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人教版中职数学基础模块下册《向量的内积
及其运算》教案 (一)
人教版中职数学基础模块下册《向量的内积及其运算》教案，是一份
针对中职学生的教材，旨在帮助学生更好地掌握向量的内积及其运算，从而提高数学学科的学习效果。
本文将从以下几个方面进行分析：
一、教案中的教学目标
该教案旨在通过对向量的内积及其相关运算的教学，帮助学生掌握向
量的基本概念和运算方法，能够对向量的内积进行计算，并能够应用
向量内积解决实际问题。
二、教案中的教学内容
该教案主要包含向量的内积的基本定义及其几何意义、内积的运算法则、正交向量及其性质、向量的垂直投影等内容。
三、教案中的教学方法
该教案采用多种教学方法，包括讲解、演示、练习、巩固及拓展等，
旨在更好地帮助学生理解和掌握向量内积的相关概念和技能。
四、教案中的教学重点和难点
该教案的教学重点在于向量的内积的定义及其几何意义、内积的运算
法则、正交向量及其性质等方面。
而教学难点则在于向量的内积与解
决实际问题的应用能力。
五、教案中的教学评价
该教案采用量化评分法和主观评价相结合的方法进行教学评价。
量化评分主要针对学生在课堂上的表现，如听讲、回答问题、练习等方面进行评价。
而主观评价主要是针对学生的考试成绩、作业完成情况以及课后拓展学习等方面进行评价。
综上所述，人教版中职数学基础模块下册《向量的内积及其运算》教案对于中职学生学习向量的内积及其运算具有重要的指导意义，不仅有助于提高学生的数学能力和实际应用能力，还能够帮助学生理解向量的相关概念及其应用。
【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |⋅a a 显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题7.3 平面向量的内积*创设情境 兴趣导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？介绍 质疑引导分析了解 思考 自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点0 5 *动脑思考 探索新知 【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F =x i + y j sin 30cos30F i F j =⋅+⋅，即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ）总结 归纳思考 理解带领 学生 分析Fs图7—21 ︒30O过 程行为 行为 意图 间图7－22这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b>．两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即a ·b ＝｜a ||b |c os<a ,b > (7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s. 由内积的定义可知a ·0＝0, 0·a ＝0．仔细分析 讲解 关键 词语记忆引导 式启 发学 生得 出结 果15由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b＝−|a ||b |.思考Ox ij F (x ,y )yBAO图7－23ab过 程行为 行为 意图 间（2） cos<a ,b >＝||||⋅a ba b . （3） 当b ＝a 时，有<a ,a >＝0，所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2，即|a |＝⋅a a .（4） 当,90a b <>=时，a ⊥b ，因此，a ·b ＝cos900,a b ⋅=因此对非零向量a ，b ，有a ·b ＝0⇔a ⊥b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律： （1） a ·b ＝b ·a ．（2） (a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． （3） (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a ·(b ·c )≠（a ·b ）·c .请结合实例进行验证. 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 理解 记忆 带领 学生 分析 反复强调30 *巩固知识 典型例题例1 已知|a |＝3,|b |＝2, <a ,b >＝︒60,求a ·b ． 解 a ·b ＝|a ||b | cos<a ,b > ＝3×2×cos ︒60＝3． 例2 已知|a |＝|b |＝2,a ·b ＝2-,求<a ,b >．解 cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ＝222⋅-＝−22.由于 0≤<a ,b >≤︒180， 所以 <a ,b >＝135． 说明 强调 引领思考 主动 求解注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 40*运用知识 强化练习1. 已知|a |＝7，|b |＝4，a 和b 的夹角为︒60，求a ·b ．2. 已知a ·a ＝9,求|a |．3. 已知|a |＝2,|b |＝3, <a ,b >＝︒30，求(2a ＋b )·b ．提问 巡视 指导思考 口答及时 了解 学生 知识 掌握过 程行为 行为 意图 间得情 况45 *动脑思考 探索新知设平面向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2)，i ，j 分别为x 轴，y 轴上的单位向量，由于i ⊥j ，故i ·j ＝0，又| i |＝|j |＝1，所以a ·b ＝(x 1 i ＋y 1j )· (x 2 i ＋y 2j )＝ x 1 x 2 i •i ＋ x 1 y 2 i •j ＋ x 2 y 1 i •j ＋ y 1 y 2 j •j＝ x 1 x 2 |j |2＋ y 1 y 2 |j |2 ＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a ·b ＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2 (7.11)利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a ＝(x,y )，则a a a ==22+x y ，即a =22+x y (7.12)由平面向量内积的定义可以得到，当a 、b 是非零向量时， cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ＝121222221122x x y y x y x y +++. (7.13) 利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于a ⊥b ⇔a ·b ＝0，由公式(7.11)可知a ·b ＝0⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0．因此a ⊥b ⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0． (7.14) 利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题． 总结归纳仔细 分析讲解关键词语思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结60*巩固知识 典型例题例3 求下列向量的内积：说明 强调观察过 程行为 行为 意图 间（1） a ＝ (2,−3), b ＝(1,3)； （2） a ＝ (2, −1), b ＝(1,2)； （3） a ＝ (4,2), b ＝(−2, −3)． 解 (1) a ·b ＝2×1＋(−3)×3＝−7； (2) a ·b ＝2×1＋(−1)×2＝0； (3) a ·b ＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．例4 已知a ＝(−1,2),b ＝(−3,1).求a ·b , |a |,|b |, <a ,b >． 解 a ·b ＝(−1)( −3)＋2×1＝5；|a |＝22(1)25⋅=-+=a a ； |b |＝22(3)110⋅=-+=b b ； cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ＝522105=， 所以 <a ,b >＝45． 例5 判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a ＝(−2, 3), b ＝(6, 4)； (2) a ＝(0, −1), b ＝(1, −2)．解 (1) 因为a ·b ＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a ⊥b ． (2) 因为a ·b ＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a 与b 不垂直．引领 讲解 说明 引领 分析 强调 含义 说明思考 主动 求解 观察 思考 求解 领会 思考 求解讲解 说明 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调70 *运用知识 强化练习1． 已知a ＝(5, −4)，b ＝(2,3)，求a ·b ． 2． 已知a ＝(1,3)，b ＝(0,3)，求<a ,b >．3． 已知a ＝(2, −3)，b ＝(3,－4)，c ＝(−1,3),求a ·(b ＋c )． 4. 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a ＝(−2, −3)，b ＝(3, −2)； (2) a ＝(2,0)，b ＝(0, −3)； 启发 引导提问巡视指导思考 了解 动手 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况过程行为行为意图间(3) a＝(−2,1)，b＝(3,4)．5. 求下列向量的模：(1) a＝(2, −3)，(2) b＝(8, 6 )．80 *理论升华整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即a·b＝｜a||b|c os<a, b>(7.10) a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积．质疑归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况83*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝(5, − 4),b＝(2,3),求a·b．2.已知a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求a·(b＋c)．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88*继续探索活动探究(1)读书部分：阅读教材(2)书面作业：教材习题7.3 A组（必做）；7.3 B组（选做）(3)实践调查：编写一道向量内积问题并解答．说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；。
【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中： （1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180o 时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】【教师教学后记】（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）。
向量的内积及其运算向量的内积已知两个非零向量a 和b ，作OA a = ，OB b = ，则AOB ∠就叫做向量a 与b 的夹角．记作,a b 〈〉．我们规定，0,180a b ︒≤〈〉≤︒．当,90a b 〈〉=︒时，我们说向量a 与b 垂直，记作a b ⊥．我们把a 的长与b 在a 方向上正射影的数量cos ,b a b 〈〉的乘积叫做向量a 与b 的内积．记作a b ．即cos ,a b a b a b =〈〉 (1)由上述定义可知，两个向量a 与b 的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零． 根据向量内积的定义，可以得到两个向量内积有如下重要性质：(1) 如果e 是单位向量，则cos ,a e e a a a e ==〈〉 ；(2) 0a b a b ⊥⇔=；(3) 2a a a a == 或 (4) cos ,a b a b a b〈〉= ； (5) a b a b ≤ ．以上性质的证明留给同学作为练习．例1 已知5a =，4b =，,120a b 〈〉=︒，求a b ． 解：cos ,a b a b a b =〈〉54cos12010.=⨯⨯︒=- 练习A1．已知a ，b ，,a b 〈〉，求a b ． (1) 8a =，4b =，,60a b 〈〉=︒； (2) 7a =，12b =，,120a b 〈〉=︒； (3) 4a =，2b =，,2a b π〈〉=；(4) 4a =，1b =，,0a b 〈〉=．2．已知a b ，a b ，求,a b 〈〉．(1) 5a b = ，10a b =；(2) 8a b =- ，16a b =；(3) 25a b =- ，25a b =；(4) a b = 12a b =．练习B1．已知5a =，b 在a 方向上的正射影数量如下，求a b ．(1) 6； (2) -6； (3)8； (4) -8．2．在直角坐标系xOy 内，已知向量AB 与x 轴和y 轴的正向的夹角分别为120︒和30︒，求AB 在x 轴、y 轴上正射影的数量．向量内积运算律向量的内积运算满足如下运算律：(1) a b b a =； (2) ()()()a b a b a b λλλ==； (3) ()a b c a c b c +=+． 例2 求证： (1) 22()()a b a b a b +-=- ； (2) 2222a b a a b b +=++ ； (3) 2221()2a b a b a b =+-- ． 证明：(1) 22()()a b a b a a a b b a b b a b +-=-+-=-；(2) 222()()2a b a b a b a a a b b a b b a a b b +=++=+++=++ ；(3) 由(2)式解出a b ，即得2221()2a b a b a b =+-- ． 例3 求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线．求证：AC BD ⊥．证明：,AC AB AD BD AD AB =+=- ，22()().AC BD AB AD AD AB AD AB ∴=+-=- AB AD = ．0AC BD ∴= ． AC BD ⊥ 即．AC BD ∴⊥．练习A1．已知3a =，4b =，,60a b 〈〉=︒，求(2)(3)a b a b +-． 2．已知6a =，8b =，,120a b 〈〉=︒，求2a b +,a b +．3．在ABC ∆中，已知3AB = ，5BC = ，60ABC ∠=︒，求AC ．练习B1．在ABC ∆中，已知8AB =，7BC =，150ABC ∠=︒，求AC 的长．2．对任意向量a 、b ，求证：22222()a b a b a b ++-=+．向量内积的坐标运算在直角坐标平面xOy 内，已知1e 、2e 分别为x 轴、y 轴的基向量，12(,)a a a =，12(,)b b b =，则1122a b a b a b =+ ． (2)证明：112211221111121221212222()().a b a e a e b e b e a b e e a b e e a b e e a b e e =++=+++因为 112212211,0,e e e e e e e e ====所以 1122a b a b a b =+ ．例5 已知(3,1)a =-，(1,2)b =-．求a b ，a ，b ，,a b 〈〉．解：(3,1)(1,2)325a b =--=+=，a b ======cos ,2a b a b a b 〈〉=== ， ,4a b π∴〈〉=． 例6 已知：点A(1,2)、(2,3)B 、(2,5)C -．求证：AB AC ⊥ ．证明：(2,3)(1,2)(1,1),(2,5)(1,2)(3,3),(1,1)(3,3)0,AB AC AB AC =-==--=-=-= AB AC ∴⊥ ．注 两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的内积等于零，因此可通过计算两向量的内积来证明两条直线或两个向量垂直．练习A1．已知向量,a b 的坐标，求,,cos ,a b a b a b 〈〉 及：(1) (4,5)a =，(4,3)b =-；(2) (3,5)a =，(5,3)b =-；(3) (8,5)a =，(7,8)b =--；(4) (11,2)a =-，(3,9)b =．2．已知：A(1,2)，(5,8)B -，(2,1)C --．求证：2BAC π∠=．练习B1．已知向量(,),(,),a m n b n m ==-求证a b ⊥．2．已知向量(1,0),(1,1),a b ==求λ的值，使a b λ+与a 垂直．3．已知点A(-1,2)、(5,4)B ，点C 在x 轴上，且CA CB ⊥，求点C 的坐标． 4．已知三角形的三个顶点是A(6,3)、(9,3)B 、(3,6)C ，求AB AC 和BAC ∠的度数．。
向量的内积及其运算考点解析及例题讲解已知e1，e2是直角坐标平面上的基向量，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，你能推导出a·b的坐标公式吗？探究过程a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)＝a1b1e1·e1＋a1b2e1·e2＋a2b1e1·e2＋a2b2e2·e2，又因为e1·e1＝1，e2·e2＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝a1b1＋a2b2．定理在平面直角坐标系中，已知e1，e2是直角坐标平面上的基向量，两个非零向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和．我们还可以得到以下结论：(1)向量垂直的充要条件为a⊥b a1 b1＋a2 b2＝0；(2)两向量夹角余弦的计算公式为cos‹a，b›＝a1b1＋a2b2a12＋a22b12＋b22．问题：(1)若已知a＝(a1，a2)，你能用上面的定理求出|a|吗？解因为|a|2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2)＝a12＋a22，所以|a|＝a12＋a22．这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式．AB|吗？(2)若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出|→解因为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以→AB＝(x2－x1，y2－y1)．因为|a|＝a12＋a22，所以AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，|→这就是根据两点的坐标求两点之间的距离公式．例1 设a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1) a·b；(2) |a|；(3) |b |；(4)‹a，b›．解(1)a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5；(2) |a|＝32＋(－1)2＝10；(3) |b |＝12＋(—2)2＝5；(4) 因为cos‹a ，b ›＝||||b a b a ＝510×5＝22， 所以‹a ，b ›＝π4．例2已知A (2，－4)，B (－2，3)，求|→AB |．解因为A (2，－4)，B (－2，3)，所以→AB ＝(－2，3) －(2，－4)＝(－4，7)，所以|→ AB |＝72＋(－4)2＝65．例3已知A (1，2)，B (3，4)，C (5，0)，求证：△ABC 是等腰三角形．证明 因为→AB ＝(3－1，4－2)＝(2，2)，→AC ＝(5－1，0－2)＝(4，－2)，→BC ＝(5－3，0－4)＝(2，－4)，|→AC |＝42＋(－2)2＝20，|→BC |＝22＋(－4)2＝20，所以|→AC |＝|→BC |．因此△ABC 是等腰三角形．例4已知A (1，2)，B (2，3)，C (－2，5)，求证：→AB ⊥→AC ． 证明 因为→AB ＝(2－1，3－2)＝(1，1)，→AC ＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)，可得→AB ·→AC ＝(1，1)·(－3，3)＝0．所以→AB ⊥→AC ．综合训练1.a 与b 的夹角为30。
【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力． 【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式. 【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角． 【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础． 【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】+Fcos30OA与OB 夹角，记作a=+x22x y+判断下列各组向量是否互相垂直：【教师教学后记】。
向量内积的坐标运算与距离公式向量的内积，也叫点积或数量积，是一个很重要的概念，常用于几何学、物理学和工程学等领域的问题求解中。
本文将详细介绍向量内积的坐标运算和距离公式。
一、向量的内积向量的内积定义如下：对于二维向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，它们的内积表示为A·B=x1*x2+y1*y2对于三维向量A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)，它们的内积表示为A·B=x1*x2+y1*y2+z1*z2更一般地，对于n维向量A = (x1, x2, ..., xn)和B = (y1,y2, ..., yn)，它们的内积表示为A·B = x1*y1 + x2*y2 + ... +xn*yn。
内积有以下重要的性质：1.交换律：A·B=B·A2.分配律：A·(B+C)=A·B+A·C3.结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)，其中k是一个常数二、向量内积的坐标运算当我们给出向量的坐标时，可以通过坐标运算来计算向量的内积。
设A=(x1,y1)和B=(x2,y2)是二维向量，它们的内积可以表示为A·B=x1*x2+y1*y2例如，当A=(2,3)和B=(4,1)时，它们的内积为A·B=2*4+3*1=11设A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)是三维向量，它们的内积可以表示为A·B=x1*x2+y1*y2+z1*z2例如，当A=(1,2,3)和B=(4,5,6)时，它们的内积为A·B=1*4+2*5+3*6=32三、向量的距离公式向量的距离公式是用来计算两个向量之间的距离的公式。
对于二维向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，它们之间的距离表示为d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。
例如，当A=(2,3)和B=(4,1)时，它们之间的距离为d=√((4-2)^2+(1-3)^2)=√8=2√2对于三维向量A=(x1,y1,z1)和B=(x2,y2,z2)，它们之间的距离表示为d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。
