求二元函数极限的几种方法

二元函数的极限求法二元函数的极限求法是高等数学中的重要内容，它是研究二元函数在某一点处的极限值的方法。

在这篇文章中，我们将介绍二元函数的极限求法的基本概念、方法和应用。

一、二元函数的极限概念二元函数是指有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y)。

在二元函数中，我们可以考虑它在某一点(x0,y0)处的极限值。

如果当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的值趋近于一个确定的常数L，那么我们就称L 为f(x,y)在点(x0,y0)处的极限值，记作：lim f(x,y) = L(x,y)->(x0,y0)其中，(x,y)->(x0,y0)表示当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的极限值存在。

二元函数的极限求法有以下几种方法：1. 二重极限法二重极限法是指先对其中一个自变量求极限，再对另一个自变量求极限的方法。

具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以先对x求极限，再对y求极限，即：lim lim f(x,y) = lim lim f(x,y) = Ly->y0 x->x0 x->x0 y->y02. 极坐标法极坐标法是指将二元函数表示为极坐标形式，然后对极角和极径分别求极限的方法。

具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为极坐标形式(r,θ)，即：x = rcosθy = rsinθ然后对r和θ分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(rcosθ,rsinθ) = L(x,y)->(x0,y0) r->0 θ->θ03. 直角坐标法直角坐标法是指将二元函数表示为直角坐标形式，然后对x和y分别求极限的方法。

具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为直角坐标形式(x0+h,y0+k)，即：x = x0 + hy = y0 + k然后对h和k分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(x0+h,y0+k) = L(x,y)->(x0,y0) h->0 k->0三、二元函数的极限应用二元函数的极限应用广泛，例如在微积分、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。

二元函数求极限的微分法与导数应用在微积分中，求二元函数的极限是一个重要的概念，它可以帮助我们研究函数在某一点的变化趋势。

本文将介绍二元函数求极限时常用的微分法和导数应用，并通过实例来说明其具体操作方法。

一、二元函数的极限首先，我们需要了解二元函数的极限定义。

对于二元函数f(x,y)，当自变量(x,y)靠近某一点(a,b)时，如果函数值f(x,y)无论取何值，都趋向于同一个确定的常数L，那么我们称L为函数f(x,y)在点(a,b)的极限，记作：lim f(x,y) = L(x,y)→(a,b)二、求二元函数极限的微分法为了求二元函数的极限，我们可以借助微分法。

以下是两种常用的微分法：1.极坐标法：对于二元函数f(x,y)，我们可以将自变量(x,y)转换成极坐标形式(r,θ)，其中：x = rcosθy = rsinθ在极坐标形式下，我们可以求得极限。

具体步骤如下：（1）将函数f(x,y)用r和θ表示。

（2）对自变量r求极限lim f(r,θ)。

（3）若该极限存在，则我们求得了二元函数的极限。

2.换元法：对于二元函数f(x,y)，我们可以进行适当的变量替换，将其简化为一元函数。

具体步骤如下：（1）选取一个适当的替换，例如令u = g(x,y)。

（2）将函数f(x,y)替换为f(u)。

（3）对变量u求极限lim f(u)。

（4）若该极限存在，则我们求得了二元函数的极限。

三、导数应用在研究二元函数的性质时，导数是非常重要的工具。

以下是导数在二元函数中的应用：1.切线与法线：对于二元函数f(x,y)，在某一点P(x0,y0)处，切线的斜率等于函数在该点的导数值。

利用切线的斜率可以求得函数在该点的局部变化趋势。

而法线与切线垂直，其斜率等于切线的负倒数。

2.全微分：全微分是函数在某一点的近似变化值。

对于二元函数f(x,y)，其全微分df可以通过以下公式计算：df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy其中，(∂f/∂x)和(∂f/∂y)分别是函数f(x,y)对x和y的偏导数，dx和dy是自变量的微小增量。

求⼆元函数极限的⼏种⽅法1.⼆元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是⼀个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈I 时，都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限⼜称为⼆重极限.2．⼆元函数极限的求法2.1 利⽤⼆元函数的连续性命题若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=.例1 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解：因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→．解：因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代⼊求极限，即()()221,1,21limy x y x +→=31．2.2 利⽤恒等变形法将⼆元函数进⾏恒等变形，例如分母或分⼦有理化等. 例3 求00x y →→00x y →→00x y →→=00x y →→=001.4x y →→==-例4 ()() 22220,0,321)31)(21(limyx y x y x +-++→．解：原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →+=()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利⽤等价⽆穷⼩代换⼀元函数中的等价⽆穷⼩概念可以推⼴到⼆元函数.在⼆元函数中常见的等价⽆穷⼩((,)0)u x y →，有 sin (,)(,)u x y u x y :； 2(,)1cos (,)2u x y u x y -:；[]ln 1(,)(,)u x y u x y +:；tan (,)(,)u x y u x y :；arcsin (,)(,)u x y u x y :；arctan (,)(,)u x y u x y :(,)1u x y n:；(,)1(,)u x y e u x y -:；同⼀元函数⼀样，等价⽆穷⼩代换只能在乘法和除法中应⽤. 例5 求00x y →→解：当 0x →，0y →时，有0x y +→11()2x y +:，所以00001()2lim 1.2x y x y x y x y →→→→+=+=这个例⼦也可以⽤恒等变形法计算，如：0000001.2x y x y x y →→→→→→===2.4 利⽤两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是⼀元函数中两个重要极限的推⼴.例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+.解：先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→??+=+，⽽ 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→，所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→??+=例7 求 0sin()limx y axy x →→极限.解：因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →，所以 sin()1xy xy→，再利⽤极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1=a .这个例⼦也可以⽤等价⽆穷⼩代换计算，如：当 0x →，y a →时，0xy →，sin()xy xy :.所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===2.5 利⽤⽆穷⼩量与有界量的乘积仍为⽆穷⼩量的结论0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是⽆穷⼩量， 11sin cos 1x y ≤ 是有界量，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--?--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-??-+-?? 是有界量，⼜ 32lim(3)0x y x →→-= 是⽆穷⼩量，所以， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- . 虽然这个⽅法计算实际问题上不那么多⽤，但计算对⽆穷⼩量与有界量的乘积形式的极限的最简单⽅法之⼀ .2.6利⽤变量替换法通过变量替换可以将某些⼆元函数的极限转化为⼀元函数的极限来计算，从⽽使⼆元函数的极限变得简单.但利⽤时⼀定要满⾜下⾯的定理。

二元函数极限的求法二元函数极限是数学中一个重要的概念，它研究二元函数在某个点处的极限值。

它不仅在函数中被广泛应用，而且在微积分学中也有重要的作用。

因此，了解二元函数极限的求法尤为重要。

一般而言，二元函数极限的求法一般是通过分析函数在某点附近的曲线行为来求解。

这种方法可以分为三种：一是按照函数在某点附近的导数来寻找极限值；二是利用函数在某点附近的凸性来求解；三是根据函数在该点处的异常情况来进行求解。

首先，如果二元函数在某点处有定义，那么该函数在该点处的极限值就是该点的函数值。

如果函数在该点处没有定义，但是函数的导数在该点处有定义，那么可以通过求导数的极限来计算函数的极限值，即：如果存在某个点，其导数的极限值存在并且为非零，那么函数在该点的极限值就是该点的函数值除以该点导数的极限值。

具体来说，如果用y=f（x）来表示一个函数，那么它在x=a处的极限值就是y=f （a）/[f（a）]，其中f（a）表示函数在x=a处的导数。

其次，如果在某点处函数的导数不存在，而且函数在该点处有定义，那么可以利用函数在该点处的凸性来求解极限值，即，如果函数在某点处不存在导数，而且该点是凸函数，则函数的极限值等于该点的函数值。

反之，如果函数在某点处不存在导数，但是该函数是凹函数，则该函数在该点处的极限值就是该点左右两处函数值的中点值。

最后，如果函数在某点处存在明显的异常情况，比如跳跃，则可以利用定义结合函数的连续性和连续导数的有界性，以及梯形定理等，来求解函数在该点处的极限值。

总之，二元函数极限的求解一般是根据函数在某点处的行为来确定的，有的时候可以利用函数的导数来求解，有的时候利用函数的凸凹性来求解，而有的时候则要利用函数的异常情况来解决。

因此，理解二元函数极限的求法就显得尤为重要。

1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限．２.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１ 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152．2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例７ 求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ． 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .２.６利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。

二元函数求极限的定义与基本性质在数学中，二元函数是指依赖于两个变量的函数。

求解二元函数的极限是研究其变化趋势和性质的重要手段之一。

本文将介绍二元函数求极限的定义，并探讨一些基本的性质。

一、二元函数求极限的定义对于给定的二元函数 f(x, y)，当自变量 (x, y) 的取值趋近于某个点(a, b) 时，如果函数值 f(x, y) 的极限存在且唯一，那么我们称该函数在点 (a, b) 处有极限，记作：lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) = L其中 L 为极限值。

二、二元函数极限的性质1. 唯一性：二元函数的极限值在同一点处只能有唯一的取值。

2. 有界性：如果函数在某点 (a, b) 处有极限，那么它在该点周围的某个邻域内是有界的。

3. 保号性：如果函数在某点 (a, b) 处的极限存在且大于零（或小于零），那么在该点附近的某个领域内，函数的取值也大于零（或小于零）。

4. 极限的四则运算性质：设二元函数 f(x, y) 和 g(x, y) 在点 (a, b) 处有极限，则它们的和、差、乘积以及商（当g(x, y) ≠ 0）仍在该点处有极限，并且有以下运算公式：lim_(x,y)→(a,b) (f+g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) + lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f-g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) - lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f*g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) * lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)lim_(x,y)→(a,b) (f/g)(x,y) = lim_(x,y)→(a,b) f(x,y) / lim_(x,y)→(a,b)g(x,y)5. 极限的复合性质：设函数 f(x, y) 在点 (a, b) 处有极限 L，函数 g(u) 在点 L 处有极限 M，则复合函数 g(f(x, y)) 在点 (a, b) 处也有极限 M。

二元函数求极限的代数性质与解析在学习高等数学的过程中，我们经常会遇到求二元函数的极限问题。

二元函数的极限是指当自变量趋近于某个点时，函数的取值趋近于一个确定的值。

在求解这类问题时，我们需要掌握一些代数性质和解析方法。

一、二元函数的极限定义设函数 f(x, y) 在点 (x0, y0) 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点 (x, y) 满足不等式0 < √((x-x0)²+(y-y0)²) < δ 时，都有 |f(x, y) - A| < ε 成立，则称函数 f(x, y) 在点(x0, y0) 处的极限为A，记作：lim_(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = A二、二元函数极限的代数性质1. 唯一性性质：若二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处极限存在，则极限值 A 唯一确定。

2. 有界性质：若二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处极限存在且有限，则 f(x,y) 在点 (x0, y0) 的某个去心邻域内有界。

3. 保号性质：若二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处的极限存在且不为零，则在点 (x0, y0) 的某个去心邻域内，f(x,y) 与 A 的正负号相同。

三、二元函数极限的解析方法在具体的计算中，我们可以通过一些解析方法来求解二元函数的极限。

1. 分别取极限法：当二元函数 f(x,y) 在点 (x0, y0) 处的极限存在，且其极限可以表示为 A = h(x) + k(y)，其中 h(x) 和 k(y) 分别是关于 x 和y 的函数的极限。

则有：lim_(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = lim_(x→x0) h(x) + lim_(y→y0) k(y)2. 代数运算法则：对于二元函数与它的极限，可以利用代数运算法则进行运算，如加减乘除、辽有近似计算的阶乘表.png乘幂、复合函数等。

二元函数极限的求法
二元函数极限是一个有用的概念，它可以帮助我们讨论函数的行
为和图像的性质，同时也是很多函数中的重要部分。

学习如何求二元
函数极限可以帮助我们了解函数的行为，从而使我们更好地理解函数
的意义。

求二元函数极限的一般方法是使用切线定理。

通过切线定理，我
们可以将一个函数的行为拆分为两个单独的函数：函数本身和其切线。

通过这种拆分，我们可以使用函数本身和它的切线来求得极限。

必须找到一组合适的切线。

有时候，它只需要简单地向某个方向
切开即可，有时候可能需要尝试多个方向，但总的来说，重点是找到
可以处理的切线以及它们的slope。

然后，我们可以使用偏导数的方法来确定极限的起始点。

使用偏导数，我们可以从一个函数中寻找出对
第二个函数的影响，从而找到两个函数之间的极限。

我们可以开始求函数本身的极限。

有时，我们可以使用数学公式，例如牛顿-拉弗森方程或梯形公式来直接估算函数的极限。

而在其他情
况下，我们可能需要结合该函数本身的性质，使用查表、图像解释或
是向上、向下导数等技术，来找出函数的极限。

可以使用解析方法，将上面提到的函数极限与切线函数的极限进
行比较，以找出二元函数极限的最终结果。

如果两个函数均不存在极限，则二元函数也不存在极限。

如果两者有极限存在，则最后的极限
将是两者极限的最小值。

因此，利用切线定理和数学公式，我们可以求出二元函数极限，
并以此来更全面地理解函数的行为。

求解二元函数的极限需要根据具体函数形式和极限的定义进行分析。

以下是常见的二元函数极限求解方法：
代数法：对于简单的二元函数，可以直接使用代数法进行极限求解。

例如，对于二元函数f(x, y)，可以将x和y分别替换成具体的数值，然后计算函数值，观察当变量趋于某个值时函数的变化情况。

分量法：对于形如f(x, y) = g(x)h(y)的二元函数，可以使用分量法将二元函数转化为一元函数的极限问题。

将其中一个变量固定，求解关于另一个变量的一元函数的极限，然后再将这些极限组合起来求得原二元函数的极限。

二重极限法：当二元函数在某点的极限存在但与路径有关时，可以使用二重极限法求解。

首先固定其中一个变量，求解关于另一个变量的极限；然后再固定另一个变量，求解关于第一个变量的极限。

如果两个单变量极限存在且相等，则可以得到二元函数的极限。

极坐标法：对于以极坐标表示的二元函数，可以使用极坐标法求解。

将二元函数转化为极坐标表示，然后求解关于极径r和极角θ的一元函数的极限。

通路法：对于二元函数的极限存在但与路径有关的情况，可以使用通路法进行求解。

通过选取不同的路径，比如直线路径、曲线路径等，求解沿该路径的一元函数极限，并观察不同路径下的极限值是否相同。

. >1.二元函数极限概念分析定义1设函数f 在2D R ⊂上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在*正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限.2．二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题假设函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=.例1求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→．解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即()()221,1,21limy x y x +→=31．2.2 利用恒等变形法将二元函数进展恒等变形，例如分母或分子有理化等.. >例3 求00x y →→解：00x y →→例4()()22220,0,321)31)(21(limy x y x y x +-++→．解： 原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+11022=+=． 2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y →，有 sin (,)(,)u x y u x y ； 2(,)1cos (,)2u x y u x y -；[]ln 1(,)(,)u x y u x y +；tan (,)(,)u x y u x y ；arcsin (,)(,)u x y u x y ；arctan (,)(,)u x y u x y (,)1u x y n；(,)1(,)u x y eu x y -；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例5 求 00x y →→解： 当0x →，0y →时，有0x y +→11()2x y +，所以. >这个例子也可以用恒等变形法计算，如：0000001.2x y x y x y →→→→→→===2.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.例6求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+.解：先把极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→，所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例7 求 0sin()limx y axy x →→极限.. >解： 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →，所以 sin()1xy xy→，再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1=a .这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如： 当 0x →，y a →时，0xy → ，sin()xy xy .所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8求0011)sin cos x y y x y →→解:因为00)0x y y →→= 是无穷小量， 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦是有界量，又. >32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim 0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- .虽然这个方法计算实际问题上不则多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6利用变量替换法通过变量替换可以将*些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。

求二元函数极限的方法一、利用函数的极限定义二元函数极限的定义是通过在自变量（x，y）的取值趋近于特定极点（x0，y0）的时候，来确定因变量（z）趋近于极限L的值。

我们可以利用函数定义来求二元函数的极限。

方法：1、对于定义函数可以用数列的方法逼近，令 (x_n, y_n) -> (x_0, y_0)。

即在点(x_0, y_0) 的无限小领域内，在它左上角，左下角，右上角，右下角四个方向各自建立一条数列 (x_n, y_n) 使它们分别趋近于 (x_0, y_0)，然后再求出数值L。

公式：lim (x_n, y_n) -> (x_0, y_0) f(x_n, y_n) = L2、通过ε-δ方法和极限定义结合来求二元函数的极限。

公式：∀ε > 0, ∃δ > 0, d((x,y),(x_0, y_0)) < δ 时， |f(x,y) - L| < εd((x,y), (x_0, y_0)) 是二元函数两点间的距离。

二、分量函数的极限对于一个二元函数 z = f(x,y)，如果存在一些分量函数，使得当(x,y) → (x_0, y_0) 时，分量函数的值也趋于一些确定的极限，则可以通过分量函数的极限来求二元函数的极限。

方法：1、将二元函数表示为一个分量函数的形式，例如：f(x,y) = u(x,y)v(x,y)。

确定分量函数u(x,y)和v(x,y)的极限。

2、将二元函数表示为两个分量函数的和的形式 f(x,y) = g(x,y) + h(x,y)。

确定分量函数g(x,y)和h(x,y)的极限，再将两个分量函数的极限相加即可。

3、利用拉格朗日中值定理 (Lagrange Mean Value Theorem) 或者柯西中值定理（Cauchy Mean Value Theorem）等定理来确定分量函数的极限。

三、利用集合和控制变量法在一些特殊情况下，可以通过设定一个限制条件或者控制变量来求出二元函数的极限。

二元函数求极限的通用方法与技巧在数学中，我们经常会遇到二元函数求极限的问题。

二元函数是指含有两个自变量的函数，而求极限则是要求在某个点上函数的值趋于无穷或趋于某个确定的值。

本文将介绍二元函数求极限的通用方法与技巧，帮助读者更好地理解和解决这类问题。

一、基本性质首先，我们需要了解二元函数求极限的基本性质。

对于二元函数f(x, y)，如果在点P(a, b)的某个邻域内，f(x, y)的值趋于L，则称L为f(x, y)在点P(a, b)处的极限，记作lim[f(x, y)] = L, (x, y)→(a, b)。

二、分别求限法对于一些特殊的二元函数，我们可以通过将其中一个自变量固定，然后求另一个自变量趋于某个确定的常数，从而得到二元函数的极限。

1. 水平线法对于形如f(x, y) = F(x)的二元函数，我们可以先将其中一个变量固定，对另一个变量求极限。

例如，对于f(x, y) = x^2 + y，我们可以将y固定为某个常数c，然后对x进行求极限，即求lim[x^2 + c]。

通过求解这个一元函数的极限，我们可以得到f(x, y)的极限。

2. 垂直线法类似的，当二元函数f(x, y)中含有一个x和一个y的系数，且此系数仅与其中一个变量相关时，我们可以先固定一个自变量，再对另一个自变量进行求极限。

例如，对于f(x, y) = (x^2 + 2xy)/(3x)，我们可以将x固定为某个常数c，然后对y进行求极限，即求lim[(c^2 +2cy)/(3c)]。

三、使用一元函数的性质除了分别求限法外，我们还可以使用一元函数的性质来求解二元函数的极限。

1. 夹逼定理对于形如g(x, y) ≤ f(x, y) ≤ h(x, y)的二元函数，如果lim[g(x, y)] =lim[h(x, y)] = L，那么我们可以推断lim[f(x, y)] = L。

2. 代数运算法则对于一组二元函数f(x, y)和g(x, y)，如果lim[f(x, y)] = L1，lim[g(x, y)] = L2，则我们可以利用代数运算法则求解f(x, y)和g(x, y)的和、差、乘积和商的极限。

二元函数重极限的计算重极限也被称为二重极限，是指二元函数在一些点上的极限值。

在计算二元函数的重极限时，我们需要分别考虑函数在两个变量分别趋近于一些特定值时的极限。

设有二元函数f(x,y)，我们要计算在点(x0,y0)处的重极限。

根据定义，当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的极限为L，可以表示为：lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y) = L要计算这个重极限，我们可以使用两种方法：边缘极限和路径极限。

1.边缘极限法：边缘极限法是通过将其中一个变量固定在一些值上，然后计算另一个变量趋近于特定值时的极限。

具体步骤如下：步骤1：计算固定y值时的极限。

令y = y0，计算当x趋近于x0时的极限，即lim_(x→x0) f(x,y0) = L1步骤2：计算固定x值时的极限。

令x = x0，计算当y趋近于y0时的极限，即lim_(y→y0) f(x0,y) = L2步骤3：判断边缘极限是否存在。

如果L1和L2都存在，并且L1=L2=L，则f(x,y)在(x0,y0)处的重极限为L。

2.路径极限法：路径极限法是通过沿着特定路径逼近点(x0,y0)，然后计算函数在该路径上的极限。

具体步骤如下：步骤1：选定逼近路径。

在二元平面上选择逼近点(x0,y0)的路径，可以选择直线路径、曲线路径等。

步骤2：计算路径上的极限。

根据选定的路径，将路径上的变量表示为一个参数，然后计算当参数趋近于特定值时函数的极限。

步骤3：判断路径极限是否存在。

如果在不同的路径上得到相同的极限值L，则f(x,y)在(x0,y0)处的重极限为L。

需要注意的是，边缘极限和路径极限的结果并不总是相同，所以在计算重极限时，应该综合使用两种方法。

如果两种方法都得到了相同的极限值L，则可以确定f(x,y)在点(x0,y0)处的重极限为L。

以上就是二元函数重极限的计算方法。

二元函数求极限的方法总结二元函数求极限是微积分中的重要内容之一，它涉及到对两个变量同时进行极限运算。

在实际应用中，二元函数求极限的方法有多种。

下面将对常用的方法进行总结和拓展。

一、直接代入法：当二元函数在某一点的极限存在且可以直接代入，即函数在该点连续时，可以直接将函数值代入，得到极限值。

二、分别求极限法：当二元函数在某一点的极限不存在或者无法直接代入时，可以分别对两个变量进行极限运算。

即先对其中一个变量进行极限运算，然后再对另一个变量进行极限运算。

通过这种方法，可以得到二元函数在某一点的极限值。

三、路径法：路径法是一种常用的求二元函数极限的方法。

其基本思想是通过选择不同的路径，对二元函数在该路径上的极限进行求解。

如果在所有路径上的极限都存在且相等，则该极限即为二元函数在该点的极限。

常用的路径包括x轴，y轴，直线y=kx，抛物线y=x^2等。

通过选择不同的路径进行计算，可以帮助我们判断二元函数在某一点的极限是否存在。

四、夹逼定理：夹逼定理也适用于二元函数的极限求解。

当我们希望求二元函数在某一点的极限时，可以找到两个函数，一个函数上界大于该二元函数，一个函数下界小于该二元函数，并且两个函数在该点的极限相等。

利用夹逼定理可以得到二元函数在该点的极限值。

五、极限存在的条件：当我们希望判断二元函数在某一点的极限是否存在时，可以利用一些条件来进行判断。

常见的条件包括函数连续性、函数的有界性、函数的单调性等。

通过分析这些条件，可以得到二元函数在某一点的极限是否存在的结论。

总之，二元函数求极限的方法有多种，我们可以根据具体情况选择适当的方法。

通过深入理解这些方法，我们可以更好地进行二元函数的极限运算，并应用于实际问题中。

二元函数求极限的积分变限法与应用在数学中，函数的极限是求解问题、研究函数性质的基础。

在二元函数中，求取函数的极限可能涉及到积分变限法。

本文将介绍二元函数求极限的积分变限法，并探讨其在实际问题中的应用。

一、积分变限法简介积分变限法是一种通过引入积分变量的方法，将多重极限问题转化为一重极限问题的方法。

对于一个定义在闭区域D上的函数f(x,y)，如果可以通过积分变限法求出函数在特定点(x,y)处的极限值，那么该点的极限即为该函数在该点的极限。

具体来说，我们可以通过将函数的定义域限制在线段、曲线或曲面上，并引入一个辅助函数来进行积分变限。

这样一来，多元函数的极限问题就可以转换成一个一元函数的极限问题。

通过求出该一元函数在特定点的极限，我们可以得到多元函数在该点的极限。

二、积分变限法的具体应用1. 求二元函数的极限考虑一个二元函数f(x,y)，我们要求这个函数在点P(x0,y0)处的极限。

首先，我们可以通过引入变量t，并定义一个辅助函数F(t)如下：F(t)= integral(f(x0+t,y0+t)dt, 0, 1)其中integral表示积分运算。

接着，我们可以求解F(t)在t=0处的极限值。

如果我们得到的极限值存在，那么这个极限值就是f(x,y)在点P(x0,y0)处的极限。

2. 求曲面的切平面积分变限法还可以应用于求取曲面的切平面问题。

考虑一个定义在空间区域D上的曲面S，我们要求曲面在点P(x0,y0,z0)处的切平面。

同样地，我们可以引入一个参数方程，定义一个辅助函数F(t)如下：F(t)= integral(f(x0+ta,y0+tb,z0+tc)d(t), 0, 1)其中a、b、c为常数，f表示曲面上的函数。

接着，我们可以求解F(t)在t=0处的极限值。

如果该极限存在，那么这个极限值就是曲面在点P(x0,y0,z0)处的切平面。

三、积分变限法的优势与局限性积分变限法在求解二元函数的极限问题时有其独特优势。

二元函数极限的求法极限是数学上一个最重要的概念，它使数学分析得以完善，在研究函数的运动规律、研究定积分的收敛性及研究偏导数的存在性等等方面具有重要的作用。

本文将重点介绍极限在二元函数的求法。

首先，要界定极限的概念。

极限的概念表述为：当函数在某点取值时，其值接近于某值，而当其取值变得更加接近这点时，值不断接近此值，此时，该值称之为函数在此点的极限值。

其次，要熟悉极限求解中重要的求解方法，这些方法可任意组合使用，都可以得到极限值。

（1）直接求解直接求解是极限求解中最基本的方法，这一方法主要是通过函数的定义域，即函数的取值范围，直接判断函数的极限值。

在此过程中，根据函数的定义域，可以将函数的取值范围分为某些子集，然后根据这些子集的特点，立即判断函数的极限值。

（2）定义商的极限定义商的极限是极限求解中最常用的一种方法，它由极限的定义和定义积分引出，定义商极限表述为：设函数f(x)及g(x)在x=x0周围及x→x0方向可导，其中f(x)非零，则若存在某个极限，则使得 $$lim_{x→x_{0}}frac{f(x)}{g(x)}=L$$则称L为定义商的极限。

（3）极限的性质极限的性质是极限求解中一种重要的方法，可以通过函数的性质来求解极限。

这些性质可以大致分为下面几类：（a）绝对值函数的极限若函数f(x)中存在绝对值函数，$$|f(x)|$$，则$$|f(x)|$$任意一点具有一定的极限值，且满足：$$lim_{x→x_{0}}|f(x)|=|L|$$其中L即为绝对值函数f(x)的极限值。

（b）复合函数的极限若函数f(x)为复合函数，则f(x)具有一定的极限值，且满足： $$lim_{x→x_{0}}f(x)=L=f(L)$$其中L即为复合函数f(x)的极限值。

（c）连续函数的极限若函数f(x)在某一点x0处及x→x0方向上可连续，则f(x)具有一定的极限值，且满足：$$lim_{x→x_{0}}f(x)=L=f(x_{0})$$其中L即为连续函数f(x)的极限值。

1.二元函数极限观点剖析定义 1 设函数f在D R2上有定义，P0是 D 的聚点， A 是一个确立的实数.假如关于随意给定的正数，总存在某正数,使得 P U0(P0; )I D 时，都有f (P) A,则称 f 在D受骗 P P0时，以A为极限，记lim f (P) A .P P0P D上述极限又称为二重极限.2．二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题若函数 f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续，则limf ( x, y) f ( x0 , y0 ) .( x, y) (x0 , y0 )例 1求 f ( x, y) x22xy 在点(1,2)的极限 .解：因为 f ( x, y)x22xy 在点(1,2)处连续，所以lim f ( x, y)x 1y 2lim( x22xy)x 1y 2122125.例 2求极限 lim1．2y 2x , y1,1 2x解：因函数在 1,1 点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即lim1= 1．x, y1, 1 2x2y 232.2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形，比如分母或分子有理化等.例 32xy 4求 limxyx 0y 02 xy 4解： limxyx 0y 0lim (2xy 4)(2xy4)xy(2xy4)x 0ylimxyxy(2xy 4)x 0ylim1x 0 2xy4y1 .4例 4lim(1 2x 2 )(13y 2 ) 1．2x2 3 y2x, y0 ,0解：原式lim1 2 x 2 1 3 y 211 2x2 1 3y 2 1x, y 0,0 2x23 y21 2 x21 3y21lim16x 2 y 2x, y0,01 2x 21 3 y 21 2x 23y 21 2x 21 3y 211 0 1 ．222.3 利用等价无量小代换一元函数中的等价无量小观点能够推行到二元函数. 在二元函数中常有的等价无量小 (u( x, y)0) ，有 sin u(x, y) : u( x, y) ；1 cosu( x, y) :u 2( x, y)；2ln 1 u( x, y) : u( x, y) ； tan u(x, y) : u( x, y) ； arcsin u( x, y) : u(x, y) ；arctan u( x, y) : u( x, y) ； n 1 u(x, y) 1 :u( x, y) ； e u( x, y ) 1 : u(x, y) ；同一元函n数相同，等价无量小代换只好在乘法和除法中应用 .例 51 x y 1求 limx yxy解： 当 x0 ， y0 时，有 xy 0 .1 x y 1 : 1( x y) ，所以2 lim 1 x y 1xyx 01(x y) lim2x yx 0y1 .2lim 1 x y 1x yx 0y 0lim1 x y 1( 1 x y 1)( 1 x y 1)这个例子也能够用恒等变形法计算，如：x 0 y 0lim11 x y 1x 0y 01 .22.4 利用两个重要极限sin u( x, y) 1lim1， lim 1 u( x, y) u( x, y ) e 它们分别是一元函数中两个重u( x, y)u (x , y) 0u ( x, y) 0要极限的推行 .x 2例 6求极限 lim(11) x y .xxyy a解： 先把已知极限化为x 2x 22xy( x y )lim(1 1 ) xlim(1 1，而 limxlimy) xyy)yaxyy axyx xy( xxxxa(1 y ay 当 x, ya 时 xy,1，所以 lim(1 1 )xy e. xyy axyxx 2lim (11)xy xy( x y)故原式 = x yaxy1e a .例 7 求 lim sin( xy) 极限 .x 0 xy a解：因为 sin( xy)y. sin( xy) ，当 x0, ya 时， xyxxysin( xy)1 ，再利用极限四则运算可得：xysin( xy)lim y.sin(xy)lim y. limsin( xy)a.·1= a .limxxyxyx 0x 0 y axy 0y ay a这个例子也能够用等价无量小代换计算，如：当 x 0 ， y a 时， xy 0 ， sin( xy) : xy .11 ,y ) y a x0 ，所以所以， lim sin( xy) lim xy lim y a.x x x 0 x 0 y ay a y a2.5 利用无量小量与有界量的乘积仍为无量小量的结论例 8 求 lim( 3x y)sin 1cos 1y 0 xyx 0解:因为 lim( 3x y) 0 是无量小量，x 0 y 0故可知 ， lim( 3 x y)sin 1cos 10.x 0 x yy 0例 9 求 lim( x 3)2 ( y 2)2 2x 3(x 3) ( y 2)y 2解原式 = lim (x 3)( y 2)2 (x 3)(x 3) 2( y 2)x 3y 2因为(x 3)( y2)(x3)2 ( y2)2(x 3)2( y 2)22 ( x 3)2( y 2)2lim( x 3) 0 是无量小量，x 3 y 2所以 ， lim ( x 3)2( y 2)0 .(x3)2 ( y 2) 2x 3 y21 1 是有界量 ，sin cos1 xy1 是有界量，又2固然这个方法计算实质问题上不那么多用，但计算对无量小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6 利用变量替代法经过变量替代能够将某些二元函数的极限转变为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单. 但利用时必定要知足下边的定理。

二元函数求极限的积分上下限变换技巧在数学中，求解二元函数的极限是一项重要的内容，而实际上，在某些情况下，将二元函数的极限与积分联系起来，可以更加简洁地解决问题。

本文将介绍一些常用的积分上下限变换技巧，以帮助读者更好地理解和应用。

一、一般情况下的积分上下限变换对于一般的二元函数，我们可以通过适当的积分上下限变换来求解其极限。

具体地，我们可以利用变换后的积分形式，利用已知的积分性质或常见的积分公式进行求解。

例如，对于二元函数f(x, y)，若要求解其在特定区域Ω上的极限，我们可以通过积分上下限的变换，将此问题转化为对应的积分形式。

比如，我们可以将原来的问题转化为对于新的变量t的积分形式，即∫_[a]^[b] F(t)dt，其中F(t)为变量t的函数，a和b为相应的积分上下限。

二、极坐标系下的积分上下限变换在某些情况下，特别是在涉及到圆的问题时，我们常常使用极坐标系进行分析。

在极坐标系下，常常需要利用积分上下限变换来转化二元函数的极限求解问题。

以二维平面上的极坐标系为例，设二元函数为f(r, θ)，其中r为极径，θ为极角。

我们可以利用极坐标变换公式r=√(x^2+y^2)和θ=tan^(-1)(y/x)，将变量x,y转化为r和θ的形式。

然后，通过适当的积分上下限变换，我们可以将问题转化为r和θ的积分形式进行求解。

三、其他坐标系下的积分上下限变换除了极坐标系外，还有其他坐标系下常用的积分上下限变换技巧。

例如，柱坐标系和球坐标系都是常见的坐标系，它们在特定的问题求解中具有优势。

以柱坐标系为例，假设二元函数为f(ρ, θ, z)，其中ρ为柱坐标的径向坐标，θ为极角，z为高度。

我们可以利用柱坐标变换公式进行上下限的变换，并将问题转化为ρ、θ和z的积分形式进行求解。

类似地，对于球坐标系下的二元函数，我们也可以通过球坐标变换公式进行积分上下限的变换，并利用新的变量进行求解。

总结：通过适当的积分上下限变换技巧，我们可以将二元函数的极限求解问题转化为积分形式，从而更便于解决。