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斯托克斯公式82906

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斯托克斯公式

斯托克斯公式

3
2
0
D xy
1
1
y
3(
1


2
1方 程 ； 2 x轴
3
)zdx
1
x
1

3 3 zdx 3 (1 x )dx 0 3 2
首 页 上 页 下 页 尾 页
例 1 计算
zdx xdy ydz ,
: x y z 1被
三坐标面所截成的三角形的整个边界,其正向与三 z 角形上侧符合右手规则.
z

n
o

y
x
3 ：x y z 2
4 3 dS 3 2 9 2 3 3dxdy . 2 D xy
x y
Dxy
x y 1 2
下 页
3 2
首 页
上 页
尾 页
二、*等价结论
1 推论 设G是空间 一维单连通区域， 、Q、R CG， P


A的旋度 R Q P R Q P rotA dS ( , , ) dS
物理意义: rotA穿过流向指定侧的流量 A沿 (正向)的环流量。

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Pdx Qdy Rdz A ds
0 D xy
1
x
1
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下 页
尾 页
例 2 求 ( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz ,是

3 x y z 截立方体:0 x 1 ,0 y 1 , 0 z 1 2
的表面所得截痕,从 Ox 轴正向看去取逆时针方向. 3 z n 解 取Σ : x y z ,上侧,被 2 0 1 (1,1,1) 所围部分. 则 n

第七节 斯托克斯公式与旋度

第七节 斯托克斯公式与旋度
第七节 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式 二、物理意义 -- 环流量与旋度 三、空间定向曲线积分与路径无关条件
一、斯托克斯(stokes)公式
1、定向曲面∑的正向边界曲线： 设定向曲面∑ 的边界曲线为，规定 的正向 如下：当人站立于定向曲面的一侧上，并沿 行走时，邻近处的 始终位于他的左方. 带有正向的边界曲线 称作定向曲面 的正向边界 曲线，记作 + .
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xoy面的平面闭区域,且R(x,y,z)=0
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
z
例 1 计算 zdx xdy ydz , 其中 是平面 x y z 1 被 三坐标面所截成的三角形的 整个边界,取逆时针方向.
称为向量场 F 沿曲线 按所取方向的环流量 .
环流量

F dr Pdx Qdy Rdz



F dr

i x P
j y Q
k dS z R
P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k i j k 称向量 x y z P Q R R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y 为F在点( x , y, z )处的旋度(rotation), 记为rotF .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.

斯托克斯公式推导过程

斯托克斯公式推导过程

斯托克斯公式推导过程斯托克斯定理的数学表述如下：对于一个有限的、连续可微的曲面S，其边界曲线为C，向量场F在S上连续可微，那么有:∮CF·dr = ∬S(curlF)·dS其中，CF·dr表示环绕曲线C上的环流积分，∬S(curlF)·dS表示曲面S上curl F的通量积分。

下面我们来推导斯托克斯公式的数学过程：1.首先，我们将曲面S划分为一系列曲面微元dS，每个微元由两个方向上的微小面元的叉积得到，可以表示为dS=n·dS0，其中n是曲面单位法向量。

2.我们考虑微小线段δl，它位于曲面微元dS的边界上并与之垂直。

令δl的长度为δs，方向与曲面微元dS的法向量n一致。

3.在δl上选择一个局部坐标系(x,y,z)，使得x轴与δl的方向一致。

在该坐标系下，曲线C可以表示为x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，其中t是δl上的参数。

4. 现在我们来计算在δl上的环流积分CF·dr。

由于δl位于曲面微元dS的边界上，所以dS的边界C也可以表示为δl的路径。

因此，环流积分可以表示为CF·dr=Fx·dx+Fy·dy+Fz·dz，其中Fx，Fy，Fz是向量F在局部坐标系(x,y,z)下的分量。

5. 将Fx，Fy，Fz表示为关于t的函数，并将dx，dy，dz表示为关于t的导数dt，可以得到CF·dr的表达式为CF·dr=(Fx·dx+Fy·dy+Fz·dz)=(Fx·dx/dt+Fy·dy/dt+Fz·dz/dt)·d t。

6. 由于dx，dy，dz与dt成正比，可以通过求导得到dx，dy，dz与dt之间的关系。

即dx=d(x(t))/dt·dt，dy=d(y(t))/dt·dt，dz=d(z(t))/dt·dt。

斯托克斯公式

斯托克斯公式
Q Q P ( R )dydz + ( P R)dzdx + ( )dxdy ∫∫ y z z x x y Σ
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
---- 斯托克斯公式
证明思路
曲面积分 便于记忆形式 二重积分 曲线积分
∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R cosα cos β cosγ ds = Pdx + Qdy + Rdz ∫Γ x y z P Q R
二、简单的应用
例1 计 曲 积 算 线 分
∫Γ zdx + xdy + ydz ,
中 其 Γ 是 面x + y + z = 1被 坐 面 截 的 平 三 标 所 成 角 的 个 界, 的 向 这 三 形 侧 三 形 整 边 ,它 正 与 个 角 上 界 z 则. 的 向 之 符 右 规 . 法 量 间 合 手 则
cosα = cos β = cosγ = 1 , 即 3 由斯托克斯公式
1 1 1 3 3 3 dS x y z y2 z2 z2 x2 x2 y2
1 2
y
x+ y = 3 2
I = ∫∫
Σ
o
x+ y = 1 2
一投： 一投： Σ 投影 得Dxy; , 二换： 二换： dS = 3 dxdy; 三代： 三代：x + y + z = 3 .
斯托克斯公式成立的条件
z
1
n = 1 {1, 1, 1}. 3
1
o
1
y
x
z
解 取 为 面x + y + z = 3 Σ 平 2

高等数学《斯托克斯公式与旋度》

高等数学《斯托克斯公式与旋度》
带有正向的边界曲线 称作定向曲面 的正向边界 曲线，记作 + .
n
定向曲面 边界曲线
的正向与定向曲面的法向 量符合右手法则.
当右手除拇指外的四指
依 的绕行方向时, 竖 起的拇指的指向与 上
的法向量指向相同.
2、斯托克斯(stokes)公式 定理 设 是一张光滑或分片光滑的定向曲面, 正向 边界 +为光滑或分段光滑的闭曲线.若函数P(x,y,z)、 Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数,则有：
则沿场
F
F中 某dr一封 P闭dx的定Q向dy曲 线Rdz
上的曲线积分
称为向量场F 沿曲线 按所取方向的环流量 .
i jk
环流量
F
drLeabharlann dSx y zPQR
2. 旋度的定义:
设向量场 F ( x, y, z) (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) i jk
上，最大环量密度为|rotF |.
如果rot
F
(
M
)在场内处处为零,
称F为无旋场.
如果divF(M )在场内处处为零,称F为无源场.
一个无旋无源场称为调和场 .
调和场是物理学中的一类重要的场 , 与调和函数有着密切联系 .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
则F ( x, y, z)沿 G 内定向曲线的积分与路径无关的
充分且必要条件是 rot F 0
课本Page 222的5个公式.
四、小结
1、斯托克斯公式
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx

斯托克斯公式

斯托克斯公式

三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则. 解 法一 按斯托克斯公式,有
z
1 n
zdx xdy y dz
Dxy O
1y
dydz dzdx dxdy
x1
x
y
z
dydz dzdx dxdy
zxy
: 平面x y z 1
dydz dzdx dxdy
PQR
其中n (cos ,cos ,cos )
旋度的定义
ij 称向量 x y
k
为向量场的旋度(rotA).
z
PQR
i jk
旋度
rotA
x y z
PQR
(R
Q
)i
(P
R
)
j
(Q
P
)k .
y z z x x y
例 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
其中是平面x y z 1 被三坐标面所截成的
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
即有
R y
Q z
cos
P z
R x
cos
Q x
P y
cos
dS
Pdx Qdy Rdz
其中 cos ,cos ,cos 是Σ指定一侧的法向量
方向余弦.
斯托克斯公式常用形式
Pdx Qdy Rdz
(的法向量
n
(1,1,1).cos
cos
cos
1
)
3
的法向量的三个方向余弦都为正.
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy 对称性

斯托克斯公式

斯托克斯公式

z
P y P zfyco d sS
o x
D
x
y
y C
cos 1 ,
1fx2fy2
cos fy ,
1fx2fy2
fy
cos cos
3
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
因此 P d x P y P zc c o oc s so d S s
P zco s P yco sdS P zdzdx P ydxdy
2(1),(3) ; 3(1);
4 (2) ;
6
补充题: 证明
(1 ) ( u)0 (即 rot(g u)ra0)d
(2 ) ( A ) 0(即 d(irv o A ) t0 )
24
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
同理可证 Q d y Q xdxdy Q zdydz R d x R ydydz R xdzdx
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
4
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
(P c o Q sc o R sc o )d s s
13
机动 目录 上页 下页 返回 结束
令 A(P ,Q ,R ), 引进一个向量
i jk
( R y Q z)( , P z R x )( , Q x P y )
x
y
z
记作 rotA
PQ R
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
:z f(x ,y ),(x ,y ) D x y

(优选)斯托克斯公式

(优选)斯托克斯公式

z
y
Γ
注 若取下侧，Γ也相应改成相反方向，上式仍成立.
Pdzdx z
P y
dxdy
P(
x,
y,
z)
dx
Γ
同理可证其余二式:
Qdxdy Q dydz Q( x, y, z)dy
x
z
Γ
三式相加可得
Rdydz y
R x
dzdx
R(
x,
y,
z)dz
Γ
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
γdS
P z
fy
P dxdy y
y
Px,
y,
f
( x,
y)
P y
P z
fy
Px, y, f ( x, y) dxdy Px, y, f ( x, y) dx
y
Dxy
c
ห้องสมุดไป่ตู้
Pdzdx P dxdy Px, y, f ( x, y) dx 成立
z
y
c
即 Pdzdx P dxdy P( x, y, z) dx 成立
利用轮换对称性
dzd x
y
x
dxd y
z
y
3 d xd y
3 d xd y 3 .
Dxy
2
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I ( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz
Γ
其中Γ 是用平面x
y
z
3 截立方体 :
2
0 x 1, 0 y 1, 0 z 1
解(方法1) 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域且

高等数学11.7斯托克斯(stokes)公式

高等数学11.7斯托克斯(stokes)公式

Pdx Qdy Rdz

P P dzdx dxdy y z
P P f y ) cos dS P161 ( y z
P P f y )dxdy ( z y z
n
P P 即 dzdx dxdy z y
有一阶连续偏导数, 则有公式 Q P R Q P R )dxdy ( )dydz ( )dzdx ( x y y z z x
Pdx Qdy Rdz

斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 R Q P R Q P ) dydz ( ) dzdx ( ) dxdy ( y z z x x y Pdx Qdy Rdz 斯托克斯公式



cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R 其中n {cos , cos , cos }

一、斯托克斯公式
R Q P R Q P )dxdy ( )dydz ( )dzdx ( y z z x x y
:
f ( x, y )

R R o D dydz dzdx R ( x , y , z ) dz C x y x R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz

思路
曲面积分
P P dxdy dzdx y z
1
二重积分
2
曲线积分
P P ( cos cos )dS z y
z f ( x , y ) 法向量为： ( f x , f y , 1)

斯托克斯公式

斯托克斯公式

解:按斯托克斯公式：
Γ
zdx xdy ydz dydz dzdx dxdy

由于 的 法向量的三个方向余弦都为正, 又由于对称性，上式右端为: 3 d 其中Dxy为xOy面上由直线x y 1及
Dxy
两条坐标轴围成的三角形闭区域.
故
3 zdx xdy ydz 2 Γ
( P cos Q cos R cos )dS .
Γ
设有向量场 A( x,y,z ) P( x,y,z )i Q( x,y,z ) j R( x,y,z )k 在坐标轴上的投影分别为
R Q P R Q P , , y z z x x y
曲面Σ的通量，这里Γ的正向与曲面Σ的侧应 符合右手规则.
rot A 的表达式可利用行列式记号形式地表示为
i rot A x P j y Q k . z R
P P 即 : dzdx dxdy P( x, y, z )dx 成立 y Γ z (此时, Px, y, f ( x, y )在C上点( x, y )处的值与P( x, y, z ) 在Γ上对应点( x, y, z )处的值是一样的，且两曲线上的 对应小弧段在x轴上的投影也一样.)
第七节 斯托克斯公式
一、斯托克斯公式 二、环流量与旋度
一、斯托克斯公式
定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以Γ为
边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与 的侧符合 右手规则，函数P( x, y, z )、Q( x, y, z )、R( x, y, z )在曲面
(连同边界Γ )上具有在一阶连续偏导数，则有：
注意：
斯托克斯公式 若 是xoy面上的一平面闭区域，

斯托克斯(stokes)公式

斯托克斯(stokes)公式



Q x

P y

cos
dS
Pdx Qdy Rdz
其中 cos ,cos ,cos 是Σ指定一侧的法向量
方向余弦.
斯托克斯公式常用形式
Pdx Qdy Rdz




R y

Q z
dydz


P z

(的法向量
n

(1,1,1). cos

cos

cos

1
)
3
的法向量的三个方向余 弦都为正.
zdx xdy ydz
dydz dzdx dxdy 对称性


3
dxdy

3
1 2

3 2
.
Dxy
y
1
x y1
Dxy
O
1x
法二 按斯托克斯公式,有
1 3


(1
y

1

1)
dS
1
x y1
Dxy
O
1x
第七节 斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以
为 边界的分片光滑的有向闭曲面, 的正向与
的侧符合右手规则，函数P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)在包含曲面在内的一个空间区域内 具有一阶连续偏导数, 则有公式



R y

Q z
dydz


P z

R x
dzdx


Q x

斯托克斯公式及其应用

斯托克斯公式及其应用

O Dxy
y
x
C
所以 P[ x, y, f ( x, y)]dx P( x, y, z)dx.
C
故
P z
dzdx
P y
dxdy
P(
x,
y,
z)dx.
如果取下侧,等式两边同时变号,上式仍然成立.
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如果曲面与平行于z 轴的直线的交点多于一个, 则可作辅助曲线把曲面分成几部分, 运用公式再 相加, 因为沿辅助曲线而方向相反的两个曲线积 分相加时正好抵消, 所以公式仍成立.
2 3 dS
2 3
1
z
2 x
z
2 y
d
Dxy
2 3 3d
Dxy
6 (Dxy的面积)
9. 2
y
1
x y 1.5
0.5 Dxy
x y 0.5
O 0.5 1 x
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例4. 为柱面 轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
C
所以
P z
dzdx
P y
dxdy
C
P[ x,
y,
f
(
x,
y)]dx.
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因为函数 P[ x, y, f ( x, y)]在曲线C z n
上点( x, y)处的值与函数P( x, y, z)
在曲线 上对应点( x, y, z)处的值
一样,并且两曲线上的对应小弧段
在 x 轴上的投影也一样,
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一、由微分运算决定的三个量
i
j

斯托克斯公式

斯托克斯公式
2
∂Q ∂ R ∂ R ∂ P = , = ∂z ∂ y ∂x ∂z
证毕
例3. 验证曲线积分∫Γ ( y + z ) d x + ( z + x) d y + ( x + y )dz
与路径无关, 并求函数
u ( x, y , z ) = ∫
( x, y , z ) (0,0,0)
( y + z )d x + ( z + x) d y + ( x + y ) d z
rot v =
−ω y ω x 0
∂ ∂x
i
∂ ∂y
j
∂ ∂z
k
= (0, 0, 2ω ) = 2 ω
(此即“旋度”一词的来源)
斯托克斯公式①的物理意义 斯托克斯公式①的物理意义:
∫∫Σ (rot A) n d S = ∫Γ Aτ d s
向量场 A 产生的旋度场 穿过 Σ 的通量 注意 Σ 与 Γ 的方向形成右手系! q 例4. 求电场强度 E = 3 r 的旋度 . r i j k 解:
例2. Γ 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设∑为平面 z = y 上被 Γ 所围椭圆域 , 且取下侧, z 则其法线方向余弦 Γ
利用斯托克斯公式得
Σ
cos α cos β cos γ
I = ∫∫
∑ ∂ ∂x 2 ∂ ∂y ∂ ∂z
o x
dS
2
=0
y
y
xy
xz
∂ rot (grad r ) = ∂ x x r ∂ ∂y y r ∂ ∂z z r
思考与练习
= ( 0 , 0 , 0)

斯托克斯公式使用条件

斯托克斯公式使用条件

斯托克斯公式使用条件斯托克斯公式是数学和物理学中一个相当重要的公式，要想把它用得顺溜，咱得先搞清楚它的使用条件。

先来说说啥是斯托克斯公式。

它把曲面上的曲面积分和沿着它的边界曲线的曲线积分联系了起来。

这就好像是找到了一座桥，能让我们在曲面和曲线这两个不同的“地盘”之间自由穿梭。

那斯托克斯公式使用的条件是啥呢？首先，曲面得是光滑或者分段光滑的。

啥叫光滑呢？就好比你摸一块玻璃，没有任何凹凸不平的感觉，那就是光滑。

要是这块“玻璃”有那么几处小瑕疵，但整体还算顺滑，那就是分段光滑。

还有哦，曲面得是单侧的。

这有点抽象啦，想象一下，一个莫比乌斯环，它就不是单侧的，你绕着它走一圈，方向会乱套。

而咱们要用斯托克斯公式的曲面，得像个方向明确的“道路”。

给大家讲个我自己的事儿。

有一次我给学生讲这个斯托克斯公式，有个调皮的小家伙就问我：“老师，这公式有啥用啊，感觉好难。

”我笑着说：“你想想啊，假如你是个探险家，要测量一个奇怪的山谷的边界和面积，斯托克斯公式就能帮你大忙啦！”然后我就在黑板上画了一个假想的山谷形状，开始给他解释怎么用这个公式来计算。

那孩子眼睛一下子亮了，好像突然发现了宝藏。

再说说边界曲线，它得是简单闭曲线，而且得是正向的。

简单闭曲线就是没有交叉、自己首尾相连的曲线。

正向呢，就是当你沿着这个曲线走的时候，曲面总是在你的左侧。

另外，被积函数得在包含曲面的某个空间区域内有连续的一阶偏导数。

这就像是要参加一场比赛，选手得具备一定的实力才能上场。

总之，斯托克斯公式就像一把神奇的钥匙，但只有在满足这些条件的时候，才能打开知识宝库的大门。

咱们在运用的时候，可得瞪大眼睛，仔仔细细把条件看清楚咯，不然可就要迷路在数学的“迷宫”里啦！希望大家通过我的讲解，对斯托克斯公式的使用条件有了更清楚的认识。

加油，在数学的海洋里继续勇敢探索吧！。

微积分 斯托克斯公式与散度

微积分 斯托克斯公式与散度
特殊情形
格林公式
)
( 是 xoy 面上的平面区域时
例1、计算曲线积分
zdx

xdy ydz , 其中 是平面 三角形的 .
x y z 1 被三个坐标面所截成的
整个边界 . 从 z 轴正向看去 , 取逆时针方向
z
1
y
n
1
0
1
x
D xy
y
1
o
D xy
x
1
例2、计算曲线积分

o
D xy
y
x y
1 2
x
例3、计算曲线积分


x zdx xy dy z dz , 其中
2 2 2 2
是抛物面 z 1 x
y 位于第一卦限部分
2
的边界曲线 . 从 z 轴正向看去 , 取逆时针向 .
z
y
x
2
y
2
1
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
o
x
x
二、旋度 定义：C
(1 )
向量场 F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j Q ( x , y , z ) k


F dr

环流量： 沿定向闭曲线 F
的积分


F dr


( F e ) ds .
斯托克斯公式的物理解释：
向量场 F 沿有向闭曲线 向量场 F 的旋度场通过
的环流量等于 所张的曲面的
)
通量 .( 的正向与 的侧符合右手法则

一、斯托克斯公式.

一、斯托克斯公式.

dzdx dxdy dydz dzdx dxdy 3 2
Stokes公式 首页 上页 返回
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结束
铃
例 2 计算曲线积分 I ( y 2 z 2 )dx (z 2 x2 )dy (x2 y 2 )dz
其中是用平面2x2y2z3截立方体 0x1 0y1 0z1的 表面所得的截痕 若从x轴的正向看去取逆时针方向 解 取为平面2x2y2z3的上侧被所围成的部分

上侧的单位法向量为
(cos , cos , cos ) ( 1 , 1 , 1 ) 3 3 3 cos cos cos dS I x y z 2 y x2 z 2 x2 x2 y 2
4 4 3 9 ( x y z)dS dS 2 3 3dxdy 2 3 32 D

按斯托克斯公式 有
dydz dzdx dxdy zdx xdy ydz x y z z x y
dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy 3 2
D yz Dzx Dxy D yz Dzx Dxy

Pdx Qdy Rdz >>>记忆方法

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结束
铃
例 1 利用斯托克斯公式计算曲线积分 zdx xdy ydz 其中
其中为平面xyz1被三个坐标面所截成的三角形的整个边 界 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则 解 设为平面xyz1被三个坐标面所截成的三角形
xy
Stokes公式
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斯托克斯公式范文

斯托克斯公式范文

斯托克斯公式范文斯托克斯公式（Stokes' theorem）是向量微积分中的一个重要定理，它描述了矢量场中的环量（circulation）与通过该矢量场的曲面的积分之间的关系。

斯托克斯公式是高斯定理（Gauss' theorem）和格林定理（Green's theorem）的一个推广，同时也是麦克斯韦方程组的一个重要基础。

在物理学中，斯托克斯公式经常被用来计算电磁场和流体力学中的环流。

∮_C (F·ds) = ∬_S (∇×F)·dS其中，C是一个其中一方向可取的任意闭合曲线，F是一个具有光滑场∇F的矢量场，S是C所包围的向外取正的面积元，ds是沿C方向的微小位移，dS是S的面积元的方向向外取正的单位法向量。

公式中的积分路径C可以是任意形状的曲线，可以是平面曲线也可以是空间曲线。

斯托克斯公式的应用非常广泛，特别是在电磁学和流体力学方面。

在电磁学中，斯托克斯公式经常被用来计算电磁场中的环流。

例如，我们可以利用斯托克斯公式来计算安培环路定理（Ampere's loop theorem）中的环流，从而求解电流在闭合环路上的磁场分布。

在流体力学中，斯托克斯公式常被用于计算流体中的环流。

通过斯托克斯公式，我们可以将流体的环量等效为通过该环量所包围的曲面的面积分。

这样可以方便地求解任意形状的流体环流问题。

总之，斯托克斯公式在向量微积分中具有重要的地位，它广泛应用于电磁学、流体力学等领域。

通过斯托克斯公式，我们可以将曲线积分转化为曲面积分，简化了计算过程，提高了计算效率。

因此，深入理解和熟练运用斯托克斯公式将对理工科学生的学习和研究产生积极的影响。

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y
Dxy
c
Pdzdx P dxdy Px, y, f ( x, y) dx 成立
z
y
c
即 Pdzdx P dxdy P( x, y, z) dx 成立
z
y
Γ
注 若取下侧，Γ也相应改成相反方向，上式仍成立.
Pdzdx z
P y
dxdy
P(
x,
y,
z)
dx
Γ
同理可证其余二式:
Qdxdy Q dydz Q( x, y, z)dy
然后相加,
由于沿辅助曲线方向相
反的两个曲线积分相加刚好抵消, 类曲面斯托克斯公式仍成立.
所以对这
注1º 斯托克斯公式的实质:
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分 之间的关系.
2º 斯托克斯公式便于记忆的形式:
dcoysd zcosd z cdosx
或
P d x Q d y Rd z
x
z
Γ
三式相加可得
Rdydz y
R x
dzdx
R( x,
y,
z)dz
Γ
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
(2) 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,
则可通过作辅助线面把 分成与z 轴只交
于一点的几部分,
在每一部分上应用斯托克
斯公式,
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公 式
(R Q) dydz (P R) dzdx (Q P ) dxdy
y z
z x
x y
或
将斯托克斯公式分为三式
(1)
P z
dzdx
P y
dxdy
P(
x,
y,
z)dx
Γ
(2)
Q x
dxdy
Q z
dydz
Q(
x,
y,
z)dy
Γ
(3)
R y
dydz
R x
Dxy的面积.
xy
1
2
1 8
3 4
I 9. 2
例3 为柱面 x2 y2 2 y 与平面 y = z 的交线从 z
轴正向看为顺时针, 计算
I y2 d x xyd y xz d z .
解(方法1)
设为平面 z = y 上被 所围椭圆域且
取下侧,
x
y
D
O
D
y
x = L
P( x, y,0)d x Q( x, y,0)d y
L
这正是格林公式.
(Q( x, y,0) P( x, y,0))d x d y
x
y
D
4°何时采用斯托克斯公式？
当对坐标的曲线积分： P d x Q d y Rd z
的积分曲线的参数方程不易写出，或用直接法计算较繁时，可考虑用斯
I ( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz
Γ
其中Γ 是用平面x
y
z
3 截立方体 :
2
0 x 1, 0 y 1, 0 z 1
的表面所得的截痕,若从 Ox轴的正向看去, 取逆时 针方向.
解 取为平面x y z 3的上侧被 Γ所围的部分， 2
的单位法向量
P( x, y,0)d x Q( x, y,0)d y
O
y x = L
L
在yOz面, zOx面上的投影为零
(R Q) dydz (P R) dzdx (Q P ) dxdy
y z
z x
x y
0
0
(
Q x
P y
)d
x
d
y
z
n
(Q( x, y,0) P( x, y,0))d xd y
n
1
1, 1, 1,
3
即 cos cos cos 1
3
111
333
I
dS
x y z
y2 z2 z2 x2 x2 y2
4 3
(
x
y
z)dS
取4为 3平面dxS 32
y2
z3
D
3
2
xy
的3(d上在x侧dy上 被 ,Γx6所x围yy的 部z 分23，)
I 6 xy
其中Dxy为在xOy平面上的投影区域， xy为
P z
fy
P dxdy y
Px, y, f ( x, y)
y
P y
P z
fy
左边
P z
fy
P cosγdS
y
P z
f
y
P y
dxdy
y
Px,
y,
f
( x,
y)
P y
P z
fy
Px, y, f ( x, y) dxdy Px, y, f ( x, y) dx
dzdx
R(
x,
y,
z)dz
Γ
证明思路:
第二类曲面积分
第一类曲面积分
第二类曲面积分 首先证明第一式.
二重积分
第二类曲线积分
证
(1)
P z
dzdx
P y
dxdy
P(
x,
y,
z)dx
Γ
: z f ( x, y), ( x, y) Dx y 方向为上侧
与平行 z 轴的直线
只交于一点,
的正向边界曲线
第十章
第七节斯托克斯(Stokes)公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式 二、环量与旋度 ★ 三、空间曲线积分与路径无关的条件
一、斯托克斯公式
有向曲面的正向边界曲线： 的正向与的侧符合右手法则，如图.
n
右手法则
是有向曲面的 正向边界曲线
定理10.8设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面,
如果函数
一阶连续偏导数, 则
在xOy面上的投影为C
C所围成的闭区域为D xy.
左边 Pdzdx P dxdy P cos β P cosγ dS
z
y
z
y
cos β
fy
,
1
f
2 x
Байду номын сангаасf y2
cosγ
1
1
f
2 x
f y2
故有 cos β f y cosγ
左边
P z
f
y
P y
cos γdS
托克斯公式.
5º 如何选取 ？
在斯托克斯公式中，是以为边界的任意分片光滑曲面(只要P，Q， R在包含的一个空间区域内具有一阶连续的偏导数即可).
通常，取为平面或球面等法向量的方向余弦易求的曲面.
例利1 用斯托克斯公式计算 z d x x d y yd z
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形
x
y
P
Q
dxd y
dS z R
其中
n
{cos α, cos
β , cos γ }为指定侧的单位法向量.
3º 斯托克斯公式是格林公式的推广
斯托克斯公式
特殊情形
是xOy面上的 有向闭区域时
格林公式
事实上，设 ：xOy面上的区域 D，上侧 ； z
：xOy面上的区域 D的边界L，逆时针 . n
Pdx Qdy Rdz
的整个边界,
它的正方向与这个三角形上侧的法向
量之间符合右手规则.
解 记三角形域为, 取上侧,
d ydz
x
z
d y d z d z d x d x d y
利用轮换对称性
dzd x
y
x
dxd y
z
y
3 d xd y
3 d x d y 3 .
D xy
2
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分