平面向量内积坐运算
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平面向量内积坐运算———————————————————————————————— 作者： ———————————————————————————————— 日期：2课 题：平面向量数量积的坐标表示教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式新疆 王新敞奎屯⑶能用所学知识解决有关综合问题 新疆 王新敞 奎屯教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与 b，作OA＝a，OB＝ b，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫a与 b的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与 b，它们的夹角是θ，则数量|a|| b|cos叫a与 b的数量积，记作a b，即有a b=|a|| b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0 新疆 王新敞奎屯3．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与 b在a方向上投影| b|cos的乘积新疆 王新敞奎屯4．两个向量的数量积的性质：设a、 b为两个非零向量，e是与 b同向的单位向量新疆 王新敞奎屯1 e a =ae=|a|cos；2a ba b=03当a与 b同向时，a b=|a|| b|；当a与 b反向时，a b = | a || b |新疆王新敞奎屯特别的 a a = | a|2 或| a| a a34cos = | aa||bb|；5|a b|≤|a|| b|5． 平面向量数量积的运算律交换律： a b= ba数乘结合律：(a) b=(a b)=a( b)分配律：( a + b)c=a c+ bc二、讲解新课：⒈平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a( x1 ,y1 ) ，b(x2,y2)，试用a和 b的坐标表示ab新疆 王新敞奎屯设 i 是 x 轴上的单位向量， j 是 y 轴上的单位向量，那么a x1i y1 j ， b x2i y2 j所以a b (x1i y1 j )( x2i y2 j) x1 x2i 2 x1 y2i jx2 y1i jy1 y2 j2 又i i 1， j j 1，i j j i 0所以a bx1 x2y1 y2这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 新疆 王新敞 奎屯即a bx1 x2y1 y22.平面内两点间的距离公式（1）设 a (x, y) ，则| a|2 x2 y 2 或| a|x y 22新疆 王新敞奎屯（ 2 ） 如 果 表 示 向 量 a的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 (x1, y1 ) 、(x2 , y2 ) ，那么| a| (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定设 a ( x1 , y1 ) ， b (x2 ,y2 ) ，则 a bx1 x2y1 y2044.两向量夹角的余弦（ 0 ）cos=|a ba| | b|x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2三、讲解范例：例1设a=(5,7)， b=(6,4)，求a b解：a b=5×(6)+(7)×(4)=30+28=2例2已知a(1,2)， b(2,3)，c(2,5)，求证：△ABC是直角三角形 新疆 王新敞奎屯证明：∵ AB =(21, 32) = (1, 1), AC = (21, 52) = (3, 3)∴ AB AC =1×(3) + 1×3 = 0 ∴ AB AC∴△ABC 是直角三角形例3已知a=(3,1)， b=(1,2)，求满足xa=9与x b 新疆 = 4 的向量 x 王新敞奎屯解：设 x=(t,s)，由xxba94 3t t s9 2s 4t 2 s 3∴ x=(2,3)例 4 已知 a＝（１， 3 ），b ＝（3 ＋１，3－１），则a与 b的夹角是多少?分析：为求a与 b夹角，需先求a b 及｜a｜·｜ b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.解：由 a＝（１， 3 ）， b ＝（3 ＋１，3 －１）有a· b＝3 ＋１＋3（3－１）＝４，｜a｜＝２，｜ b｜＝２2．记a与 b的夹角为θ，则cosθ＝a ba b2 2又∵０≤θ≤π，∴θ＝ 45评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例 5 如图，以原点和 A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC，使 b = 90，求点 b 和向量 AB 的坐标新疆 王新敞 奎屯 解：设 b 点坐标(x, y)，则 OB = (x, y)， AB = (x5, y2)∵ OB AB ∴x(x5) + y(y2) = 0 即：x2 + y2 5x 2y = 0又∵| OB | = | AB | ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2 即：10x + 4y = 29由x2 y25x10x 4 y 292y0 x1 y1 7 2 3 2 或 x2 y2 32 72∴ b点坐标(7,3)或(3,7)；AB=(3,7)或(7,3)2 2 222222例 6 在△ABC 中， AB =(2, 3)， AC =(1, k)，且△ABC 的一个内角为直角，求 k 值新疆 王新敞 奎屯解：当 a = 90时， AB AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 3 2 当 b = 90时， AB BC = 0， BC = AC AB = (12, k3) = (1, k3)∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k = 11 3当 C= 90时， AC BC = 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k = 3 13 2四、课堂练习：1.若a=(-4,3), b=(5,6),则3|a|２－４a b ＝（）A.23B.57C.632.已知a(1,2), b(2,3),c(-2,5)，则△abc为（D.83 ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形3.已知a=(4,3),向量 b是垂直a的单位向量，则 b等于（）6A. (3 , 4) 或 ( 4 , 3) 55 55B. (3 , 4) 或 ( 3 , 4)5555C. (3 , 4) 或 ( 4 , 3)5555D. (3 , 4) 或 ( 3 , 4)55554.a=(2,3), b=(-2,4),则(a+ b)·(a- b)=.5.已知 a(3，2)，b (-1，-1)，若点 P(x,- 1 )在线段 ab 的中垂线上，则 x=.26.已知a(1，0)， b(3，1)，c(2，0)，且a=BC, b=CA,则a与 b的夹角为.参考答案：1.D 2.A 3.D 4. –7 5. 7 6.45° 4五、小结 两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示六、课后作业：1.已知a=(2,3), b=(-4,7),则a在 b方向上的投影为（）A. 13B. 13 5C. 65 5D. 652.已知a=(λ，２)，b=(-3,5)且a与 b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）A.λ＞ 10 3B.λ≥ 10 3C.λ＜ 10 3D.λ≤ 10 33.给定两个向量a=(3,4), b=(2,-1)且(a+x b)⊥(a- b),则x等于（）A.23B. 23C. 23234.已知| a|=10, b=(1,2)且a∥ b,则a的坐标为D. 23 4.5.已知a=(1,2), b(1,1),c= b-ka,若c⊥a，则c＝.6.已知a=(3,0), b=(k,5)且a与 b的夹角为3，则k的值为.47.已知a=(3,-1), b=(1,2),求满足条件x·a=9与 x· b=-4的向量x.8.已知点 A (1，2)和 B (4，-1)，问能否在 y 轴上找到一点 C，使∠ABC＝90°，7若不能，说明理由；若能，求 C 点坐标.9.四边形 ABCD 中= AB (6,1), BC =(x,y)， CD =(-2,-3),(1)若 BC ∥ DA ，求 x 与 y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有 AC ⊥ BD ,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积.参考答案：1.C 2.A 3.C 4.（ 2 ，２ 2 ）或（- 2 ，－２ 2 ）5.( 2 , 1 ) 556.-5 7.(2,-3) 8.不能(理由略)9.(1)x+2y=0(2)x y 36或xy 2 1S 四边形 ABCD=16七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：已知a＝（3，4）， b＝（4，3），求x,y的值使(xa+y b)⊥a，且｜xa+y b｜=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a＝（3，4）， b＝（4，3），有xa+y b=(3x+4y,4x+3y)又（xa+y b）⊥a(xa+y b)·a＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0即 25x+24y＝０①又｜xa+y b｜=1｜xa+y b｜２＝１（３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１整理得：25x２＋48xy+25y２＝１即 x(25x+24y)+24xy+25y２＝１②由①②有 24xy+25y２＝１③将①变形代入③可得：y=± 5 7再代回①得： x y 24 35 57 和 x y 5 724 358。
