熟悉狄利克莱函数和黎曼函数．(2) 较高要求：函数是一种关系或映射的进一步的熟悉．(三) 教学建议：通过狄利克莱函数和黎曼函数，使学生对函数的熟悉从具体上升到抽象．§4 具有某些特性的函数(一) 教学目的：把握函数的有界性，单调性，奇偶性和周期性．(二) 教学内容：有界函数，单调函数，奇函数，偶函数和周期函数．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是通过对函数的有界性的分析，培育学生了解研究抽象函数性质的方式．(2) 本节的难点是要求用分析的方式概念函数的无界性．对较勤学生可初步教会他们用分析语言表述否命题的方式．第二章 数列极限§1 数列极限概念(一) 教学目的：把握数列极限概念，学会证明数列极限的大体方式．(二) 教学内容：数列极限．(1) 大体要求：明白得数列极限的分析概念，学会证明数列极限的大体方式，知道数列极限的分析概念中 ε与 N 的关系．(2) 较高要求：学会假设干种用数列极限的分析概念证明极限的特殊技术．(三)教学建议：(1) 本节的重点是数列极限的分析概念，要强调这一概念在分析中的重要性．具体教学中先教会他们证明 ∞→n lim 01=k n ； ∞→n lim n a 0=；( )1||<a ，然后教会他们用这些无穷小量来操纵有关的变量（适当放大但仍小于这些无穷小量）．(2) 本节的难点仍是数列极限的分析概念．对较勤学生可要求他们用数列极限的分析概念证明较复杂的数列极限，还可要求他们深切明白得数列极限的分析概念．§2 数列极限的性质(一) 教学目的：把握数列极限的要紧性质，学会利用数列极限的性质求数列的极限．(二) 教学内容：数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四那么运算法那么和数列的子列及有关子列的定理．(1) 大体要求：明白得数列极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四那么运算法那么，并会用其中某些性质计算具体的数列的极限．(2) 较高要求：把握这些性质的较难的证明方式，和证明抽象形式的数列极限的方式．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是数列极限的性质的证明与运用．可对多数学生重点讲解其中几个性质的证明，多布置利用这些性质求具体数列极限的习题．(2) 本节的难点是数列极限性质的分析证明．对较好的学生，要求能够把握这些性质的证明方式，而且会用这些性质计算较复杂的数列极限，例如： ∞→n lim n n =1，等．§3 数列极限存在的条件(一) 教学目的：把握单调有界定理，明白得柯西收敛准那么．(二) 教学内容：单调有界定理，柯西收敛准那么．(1) 大体要求：把握单调有界定理的证明，会用单调有界定理证明数列极限的存在性，其中包括 1lim(1)nn n →∞+存在的证明．明白得柯西收敛准那么的直观意义． (2) 较高要求：会用单调有界定理证明数列极限的存在性，会用柯西收敛准那么判别抽象数列（极限）的敛散性．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是数列单调有界定理．对多数学生要求会用单调有界定理证明数列极限的存在性．(2) 本节的难点是柯西收敛准那么．要求较勤学生能够用柯西收敛准那么判别数列的敛散性．第三章 函数极限§1 函数极限概念(一) 教学目的：把握各类函数极限的分析概念，能够用分析概念证明和计算函数的极限．(二) 教学内容：各类函数极限的分析概念．大体要求：把握当 0x x →； ∞→x ； ∞+→x ； ∞-→x ； +→0x x ； -→0x x 时函数极限的分析概念，而且会用函数极限的分析概念证明和计算较简单的函数极限．(三) 教学建议：本节的重点是各类函数极限的分析概念．对多数学生要求要紧把握当0x x →时函数极限的分析概念，并用函数极限的分析概念求函数的极限．§2 函数极限的性质(一) 教学目的：把握函数极限的性质．(二) 教学内容：函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四那么运算法那么．(1) 大体要求：把握函数极限的唯一性，有界性，保号性，保不等式性，迫敛性，四那么运算法那么，并会用这些性质计算函数的极限．(2) 较高要求：明白得函数极限的局部性质，并对这些局部性质作进一步的理论性的熟悉．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是函数极限的各类性质．由于这些性质类似于数列极限中相应的性质，可着重强调其中某些性质与数列极限的相应性质的区别和联系．(2) 本节的难点是函数极限的局部性质．对较勤学生，要求知道这些局部的 δ（的大小）不仅与 ε有关，而且与点0x 有关，为以后讲解函数的一致持续性作预备．§3 函数极限存在的条件(一) 教学目的：把握函数极限的归结原理和函数极限的单调有界定理，明白得函数极限的柯西准那么．(二) 教学内容：函数极限的归结；函数极限的单调有界定理；函数极限的柯西准那么．(1) 大体要求：把握函数极限的归结，明白得函数极限的柯西准那么．(2) 较高要求：能够写出各类函数极限的归结原理和柯西准那么．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是函数极限的归结原理．要着重强调归结原理中数列的任意性．(2) 本节的难点是函数极限的柯西准那么．要求较勤学生能够熟练地写出和运用各类函数极限的归结原理和柯西准那么．§4两个重要的极限(一) 教学目的：把握两个重要极限： 0lim →x 1sin =x x ； ∞→x lim x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11e =． (二) 教学内容：两个重要极限： 0lim →x 1sin =x x ； ∞→x lim x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11e =． (1) 大体要求：把握 0lim →x 1sin =xx 的证明方式，利用两个重要极限计算函数极限与数列极限． (2) 较高要求：把握 ∞→x lim x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11e =证明方式． (三) 教学建议：(1) 本节的重点是与两个重要的函数极限有关的计算与证明．可用方式： 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ； e x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→)()()(11lim ψψψ，其中 )(x ϕ、 )(x ψ别离为任一趋于0或趋于∞的函数． (2) 本节的难点是利用迫敛性证明 ∞→x lim xx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11e =．§5 无穷小量与无穷大量(一) 教学目的：把握无穷小量与无穷大量和它们的阶数的概念．(二) 教学内容：无穷小量与无穷大量，高阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小，无穷大．(1) 大体要求：把握无穷小量与无穷大量和它们的阶数的概念．(2) 较高要求：能够写出无穷小量与无穷大量的分析概念，并用分析概念证明无穷小量与无穷大量．在计算及证明中，熟练利用“ o ”与“ O ”．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是无穷小量与无穷大量和它们的阶数的概念．(2) 本节的难点是熟练利用“ o ”与“ O ”进行运算．第四章 函数的持续性§1 持续性概念(一) 教学目的：把握函数持续性概念．(二) 教学内容：函数在一点和在区间上持续的概念，中断点的分类．(1) 大体要求：把握函数持续性概念，可去中断点，跳跃中断点，第二类中断点，区间上的持续函数的概念．(2) 较高要求：讨论黎曼函数的持续性．(三) 教学建议：(1)函数持续性概念是本节的重点．对学生要求知道函数在一点和在区间上持续的概念，中断点的分类．(2) 本节的难点是用较高的分析方式、技术证明函数的持续性，可在此节中对较勤学生布置有关习题．§2 持续函数的性质(一) 教学目的：把握持续函数的局部性质和闭区间上持续函数的整体性质．(二) 教学内容：持续函数的局部保号性，局部有界性，四那么运算；闭区间上持续函数的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函数的持续性，一致持续性．(1) 大体要求：把握函数局部性质概念，可去中断点，跳跃中断点，第二类中断点；了解闭区间上持续函数的性质．(2) 较高要求：对一致持续性的深切明白得．(三)教学建议：(1) 函数持续性概念是本节的重点．要求学生把握函数在一点和在区间上持续的概念，中断点的分类，了解持续函数的整体性质．对一致持续性作出几何上的说明．(2)本节的难点是持续函数的整体性质，尤其是一致持续性和非一致持续性的特点．可在此节中对较勤学生布置判别函数一致持续性的习题．§3 初等函数的持续性(一) 教学目的：了解指数函数的概念，把握初等函数的持续性．(二) 教学内容：指数函数的概念；初等函数的持续性．(1) 大体要求：把握初等函数的持续性．(2) 较高要求：把握指数函数的严格概念．(三)教学建议：(1) 本节的重点是初等函数的持续性．要求学生会用初等函数的持续性计算极限．(2) 本节的难点是明白得和把握指数函数的性质．第五章导数和微分§1 导数的概念(一) 教学目的：把握导数的概念，了解费马定理、达布定理．(二) 教学内容：函数的导数，函数的左导数，右导数，有限增量公式，导函数．(1) 大体要求：把握函数在一点处的导数是差商的极限．了解导数的几何意义，明白得费马定理．(2) 较高要求：明白得达布定理．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是导数的概念和导数的几何意义．会用概念计算函数在一点处的导数．(2) 本节的难点是达布定理．对较勤学生可布置运用达布定理的习题．§2 求导法那么(一) 教学目的：熟练把握求导法那么和熟记大体初等函数的求导公式．(二) 教学内容：导数的四那么运算，反函数求导，复合函数的求导，大体初等函数的求导公式．大体要求：熟练把握求导法那么和熟记大体初等函数的求导公式．(三) 教学建议：求导法那么的把握和运用对以后的学习相当重要，要安排专门时刻催促和检查学生学习情形．§3 参变量函数的导数(一) 教学目的：把握参变量函数的导数的求导法那么．(二) 教学内容：参变量函数的导数的求导法那么．大体要求：熟练把握参变量函数的导数的求导法那么．(三) 教学建议：通过足量习题使学生把握参变量函数的导数的求导法那么．§4高阶导数(一) 教学目的：把握高阶导数的概念，了解求高阶导数的莱布尼茨公式．(二) 教学内容：高阶导数；求高阶导数的莱布尼茨公式．(1) 大体要求：把握高阶导数的概念，能够计算给定函数的高阶导数．(2) 较高要求：把握并明白得参变量函数的二阶导数的求导公式．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是高阶导数的概念和计算．要求学生熟练把握．(2) 本节的难点是高阶导数的莱布尼茨公式，专门是参变量函数的二阶导数．要强调对参变量求导与对自变量求导的区别．可要求较勤学生把握求参变量函数的二阶导数．§5 微分(一) 教学目的：把握微分的概念和微分的运算方式，了解高阶微分和微分在近似计算中的应用．(二) 教学内容：微分的概念，微分的运算法那么，高阶微分，微分在近似计算中的应用．(1) 大体要求：把握微分的概念，微分的运算法那么，一阶微分形式的不变性．(2) 较高要求：把握高阶微分的概念．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是把握微分的概念，要讲清微分是全增量的线性主部．(2) 本节的难点是高阶微分，可要求较勤学生把握这些概念．第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性(一) 教学目的：把握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．(二) 教学内容：罗尔中值定理；拉格朗日中值定理．(1) 大体要求：把握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．(2) 较高要求：把握导数极限定理．(三) 教学建议：(1)本节的重点是把握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，要求牢记定理的条件与结论，明白证明的方式．(2) 本节的难点是用拉格朗日中值定理证明有关定理与解答有关习题．可要求较勤学生把握通过设辅助函数来运用微分中值定理．§2 柯西中值定理和不定式极限(一) 教学目的：了解柯西中值定理，把握用洛必达法那么求不定式极限．(二) 教学内容：柯西中值定理；洛必达法那么的利用．(1) 大体要求：了解柯西中值定理，把握用洛必达法那么求各类不定式极限．(2) 较高要求：把握洛必达法那么 00型定理的证明．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是把握用洛必达法那么求各类不定式极限．可强调洛必达法那么的重要性，并总结求各 种不定式极限的方式．(2) 本节的难点是把握洛必达法那么定理的证明，专门是∞∞型的证明．§3 泰勒公式(一) 教学目的：明白得带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．(二) 教学内容：带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用．(1) 大体要求：了解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式，熟记六个常见函数的麦克劳林公式．(2) 较高要求：用泰勒公式计算某些 0型极限．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是明白得带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．(2) 本节的难点是把握带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式的证明．对较勤学生可要求把握证明的方式．§4函数的极值与最大(小)值(一) 教学目的：把握函数的极值与最大(小)值的概念．(二) 教学内容：函数的极值与最值．(1) 大体要求：把握函数的极值的第一、二充分条件；学会求闭区间上持续函数的最值及其应用．(2) 较高要求：把握函数的极值的第三充分条件．(三) 教学建议：教会学生以函数的不可导点和导函数（和二阶导数）的零点（稳固点）分割函数概念域，作自变量、导函数（和二阶导数）、函数的性态表，那个表给出函数的单调区间，凸区间，极值．这对后面的函数作图也有帮忙．§5 函数的凸性与拐点(一) 教学目的：把握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式．(二) 教学内容：函数的凸性与拐点．(1) 大体要求：把握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式．(2) 较高要求：运用詹森不等式证明或构造不等式，左、右导数的存在与持续的关系．(三) 教学建议：(1) 教给学生判定凸性的充分条件即可，例如导函数单调．(2) 本节的难点是运用詹森不等式证明不等式．§6 函数图象的讨论(一) 教学目的：把握函数图象的大致刻画．(二) 教学内容：作函数图象．(1) 大体要求：把握直角坐标系下显式函数图象的大致刻画．(2) 较高要求：能刻画参数形式的函数图象．(三)教学建议：教会学生依照函数的性态表，和函数的单调区间，凸区间，大致刻画函数图象．第七章实数的完备性§1关于实数集完备性的大体定理(一)教学目的：把握区间套定理和柯西判别准那么的证明，了解有限覆盖定理和聚点定理(较熟练运用致密性定理)．(二)教学内容：区间套定理、柯西判别准那么的证明；聚点定理；有限覆盖定理．(1) 大体要求：把握和运用区间套定理、致密性定理．(2) 较高要求：把握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用．(三) 教学建议：(1)本节的重点是区间套定理和致密性定理．教会学生在什么样情形下应用区间套定理和致密性定理和如何应用区间套定理和致密性定理．(2) 本节的难点是把握聚点定理和有限覆盖定理．教会较勤学生如何应用聚点定理和有限覆盖定理．§2 闭区间上的持续函数性质的证明(一) 教学目的：证明闭区间上的持续函数性质．(二) 教学内容：闭区间上的持续函数有界性的证明；闭区间上的持续函数的最大(小)值定理的证明；闭区间上的持续函数介值定理的证明；闭区间上的持续函数一致持续性的证明．(1)大体要求：把握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上持续函数的有界性；用确界原理证明闭区间上的持续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的持续函数介值定理．(2) 较高要求：把握用有限覆盖定理证明闭区间上的持续函数的有界性和一致持续性．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是证明闭区间上的持续函数的性质．(2) 本节的难点是把握用有限覆盖定理证明闭区间上的持续函数的一致持续性和实数完备性的六大定理的等价性证明，对较勤学生可布置这方面的习题．第八章不定积分§1不定积分的概念与大体积分公式(一) 教学目的：把握原函数的概念和大体积分公式(二) 教学内容：原函数的概念；大体积分公式；不定积分的几何意义．大体要求：熟练把握原函数的概念和大体积分公式．(三) 教学建议：(1) 不定积分是以后各类积分计算的基础，要求熟记大体积分公式表．(2) 适当扩充大体积分公式表．§2 换元积分法与分部积分法(一) 教学目的：把握第一、二换元积分法与分部积分法．(二) 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．大体要求：熟练把握第一、二换元积分法与分部积分法．(三) 教学建议：(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题．(2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分(一) 教学目的：会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分．(二) 教学内容：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．(1) 大体要求：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．(2) 较高要求：利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分．(三) 教学建议：(1) 适当布置有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分的习题．(2) 本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较勤学生把握．第九章定积分§1 定积分的概念(一) 教学目的：引进定积分的概念．(二) 教学内容：定积分的概念．大体要求：把握定积分的概念，了解定积分的几何意义和物理意义．(三) 教学建议：要求把握定积分的概念，并了解定积分的几何意义．§2 牛顿-莱布尼茨公式(一) 教学目的：熟练把握和应用牛顿-莱布尼茨公式．(二) 教学内容：牛顿-莱布尼茨公式．(1) 大体要求：熟练把握和应用牛顿-莱布尼茨公式．(2) 较高要求：利用定积分的概念来处置一些特殊的极限．(三) 教学建议：(1) 要求能证明并应用牛顿-莱布尼茨公式．(2) 利用定积分的概念来处置一些特殊的极限是一个难点，对学习较好的学生可布置这种类型的题目．§3 可积条件(一) 教学目的：明白得定积分的充分条件，必要条件和充要条件．(二) 教学内容：定积分的充分条件和必要条件；可积函数类(1) 大体要求：把握定积分的第一、二充要条件．(2) 较高要求：把握定积分的第三充要条件．(三) 教学建议：(1) 明白得定积分的第一、二充要条件是本节的重点，要求学生必需把握．(2) 证明定积分的第一、二、三充要条件是本节的难点．对较勤学生可要求把握这些定理的证明和证明某些函数的不可积性．§4定积分的性质(一) 教学目的：把握定积分的性质．(二) 教学内容：定积分的大体性质；积分第一中值定理．(1) 大体要求：把握定积分的大体性质和积分第一中值定理．(2) 较高要求：较难的积分不等式的证明．(三) 教学建议：(1) 定积分的大体性质和积分第一中值定理是本节的重点，要求学生必需把握并灵活应用．(2) 较难的积分不等式的证明是本节的难点．对较勤学生可布置这方面的习题．§5 微积分学大体定理(一) 教学目的：把握微积分学大体定理．(二) 教学内容：变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学大体定理；积分第二中值定理，换元积分法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项．(1) 大体要求：把握变限的定积分的概念；把握微积分学大体定理和换元积分法及分部积分法．(2) 较高要求：把握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项．(三)教学建议：(1) 微积分学大体定理是本节的重点，要求学生必需把握微积分学大体定理完整的条件与结论．(2) 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点．对较勤学生要求他们了解这些内容．第十章定积分的应用§1平面图形的面积(一) 教学目的：把握平面图形面积的计算公式．(二) 教学内容：平面图形面积的计算公式．(1) 大体要求：把握平面图形面积的计算公式，包括参量方程及极坐标方程所概念的平面图形面积的计算公式．(2) 较高要求：提出微元法的要领．(三) 教学建议：(1) 本节的重点是平面图形面积的计算公式，要求学生必需熟记并在应用中熟练把握．(2) 领会微元法的要领．§2 由平行截面面积求体积(一) 教学目的：把握由平行截面面积求体积的计算公式(二) 教学内容：由平行截面面积求体积的计算公式．大体要求：把握由平行截面面积求体积的计算公式．(三) 教学建议：(1) 要求学生必需熟记由平行截面面积求体积的计算公式并在应用中熟练把握．(2) 进一步领会微元法的要领．§3 平面曲线的弧长与曲率(一) 教学目的：把握平面曲线的弧长与曲率(二) 教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式．(1) 大体要求：把握平面曲线的弧长计算公式．(2) 较高要求：把握平面曲线的曲率计算公式．(三) 教学建议：(1) 要求学生必需熟记平面曲线的弧长计算公式．(2) 对较勤学生可要求他们把握平面曲线的曲率计算公式．§4 旋转曲面的面积(一) 教学目的：把握旋转曲面的面积计算公式．(二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式．大体要求：把握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程概念的旋转曲面的面积；把握平面曲线的曲率的计算公式．(三) 教学建议：要求学生必需熟记旋转曲面面积的计算公式，把握由参数方程概念的旋转曲面的面积．§5 定积分在物理中的某些应用(一) 教学目的：把握定积分在物理中的应用的大体方式．(二) 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率．(1) 大体要求：要求学生把握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(三) 教学建议：要求学生必需明白得和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．十一章反常积分§1反常积分的概念(一) 教学目的：把握反常积分的概念与计算方式．(二) 教学内容：无穷积分；瑕积分．大体要求：把握无穷积分与瑕积分的概念与计算方式．(三) 教学建议：讲清反常积分是变限积分的极限．§2 无穷积分的性质与收敛判别(一) 教学目的：把握无穷积分的性质与收敛判别准那么．。
第一章实数集与函数§1.1实数教学目标：使学生掌握实数的基本性质.教学重点：（1） 了解实数的有序性、稠密性和封闭性；（2）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式. 教学难点：实数集的概念及其应用.教学方法：讲授.（部分内容自学）教学过程：一、 实数及其性质:叹嘗纟（阳为整数且q 主0）或有限小数和无限小数. 负分数,p 无理数:用无限不循环小数表示. R = {x\兀为实数} --全体实数的集合・问题：有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的.为以下讨论的需要, 我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”.为此作如下规定：对 于正有 限 小 数x = a n .其中0 <a.t < 9 1 “（）为非负,记 兀=绳坷a n _}9999 ；对于正整数x = a^则记兀= （q ）-1）.9999 ；对于负有限小数（包括负整 数）y,则先将-），表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号.0=0.0000例：2.001^2.00099993 T 2.9999-2.001 T-2.009999-3 t -2.9999利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？（-）两实数大小的比较1、定义1：给定两个非负实数x = q ）q a n , y = h n .其屮d （）,%为非负整数， %乞伙=1,2,）为整数，05畋59,05如59・若有色"扌= 1,2,,则称兀与）,相等，记为x= y ；若a {） > b {}或存在非负整数/，使得cik=b k ,k = \,2, ，/,而%>$+】，则称尢大于y 或y 小 Tx,分别记为x 〉y 或）YX .对丁•负实数x 、y,若按上述规定分别有-x = -y 或-兀>-厂 则有理数（-）实数分另U称为y与兀< y （或y〉x ）・规定：任何非负实数大于任何负实数.3、实数常用性质1）封闭性：实数集R对一四则运算是封闭的.即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数.2）有序性：任意两个实数必满足下列关系之一：a<b,a>b,a = b・3）传递'性：a<b,b >c^>a>c ・4）P可基米德'性：\/a,b w R,b> a N 使得na > b ・5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数.6）实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.例2・设\fa,beR，证明：若对任何正数有a<b + s ,则a<b・提示：反证法.利用“有序性”，取e = a-b.二、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）.（一）绝对值的定义实数Q的绝对值的定义为\a\=[^[-a a<0（-）几何意义从数轴看，数d的绝对值Idl就是点Q到原点的距离.认识到这一点非常有用，与此相应，lx-6/l表示就是数轴上点兀与Q之间的距离.（三）性质1）|a|=|-«l>O;|a|=O«a = O （非负性）;2）-\a\<a<\a\；3）\ a\< h -h < a < h , \ a |< h <=>-h<a< h.（h > 0）；4）对任何a,bwR ^\a\-\b\^a±b\<\a\ + \b\（三角不等式）;5）\ab\=\a\-\b\；6）纟上（20）.b \b\三.几个重要不等式(1) a2 +b2 >2]^, sinx <1.⑵ 均值不等式：对\/°［卫2,…4丘RS记G(a i) = nla i a2--a n =口a：/=!)口丫、n 1H (aj =—---- ： ----- —=一—=—1 1 1 1 v-' 1 v—1—* ' ' ~,—一（算术平均值）（几何平均值）（调和平均值）有平均值不等式:H(^.)<G(a i等号当且仅当a} = a2 = = a n时成立.（3） Bernoulli不等式：（在中学已用数学归纳法证明过）Vx > -1,有不等式(1 + x)n > 1 + HA;n G N.当兀〉一1 JI 兀H O, A? G N H/2 > 20^,有严格不等式(1 + x)n > 1 + HX 证由1 + 兀>0且1+兀H O, => (1 + 兀)"+斤一1 =(1+兀)"+1 + 1 + — + 1 > > n彳(1 + 兀)"=z? (1 + x). n (1 + x)n > 1 + 斤尤(4)利用二项展开式得到的不等式：对V/z>0,由二项展开式Z1八“1 , n(n -1) , 2斤(斤一1)(〃一2) 7 3 "(1 + h) = 1 --------- + nh + --- h~ + - h+•••+ 〃，2! 3!§1.2数集和确界原理教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：（1）掌握邻域的概念；（2）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 § 1. 1实数的相关内容•下而，我们先来检验一下自学的效果如何！1、 证有：（l ）|x-I| + |x-2|>l ； （2）|X -1| + |X -2|4-|X -3|>2.2、 证明：||x|-|y||^x-y|.明:对任何xwR3、 设a,bwR ，证明：若对任何正数£有a + b<s ,则4、 设兀〉y,证明：存在有理数厂满足y<r<x.一、区间与邻域 （一）区间（用来表示变量的变化范围）设且a vb ・1、a 的6邻域：设。
丘尺5>0,满足不等式|x-的全体实数x 的集合称为点a 的/邻区间 有限区间无限区间有限区间 开区间:[xe R\a<x<b} = (a,b) 闭区间：{XG R\a < x < b] = [a,b].半开半闭区间 闭开区间 开闭区间 :[xe R\a<x<b] =[o,b) :[xeR\a<x<b} =(a,b]{兀 w | 兀 >a} = [a, +oo) e[xe R\x<a] = (-OO ,G ]・无限区间< (XG = (a, +oo).[xe R\x<a] = (-oo,a).（二）邻域联想：“邻居” •字面意思：“邻近的区域”・（看左图）•与a 邻近的“区域”很多，至U 底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢?域，记作U@;C ,或简记为U(a),即U(a;6) = {兀 |x-a\< 5}二(G_5,G +5).2、点a的空心(S邻域U°{a\8) = |x|0 <| x-a\<= (a - 5,d)kJ(a,G + 5) U°(a).3、a的/右邻域和点a的空心〃右邻域U+(Q;5) = [a,° + /) U+(a) = ^x a<x<a-\-8^\U°(a;/) = (a, a + 5) (7°(0)= {x a v x < a +》}.4、点a的5左邻域和点a的空心5左邻域U _(a;3) - {a-8,a] U_(a) = a-8 < x<=(Q-/,Q) t/°(6f) = a-8 <x<a^.5、00邻域，+oo邻域，Y0邻域U(°°) = {x||x|>M},(其中M为充分大的正数)；(/(+oo) = {x x>M}, U(-<») = |x|x < -M}二、有界集与无界集什么是“界” ？定义1 (上.下界人设S为/?中的一个数集•若存在数M{L),使得一切XG S都有x<M(x>L),则称S为有上(下)界的数集.数M(D称为S的上界(下界)；若数集S既有上界，又有下界，则称s为有界集.闭区间、(a,b)(a,b为有限数)、邻域等都是有界数集，集合E = b| y = sinx, XG(-OO,+ OO)}也是有界数集.若数集S不是有界集，则称S为无界集.(一00,+ 00), (-oo,0), (0,4-co)等都是无界数集，集合E = f y\y = ^“(0,1)}也是无界数集.三、确界与确界原理1、定义定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数〃满足：（1）对一切XG S,有（即0 是S的上界）；（2）对任何QV“，存在A Q WS,使得x Q> a（即"是S的上界中最小的一个）, 则称数〃为数集S的上确界，记作7 = supS.命题1 M=supE充要条件1）M是E上界，2）V6? >0,3 y G E x f>M-e ・证明必要性，用反证法•设2）不成立，则日勺>°，使得F xwE，均有与“ 是上确界矛盾.充分性，用反证法•设M不是E的上确界，即日必'是上界，但M>M f.令£ =刈-旳、（）, 由2）, 使得x f>M-s = M f9与AT是E的上界矛盾.定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数g满足：（1）对一切兀wS,有xhg （即g 是S的下界）；（2）对任何0 >g,存在X0G5,使得x0</?（即§是S的下界中最大的一个），则称数§为数集S的下确界，记作^ = infS.命题2 g = infS的充要条件：1）&是S下界；2）0£>0, x o eS9^x（）<^ + e.上确界与下确界统称为确界.例3 （1） S = |l + ^^|,贝UsupS = _____________ , infS = ________ 二（2）E={y y = sinx, xe（0,^）}. 则supE = __________ , inf E = ________ .注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.设数集人有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明设TJ = sup A , ?j r = sup A且T/H”'，则不妨设q < rf〃 =sup A 二> A 有兀S 〃r/f = sup A => 对〃<“'，3x0G >4 使77 <如，矛盾.命题3E = {-5,0,3,9,11}则有inf E = -5 ・开区间仏◎与闭区间S，列有相同的上确界"与下确界Q.1、集与确界的关系：确界不一定屈于原集合.2、确界与最值的关系：设E为数集.（1）E的最值必属于E,但确界未必，确界是一种临界点.（2）非空有界数集必有确界（见下面的确界原理），但未必有最值.（3）若max E存在，必有maxE = supE.对下确界有类似的结论.3、确界原理：定理1（确界原理）一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界.§1.3函数概念教学目标：使学牛深刻理解函数概念.教学要求：（1 ）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法;(2 )牢记基木初等函数的定义、性质及其图象•会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.一、函数的定义(-)定义定义1 设D,M uR,如果存在对应法则使对VxeD,存在唯一的一个数yeM与之对应，则称/是定义在数集D 上的函数，记作(兀|Ty).函数/在点兀的函数值，记为/(兀)，全体函数值的集合称为函数/的值域，记作/(D). 即/(£>) = {y\y = /(X),XG D}.(二)几点说明(1)函数定义的记号中“ f .DiM”表示按法则/建立D到M的函数关系，x|Ty表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作•习惯上称兀自变量，y为因变量.(2)函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：£.由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1) /(X)=1,XG/?, g(x) = l,xw7?\{0}.(不相同，对应法则相同，定义域不同)2) (p{x) =|X|,XG/?, = V?,xeR.(相同，对应法则的表达形式不同).(3)函数用公式法(解析法)表示吋，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域(自然定义域).此时，函数的记号中的定义域D可省略不写，而只用对应法则/来表示一个函数•即“函数『= /(%)”或“函数/ ”・(4)“映射”的观点来看，函数/本质上是映射，对于awD, 畑称为映射f Va的象.G 称为/(Q)的原象.(5)函数定义中，VxeD,只能有唯一的一个y值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个兀值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值 函数(简称函数). 二、函数的表示方法 (―)主要方法：解析法(分式法)、列表法和图象法. z(-)可用“特殊方法”来表示的函数1、 分段函数：在定义域的不同部分用不同的 _______________________公式来表示.----O1 乂〉例如 s g^n=%©=,,(符号函数)-1(借助于 Sgnx 可表示 f(x)=\x\,即 /(x)=|x|=xsgnx).2. 用语言叙述的函数.(注意；以下函数不是分段函数)例(1) y = [X ](取整函数)比如：[3.5]二3,[3] =3, [-3. 5] =-4.常有[刎5兀＜ 比+ 1,及05兀一[力＜1与此有关一个的函数= 的图形是一条大锯，画出图看一看.这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最 小周期，事实上任一有理数都是它的周期.(3) 丽=+当"；叱孑为假分数人(Riemman 函数) 0,当兀=0,1和(0,1)内的无理数.三、函数的四则运算给定两个函数f,xwD\,g,xwD2,记D = D^D 2,并设定义/与g 在D 上的和、差、 积运算如下：F(x) = /(X ) + ^(X ),XG D ； G(x) = /(X )-^(X ),XG £＞； H (X ) = f(x)g(x),xeD.若在D 屮除去使g(x) = 0的值，即令D =D\{x|g (兀)工0,兀丘2}工0，可在D 上定义/与g的商运算如下；L(x) = ^,xeD . g(x)注：1)若D=D5m ，则/与g 不能进行四则运算.D(x) =1,当兀为有理数,(),当x 为无理数,(Dirichlet)2)为叙述方便，函数/与g的和、差、积、商常分别写为：/ + gj_g,/p,Z.8四、复合运算(―)引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.例：质量为m的物体自由下落，速度为v,则功率E为E = —mv22抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数/(p) = |mv2,v = gz,把叩)代入/,即得f«t)) = ^ng2r ・这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数” •问题：任给两个函数都可以复合吗？考虑下例;y = f(u) = arcsin w, w G D = [-1,1], w = = 2 + x2, x e E = /?・就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数” 的定义域的交集不空(从而引出下面定义).(二)定义(复合函数)设有两个函数y = /X况),u w£),u = g(兀)，兀wE,记E ={x|/(x) G Z)|nE,若E工0，贝I」对每一个xeE ,通过g对应D内唯个值u,而弘又通过/对应唯-------------------- 个值y,这就确定了一个定义在E上的函数，它以x为自变量，丿因变量，记作y = f(g(x)\x^E或y = (f g)O),xuE.简记为/ g.称为函数/和g 的复合函数—并称/为外函数，g为内函数, u为中间变量.(三)例子例1 y = f(u) = 4u. u = g(x) = \-x2.求(/ogXX) = /[<?(%)•]并求定义域.例2(1)/(1-A：) = X2 + 无+ 1,fM =■⑵f< PX d =X + 0 ・则JC/«=()A. X2,B. x2 +1,C・ x2 - 2,D・x~ + 2.例讨论函数y = f(u) = e [0,-HX>)与函数况=g(x)==>/1-X2,XG 7?能否进行复合，求复合函数.(四)说明1、复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？例女口：y = sinw,w = 5/v,v = l-x2,复合成：y = sin J1 -,x w[-1,1].2、不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化.①〉'=log“(0,1) t y = log“ u.u = Jz,z = l-x\②y = arcsin A/F+i Ty = arcsin/u = jF+l.③y = 2sin v Ty = 2",u =『,y = sinx・五、反函数(―)引言在函数y = /(x)中把兀叫做自变量，y叫做因变量•但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：/(w) = V^,w = r2+l,那么况对于.f来讲是自变量，但对/来讲，“是因变量.习惯上说函数y = f(x)^x是自变量，y是因变量，是基于y随兀的变化现时变化.但有时我们不公要研究)，随兀的变化状况，也要研究兀随y的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.(_)反函数概念定义设/：X TR是一函数，如果V西，冷丘乂，由 (或由/Ul)= /(^2)^^1=^),则称/在x上是1-1的.若Y = f （X ）f 称/为满的. 若是满的-I 的，则称/为1-1对应./：XTR 是i-i 的意味着『 = /（%）对固定丿至多有一个解兀，f.X^Y 是1-1的意味着对护丫，少=/（兀）有且仅有 一个解X.定义 设/：x->Y 是1—1对应.。
