向量内积的定义及运算规律共87页文档

a b a b
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定理 4 设在直角坐标系 [O; i, j , k ] 下，
则 证
a a1i a2 j a3k , b b1i b2 j b3k. a b a1b1 a2b2 a3b3. 内积的坐标表达式
a b (a1i a2 j a3k ) (b1i b2 j b3k )
a b a, b

2 cos a, b 0
a b | a || b | cos a, b 0.
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内积的运算规律(定理6.2.3) （1）交换律： a b b a; （2）分配律： (a b) c a c b c;
| c |[ fc ( a) fc ( b)] | c | fc ( a) | c | fc ( b)
(3) ( ka) b | b | fb ( ka) k | b | fb (a) k(a b) (4) a a | a || a | cos a, a | a | 0, 且
而 a b a b a b a b a 2 2a b b 2 . a b a b a b a b a 2 2a b b 2 .
2 2
所以结论成立.
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y
cos
x2 y 2 z 2
.
cos2 cos2 cos2 1.
证 由方向余弦的定义，有 a i x cos cos a , i . | a || i | x2 y 2 z 2

取 1 1
2
2
[1,2 ] [1,1 ]
1
1 1 1
1 3
1 1 1
2 3
2 1 1
则向量组 1 ,2 就是与向量组1 ,2 等价的正交向量组。
设向量
3
x1 x2
与 1 ,2
都正交，即
x3
x1
x2
x3
0
4 2 2
0
3 x1 3 x2 3 x3 0
解此方程组得 3 1
4. 三角不等式：x y x y .
特别地，把长度为 1 的向量称为单位向量。
例如
01，
1
0 2 ，
1 1
0
1
2
1
3
3
都是3维单位向量。
3
对于任何向量 x 0 ，则 x0
1
x是单位向量，
x
这种把向量 x 化成单位向量的过程称为向量 x 的单位化
（或标准化）
根据向量长度的性质3，当
则称其为V 的一个规范正交基（或标准正交基）。
由定义不难得知， 向量组 1, 2 ,, r 为向量空间的一个规范正交基，当且仅当
1 当i j
[i , j ] 0 当i j
i, j 1, 2, , r.
1
0
0
例如
向量组
e1
0
，e2
1
，e3
0
与向量组
0
0
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
1
0， 2
0
x1
定定义义4.42.2
设
n
维向量
x
x2
，则称非负实数
xn

可以解释为两 个向量之间的角度。如果两个向量的 内积为0，则它们之间的夹角为90度 ；如果内积为正数，则它们之间的夹 角为锐角；如果内积为负数，则它们 之间的夹角为钝角。
长度和角度的关系
向量内积与向量的长度和角度之间有密切关系。向量的长度可以通过向量的平方 得到，即$|mathbf{a}| = sqrt{mathbf{a} cdot mathbf{a}}$。
实例2
设$mathbf{a} = (2,-3,4)$，$mathbf{b} = (1,2,-1)$，则$|mathbf{a}| = sqrt{mathbf{a} cdot mathbf{a}} = sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} = 5$。
实例3
设$mathbf{a} = (1,0,0)$，$mathbf{b} = (0,1,0)$，则$mathbf{a}$和$mathbf{b}$正 交，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
线性代数课件-11向量的内积
目 录
• 向量内积的定义 • 向量内积的性质 • 向量内积的运算 • 向量内积的应用 • 总结与思考
01
向量内积的定义
定义
向量内积定义为两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的点乘，记作$mathbf{a} cdot mathbf{b}$。 具体计算公式为：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + cdots + a_nb_n$，其中 $a_i$和$b_i$分别是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的第$i$个分量。
详细描述
结合律是向量内积的重要性质之一。它表明 向量内积满足结合性，即向量的内积运算满 足结合律。这一性质确保了向量内积的运算 顺序不会影响最终的结果。结合律在证明向 量内积的一些性质和定理时非常有用，例如 证明向量的点乘满足分配律。

向量内积公式推导一、向量内积的定义。

在平面直角坐标系中，设向量→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)。

向量→a与→b的内积（也叫点积、数量积）定义为→a·→b=→a→bcosθ，其中θ为→a与→b的夹角，→a 表示向量→a的模，→b表示向量→b的模。

1. 向量模的计算公式。

- 对于向量→a=(x_1,y_1)，其模→a=√(x_1)^2 + y_{1^2}；- 对于向量→b=(x_2,y_2)，其模→b=√(x_2)^2+y_{2^2}。

2. 根据向量坐标计算夹角余弦值。

- 设向量→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，根据向量减法→a-→b=(x_1-x_2,y_1 - y_2)。

- 根据余弦定理→a-→b^2=→a^2+→b^2-2→a→bcosθ。

- 计算→a-→b^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+y_1^2-2y_1y_2+y_2^2。

- 又→a^2=x_1^2+y_1^2，→b^2=x_2^2+y_2^2。

- 代入余弦定理可得cosθ=(→a·→b)/(→a→b)=frac{x_1x_2+y_1y_2}{√(x_1)^2+y_{1^2}√(x_2)^2+y_{2^2}}二、向量内积的坐标公式推导。

1. 从定义出发推导坐标公式。

- 已知→a·→b=→a→bcosθ。

- 设→a=(x_1,y_1)，→b=(x_2,y_2)，→a=√(x_1)^2+y_{1^2}，→b=√(x_2)^2+y_{2^2}。

- 我们将向量→a和→b的起点都移到原点O，设向量→a的终点为A(x_1,y_1)，向量→b的终点为B(x_2,y_2)。

- 则→OA=(x_1,y_1)，→OB=(x_2,y_2)。

- 根据向量减法→AB=→OB-→OA=(x_2-x_1,y_2-y_1)。

- 由→AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=x_2^2-2x_1x_2+x_1^2+y_2^2-2y_1y_2+y_1^2。