斯托克斯公式环
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8_2_4 斯托克斯公式 环流量与旋度 高等数学 微积分 考研数学
轴正向看为顺时针, 计算 I y2 d x xy d y xz d z .
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
cos 0 , cos
1, 2
cos
1 2
z
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
o x
2y
I
x y
y2 xy
z
dS 1 (y z)dS 0 2
内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
cos
x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
Page 10
2. 场论中的三个重要概念
设 u u (x, y, z),
A
(P,
Q,
R),
x
,
y
,
z
,
则
梯度:
grad u
u x
d ydz dzdx P d x Q d y R d z
R
或用第一类曲面积分表示:
cos cos cos
x
y
z
d S P d x Q d y R d z
PQR
Page 3
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
zdx xd y ydz
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之 为纳维 – 斯托克斯方程 ), 1847年先于
柯西提出了一致收敛的概念. 他提出的斯托克斯公式
环积分的计算公式
环积分的计算公式环积分是一种沿着曲线或曲面进行积分的方式，常常被用于计算物理和数学中的问题。
在计算环积分时，有一些常用的公式可以用来简化计算。
下面是几个经典的环积分计算公式：1. 第一型环积分公式第一型环积分公式是用来计算沿着平面曲线的环积分的，形式化表示为：∮Cf(x,y)ds = ∫abf(x(t),y(t))·|r'(t)|dt其中，C代表曲线，f(x,y)代表需要计算的函数，s代表弧长，a 和b代表曲线的参数范围，x(t)和y(t)分别代表x和y在t时刻的取值，r'(t)代表曲线在t时刻的切向量。
该公式可以用于计算曲线的周长、质心等问题。
2. 第二型环积分公式第二型环积分公式是用来计算沿着曲面的环积分的，形式化表示为：∮Sf(x,y,z)dS = ∫∫Sf(x,y,z)·(cosαi+cosβj+cosγk)dA 其中，S代表曲面，f(x,y,z)代表需要计算的函数，dS代表曲面的面积元素，α、β、γ分别代表曲面法线与x、y、z轴的夹角，i、j、k分别代表x、y、z轴的单位向量，dA代表曲面的投影面积元素。
该公式可以用于计算曲面的质量、重心等问题。
3. 格林公式格林公式是一种将曲线积分转化为面积积分的公式，形式化表示为：∮C(Pdx+Qdy) = D(Q/x-P/y)dxdy其中，C代表曲线，P和Q分别代表两个需要计算的函数，D代表曲线所围成的区域，dxdy代表面积元素。
该公式可以用于计算平面区域内的旋度和散度等物理量。
4. 斯托克斯公式斯托克斯公式是一种将环积分转化为曲面积分的公式，形式化表示为：∮Cf·dr = S(×f)·dS其中，C代表曲线，f代表需要计算的向量函数，dr代表曲线的切向量元素，S代表曲线所围成的曲面，×f代表f的旋度，dS代表曲面的面积元素。
该公式可以用于计算流量、涡量等问题。
10-7斯托克斯公式,环流量与旋度
其中
(rA o )n trA o n t
( R Q )c o (s P R )c o (s Q P )cos
y z
z x
x y
A t A n P c Q c o R o c so s
环 流 r A o d S 量 t A tds
Stokes公式的物理解释:
五 、 求 向 量 场 A ( x z )i ( x 3 yz ) j 3 xy 2 k 沿 闭 曲 线 为圆 周 z 2 x 2 y 2 , z 0 ( 从 z 轴 正 向 看 依逆 时 针 方 向 ) 的 环 流 量 .
六 、设 u u ( x , y , z ) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 求 rot ( gradu ) .
则沿A场中某一封闭的有C向 上曲 的线 曲线积分
CAds CPdxQdyRokes公式, 有
i jk
环流 量 C A dsx
y
dS z
P QR
2. 旋度的定义: i jk
称向 量 为向量场 (ro的 A )t. 旋度 x y z
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正 向与的侧符合右手法则)
四、小结
斯托克斯公式
cos cos cos
dydz dzdx dxdy
x
y
z
dS
x
y
z
PQR
PQ R
PdQ x d R y d zrA o n d t S A tds
斯托克斯公式成立的条件
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dyddzzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
10-7斯托克斯公式 环流量和旋度
P P P[ x , y , f ( x , y )] fy y y z
P P dzdx dxdy y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
1
D 由分段光滑的曲线 L 围 设闭区域
D 上具有一阶连 成,函数 P ( x , y )及 Q ( x , y ) 在
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
3 解 取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被 所围成的部分. 1 则 n {1,1,1} 3
z
n
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
n
右手法则
正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
证明
如图
z 轴的直线 设 Σ 与平行于
续偏导数, 则有
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy x y D 其中 L 是D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
(1)
根椐格林公式
Dxy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dx c y
相交不多于一点 , 并Σ 取 上侧,有向曲线 C 为Σ 的正 向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域D xy .
x
:z
f ( x, y )
P P dzdx dxdy y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
1
D 由分段光滑的曲线 L 围 设闭区域
D 上具有一阶连 成,函数 P ( x , y )及 Q ( x , y ) 在
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
3 解 取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被 所围成的部分. 1 则 n {1,1,1} 3
z
n
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
n
右手法则
正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
证明
如图
z 轴的直线 设 Σ 与平行于
续偏导数, 则有
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy x y D 其中 L 是D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
(1)
根椐格林公式
Dxy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dx c y
相交不多于一点 , 并Σ 取 上侧,有向曲线 C 为Σ 的正 向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域D xy .
x
:z
f ( x, y )
87斯托克斯公式与旋度汇总
Pdx Qdy Rdz
R Q P R Q P rotF ( )i ( ) j ( )k y z z x x y
旋度
设 r x2 y2 z 2 , 则 2 div (grad r ) r ; rot(grad r ) 0 . x y z 提示: grad r , , r r r x 2 2 x r x ( y) r y ( ) r r 2 x2 , 3 3 2 y x r r r r r ( z ) r2 z2 三式相加即得 div (grad r ) z r r3 i j k
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 沿闭曲 五、求向量场
2 2 z 2 x y ,z0 为圆 线 周 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
六、 设
u u( x , y , z )
具有二阶连续偏导数,求
rot ( gradu )
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
三、空间定向曲线积分与路径无关的充要条件
定理 设 G 是空间的一个一维单连通区域, F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k C ( 则 F ( x , y , z ) 沿 G 内定向曲线的积分与路径无关的 rot F 0 充分且必要条件是
斯托克斯公式stokes定律
斯托克斯公式stokes定律斯托克斯公式（Stokes定律）是描述流体运动的基本定律之一，它被广泛应用于流体力学和电磁学等领域。
斯托克斯公式是以英国物理学家乔治·斯托克斯（George Stokes）的名字命名的，他在19世纪中叶首次提出了这个公式。
斯托克斯公式是由麦克斯韦方程组推导而来的，它描述了流体中的速度场与涡旋场之间的关系。
根据斯托克斯公式，涡旋场的环流与速度场通过曲面的面积分之间存在线性关系。
换句话说，斯托克斯公式给出了速度场在曲面上的环量与曲面边界上的环量之间的关系。
斯托克斯公式的数学表达形式如下：∮C F·ds = ∬S (∇ × F)·dS其中，C是曲面S的边界曲线，F是速度场，ds是边界曲线上的微元弧长，S是曲面S的面积，∇ × F是速度场F的旋度，dS是曲面S上的面积元。
斯托克斯公式的应用非常广泛。
在流体力学中，斯托克斯公式被用来计算旋转流体中涡旋的强度和分布情况。
在电磁学中，斯托克斯公式被用来计算磁场沿闭合回路的环量，从而计算磁场的旋度。
此外，斯托克斯公式还被应用于固体力学、量子力学等领域。
对于流体力学中的应用，斯托克斯公式可以帮助我们理解涡旋的生成和演化过程。
涡旋是流体中的一种特殊流动形式，它具有旋转的性质。
通过斯托克斯公式，我们可以计算涡旋的强度，并进一步研究其对流体运动的影响。
斯托克斯公式的应用还可以帮助我们解决一些工程和科学问题。
例如，在空气动力学中，我们可以利用斯托克斯公式来计算飞机机翼周围的气流情况，从而优化机翼的设计。
在电磁学中，我们可以利用斯托克斯公式来计算闭合电路中的电磁感应强度，从而分析电磁场的分布情况。
斯托克斯公式是流体力学和电磁学等领域中非常重要的定律之一。
它描述了速度场与涡旋场之间的关系，可以帮助我们理解和分析涡旋的形成和演化过程。
斯托克斯公式的应用广泛，可以帮助我们解决一些工程和科学问题。
通过学习和应用斯托克斯公式，我们可以深入理解流体力学和电磁学等领域的原理和现象。
斯托克斯公式 环流量与旋度
向前进 , 在左手边.
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d yd z d zd x d xd y Pd x Qd y Rd z x y z P Q R
, , x y z
,
则
grad u u , u , u 梯度: x y z
散度:
u
P Q R div A x y z A
i
旋度: rot A
x
j
y
k
z
A
P
Q
R
o
1
1 y
d yd z d zd x d xd y
x y z
x
Dx y
z
x
y
利用对称性
3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2
例2. 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
n (cos , cos , cos ) (cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
P d x Q d y R d z
d yd z d zd x d xd y
10.7_斯托克斯公式__环流量与旋度
W ydx zdy xdz
x
y
1 3
y
1 3
dS z
x
1 3
A x
O
y
1
C
y
z
1 n D xy (1 , 1 , 1) 3
x y yz 1 x 1
x 3d1xdy
d OS
1 (3)dS 3
3
D xy
3 3 dxdy . 2
ydx zdy xdz
B
z
O
n
C
y
dydz dzdx dxdy
Σ
3 dxdy
Σ
A x
一投
二代
三定号
化 为 ( 3) dxdy 二 Dxy 重 1 3 积 分 3 .
2
y 1
x y1
D xy
1
x
O
2
19
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面
积分情形下的推广, 也是格林公式在空间的
推广, 它将定向曲面上的面积分与曲面的定向
边界曲线上的线积分联系了起来.
2
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理10.11 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,
Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向闭曲面, Γ的正向 与Σ的正侧符合右手法则, 若向量函数 F ( x , y , z )
3
Pdx Qdy Rdz
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
即有
Pdx Qdy Rdz
9.5 斯托克斯公式 环流量 旋度
i jk
解
rot A
x
y
z
(0, 0 , 1)
2y 3x z2
n 为
I cos d S
8
18
*三、汉密尔顿算子
定义向量微分算子:
x
i
y
j
z
k
它又称为▽(Nabla)算子, 或汉密尔顿(Hamilton)算子.
(1) 设 u u( x, y, z), 则
P
Q
R
或用第一类曲面积分表示:
cos cos cos
x
y
z
d S P d x Q d y R d z
PQR
4
例1 利用斯托克斯公式计算积分
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整
个 边界, 方向如图所示.
z
解 记三角形域为, 取上侧, 则
xyz
rrr
23
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
i jk
x
y
z
PQR
rot A n d S A d s
或
(rot A)n d S A d s ①
定义 P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量。向量 rotA称为向量场A的
,
u y
,
u z
u
散度:
div A
P x
Q y
R z
A
i jk
旋度:
10-7 斯托克斯公式环流量与旋度要点
一、斯托克斯( Stokes )公式定理1. 右手法则(斯托克斯公式)证:情形1(利用格林公式) ∂P∂P=-⎰⎰[+fy]cosγdS∑∂y∂z情形2 证毕注意:⎰⎰∑dydzdzdxdxdy∂∂∂∂x∂y∂zPQRcosαcosβcosλ∂∂∂dS⎰⎰∂x∂y∂z∑PQR例1.解:利用对称性=3⎰⎰dxdyDxy 例2.解:*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2. ⎰ΓPdx+Qdy+Rdz=0Γ⎰Pdx+Qdy+Rdzdu=Pdx+Qdy+Rdz证:(4)⇒(1)(1)⇒(2)(2)⇒(3)(x,y,z)Pdx+Qdy+Rdz(x0,y0,z0)u(x,y,z)=⎰∂u∂x=P(x,y,z)du=Pdx+Qdy+Rdz(3)⇒(4)证毕例3.解:P=y+z,Q=z+x,R=x+y三、环流量与旋度n=(cosα,cosβ,cosγ)τ=(cosλ,cosμ,cosν)记作rotA⎰⎰∑(rotA)ndS=⎰ΓAτds定义: 环流量旋度旋度的力学意义:=2ω(此即“旋度”一词的来源)斯托克斯公式①的物理意义:注意∑与Γ的方向形成右手系!例4.解:例5.解:*四、向量微分算子=gradu=divA=rotA内容小结1. 斯托克斯公式2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件∂Q∂R∂R∂P∂P∂Q==,=,∂y∂x∂z∂y∂x∂zrot(P,Q,R)==03. 场论中的三个重要概念梯度:散度:旋度:2r0提示:思考与练习作业。
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其中Γ是曲 从z轴正向看去Γ的方向是顺时针方向.
一、斯托克斯公式
解法1
令x=cos θ,y=sin θ，则 z=2－x+y=2－cos θ+sin θ，
所以
一、斯托克斯公式
解法2
设Σ是平面x－y+z=2上以Γ为边界的有限部分，其法向量与z轴 正向的夹角为钝角，Dxy为Σ在xOy面上的投影域.由斯托克斯公式得
斯托克斯公 式环
流量与旋度
一、斯托克斯公式
平面上封闭曲线的曲线积分与其围成的平面区域 上的二重积分之间的关系可用格林公示来表示，沿空 间封闭曲面的曲面积分与其所围成的空间闭区域上的 三重积分之间的关系可用高斯公式来表示，而斯托克 斯公式则建立了沿空间曲面Σ的曲面积分与沿Σ的边界 曲线Γ的曲线积分之间向量T是向量 场A在点M的旋度，记为rot A(M),则
二、向量场的环流量与旋度
利用向量微分算子Δ，向量场A的旋度rot A可表示为Δ×A，即
二、向量场的环流量与旋度
旋度具有下列性质： (1)Δ×CA=CΔ×A(C为常数). (2)Δ×(A+B)=Δ×A+Δ×B. (3)Δ×uA=uΔ×A+Δu×A(u为数量函数). (4)Δ·(Δ×A)=0. (5)Δ×Δu=0(u为数量函数).
由两类曲线积分的联系，环流量又可表达为
二、向量场的环流量与旋度
在向量场A中任取一点M，过点M作一平面π，在平面π 上任取一包围点M的光滑闭曲线Γ，取Γ的方向与平面π的法向 量n符合右手规则，Γ所围区域D的面积记为S(D),则 表示向量场A沿平面曲线Γ绕n旋转的平均环量.
二、向量场的环流量与旋度
【例3】
求向量场
沿曲线
（从z轴的正方向看去，L为逆时针方向）的
环流量.
解 L的参数方程为
二、向量场的环流量与旋度
于是
在π上令Γ收缩到点M,若 存在，则称此极限值为向量场A在点M处沿n方向的方向旋量.
由斯托克斯公式及积分中值定理可知
二、向量场的环流量与旋度
其中
因此,如果记向量
则
这个式子表明，左端的极限值等于向量T在
一、斯托克斯公式
在给出斯托克斯公式之前，先对有向曲面Σ的侧与 其边界曲线Γ满足右手法则规定如下：当右手除拇指外 的四指依Γ的绕行方向时，拇指所指的方向与Σ上法向 量的指向相同，这时称Γ是有向曲面Σ的正向边界曲线.
一、斯托克斯公式
定理
设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光 滑的有向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手规则，函数P （x,y,z）,Q （x,y,z）,R （x,y,z）在曲面Σ（连同边界Γ）上具有 一阶连续偏导数，则有
由第二类曲线积分的定义及格林公式,有
一、斯托克斯公式
又有向曲面Σ的法向量的方向余弦为
因此
故
即 （10-19）
一、斯托克斯公式
比较式(10-18)和式(10-19)，可知式(10-17)成立. 如果Σ取下侧，Γ也相应地改成相反的方向，那么式(10-17) 两端同时改变符号，因此式(10-17)仍成立. 同样可证
一、斯托克斯公式
【例2】
求
其中Γ是曲线 从z轴正向看去Γ的方向是逆时针方向.
解 设Σ是曲面x2+y2=2z上以Γ为边界的有限部分，Σ的 单位法向量为 其法向量与z轴正向的夹角为锐角，由斯托克斯公式得
一、斯托克斯公式
二、向量场的环流量与旋度
设有向量场
其中函数P,Q,R均连续，Γ是A的定义域内的一条分段光滑的 有向闭曲线，τ是Γ在点x,y,z处的单位切向量，则积分 称为向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量.
二、向量场的环流量与旋度
斯托克斯公式可写为
斯托克斯公式表明,向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量等于向 量场A的旋度场通过Γ所张的曲面Σ的流量，这里Γ和Σ的正向符合 右手规则.
二、向量场的环流量与旋度
【例4】
求向量场 解
的旋度.
谢谢聆听
（10-16）
一、斯托克斯公式
公式(10-16)称为斯托克斯公式. 斯托克斯公式还可写为
其中n=cos αi+cos βj+cos γk为有向曲面Σ在点(x,y,z)处的单位 法向量.
一、斯托克斯公式
根据两类曲面积分间的关系，有
（10-18）
一、斯托克斯公式
证明
先证明 （10-17）
假定Σ与平行于z轴的直线相交不多于一点，并设Σ为 曲面z=f（ x,y ）的上侧，Σ的正向边界曲线Γ在xOy面上的 投影为平面有向曲线C，C所围成的闭区域为Dxy.
（10-20） （10-21）
一、斯托克斯公式
将式(10-17)、式(10-20)和式(10-21)相加即得公式 (10-16).
若曲面与平行于z轴的直线交点多于一个，则可用一些 光滑曲线把Σ分成若干小块，使每小块能用这种形式来表示， 因而这时式(10-16)也成立.
一、斯托克斯公式
【例1】
求 线