函数极限的几种特殊求法

极限求法总结极限是微积分中的一个重要概念，是研究函数变化趋势的基础。

在求解极限的过程中，我们常常会使用一些常用的技巧和方法。

下面我将对常见的极限求法进行总结，详细说明每种方法的步骤和应用场景。

一、直接代入法当函数在某个点有定义并且极限存在时，我们可以通过将变量直接代入函数中计算出极限的值。

例如，对于 f(x) = x^2 - 1，当 x -> 2 时，我们可以将 x 的值替换为 2，计算出 f(2) 的值。

这种方法适用于函数在该点有定义且不产生未定义结果的情况。

二、分子有理化法有些极限问题中，分子含有根式、分母含有分式等情况，为了便于计算，我们可以使用有理化方法。

主要有三种情况：有理化分母、有理化分子和有理化共轭。

1. 有理化分母：当分母中含有根式时，我们可以通过乘上分母的共轭形式，并利用差平方公式，将根式有理化为有理数。

例如，对于f(x) = 1/√x，当 x -> 4 时，我们可以乘上分母的共轭√x，得到f(x) = √x/√x^2，再利用 x^2 - a^2 = (x - a)(x + a) 的差平方公式，化简出分母为 (x - 4)。

接着我们可以直接代入计算。

2. 有理化分子：当分子中含有根式时，我们可以通过乘上分子的共轭形式，并利用和平方公式，将根式有理化为有理数。

例如，对于f(x) = √x + 1，当 x -> 2 时，我们可以乘上分子的共轭√x - 1，得到f(x) = (√x + 1)(√x - 1)/(√x - 1)，再利用 a^2 -b^2 = (a - b)(a + b) 的和平方公式，化简后得到 f(x) = (x - 1)/(√x - 1)。

接着我们可以直接代入计算。

3. 有理化共轭：当分式中含有复杂的分母，我们可以根据分母的共轭形式，将分式有理化为分子和分母之间关于负号的组合。

例如，对于 f(x) = 1/(x + 3)^2，当 x -> -3 时，我们可以将分子和分母都乘上 (x + 3)^2 的共轭 (-x - 3)^2，然后化简分子和分母。

高数中求极限的16种方法——好东西首先对极限的总结如下:极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）二、求极限的方法如下：1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。

全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0注意：罗比达法则分为3种情况0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。

通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！）E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！5.无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。

面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6.夹逼定理（主要对付数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

极限的六种求法1、代入法作者：教资备考群（865061525）之管理员，—━☆知浅づ如果自变量所趋近的值，能使函数有意义，就可以直接代入函数表达式中。

注：能使函数有意义，就是这个自变量在函数的定义域内。

【例】limx→2 x2x3 + 1− 2x + 3=( )。

2解：x2 − 2x + 3 = （x − 1）+ 2 ≥ 2 ≠ 0可见该函数的定义域是x3 + 1 R，所以可以直接将8 + 1x = 2 代入x3 + 1 。

x2 − 2x + 3limx→2 x2− 2x + 3 = limx→24 − 4 + 3= 3。

2、约公因子法如果自变量所趋近的值，使得函数没有意义。

可以考虑约公因子，将其约去。

因此经常运用因式分解。

【例】limx→3x2−x− 6x−3=( ) 。

解：这里发现，该函数的定义域为{x|x ≠ 3}。

如果x → 3，会使得函数没有意义。

因此考虑约公因子。

lim x→3x2−x−6x− 3= limx→3(x− 3)（x + 2）x− 3= lim(x + 2) = 5。

x→30 ⎩ x x x3、最高次幂法当函数是分式形式，且分子、分母都是多项式时，可以使用最高次幂法求极限。

它的原理，就是分子分母同时除以自变量的最高次幂。

这样自变量趋近于无穷大时， 那些比最高次幂低的项，直接就变为 0 了。

最高次幂法也俗称抓大头。

a⎧ ，n = m ， a x m + a x m−1 + ⋯ + a⎪b 0lim 0 1 m = x→∞ b 0x n + b 1x n−1 + ⋯ + b n ⎨0，n > m ， ⎪∞，n < m 。

【 例 】10x 4 + 6x 3 − x 2 + 3( ) 。

1 limx→∞2x 4 − x 2 − 9x=首先，观察到函数是个分式的形式。

其次，分子跟分母的最高次幂都是 4；最后，求极限直接用最高次幂法，原式 = 10= 5。

2那么，不妨拿这个例子，验证一下最高次幂法的原理。

求极限的几种方法在数学分析中，求极限是一种重要的技巧和方法，用于研究数列、函数的收敛性和特性。

对于求极限的方法，可以总结为以下几类：代入法、夹逼法、等价无穷小代换法、洛必达法则、泰勒展开精确到n次、换元法、分数分解法、递归关系法等。

一、代入法：代入法是求函数极限的最基本的方法之一，适用于绝大多数最简单的函数。

通过将自变量值代入函数中，得到具体的函数值，看函数的值是否有限并趋于确定的值，如果有限且趋于确定的值，则可以认为该函数极限存在，并等于该确定的值。

当然，代入法只是一种相对简单和直观的方法，并不适用于复杂函数的极限计算。

二、夹逼法：夹逼法也被称为迫敛法或挤压定理，适用于数列或函数的极限计算。

当数列或函数存在上、下界，且上、下界的极限都为所求极限时，可以通过夹逼法来证明所求极限的存在并求得。

三、等价无穷小代换法：等价无穷小代换法是一种常用的得到极限的方法之一，将一个复杂的极限问题转化成一个简单的等价无穷小求极限问题。

其主要思想是将原函数与理论已知的函数进行比较，找出它们之间的等价关系，进而得到原函数的极限。

常用的等价无穷小有：指数、对数、三角函数等。

四、洛必达法则：洛必达法则是求函数极限的常用方法之一，主要用于求解0/0型或∞/∞型的极限。

其基本思想是将函数的极限转化成求导数的极限。

通常情况下，通过不断使用洛必达法则，可以通过求多次极限最终得到函数的极限。

五、泰勒展开精确到n次：对于有限次求导的函数，可以使用泰勒展开式来近似估计函数极限。

泰勒展开式是用若干项之和来逼近一个函数的方法，通过将函数展开成多项式形式，可以在一定程度上表示出原函数的性质。

通常情况下，使用泰勒展开精确到n次可以更加准确地求得函数的极限。

六、换元法：换元法也称为特殊换元法，通过选择合适的换元变量，将原来复杂的极限问题转化成更加简单的极限计算问题。

常见的换元方法有：取代法、正弦替换法、余弦替换法、平方根替换法等。

七、分数分解法：分数分解法是一种常用的计算复杂函数极限的方法，通过将极限问题利用分式相除的形式，将复杂的极限表达式化简成多个简单函数之比的极限表达式，进而进行求解。

求极限的方法在数学中，求极限是一种重要的技巧，用于分析函数在某个点的行为。

下面介绍几种常见的求极限的方法。

1. 代入法：当函数在某个点处存在有限的定义时，可以直接将该点的值代入函数中得到极限值。

例如，求函数f(x) = 2x在x=3处的极限，可以将x=3代入函数中，得到f(3) = 2 * 3 = 6。

2. 因式分解法：当函数可以进行因式分解时，可以利用因式分解的性质来求解极限。

例如，求函数g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)在x = 2处的极限，可以先进行因式分解得到g(x) = (x + 2)，然后将x = 2代入函数中，得到g(2) = 2 + 2 = 4。

3. 夹逼定理：当函数的极限难以直接求解时，可以利用夹逼定理来求解。

夹逼定理的核心思想是找到两个函数，它们的极限分别趋近于所求极限，然后利用夹逼定理来得到所求极限的值。

例如，求函数h(x) = sin(x)/x在x = 0处的极限，可以通过夹逼定理，将h(x)夹在函数i(x) = 1和函数j(x) = x之间，显然，i(x)和j(x)的极限分别为1和0，因此根据夹逼定理，h(x)的极限为1。

4. 泰勒展开法：当函数的极限无法通过以上方法求解时，可以利用泰勒展开来近似计算极限。

泰勒展开是将函数在某一点处展开成无穷项幂级数的形式，利用一定数量的项来近似原函数。

例如，求函数k(x) = e^x在x = 0处的极限，可以利用泰勒展开公式e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...，将x = 0代入泰勒展开公式中，得到k(0) = e^0 = 1。

以上是几种常见的求极限的方法，根据具体问题的不同，可以选用不同的方法来求解极限。

求极限的方法总结求极限是数学分析中的一个重要概念，用于描述函数在某一点的变化趋势，包括函数趋于无穷大、无穷小、某一常数以及其他特殊情况等。

在解题过程中，需要灵活运用各种极限的计算方法，掌握不同类型极限的求解技巧。

下面将对常见极限的求解方法进行总结。

一、几种常见的极限类型1. 无穷大与无穷小极限当自变量趋于无穷大或无穷小时，函数的极限值称为无穷大或无穷小极限。

在计算过程中，可以利用以下方法求解：（1）使用等价无穷小替换法，将复杂的函数替换为更简单的无穷小，从而求出极限；（2）利用夹逼准则，通过找到两个函数夹住待求函数，确定其极限范围；（3）使用洛必达法则，计算函数的导数与求导后函数的极限，进而求得原函数的极限。

2. 常数极限当自变量趋于某一常数时，函数的极限称为常数极限。

常见的求解方法包括：（1）直接计算法，将自变量带入表达式中，求解对应的极限值；（2）利用函数的连续性，根据定义进行计算；（3）使用复合函数的性质，将函数分解为多个部分，然后计算各部分的极限。

3. 极限的两侧性质当自变量趋于某一点的左右两侧时，函数的极限可能存在不同的值。

这时可根据函数的性质和定义来判断其左右极限是否相等，常用的方法有：（1）利用函数的连续性，判断函数在特定点处是否连续，以及左右极限是否相等；（2）使用夹逼准则，确定左右极限的取值范围。

4. 极限存在性的判定在有些情况下，函数的极限可能不存在。

判断函数是否存在极限的方法有多种：（1）使用保号性质，判断是否存在有界变量和无穷小数列；（2）利用函数的性质，如奇偶性、周期性等，判断函数在某一点的趋势。

二、极限的计算方法1.常用求极限的基本运算法则（1）常数运算法则：如果f(x)和g(x)的极限都存在，那么常数c * f(x)和f(x) ± g(x)的极限也存在，并且满足以下关系：lim(c * f(x)) = c * lim(f(x)),lim(f(x) ± g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x))。

求函数极限的方法与技巧函数极限的计算是数学中常见且重要的问题，对于深入理解函数行为和解决实际问题具有重要意义。

以下是一些计算函数极限的常见方法和技巧：1. 代入法：当函数只有一个变量的时候，可以通过将变量代入函数中来计算极限。

这种方法适用于简单的函数和简单的极限问题。

2. 四则运算法则：对于复杂的函数，可以利用四则运算法则简化极限计算。

四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法，通过对函数表达式进行合理的变形和简化，可以得到更简单的极限计算形式。

3. 夹逼定理：夹逼定理也称为挤压定理，是一种计算极限的重要方法。

当一个函数在某个点附近夹在两个已知函数之间时，可以利用这个夹逼关系来求函数的极限。

4. 分数分解法：对于含有分数的函数，可以利用分数分解法将其分解为分子和分母的极限，然后分别计算两个极限。

5. 洛必达法则：洛必达法则是计算极限的一种重要方法。

当求函数的极限遇到不确定型的形式（如0/0或∞/∞）时，可以利用洛必达法则，将函数转化为两个函数的极限比值，然后再进行计算。

6. 泰勒展开法：泰勒展开是一种将函数在某一点附近用多项式逼近的方法。

当函数在某一点处极限求解困难时，可以用泰勒级数展开来近似计算极限。

7. 对数换底法：对数换底法是计算一些特殊形式的极限的一种有效方法。

当函数中含有对数函数，并且指数不同底时，可以通过换底公式将其转化为更简单的形式。

8. 常用极限：熟记一些常用的函数极限是计算极限的一个重要技巧。

常用的函数极限包括指数函数、对数函数、三角函数等的极限，可以通过记忆和推导得到。

计算函数极限的方法和技巧很多，选择合适的方法和技巧对于解决极限问题非常重要。

需要根据具体的函数形式和问题特点选取合适的方法，并在计算中灵活应用各种技巧，从而有效地计算函数的极限。

函数极限的十种求法设 f （x ）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求： 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处的极限存在？ 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处连续？ 注：f （x ）=xsin 1/x +a, x< 0 b+1, x=0 X^2-1, x>0 解：f(0)＝b+1左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a ＝a 左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1f(x)在x ＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)， 所以a ＝-1＝b+1， 所以a ＝-1，b ＝-27.利用等价无穷小量代换求极限例 8 求极限30tan sin lim sin x x xx→-． 解 由于()s i n t a ns i n 1c os c o s xx x x x-=-，而 ()sin ~0x x x →，()21cos ~02x x x -→，()33sin ~0x x x →故有23300tan sin 112lim lim sin cos 2x x x x x x x x x →→⋅-=⋅=． 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()t a n ~0x x x →，()s i n ~0x x x →，而推出 3300tan sin limlim 0sin sin x x x x x xx x→→--==， 则得到的式错误的结果．附 常见等价无穷小量()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()21cos ~02x x x -→，()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0x e x x -→， ()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x αα+-⋅→． 8 利用洛比达法则求极限洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞型不定式极限．用此种方法求极限要求在点0x 的空心领域()00U x 内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．例1 求极限21cos limtan x xxπ→+．解 由于()2l i m 1c o s l i m t a n 0x x x x ππ→→+==，且有()1cos 'sin x x +=-，()22tan '2tan sec 0x x x =≠，由洛比达法则可得21cos lim tan x xxπ→+2s i nl i m 2t a n s e cx x x x π→-=3cos lim 2x x π→⎛⎫=- ⎪⎝⎭12=． 8.利用定义求极限1．()()()000'limx x f x f x f x x x →-=-，2．()()()0000'limh f x h f x f x h→+-=．其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式．例1 求极限2222x x p p x q q→+-+-()0,0p q >>．分析 此题是0x →时00型未定式，在没有学习导数概念之前，常用的方法是消去分母中的零因子，针对本题的特征，对分母分子同时进行有理化便可求解．但在学习了导数的定义式之后，我们也可直接运用导数的定义式来求解．解 令()f x =()g x =则x → ()()()()000lim00x f x f x g x g x →--=--()()'0'0f g =p q=．9. 利用归结原则求极限归结原则设f 在()00;'U x δ内有定义，()0lim x x f x →存在的充要条件是：对任何含于()00;'U x δ且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞都存在且相等．例1求极限211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭．分析 利用复合函数求极限，令()21211x x x u x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1x v x x+=求解． 解 令()21211x x x u x x ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()1x v x x+=则有 ()lim n u x e →+∞=；()lim 1n v x →+∞=，由幂指函数求极限公式得()()211lim 1lim xv x x x u x e x x →+∞→+∞⎛⎫++== ⎪⎝⎭， 故由归结原则得221111lim 1lim 1n xn x e n n x x →∞→+∞⎛⎫⎛⎫++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注 1 归结原则的意义在于把函数归结为数列极限问题来处理，对于0x x +→，0x x -→，x →+∞和x →-∞这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式．注 2 若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ，使()lim n n f x →∞不存在，或找到两个都以0x 为极限的数列{}'n x 与{}''n x ，使()'lim n n f x →∞与()"lim n n f x →∞都存在而不相等，则()0lim x x f x →不存在10.利用泰勒公式求极限在此种求极限的方法中，用得较多的是泰勒公式在00x =时的特殊形式，即麦 克劳林公式．也可称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式()()()()()()()2"000'02!!n nn f f f x f f x x x x n ο=+++⋯⋯++．例1 求极限2240cos limx x x e x -→-．解 由于极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，取4n =：()245cos 1224x x x x ο=-++，()22452128x x x ex ο-=-++，()2452cos 12x x x ex ο--=-+．因而求得()24524400cos 112limlim 12x x x x x x ex x ο-→→-+-==-．利用此种方法求极限时，必须先求函数的麦克劳林公式，选取恰当的n ． 2.10用导数的定义求极限常用的导数定义式,设函数()y f x =在点0x 处可导，则下列式子成立： 1．()()()00'limx x f x f x f x x x →-=-，2．()()()0000'limh f x h f x f x h→+-=．其中h 是无穷小，可以是()0x x x x ∆∆=-，x ∆的函数或其他表达式．例１证明()()211lim 212x x x x →-=--．分析 当1x ≠时，10x -≠，故()()211122x x x x x-+=---，于是有 ()()23111332212222x x x x x x x x x --+--=-==-----， 取112δ=，当101x δ<-<时1322x <<，故有122x ->，从而有()()21212x x x ----61x <-，取26εδ=即可．证明 对于0ε∀>，取1m i n ,26εδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，于是当01x δ<-<时，有 ()()2126112x x x x ε--<-<--，由定义知()()211lim 212x x x x →-=--成立．注 函数()f x 在点0x 处是否有极限，与函数()f x 在点0x 处是否有定义无关．。

考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。

通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。

求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。

对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。

例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。

当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。

例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。

洛必达法则是求未定式极限的重要方法。

如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。

例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。

对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。

通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。

例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。

夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。

如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。

例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。

一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x()2222-=--=x x x0>∀ε取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质若A x f x x =→)(lim 0B x g x x =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B ≠0 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000（IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,例：求 453lim 22+++→x x x x解: 453lim 22+++→x x x x =254252322=++⋅+3、约去零因式（此法适用于型时0,0x x →例: 求121672016lim 23232+++----→x x x x x x x解:原式=()())12102(65)2062(103lim2232232+++++--+---→x x x x xx x x x x x=)65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x=)65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x=2lim-→x 735-=+-x x4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )2144(lim 22xx x ---→解: 原式=)2()2()2(4lim2x x x x -⋅++-→=)2)(2()2(lim2x x x x -+-→=4121lim2=+→x x5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足：（I ）0)(lim 0=→x f x x(II)M x g ≤)( (M 为正整数)则：0)()(lim 0=→x f x g x x例: 求 xx x 1sinlim⋅→ 解: 由 0lim=→x x 而 11sin≤x故 原式 =01sinlim=⋅→xx x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。

极限的求法及常见方法极限是微积分中的一个非常重要的概念，其广泛应用于各个领域中的数学问题，尤其在工程、物理等实际应用中，称为数学分析的基础。

求解极限的方法非常多样化，主要包括分析法、夹逼法、洛必达法、泰勒展开法等多种常见方法。

1.分析法分析法是极限求解的最常用方法之一。

常用于求有理函数和无理函数的极限。

具体方法为，将被求极限的式子分子分母进行化简，提取出其中与自变量有关的项，将无穷小量相互抵消，直到式子可以直接代入极限值求解。

例如，对于求极限lim x→0 (sin x)/x，我们可以通过分析法将其中的分母x与sin x配合得到：lim x→0 (sin x/x)×(1/1) = 1×1 = 1。

2.夹逼法夹逼法是求解极限非常常用的方法之一，适用于取值范围狭窄的函数里面，例如正弦函数和余弦函数等。

具体方法为，找到与待求极限函数类似的两个函数，一个比待求极限函数大，一个比它小，然后用这两个函数的极限值夹逼待求极限函数。

例如，对于求极限lim x→0 x sin (1/x)，我们设f(x)=x，g(x)=-x，则g(x)≤x sin (1/x) ≤ f(x)，取极限得到：lim x→0 g(x)=-0，lim x→0 f(x)=0，由夹逼定理可得lim x→0 x sin (1/x)=0。

3.洛必达法洛必达法是一种比较简单的求解极限的方法，主要适用于涉及两个函数除法的情况。

其基本思想是在求解极限时，将分子和分母同时对自变量求导数，然后再求导数代入极限求解。

例如，对于求极限lim x→0 (sin x/x)，我们将分子和分母的导数直接代入：lim x→0 (cos x/1) = 1。

4.泰勒展开法泰勒展开法是一种比较高级的求解极限的方法，适用于一些复杂函数的极限求解。

其基本思想是通过泰勒公式将函数在某点带入到无穷阶导数公式中，得到一个无穷级数，然后通过级数求和计算待求极限值。

例如，对于求极限lim x→0 (e^x-1)/x，我们可以使用泰勒展开公式展开得到：lim x→0 [1+x/2!+x^2/3!+......]/x，将分子分母都除以x，得到lim x→0 [1/2!+x/3!+.....]，代入x=0，得到极限值为1/2。

函数极限的十种求法函数极限是高等数学中的一个重要概念，在数学分析、微积分、实变函数、复变函数等领域均有应用。

函数极限的求法有很多种，以下将介绍其中的十种方法。

一、代数方法利用现有函数的代数性质，根据极限的定义求解。

例如，对于函数 f(x)=2x+1-x，当 x 趋近于 1 时，有：lim f(x) = lim (2x+1-x) = lim x+1 = 2x→1 x→1 x→1 x→1二、夹逼定理夹逼定理也称为夹逼准则或夹逼定律。

当f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim f(x)=lim h(x)=l 时，有 lim g(x)=l。

例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x 和 g(x)=1，当 x 趋近于 0 时，有：-1 ≤sin(x)/x ≤ 1lim -1 ≤ lim sin(x)/x ≤ lim 1x→0 x→0 x→0 x→0lim sin(x)/x = 1三、单调有界准则单调有界准则也称收敛定理。

当一个数列同时满足单调有界性质，即数列单调递增或单调递减且有上（下）界时，该数列必定收敛。

对于函数而言，只需要证明其单调有界的性质，即可用该准则求出其极限值。

例如，对于函数 f(x)=sin(x)/x，当 x 趋近于 0 时，此时 f(x) 没有极限值，但是根据单调有界准则，可以求得其极限是 1。

四、洛必达法则洛必达法则是一种有效的求函数极限值的方法，通常用在0/0形式的极限中。

对于连续可导的函数 f(x) 和 g(x)，若 lim f(x)/g(x)存在，则有：lim f(x) lim f'(x)lim ——— = lim ———x→a g(x) x→a g'(x)其中“lim” 表示极限符号，f'(x) 表示 f(x) 的导数，g'(x) 表示 g(x) 的导数。

如果上式右边的极限存在，那么左边的极限也存在，并且二者相等。

例如，对于函数 f(x)=x^2+2x 和 g(x)=x+1，当 x 趋近于 1 时，有：lim (x^2+2x) lim (2x+2)lim ———— = lim ———— = 4x→1 x+1 x+1五、泰勒公式泰勒公式是求解函数在某点处的极限值的有效方法之一。

函数极限的几种求解方法函数极限是微积分中一个重要的概念，它在数学中有着广泛的应用。

在求解函数极限时，我们可以通过多种方法来得到结果。

本文将介绍几种常用的函数极限求解方法，帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。

一、直接代入法直接代入法是求解函数极限最简单的方法之一，它适用于绝大多数函数。

在这种方法中，我们只需将自变量x的值代入到我们要求解的函数中，然后计算得到函数的极限值。

对于函数f(x) = x^2，要求解lim(x→3) x^2的极限值，我们只需将x=3代入到函数中得到9，即lim(x→3) x^2 = 9。

这种方法简单直接，适用范围广泛，但在某些情况下可能会出现不确定形式的极限，这时就需要借助其他方法来求解。

二、夹逼定理夹逼定理也是求解函数极限常用的方法之一，它适用于一些复杂的函数极限问题。

夹逼定理的基本思想是通过找到一个上界函数和一个下界函数，使得它们的极限值相同，并且夹住要求解的函数，在夹逼定理的约束下，我们可以通过求解上界函数和下界函数的极限值来得到要求解函数的极限值。

对于函数f(x) = x*sin(1/x)，要求解lim(x→0)x*sin(1/x)的极限值，我们可以找到上界函数g(x) = |x|和下界函数h(x) = -|x|，满足lim(x→0) g(x) = 0，lim(x→0) h(x) = 0，同时g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，因此根据夹逼定理，我们可以得到lim(x→0) x*sin(1/x) = 0。

夹逼定理在求解复杂的函数极限问题时非常有用，它可以帮助我们找到一些难以直接代入求解的函数极限的解析形式。

求解函数极限有多种不同的方法，每种方法都有其适用的范围和特点。

在实际应用中，我们可以根据具体的问题情况选择合适的方法来求解函数极限，从而得到准确的结果。

通过掌握这些方法，读者可以更加深入地理解和应用函数极限的概念，提高数学分析问题的能力和水平。

希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握函数极限的求解方法，为进一步学习数学分析和微积分打下坚实的基础。

求函数极限的方法和技巧1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x ()2222-=--=x x x0>∀ε 取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质若 A x f x x =→)(lim 0B x g x x =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B ≠0 则：BA x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000（IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,例：求 453lim 22+++→x x x x解: 453lim 22+++→x x x x =254252322=++⋅+3、约去零因式（此法适用于型时0,0x x →）例: 求121672016lim 23232+++----→x x x x x x x解:原式=()())12102(65)2062(103lim2232232+++++--+---→x x x x xx x x x xx =)65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x=)65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2lim -→x 735-=+-x x4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )2144(lim 22x xx ---→解: 原式=)2()2()2(4lim2x x x x -⋅++-→=)2)(2()2(lim2x x x x -+-→=4121lim2=+→x x5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质）设函数f(x)、g(x) 满足： （I ）0)(lim 0=→x f x x(II) M x g ≤)( (M 为正整数) 则：0)()(lim 0=→x f x g x x例: 求 xx x 1sinlim 0⋅→ 解: 由 0lim 0=→x x 而 11sin≤x故 原式 =01sinlim 0=⋅→xx x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。

求极限的几种类型与方法极限是数学中一个重要的概念，广泛应用于微积分和数学分析等数学分支中。

在求解极限问题时，通常会遇到不同类型的极限，下面列举并介绍几种常见的极限类型与求解方法。

一、无穷大与无穷小型极限1.无穷大型极限：当自变量趋于一些特定值时，函数的极限趋于正无穷或负无穷。

这种极限常见于多项式函数与指数函数等表达式中。

计算这类极限时，可以使用夹逼定理、变量代换、分子分母同除等方法。

2.无穷小型极限：当自变量趋于一些特定值时，函数的极限趋近于零。

这种极限常见于分式函数、三角函数等表达式中。

求解这类极限时，可以利用泰勒级数展开、洛必达法则、洛必达法则的推广、用无穷小代换等方法。

二、复合函数型极限当极限问题中的函数是一个复合函数时，计算极限需要利用复合函数的性质来进行求解。

常见的复合函数型极限有复合函数无穷小相加的情况、复合函数的区间收敛以及复合函数的极限存在性问题等。

在求解这类极限时，可以运用函数的性质、夹逼准则等方法。

三、无穷级数与数列型极限1.无穷级数的极限：当求解无穷级数的和时，常常需要计算其部分和的极限。

这类极限的求解方法有递推法、数列极限法、求和运算法等。

2.数列的极限：数列的极限是数学分析中的一个基础概念。

求解数列的极限需要运用极限的定义及数列性质。

常见的数列极限包括单调有界数列的极限、递推数列的极限等。

四、多重极限当函数中存在多个自变量且自变量的取值不止一个时，就需要考虑多重极限的问题。

常见的多重极限包括二重极限与累次极限。

在求解多重极限时，可以利用多重极限的定义、运用极限的性质等方法进行计算。

五、特殊函数的极限特殊函数是指具有特定性质与定义的函数，如指数函数、对数函数、三角函数、双曲函数等。

在计算这类函数的极限时，可以运用特殊函数的性质、泰勒级数展开、洛必达法则等方法。

六、级数极限级数是由数列的和组成的数列，计算级数的极限是数学分析中的重要内容之一、常见的级数极限有：常数项级数的判断条件、幂级数的收敛域、傅里叶级数的收敛性等。

⾼等数学求极限的各种⽅法求极限的各种⽅法1.约去零因⼦求极限例1:求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x ⽆限接近,但1≠x ,所以1-x 这⼀零因⼦可以约去。

【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2.分⼦分母同除求极限例2:求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分⼦分母都以多项式给出的极限,可通过分⼦分母同除来求。

【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) ⼀般分⼦分母同除x 的最⾼次⽅;(2)=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3.分⼦(母)有理化求极限例3:求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分⼦或分母有理化求极限,就是通过有理化化去⽆理式。

【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4:求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan limsin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使⽤分⼦有理化⽅法外,及时分离极限式中的⾮零因⼦．．．．．．．．．．．就是解题的关键 4.应⽤两个重要极限求极限两个重要极限就是1sin lim 0=→xxx 与e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ,第⼀个重要极限过于简单且可通过等价⽆穷⼩来实现。