把数量关系和空间图形结合起来去分析问题解决问题是数

第六章常用思想方法6.1数形结合思想数形结合就是把数量关系和直观的空间图形结合起来思考，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.例1：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图6.1-1，根据图象解答下列问题，（1）写出方程ax2+bx+c=0 的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c ﹥0 的解集；（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围。

分析：（1）由二次函数与相应的一元二次方程的关系及其图象可知方程ax2+bx+c=0 的两个根为1 和3；（2）由二次函数与不等式的关系，结合图象易知解集为1<x<3；（3）由函数图象可得在对称轴直线x=2 的右侧从左至右图象下降，即y 随x 的增大而减小，所以x>2；（4）由图象可知，二次函数的顶点坐标为（2，2），与x 轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）易求函数的解析式，由根的判别式即可求出k 的取值范围。

图6.1-1例2：已知012,x<<的最小值.解析：作出图 6.1-2，赋予以上式子如下的几何意义，AC CE==的最小值，即求CD CE+的最小值，当,,D C E三点共线时值最小，最小值为13DE==。

事物深层次的内在联系和矛盾统一的辩证规律。

图6.1-26.2分类讨论思想分类讨论的数学思想方法，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，对每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

例1：已知关于x 的方程(a 2-1)x 2+2(a+2)x+1=0 有实数根，求a 的取值范围.分析：题中并没有指明关于x 的方程是一次方程还是二次方程，所以要分a 2-1=0 与a 2-1≠0 两种情况讨论。

小学数学教材中蕴涵了几种常见的数学思想方法，梳理一下，大概有以下七种：1.归纳。

归纳是通过特例的分析引出普遍的结论。

在研究一般性问题时，先研究几个简单、个别的、特殊的情况，从中概括出一般的规律和性质，这种由部分到整体、由特殊到一般的推理被称为归纳。

小学数学中的有些数学问题是直接建立在类比之上的归纳，有些数学问题是建立在抽象分析之上的归纳。

小学阶段学生接触较多的是不完全归纳推理。

加法结合律，我们就采用了不完全归纳推理展开教学。

例如，28个男生在跳绳，17个女生在跳绳，23个女生在踢毽子。

求跳绳和踢毽子的一共有多少人，可以先求跳绳的人数列出算式（28+17）+23计算，也可以先求女生的人数列出算式28+（17+23）计算。

这两道算式的算理是等价的，得数也相同，因此可以写成等式（28+17）+23=28+（17+23）。

在这第一个实例中，学生看到的数学现象是不是普遍性的规律，需要在类似的情况中验证。

于是，我们让学生分别算一算（45+25）+13和45+（25+13）、（36+18）+22和36+（18+22），看看每组的两道算式是不是相等，两道算式中间能不能填上等号，再看看这些相等的算式有什么结构上的特点，猜想有这种结构特点的算式结果是否一定相等，通过实验发现第一个实例中的数学现象在类似的情况中同样存在。

接着，鼓励学生自己写出类似的几组算式，进行更多的验证，体验现象的普遍性。

学生通过进行类似的实验，在实验中概括出加法结合律，并用字母a、b、c分别表示三个加数，写成（a+b）+c= a+（b+c）。

这样，学生在学习加法结合律等的过程中，就经历了由具体到一般的抽象、概括过程，不仅可以发现数学规律、定理，而且能够初步感受归纳的思想方法，使思维水平得到提升。

2.演绎。

演绎与归纳相反，是从普遍性结论或一般性的前提推出个别或特殊的结论。

在研究个别问题时，以一般性的逻辑假设为基础，推出特定结论，这种从一般到特殊的推理被称为演绎。

数学思想与数学方法的重要性和应用指导老师徐国东（南阳师范学院数学与统计学院 473003）摘要本文是在中学教材中发现和总结，从理论的角度提出了中学教学不能只注重对数学知识的传授，而应在整个教学中贯穿数学方法，体现数学思想，使学生提高掌握分析问题，解决问题的能力，提高学习效果．关键词中学数学；数学；思想；方法引言人类的知识是不断发展的，不断更新的．人类对自然界的认识日新月异，各种数学的新分支层出不穷，边缘性、交叉性学科越来越多，形成了人类知识结构的综合化和整体化的新趋向．因此，为了适应现在社会的需要，培养具有新的知识结构的科技人才，成为当前教育目的，本文将介绍数学中深层的数学思想方法，对我们数学学习者将具有深远的意义．一数学思想方法重要性我国的数学课程标准规定：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：（1）获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识（包括数学事实，数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技术；（2）初步学会应用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；（3）体会数学与自然以及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；（4）具有初步的创新精神和实践能力在情感态度和一般能力方面都能得到充分的发展．可见，义务教育阶段的数学课程致力于使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识（包括数学事实、活动经验）以及基本的数学思想和必要的应用技能．中学数学内容是由数学知识（概念、法则、性质、公式、公理以及数学技能）和蕴藏于其中的数学方法和数学思想等组成的．从教材的构成体系来看，数学方法可以认为是表层知识，数学思想则为深层知识．数学思想是对数学知识的理性的、本质的高度抽象和概括的认识，对于开发学生智力，培养学生的能力，优化学生的思维品质，提高课堂教学的效果十分重要的意义．数学思想方法蕴涵于运用数学方法分析、处理和解决数学问题的过程中，数学思想方法是中学数学的重要组成部分，如果把数学学习过程比喻成珍珠项链，那么数学知识点就是珍珠，而数学思想方法则是将珍珠穿起来的线．有了数学思想和数学方法，数学知识点不再是孤立的、零散的东西，它能将处于零散状态的数学知识点凝聚成优化的数学知识结构．二数学方法我在中学时期，对老师所说的数学方法总感到不可琢磨，变化多端，而且是无处不在不可把握．其实呢，中学数学所蕴涵的数学方法主要有：（1）数形结合方法；（2）函数与方程思想方法；（3）把实际问题转化为数学问题的模型化方法；（4）分类思想方法；（5）特殊到一般的数学思想方法；（6）优化思想方法（是指在一定条件下力求获得最优化结果的思想与观念．数学中，诸如求最大（小）值生产中降低消耗，提高效率等问题的解决都要用到优化思想）；（7）符号化思想方法；（8）概率与统计思想方法．未来社会的公民只有具有一定的处理信息的能力才能在信息社会中立于不败之地．我们在学习数学时重视这些数学思想方法，那么如何培养学生掌握这些数学思想方法呢？下面对几种重要的数学思想方法简单介绍：1数形结合方法数形结合就是“形中觅数，数中思形”，是把重要研究的数量关系与空间图形结合起来的思想．数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，即“数”是“形”的深刻表达，“形”是“数”的直观反映，数形结合既是一种思想，也是一种方法．众所周知，《解析几何》是数形结合的结晶．其实，许多数学问题都可以巧妙地利用数形结合的方法来使问题简单化． 如，求11112482n +++++的值[1]．一般地，思路可用: 11(1)12211212n n s -==-- lim 1n n s →∞= 即:111112482n +++++= 事实上，我们可以建立一个边长为1的正方形，它的面积为1，如图，我们取正方形的一半，面积为12，再取正方形的1148，，，依次相加，则结果为正方形的面积(1)s =，即11112482n +++++1=1s =2 函数与方程思想方法哪里有数学，那里就有方程，方程是从已知探索未知的桥梁，方程使已知与未知得到辩证的统一；驾驭方程思想方法就是遇到等量关系问题时，要增强列方程求解的观念；碰到与方程理论有联系的问题时，要注重构造方程求解的意识．例： 关于x 的方程2cos sin 0x x a -+= 在(0]2π，上有解，求a 的取值范围[4]．分析： 原方程可化为2sin sin 10x x a --++=，令s i n t x =，问题可转化为一元二次方程210t t a --++=在区间(0,1]上有解的问题，如此处理较为烦琐，如果把问题转化为2sin a x xos x =-在(0]2π，上有解，可进一步把问题转化求函数2sin cos y x x =-，(0,]2x π∈的值域． 解：把方程变为2sin sin 1a x x =+-，因此原方程有解当且仅当a 属于函数2sin sin 1(0)2y x x x π=+-<≤的值域． 因为 215(sin )24y x =+- 而(0,]2x π∈，从而sin (0,1]x ∈， 所以函数的值域为(1,1]-即a 的取值范围是(1,1]-．点评，通过上面的例题我们可以看出，方程有解的问题转化为求值域的问题往往很简捷．3 构造法（构造主义方法）利用数学结构之间特殊的类比关系，构造相应的数学模型解决数学问题，这就是我们常说的构造法．构造法是从题设条件或从求解结论中得到的某些信息，根据问题的需要，设想出一个模型，通过这个模型实现由条件向结论的转化，它是一种创造性的教学方法，不仅能达到另辟蹊径，难题巧解的目的，还能丰富学生的想象力，培养学生的创造性思维能力．用这种方法解决数学问题，解题思路清晰，方法新颖简洁．比如，试证方程753252x x x x x -+-+=在(0,1)内一定有根[2]．分析： 此方程为一元七次方程，不能直接求解，但我们可以构造函数=)(x F 753252x x x x x -+-+-则()F x 为多项式函数，它在[0,1]内连续，且有(0)20F =-< (1)30F =>因此，由闭区间上连续函数的性质——介值定理，可知()F x 在区间(0,1)内至少存在一点ξ使得()0F ξ=即7532520ξξξξξ-+-+-=也就是说753252ξξξξξ-+-+=即方程753252x x x x x -+-+=在(0,1)内一定有根．4 转化与化归思想方法转化与化归思想是数学高考明确要求考查的数学思想方法之一．它是在处理问题时把那些待解决的或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答的一种数学思想．它在数学中的应用比比皆是，如未知向已知的转化，新知识向旧知识的转化，实际问题向数学问题的转化等等．例： 已知函数2328()log 1mx x n f x x ++=+的定义域为R ，值域为[0,2]，求,m n 的值[2]．分析： 把对数函数问题转化为分式函数问题解决，然后再用判别式法解决．解： 设2281mx x n u x ++=+，其定义域为R ，值域由题设知应为[1,9]． 由2281mx x n u x ++=+得 2()80u m x x u n --+-=因为 x R ∈且设0u m -≠所以 2(8)4()()0u m u n ∆=----≥，即 2()(16)0u m n u m n -++-≤ 由19u ≤≤知，关于u 的一元二次方程2()(16)0u m n u mn -++-=的两根为1和9．由韦达定理得1910169m n mn +=+=⎧⎨-=⎩ 所以 5m n ==若0u m -=即5u m ==时，对于0x =符合条件所以 5m n ==为所求．点评：从本题的解法中体现了等价转化的数学思想方法，它是解决数学综合题的桥梁．数学方法还有很多很多，就不再一一举例，随着题型转变解题方法也各有不同，但解同一类型题的数学方法有时间也是固定．总之解题过程中有了明确的方法，就是有了解题的具体思路，问题也就可以迎刃而解．既然数学方法是在解题过程中体现出来，那么想掌握好数学方法，只有在解题中认真体味和思考，最终理解应用．三 数学思想介绍了数学方法，更要说说数学中的灵魂——数学思想．所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识．首先，数学思想比一般说的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻．其次，数学思想、数学观点、数学方法三者密不可分：如果人们站在某个位置、从某个角度并运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点．而对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理论基础，方法则是实施有关思想的技术手段．中学数学中出现的数学观点和各种数学方法，都体现着一定的数学思想．数学思想是一类科学思想，但科学思想不单单指数学思想，在数学思想中，有一类思想是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想．基本数学思想含有传统数学思想的精华和近现代数学思想的基本特征，并且也是历史地形成和发展着的．基本数学思想包括：符号与变元表现的思想、集合思想、对应思想、公理化与结构思想、数形结合的思想、化归的思想、对立统一的思想、整体思想、函数与方程思想、抽样统计思想、极限思想（或说无限逼近思想）等．它有两大“基石”：即符号与变元表示的思想和集合思想，又有两大“支柱”：即对应思想和公理化与结构思想．有些基本数学思想是从“基石”和“支柱”衍生出来的，例如“函数与方程思想”就是从符号与变元表示的思想、集合思想和对应思想所衍生出的．所以我们说基本数学思想是体现或应该体现与基础数学的具有奠基性和总结性的思维成果．基本数学思想及衍生的数学思想，形成了一个结构性很强的网络．中学数学教育、教学中传授的数学思想，应该都是基本数学思想．这些思想现在说起来简简单单，但是每种思想都是很多人智慧的结晶，而且作用也非常的大．拿最常见的数形结合思想来举例，它在解析几何形成的过程中就起了重要作用．解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质．在这个过程中有几为著名的数学家有很大的贡献，他们是费马、笛卡儿和拉格朗日等人．他们都是把数与形结合起来，在几何图形中引入坐标观念，这样就把数和形联系起来，通过对代数的研究把几何曲线的性质体现出来．这种把数与形的结合，不但可以研究简单的曲线，还可以研究复杂的曲线，对数学的研究和发展具有重要的深远意义．在数与形结合里，形是可以用数来表示，形的目标，可以通过数达到；反过来，给数以形的解释，可以直观地掌握那些语言的意义，又可以得到启发去提出新的结论．欧拉通过坐标变换把一般二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F+++++=所表示的二次曲线化归为以下九种标准形状之一：222210x ya b+-=（椭圆）（1）222210x ya b++=（虚椭圆）（2）22220x ya b+=（二虚直线交叉的实点）（3）222210x ya b--=（双曲线）（4）22220x ya b+=（二相交直线）（5）220y px-=（抛物线）（6）220x a-=（二平行直线）（7）220x a+=（二平行虚直线）（8）20x=（二重合直线）（9）一般二次曲线的上分类，使我们能够借助形来研究某些数问题．例如，考察下面的有趣例子：已知实数,x y满足方程22220x x y-+=，求22z x y=+的最大值和最小值．因满足题给方程的,x y应在椭圆22221x ya b+=上，如图，x 2a = o而22z x y =+为椭圆上一点(,)x y 到原点的距离的平方，故2max 24z ==，min 0z =，此题就轻易解决了．由上所述，数学课堂教学的本质是教学活动，数学活动的本质是思维活动，有效的数学活动不是单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流也不能完全体现课堂学习的内容要求，这就要求我们正确认识表层知识和深层知识的关系，合理的设计教学单元，用数学思想方法这条主线贯穿学习单元，来构建中学数学课程体系，使不同的学生在数学活动中均得到发展．当前新一轮数学课程改革已经在全国展开，保证“双基”的落实和能力的培养，关注学生在活动中的感受和成长，是新课程对学生发展的三维目标要求，而数学教师所持有的数学观念和教学观念将直接影响到数学模式的有效性和新课程的实施．参考文献[1]廖学军. 图形语言在初中函数数学中的运用[J]: 中学数学教学参考, 2000年4月[2]邬云德. 新课程、新理念、新方法——教学教育实践反思录[J]: 中学数学教学参考[3] 覃善群. 过程性原则在设计教学程序中的应用[J]: 中学数学教学参考 1999，1-2[4]章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社， 1999.The Importance and Application of Mathematical Ideology and ApproachQiu JianxinInstructor ordinator XuGuodong(Nanyang Normal University Mathematics and Statistics Institutation 473003)Abstract:The thesis is derived from the study of the textbooks in secondary school. It is theoretically concluded that mathematical ideology and approach should be run through the entire education in stead of purely focus on the teaching of mathematical knowledge,so that the students could master the capacity of analysis and problem-solving by conditional thinking mode, and that the effect of education could be enhanced.Keyword:Secondary Mathematics; Mathematics; Ideology; Approach。

数形结合思想在小学数学中的应用小学数学中各种数学思想应有尽有，其中的一个重要思想方法是数形结合思想。

在数学解题过程中，数形结合思想发挥着重要作用。

小学学生正处于学习萌芽阶段，在学习过程中，思维模式还未固定，解题思路不明确，在实践中，往往给人思维混乱，不明就里的感觉。

借助于数形结合思想的帮助，深入问题，把问题简单化，以一种深入浅出的形式使得学生们快速、简便的解决问题。

“数”与“形”的关系是紧密相连的，在平时的课本知识学习中，学习数量关系，我们往往运用空间图形的方式使问题简单化，在学习空间图形时，习惯性的把“数量关系”联系起来，使得问题清晰化。

它们之间的相互转换、互相利用可以将抽象的数学语言与直观的图相结合，使得抽象思维具体化，形象思维空间化。

数形结合方法在小学教学中的应用，有利于学生数学的启蒙教育，奠定了以后数学学习的基础；有利于培养学生抽象思维，从而解决具体问题；有利于提高学生对数学的浓厚兴趣。

数形结合是数学的灵魂思想，数学的本质就体现在数形结合之上。

因此，数形结合相对于符号表述、字母代数、方程函数等思想更具有突出的意义，是数学中非常重要的思想方法。

二、数形结合思想的内容数形结合思想在数学中应用广泛，它的主要内容有如下两点：第一，以数量关系为核心，用空间形式给予具体化；在学习数量关系时，我们可以通过用具体图形使得发现问题症结，从而解决问题。

第二，解决图形问题时，通过合理代数，找寻其中联系，使得问题迎刃而解。

数形结合思想，是数学学科分支建立的内驱力，加深了对数学学习中问题的本质认识。

通过数形结合，有力的解决了学生对于数与形的概念。

两点是彼此联系又是相互独立的。

三、数形结合思想在小学教学中的应用（一）数量关系通过图形理解，深入学习小学教材中，由于相对多的数学概念较为抽象，不具体，在采用总结归纳、比较分析等形式处理题型时，同时也需要用数形结合的思想帮助具体数学概念。

通过图形，对题目中的问题采用比较分析，结合所营造出来的问题环境，在充分理解数学概念的同时，使得学生更快掌握本质，理解它的内涵。