(整理)平面向量内积的坐标运算与距离公式
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7.4向量的内积和距离表示
ar o ar 2
r a o
r a
ar
o
r b
时,
ar
r b
ห้องสมุดไป่ตู้
r a
r b
cos
(ar ,
r b
)
cos
(ar ,
r b
)
ar
r b
ar
r b
ar
r b
0
ar
o
或
r b
o
或
cos
(ar
,
r b
)
0
ar
o
或
r b
o
或
(ar
r ,b)
ar
r b
2
(规定零向量与任一向量垂直)
命题3.1 ar
r b
ar
r b
o
(规定零向量与任一向量垂直)
向量的内积满足以下运算规律:
1) 2)
交换律
ar
r b
r b
ar
关于数因子的结合律
(
r a
r )b
r a
(
r b
)
(ar
r b
)
3) 分配律
(ar
r b
)
cr
ar
cr
r b
cr
动脑思考 探索新知
一般地，向量的 内积不满足结合律， 即
a·(b·c)≠(a·b ) ·c.
2
（4）在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．
动脑思考 探索新知
uuur 如图，设有两个非零向量a， b，作 OA a，
A
uuur
a
OB b，由射线OA与OB所形成的的角叫做向量
向量点到平面的距离公式
向量点到平面的距离公式在线性代数中，向量点到平面是一个常见的概念，因为它可以用于计算出物体彼此之间的距离。
那么，向量点到平面的距离是怎样计算的呢？一般来说，向量点到平面的距离可以使用下面的公式计算：D = |( p + ( n v ) n )|其中，D 为点到平面的距离，p 为平面上的任意一点，n 为平面的法向量，v 为点到平面的方向向量，为内积。
首先，我们必须计算出 p + ( n v ) n值，这里，n v 为内积，即点乘，内积的值表示着向量 v n向上的投影。
内积的结果乘以 n 表示着 n投影长度，加上 p可以得到“点到平面的投影”。
接着，我们就可以使用上篇求出的结果，计算出向量点到平面的距离，即求出 p + ( n v ) n量的范数。
范数是表示向量长度的数值，求出向量范数即可以得到向量点到平面的距离。
最终，我们可以使用上述步骤，求出向量点到平面的距离 D： D = |( p + ( n v ) n )|该公式非常有用，可以用来计算物体彼此之间的距离，也可以用来对一些向量图形进行更加精确的分析。
要有效地使用该公式，我们应该先理解求范数的概念，了解如何求出平面的法向量，以及如何计算出点到平面的方向向量和内积。
只有理解了这些概念，才能有效地应用向量点到平面的距离公式，求出物体彼此之间的距离。
另外，在计算向量点到平面的距离时，还有一种特殊情况需要注意，即当 n 为零向量时，该公式失效。
这是因为零向量不存在非零范数，而非零范数是向量点到平面的距离的前提条件。
所以，在使用该公式时，需要注意 n 不能为零向量。
综上所述，向量点到平面的距离公式是一个非常有用的公式，能够用来计算物体彼此之间的距离，也可以用来作为向量图形的分析工具。
但同时也要注意公式的使用细节，以保证精确的计算结果。
7向量内积的坐标运算与公式
则 a0＝±|a1|a＝±|ax|，|ay|
＝±
x2x＋y2，
y
x2＋y2
其中正号，负号分别表示与 a 同向和反向．
易知 b＝(－y，x)和 a＝(x，y)垂直，
∴与 a 垂直的单位向量 b0 的坐标为±
x－2＋y y2，
x2x＋y2，
其中正，负号表示不同的方向.
∵90°<α<180°，∴－1<cosα<0.
∴－1<
－2λ－1 5· λ2＋1<0.
∴－－22λλ－－11><0－， 5λ2＋5.
即λ>－12，
即λ>－12，
2λ＋12<5λ2＋5， λ≠2.
∴λ 的取值范围是－12，2∪(2，＋∞)．
规律技巧 由于两个非零向量 a，b 的夹角 θ 满足 0°≤θ≤180°，所以用 cosθ＝|aa|·|bb|来判断，可将 θ 分五种情况： cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0 且 cosθ≠－1，θ 为钝角；cosθ>0 且 cosθ≠1，θ 为锐角．
2．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件
设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，
则 a⊥b⇔ 式
向量模公式 两点间距离公式
向量的夹角公式
设 a＝(a1，a2)，则|a|＝ a21＋a22
若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝
x2－x12＋y2－y12
自测自评
1.已知向量 a＝(1,2)，b＝(x＋1，－x)，且 a⊥b，则 x＝( )
A．2
2 B.3
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量是数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理等领域。
下面是关于向量的知识点和公式总结：一、向量的定义：1.向量是具有大小和方向的量，用箭头上面一点标记，如A、B等。
2. 向量可以表示为坐标形式（a1, a2, ..., an）或分量形式ai。
二、向量的运算：1.向量加法：向量A+B的结果是一个新的向量C，C的坐标等于A和B坐标对应位置元素的和。
2.向量减法：向量A-B的结果是一个新的向量C，C的坐标等于A和B坐标对应位置元素的差。
3.数乘：向量A乘以一个实数k，结果是一个新的向量B，B的坐标等于A每个坐标位置的值乘以k。
4.内积（点积）：向量A和向量B的点积是一个实数，表示为A·B，等于A和B坐标对应位置元素的乘积和，再求和。
5.外积（叉积）：向量A和向量B的叉积是一个新的向量C，C垂直于A和B所在平面，其大小等于A和B构成的平行四边形的面积，方向由右手定则确定。
三、向量的性质：1.数乘分配律：k(A+B)=kA+kB2.数乘结合律：(k1k2)A=k1(k2A)3.负向量：-A=(-1)A4.零向量：所有分量均为0的向量，用0或O表示，满足A+0=A。
5.单位向量：长度为1的向量，用u表示。
6.平行向量：方向相同或相反的向量。
7.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
四、向量的模和单位向量：1.向量的模（长度）：向量A的模表示为，A，定义为各个分量平方和的平方根。
A，= √(a1^2 + a2^2 + ... + an^22.单位向量：长度为1的向量，可将向量A除以其模得到单位向量u。
五、向量的投影：1.向量的投影是指在特定方向上的长度，用于量化向量在方向上的大小。
2.向量A在向量B上的投影等于A和B的内积除以B的模。
projB(A) = (A·B)/，B六、向量的夹角：1.向量的夹角是指两个向量之间的角度。
2.余弦公式：向量A和向量B的夹角θ满足如下关系：cosθ = (A·B)/(，A，B，)3. 内积性质：若A和B的夹角为θ，则cosθ = cos(θ+2πn)，其中n为整数。
向量内积的坐标运算与距离公式(优秀版)word资料
向量内积的坐标运算与距离公式（优秀版）word资料7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式【教学目标】1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．【教学难点】向量内积的坐标表达式的推导，即a·b＝| a | | b | cos‹a，b›与a·b＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．8.1 向量的坐标表示及其运算教学目标知识目标：了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；理解向量的坐标表示方法及其运算法则；掌握向量模的求法，知道模的几何意义；理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充要条件的证明方式能力目标：会用两向量的坐标形式的和、差及实数与向量的积等运算解决相关问题；会用平行的充要条件解决点共线问题情感目标：感知数学中的运动、变化、相互联系与相互转化的规律，加深对辩证唯物主义观点的体验；发展从数学的角度分析和解决问题的能力，以及通过积极参与数学学习和问题解决的过程，增强学习的主体意识，形成数学的应用意识，养成严谨、慎密的思维习惯. 教学重、难点重点：如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用 难点：向量坐标形式的运算及其应用一、新课引入：上海市莘庄中学的健美操队四名队员A 、B 、C 、D 在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH 内进行健美操表演.（1）若在某时刻1t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图1所示的平行四边形队形.队员A 位于点F 处，队员B 在边FG 上距F 点3米处，队员D 位于距EF 边2米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？EFGHGF E 图2图18m 10m DCBADCB A 10m8m[说明] 此时队员C 在位于距EF 边5米距FG 边5米处.这个图形比较特殊，学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.（2）若在某时刻2t A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？[说明] 不要求学生写出结果，只引导学生思考.这个图形更为一般一些，学生解决的可能不是很顺，这时，教师就可以说，这一节我们就来学习一个新的内容：向量的坐标表示及其运算，学习了这个内容之后，同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以解决这个问题了，引起学生学习的兴趣与探究的欲望.二、新课讲授 1、向量的正交分解（1）基本单位向量：我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j 。
6.12向量内积坐标运算
解：依题意设B ( x, 0)
则 (x 5)2 (0 12)2 13
P244练习2：
解：设P ( 7, y )
平方得：( x 5)2 (0 12)2 169
化简得：x2 10x 0 即 x( x 10) 0
(7 1)2 ( y 5)2 10 得：64 ( y 5)2 100
另证
证明： AB (3 1,4 2) (2,2) 直接利用两点距离公式
AC (4,2) BC (2,4) d A,B (3 1)2 (4 2)2
AB 22 22 8
8
AC 42 (2)2 20 BC 22 (4)2 20 AC BC 即 △ABC是等腰三角形。
5 10
5
5 5 2 50 5 2 2
a,b 45 P244 练习 1 (1)(2)
补练：已知a (2,1),b (3,2), 求（a b）（ 2a b）
原式 (5,3)[(4,2) (3,2)] (5,3) (1,0) 5
三.例题分析与练习
例2. 已知：A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 0)， 求证：△ABC是等腰三角形。
d A,C (5 1)2 (0 2)2
20
d B,C (5 3)2 (0 4)2 20
即 dA,C d B,C
例3
三.例题分析与练习 a b a1b1 a2b2 0
例3. 已知：A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形 .
证明： AB (2 1,3 2) (1,1) AC (3,3) BC (4,2)
两点A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )的距离d A,B公式 :
d A,B AB ( x2 x1)2 ( y2 y1)2
向量坐标运算公式总结
向量坐标运算公式总结向量是数学中一种重要的概念，广泛应用于几何、物理等领域。
在向量的运算过程中，有许多常用的公式可以帮助我们简化计算，提高效率。
本文将对几种常见的向量坐标运算公式进行总结和归纳。
一、向量的加法和减法运算向量的加法和减法运算是最基本的向量运算。
设有两个向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，则它们的加法运算定义为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)而减法运算定义为：a -b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)这两个运算公式可以帮助我们快速计算两个向量的和或差。
二、向量的数量乘法运算向量的数量乘法运算也是常见的运算方法。
设有一个向量a = (a1, a2, a3)，一个实数k，则它们的数量乘法运算定义为：k * a = (k * a1, k * a2, k * a3)数量乘法运算可用于改变向量的大小和方向。
三、向量的点积运算向量的点积运算是一种重要的运算方法，它可以用于计算向量之间的夹角以及判断两个向量是否垂直。
设有两个向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，则它们的点积运算定义为：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3点积运算的结果是一个实数，它用来描述两个向量的相似程度。
四、向量的叉积运算向量的叉积运算也是一种重要的运算方法，它可以用于计算向量之间的垂直关系以及求得垂直于给定平面的向量。
设有两个向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，则它们的叉积运算定义为：a ×b = (a2 * b3 - a3 * b2, a3 * b1 - a1 * b3, a1 * b2 - a2 * b1)叉积运算的结果是一个新的向量，它垂直于a和b所在的平面。
五、向量的模长和单位向量向量的模长是指向量的长度，它可以用来衡量向量的大小。
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全（实用版）目录1.向量的加法和减法2.向量的数乘3.向量的点积4.向量的叉积5.向量的模和夹角6.齐次坐标和变换正文一、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中最基本的运算，其定义和规则与我们熟悉的数值加减法类似。
给定两个向量 A 和 B，其加法和减法定义如下：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)A -B = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)二、向量的数乘向量的数乘是向量与标量的乘积，其结果是一个向量，其模长是原向量模长的 k 倍，方向与原向量相同或相反，k 为标量。
给定一个向量 A 和一个标量 k，其数乘定义如下：kA = (ka1, ka2, ka3)三、向量的点积向量的点积，又称内积，是一种计算两个向量之间相似度的方法。
其结果是一个标量，其值等于两个向量模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
给定两个向量 A 和 B，其点积定义如下：A·B = |A|*|B|*cosθ四、向量的叉积向量的叉积，又称外积，是一种计算两个向量之间垂直度的方法。
其结果是一个向量，其模长等于两个向量模长的乘积与它们的夹角的正弦值的乘积，方向垂直于两个向量构成的平面。
给定两个向量 A 和 B，其叉积定义如下：A ×B = (a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1)五、向量的模和夹角向量的模，又称向量的长度，是向量的一种度量，等于向量对应端点之间的距离。
给定一个向量 A，其模定义如下：|A| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)向量的夹角，是向量 A 与向量 B 之间的角度，其范围在 0 到π之间。
给定两个向量 A 和 B，它们的夹角定义如下：θ = arccos(A·B / (|A|*|B|))六、齐次坐标和变换齐次坐标是一种用于表示向量的简化方法，它可以将向量的三个分量表示为一个三个元素的序列。
向量积的坐标运算及度量公式
a b a1e1 a2 e2 b1e1 b2 e2
a1b1e1 e1 a1b2 e1 e2 a2b1e2 e1 a2b2 e2 e2
e1 e1 e2 e2 1, e1 e2 e2 e1 0
我们得到数量积的坐标表达式
C. 3 2
D. 3 2
4.设m、n是两个非零向量，且m x1, y1 , n x2, y2 ，则以下关系
式中与m n等价的是 __①___②③④
①m n=0
②
x x =-y y
12
12
③ m+n m-n
④ m+n
2
2
m n
知识反馈
例3 已知四点坐标：A(-1，3)、B(1，1)、C(4，4)、
2.已知两个非零向量a a1, a2 ,b b1,b2 ,
怎样用a和b的坐标表示a b呢？ 3.怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直 的条件？ 4.能否根据所学知识推导出向量的长度、距
离和夹角公式？
2.两向量垂直和平行的条件
设a a1, a2 ,b b1,b2 ， 平行 1 若a / /b,则a1b2 a2b1 0,
提高练习
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB， BC AB，则点C的坐标为 C(3, 29)
3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4b 平行，则k = - 1.
结论：对任意实数k,向量kb2,b1与向量b1,b2 垂直
结论：对任意实数k,向量kb2,b1与向量b1,b2 垂直 例如：向量3,4与向量4,3,8,6,12, 9…垂直
a1b1e1 e1 a1b2 e1 e2 a2b1e2 e1 a2b2 e2 e2
e1 e1 e2 e2 1, e1 e2 e2 e1 0
我们得到数量积的坐标表达式
C. 3 2
D. 3 2
4.设m、n是两个非零向量，且m x1, y1 , n x2, y2 ，则以下关系
式中与m n等价的是 __①___②③④
①m n=0
②
x x =-y y
12
12
③ m+n m-n
④ m+n
2
2
m n
知识反馈
例3 已知四点坐标：A(-1，3)、B(1，1)、C(4，4)、
2.已知两个非零向量a a1, a2 ,b b1,b2 ,
怎样用a和b的坐标表示a b呢？ 3.怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直 的条件？ 4.能否根据所学知识推导出向量的长度、距
离和夹角公式？
2.两向量垂直和平行的条件
设a a1, a2 ,b b1,b2 ， 平行 1 若a / /b,则a1b2 a2b1 0,
提高练习
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB， BC AB，则点C的坐标为 C(3, 29)
3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4b 平行，则k = - 1.
结论：对任意实数k,向量kb2,b1与向量b1,b2 垂直
结论：对任意实数k,向量kb2,b1与向量b1,b2 垂直 例如：向量3,4与向量4,3,8,6,12, 9…垂直
向量内积的坐标运算
说明
向量内积的结果是一个标量，而不是向量。
向量内积的性质
交换律
$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
分配律
$(mathbf{A} + mathbf{C}) cdot mathbf{B} = mathbf{A} cdot mathbf{B} + mathbf{C} cdot mathbf{B}$。
零向量没有固定的大小和方向，其坐 标表示为$(0,0)$。
在二维平面直角坐标系中，零向量可 以表示为起点与终点的坐标相同的有 向线段，例如从点$(1,2)$到点$(1,2)$ 的有向线段。
03
CHAPTER
向量内积的坐标运算
向量内积的坐标运算公式
向量内积的坐标运算公式
假设向量$mathbf{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$mathbf{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
物理量。
向量内积在数学中的应用
向量模的计算
向量模是向量的长度，可以通过向量内积来 计算。
向量的投影
向量投影是向量内积的一个重要应用，可以用来计 算一个向量在另一个向量上的投影长度和方向。
线性代数
向量内积在线性代数中有着广泛的应用，如 矩阵的乘法、特征值和特征向量的计算等。
向量内积在其他领域的应用
注意事项二
向量的内积运算满足交换律和分配律。即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$，并且对于任意标量k，有$k(mathbf{A} cdot mathbf{B}) = (mathbf{A}k) cdot mathbf{B} = mathbf{A} cdot (mathbf{B}k)$。
向量内积的结果是一个标量，而不是向量。
向量内积的性质
交换律
$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
分配律
$(mathbf{A} + mathbf{C}) cdot mathbf{B} = mathbf{A} cdot mathbf{B} + mathbf{C} cdot mathbf{B}$。
零向量没有固定的大小和方向，其坐 标表示为$(0,0)$。
在二维平面直角坐标系中，零向量可 以表示为起点与终点的坐标相同的有 向线段，例如从点$(1,2)$到点$(1,2)$ 的有向线段。
03
CHAPTER
向量内积的坐标运算
向量内积的坐标运算公式
向量内积的坐标运算公式
假设向量$mathbf{A} = (a_1, a_2, ..., a_n)$和$mathbf{B} = (b_1, b_2, ..., b_n)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
物理量。
向量内积在数学中的应用
向量模的计算
向量模是向量的长度，可以通过向量内积来 计算。
向量的投影
向量投影是向量内积的一个重要应用，可以用来计 算一个向量在另一个向量上的投影长度和方向。
线性代数
向量内积在线性代数中有着广泛的应用，如 矩阵的乘法、特征值和特征向量的计算等。
向量内积在其他领域的应用
注意事项二
向量的内积运算满足交换律和分配律。即$mathbf{A} cdot mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$，并且对于任意标量k，有$k(mathbf{A} cdot mathbf{B}) = (mathbf{A}k) cdot mathbf{B} = mathbf{A} cdot (mathbf{B}k)$。
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平面向量内积的坐标运算与距离公式
德清乾元职高朱见锋
【教材分析】：本课是在平面向量坐标运算、内积定义基础上学习的，主要知识是平面向量内积的坐标运算与平面内两点间的距离公式，是后面学习曲线方程的重要公式和推导依据，是进一步学习相关数学知识的重要基础。
【教学目标】
1. 掌握平面向量内积的坐标表示，会应用平面向量内积的知识解决平面内有关长度、两向量的夹角和垂直的问题．
2. 能够根据平面向量的坐标，判断两向量是否垂直，求两向量的夹角等。
3. 通过学习平面向量的坐标表示，使学生进一步了解数学知识的相同性，培养学生辩证思维能力．提高学生数学知识的应用能力。
【教学重点】：平面向量内积的坐标公式式，平面向量垂直的充要条件，平面内两点间距离公式的应用．
【教学难点】：平面向量内积的坐标公式的推导和应用。
【教学方法】本节课采用问题启发式教学和讲练结合的教学方法．
【设计理念】
数学学习是一个知识理解、迁移、转化的过程，因此要实现教学的有效性，必须知识点的迁移、转化，引导学生充分利用自己已有的知识与经验，通过对问题的探究与解决，实现数学知识的转化，从而实现数学知识的归纳和应用，达成教学目标。