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x0
x 0
limf(x)limxsin10,
x0
x0
x
左极限存在, 右极限存在,
lim f(x)limf(x) limf(x) 不存在.
x 0
x0
x0
一、填空题:
练习题
1 、x当 2时y ， x2 4 ，问 取 _当 _ 时 _ ， 只0要 x2，必 y4有 0.00 . 1
2、当 x 时y， x x2 2 1 3 1，问 z取 当 ______ 时，x 只 z， 要必 y有 10.01 .
f(x)A
过程 时刻
xx0
xx0
xx0
从此时刻以后 0xx0 0xx0 xx 00
f (x)
f(x)A
思考题
x
sin
1 x
,
试 问 函 数 f ( x ) 10,
5 x2,
x0 x 0 在x 0 处
x0
的左、右极限是否存在？当x 0 时， f (x) 的
极限是否存在？
思考题解答
limf(x)lim (5x2)5,
左极限 0,0,使x0当 xx0时 , 恒f有 (x)A.
记 x lx 0 i 作 0m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
右极限 0,0,使x0当 xx0时 , 恒f有 (x)A.
记 x lx 0 i 作 0m f(x ) A或 f(x 0 0 ) A . (x x 0 )
f (x)当x x0时的极限,记作
lim f (x) A 或
xx0
f (x) A(当x x0)
""定义 0,0,使0 当 xx0时 ,
恒f有 (x)A.
注意：1.函数极 f(x)限 在x 与 点 0是否有定 ; 义
2.与任意给定的 有正 关 . 数
2.几何解释:
当
x
在
x
的去心
0
邻
域时 ,函数 y f ( x )
y sin x x
limnsin11,
n
n
limnsin1 1,
n
n
ln i m nn21sinnn211
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极 限都存在,且相等.
例7 证明 limsin1不存.在 x0 x
证 取xnn1,
ln im xn 0, 且xn0;
y sin 1 x
2、 39.7
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3.不等式性质
定理(保序性) 设 lif m (x )A ,lig m (x ) B .
x x 0
x x 0
若 0 , x U 0 (x 0, )有 ,f(x )g (x )则 ,A B .
推论 设 lim f(x )A ,lig m (x )B ,且 A B
x x 0
x x 0
则 0 , x U 0(x 0, )有 ,f(x )g (x ).
图形完全落在以直
y
A
A
A
yf(x)
线 y A 为中心线 ,
宽为 2 的带形区域内 . o x0 x 0 x0
x
显,找 然到 后 一 ,越 个 小 . 越好
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2 证l明 im CC,(C为常 ). 数 x x0
证 任给 0, 任取 0, 当 0xx 0 时 ,
f(x)ACC 0 成立, limCC. xx0
x 0
1
o
x
1
x lim
limx
lim11
x x x0
x0
x0
左右极限存在但不相等, limf(x)不存. 在 x0
三、函数极限的性质
1.有界性
定理 若在某个过程下,f(x)有极限,则存在 过程的一个时刻,在此时刻以后f(x)有界.
2.唯一性
定 理 若 lif( m x ) 存 在 ,则 极 限 唯 一 .
1-4函数的极限00599
3.几何解释:
X
y sin x x
A
X
当 xX或 xX时 ,函y数 f(x)图形完全落 直y线 A为中,心 宽2 线 为 的带形. 区域内
例1 证明 limsinx0. x x
y sin x x
证 sinx0sinx
x
x
1 x
1 X
,
0,
取
X
1,
则当 xX时恒有
当 0xx 0 时 ,就有xx2112,
x2 1 lim 2.
x1 x1
例5 证 :当 x 明 0 0 时 ,x l x i0 m x x 0 .
证 f ( x ) A x x 0
x x0 x x0 ,
x x0
x0
任给 0, 要f(使 x )A ,
只x 要 x0 x0且不取 .取 负 m 值 x 0 i,n x 0 { },
sinx0 , x
故limsinx0. x x
定:义 如l果 im f(x)c,则直 yc线 是函 yf数 (x) x
的图形的. 水平渐近线
二、自变量趋向有限值时函数的极限
问 题 :函 数 yf(x)在 x x0的 过 程 中 ,对 应 函 数 值 f(x)无 限 趋 近 于 确 定 值 A .
f(x )A 表f(示 x )A 任;意小
0xx 0 表 x 示 x 0 的.过程
x0
x0
x0 x
点 x0的去 邻 心 ,域 体x接 现x0 近 程.度
1. 定义:
定义2 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正数,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切x,对应的函数值f (x) 都 满足不等式 f (x) A ,那末常数A 就叫函数
证 lim f(x)A x x0 0,0,使0 当 xx0时 ,恒有 f(x)A. 又 l n i x n m x 0 且 x n x 0 , 对上 0, 述 N0,使n 当 N 时 ,恒有 0xnx0. 从而 f(x n ) 有 A , 故 lx i m f(xn)A .
例如, limsinx 1 x0 x
lim f(x)A; lim f(x)A; lim f(x)A;
x
x
x
limf(x)A; limf(x)A;
xx0
xx0
limf(x)A.
xx0
lim f(x)A0,时,刻 从此时,刻以
恒有 f(x)A. (见下表)
过 程 n x x x
时刻
N
从此时刻以后 nN x N xN xN
f (x)
定理(保号性) 若 lifm (x ) A ,且 A 0 (或 A 0 ), x x 0
则 0 ,当 x U 0 (x 0 , )时 ,f(x ) 0 (或 f(x ) 0 ).
推论 若 x l ix 0m f(x )A ,且 0 ,当 x U 0(x 0, )时 , f(x )0 (或 f(x )0 )则 ,A 0 (或 A 0 ).
取
xn
4n
1
1
,
ln i mxn 0,
且xn0;
2
而lim sin1lim sin 0,
x n
n n
而 lim si1 nlim si4n n1
x n
n n
2
lim1 1, n
二者不相等, 故limsin1不存.在 x0 x
四、小结
函数极限的统一定义
lim f(n)A;
n
例3 证x l明 ix0m xx0.
证 f ( x ) A x x 0 ,任给 0, 取,
当 0 x x 0 时 ,
f(x ) A x x 0成立, xl ixm 0 xx0.
例4 证明 limx212. x1 x1
证 函数在点x=1处没有定义. f(x)Axx2112 x1 任给 0, 要f(使 x )A , 只要取 ,
当 0xx 0 时 ,就x 有 x0,
limx xx0
x0.
3.单侧极限:
例如,
设
f
(x)
1 x, x2 1,
证明limf(x) 1. x0
x0 x0
y
y1x
1
yx2 1
o
x
分x0和x0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋x0近 , 记 x 作 x 00 ;
x从右侧无限趋x0近 , 记 x 作 x 00 ;
注 :{ x 0 意 x x 0 } { x 0 x x 0 } { x x x 0 0 }
定 : x l x 0 i f ( x ) m 理 A f ( x 0 0 ) f ( x 0 0 ) A .
例6 验证limx 不存.在 x0 x
y
证 limxlimx x0 x x0 x lim (1)1
4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定义 设在过 x 程a(a可以x是 0,x0,或x0)中 有 数x列 n(a),使 得 n时xn a.则 称 数 列
f(xn),即f(x1),f(x2),, f(xn),为函f数 (x)
当xa时的子 . 列
定理 若 lx iaf m (x )A ,数 f(x 列 n)是 f(x )当 x a 时的,一 则 ln i 个 有 f m (x n) 子 A . 列
二、用函数极限的定义证明：
1、 lim 1 4 x 2 2
x1
2
2x 1
2、 lim sin x 0 x x
三、试 :函 证数 f(x)当xx0 时极限存在的充分 必要条件是左极 极限 限各 、自 右存在.并且相
四、讨论： (x)函x在 数x0时的极限是否
x 存在 ?
