高斯公式与斯托克斯公式——习题

第二十二章 曲面积分§3 高斯公式与斯托克斯公式授课章节：ch22---§3-高斯公式与斯托克斯公式（P290--297） 教学目的：1）掌握高斯公式与斯托克斯公式的应用 教学重点：定理22.3, 定理22.4 教学难点：定理22.3,定理22.4 教学方法：讲练结合． 教学程序：1．引导2．定理22.3,定理22.4 3．例题及部分习题练习4．作业．P295习题1(1、3),2,3(2),4(1),5(1)。

一 高斯公式格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是本段所要讨论的高斯（Gauss ）公式。

定理22.3 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成。

若函数P ， Q ，R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂SV RdxdyQdzdx Pdydz dxdydzz R y Q x P ， （1）其中S 取外侧。

（1）式称为高斯公式。

证 下面只证.⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂SV Rdxdy dxdydz z R读者可类似地证明.,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∂∂=∂∂SV S V Qdzdx dxdydz y QPdydz dxdydz x P这些结果相加便得到了高斯公式（1）。

先设V 是一个xy 型区域，即其边界曲面S 由曲面 ①若S 为封闭曲面，则曲面积分的积分号用⎰⎰表示。

()()()()xyxy D y x y x z z S D y x y x z z S ∈=∈=,,,:,,,,:1122及以垂直于xy D 的边界的柱面3S 组成（图22－6），其中()()y x z y x z ,,21≤。

于是按三重积分的计算方法有()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1212211212,,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=-=-=-=∂∂=∂∂S S S S D D D y x z y x z D V dxdy z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dxdy y x z y x R dxdy y x z y x R dxdyy x z y x R y x z y x R dz z R dxdy dxdydz z Rxyxyxyxy其中21,S S 都取上侧。

第二十二章 曲面积分 3 高斯公式与斯托克斯公式一、高斯公式定理22.5：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成. 若函数P , Q, R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则有(高斯公式)dxdydz z R y Q x P V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz , S 取外侧.证：设V 是xy 型区域, 即其边界曲面S 由曲面S 2:z=z 2(x,y),(x,y)∈D xy , S 1:z=z 1(x,y),(x,y)∈D xy 及以垂直于D xy 的边界柱面S 3组成,z 1(x,y)≤z 2(x,y). ∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰⎰∂∂xyD y x z y x z dz z R dxdy ),(),(21=⎰⎰-xy D dxdyy x z y x R y x z y x R ))),(,,()),(,,((12=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(2-⎰⎰xyD dxdyy x z y x R )),(,,(1=⎰⎰2),,(S dxdy z y x R -⎰⎰1),,(S dxdy z y x R =⎰⎰2),,(S dxdy z y x R +⎰⎰-1),,(S dxdy z y x R .其中S 1,S 2取上侧，又⎰⎰3),,(S dxdy z y x R =0,∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰2S Rdxdy +⎰⎰-1S Rdxdy +⎰⎰3S Rdxdy =⎰⎰SRdxdy . 同理，⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz x P=⎰⎰SPdydz ; ⎰⎰⎰∂∂V dxdydz y Q=⎰⎰SQdydz . ∴dxdydz z R y Q x P V⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz .注：对于不是xy 型区域的情形，可用有限个光滑曲面将其分割成若干个xy 型区域来讨论.例1：计算⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 是边长为a 的正方体表面并取外侧. 解：x ∂∂y(x-z)=y, y ∂∂x 2=0, z∂∂(y 2+xz)=x, 应用高斯公式，该曲面积分为：dxdydz x y V⎰⎰⎰+)(=⎰⎰⎰+aaadz x y dy dx 0)(=a 4.注：若高斯公式中P=x, Q=y, R=z, 则有dxdydz V⎰⎰⎰++)111(=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz , 即有应用第二型曲面积分计算空间区域V 的体积公式：△V=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31.二、斯托克斯公式右手法则：设人站在曲面S 上指定的一侧，沿S 的边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线L 的正向；若沿L 行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线的负向.定理22.6：设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线. 若函数P ,Q,R 在S(连同L)上连续, 且有一阶连续偏导数，则有(斯托克斯公式)⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++LRdz Qdy Pdx ， 其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定.证：曲面S 由方程z=z(x,y)确定, 其正侧法线方向数为(-z x ,-z y ,1), 方向余弦为(cos α,cos β,cos γ), ∴xz ∂∂=-γαcos cos , y z ∂∂=-γβcos cos .若S 在xy 平面上投影区域为D xy , L 在xy 平面上的投影曲线记为Г. 由第二型曲线积分定义及格林公式有⎰Ldx z y x P ),,(=⎰Γdx y x z y x P )),(,,(=dxdy y x z y x P y xyD )),(,,(⎰⎰∂∂-. ∵dxdy y x z y x P y )),(,,(∂∂=y P ∂∂+yzz P ∂∂∂∂, ∴⎰L dx z y x P ),,(=dxdy y x z y x P y xy D )),(,,(⎰⎰∂∂-=dxdy y z z P y P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=dxdy z P y P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-γβcos cos =γβγcos cos cos dxdy z Py P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=dS z Py P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-βγcos cos =⎰⎰∂∂-∂∂Sdxdy y P dzdx z P ; 同理，对于曲面S 表示为x=x(y,z)和y=y(z,x)时，分别可证得⎰LQdy =⎰⎰∂∂-∂∂Sdydz z Q dxdy x Q 和⎰L Rdz =⎰⎰∂∂-∂∂Sdzdx x Rdydz y R . ∴⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂Sdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++L Rdz Qdy Pdx .注：1、若曲面S 不能以z=z(x,y)的形式给出，则可用一些光滑曲线把S 分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示.2、斯托克斯公式也写为：⎰⎰∂∂∂∂∂∂SRQ P z y x dxdydzdx dydz =⎰++L Rdz Qdy Pdx .例2：计算⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(, 其中L 为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向.解：(2y+z)y =2, (2y+z)z =1, (x-z)z =-1, (x-z)x =1, (y-x)x =-1, (y-x)y =1,∴⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(=⎰⎰-+--+--Sdxdydzdx dydz )21()]1(1[)]1(1[=⎰⎰-+Sdxdy dzdx dydz 22=1+1-21=23.概念：若V 内任一封闭曲线皆可不经过V 以外的点而连续收缩于属于V 的一点，则称区域V 为单连通区域, 否则称为复连通区域. 如球体属于单连通区域，而环状区域属于复连通区域.定理22.7：设Ω∈R 3为空间单连通区域. 若函数P , Q, R 在Ω上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：(1)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L 有⎰++L Rdz Qdy Pdx =0. (2)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L, 曲线积分⎰++L Rdz Qdy Pdx 与路线无关.(3)Pdx+Qdy+Rdz 是Ω内某一函数u 的全微分，即du=Pdx+Qdy+Rdz. (4)x Q y P ∂∂=∂∂, y R z Q ∂∂=∂∂, zPx R ∂∂=∂∂. 在Ω内处处成立.例3：验证曲线积分⎰+++++L dz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数u(x,y,z). 解：P=y+z, Q=z+x, R=x+y, ∵x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=1, ∴曲线积分与路线无关.取空间折线M 0(x 0,y 0,z 0)→(x,y 0,z 0)→(x,y,z 0)→(x,y,z), 则u(x,y,z)=⎰+++++M M dzy x dy x z dx z y 0)()()(=⎰⎰⎰+++++zz x x y y dry x dt x z ds z y 0)()()(000=(y 0+z 0)(x-x 0)+(z 0+x)(y-y 0)+(x+y)(z-z 0)=xy+xz+yz+C. 其中C=-x 0y 0-x 0z 0-y 0z 0. 若取M 0为原点，则u(x,y,z)=xy+xz+yz.习题1、应用高斯公式计算下列曲面积分：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧；(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是锥面x 2+y 2=z 2与平面z=h 所围空间区域的表面，方向取外侧；(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ，其中S 为上半球面z=222y x a --的外侧.解：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz =⎰⎰⎰Vdxdydz 0=0.(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++aa a dz z y x dy dx 000)(=3a 4.(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++hr h rdz z r r dr d )sin cos (020θθθπ=24h π.(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333=3⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(222=3⎰⎰⎰104200sin dr r d d ϕθϕππ=512π.(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz =3⎰⎰⎰Vdxdydz =2πa 3.2、应用高斯公式计算三重积分：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(, 其中V 是由x ≥0, y ≥0, 0≤z ≤1与x 2+y 2≤1所确定的空间区域. 解：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(=⎰⎰++Sxdxdy z zdzdx y ydydz x 22221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰dxdy x zdzdx x ydydz y xyzx yz D D D )1()1(2122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰-210101021010210)1()1(21x xdy dx zdx x dz ydz y dy =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-⎰⎰⎰1021021021)1(21)1(21dx x x dx x ydy y =⎪⎭⎫ ⎝⎛++31314121=2411.3、应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：(1)⎰+++++L dz y x dy z x dx x y )()()(222222，其中L 为x+y+z=1与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧； (2)⎰++L dz dy dx y x 32，其中L 为y 2+z 2=1, x=y 所交的椭圆的正向； (3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(，其中S 是以A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a)为顶点的三角形沿ABCA 的方向. 解：(1)⎰+++++L dzy x dy z x dx x y )()()(222222 =2⎰⎰-+-+-Sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(. 其中⎰⎰-Sdydz z y )(=⎰⎰--ydz z y dy 1010)(=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10221232dy y y =0， 同理，⎰⎰-Sdzdx x z )(=⎰⎰-Sdxdy y x )(=0. ∴原积分=0.(2)⎰++L dz dy dx y x 32=⎰⎰-Sdxdy y x 223=⎰⎰-xyD dxdy y x 223=0. (注：D xy 的面积为0)(3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(=2⎰⎰++Sdxdy dzdx dydz =3a 2.4、求下列全微分的原函数：(1)yzdx+xzdy+xydz ；(2)(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz. 解：(1)∵d(xyz)=yzdx+xzdy+xydz, ∴原函数为：u(x,y,z)=xyz+C. (2)∵d(31(x 3+y 3+z 3)-2xyz)=(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz, ∴原函数为：u(x,y,z)=31(x 3+y 3+z 3)-2xyz+C.5、验证下列线积分与路线无关，并计算其值； (1)⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx ； (2)⎰++++),,(),,(222222111z y x z y x z y x zdz ydy xdx , 其中(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2)在球面x 2+y 2+z 2=a 2上.解：(1)P=x, Q=y 2, R=z 3, 有x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=0, ∴原积分与路线无关.⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx =⎰⎰⎰-++41331221dz z dy y xdx =425532623-++=-53127(2)∵d(222z y x ++)=222zy x zdz ydy xdx ++++, ∴原积分与路线无关.原式=⎰++),,(),,(222222111z y x z y x z y x d =212121222222z y x z y x ++-++=0.6、证明：由曲面S 所围的立体V 的体积 △V=⎰⎰++SdS z y x )cos cos cos (31γβα,其中cos α, cos β, cos γ为曲面S 的外法线方向余弦. 证：⎰⎰++S dS z y x )cos cos cos (31γβα=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31=dxdydz z z y y x x V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂31=⎰⎰⎰Vdxdydz =V.7、证明：若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则⎰⎰∧SdS l n ),cos(=0,其中n 为曲面S 的外法线方向.证：设n 和l 的方向余弦分别是cos α, cos β, cos γ和cos α’, cos β’, cos γ’. 由第一、二型曲面积分之间的关系可得：⎰⎰∧SdS l n ),cos(=⎰⎰'+'+'Sds)cos cos cos cos cos (cos γγββαα=⎰⎰'+'+'Sdxdy dzdx dydz γβαcos cos cos . 由L 的方向固定知,P=cos α’, Q=cos β’, R=cos γ’都是常数，∴zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂=0. 由奥高公式得： ⎰⎰∧S dS l n ),cos(=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V dxdydz z R y Q x P =0.8、证明公式：⎰⎰⎰Vr dxdydz =⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=0, 其中S 是包围V 的曲面，n 为曲面S 的外法线方向, |r|=222z y x ++, r=(x,y,z).证：∵),cos(∧n r =),cos(),cos(∧∧x n x r +),cos(),cos(∧∧y n y r +),cos(),cos(∧∧z n z r ,且),cos(∧x r =r x , ),cos(∧y r =ry, ),cos(∧z r =r z ,由第一, 二型曲面积分的关系及奥高公式可得：⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=⎰⎰∧∧∧++S dS z n z y n y x n x r )],cos(),cos(),cos([121 =⎰⎰++S dxdy r z dzdx r y dydz r x 21=⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V dxdydz r z z r y y r x x 21=⎰⎰⎰Vrdxdydz.9、若L 是平面xcos α+ycos β+zcos γ-p=0上的闭曲线，它所包围区域的面积为S ，求⎰L zyxdz dy dx γβαcos cos cos , 其中L 依正向进行. 解：∵P=zcos β-ycos γ, Q=xcos γ-zcos α, R=ycos α-xcos β, 由斯托克斯公式及第一, 二型曲面积分之间的关系得：原式=⎰⎰---∂∂∂∂∂∂Sx y z x y z z yxdxdy dzdx dydz βααγγβcos cos cos cos cos cos =2⎰⎰++Ddxdy dzdx dydz γβαcos cos cos =2⎰⎰++Dds )cos cos (cos 222γβα=2s.。

第二十二章 曲面积分 3 高斯公式与斯托克斯公式一、高斯公式定理22.5：设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成. 若函数P , Q, R 在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则有(高斯公式)dxdydz z R y Q x P V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz , S 取外侧.证：设V 是xy 型区域, 即其边界曲面S 由曲面S 2:z=z 2(x,y),(x,y)∈D xy , S 1:z=z 1(x,y),(x,y)∈D xy 及以垂直于D xy 的边界柱面S 3组成,z 1(x,y)≤z 2(x,y). ∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰⎰∂∂xyD y x z y x z dz z R dxdy ),(),(21=⎰⎰-xy D dxdyy x z y x R y x z y x R ))),(,,()),(,,((12=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(2-⎰⎰xyD dxdyy x z y x R )),(,,(1=⎰⎰2),,(S dxdy z y x R -⎰⎰1),,(S dxdy z y x R =⎰⎰2),,(S dxdy z y x R +⎰⎰-1),,(S dxdy z y x R .其中S 1,S 2取上侧，又⎰⎰3),,(S dxdy z y x R =0,∴⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz z R=⎰⎰2S Rdxdy +⎰⎰-1S Rdxdy +⎰⎰3S Rdxdy =⎰⎰SRdxdy . 同理，⎰⎰⎰∂∂Vdxdydz x P=⎰⎰SPdydz ; ⎰⎰⎰∂∂V dxdydz y Q=⎰⎰SQdydz . ∴dxdydz z R y Q x P V⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz .注：对于不是xy 型区域的情形，可用有限个光滑曲面将其分割成若干个xy 型区域来讨论.例1：计算⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 是边长为a 的正方体表面并取外侧. 解：x ∂∂y(x-z)=y, y ∂∂x 2=0, z∂∂(y 2+xz)=x, 应用高斯公式，该曲面积分为：dxdydz x y V⎰⎰⎰+)(=⎰⎰⎰+aaadz x y dy dx 0)(=a 4.注：若高斯公式中P=x, Q=y, R=z, 则有dxdydz V⎰⎰⎰++)111(=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz , 即有应用第二型曲面积分计算空间区域V 的体积公式：△V=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31.二、斯托克斯公式右手法则：设人站在曲面S 上指定的一侧，沿S 的边界曲线L 行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线L 的正向；若沿L 行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线的负向.定理22.6：设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线. 若函数P ,Q,R 在S(连同L)上连续, 且有一阶连续偏导数，则有(斯托克斯公式)⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++LRdz Qdy Pdx ， 其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定.证：曲面S 由方程z=z(x,y)确定, 其正侧法线方向数为(-z x ,-z y ,1), 方向余弦为(cos α,cos β,cos γ), ∴xz ∂∂=-γαcos cos , y z ∂∂=-γβcos cos .若S 在xy 平面上投影区域为D xy , L 在xy 平面上的投影曲线记为Г. 由第二型曲线积分定义及格林公式有⎰Ldx z y x P ),,(=⎰Γdx y x z y x P )),(,,(=dxdy y x z y x P y xyD )),(,,(⎰⎰∂∂-. ∵dxdy y x z y x P y )),(,,(∂∂=y P ∂∂+yzz P ∂∂∂∂, ∴⎰L dx z y x P ),,(=dxdy y x z y x P y xy D )),(,,(⎰⎰∂∂-=dxdy y z z P y P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=dxdy z P y P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-γβcos cos =γβγcos cos cos dxdy z Py P S ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-=dS z Py P S⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-βγcos cos =⎰⎰∂∂-∂∂Sdxdy y P dzdx z P ; 同理，对于曲面S 表示为x=x(y,z)和y=y(z,x)时，分别可证得⎰LQdy =⎰⎰∂∂-∂∂Sdydz z Q dxdy x Q 和⎰L Rdz =⎰⎰∂∂-∂∂Sdzdx x Rdydz y R . ∴⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂Sdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R =⎰++L Rdz Qdy Pdx .注：1、若曲面S 不能以z=z(x,y)的形式给出，则可用一些光滑曲线把S 分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示.2、斯托克斯公式也写为：⎰⎰∂∂∂∂∂∂SRQ P z y x dxdydzdx dydz =⎰++L Rdz Qdy Pdx .例2：计算⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(, 其中L 为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向.解：(2y+z)y =2, (2y+z)z =1, (x-z)z =-1, (x-z)x =1, (y-x)x =-1, (y-x)y =1,∴⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(=⎰⎰-+--+--Sdxdydzdx dydz )21()]1(1[)]1(1[=⎰⎰-+Sdxdy dzdx dydz 22=1+1-21=23.概念：若V 内任一封闭曲线皆可不经过V 以外的点而连续收缩于属于V 的一点，则称区域V 为单连通区域, 否则称为复连通区域. 如球体属于单连通区域，而环状区域属于复连通区域.定理22.7：设Ω∈R 3为空间单连通区域. 若函数P , Q, R 在Ω上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：(1)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L 有⎰++L Rdz Qdy Pdx =0. (2)对于Ω内任一按段光滑的封闭曲线L, 曲线积分⎰++L Rdz Qdy Pdx 与路线无关.(3)Pdx+Qdy+Rdz 是Ω内某一函数u 的全微分，即du=Pdx+Qdy+Rdz. (4)x Q y P ∂∂=∂∂, y R z Q ∂∂=∂∂, zPx R ∂∂=∂∂. 在Ω内处处成立.例3：验证曲线积分⎰+++++L dz y x dy x z dx z y )()()(与路线无关，并求被积表达式的原函数u(x,y,z). 解：P=y+z, Q=z+x, R=x+y, ∵x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=1, ∴曲线积分与路线无关.取空间折线M 0(x 0,y 0,z 0)→(x,y 0,z 0)→(x,y,z 0)→(x,y,z), 则u(x,y,z)=⎰+++++M M dzy x dy x z dx z y 0)()()(=⎰⎰⎰+++++zz x x y y dry x dt x z ds z y 0)()()(000=(y 0+z 0)(x-x 0)+(z 0+x)(y-y 0)+(x+y)(z-z 0)=xy+xz+yz+C. 其中C=-x 0y 0-x 0z 0-y 0z 0. 若取M 0为原点，则u(x,y,z)=xy+xz+yz.习题1、应用高斯公式计算下列曲面积分：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是立方体0≤x,y,z ≤a 表面的外侧；(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是锥面x 2+y 2=z 2与平面z=h 所围空间区域的表面，方向取外侧；(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的外侧；(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ，其中S 为上半球面z=222y x a --的外侧.解：(1)⎰⎰++Sxydxdy zxdzdx yzdydz =⎰⎰⎰Vdxdydz 0=0.(2)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++aa a dz z y x dy dx 000)(=3a 4.(3)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=2⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(=2⎰⎰⎰++hr h rdz z r r dr d )sin cos (020θθθπ=24h π.(4)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333=3⎰⎰⎰++Vdxdydzz y x )(222=3⎰⎰⎰104200sin dr r d d ϕθϕππ=512π.(5)⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz =3⎰⎰⎰Vdxdydz =2πa 3.2、应用高斯公式计算三重积分：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(, 其中V 是由x ≥0, y ≥0, 0≤z ≤1与x 2+y 2≤1所确定的空间区域. 解：dxdydz zx yz xy V⎰⎰⎰++)(=⎰⎰++Sxdxdy z zdzdx y ydydz x 22221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰dxdy x zdzdx x ydydz y xyzx yz D D D )1()1(2122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰-210101021010210)1()1(21x xdy dx zdx x dz ydz y dy =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-⎰⎰⎰1021021021)1(21)1(21dx x x dx x ydy y =⎪⎭⎫ ⎝⎛++31314121=2411.3、应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：(1)⎰+++++L dz y x dy z x dx x y )()()(222222，其中L 为x+y+z=1与三坐标面的交线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧； (2)⎰++L dz dy dx y x 32，其中L 为y 2+z 2=1, x=y 所交的椭圆的正向； (3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(，其中S 是以A(a,0,0), B(0,a,0), C(0,0,a)为顶点的三角形沿ABCA 的方向. 解：(1)⎰+++++L dzy x dy z x dx x y )()()(222222 =2⎰⎰-+-+-Sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(. 其中⎰⎰-Sdydz z y )(=⎰⎰--ydz z y dy 1010)(=⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10221232dy y y =0， 同理，⎰⎰-Sdzdx x z )(=⎰⎰-Sdxdy y x )(=0. ∴原积分=0.(2)⎰++L dz dy dx y x 32=⎰⎰-Sdxdy y x 223=⎰⎰-xyD dxdy y x 223=0. (注：D xy 的面积为0)(3)⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(=2⎰⎰++Sdxdy dzdx dydz =3a 2.4、求下列全微分的原函数：(1)yzdx+xzdy+xydz ；(2)(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz. 解：(1)∵d(xyz)=yzdx+xzdy+xydz, ∴原函数为：u(x,y,z)=xyz+C. (2)∵d(31(x 3+y 3+z 3)-2xyz)=(x 2-2yz)dx+(y 2-2xz)dy+(z 2-2xy)dz, ∴原函数为：u(x,y,z)=31(x 3+y 3+z 3)-2xyz+C.5、验证下列线积分与路线无关，并计算其值； (1)⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx ； (2)⎰++++),,(),,(222222111z y x z y x z y x zdz ydy xdx , 其中(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2)在球面x 2+y 2+z 2=a 2上.解：(1)P=x, Q=y 2, R=z 3, 有x Q y P ∂∂=∂∂=y R z Q ∂∂=∂∂=zPx R ∂∂=∂∂=0, ∴原积分与路线无关.⎰-++)4,3,2()1,1,1(32dz z dy y xdx =⎰⎰⎰-++41331221dz z dy y xdx =425532623-++=-53127(2)∵d(222z y x ++)=222zy x zdz ydy xdx ++++, ∴原积分与路线无关.原式=⎰++),,(),,(222222111z y x z y x z y x d =212121222222z y x z y x ++-++=0.6、证明：由曲面S 所围的立体V 的体积 △V=⎰⎰++SdS z y x )cos cos cos (31γβα,其中cos α, cos β, cos γ为曲面S 的外法线方向余弦. 证：⎰⎰++S dS z y x )cos cos cos (31γβα=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz 31=dxdydz z z y y x x V ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂31=⎰⎰⎰Vdxdydz =V.7、证明：若S 为封闭曲面, l 为任何固定方向, 则⎰⎰∧SdS l n ),cos(=0,其中n 为曲面S 的外法线方向.证：设n 和l 的方向余弦分别是cos α, cos β, cos γ和cos α’, cos β’, cos γ’. 由第一、二型曲面积分之间的关系可得：⎰⎰∧SdS l n ),cos(=⎰⎰'+'+'Sds)cos cos cos cos cos (cos γγββαα=⎰⎰'+'+'Sdxdy dzdx dydz γβαcos cos cos . 由L 的方向固定知,P=cos α’, Q=cos β’, R=cos γ’都是常数，∴zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂=0. 由奥高公式得： ⎰⎰∧S dS l n ),cos(=⎰⎰++S Rdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V dxdydz z R y Q x P =0.8、证明公式：⎰⎰⎰Vr dxdydz =⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=0, 其中S 是包围V 的曲面，n 为曲面S 的外法线方向, |r|=222z y x ++, r=(x,y,z).证：∵),cos(∧n r =),cos(),cos(∧∧x n x r +),cos(),cos(∧∧y n y r +),cos(),cos(∧∧z n z r ,且),cos(∧x r =r x , ),cos(∧y r =ry, ),cos(∧z r =r z ,由第一, 二型曲面积分的关系及奥高公式可得：⎰⎰∧SdS n r ),cos(21=⎰⎰∧∧∧++S dS z n z y n y x n x r )],cos(),cos(),cos([121 =⎰⎰++S dxdy r z dzdx r y dydz r x 21=⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V dxdydz r z z r y y r x x 21=⎰⎰⎰Vrdxdydz.9、若L 是平面xcos α+ycos β+zcos γ-p=0上的闭曲线，它所包围区域的面积为S ，求⎰L zyxdz dy dx γβαcos cos cos , 其中L 依正向进行. 解：∵P=zcos β-ycos γ, Q=xcos γ-zcos α, R=ycos α-xcos β, 由斯托克斯公式及第一, 二型曲面积分之间的关系得：原式=⎰⎰---∂∂∂∂∂∂Sx y z x y z z yxdxdy dzdx dydz βααγγβcos cos cos cos cos cos =2⎰⎰++Ddxdy dzdx dydz γβαcos cos cos =2⎰⎰++Dds )cos cos (cos 222γβα=2s.。