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2020年高考数学试卷分析(全国卷)2020年高考数学试题是贯彻德智体美劳全面发展教育方针，体现高考数学的科学选拔和育人导向作用的重要组成部分。
试题注重数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，强调对关键能力的考查。
同时，试题还紧密联系社会实际，展现了我国社会主义建设成就与科学防疫的成果，并体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求。
试卷难度设计科学合理，对协同推进高考综合改革、引导中学数学教学都将起到积极的作用。
在试题命制中，数学素养的理性思维起着最本质、最核心的作用。
试题突出体现了理性思维和关键能力的考查，将数学关键能力与“理性思维、数学应用、数学探究、数学文化”的学科素养统一在理性思维的主线上。
在数学应用、数学探究等方面，试题注重考查学生的理性思维和关键能力。
试题还以新冠肺炎疫情为背景，设计了多道数学问题。
其中，一些试题揭示了病毒传播规律，体现了科学防控的重要性。
例如，新高考Ⅰ卷(供山东省使用)第6题和全国Ⅲ卷文、理科第4题，都基于新冠肺炎疫情的数学模型，考查相关的数学知识和从资料中提取信息的能力。
另外，试题还展现了中国抗疫成果，例如新高考Ⅱ卷(供海南省使用)第9题，以各地有序推动复工复产为背景，考查学生解读统计图以及提取信息的能力。
此外，试题还体现了志愿精神，例如全国Ⅱ卷理科第3题(文科第4题)，是以志愿者参加某超市配货工作为背景设计的数学问题，考查学生对基本知识的掌握程度及运用所学知识解决实际问题的能力。
高考数学试题的设计不仅考察了学生的知识掌握程度，还注重培养学生的批判性思维能力、数学阅读理解能力、信息整理能力和数学语言表达能力。
例如，全国Ⅰ卷理科第12题考查了学生的观察能力、运算能力、推理判断能力和灵活运用知识的综合能力；全国Ⅱ卷理科第16题以立体几何基础知识为背景，多侧面、多层次考查学生对相关知识的掌握情况；全国Ⅱ卷理科第12题以周期序列的自相关性为背景，要求判断试题给出的周期序列是否满足题设条件，考查了学生对新概念的理解和探究能力。
2020年高考命题特点及思路解析2020年是一个特殊的年份，全球范围内受到了新冠疫情的影响，高考也不例外。
在这一年的高考命题中，可以看出一些独特的特点和命题思路。
一、重视综合能力2020年高考命题突出了对学生综合能力的考查。
除了对学生的基础知识掌握进行考查外，还注重学生的分析、推理、创新思维等方面的能力。
例如，语文科目的阅读理解题增加了对文本整体的考查，要求学生能够通过阅读理解全文的意图和主题。
数学科目的命题也增加了对问题解决能力的考查，要求学生能够将数学知识应用到实际问题中进行分析和解决。
此外，化学、生物等科目的试题中也增加了对实验设计和数据分析的考查，要求学生具备科学思维和实验能力。
二、关注时事热点今年的高考命题紧密关注了社会热点和时事新闻。
例如，在语文科目的作文题中，涉及了新冠疫情、环境保护、社会教育等与时事相关的话题。
地理科目的命题也增加了对“一带一路”倡议、全球气候变化等热点问题的考查。
这种命题方式不仅考察了学生对时事新闻的关注和理解，同时也培养了学生的社会责任感和思考能力。
三、强调应用能力今年高考的命题思路中更加强调对学生的实际应用能力的考查。
除了基础知识的理解和记忆外，还注重学生能否将知识运用到实际问题中进行分析和解决。
例如，物理科目的题目中增加了对物理原理的应用，要求学生能够根据题目情境进行物理量的计算和分析。
化学科目的题目中也增加了对化学实验、化学反应的考查，要求学生能够理解化学知识对实际问题的指导作用。
这种命题方式的目的是培养学生的应用能力，使他们能够灵活运用所学知识解决实际问题。
四、注重素质教育今年高考的命题思路中更加注重了素质教育的考查。
除了对学生的知识掌握能力进行考查外，还注重学生的品德素质和道德意识。
例如，在语文科目的阅读理解题中，涉及了人生态度、人生目标等与品德素质相关的题目。
英语科目的听力材料中也加入了一些关于公民道德和社会责任的内容。
这种命题方式的目的是提高学生的综合素质，培养学生的社会责任感和道德观念。
2020年新高考(全国卷)数学试卷结构与评析但这也更能考察学生的综合能力。
③填空题和解答题部分则是考察学生的深度和广度的重要部分，需要学生对高中数学的各个主干知识都有一定的掌握和理解。
解答题部分的题目涉及的内容较为广泛，但都是高中数学的基础知识，需要学生在平时的研究中加强理解和掌握。
同时，解答题部分的分值也是最高的，占总分的70%，因此在考试中要重视解答题部分的答题时间和答题质量。
新高考数学试卷结构和题型的变化，主要是为了更好地考察学生的综合能力和应用能力，同时也更加贴近实际生活和工作中的数学应用。
学生在备考过程中，需要重点关注解答题部分，加强对高中数学各个主干知识的理解和掌握，同时也要注意多项选择题的答题技巧和方法，以取得更好的成绩。
文章没有明显的格式错误和有问题的段落，但可以进行简单的改写。
新高考数学试卷的第4题、第6题和第12题都具有创新性。
第4题以古代数学为背景，考察了同学们的立体几何知识，既传承了传统文化，又鼓励同学们了解古代数学著作。
第6题以新冠疫情为背景，考察了指数与对数函数，体现了数学试卷贴近现实生活的趋势。
第12题则以信息熵为背景，考察了对数运算及不等式的基本性质，强调了数学试卷的应用性。
这三道题目传递的信息分别是：重视传统文化、关注社会民生、体现数学的应用性。
与之前相比，选择题部分强化了对不等式的考察。
此外，选择题重视考察同学们的基本运算和基本思维，运算量不大。
填空题部分考察的内容为高中数学的主干知识，更重视对主干知识的考察。
其中，15题联系生活实际，体现了劳动育人的价值导向；16题考查了立体几何中的轨迹问题，需要学生掌握立体几何线面垂直的判定以及几何图形的性质。
总体来看，填空题部分由易到难的分布有利于稳定学生情绪，又突出了选拔性功能。
选择填空题部分主干考点分析：选择题总体来看，没有出现偏难的知识点，考生比较容易上手。
这体现了高考的本质性功能，即选拔性考试而非智力型的考试。
选择题的压轴题考察了对数与指数函数以及函数与导数的综合应用，与往年相比有很大的不同。
2020-2023年数学新高考全国卷总结随着高考制度的不断改革，数学新高考全国卷作为考生备战高考的一个重要参考资料，是考生备考的重要内容之一。
为了帮助考生更好地应对数学新高考全国卷，下面将对2020-2023年的数学新高考全国卷进行总结，从题型分布、命题特点、考点分析等方面进行详细的分析和总结。
我们来看一下2020-2023年数学新高考全国卷的题型分布情况。
一、题型分布1.选择题选择题一直是数学高考试卷中的重点和难点，2020-2023年数学新高考全国卷中的选择题依然占据了较大的篇幅。
选择题分为单选和多选两种类型，其中单选题主要考查基础知识和简单的计算能力，而多选题则更加注重考生的综合能力和解题技巧。
在2020-2023年的数学新高考全国卷中，选择题的数量保持了相对稳定的比例，考生需认真对待。
2.填空题填空题在数学新高考全国卷中也占据了一定的比重，主要考查考生的运算技巧和对数学概念的理解程度。
填空题的难度相对较大，需要考生具备较为扎实的基础知识和较强的计算能力。
在2020-2023年的数学新高考全国卷中，填空题数量相对较多，考生需要加强练习，提高解题速度和准确度。
3.解答题解答题通常是数学新高考全国卷中的重点和难点，涉及知识面较广，需要考生具备较强的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在2020-2023年的数学新高考全国卷中，解答题的数量虽然相对较少，但每道题目的难度都较大，需要考生耐心思考，掌握解题方法，准确理解题意。
通过以上对2020-2023年数学新高考全国卷的题型分布情况的分析，我们可以看出选择题、填空题和解答题各占一定比例，考生在备考时需全面准备，注重基础知识的掌握和解题技巧的训练。
接下来，我们来看一下2020-2023年数学新高考全国卷的命题特点。
二、命题特点1.紧密围绕课程标准2020-2023年数学新高考全国卷的命题紧密围绕教育部颁布的最新课程标准，试图考查考生对数学知识的掌握程度和对数学概念的理解能力。
新高考数学考试试卷及试卷结构说明新高考数学试卷结构：第一大题，单项选择题，共8小题，每小题5分，共40分；第二大题，多项选择题，共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得0分，共20分.第三大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分。
第四大题，解答题，共6小题，均为必考题，涉及的内容是高中数学的六大主干知识：三角函数，数列，统计与概率，立体几何，函数与导数，解析几何。
每小题12分，共60分。
题型题量分值单项选择题8 40多项选择题 4 20 填空题 4 20解答题 6 70 单项选择题考点分析：2020新高考全国Ⅰ卷（全国Ⅱ卷[1]）1 集合的基本运算2 复数的基本运算3 统计与概率-排列组合4 日晷模型-立体几何5 统计与概率-概率基本公式（积事件）6 疫情模型-指数与对数函数7 平面向量与平面几何8 函数与导数-函数的性质多项选择题考点分析：2020新高考全国Ⅰ卷（全国Ⅱ卷[2]）9 解析几何-双曲线的简单性质10 三角函数-三角函数的图像11 不等式-基本不等式的应用12 信息熵-对数运算及不等式的基本性质新高考选择题部分分析：①新高考与之前相比，最大的不同就是增加了多项选择题部分，选择题部分由原来的12道单选题，变成了8道单选题与4道多选题。
这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题，可能就会丢掉5分，在新高考中，考生部分选对就可以得3分，在一定程度上保证了得分率。
②新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力，总体上难度不大，只要认真复习，一般都可以取得一个较好的成绩。
在多项选择题上，前两道较为基础，后两道难度较大，能够突出高考的选拔性功能，总体上来看，学生比以往来讲，更容易取得一个不错的成绩，但对于一些数学基础比较的好的同学来说，这些题比以往应该更有挑战性。
过去，只需要在四个选项中选一个正确答案，现在要在四个选项中，选出多个答案，比以往来说，要想准确的把正确答案全部选出来，确实有一定的难度、③新高考数学试卷的第4题，第6题和第12题都体现了创新性。
2020年高考数学全国Ⅱ卷的试题仍以《普通高中数学课程标准（实验）》《2020年普通高等学校招生全国统一考试大纲（数学）》《2020年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明（数学）》为依据，设计新颖，特别关注应用与创新，突出体现了新课改的精神.命题突出数学学科特色，由能力立意向核心素养导向转化，从学科的本质出发考查“四基”，重点考查数学思想方法，以及理性思维能力和“四能”.试题突出学科素养导向，全面覆盖基础知识，凸显综合性和应用性，以反映我国社会主义建设成就和优秀传统文化的真实情境为载体，贴近生活，联系社会实际，注重数学的应用性，在考试评价中落实立德树人根本任务.其中，函数与导数、解析几何、立体几何、三角函数、概率与统计等主干知识仍是重点考查内容.题目构思巧妙，试卷难度低起点、高出口，注重体现文、理科的差异，试题结构稳中有变，有很好的区分度.一、试题特点分析1.实现了“五育并举”，落实立德树人根本任务文科第4题（理科第3题）以“‘新冠肺炎’疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，许多志愿者踊跃报名参加配货工作”为背景设计试题，时代气息浓厚，既体现抗击“新冠肺炎”的时代背景，又融合当下“网购”“志愿者”等热词，具有时代特色，体现了德育、智育与劳动教育，立德树人.例1（文4/理3）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）.（A）10名（B）18名（C）24名（D）32名文科第3题以钢琴琴键的原位大三和弦和原位小三和弦为背景设计，让学生通过简短的文字从数学角度认识音乐中的和弦问题，普及音乐常识，提升音乐素养，体现了通过音乐、美术的熏陶实现传统文化育人.例2（文3）如图1，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12，若k-j=3且j-i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k-j=4且j-i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）.2020年高考数学全国Ⅱ卷的命题特点与复习建议张晓斌摘要：2020年高考数学全国Ⅱ卷的命题特点有：试题实现了“五育并举”，落实立德树人根本任务；特别加大了对学生阅读理解能力的考查力度；体现了今后新高考考查的部分新方向；充分体现与新高考文、理合卷的衔接过渡；更加注重考查学生的数学学科核心素养和综合素养；文、理科压轴题的难度有所下降，但全卷学生得分较难，获得满分更难.并给出了高三数学复习教学的一些建议.关键词：2020年高考数学；全国Ⅱ卷；命题特点；复习建议收稿日期：2020-12-19作者简介：张晓斌（1964—），男，三级研究员，重庆市特级教师，主要从事中学数学教育教学与评价研究.··53图1（A）5（B）8（C）10（D）15理科第4题以北京天坛的圜丘坛石板铺砌数量为背景考查数列相关问题，让学生感受我国厚重历史文化沉淀，将德育、智育和美育有机融合.例3（理4）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层（如图2）.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）.图2（A）3699块（B）3474块（C）3402块（D）3339块理科第12题以0-1周期序列在通信技术中的重要应用为背景来设计试题，强调数学在通信技术中的基础性地位.让学生在理解题目中的C()k的意义的基础上，解决相关数学问题.通过信息的获取、分析、理解和应用等一系列环节，体现了数学周期性应用的智育价值.例4（理12）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2…an …满足ai∈{}0，1()i=1，2，…，且存在正整数m，使得ai+m =ai()i=1，2，…成立，则称其为0-1周期序列，并称满足ai+m =ai()i=1，2，…的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2…a n…，C()k=1m∑i=1m a i a i+k()k=1，2，…，m-1是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0-1序列中，满足C()k≤15()k=1，2，3，4的序列是（）.（A）11010…（B）11011…（C）10001…（D）11001…理科第14题以学校派学生参加小区垃圾分类宣传活动为背景，紧扣时代脉搏，倡导时代新风尚，体现学校劳动教育的要求.例5（理14）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数是.文、理科第18题以“某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加”为背景设计试题，生动地对学生进行了生态环境保护教育.例6（文/理18）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()xi，yi()i=1，2， (20)其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得∑i=120x i= 60，∑i=120y i=1200，∑i=120()x i-xˉ2=80，∑i=120()y i-yˉ2=9000，∑i=120()x i-xˉ()y i-yˉ=800.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()xi，yi()i=1，2，…，20的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数rn()xi-xˉ()yi-yˉ，2≈1.414.2.文科第3题、第4题和第18题，理科第3题、第4题、第12题和第18题，题面文字表述较长，符号、图表语言较多，需要学生具有较强的阅读理解能力.这种阅··54读理解题在2018年以前的高考数学全国Ⅱ卷中较少出现；2019年理科有2道题，文科有1道题；2020年理科增至4道题，文科增至3道题.由此可见，这种阅读理解题的数量有逐年增加的趋势.3.体现了今后新高考考查的部分新方向首先，试题命制不仅有传统的封闭性题目，还有具有一定开放性的题目，注重对学生数学学科核心素养的考查.例如，文、理科第16题是一道选择正确命题形式的开放性填空题，与未来新高考的多项选择题形式雷同，有很强的指导意义；文、理科第18题设计为三道小题，且最后一道小题要求学生先回答结果，再说明理由，也有一定的开放性.例7（文/理16）设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是.①p 1∧p 4②p 1∧p 2③¬p 2∨p 3④¬p 3∨¬p 4其次，试题设计注重前后小题的层次性和关联性.例如，理科第21题（压轴题）设计为三道小题，前一道小题是后一道小题的铺垫，层次性和关联性都很强，让学生在解题后有拾级而上、步步深入的感觉.例8（理21）已知函数f ()x =sin 2x sin 2x .（1）讨论f ()x 在区间()0，π的单调性；（2）证明：||f ()x ≤；（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x…sin 22n x ≤3n4n .4.充分体现了与新高考文、理合卷的衔接过渡2020年高考数学全国Ⅱ卷中，文、理科相同试题有9道，其中选择题5道、填空题1道、解答题3道；姊妹题有第19题（解析几何题）和第20题（立体几何题），这两道题仅第（2）小题略有不同，其余全部相同，在第（2）小题的思维层次和运算素养等的要求上，理科要比文科高出许多.总之，文、理科数学试卷正在向新高考数学文、理合卷靠拢.例9（文/理19）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且||CD =43||AB .（1）求C 1的离心率；（2）（文科）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程.（理科）设M 是C 1与C 2的公共点，若||MF =5，求C 1与C 2的标准方程.下面研究该题的第（2）小题.针对文科第（2）小题，由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知条件进行求解即可.通过此题，考查学生直观想象、逻辑推理、数学运算等素养.具体解法如下.由（1）知a =2c ，b =3c ，故C 1：x 24c 2+y 23c2=1.所以C 1的四个顶点坐标分别为()2c ，0，()-2c ，0，()0，3c ，()0，-3c ，C 2的准线为x =-c .由已知，得3c +c +c +c =12，即c =2.所以C 1的标准方程为x 216+y 212=1，C 2的标准方程为y 2=8x .针对理科第（2）小题，由（1）可以得出C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立曲线C 1与C 2的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义，结合||MF =5，可求得c 的值，进而得出曲线C 1与C 2的标准方程.具体解法如下.由（1）知a =2c ，b =3c ，故椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c2=1.联立方程，得ìíîïïy 2=4cx ，x 24c 2+y 23c2=1.消去y 并整理，得3x 2+16cx -12c 2=0.解得x =23c ，或x =-6c （舍去）.由抛物线的定义，得||MF =23c +c =5c 3=5.解得c =3.··55因此曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x .例10（文/理20）如图3，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点.过B 1C 1和点P 的平面交AB 于点E ，交AC 于点F .C 1B 1A 1N O M PF E C BA 图3（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）（文科）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO ∥平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B -EB 1C 1F 的体积.（理科）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.下面研究该题的第（2）小题.针对文科第（2）小题，根据已知条件求得S 四边形EB 1C 1F和点M 到PN 的距离，根据锥体体积公式，即可求得V B -EB 1C 1F .具体解法如下.过点M 作PN 的垂线，交点为H ，画出图形，如图4所示.C 1B 1A 1N O M PF E C BA 图4H 因为AO ∥平面EB 1C 1F ，AO ⊂平面A 1AMN ，平面A 1AMN ⋂平面EB 1C 1F =NP ，所以AO ∥NP .因为NO ∥AP ，所以四边形APNO 为平行四边形.所以AO =NP =6.因为点O 为△A 1B 1C 1的中心，所以ON =13A 1C 1sin 60°∘∘∘=3.故AP =ON =3，则AM =3AP =33.因为平面EB 1C 1F ⊥⊥平面A 1AMN ，平面EB 1C 1F ⋂平面A 1AMN =NP ，MH ⊂平面A 1AMN ，MH ⊥NP ，所以MH ⊥⊥平面EB 1C 1F .在等边三角形ABC 中，有EF BC =AP AM ，即EF =AP ×BC AM =2.由（1）知，四边形EB 1C 1F 为梯形，所以S 四边形EB 1C 1F =12()EF +B 1C 1NP =2+62×6=24.所以V B -EB 1C 1F =13S 四边形EB 1C 1F h ，而h 为点M 到PN 的距离MH =23sin 60°∘=3.所以V B -EB 1C 1F =13×24×3=24.该题主要考查了线线平行和面面垂直的证明，以及四棱锥体积的计算，解题的关键是面面垂直向线面垂直的转化和棱锥的体积公式，考查了学生的分析能力和空间想象能力，属于中档题.试题需要学生从图形位置想象空间中直线与平面的平行、垂直、角度等位置关系或数量关系，猜想点P 为线段AM 的一个三等分点（靠近点A ），猜想从点M 出发，作以EB 1C 1F 为底面的四棱锥的高，垂足在PN 上，并运用逻辑推理严格确认，再通过数学运算得到最终结果，综合考查学生的数学学科核心素养.针对理科第（2）小题，连接NP ，先求证四边形ONPA是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在B 1C 1上截取B 1Q =EP ，由（1）中的BC ⊥⊥平面A 1AMN ，可得∠QPN 为B 1E 与平面A 1AMN 所成角，即可求得答案.具体解法如下.··56如图5，连接NP .C 1B 1A 1NO M PFE C BA 图5Q 因为AO ∥平面EB 1C 1F ，平面AONP ⋂平面EB 1C 1F =NP ，所以AO ∥NP .根据三棱柱上、下底面平行，平面A 1NMA ⋂平面ABC =AM ，平面A 1NMA ⋂平面A 1B 1C 1=A 1N ，所以ON ∥AP .故四边形ONPA 是平行四边形.设△ABC 的边长是6m ()m >0，可得ON =AP ，NP =AO =AB =6m .因为点O 为△A 1B 1C 1的中心，且△A 1B 1C 1的边长为6m ，所以ON =13·6·sin 60°∘=3m .故ON =AP =3m .因为EF ∥BC ，所以AP AM =EP BM.所以3m 3EP3m ，解得EP =m .在B 1C 1上截取B 1Q =EP =m ，则QN =2m .因为B 1Q =EP ，且B 1Q ∥EP ，所以四边形B 1QPE 是平行四边形.所以B 1E ∥PQ .由（1）知B 1C 1⊥⊥平面A 1AMN ，故∠QPN 为B 1E 与平面A 1AMN 所成角.在Rt△QPN 中，由勾股定理，得PQ=QN 2+PN 2=()2m 2+()6m 2=210m .所以sin ∠QPN =QN PQ ==.所以直线B 1E 与平面A 1AMN 该题主要考查了线线平行和面面垂直的证明及线面角的求解，试题难度逐级推进.首先，需要学生由直观想象、逻辑推理得出面面垂直的结论，第（2）小题则要充分利用刚才得到的结论，解题的关键是将面面垂直向线面垂直转化，结合线面角的定义，考查学生分析问题、解决问题的能力，以及空间想象能力，属于难题.若与建立空间直角坐标系并用空间向量求解的方法相比较，上述几何传统方法在运算上要简洁得多.由于缺乏对条件的深入分析，很多学生在建立坐标系时都把棱柱当成侧棱垂直于底面的特殊情况来做，虽然最后求出的结果碰巧与正确答案完全相同，但却造成了失误.5.更加注重考查学生的数学学科核心素养和综合素养2020年高考数学全国Ⅱ卷的试题对学生“四基”“四能”的考查要求更高，特别是对学生的数学学科核心素养和综合素养的考查力度加大.具有严谨性与开放性并存、一般性与特殊性并存、直观性与抽象性并存、变式推理性与数式运算性并存、应用性与育人性并存等特点.例如，文、理科第16题和第18题既体现了开放性，又有严谨性的要求；文、理科第20题具有一般性与特殊性并存、直观性与抽象性并存、变式推理性与数式运算性并存等特点，成为2020年高考数学试卷中的一道有亮点的试题.另外，理科第6题和第12题都体现了特殊与一般的并存；文科第3题、第8题、第9题、第11题、第16题、第19题、第20题等，理科第4题、第5题、第7题、第8题、第10题、第16题、第19题、第20题等都体现了直观性与抽象性并存和变式推理性与数式运算性并存的特点；所有具有应用性背景的试题都具有应用性与育人性并存的特点.总之，试卷中的每道试题都体现了对数学学科核心素养的考查，这对中学数学教学起到了很好的导向作用.6.文、理科压轴题得满分较多，但全卷得分较难，得满分更难2020年重庆市参加高考的文科学生74997人，理科学生113594人.文、理科选择题满分60分，填空题满分20分，第17题至第21题每道题满分12分，第22题··57至第23题每题满分10分.文科压轴题第21题获得满分的学生有222人，理科压轴题第21题获得满分的学生有105人，但是全卷文、理科没有一名学生获得满分，这说明全卷难度不是放在第20题和第21题这两道压轴题上，而是把难度分散到多个中档题目之中.例如，文、理科第18题、第22题、第23题等学生都不易获得满分，这使得学生全卷得分较难，得满分更难.2020年重庆市高考数学成绩统计数据，见表1、表2和表3.表1：2020年文科选择题、填空题和解答题成绩统计表类别平均分满分率难度值标准差区分度选择题1~1240.2185.8870.6712.0980.496填空题13~1612.52512.5740.6265.2430.582175.1389.0130.4284.4650.894186.9281.2780.5773.470.71193.24712.710.2714.1940.79204.1680.6230.3472.4840.508213.0110.2960.2513.2570.601223.4990.1230.352.7250.64234.7830.0280.4782.130.549表2：2020年理科选择题、填空题和解答题成绩统计表类别平均分满分率难度值标准差区分度选择题1~1242.1686.7380.70311.240.455填空题13~1610.3510.7420.5175.6860.69179.08634.10.7573.0540.57187.4251.1210.6192.8960.583195.05812.570.4223.7960.773204.8220.9320.4022.1650.43211.0060.0920.0841.8040.084224.7360.3560.4742.7530.699235.880.1930.5882.1130.509表3：2020年文、理科数学全卷成绩统计表类别文科理科平均分78.0984.57及格率35.9743.98最高分149149难度值0.520.56标准差29.4124.6区分度0.490.4有效分一本112.3695.69二本84.1474.99文、理科的三角解答题（第17题）与常见的三角解答题在解法与运算上有些不一样，此题容易入手，但继续深入就不容易，成为学生解题的“拦路虎”，很多学生在此题的解答上耗时过多，同时错误百出，导致学生快速准确完成全卷的难度增加.文科学生第（1）小题出现的错误有:公式乱用，如cos 2æèöøπ2+A =-sin 2A ，cos 2æèöøπ2+A =cos 2π2cos 2A -sin 2π2sin2A ；关键步骤不写；运算错误；等等.第（2）小题出现的错误有:边角转化思路不清、条理混乱；利用正弦定理和已知条件，学生常常出现b -c A =12的错误；很多学生利用余弦定理和已知条件联立方程，计算不出结果.理科学生出现的错误有：余弦定理记忆不准确；已知余弦值求角度出错；利用不等式求最值时，不等号方向相反，也当最值使用，如求出bc ≤3，又利用b +c ≥2bc ，得到2bc ≤23；把周长当成面积来求；均值不等式变形错误，如bc ≤()b +c 22；不会使用辅助角公式；等等.二、复习教学建议1.依据上述命题特点，加强复习的针对性教师的眼睛既要向下看又要向上看，不仅看学生的数学学习实际情况，还要看近几年高考数学考试命题的方向.做好三轮复习，第一轮“走”一遍，第二轮“跑”一遍，第三轮“考”一遍.认真编题、选题、做题、评题和品题.2.以重点知识为核心，带动其他知识的专题复习数学第二轮复习主要是重点专题复习，常见的专题有查漏补缺专题、重点知识专题、思想与方法专题.以重点知识构建主专题复习，非重点知识要融入平时的考试与练习中.3.认真组织集中练习，提升学生的思维能力对重点知识组织专门练习，每个专题安排2~3套练习；对选择题、填空题可以组织10~15套专门练习；对中等难度的解答题也可以组织5~10套专门练习；最后着力打造3~5套综合模拟适应性训练题.但切忌只练习不回顾重点知识的做法.4.做好每次考试分析，向讲评课要质量切实做好每次考试试卷分析，试卷讲评要有的放矢，注重试卷讲评课的统计性、选择性、方法性、变式性、概括性和互动性.不讲评就不考，考了就一定要讲评，这样才会收到实效，坚决反对在教室张贴答案的没有效果的做法.5.做好“四本”，重视课堂学生反馈在日常复习中，要求学生做好练习本、笔记本、（下转第64页）··58核心，即在数学学习中，要学生积极体验是什么、为什么、还有什么的求真精神.”按照这样的理念，在基础知识的教学中，必须强调知识产生的必要性与产生的过程，以及推证过程.既要关注结论，更要关注过程；既要知其然，更要知其所以然.在解题教学中，既要知道问题的解题思路，更要知道为什么要这样做，还能怎样做，还有没有更普遍的规律等，这就是理性思维的基本要求，理性思维是一种建立在证据和逻辑推理基础上的思维方式.因此，追求理性思维是形成关键能力的基础.4.重视应用和文化，实现立德树人的育人价值《标准》指出，数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能.由此可见，时代越来越关注数学的育人功能.例如，2020年高考数学北京卷第15题以污水治理保护环境为素材背景，考查函数变化率与导数几何意义的实际应用；第18题以学生调查对两种方案的支持率为背景，考查概率的计算，反映了学生的民主精神，从中揭示了时代的先进文化，表现了数学与时代文化的关系，体现了文化育人的目标.因此，我们在日常教学中要积极关注数学的实际应用价值，结合数学知识的学科特点，关注数学问题的实际生活背景.同时，还要注意引入问题的文化背景，如传统文化背景、时代文化背景、现实生活背景等，发挥人文价值和科学价值相融的教育目标.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.［2］章建跃.在“落实立德树人根本任务全面深化课程教学改革”中再立新功［J］.中国数学教育（高中版），2015（1/2）：3-5.［3］唐绍友.2019年高考数学北京卷的特点及其教学建议［J］.中国数学教育（高中版），2020（1/2）：94-98.错题本、手抄本（知识清单）.在课堂复习教学中善于从提问、练习、学生表情中获得学习情况反馈.注意在课堂上给学生内容、时间和展示机会，善于观察学生，及时了解他们的学习情况.6.教师课前累、学生课中累、学生课后会教师课前要认真思考，查找资料，做题想题，急学生所急，想学生所想，精心设计好每一个问题，备好高三每一堂复习课和试卷讲评课.为的是能在课堂上引领学生积极思考，开启学生思维的闸门，使学生的大脑内部能进行剧烈的思维运动，让学生领悟数学思想与方法，能运用所学知识发现和提出问题，分析和解决问题的思维能力得到提升，这样学生就会自己独立解决问题了.7.对学生解答全卷试题进行方法指导面对即将到来的新高考，日常要增加多选题的训练，全卷解答要先易后难，有主次之分；选择题、填空题力争会的全做对，中等难度的解答题尽量把主要解题步骤写清楚；压轴难题能做多少就做多少.另外，还要注意训练书写规范.8.树立目标意识，保持良好心态每名学生都应该确定自己的基本分，树立目标意识，锻炼锲而不舍的精神；保持良好的考试心态，仔细认真，克服畏难情绪；综合练习后善于“悟一悟”，学会反思总结；临考前进行心情放松训练，增强考试信心；等等.9.不猜题、押题，以官方公布信息为准高考的基础内容是能复习到的，高考难题是猜不到的.要想解决高考难题需要能力达到，并且积累一定的解决难题的经验.以教育部考试中心当年公布的信息为准，适当关注山东、海南、北京、上海、天津、江苏、浙江等地的高考试卷，特别注重全国卷的导向.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.［2］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018.（上接第58页）··64。
2020年高考命题特点及思路解析摘要：一、高考命题特点1.体现时代特色2.强调素质教育3.注重学科核心素养4.提高综合性、应用性5.突出创新思维二、高考命题思路解析1.遵循考试大纲2.注重基础知识和基本技能3.体现学生发展核心素养4.强调学科间的联系5.注重实践性和探究性正文：2020 年高考命题特点及思路解析随着2020 年高考的结束，新一轮的高考改革再次成为社会关注的焦点。
2020 年高考命题在继承过去的基础上，不断创新和突破，呈现出以下几个显著特点：一、高考命题特点1.体现时代特色2020 年高考命题紧密结合当前社会发展的时代特征，将重大社会生活事件有机融入试题，体现时代特色与发展成就。
如在语文、政治等科目中，涉及抗击新冠肺炎疫情、脱贫攻坚等热点话题的考题比比皆是，引导学生关注社会现实，心怀家国。
2.强调素质教育2020 年高考命题更加注重学生素质教育的培养，强调学生德智体美劳全面发展。
如在语文、历史等科目中，强调对中华优秀传统文化、革命文化和社会主义先进文化的传承与弘扬，引导学生提高审美情趣，增强身体素质。
3.注重学科核心素养2020 年高考命题以学科核心素养为考查重点，着重考查学生运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
如在数学、物理等科目中，加大对数学建模、逻辑推理等能力的考查力度，引导学生培养创新思维和批判性思维。
4.提高综合性、应用性2020 年高考命题进一步提高试题的综合性、应用性，注重考查学生理论联系实际的能力。
如在化学、生物等科目中，增加实验操作、实验设计等题型，引导学生提高实验操作能力，培养科学探究精神。
5.突出创新思维2020 年高考命题注重考查学生的创新思维，鼓励学生勇于创新、善于创新。
如在语文、英语等科目中，增设开放式、探究式题型，鼓励学生发散思维、拓展思维，培养学生的创新意识。
二、高考命题思路解析1.遵循考试大纲2020 年高考命题严格遵循考试大纲，确保试题的科学性、公平性。
2020年高考数学全国II卷试题评析陕西省教育考试院本年度陕西省高考数学试题依然采用全国Ⅱ卷，全卷以立德树人为根本任务，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，坚持素养导向、能力为重的命题原则，体现了高考数学的科学选拔和积极导向作用。
但从大多数考生的答题情况分析得100分容易，120分以上难，特别是阅读量的增加，解答题顺序的调整，不难感受到学科素养下命题的导向新变化。
今年全国Ⅱ卷试题数量，试题结构，基本题型，主干知识相对稳定。
注重基础和能力考查，重视方法与思维，通性通法掌握的同时，突出数学学科特点。
着重考查考生的理性思维能力以及综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力。
同时试题突出学科素养导向，凸显综合性、应用性贴近生活，联系社会实际，在考试评价中落实立德树人、导向数学的宗旨，引领和助推新一轮高考改革。
试题相对稳定，顺序有所调整。
2020年试题仍然延续了全国高考数学新课标卷稳中求变的风格，主干知识保持不变。
试题注重对基础知识与基本技能的考查，贴近教学实际。
理科试题中、概率统计22分、立体几何17分、解析几何22分、纯粹三角17分，参数方程与极坐标10分、绝对值不等式10分。
函数与导数37分，导数与三角结合与往年不同，但一二问难度不大，立体几何27分，较往年分值增加，尽管放20题的位置，但难度稳定。
变化较大的还是解答题顺序上有调整, 19题由立体几何换成解析几何与往年相比运算量减小，20题由常规的解析几何变更为立体几何题，但难度不大，问题的设置常规，证明线线平行，面面垂直及线面夹角的正弦值，只要考生有较好的运算能力和问题分析能力就能解决。
压轴21题的导数问题在预料之中，相比2019年难度略有提高。
创设生活情景，落实科学育人。
全国Ⅱ卷发挥学科特色，以中国抗击新冠肺炎疫情中的真实素材设计数学试题的问题情境。
理科第3题（文科第4题）以志愿者参加某超市的配货工作为背景设计，疫情防控期间大规模的网购、配货，是考生身边的真实情境，试题考查的知识和方法很基本，考生只要读懂了试题内容，运用概率的基本知识便可求得问题的答案，对考生提高获得感及稳定考试心态都有良好的作用。
2020年12月7日西安陕西高考数学复课会议2020陕西省高考数学试题的特点分析及2020年高考试题的命制趋势（联系方式：E: Q: 363215694 ）咸阳师范学院安振平2020年高考数学试题的特点分析今年的陕西高考数学试题，从整体上看，充分贯彻了全国高考数学《考试大纲》的基本精神，紧扣了现行高中数学教材的内容，既注重了基础知识的考查,又突出了能力立意的命题理念.虽然相比陕西自主命题的2020年、2020年试题，创意上略有提升，难度上略有所提高，但试题的难度仍然比较适中. 符合陕西省内陕南、陕北、关中不同地区的高中数学教学的实际，利于于高校选拔人才的基本要求.笔者以为，试题应当说是一份比较成功的、质量比较高的试题.试题求“稳”，稳在哪里？从试题的布局看，依然是22道试题，分别为12道选择题，4道填空题，6道解答题，和全国的模板相同，但分值用的是全国的旧形式，那就是，选择题60分，填空题16分，解答题74分.从试题内容的布局上来看，重点没有变化，思想没有变化，原则没有变化，导向没有变化，特色没有变化.具体表现在：主观题目考查的知识点相对稳定，例如：复数（理科），抽样（文科）线性规划，集合，等差数列，充要条件，反函数，涉及球的组合几何体，二项式定理，排列组合，解三角形，极限（理科），向量，直线与圆的位置关系，等等.客观题目考查的题型也没有多大的变化，依然是，三角函数，概率与统计，立体几何里元素的位置关系判定与计算，解析几何里的直线与圆锥曲线的关系，函数、导数与不等关系，递推数列与不等式证明.这些“稳定”点的重现与“不动点”的设计，充分体现了高考命题的基本要求：一是真正为中学生减负，二是把中学生的能力考出来.文理科试题里均没有偏题、怪题与过难的题目，相同的题目有11道，类似的姊妹题有5道，不同的题目有6道.这样的处理，有效的显示了文理科学生数学能力的区别，设计的比较科学，符合高中生的实际，为今后的命题和高考文理科复习的不同要求，提供了比较好的方向.试题求“变”，变在何处？仔细比照陕西自主命题以来的2020、2020年的试题，不难发现，2020年试题是有一定变化的，变在知识载体的适度迁移，解题能力要求的恰当提升.例如：第7题的反函数，2020年是抽象函数图像的选择题目，而2020年却变化为具体的指数函数与对数函数的运算问题.文理科均有的第12题，与2020年的第12题比照，均为信息安全情景，但新考题的加密办法要较原来考题新颖一点、抽象一点的.很好的处理了继承与发展变化的关系.又如：数列题目2020年，2020年都设计了n a 与n S 的关系的题目，而在2020年的题目里，有意做了回避.对解析几何解答题目，2020年设计了求参数的取值范围，2020年出现了求面积的最大值，都和不等式相联系，而2020年却有意避免了不等关系的出现，转变为等量关系了.立体几何解答题，其图形载体是比较新颖的.2020年是直二面角的图形，2020年是四棱锥的图形，而2020年却变化为“台体”了，当然，不变化的因素是，都有一线与一面垂直啊！再如：理科的函数题目，2020年是三次函数、导数与数列不等式证明，2020年是指数函数与二次函数复合的分式型的函数，求参数的取值范围，求函数的单调区间.而2020年却变化为一次函数与二次函数复合的分式函数，载体做了一定的调整与变化，问题似乎也新鲜了一点的.数列题目，陕西命题的前两年，没有出项递推模型：1n n x cx d +=+，而这点在2020年的理科第22题、文科第20题里得到了比较好的体现，此题目的背景，可以在课本上找到证实：过渡的人教版教材第一册（上）110页，或新课标人教A 版数学必修5的第38页均有如下问题：已知数列{}n a ，111,41(2)2n n a a a n -==+≥，写出数列的前5项． 这是根基在课本上的例子. 更多的往年高考真题的例子，可以列出如下的清单： 1. (2020，重庆)在数列｛a n ｝中，若a 1=1．a n +1=2a n +3 (n ≥1)．则该数列的通项a n =__ ．2.（2020，福建）已知数列{}n a 满足*111,21()n n a a a n N +==+∈．求数列{}n a 的通项公式．3. （2020，全国2）设数列{}n a 的首项1(01)a ∈，，132n n a a --=，234n =，，，…．求{}n a 的通项公式.4. (2020，全国1) 已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． 求{}n a 的通项公式.当然，还有许多的高考数列题目，通过变换以后，可以转化为模型：1n n x cx d +=+，请看：1.（2020，全国）已知数列{}n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥，证明：312n n a -=．提示：对113n n n a a --=+的两边同时除以3n，就得1111.3333n n n n a a --=⋅+ 2.（2020，天津）设0a 是常数，且1123()n n n a a n N -*-=-+∈，证明：对任意1n ≥，101[3(1)2](1)25n n n n n n a a -=+-⋅+-．提示：对1132n n n a a --=-的两边同时除以3n，就得11213333n n n n a a --=-⋅+. 3.（2020，江苏）已知10a >，211n n a a a+=（a 为正常数），用1,a a 表示n a ． 提示：对211n n a a a+=的两边取对数，就得 1lg 2lg lg .n n a a a +=-4. （2020，四川）设数列{}n a 的前项为n S ，已知2(1)nn n ba b S -=-．（Ⅰ）证明：当2b =时，1{2}n n a n --⋅是等比数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．提示：条件式可以转化为 112n n n a ba --=+(2,*)n n N ≥∈.再用同除技巧，就可以转化为如上的模板了.试题求“新”，新在哪里？一些新颖的题目的设计，显示了命题者的数学智慧，展示了数学试卷的种种“亮点”，为了实现命题的“能力立意”，创设了很好的问题情景.例如：理科第9题文科第10题将直二面角里的线段长、角度大小，巧妙的设计为新颖的不等式比较大小题目，具有一定的创新性. 第11题，一抽象函数为载体，考查相关的计算，试题设计简洁明快，作为陕西的题目，是有一定特色的. 第12题以信息传递为背景，涉及了集合、新定义的运算，属于一道新颖的智能型的试题，第16题以国家大事奥运火炬传递为题材，设计的背景是新颖的，也是紧跟时代要求. 又如：第19题是一道立体几何题目，此类问题要有新的创意，是不那么容易的. 但陕 西的命题高手却可以做到，高三的师生意想不到, 2020年一直二面角的图形展示，而2020年却以“三棱台”的图形闪亮登场. 要知道，立体几何题目的设计，不是椎体，就是柱体啊，那来的这等“怪物”，教材上没有涉及的. 再看理科第22题，第I 问设计平常，而第II 问却设计独特、新颖，半路杀出了程咬金，怎么多出了个未知数x ，有意思！第III 问更上一层楼，感觉中，一定有什么玄妙，可能有高等数学的背景？和面积、积分有联系，读者不妨思考之.● 理科压卷试题的研讨 2020年陕西高考理科数学压轴题为：问题：已知数列{}n a 的首项135a =，13,1,2,.21n n n a a n a +==⋅⋅⋅+ （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）证明：对任意的()21120,,1,2,;131n nx a x n x x ⎛⎫>≥--=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭+ （III ）证明：212.1n n a a a n ++⋅⋅⋅+>+ 笔者以为，该考题的设计是比较新颖、独特的，从参考答案提供的解答方法来看，第（I ）题是用“倒数变换”，构造等比数列求解的；第（II ）题是用“配凑”数学通项，利用（I ）的结论做答的；而第（III ）题是借助（II ）的结论，对x 取特殊值，这个值的选择，没有一定的数学悟性，是比较难想到的.● 关于第（I ）小题的求解 一个提及的问题是，如果没有想到“取倒数”法，没有转化到如上的模型上去，还能够求数列{}n a 的通项吗？其实，由首项出发，借助递推关系，求它的第2项，第3项，第4项，就得135a =；23395311215a ⋅==⋅+；39327119292111a ⋅==⋅+；4273812927832129a ⋅==⋅+. 据此，容易猜出 332nn n a =+. 接下来，可以用数学归纳法证明之.这种从特殊到一般，“归纳、猜想、证明”的思想方法，是求解数列问题的基本方法，理应成为考生思考此类问题的通性通法，也应当是首选的方法.探究第（II ）小题的证明我们知道，证明不等式最有效的通性通法，那就是作差比较法. 请看：为了书写的简单，换元是一个好主意，令11t x =+，则11x t=-，于是 ()2112131n nx a x x ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭+ ()2222221132313111210.nn n nn nn nn n nt t a t t t a t t t a a t t t a a t a a ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭⎛⎫+=--- ⎪⎝⎭⎛⎫=--- ⎪⎝⎭=-⋅+-=--≤请读者思考，为什么我们没有早早地把通项代入呢？这样做的话，运算会简单吗？通过观察，我们看出所要证明的不等式里有,,3nn x a ，而由（I ）的结论知道3nn a 与之间有关系332nn n a =+，我们就可以消去一种字母呀. 这种“消元”，我们是经常利用的，属于通性同法. 你看到了吗？上面的证明就是消去了3n呀！基于这样的认识，我们利用数列的通项式332n n n a =+，反解得 231n n n a a =-，再结合2元均值不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，就有如下的证明方法：()2112131nx x x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭+()()()()2221111111111111211111211nn n n n n a x x a x x x a x a xx a a x x ⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭⎡⎤=--+⎢⎥++⎣⎦=-⋅+++⎛⎫=⋅- ⎪++⎝⎭2112111.2nn n a x x a a ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥++⎝⎭≤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦我们知道，灵活的配凑，巧凑乘积的因子、妙分和式的项，这是应用2元均值不等式的前提. 关注如何消失字母x ，仅留下n a ，你可能就有了点感觉了.研究第（III ）小题的证法数列不等式的证明是历年高考的热门话题，这类问题往往有着数学竞赛题目的味道，其难度是比较大的，适度的放大或缩小，其技巧性是很高的，能够有效地检查考生的分析问题与解决问题的技能.不用参考答案里的证明方法，你能证明吗？这是数列不等式的证明问题，通性通法是数学归纳法，可以证明吗？完全可以，但运算量大，技巧性比较高，留给读者去完成.猜透了命题人的原始意图，看穿了题目的本质属性，你就会发现，利用n 元均值不等式去证明，就太简单了！证明1：所要证明的不等式等价于2223333232321n n n n ++⋅⋅⋅+>++++. 由n 元均值不等式，得22333323232n n ++⋅⋅⋅+≥+++22323232333n n +++++⋅⋅⋅+≥两式相乘，便得22222333323232323232333n n n n n ⎛⎫⎛⎫+++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭. （*） 注意到 22323232333n n +++++⋅⋅⋅+2222333211331131131,n n nn n n n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-=+-<+ 于是，由（*），立即得出 2223333232321n n n n ++⋅⋅⋅+>++++.证明2：用柯西不等式，便得()2212n y y y ⎛++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+ ()22211112111,n y y y x x x x x x ⎛⎫≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭即有 ()22221211111112n ny y y y y y x x x x x x ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+. （**） 据此，并注意到2222113333n n ++⋅⋅⋅+=-，便有 22333323232n n ++⋅⋅⋅++++ ()2222222111222111333111222111333222333113,1nn nnn n n n n n =++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+≥++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+=+->+即有 2223333232321n n n n ++⋅⋅⋅+>++++. 得证 . 在如上的证明里，我们用到的n 元平均值不等式和柯西不等式，对于原人教版高中教材而言，不属于课本内容，属于高中数学竞赛的要求. 对于新课标的高中教材，则属于选学的内容，一些省份属于高考的必考知识.需要说明的是，柯西不等式的变形（**），许多参考资料上称为“权方和不等式”，由此不等式，可以证明许许多多的数学竞赛里的不等式，这可以在有关的文献里找到. 我们也可以这样去思考： 原参考答案是利用第（2）题的结论来证明第（3）题里的不等式的. 笔者的想法是能不能给出直接的证明方法呢？这是可以做到的.证明：用数学归纳法进行证之.(1) 当1n =时，有135a =12>, 此时不等式成立. (2) 假设n k =时，2121k k k S a a a k =+++>+L 成立. 那么，当1n k =+时,21112113132k k k k k k S a a a a k ++++=++++>+++L .因为函数2()122x f x x x ==-++在(0,)+∞上为增函数, 所以 212112123(1)13223313232k k k k k k k k k k k k ++++++-+++++=-+++ 1212(12)31(12)232k k k k k k +++++=-++++ 0122112111110122112111112222312222232k k k k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C k k C C C C C k k +++++++++++++++++++++=-++++++++L L 122211112221111222311222232kk k k kk k k C C C k k C C C k k +++++++++++>-++++++ 22222653126732k k k k k k k k ++++=-++++ 22211126732k k k k =--+++++2211073232k k k k =->++++,所以 21213(1)1322k k k k k k ++++>+++, 即 21(1)2k k S k ++>+，所以1n k =+时也成立，故21231n n a a a a n ++++>+L .其实，将第（1）题求得通项公式代入第（3）题里的不等式，变形，就得如下不等关系：问题2-2：已知函数1()32xf x =+，对于任意的正整数n ，求证： 11(1)(2)()1.21f f f n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<- ⎪+⎝⎭证明：所证明的不等式等价于(1)(2)()22nf f f n n ++⋅⋅⋅+<+. （1）先证，当3k k N ≥∈，时，有111()3221kk k f k k k -⎛⎫=<- ⎪++⎝⎭， （2） 这等价于 23222kk k +>+. （3） 用数学归纳法可以证明，事实上，当3k =时，323229242323+=>=⋅+⋅, 不等式（3）显然成立；假设(3)k m m =≥时，有23222m m m +>+. 那么，当1k m =+时，()()123233233243224m m m m m ++=⋅+=+->+-()2222(1)2(1)422(1)2(1),m m m m m =++++->+++即1k m =+时，不等式（3）也成立. 综上可知，不等式（3）, 也即不等式（2）成立. 在不等式（2）中，取3,4,,k n =⋅⋅⋅，得 132(3)243f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 143(4)254f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，......,11()21n n f n n n -⎛⎫<- ⎪+⎝⎭,叠加，得 (1)(2)(3)(4)()f f f f f n +++⋅⋅⋅+13214311(1)(2)24325421n n f f n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11125112131616225548.22n n n n n n ⎛⎫=+++- ⎪+⎝⎭⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭<+故有 11(1)(2)()121f f f n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<- ⎪+⎝⎭成立. 这个证明思维于裂项，但需要对项的起步多点调整的.感觉中，这也是一种比较有趣的证明方法.2020年高考数学试题的命制趋势应当说，2020年是陕西高考特殊的一年，它是过渡教材的最后一个年份，所以，我依然人为，“稳定”的格局是大前提，要继承我省前3年命题中的一些成功经验，坚持“基本知识、基本技能、基本活动经验和基本思想方法”不动摇。
