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向量内积的定义及运算规律共87页

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6.2几何空间向量的内积

6.2几何空间向量的内积

a b a b
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定理 4 设在直角坐标系 [O; i, j , k ] 下，
则 证
a a1i a2 j a3k , b b1i b2 j b3k. a b a1b1 a2b2 a3b3. 内积的坐标表达式
a b (a1i a2 j a3k ) (b1i b2 j b3k )
a b a, b

2 cos a, b 0
a b | a || b | cos a, b 0.
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内积的运算规律(定理6.2.3) （1）交换律： a b b a; （2）分配律： (a b) c a c b c;
| c |[ fc ( a) fc ( b)] | c | fc ( a) | c | fc ( b)
(3) ( ka) b | b | fb ( ka) k | b | fb (a) k(a b) (4) a a | a || a | cos a, a | a | 0, 且
而 a b a b a b a b a 2 2a b b 2 . a b a b a b a b a 2 2a b b 2 .
2 2
所以结论成立.
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y
cos
x2 y 2 z 2
.
cos2 cos2 cos2 1.
证 由方向余弦的定义，有 a i x cos cos a , i . | a || i | x2 y 2 z 2

向量的内积

向量的内积
教
学
实
施
教学内容
备注
导入新课
力学中功的实例引入
探究新知
1பைடு நூலகம்向量内积的定义
概括地说，向量的内积（点乘/点积/数量积）就是对两个向量执行点乘运算。
定义：两个向量a和向量b的内积：
a·b= |a| × |b| ×cos∠(a, b)
特别地，0·a=a·0 = 0；若a，b是非零向量，则a与b正交的充要条件是a·b= 0。
3、向量内积的几何意义
内积（点乘）的几何意义包括：
1）表征或计算两个向量之间的夹角
2）b向量在a向量方向上的投影
进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系，具体对应关系为：
1）a∙b>0→方向基本相同，夹角在0°到90°之间
2）a∙b=0→ 正交，相互垂直
3）a∙b<0→ 方向基本相反，夹角在90°到180°之间
《数学》教案
教学课题
向量的内积
所属系部
授课人
备课时间
课 时
9-10
教学目标
知识目标
向量内积的定义、向量内积的性质、向量内积的几何意义
能力目标
直观想象、逻辑推理、二维平面感、独立思考
素养目标
提升数学思维、数学修养
教学重点
向量内积的定义、向量内积的性质
教学难点
向量的夹角判定
教学方法
多媒体教学、板书、讲授、回答问题、练习
2、向量内积的性质
1）a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a= 0（正定性）
2）a·b = b·a（对称性）
3）(λa+ μb)·c= λa·c+ μb·c，对任意实数λ, μ成立（线性）

线性代数课件-11向量的内积

线性代数课件-11向量的内积
可以解释为两 个向量之间的角度。如果两个向量的 内积为0，则它们之间的夹角为90度 ；如果内积为正数，则它们之间的夹 角为锐角；如果内积为负数，则它们 之间的夹角为钝角。
长度和角度的关系
向量内积与向量的长度和角度之间有密切关系。向量的长度可以通过向量的平方 得到，即$|mathbf{a}| = sqrt{mathbf{a} cdot mathbf{a}}$。
实例2
设$mathbf{a} = (2,-3,4)$，$mathbf{b} = (1,2,-1)$，则$|mathbf{a}| = sqrt{mathbf{a} cdot mathbf{a}} = sqrt{2^2 + (-3)^2 + 4^2} = 5$。
实例3
设$mathbf{a} = (1,0,0)$，$mathbf{b} = (0,1,0)$，则$mathbf{a}$和$mathbf{b}$正 交，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
线性代数课件-11向量的内积
目 录
• 向量内积的定义 • 向量内积的性质 • 向量内积的运算 • 向量内积的应用 • 总结与思考
01
向量内积的定义
定义
向量内积定义为两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的点乘，记作$mathbf{a} cdot mathbf{b}$。 具体计算公式为：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + cdots + a_nb_n$，其中 $a_i$和$b_i$分别是向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的第$i$个分量。
详细描述
结合律是向量内积的重要性质之一。它表明 向量内积满足结合性，即向量的内积运算满 足结合律。这一性质确保了向量内积的运算 顺序不会影响最终的结果。结合律在证明向 量内积的一些性质和定理时非常有用，例如 证明向量的点乘满足分配律。

线性代数§向量的内积

线性代数§向量的内积

不同基下内积转换公式推导
不同基下内积转换公式
设α, β是向量空间V中的两个向量，在两组不同的基{e1, e2, ..., en}和{f1, f2, ..., fn}下的坐标分别为(x1, x2, ..., xn) 和(y1, y2, ..., yn)，则α和β的内积可以表示为∑(xi*yi)，其中i从1到n求和。这个公式可以用的 情况。
分量表示法
定义
将向量表示为分量形式，通过分量间的运算计算内积。
公式
对于向量A = (a1, a2, ..., an)和B = (b1, b2, ..., bn)，其内 积为A·B = (a1, a2, ..., an) · (b1, b2, ..., bn) = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。
子空间划分和基选择策略
子空间划分
设W是数域P上的线性空间V的一个非空子集，若W对于V的加法和数乘也构成数域P上的线性空间， 则称W是V的一个线性子空间或子空间。子空间的划分可以根据不同的维度和基进行。
基选择策略
在线性空间中，基的选择对于内积运算具有重要影响。通常选择正交基作为内积运算的基础，因为正 交基具有良好的性质，如任意两个不同基向量的内积为零。
矩阵表示下内积计算简化方法
在矩阵表示下，两个向量的内 积可以通过矩阵乘法简化计算。
具体地，若A和B是两个向量， 则它们的内积可以表示为A^T * B，其中A^T是A的转置矩阵。
通过矩阵乘法，可以高效地计 算多个向量间的内积。
特征值与特征向量对内积影响分析
特征值和特征向量是线性变换的重要 性质，它们对向量的内积有重要影响。
夹角计算
通过内积可以计算两向量的夹角，即$costheta = frac{mathbf{a} cdot mathbf{b}}{|mathbf{a}| |mathbf{b}|}$。

线性代数5.1向量内积

线性代数5.1向量内积
当 [ x , y ] = 0，称向量 x 与 y 正交. 显然，若x = 0，则x与任何向量都正交.
下面讨论正交向量组的性质. 所谓正交向量组， 是指一组两两正交的非零向量.
定理 5.1 正交向量组是线性无关的. 证明
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例 5.1 试求一个非零向量a3 ，使它与向量
1 1
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1 1 4
例 5.2
设
a1


21
，a2


3 1

，a3


1 0
，
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.
解 取 b1=a1，
1 1 1
b2

a2

[ a2 [ b1
证明 A = ( a1 , a2 ,…, an ) 为正交矩阵等价于
A A E, 即
AT
A


a1T a2T


M
a1 ,a2 ,L
,an



a1Ta1 a2Ta1
M
a1Ta2 a2Ta2
M
L L

anT


anTa1
anTa2
L
a1Tan a2Tan
M

xn


yn

令
x, y x1y1 x2 y2 L xn yn,
[ x , y ] 称为向量 x 与 y 的内积.
内积是两个向量的一种运算，用矩阵记号表示
[ x , y ] = xT y.
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向量内积的定义及运算规律共87页文档

向量内积的定义及运算规律共87页文档
向量内积的定义及运算规律
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
▪
谢谢！
87
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰

▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华

高等代数课件-§3 向量的内积

高等代数课件-§3 向量的内积

因为BE⊥AC，所以BM AC 0, 即 ( AM AB) AC 0, 即 AM AC AB AC
因为CF⊥AB,
所以CM AB 0,
3.3 用坐标计算向量的内积
1. 取一个空间仿射坐标系 [O; e1 , e2 , e3 ], 设a, b 的坐标分别是 (a1 , a2 , a3 ),(b1 , b2 , b3 ), 有 则
a b (a1e1 a2e2 a3e3 ) (b1e1 b2e2 b3b3 ) a1b1e1 e1 a1b2e1 e2 a1b3e1 e3 a2b1e2 e1 a2b2e2 e2 a2b3e2 e3 a3b1e3 e1 a3b2e3 e2 a3b3e3 e3
x a0 e1 cos a0 , e1 cos a, e1 0 y a e2 cos a, e2 0 z a e3 cos a, e3
2, 我们把一个向量a与直角坐标系中的基向量 e1 , e2 , e3 所成的角称为方向a的方向角 . 把方向角的余弦 cos , cos , cos 称为方向a的 方向余弦.
若它为直角坐标系时， 则有 ei ei ei 1; ei e j 0, i j.
2
此时 a b a1b1 a2b2 a3b3.
2. 定理1.6 在直角坐标系中，两个向量的内积等于 它们的对应坐标的乘积之和.
由此，我们得到，向量 a a1 ,a2 ,a3 的长度为
因此 e a a cos a, e .
4. 命题1.8 量a,b, 有
设e为一个单位向量，则对任意向

《向量的内积的概念》课件

《向量的内积的概念》课件
投影法
通过向量的分解，将复杂的问题转化为简单的内积运算。
向量分解法
向量的内积与向量的模的关系
CATALOGUE
03
VS
向量$overset{longrightarrow}{a}$的模定义为$left| overset{longrightarrow}{a} right| = sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + ... + a_{n}^{2}}$，其中$a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}$是向量$overset{longrightarrow}{a}$的分量。
《向量的内积的概念》ppt课件
目录
CATALOGUE
向量的内积定义向量的内积运算向量的内积与向量的模的关系向量的内积的应用
向量的内积定义
CATALOGUE
01
向量的内积是两个向量之间的一种数量关系，通过点乘运算得到。
总结词
向量的内积定义为两个向量$mathbf{A} = (a_1, a_2, ldots, a_n)$和$mathbf{B} = (b_1, b_2, ldots, b_n)$的点乘，记作$mathbf{A} cdot mathbf{B}$，计算公式为$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n$。
点乘的性质：$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \left| \overset{\longrightarrow}{a} \right| \cdot \left| \overset{\longrightarrow}{b} \right| \cdot \cos\theta$，其中$\theta$是向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}{b}$之间的夹角。

内积和外积运算规则

内积和外积运算规则

内积和外积运算规则内积和外积是向量运算中常用的概念和操作。

它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍内积和外积的定义、性质以及运算规则。

一、内积1. 定义内积，也称为点积或数量积，是两个向量之间的一种运算。

对于两个n维向量a和b，它们的内积定义为：a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn，其中a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn分别是向量a 和b的分量。

2. 性质内积具有以下性质：(1) 交换律：a·b = b·a，即内积的顺序不影响结果。

(2) 分配律：(a + b)·c = a·c + b·c，即内积对向量的加法满足分配律。

(3) 数乘结合律：(k·a)·b = k·(a·b) = a·(k·b)，其中k是一个标量。

(4) 内积的结果是一个实数。

3. 几何意义内积具有重要的几何意义。

如果两个向量a和b的内积为0，即a·b = 0，那么它们垂直或正交。

这是因为内积的定义表示了向量a 在向量b上的投影与b的长度的乘积。

当内积为0时，投影为0，即向量a在向量b上没有分量。

二、外积1. 定义外积，也称为叉积或向量积，是两个向量之间的一种运算。

对于三维空间中的两个向量a和b，它们的外积定义为：a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。

2. 性质外积具有以下性质：(1) 反交换律：a×b = -b×a，即外积的顺序颠倒后需要加负号。

(2) 分配律：a×(b + c) = a×b + a×c，即外积对向量的加法满足分配律。

(3) 数乘结合律：k×(a×b) = (k·a)×b = a×(k·b)，其中k是一个标量。

向量的内积

向量的内积

2T n
E，
T n
T
n1
nT 2
nTn
即
iT
j
ij
1，i 0，i
j j
(i ，j 1，2， ，n) ．
1.3 正交矩阵与正交变换
定义 7 若 P 为正交矩阵，则 y Px 称为正交变换， P 称为正交变换矩阵．
性质 1 正交变换保持向量的内积和长度不变． 证明 设 y Px 为正交变换，对任意 n 维向量1 ，2 ，记 1 P1 ，2 P2 ，则 [1 ，2 ] 1T2 1T PT P2 1T E2 1T2 [1 ，2 ]，
e1
||
1 1
||
，e2
2 || 2
， ||
，er
r || r
， ||
1.2 正交向量组与标准正交基
1
1
1
例1
设 1
1 ，2
2
，
3
4
，试用施密特正交化的方法将该向量组化为标准正交组．
1
3
9
解 易知1 ，2 ，3 是线性无关的．先将1 ，2 ，3 正交化，令 1 1 ；
2
2
[1 [1
y1
[x ，y] xT y
(x1 ，x2 ，
，xn )
y2
．
yn
容易验证内积有下列运算性质：
（1）[x ，y] [ y ，x] ；
（2）[ x ，y] [x ， y] [x ，y]；
其中 x，y，z 为任意 n 维向量， R ．
（3）[x y ，z] [x ，z] [ y ，z]；
3 3
1 6
2 1
，则
e1
，e2
，e3

4向量的内积、外积、混合积

4向量的内积、外积、混合积
(显然 a a 0)
2. 外积的的直接应用
(1).定理1: 两个向量 a , b 共线 a b 0.
特别地 , 如果 a 0,向量 b 沿向量 a 方向的正交分解为 b b1 b2 , 其中b1 // a , b2 a.则a b a b2 .

5i 6 j 3k 25 36 9

5 70
i
6 70
j
3 70
k.
例2. 已知向量 a (1,2,3), b ( 2,1, 2)求 a , b的夹角.
解 : cos a , b
a b ab

226 12 9

1 3
.
例3. 向量 a (1, 1,2), e (1,1,1)求 a在 e上的射影 .
3. 用直角坐标计算向量的内积
(1)定理 3 : 设向量 a , b 在直角坐标系 [O ; i , j , k ]下的坐标分别为 ( a1 , a 2 , a3 ) 与 (b1 , b2 , b3 ), 则它们的内积为 : a b a1b1 a 2 b2 a3b3 .
即 : ( a , b , c ) (b , c , a ) ( c , a , b ) (b , a , c ) ( c , b , a ) ( a , c , b ).
由定理 3, 显然有结论 : 推论 : ( a b ) c a (b c ).
1. 向量的射影与正交分解
a
O
A
a2
A
e
l
a1
(2)正交分解

向量内积运算法则

向量内积运算法则

向量内积运算法则向量内积，也称为点积或数量积，是线性代数中的一个重要概念。

它可以用于计算向量之间的夹角、判断向量的正交性、求解投影等问题。

在本文中，我们将介绍向量内积的定义、性质以及一些常见的运算法则。

一、向量内积的定义给定两个n维向量A和B，它们的内积定义为：A·B = A1B1 + A2B2 + ... + AnBn其中，A1、A2、...、An和B1、B2、...、Bn分别表示向量A和B 的各个分量。

二、向量内积的性质1. 对称性：A·B = B·A这意味着向量内积满足交换律，不论先计算哪个向量的分量乘积，结果都是相同的。

2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C这表示向量内积满足分配律，即将一个向量与两个向量的和的内积等于它分别与这两个向量的内积之和。

3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)这说明向量内积满足数乘结合律，即一个向量与另一个向量的内积与一个标量的乘积可以交换位置。

4. 长度平方：A·A = ||A||^2这表示一个向量与自身的内积等于向量的模长的平方。

这个性质常用于计算向量的模长。

三、向量内积的运算法则1. 夹角公式：cosθ = (A·B) / (||A||·||B||)这个公式表示两个向量的内积可以用它们的模长和夹角的余弦值表示。

通过这个公式，我们可以计算出两个向量之间的夹角。

2. 正交性：A·B = 0如果两个向量的内积为0，则称它们正交。

这意味着两个向量之间的夹角为90度。

正交向量在物理学、几何学等领域中有广泛的应用。

3. 投影公式：projB A = (A·B / ||B||^2) · B这个公式表示向量A在向量B上的投影可以通过向量A和向量B 的内积计算得出。

投影向量是向量A在向量B方向上的投影。

5.1向量的内积

5.1向量的内积
3 Leabharlann 3 是单位向量 是单位向量. 3
定义3 非零n维向量 的夹角〈 定义 非零 维向量α与β的夹角〈α,β 〉规定 为 [α , β ] 〈α , β 〉 = arccos (0≤〈α,β 〉≤π) ≤ || α || ⋅ || β || 例如,求向量 例如 求向量α=(1,2,2,3)与β=(3,1,5,1)的夹角 与 的夹角
M α r X = 0 ′
则方程组的一个基础解系正交单位化即可. 则方程组的一个基础解系正交单位化即可
正交矩阵 定义6 阶方阵,若 ′ 则称A为 定义 设A为n阶方阵 若A′A=E,则称 为正 为 阶方阵 则称 交矩阵. 交矩阵 正交矩阵性质: 正交矩阵性质 (1)A为正交矩阵⇔A−1=A′ 为正交矩阵⇔ 为正交矩阵 ′ (2)A为正交矩阵⇔AA′=E 为正交矩阵⇔ ′ 为正交矩阵 (3)A为正交矩阵⇒|A|=±1 为正交矩阵⇒ 为正交矩阵 ± (4)A为正交矩阵⇒A′,A−1,A*也是正交矩阵 为正交矩阵⇒ ′ 为正交矩阵 也是正交矩阵 (5)若A,B均为 阶正交矩阵⇒AB与BA也是 均为n阶正交矩阵 若 均为 阶正交矩阵⇒ 与 也是 正交矩阵. 正交矩阵
引入许瓦兹不等式 引入许瓦兹不等式: 许瓦兹不等式 对任意向量α,β,有[α,β]≤||α||⋅||β|| 有 ≤ ⋅ ∵||α+β||2 =[α+β,α+β] =[α,α]+2[α,β]+[β,β] ≤||α||2+2||α||⋅||β||+||β||2 ⋅ =(||α||+||β||)2
当||α||=1时,称α为单位向量 时 称 为单位向量.
α 都可化为单位向量: 任何非零向量α都可化为单位向量 || α ||

向量的内积的概念

向量的内积的概念

当
x
1时，称x为
单位向量。
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当
x
0,
y
0
时,
arccos
[ x, y]
称为n维向量x与y的 夹角。 || x || || y ||
向量的正交性
空间解析几何中两向量垂直推广到 n 维向量，可
得向量的正交性概念。
当[
x,
y]
0时,
称向量x与y正交.当x
0时,
x与任
x2
,,
xn
)T
,
y
(
y1 ,
y2
,,
yn
)T
令[
x,
y]
x1
y1
x2
y2
xn
yn ,[ x,
y]称为向量x与y的
内积。
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向量 的内 积是向 量的 一种运 算, 可以 用矩 阵表示,
当x与y均为列向量时,
有[
x,
y]
xT
y,
内积的运算规律：
( i ).交 换 律
:
[
x,
那么称 A 为正交阵。 上式用 A 的列向量表示，即是
aa12TT
anT
a1
,
a2
,
,
an
E,
亦即
aiT
a
j
ij
1,
0
i j i j
(i, j 1,2,, n)
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这就说明：方阵A 为正交阵的充分必要条件是A 的列 ( 行)向量都是单位向量且两两正交。从而正交阵A 的 n 个列( 行)向量构成向量空间 R n 的一个规范正交基。
]
br

线性代数§向量的内积

线性代数§向量的内积


(1 , 2
1, 2
1, 2
1), 2
e2

||
b2 b2
||

1 (0, 2, 1, 3) (0, 2 , 1 ,
14
14 14
3 ), 14
e3

||
b3 b3
||

1 (1, 1, 2,0) ( 1 ,
6
6
1 , 2 ,0). 66
1 1 4
1


000,
2


100,
3


100,
4


100.
也为R4的一组规范正交基(即单位坐标向量组).
设e1, e2, ···, er是向量空间V的一组规范正交基, 则 V中的任一向量a可由e1, e2, ···, er线性表示设, 表示式为:
1=(1, 1, 1)T, 2=(1, –2, 1)T 正交. 试求3使1, 2, 3构成三维空间的一组正交基.
解: 设3=(x1, x2, x3)T0, 且分别与1, 2正交. 则有
[1, 3]=[2, 3]=0,
即
[[12,,33]]

x1 x1

证明: 设有数1, 2, ···,r, 使得: 11 + 22 + ···+ rr = 0
由于1, 2, ···, r 是两两正交的非零向量组,则有
当 i j 时, [i, j]=iTj = 0, 当 i = j 时, [i, i]=iTi 0,
用iT ( i =1, 2, ···, r )左乘上式得, 1iT1 + ···+ iiTi + ···+ riTr = iT0 = 0,
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1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
向量内积的定义及运算规律
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•Leabharlann 10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。