斯托克斯公式

170第七节 斯托克斯公式一、斯托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推广。

格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系，而斯托克斯公式则把曲面 ∑上的曲面积分与沿着∑的边界曲线的曲线积分联系起来，这个联系可陈述如下；定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑ 是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数P （x,y,z ）、Q （x,y,z ）、R （x,y,z ）在曲面∑（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑ ⎰Γ++=Rdz Qdy Pdx (1)公式（1）叫做斯托克斯公式。

为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式（1）写成⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂,Rdz Qdy Pdx RQ P z y x dxdy dzdx dydz把其中的行列式按第一行展开，并把y ∂∂ 与R 的积 理解成为 zy R ∂∂∂∂, 与Q 的“积” 理解成为zQ∂∂ 等等，于是这个行列式就“等于“ dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂ 这恰好是公式（1）左端的被积表达式。

利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的另一形式：⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂,cos cos cos Rdz Qdy Pdx dS RQ P z y x γβα 其中n=（ γβαcos ,cos ,cos ）为有向曲面∑在点(x,y,z) 处的单位法向量。

171如果 是xOy 面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公式。

因此，格林公式是斯托克斯公式的一个特殊情形。

例1 利用斯托克斯公式计算曲线积分⎰Γ++ydz xdy zdx ，其中Γ为平面x+y+z=1 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则(图10-13)解 按斯托克斯公式，有⎰⎰⎰Γ∑++=++dxdy dzdx dydz ydz xdy zdx由于 ∑的法向量的三个方向余弦都为正，又由于对称性，上式右端等于⎰⎰xyD d ,3σ其中 xy D 为xOy 面上由直线x+y=1及两条坐标轴围成的三角形区域，因此⎰Γ=++23ydz xdy zdx 例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分()()(),222222dz y x dy x z dx z y I -+-+-=⎰Γ其中Γ是用平面x+y+z=23截立方体 (){}10,10,10,,≤≤≤≤≤≤z y x z y x的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向。

斯托克斯公式
斯托克斯公式(Stokes' formula)是一种用于计算物体在流体中的沉降速度的公式。

这个公式常用于计算圆柱形物体、球体或椭圆体在流体中的沉降速度。

斯托克斯公式的通常形式是：
v = gd^2(ρs - ρf)/18μ
其中：
v是物体的沉降速度(m/s)；
g是重力加速度(9.8 m/s^2)；
d是物体的直径(m)；
ρs是物体的密度(kg/m^3)；
ρf是流体的密度(kg/m^3)；
μ是流体的粘度(Pa·s)。

注意：斯托克斯公式仅适用于流体的流动是静态的、流动是匀速的、流体的流动是无流速场的情况。

例如，如果有一个圆柱形物体直径为0.1 m，密度为800 kg/m^3，流体密度为1000 kg/m^3，粘度为0.001 Pa·s，则其沉降速度为约0.15 m/s。

粘滞系数斯托克斯公式
粘滞系数是指流体黏度大小的量度，它的大小可以影响流体的流动性质。

斯托克斯公式是一种计算粘滞系数的公式，它是由英国科学家斯托克斯在19世纪时提出的。

斯托克斯公式是通过实验测量粘滞阻力和流体速度之间的关系
来推导出来的。

这个公式基于牛顿第二定律，即粘滞阻力等于物体运动时受到的阻力。

斯托克斯公式适用于粘滞性较高的流体，如水和空气。

它可以用来计算一些流体力学问题中的粘滞系数，比如液滴在流体中的运动、细管中水流的速度等等。

斯托克斯公式的表达式为：粘滞系数=6πrη/v，其中r为液滴半径，η为流体黏度，v为液滴下落速度。

使用斯托克斯公式可以帮助我们更好地理解流体力学现象，同时也是解决相关问题的重要工具。

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斯托克斯公式简析斯托克斯公式是微积分中的一个重要定理，它在数学分析及其应用中扮演着不可或缺的角色。

该公式不仅在数学理论中占有核心地位，还在物理学、工程学等多种科学领域中广泛应用。

在深入了解斯托克斯公式之前，我们需要回顾一些相关的基本概念。

一、背景知识向量场与标量场在微积分中，我们讨论两类重要的场：向量场和标量场。

向量场是指在空间中的每一个点都对应一个向量，常用于描述物理现象如速度场、电场等。

而标量场则是每个点对应一个数值，例如温度、压力等。

曲线积分与曲面积分曲线积分是一种沿着曲线计算的积分，常用于求某一方向的总量。

而曲面积分则是在一个曲面上计算的积分，通常用来计算流过某个曲面的总量。

这两者是斯托克斯公式建立的基础。

常见的微分形式在理解斯托克斯公式之前，了解微分形式尤为重要。

简而言之，微分形式可以视为一种推广的函数，用于描述更复杂的流动和饱和度。

二、斯托克斯公式的内容斯托克斯公式提供了一种连接曲线积分与曲面积分之间关系的重要工具。

其数学表达式如下：[ _C d = _S () d ]其中：(C) 是一条光滑的封闭曲线；(S) 是被曲线 (C) 所围成的一片光滑表面；() 是定义在某个区域内的光滑向量场；(d) 是沿着曲线 (C) 的微小位移；(d) 是沿着表面 (S) 的微小面积元素；() 表示向量场 () 的旋度。

这个公式表明，一个向量场沿着曲线的环路积分等于该向量场在被曲线围成的表面上的旋度的面积积分。

三、公式推导为了更深入理解斯托克斯公式，我们可以从基本概念出发进行推导。

首先来看两个重要的概念：旋度和散度。

旋度是描述一个向量场局部旋转趋势的量，而散度则反映了一个点源或汇聚程度。

我们可以通过以下步骤来推导斯托克斯公式：选择适当的小区域将封闭曲线 (C) 划分为许多个小段，并将相应的小面积 (S) 划分成多个微小部分。

这样我们就可以利用局部性来看待问题。

应用格林定理在平面上，格林定理给出了平面区域和它外围边界之间的关系。

斯托克斯公式斯托克斯公式是电磁场理论中的一个重要公式，由英国物理学家George Gabriel Stokes于1852年首次提出。

该公式描述了一个封闭曲面上的矢量场的环路积分与该曲面内部的曲面积分的关系，是电磁学中的基本公式之一。

斯托克斯公式的数学表达如下：∮_C (F · ds) = ∫∫_S (curl F · dS)其中，∮_C表示沿着封闭曲线C的环路积分，F为矢量场，ds表示曲线元素，∫∫_S表示曲面S上的面积分，curl F表示矢量场F的旋度，dS表示曲面元素。

斯托克斯公式的物理意义是将一个封闭曲面上的环路积分与该曲面内部的面积分建立了联系。

这种联系可以反映出某个矢量场的环路积分与该场在封闭曲面内部的变化情况。

斯托克斯公式的应用非常广泛，在电磁学、流体力学、数学物理等领域都有重要的作用。

在电磁学中，斯托克斯公式与麦克斯韦方程组密切相关。

根据麦克斯韦方程组，电场E和磁场B在自由空间内满足以下关系：∇ × E = - (∂B/∂t)∇ × B = μ0ε0 (∂E/∂t) + μ0J其中，∇为向量微分算子，∇ × E和∇ × B分别表示电场和磁场的旋度，μ0为真空中的磁导率，ε0为真空中的电介质常数，J为电流密度。

根据这两个方程，可以推导出斯托克斯公式的具体形式。

由于电场E和磁场B都是矢量场，可以将斯托克斯公式应用于这两个矢量场。

斯托克斯公式在电磁学中的应用非常广泛。

例如，可以使用斯托克斯公式来计算闭合导线上的电流。

根据安培定理，闭合导线上的电流可以通过磁场的环路积分来求得。

通过斯托克斯公式，可以将环路积分转化为面积分，从而简化计算过程。

此外，斯托克斯公式还可以用于推导电磁感应定律。

根据法拉第定律，磁场的变化产生感应电场。

通过斯托克斯公式，可以将感应电场与磁场的变化率建立联系，进而推导出电磁感应定律。

斯托克斯公式不仅在电磁学中有重要应用，还在流体力学中发挥着重要的作用。

斯托克斯公式范文斯托克斯公式（Stokes' theorem）是向量微积分中的一个重要定理，它描述了矢量场中的环量（circulation）与通过该矢量场的曲面的积分之间的关系。

斯托克斯公式是高斯定理（Gauss' theorem）和格林定理（Green's theorem）的一个推广，同时也是麦克斯韦方程组的一个重要基础。

在物理学中，斯托克斯公式经常被用来计算电磁场和流体力学中的环流。

∮_C (F·ds) = ∬_S (∇×F)·dS其中，C是一个其中一方向可取的任意闭合曲线，F是一个具有光滑场∇F的矢量场，S是C所包围的向外取正的面积元，ds是沿C方向的微小位移，dS是S的面积元的方向向外取正的单位法向量。

公式中的积分路径C可以是任意形状的曲线，可以是平面曲线也可以是空间曲线。

斯托克斯公式的应用非常广泛，特别是在电磁学和流体力学方面。

在电磁学中，斯托克斯公式经常被用来计算电磁场中的环流。

例如，我们可以利用斯托克斯公式来计算安培环路定理（Ampere's loop theorem）中的环流，从而求解电流在闭合环路上的磁场分布。

在流体力学中，斯托克斯公式常被用于计算流体中的环流。

通过斯托克斯公式，我们可以将流体的环量等效为通过该环量所包围的曲面的面积分。

这样可以方便地求解任意形状的流体环流问题。

总之，斯托克斯公式在向量微积分中具有重要的地位，它广泛应用于电磁学、流体力学等领域。

通过斯托克斯公式，我们可以将曲线积分转化为曲面积分，简化了计算过程，提高了计算效率。

因此，深入理解和熟练运用斯托克斯公式将对理工科学生的学习和研究产生积极的影响。