黄金卷05 备战2021年高考数学全真模拟卷(广东专用)(解析版)

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考I 卷）黄金卷05（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知集合{}A x y y ==∈R ，{}2,B x x x =>-∈Z ，则A B = （）A ．{}1,0,1,2-B ．{}1,0,1-C ．*N D ．N2．设,ia z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件3．已知向量,a b 满足：)(),23a b a b b ==-⋅=，则向量b 在向量a上的投影向量为（）A．5,88⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B．544⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．1,88⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．1,44⎛⎫⎪⎝⎭4．已知数列3n a是等比数列，记数列的前n 项和为n S ，且455,5a S ==，则2a =（）A ．3-B ．1-C ．1D ．35．已知圆()2221x y -+=与双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线交于,A B 两点，且1AB =，则该双曲线的离心率为（）A ．2B C ．13D ．136．已知π0,,sin 25αα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β=（）A ．14B ．12-C ．1D ．1-7．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（）A ．313B ．15C ．14D ．413故选：A ．8．已知函数()e ,1,x x x af x x x a ⎧<=⎨-+≥⎩，若存在三个不相等的实数1x ，2x ，3x ，使()()()123f x f x f x ==成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．()1,0-C ．11,1e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．11,e ∞⎡⎫++⎪⎢⎣⎭故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在正三棱台ABC DEF -中，6AB =，2DE =，且等腰梯形所在的侧面与底面ABC 所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（）A ．正三棱台ABC DEF -的高为B ．正三棱台ABC DEF -的体积为523C ．AD 与平面ABC 所成角的正切值为1D ．正三棱台ABC DEF -外接球的表面积为160π3故选：BCD10．已知P 是椭圆C ：2221x y a b+=（0a b >>）位于第一象限上的一点，1F ，2F 是C 的两个焦点，123F PF ∠=，点Q 在12F PF ∠的平分线上，12F PF ∠的平分线与x 轴交于点M ，O 为原点，1//OQ PF ，且OQ b =，则下列结论正确的是（）A ．12PF F2B ．CC ．点P 到xD．OM =由题意知1//OQ PF ，O 为12F F 的中点，则又1π3QPA F PQ AQP ∠=∠=∠=则2,11,22m n a b n m +=⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得m n m n -⎧⎨+⎩11．定义在R 上的函数()f x 满足ππ33f x b b f x ⎛⎫⎛⎫+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，b ∈R ，5π()3f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.若()()f x g x '=，记函数()f x 的最大值与最小值分别为()max f x 、()min f x ，则下列说法正确的是（）A ．2π为()f x 的一个周期B ．2π()03g x g x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭C ．若max min ()()2f x f x +=，则1b =D ．()f x 在π5π,36⎛⎫⎪上单调递增上是否单调递增，第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

绝密★启用前备战2021高考全真模拟卷数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}|A x x a =>，{}2|430B x x x =-+≤，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a >B ．3a ≥C ．1a ≤D ．1a <【答案】D 【解析】分析：先化简集合B,再根据A B B ⋂=求出实数a 的取值范围. 详解：由题得{|13}B x x =≤≤.因为A B B ⋂=，所以B A ⊆,所以1a <. 故答案为：D点睛：（1）本题主要考查集合的交集和集合的关系，意在考查集合的基础知识的掌握能力.(2)本题有一个易错点，最后的答案容易加等号即1a ≤，到底取等还是不取等，可以直接把a=1代入已知检验，{}1A x x =，{|13}B x x =≤≤，不满足A B B ⋂=，A B ⋂=（1,3）≠B.2．在复平面内，复数(1i)(2i)z =+-对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A ． 【解析】试题分析：(1)(2)3z i i i =+-=+，∴对应的点为(3,1)，位于第一象限． 考点：复数的乘除和乘方．3．如图，四边形ABCD 为正方形，ADE ∆为等腰直角三角形，设向量BC a =，BA b =，则CE =（ ）A ．1322a b --B ．1322a b - C ．1322a b -+D ．1322a b +【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算表示待求的向量，注意运用向量间的长度关系. 【详解】作EF BC ⊥，垂足为F ，则CE CF FE =+，又12CF CB =，32FE BA =， 所以1322CE CF FE a b =+=-+. 故选C.【点睛】本题考查平面向量的线性表示，化归与转化的数学思想,属于基础题.4．巳知函数1(),2(){2(1),2x x f x f x x ≥=+<，则2(log 3)f =A ．﹣32B ．2C ．16D ．56【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出log 23的范围为（1，2），然后结合函数的解析式可得f （log 23）=f （1+log 23）=321log 12+⎛⎫⎪⎝⎭=16． 【详解】由题意可得：1＜log 23＜2，因为函数()()1,221,2xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，所以f （log 23）=f （1+log 23）=321log 12+⎛⎫ ⎪⎝⎭=16． 故选：C ． 【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握对数与指数的有关运算，并且加以正确的计算． 5．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3A =，2b =，ABC ∆的面积等于ABC ∆外接圆的面积为（）A ．16πB ．8πC ．6πD ．4π【答案】D 【解析】 【分析】由三角形面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=，算出边c ，再根据余弦定理得出边a ，然后利用2sin a R A=即可算出ABC ∆外接圆的半径。

【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（新高考专版）第九模拟一．单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A∩B＝（）A．[0，2]B．（1，2]C．[1，2]D．（1，+∞）【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合＝{x|0≤x≤2}．B＝{y|y＝2x，x＞0}＝{y|y＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]．故选：B．2．已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|＝（）A．B．C．D．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解．【解答】解：由＝1+i，得z＝＝，∴|z|＝||＝．故选：C．3．设a＝log25，b＝52.1，c＝0.25，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵2＝log24＜log25＜log28＝3，∴2＜a＜3，∵52.1＞52＝25，∴b＞25，∵0＜0.25＜0.20＝1，∴0＜c＜1，∴b＞a＞c，故选：B．4．下列函数中，周期为2π的奇函数为（）A．B．y＝sin2xC．y＝tan2x D．y＝sin2x+cos2x【分析】利用三角恒等变换花简函数的解析式，再利用三角函数的奇偶性和周期性，得出结论．【解答】解y＝sincos＝sin x为奇函数，且周期为2π，故满足条件；y＝sin2x＝是偶函数，且周期为π，故不满足条件；y＝tan2x是奇函数，且周期为，故不满足条件；y＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）是非奇非偶函数，且周期为π，故不满足条件；故选：A．5．已知a，b∈R，则“|a|≤1”是“|a﹣b|+|b|≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据绝对值不等式的性质和特殊值法，判断即可．【解答】解：|a﹣b|+|b≥|a﹣b+b|＝|a|，因为|a﹣b|+|b|≤1，所以|a||≤1，故后者能推出前者，反之，比如a＝1，b＝3，推不出后者，故为必要不充分条件，故选：B．6．以M（0，2）为圆心，4为半径的圆与抛物线C：x2＝8y相交于A，B两点，如图，点P是优弧上不同于A，B的一个动点，过P作平行于y轴的直线交抛物线于点N，则△PMN的周长的取值范围是（）A．（8，12）B．（8，12]C．[8，12）D．[8，12]【分析】圆心M（0，2）也是抛物线C的焦点，设PN与抛物线的准线y＝﹣2交于点H，推出△PMN 的周长l＝|PH|+4．设点B的坐标为（x0，y0），得到B的坐标为（4，2），然后转化求解即可．【解答】解：圆心M（0，2）也是抛物线C的焦点，设PN与抛物线的准线y＝﹣2交于点H，根据抛物线的定义，可得|MN|＝|NH|，故△PMN的周长l＝|NH|+|NP|+|MP|＝|PH|+4．设点B的坐标为（x0，y0），则B（4，2）．由于点P不与A、B两点重合，也不在y轴上，所以|PH|的取值范围为（4，8），所以△PMN的周长的取值范围为（8，12）．故选：A．7．若函数f（x）＝lnx+2x2+ax的图象上存在与直线x﹣y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．[2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，﹣3]【分析】函数f（x）＝lnx+2x2+ax存在与直线x﹣y＝0平行的切线，等价于f′（x）＝1在（0，+∞）上有解，分离出参数a，转化为求函数值域问题即可求得答案．【解答】解：函数f（x）＝lnx+2x2+ax存在与直线x﹣y＝0平行的切线，即f′（x）＝1在（0，+∞）上有解，而f′（x）＝+4x+a，即+4x+a＝1在（0，+∞）上有解，得a＝1﹣4x﹣在（0，+∞）上有解，∵﹣4x﹣＝﹣（4x+）≤﹣2，当且仅当x＝时“＝”成立．∴a≤1﹣4＝﹣3，．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．故选：D．8．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AA1所成角的正切值为，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．32+16πC．32+8πD．16+16π【分析】连A1D，由题设知A1、D关于B1C对称，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，利用异面直线BD和AA1所成角的正切值为求得AA1，再由柱体体积公式求解．【解答】解：连A1D，由题设知A1、D关于B1C对称，以A为坐标原点，分别以AC、AB、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝h，则A（0，0，0），B（0，2，0），A1（0，0，h），D（2，2，h），＝（2，0，h），＝（0，0，h），∵异面直线BD和AA1所成角的正切值为，∴异面直线BD和AA1所成角的余弦值为，∴，∴h2＝16，得h＝4，∴该几何体的体积V＝•AB•AC•h+•π•h＝+•π•22•4＝16+8π．故选：A．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．某篮球运动员8场比赛中罚球次数的统计数据分别为：2，6，8，3，3，4，6，8，关于该组数据，下列说法正确的是（）A．中位数为3B．众数为3，6，8C．平均数为5D．方差为4.8【分析】先将原数据按照从小到大的顺序进行排列，再根据中位数、众数、平均数和方差的计算方法逐一求解即可．【解答】解：将原数据按从小到大的顺序进行排列：2，3，3，4，6，6，8，8，所以中位数为，众数为3，6，8，平均数为＝5，方差为×[（2﹣5）2+（3﹣5）2×2+（4﹣5）2+（6﹣5）2×2+（8﹣5）2×2]＝4.75．故选：BC．10．如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝，P A＝AC＝2，P A⊥平面ABCD，点E为PD 的中点，则下列结论正确的是（）A．四棱锥P﹣ABCD的外接球体积为B．异面直线AC与PD所成角的余弦值为﹣C．PB∥平面ACED．BD⊥平面P AC【分析】由题意可得四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径为2，由球的体积公式，即可判断选项A；由FH ∥PD，GH∥AC，可得异面直线AC与PD所成的角为∠FHG或其补角，利用余弦定理求得cos∠FHG，即可判断选项B；由OE∥PB，可得OE∥PB，即可判断选项C；由P A⊥BD，AC⊥BD，可得BD⊥平面P AC，即可判断选项D．【解答】解：因为底面ABCD是菱形，所以∠ABC＝，所以AB＝AD＝AC＝P A＝2，所以四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径为2，体积为，故选项A正确；取P A，CD，AD的中点F，G，H，连接FG，FH，GH，则FH∥PD，GH∥AC，所以异面直线AC与PD所成的角为∠FHG或其补角，因为GH＝AC＝1，FH＝PD＝，FG＝2，所以cos∠FHG＝﹣，故异面直线AC与PD所成角的余弦值为，故选项B错误；连接BD交AC于点O，连接OE，因为E为PD的中点，则OE∥PB，所以PB∥平面ACE，故选项C正确；因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥BD，因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又AC∩P A＝A，所以BD⊥平面P AC，故选项D正确．故选：ACD．11．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列四个命题中错误的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥nB．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γC．若m∥α，α⊥β，则m⊥βD．若m，n是异面直线，且m⊂α，n⊂β，m∥β，则n∥α【分析】由线面垂直的性质定理可判断选项A；举墙角处的三个平面的位置关系，即可判断B；若m∥α，α⊥β，直线m与平面β的位置关系不确定，由此可判断C；若m，n是异面直线，且m⊂α，n⊂β，m∥β，则直线n与平面α可能相交、平行，可判断选项D．【解答】解：对于选项A，由线面垂直的性质定理知选项A正确；对于选项B，平面α与平面γ有可能平行、相交，比如墙角处的三个平面的位置关系，故选项B错误；对于选项C，直线m与平面β可能平行、相交或直线m在平面β内，故选项C错误；对于选项D，直线n与平面α可能相交，故选项D错误．故选：BCD．12．给出下面四个结论，其中正确的是（）A．角是的必要不充分条件B．命题“∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”C．方程log3x+x﹣3＝0在区间（2，3）上有唯一一个零点D．若奇函数f（x）满足f（2+x）＝﹣f（x），且当﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x，则f（2021）＝1【分析】根据求出α的范围，然后根据充分条件、必要条件的定义可判断选项A；直接根据含量词命题的否定的定义可判断选项B；令f（x）＝log3x+x﹣3，判定f（2）、f（3）的符号，根据零点的存在性定理可判定选项C；先求出函数的周期，然后根据奇偶性可求出所求．【解答】解：因为，所以2α＝或2α＝，k∈Z，所以α＝或α＝k∈Z，所以不能推出，也不能推出，即角是的既不充分又不必要条件，故选项A不正确；命题“∀x∈R，x2﹣2x+1≥0”的否定是“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”，故选项B正确；令f（x）＝log3x+x﹣3，f（2）＝log32﹣1＜0，f（3）＝1＞0，所以f（x）的零点在（2，3）上，而f（x）在定义域内单调递增，所以方程log3x+x﹣3＝0在区间（2，3）上有唯一一个零点，故选项C正确；因为f（2+x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（x+2）＝f（x），即y＝f（x）的周期为4，所以f（2021）＝f（4×505+1）＝f（1），又因函数f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣1，故选项D不正确．故选：BC．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．已知向量，若与的夹角是钝角，则实数λ的取值范围为．【分析】由题意可得与不平行，且它们的夹角的余弦值小于零，故有≠，且＝4λ﹣2＜0，由此求得λ的范围．【解答】解：∵向量，若与的夹角是钝角，则与不平行，且它们的夹角的余弦值小于零．∴≠，且＝4λ﹣2＜0，求得λ≠﹣2 且λ＜，则实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，）．14．已知（1+x）10＝a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8＝．【分析】将1+x写成2﹣（1﹣x）；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1﹣x的指数为8，求出a8．【解答】解：∵（1+x）10＝[2﹣（1﹣x）]10∴其展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r210﹣r C10r（1﹣x）r令r＝8得a8＝4C108＝180故答案为：18015．袋中有4个小球，分别为2个白球，1个蓝球和1个黑球．现在从袋中无放回地依次摸出2个球，则摸出的球全为白球的概率为．【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出摸出的球全为白球的概率．【解答】解：袋中有4个小球，分别为2个白球，1个蓝球和1个黑球．现在从袋中无放回地依次摸出2个球，则摸出的球全为白球的概率p＝＝．故答案为：．16．抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点与椭圆的一个焦点相同，则抛物线的准线方程是【分析】求出椭圆的焦点坐标，然后求解a，即可求解抛物线的准线方程．【解答】解：椭圆的焦点坐标（0，±3），抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点与椭圆的一个焦点相同，可得：，所以抛物线的准线方程为：y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．四．解答题（共6小题）17．在①b2+ac＝a2+c2，②a cos B＝b sin A，③sin B+cos B＝，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_______，A＝，b＝，求△ABC的面积．【分析】取①，由余弦定理可得cos B＝进而解得B，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；取②a cos B＝b sin A，由正弦定理可得：tan B＝1，B∈（0，π），解得B，可得sin C＝sin（A+B），由正弦定理可得：a，利用三角形面积计算公式即可得出；取③，可得，由此可求出B的大小，C的大小也可得出，再由正弦定理可得a，最后利用三角形的面积公式计算即可得出；【解答】解：（1）若选择①，由余弦定理，因为B∈（0，π），所以；由正弦定理，得，因为，，所以，所以所以．（2）若选择②a cos B＝b sin A，则sin A cos B＝sin B sin A，因为sin A≠0，所以sin B＝cos B，因为B∈（0，π），所以；由正弦定理，得，因为，，所以，所以，所以．（3）若选择③，则，所以，因为B∈（0，π），所以，所以，所以；由正弦定理，得，因为，，所以，所以，18．设数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列为等比数列，进一步求出数列的通项公式；（2）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．【解答】解：（1）当n＝1时，，解得a1＝1．因为S n＝2a n﹣1，①所以当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣1，②①﹣②得，S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1，所以a n＝2a n﹣1．故数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为．（2）由题知，，所以，③，，④③﹣④得，，＝．所以．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝BC＝P A＝1，CD＝2，点E在棱PB上，且PE＝2EB，AC与BD相交于O，M为OC的中点，平面PDM ∩平面AEC＝MN．（1）求证：PD∥MN；（2）求二面角E﹣AN﹣B的正弦值．【分析】（1）连接OE，证明OE∥PD．推出PD∥平面EAC．然后证明PD∥MN．（2）设CD的中点为F，连接AF，则AB＝CF，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEC的一个法向量，平面ABN的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：如图2，因AB∥DC，则，即OD＝2OB，又PE＝2EB，则，连接OE，则OE∥PD．又OE⊂平面EAC，PD⊄平面EAC，从而PD∥平面EAC．又平面PDM∩平面AEC＝MN，且PD⊂平面PDMN，故PD∥MN．（2）解：设CD的中点为F，连接AF，则AB＝CF，即四边形ABCF是正方形，如图，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则点A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），P（0，0，1）．设E（x，y，z），则，，由，得解得，有，．由（1）知PD∥MN，故而MN∥OE，且M为OC的中点，所以N为EC的中点，有．设是平面AEC的一个法向量，则令x1＝1，得．设是平面ABN的一个法向量，则令z2＝﹣3，得．设二面角E﹣AN﹣B的平面角为α，则，所以，故而二面角E﹣AN﹣B的正弦值为．20．智慧课堂是指一种打破传统教育课堂模式，以信息化科学技术为媒介实现师生之间、生生之间的多维度互动，能有效提升教师教学效果、学生学习成果的新型教学模式．为了进一步推动智慧课堂的普及和应用，A市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如表：经常应用偶尔应用或者不应用总计农村40城市60总计10060160从城市学校中任选一个学校，偶尔应用或者不应用智慧课堂的概率是．（1）补全2×2列联表，判断能否有99.5%的把握认为智慧课堂的应用与区域有关，并说明理由；（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，按照农村和城市的比例抽取6个学校进行分析，然后再从这6个学校中随机抽取2个学校所在的地域进行核实，记其中农村学校有X个，求X的分布列和数学期望．附：K2＝，n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.10.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828【分析】（1）利用已知条件填写列联表，求出K2，即可判断是否有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关．（2）X的可能取值为0，1，2．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）2×2列联表，经常应用偶尔应用或者不应用总计农村404080城市602080总计10060160（2分）K2＝＝＝＝10.667＞7.879．所以有99.5%的把握认为认为智慧课堂的应用与区域有关．（2）在偶尔应用或者不应用智慧课堂的学校中，农村和城市的比例是2：1，所以抽取的6个样本有4个是农村学校，2个是城市学校，从中抽取2个，则X的可能取值为0，1，2．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝．所以X的分布列为：X012PX的数学期望E（X）＝＝．21．已知椭圆的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点，△F1PF2面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A（4，0）作关于x轴对称的两条不同直线l1，l2分别交椭圆于M（x1，y1）与N（x2，y2），且x1≠x2，求证：直线MN过定点．【分析】（Ⅰ）通过椭圆的离心率，设P（x，y），则，通过三角形的面积转化求解a，b，然后得到椭圆方程．（Ⅱ）设MN方程为x＝ny+m，（n≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，利用韦达定理，结合关于x 轴对称的两条不同直线l1，l2的斜率之和为0，求出mn的关系，得到直线系方程，推出直线结果的定点．【解答】解：（Ⅰ）设a2﹣b2＝c2，则，设P（x，y），则，∵|y|≤b，∴，解得．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：设MN方程为x＝ny+m，（n≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得（n2+4）y2+2nmy+m2﹣4＝0，∴，因为关于x轴对称的两条不同直线l1，l2的斜率之和为0，即，即，得2ny1y2+m（y1+y2）﹣4（y1+y2）＝0，即，解得：m＝1，直线MN方程为：x＝ny+1，所以直线MN过定点B（1，0）．22．已知函数f（x）＝ax﹣e x（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥﹣1，f（x）≤3﹣2a﹣x2恒成立，求整数a的最大值．【分析】（1）分a≤0和a＞0两类讨论，利用导数即可求得单调性；（2）将f（x）≤3﹣2a﹣x2恒成立，转化为≤1恒成立，构造函数g（x）＝，利用导数，求得g（x）max ≤1，从而可解得整数a的最大值．【解答】解：（1）当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f′（x）＝a﹣e x，故在x＜lna，有f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递增；在x＞lna时，f′（x）＜0，f（x）在（lna，+∞）上单调递减．所以，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递增，在（lna，+∞）上单调递减．（2）由f（x）≤3﹣2a﹣x2⇔≤1恒成立，令g（x）＝，则g′（x）＝＝，①当3﹣a≤﹣1即a≥4时，g′（x）≤0，g（x）在[﹣1，+∞）上单调递减，故g（﹣1）≤1⇒a≤2+（不合题意）；②当3﹣a＞﹣1即a＜4时，g（x）max＝g（3﹣a）＝＝≤1，令t＝3﹣a，即t＞﹣1时，≤1，设h（t）＝，则h′（t）＝＜0，则h（t）在（﹣1，+∞）上单调递减，而h（1）＞1，h（2）＜1，所以整数t的最小值为2，故整数a的最大值为1．。

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（新高考八省卷）黄金卷05（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设集合{}{}{}|41,,|31,,|121,M x x n n N x x n n P x x n n ==+∈==+∈==+∈Z Z Z ，则（）A ．MPB ．NPC ．M N P ⋂⊆D ．M N ⋂=∅2．“0ab >”是“+=+a b a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件故选：A.3．有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列方式共有（）A ．72种B ．144种C ．288种D ．576种【答案】C【解析】首先将2名老师排在中间4个位置中的2个位置，再将其余4名学生全排列，故不同排列方式共有2444A A 288=（种）.故选：C42倍，则其表面积为（）A ．2πB ．3πCD ．则圆锥的体积21π3V r h ==又212π2π2S rl r =⋅=侧，即所以223h l r r =-=，则233r r =，解得1r =，5．核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA 的数量n X 与扩增次数n 满足()0lg lg 1lg n X n p X =++，其中p 为扩增效率，n X 为DNA 的初始数量．已知某被测标本DNA 扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p 约为（）（参考数据：0.210 1.585≈，0.2100.631-≈）A ．36.9%B ．41.5%C ．58.5%D ．63.4%【答案】C【解析】由题意可知，()00lg10010lg 1lg X p X =++，即002lg 10lg(1)lg X p X +=++，所以0.2110 1.585p +=≈，解得0.585p =.故选：C6．设函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨--<⎩；若()23(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1)(2,)-∞-⋃+∞B ．(,2)(1,)-∞-+∞C ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞D ．(,3)(1,)-∞-+∞ 可知函数(()x f x x ⎧=⎨-⎩故由()23(f a f a ->解得1a <-或2a >，7．四边形ABCD 是边长为4的正方形，点P 是正方形内的一点，且满足4AP BP CP DP +++=，则AP 的最大值是（）A ．1B 1C ．1D ．1【答案】D设(),,P x y ()(0,0,A B 则()(,,AP x y BP x == 故AP BP CP DP +++8．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B =，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（）A ．13B ．3C ．3D ．23因为12π4AF F ∠=，则(A c -9．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的最小正周期为π，则（）A ．()f x 的最大值为2B ．()f x 在ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．()f x 的图象可由2cos2y x =的图象向右平移π12个单位得到10．设函数()32694x x f x x =-+-，则（）A ．()f x 有三个零点B ．1x =是()f x 的极大值点C ．曲线()y f x =为轴对称图形D ．()2,2-为曲线()y f x =的对称中心所以()f x 有两个零点，故A 错误；对于B ，由A 选项可知1x =是()f x 的极大值点，故B 正确；对于C ，由A 选项可知，当4x >时，()0f x >，当1x <时，()0f x <，所以曲线()y f x =不是轴对称图形，故C 错误；对于D ，()()()()()3222222694=-⨯+⨯-+-++---f x f x x x x ()()()324226924-⨯+⨯--++=+x x x ，所以()2,2-为曲线()y f x =的对称中心，故D 正确.故选：BD.11．如图，曲线33:30(0)C x y axy a +-=>过原点，其渐近线方程为:0++=l x y a ，则（）A ．曲线C 关于直线y x =对称B ．点(),a a 位于曲线C 围成的封闭区域（阴影部分）外C ．若()00,x y 在曲线C 上，则003a x y a-<+≤D ．曲线C 在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为294a 【答案】ACD【解析】若把C 的解析式3330x y axy +-=中的,x y 互换，则方程不变，故C 的图象关于直线y x =对称，A 正确；点(),a a 在第一象限，且333330a a a a +-=-<，故点(),a a 位于曲线C 围成的封闭区域（阴影部分）内，B 错误；曲线在渐近线0x y a ++=的上方，故00y x a >--，即00y x a +>-，12．复数z 满足()2i 7i z +=+，则z z -=.13．已知3sin cos 30-+=ββ，sin 3sin()=+ααβ，则tan()αβ+=.14．设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对于任意的实数x ，有()()20f x f x x --+=，当(],0x ∈-∞时，()12f x x '+<.若()()222f m f m m +--≤+，则实数m 的取值范围是.15．(本小题满分13分）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2sin cos cos sin A B C B C =⋅+⋅.(1)求角A 的大小；(2)若2b c =，ABC V 的面积为ABC V 的周长.16．(本小题满分15分）已知函数3212()232a f x x x ax +=-+．(1)若1a =，求函数()f x 的极值；(2)讨论函数()f x 的单调性．17．设(本小题满分15分）抛物线2: 2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，AB 为过焦点F 且垂直于x 轴的抛物线C 的弦，已知以AB 为直径的圆经过点()1,0-.（1）求p 的值及该圆的方程；（2）设M 为l 上任意一点，过点M 作C 的切线，切点为N ，证明：MF FN ⊥.………………………18．(本小题满分17分）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈.)(2)（i ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；（ii ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.19．(本小题满分17分）定义：已知数列{}n a 为有穷数列，①对任意,i j （*,,i j i j ∈≤N ），总存在*1k ∈N ，使得1i k j a a a =，则称数列{}n a 为“乘法封闭数列”；②对任意,i j（*,,i j i j ∈≤N ），总存在*2k ∈N ，使得2ik ja a a =，则称数列{}n a 为“除法封闭数列”，(1)若*32(120,)n a n n n =-≤≤∈N ，判断数列{}n a 是否为“乘法封闭数列”.(2)已知递增数列238,,1,a a ，为“除法封闭数列"，求2a 和3a .(3)已知数列{}n a 是以1为首项的递增数列，共有k 项，*5,k k ≥∈N ，且为“除法封闭数列”，探究：数列{}na 是否为等比数列，若是，请给出说明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列{}n a 的通项公式.………………………。

广东省东莞市2021届新高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i 是虚数单位，21iz i=-则||z =（ ） A ．1 B ．2CD．【答案】C 【解析】 【分析】由复数除法的运算法则求出z ，再由模长公式，即可求解. 【详解】由22(1)1,||1i i z i z i +==-+=-故选:C. 【点睛】本题考查复数的除法和模，属于基础题.2．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I=（ ） A ．4510 B ．4510-C ．32-D ．3210-【答案】D 【解析】 【分析】 由1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭得lg 1210L I =-，分别算出1I 和2I 的值，从而得到12I I 的值. 【详解】 ∵1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭， ∴()()1210lg lg1010lg 12L I I -=-=+，∴lg 1210LI =-， 当160L =时，1160lg 121261010L I =-=-=-，∴6110I -=，当275L =时，2275lg 1212 4.51010L I =-=-=-，∴ 4.5210I -=， ∴36 1.5124.5210101010I I ----===， 故选：D. 【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.3．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36 B ．72C ．36-D ．36±【答案】A 【解析】 【分析】根据4a 是2a 与6a 的等比中项，可求得4a ，再利用等差数列求和公式即可得到9S . 【详解】等比数列{}n a 满足21a =，616a =，所以44a ==±，又2420a a q =⋅>，所以44a =，由等差数列的性质可得9549936S b a ===. 故选：A 【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题. 4．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件．故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．5．盒子中有编号为1，2，3，4，5，6，7的7个相同的球，从中任取3个编号不同的球，则取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率是（ ） A ．235B ．835C ．635D ．37【答案】B 【解析】 【分析】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1142C C ，所有的情况有37C 种，由古典概型的概率公式即得解. 【详解】由题意，取的3个球的编号的中位数恰好为5的情况有1142C C ，所有的情况有37C 种 由古典概型，取的3个球的编号的中位数恰好为5的概率为：114237835C C P C ==故选：B 【点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为2c ，过左焦点1F 作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段1PF 的中点在圆222:O x y c +=上，则该双曲线的离心率为（ ） AB． C1 D．1【答案】C 【解析】 【分析】设线段1PF 的中点为A ，判断出A 点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率. 【详解】设线段1PF 的中点为A ，由于直线1F P 的斜率是1，而圆222:O x y c +=，所以()0,A c .由于O 是线段12F F 的中点，所以222PF OA c ==，而1122PF AF ===，根据双曲线的定义可知122PF PF a -=，即2222c c a -=，即21222ca==+-.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法，考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.7．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角 C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】对于A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角或平角；对于C 当m=0时，满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断． 【详解】选项A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确； 选项B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角或平角，因此不正确.选项C 当m=0时,满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立，因此不正确；选项D 若“()x A B ∈I ”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈U ”，因此“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件，故正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.8．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,剩余部分体积是正方体体积的56,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.9．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．)2,⎡+∞⎣B ．[)2,+∞C ．(2⎤⎦D ．(]1,2【答案】C 【解析】 【分析】求得双曲线的渐近线方程，可得圆心()0,2到渐近线的距离d ≥，由点到直线的距离公式可得a 的范围，再由离心率公式计算即可得到所求范围． 【详解】双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为1y x a =，即0x ay -=，由题意知，直线0x ay -=与圆()2222x y +-=相切或相离，则d =≥，解得1a ≥，因此，双曲线的离心率(c e a ==.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用圆心到渐近线的距离不小于半径，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10．已知x ，y 满足2y xx y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A ．4B ．34C ．211D ．14【答案】D 【解析】试题分析：先画出可行域如图：由{2y x x y =+=，得(1,1)B ，由{x a y x==，得(,)C a a ，当直线2z x y =+过点(1,1)B 时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点(,)C a a 时，目标函数2z x y =+取得最小值，最小值为3a ；由条件得343a =⨯，所以14a =，故选D.考点：线性规划.11．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )A．12πB．16πC．24πD．48π【答案】A【解析】【分析】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入求得表面积公式计算．【详解】由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2，底面为等腰直角三角形，斜边长为22，如图：⊥，且OD⊂平面SAC，∆ABC∴的外接圆的圆心为斜边AC的中点D，OD ACQ，==SA AC2∴的中点O为外接球的球心，SC∴半径R =∴外接球表面积4312S ππ=⨯=．故选：A 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键．12．已知命题p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥；命题q ：a b >，则有22a b >．则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】B 【解析】 【分析】先分别判断命题,p q 真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论. 【详解】p 为真命题；命题q 是假命题，比如当0a b >>,或=12a b =-，时，则22a b > 不成立. 则p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ⌝∨均为假. 故选:B 【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

冲刺2021高考数学全真模拟卷（新高考专用）第五模拟注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．（2020·江西高三期中（理））若集合{}2xA x y ==，集合{B x y ==，则AB =（ ）A ．()0,∞+B ．()1,+∞C ．[)0,+∞D ．(),-∞+∞【答案】C 【详解】因为{}2xA x y R ===,{[0,)B x y ===+∞，所以AB =[)0,+∞，故选：C2．（2020·湖南高三开学考试）设复数1z i =-，则3z =（ ） A ．22i -+ B ．22i +C ．22i --D ．22i -【答案】C 【详解】()()()()()3231112122z i i i i i i =-=--=--=--，故选：C.3．（2020·全国高三其他模拟（文））设0.3log 0.5a =，4log 0.5b =，则下列结论错误的是（ ）A ．0ab <B ．0a b +>C ．()21ab a +<D ．22116a b+> 【答案】C 【详解】解:选项A:易知0a >，0b <，所以A 正确；选项B:因为0.50.50.511log 0.3log 4log 1.20a b+=+=<， 即0a bab+<，又0ab <，所以0a b +>，B 正确； 选项C:又0.51log 0.31a =>，41log 0.52b ==-，所以111122b a a +=->，从而()21ab a +>，C 错误； 选项D:又()()2260.50.522221110log 0.3log 44log log 263a b +=+>>=，可知D 正确. 综上，A ，B ，D 正确，C 错误. 故选:C4．（2020·江苏海安市·高三期中）函数222xy x x-=+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【详解】函数定义域为{}|0x x ≠，则22()()1xf x f x x -=-=-+，函数为奇函数，排除BD ， 又2(1)111f ==+，416(2)11744f ==+，所以()1)(2f f >即()f x 在0x >时不是单调递增，排除C ． 故选：A ．5．（2020·湖南高三开学考试）为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量()mg/L P 与时间()h t 的关系为0ktP P e -=.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少27%需要花的时间约为（ ）A ．13小时B ．15小时C ．17小时D ．19小时【答案】B 【详解】由已知5t h =时，()00110%90%P P P =-=，故50090%k PP e -=，解得ln 0.95k =-； 污染物减少27%，即()30000127%73%0.7290.9P P P P P =-=≈=，由()()ln0.93ln0.955500000.90.9tt t P P e P eP ===，所以()350.90.9t =，则15t h =.故选：B.6．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））若函数()3211232x b f ax x c x =+++在()0,1上取得极大值，在()1,2上取得极小值，则31b a --的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【详解】∵()3211232x b f ax x c x =+++ ()22f x x ax b ∴=++'∵函数f (x )在()0,1上取得极大值，在()1,2上取得极小值，()()()001020f f f ''⎧'>⎪∴<⎨⎪>⎩，即021020b a b a b >⎧⎪++<⎨⎪++>⎩， 在直角坐标系aOb 中画出不等式组所表示的区域如图所示：这是由()()()2,0,1,0,3,1A B C ---为顶点的三角形及其内部区域，31b a --可看作区域上点(),P a b 与点()1,3M 的连线的斜率， 结合图形可知313,122b a -⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭故选：D7．（2020·河南高二月考（文））已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，P是椭圆上一点，且12122PF PF PF PF ⋅=⋅，若12F PF △的内切圆的半径r 满足1123sin PF r F F P =∠，则椭圆的离心率为（ ）A ．47B ．23C ．37D ．13【答案】C 【详解】由题可知1212121222cos ,PF PFPF PF PF PF PF PF ⋅=⋅=⋅，即121cos ,2PF PF =，123F PF π∴∠= 在12F PF △中，利用椭圆定义知212PF PF a +=，由余弦定理得()()2222222212121122121212122424cos 3222PF PF PF PF c PF PF F F a PF PF c PF PF PF PF PF PF π+--+---===即2212142122b PF PF PF PF -=，整理得22143PF PF b = 易得面积122221114=sin 2323F PF SPF PF b π=⨯= 又12F PF △的内切圆的半径为r ，利用等面积法可知12211211=()(22)()22F PF SPF PF F F r a c r a c r ++=+=+， 所以1223F PF S r a c a c==++ 由已知1123sin PF r F F P=∠，得1123sin PF r F F P =∠，则2112sin 33PF a F F Pc ⨯=+∠，即121sin PF F F P =∠在12F PF △中，利用正弦定理知1211212sin sinsi 2n3PFF c F F F PF F P π===∠∠即()2234b c a c a c =⇒=++，又222b a c =-，整理得22437ac a c =- 两边同除以2a ，则2437e e =-，解得37e =或1e =-（舍去） 故选：C.8．（2020·江西宜春市·高一期末）已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30~7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45~7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是（ ） A ．12B ．16C ．19D ．112【答案】D 【详解】设甲到起点站的时间为：6时x 分，乙到起点站的时间为6时y 分，所以30604575x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，记事件A 为甲乙搭乘同一辆公交车， 所以(){}(){}(){},|4550,4550,|5055,5055,|5560,5560A x y x y x y x y x y x y =≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤，作出可行域以及目标区域如图所示：由几何概型的概率计算可知：()5531 303012P A⨯⨯==⨯.故选：D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．（2020·江苏高三月考）从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A．2个球都是红球的概率为16B．2个球中恰有1个红球的概率为12C．至少有1个红球的概率为23D．2个球不都是红球的概率为13【答案】ABC 【详解】A. 因为从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，所以2个球都是红球的概率为111326p=⨯=，故正确；B. 因为从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，所以2个球中恰有1个红球的概率为111111132322p⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确；C. 因为从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，所以至少有1个红球的概率为1111112113232323p ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故正确； D. 因为从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，所以2个球不都是红球的概率为1151326p =-⨯=，故错误； 故选：ABC10．（2020·吕叔湘中学高三月考）关于函数1π1π()4sin 4cos 2323f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论正确的有（ ）A ．f (x )的一个周期为π2； B ．f (x )在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；C ．.1()4sin 42g x x =+1cos 2x 的值域与f (x )相同D ．f (x )的值域为【答案】BCD 【详解】A. 1π1π()4sin ()4cos ()2223223f x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1717114sin 4cos 4cos 4sin ()212212212212x x x x f x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，错误；B.当π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，17π17π,231224x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1π1π1()4sin 4cos 2323212f x x x x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，单调递增区间为122,22122k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈， 得7544,66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，当0k =时，π3π75,,2466ππ⎡⎤⎡⎤⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，正确；C. 把函数1π1π()4sin 4cos 2323f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右移动23π单位得到12π12π11()4sin ()4cos ()4sin 4cos 23323322g x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又它们的定义域都为R ，所以它们的值域相同，正确； D ．由C 知函数()f x 与()g x 的值域相同，1()4sin 422g x x ππ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1cos ()22x g x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以[]0,x π∈时，1()4sin 42g x x =+1cos 224x x π⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 所以正确. 故选：BCD.11．（2020·湖北东西湖区·华中师大一附中高三期中）下列不等式中成立的是（ ） A ．0.30.70.40.1<B ．45log 3log 4<C ．131sinsin 223< D ．π>【答案】BCD 【详解】对于选项A ：因为幂函数0.3y x=在()0,∞+单调递增，0.40.1>，所以0.30.30.40.1>因为指数函数0.1xy =在R 上单调递减，0.30.7<所以0.30.70.10.1>，所以0.30.30.70.40.10.1>>，故选项A 不正确；对于选项B ：因为4log 30>，5log 40>，所以()()()2242225lg 3lg 5lg16log 3lg 315lg 3lg 5221log 4lg 414141414g g g g g ⨯⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭=⨯=≤<=， 所以45log 31log 4<，即lg 3lg 4lg 4lg 5<，故选项B 正确； 对于选项C ：令sin ()x f x x =，则22cos sin cos (tan )()0x x x x x x f x x x --'==< 所以()f x 在(0,1)上递减，所以11sinsin321123<，即131sin sin 223<，故选项C 正确； 对于选项D ：令2ln 2ln ()(0)x xg x x x x==>，则22(1ln )()x g x x -'=， 所以()g x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，而0e <<<,所以gg =<=<所以ln π>，即ln π>π>D 正确，综上正确答案为BCD. 故选：BCD12．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考）已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确；B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=， 因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确； C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n na a +->， 则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>， 所以112n n n a a a ++>，所以D 错误. 故选：AB.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（2020·江西高三期中（理））平面向量a 与b 的夹角为60︒，且()3,0a =，1b =，则2a b +=________.【详解】∵向量a 与b 的夹角为60︒，()3,0a =，1b =，||3a →∴=∴313cos602a b ⋅=⨯⨯︒=，则()222224494a b a ba ab b +=+=+⋅+=+=14．（2020·湖北东西湖区·华中师大一附中高三期中）习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．2020年1月8日，人力资源和社会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.意见指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列{}n a （单位：万元），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金1a （万元）的3倍，已知221250a a +=．则该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为______万元） 【答案】100 【详解】由题意知，五年累计总投入资金为()()123451313112535155310a a a a a a a a a a a a +++++⨯=+=+=+100=≤=，当且仅当12a a =时等号成立，所以该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为100万元.15．（2020·永安市第一中学高二期中）已知三棱锥S ABC -内接于球O ，且2AB =，SA a =，AB SC ⊥，若三棱锥S ABC -的体积为4，又AC 过球心O ，则球O 的表面积最小值是_______. 【答案】28π【详解】由题意，因为AC 过球心O ，所以AC 为球的直径，可得90ASC ∠=，因为AB SC ⊥，SC SA ⊥，且ABSA A =，所以SC ⊥平面ABS ，所以SC SB ⊥， 设SAB θ∠=，SC h =， 因为2AB =，SA a =，可得12sin sin 2SABSa a θθ=⨯= 所以11sin 433C SAB SABV S SC a h θ-=⨯=⋅=，所以sin 12ah θ=，即12sin a hθ=， 在SAB 中，可得2222222cos 43cos SB a a a a θθ=+-⨯⨯=+-，在直角SBC 中，可得22222222284cos AC h SB a h a SC AS h a θ=+=++-=+=+， 整理得84cos 0a θ-=，即cos 2a θ=，联立方程组12sin cos 2a h a θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ，可得221444a h =+，又由22222144(2)4442428R h a h h =+=++≥+=+=， 当且仅当22144h h =时，即h = 所以2428R ≥，即27R ≥，所以2R 最小值为7， 所以外接球的表面积的最小值为4728ππ⨯=.16．（2020·全国高二课时练习）设抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点M 满足()12OM OA OB =+，过M 作y 轴的垂线与抛物线交于点P ，若2PF =，则点P 的横坐标为__________，AB =__________． 【答案】1 8 【详解】由于点M 满足()12OM OA OB +=，所以M 是线段AB 的中点.抛物线的焦点坐标为()1,0F ，准线方程为1x =-.设()00,P x y ，由于P 在抛物线上，且2PF =，根据抛物线的定义得012x +=，所以01x =，则02y =±，不妨设()1,2P .若直线l 斜率不存在，则()()1,2,1,2A B -，则()1,0M ，此时M 的纵坐标和P的纵坐标不相同，不符合题意.所以直线l 的斜率存在.设()()1122,,,A x y B x y ，设直线l 的方程为()1y k x =-，代入抛物线方程并化简得()2222240k x k x k -++=，则1212242,1x x x x k+=+⋅=.由于M 是线段AB 中点，所以1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，而()1,2P ，所以1222y y +=，即124y y +=，即()()()1212244112224k x k x k x x k k k k k ⎛⎫-+-=+-=++== ⎪⎝⎭，解得1k =.所以12246x x +=+=，所以()3,2M ，则M 到准线1x =-的距离为4，根据抛物线的定义结合中位线的性质可知428AB =⨯=. 故答案为：(1). 1 (2). 8四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．（2020·江西高三期中（文））设函数()()21sin 2cos 62f x x x x R π⎛⎫=-+-∈ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最大值和最小正周期；（2）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2a =，210A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且6B π=，求b 的值.【答案】（1）函数()f xπ；（2）5b =. 【详解】（1）()2111cos 21sin 2cos sin 2cos 2sin 26222222x f x x x x x x π+⎛⎫=-+-=-+-= ⎪⎝⎭，所以，()max2f x =，函数()f x 的最小正周期为22T ππ==； （2）2A f A ⎛⎫==⎪⎝⎭，1sin 5A ∴=， 由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以，12sin 251sin 5a B b A ⨯===.18．（2020·天津滨海新区·大港一中高三期中）已知等比数列{}n a 的公比0q >，且满足1236a a a +=，2434a a =，数列{}n b 的前n 项和(1)2n n n S +=，*n N ∈. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设2238,,n n n n n n nb a n b bc a b n +++⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .【答案】（1）1,2nn a n N *⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭；,n b n n N *=∈；（2）21251341184(21)92n n n -⎛⎫+⎛⎫-+⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭.【详解】（1）依题意，由1236a a a +=，2434a a =，可得21113221164()a a q a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，因为0q >，所以解得12q =，112a =， 1111·()()222n nn a -∴==，*n N ∈，对于数列{}n b ：当1n =时，111b S ==，当2n 时，1(1)(1)22n n n n n n n b S S n -+-=-=-=， 当1n =时，11b =也满足上式，n b n ∴=，*n N ∈.（2）由题意及（1），可知：当n 为奇数时，22223838111·()(2)22(2)2n n n n n n n n b n c a b b n n n n ++++++==⨯=-+⨯+⨯， 当n 为偶数时，1··()2nn n n c a b n ==， 令1321n A c c c -=+++，242n B c c c =+++，则1321n A c c c -=++⋯+1335212111111112323252(21)2(21)2n n n n -+=-+-++-⨯⨯⨯⨯-⨯+⨯1211112(21)2n n +=-⨯+⨯ 21112(21)2n n +=-+⨯， 2462246211112()4()6()2()2222n n B c c c c n =+++⋯+=⨯+⨯+⨯++⨯，24622211111()2()4()(22)()2()22222n n B n n +∴=⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减，可得2462223111112()2()2()2()2()422222n n B n +=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯，135212211111()()()()2()22222n n n -+=++++-⨯， 21222222211111()22112222()112211()22nn n n n n +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⨯=-⨯ ⎪⎝⎭--， 21241()()332n n +=-+⨯， 218341·()992n n B -+∴=-， 2122n n T c c c ∴=++⋯+13212462()()n n c c c c c c c -=++⋯+++++⋯+A B =+2121113418·()2(21)2929n n n n -++=--++⨯ 21251341()()184(21)92n n n -+=-+⨯+.19．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，160C CA ∠=︒，AB AC ⊥，12AC AB AA ===．（1）求证：11CA BC ⊥；（2）求三棱柱111ABC A B C -的侧面积．【答案】（1）证明见解析；（2）4+【详解】解：（1）如图所示：连接1AC ，∵1AC AA =，∴侧面11ACC A 是菱形，∴11AC CA ⊥，∵侧面11AA C C ⊥底面ABC ，且平面ABC 平面11AAC C AC =，AB AC ⊥，∴AB ⊥平面11AAC C ，又∵1CA ⊂平面11AAC C ，∴1CA AB ⊥，又1AC AB A =，∴1CA ⊥平面1C AB ，又1BC ⊂平面1C AB ，∴11CA BC ⊥；（2）如上图：设棱CA 的中点为D ，连1C D ，BD ，则1C D AC ⊥，∴1C D ⊥底面ABC ．从而1C D BD ⊥，由160C CA ∠=︒，12AC AB AA ===，得：1AD =，1C =∴2222221118BC BD DC BA AD DC =+=++=，在1BCC 中，由余弦定理得:2221111cos 2BC CC BC BCC BC CC +-∠==⋅，即1sin 4BCC ∠=，∴1111sin BCC B SCB CC BCC =⋅∠=，由（1）知AB ⊥平面11AAC C ，∴1AA AB ⊥，1114BAA B SAB AA =⋅=，又11ACC ASCA C D =⋅=∴三棱柱111ABC A B C -的侧面积为4+．20．（2020·广西高三一模（理））某市在争取创建全国文明城市称号，创建文明城市简称创城.是极具价值的无形资产和重要城市品牌.“创城”期间，将有创城检查人员到学校随机找人进行提问.问题包含：中国梦内涵、社会主义核心价值观、精神文明“五大创建”活动、文明校园创建“六个好”、“五个礼让”共5个问题，提问时将从中抽取2个问题进行提问.某日，创城检查人员来到A 校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只背了5个问题中的2个，乙背了其中的3个，丙背了其中的4个.计一个问题答对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分60分，达到30分该学校为合格，达到50分时该学校为优秀. （1）求A 校优秀的概率（保留3位小数）；（2）求出A 校答对的问题总数X 的分布列，并求出A 校得分的数学期望； （3）请你为创建全国文明城市提出两条合理的建议.【答案】（1）0.174；（2）分布列见解析，A 校得分的数学期望为36；（3）答案见解析. 【详解】（1）记A 校答对的题目个数为X ，记事件:M A 校优秀，则()()()()1122211222122232342324234234325174560.1741000C C C C C C C C C C C C C C P M P X P X C +++==+====； （2）由题意可知随机变量X 的可能取值为1、2、3、4、5、6，()()22132432512611000500C C C P X C ====，()()11212111222232433243243251145721000500C C C C C C C C C C C P X C ++====，()()2212211111111222112224334233242324332432532816431000500C C C C C C C C C C C C C C C C C C C P X C ++++====， ()()2111112122222211112232423342243342323432537218641000500C C C C C C C C C C C C C C C C C C C P X C ++++====，()()11222112221323423242343251567851000500C C C C C C C C C C C P X C ++====，()()22223432518961000500C C C P X C ====，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：随机变量X 的数学期望为()181234565005005005005005005E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 因此，A 校得分的数学期望为()181010365E X =⨯=； （3）建议：①强化公民道德教育，提高市民文明程度；②加强基础设施建设，营造优美人居环境.21．（2020·全国高三其他模拟（文））已知椭圆(222:13x y C a a +=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，点P为椭圆C 上异于1A ，2A 的一点，且直线1PA ，2PA 的斜率之积为34-. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 过右焦点2F 与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N 与1A 不重合），l 不与x 轴垂直，若11A M A N MN k k k +=-，求MN .【答案】（1）22143x y +=；（2）247. 【详解】解：（1）设()00,P x y ，由题意知：()1,0A a -，()2,0A a ，122022000222220000313PA PA x a y y y k k x a x a x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---，2334a ∴-=-， 解得：24a =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）根据题意，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线():10MN x my m =+≠，由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去x 并整理得：()2234690m y my ++-=，则()223636340m m ∆=++>，即122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，1112A M y k x =+，1222A N y k x =+， 11A M A N k k ∴+()()()()1221122222y x y x x x +++=++()()()()1221213333y my y my my my +++=++()()2122112122339y y y m y y y my m y ++=+++ 222229623343496393434m m m m m m m m m =⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+⨯-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⨯ 3636m -= m =-，又1MN k m=， 由11A M A N MN k k k +=-，得：10m m-=， 解得：21m =，1267y y ∴+=，1297y y =-，故12247MN y y =-==. 22．（2020·河南洛阳市·高三月考（文））已知函数()()1xe f x a x e x=+--．（1）当0a =时，求函数()f x 的极值；（2）当0a >时，证明：()f x 在()0,1上存在唯一零点． 【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）证明见解析. 【详解】（1）当0a =时，()x e f x e x=-，()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()()21x e x f x x-'=由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得1x <，且0x ≠， ∴()f x 在()1,+∞上单调递增，在(),0-∞，()0,1上单调递减． ∴当1x =时，()f x 取得极小值()10f =，无极大值． （2）证明：当()0,1x ∈时，()()()2100xx e f x a x e e ax a e x x=+--=⇔+-+=．令()()2xg x e ax a e x =+-+，则()f x 在()0,1上的零点即()g x 在()0,1上的零点()2x g x e ax a e '=+--，令()()2xh x g x e ax a e '==+--，则()2xh x e a '=+．当0a >时，则()0h x '>，∴()()h x g x '=在区间()0,1上单调递增．又()()0010h g a e '==--<，()()110h g a '==>， ∴存在()00,1x ∈使得()()000h x g x '==， ∴当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当()0,1x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增． 又因为()01g =，()()010g x g <=， ∴在()00,x x ∈上()g x 存在一个零点， 在()0,1x x ∈上()g x 没有零点，∴()g x 在()0,1上存在唯一零点，即()f x 在()0,1上存在唯一零点．。

2021高考数学全真模拟卷（新高考专版）第八模拟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，则A∩N＝（）A．{1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩N＝{0，1}．故选：B．2．已知i是虚数单位，1+（a﹣1）i＞0（a∈R），复数z＝a﹣2i，则||＝（）A．B．5C．D．【分析】先根据已知条件求出a；再根据长度定义即可求解．【解答】解：因为：i是虚数单位，1+（a﹣1）i＞0（a∈R），所以：a﹣1＝0⇒a＝1；∴z＝1﹣2i，则||＝||＝||＝；故选：C．3．函数y＝f（x）是R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝2x，则当x＞0时，f（x）＝（）A．﹣2x B．2﹣x C．﹣2﹣x D．2x【分析】x＞0时，﹣x＜0，根据已知可求得f（﹣x），根据奇函数的性质f（x）＝﹣f（﹣x）即可求得f （x）的表达式．【解答】解：x＞0时，﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）＝2x，∴当x＞0时f（﹣x）＝﹣2﹣x，∵f（x）是R上的奇函数，∴当x＞0时，f（x））＝﹣f（﹣x）＝﹣2﹣x．故选：C．4．已知a∈R，则“0＜a＜1”是“∀x∈R，ax2+2ax+1＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】“∀x∈R，ax2+2ax+1＞0”⇔，或a＝0，1＞0，解得a范围即可判断出结论．【解答】解：“∀x∈R，ax2+2ax+1＞0”⇔，或a＝0，1＞0，解得0≤a＜1．∴“0＜a＜1”是“∀x∈R，ax2+2ax+1＞0”的充分不必要条件．故选：A．5．已知向量＝（1，1），＝（﹣1，3），＝（2，1），且（﹣λ）∥，则λ＝（）A．3B．﹣3C．D．【分析】利用（﹣λ）∥，列出含λ的方程求解即可．【解答】解：因为﹣λ＝（1+λ，1﹣3λ），又因为（﹣λ）∥，所以1×（1+λ）﹣2×（1﹣3λ）＝7λ﹣1＝0，解得λ＝，故选：C．6．将曲线y＝f（x）cos2x上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线y＝cos2x，则＝（）A．1B．﹣1C．D．【分析】首先利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值．【解答】解：曲线y＝f（x）cos2x上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到：y＝f（x）cos x，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到：y＝＝cos2x，所以f（）＝＝＝．设，解得x＝2t+，所以f（t）＝＝2cos（2t+）＝﹣2sin2t．所以f（x）＝﹣2sin2x．所以，故选：D．7．已知f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣1恰有一个零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，1]【分析】先画x≥1的图象单调递增，由f（x）＝f（2﹣x）是关于x＝1对称可得f（2﹣x）的图象，单调递减，而f（2﹣x）+k是f（2﹣x）的图象上下平行移动得到，要使函数y＝f（x）﹣1恰有一个零点，只需将f（2﹣x）的图象向上平行移动，可得结果．【解答】解：由f（x）＝，可得f（x）＝f（2﹣x）为关于x＝1对称，画出x≥1的图象，单调递增的，由对称得f（2﹣x）的图象单调递减，而f（2﹣x）+k是f（2﹣x）的图象上下平行移动得到，y＝f（x）﹣1恰有一个零点即是f（x）＝1的根，所以可得k≥1，故选：B．8．已知直线l1：kx+y＝0（k∈R）与直线l2：x﹣ky+2k﹣2＝0相交于点A，点B是圆（x+2）2+（y+3）2＝2上的动点，则|AB|的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由l1：kx+y＝0恒过定点O（0，0），直线l2：x﹣ky+2k﹣2＝0恒过定点C（2，2）且l1⊥l2，可知A在以OC为直径的圆D上，要求|AB|的最大值，转化为在D上找一点A，使AB最大，结合圆的性质可求．【解答】解：因为线l1：kx+y＝0恒过定点O（0，0），直线l2：x﹣ky+2k﹣2＝0恒过定点C（2，2）且l1⊥l2，故两直线的交点A在以OC为直径的圆上，且圆的方程D：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，要求|AB|的最大值，转化为在D：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2上找一点A，在E：（x+2）2+（y+3）2＝2上找一点B，使AB最大，根据题意可得两圆的圆心距＝5，则|AB|max＝5+2．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（）A．女生身高的极差为12B．男生身高的均值较大C．女生身高的中位数为165D．男生身高的方差较小【分析】A、根据极差的公式：极差＝最大值﹣最小值解答；B、根据两组数据的取值范围判断均值大小；C、根据中位数的定义求出数值；D、根据两组数的据波动性大小；【解答】解：A、找出所求数据中最大的值173，最小值161，再代入公式求值极差＝173﹣161＝12，故本选项符合题意；B、男生身高的数据在167～192之间，女生身高数据在161～173之间，所以男生身高的均值较大，故本选项符合题意；C、抽取的10名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为165和167，所以中位数是166，故本选项不符合题意；D、抽取的学生中，男生身高的数据在167～192之间，女生身高数据在161～173之间，男生身高数据波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意．故选：AB．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l．设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E，∠EPF的外角平分线交x轴于点Q，过Q作QM⊥PE于M，过Q作QN⊥PE交线段EP的延长线于点N，则（）A．|PE|＝|PF|B．|PF|＝|QF|C．|PN|＝|MF|D．|PN|＝|KF|【分析】由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离可得A正确；角平分线性质及平行线的性质可得B正确；由平行四边形的性质及直角三角形中边长的关系可得D正确；假设C正确得到角PFQ为定值，而由题意可得P为动点，所以C不正确．【解答】解：由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，所以由题意可得|PF|＝|PE|，即A正确；PQ为∠EPF的外角平分线，所以∠FPQ＝∠NPQ，又EP∥FQ，所以∠NPQ＝∠PQF，所以∠FPQ＝∠PQF，所以|PF|＝|QF|，所以B正确；连接EF，由上面可得：PE＝PF＝QF，PE∥FQ，所以四边形EFQP为平行四边形，所以EF＝PQ，EF ∥PQ所以∠EFK＝∠PQF＝∠QPN，在△EFK中，KF＝EF•cos∠EFK，△PQN中，PN＝PQ•cos∠QPN，所以FK＝PN；所以D正确；C中，若PN＝MF，而PM＝PN，所以M是PF的中点，PM⊥PF，所以PQ＝FQ，由上面可知△PQF 为等边三角形，即∠PFQ＝60°，而P为抛物线上任意一点，所以∠PFQ不一定为60°，所以C不正确；故选：ABD．11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则（）A．CM与PN是异面直线B．CM＞PNC．平面P AN⊥平面BDD1B1D．过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形【分析】A．根据ANCPM共面，因此CM与PN不是异面直线，即可判断出正误；B．由CM≥AC＝AB，PN＜A1N＝＝AB＜AB，即可判断出正误．C．利用线面垂直的判定定理可得：AN⊥平面BDD1B1，因此平面P AN⊥平面BDD1B1，即可判断出正误；D．过P，A，C三点的正方体的截面与C1D1相交于点Q，可得AC∥PQ，且PQ＜AC，可得一定是等腰梯形．【解答】解：A．∵ANCPM共面，因此CM与PN不是异面直线，不正确；B．∵CM≥AC＝AB，PN＜A1N＝＝AA1＝AB＜AB，因此CM＞PN，因此正确．C．∵AN⊥BD，AN⊥BB1，BD∩BB1＝B，∴AN⊥平面BDD1B1，∴平面P AN⊥平面BDD1B1，因此正确；D．过P，A，C三点的正方体的截面与C1D1相交于点Q，则AC∥PQ，且PQ＜AC，因此一定是等腰梯形，正确．故选：BCD．12．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km，从P点沿海岸正东12km处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h，步行的速度为5km/h，时间t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离．设，，则（）A．函数v＝f（u）为减函数B．15t﹣u﹣4v＝32C．当x＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D．当x＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h【分析】由题意可知，∴，是减函数，故选项A正确，又：，0≤x≤12，化简即可得到15t﹣u﹣4v+36＝0，故选项B错误，利用导数可得当x＝时，t（x）最小，且最短时间为h，故选项C正确，当x＝4时，t＝，故选项D错误．【解答】解：∵，，∴，∴，是减函数，故选项A正确，由题意可知：，0≤x≤12，∴＝＝＝u+4v﹣36，∴15t﹣u﹣4v+36＝0，故选项B错误，∵，0≤x≤12，∴，令t'＝0得，x＝，当x，t'＜0，t（x）单调递减；当x时，t'＞0，t（x）单调递增，∴当x＝时，t（x）最小，且最短时间为h，故选项C正确，当x＝4时，t＝，故选项D错误，故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱．下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）．如用两个埃及分数与的和表示等．从这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们的和为1，这三个分数是．（按照从大到小的顺序排列）【分析】由即可求出答案．【解答】解：∵，∴这三个分数是：，故答案为：．14．在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是O，始边是x轴的非负半轴，0＜α＜2π，点是α终边上一点，则α的值是．【分析】由已知利用任意角的三角函数定义求得tanα的值，由题意可求1﹣tan＞0，结合范围0＜α＜2π，可得0＜α＜，根据特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：∵点是α终边上一点，∴tanα＝＝＝＝＝，∵0＜＜，可得tan＜tan＝，可得1﹣tan＞1﹣＞0，又∵0＜α＜2π，可得0＜α＜，∴α＝．故答案为：．15．已知F为双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为．【分析】由题意画出图形，可得＝tan60°＝，结合隐含条件及离心率公式求解．【解答】解：如图，F为双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，FD与直线y＝x垂直，垂足为D，|FD|＝|OF|，则∠DOF＝60°，可得＝tan60°＝，得＝3，∴e＝＝＝＝2．故答案是：2．16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥AB，PC⊥BC，AB⊥BC，AB＝2BC＝2，，则P A与平面ABC 所成角的大小为；三棱锥P﹣ABC外接球的表面积是．【分析】先确定三棱锥P﹣ABC外接球的球心为PB的中点，从而求出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积，再利用球心O找出P A⊥平面ABC，从而找出P A与平面ABC所成角的平面角，再利用勾股定理即可求出结果．【解答】解：取PB的中点O，AC的中点D，连接BD并延长至点E，使得BD＝DE，连接AE，PE，OD，如图所示：∵△P AB和△PCB是同斜边的直角三角形，∴三棱锥P﹣ABC外接球的球心为PB的中点，又∵，∴三棱锥P﹣ABC外接球的半径R＝，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为：4＝6π，∵AB⊥BC，∴点D为△ABC的外接圆圆心，∴OD⊥平面ABC，又∵点D是BE的中点，点O是PB的中点，∴PE⊥OD，∴PE⊥平面ABC，∴∠P AE为P A与平面ABC所成角的平面角，∵在Rt△OBD中，，∴PE＝2OD＝1，∵在Rt△P AB中，，∴在Rt△P AE中，，∴∠P AE＝45°，故答案为：450，6π．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在①；②2a+c＝2b cos C；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，a+c＝4，求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】先利用正弦定理边化角，再结合两角和与差的正弦公式，求出B，再利用余弦定理求出ac，从而求出三角形的面积．【解答】解：①若在横线上填写“”，则由正弦定理，得．由sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+cos B sin C，得．由0＜C＜π，得sin C≠0．所以．又cos B≠0（若cos B＝0，则sin B＝0，sin2B+cos2B＝0这与sin2B+cos2B＝1矛盾），所以．又0＜B＜π，得．由余弦定理及，得，即12＝（a+c）2﹣ac．将a+c＝4代入，解得ac＝4，所以＝＝；②若在横线上填写“2a+c＝2b cos C”，则由正弦定理，得2sin A+sin C＝2sin B cos C，由2sin A＝2sin（B+C）＝2sin B cos C+2cos B sin C，得2cos B sin C+sin C＝0，由0＜C＜π，得sin C≠0，所以cos B＝﹣，又B∈（0，π），所以B＝，由余弦定理及，得，即12＝（a+c）2﹣ac．将a+c＝4代入，解得ac＝4，所以＝＝；③若在横线上填写“”，则由正弦定理，得sin B sin A＝sin A sin，又A∈（0，π），所以sin A≠0，所以sin B＝sin＝，所以2sin cos＝，又0＜B＜π，所以，所以，所以sin＝，所以＝，即，由余弦定理及，得，即12＝（a+c）2﹣ac．将a+c＝4代入，解得ac＝4，所以＝＝；18．（12分）已知等比数列{a n}满足a1，a2，a3﹣a1成等差数列，且a1a3＝a4；等差数列{b n}的前n项和．求：（1）a n，b n；（2）数列{a n b n}的前项和T n．【分析】（1）设{a n}的公比为q，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式可得首项和公比，进而得到所求；（2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q．因为a1，a2，a3﹣a1成等差数列，所以2a2＝a1+（a3﹣a1），即2a2＝a3．因为a2≠0，所以．因为a1a3＝a4，所以．因此．由题意，＝．所以b1＝S1＝1，b1+b2＝S2＝3，从而b2＝2．所以{b n}的公差d＝b2﹣b1＝2﹣1＝1．所以b n＝b1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）•1＝n．（2）令c n＝a n b n，则．因此T n＝c1+c2+…+c n＝1×21+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n．又两式相减得＝＝2n+1﹣2﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2．所以．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD＝2，AB＝3，AP＝，AD∥BC，AD⊥平面P AB，∠APB＝90°，点E满足．（1）证明：PE⊥DC；（2）求二面角A﹣PD﹣E的余弦值．【分析】（1）根据边角关系，结合，求出PE⊥AB，得到PE⊥平面ABCD，所以PE⊥DC；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PDE的法向量为，平面APD的法向量为，利用向量的夹角公式，求出即可．【解答】（1）证明：在Rt△P AB中，由勾股定理，得＝＝．因为，，所以＝＝＝0，所以，因为AD⊥平面P AB，PE⊂平面P AB，所以PE⊥AD，又因为PE⊥AB，AB∩AD＝A，所以PE⊥平面ABCD，又因为DC⊂平面ABCD，所以PE⊥DC；（2）由，得．所以点E是靠近点A的线段AB的三等分点．所以．分别以，所在方向为y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），，E（0，1，0），，设平面PDE的法向量为＝（a，b，c），由，得令c＝1，则，设平面APD的法向量为＝（x，y，z），，，由，得，令x＝1，则，设向量夹角为θ，则cosθ＝＝＝．所以二面角A﹣PD﹣E的余弦值为．20．（12分）2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中．某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中．项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证．现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为p（0＜p＜1），若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0．项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区．据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p和1﹣p．（1）若投资项目一，记X1为盈利的天坑院的个数，求E（X1）（用p表示）；（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为X2百万元，求E（X2）（用p表示）；（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．【分析】（1）由题意X1～B（20，p），由此能求出盈利的天坑院数的均值．（2）若投资项目二，求出X2的分布列，由此能求出盈利的均值E（X2）．（3）若盈利，则每个天坑院盈利0.2×40%＝0.08（百万元），投资建设20个天坑院，盈利的均值为E （0.08X1）＝1.6p（百万元）.＝0.128p（1﹣p），D（X2）＝10.24p（1﹣p），由此分类讨论能求出结果．【解答】解：（1）由题意X1～B（20，p），则盈利的天坑院数的均值E（X1）＝20p．（2）若投资项目二，则X2的分布列为：X22﹣1.2P P1﹣p盈利的均值E（X2）＝2p﹣1.2（1﹣p）＝3.2p﹣1.2．（3）若盈利，则每个天坑院盈利0.2×40%＝0.08（百万元），所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为E（0.08X1）＝0.08E（X1）＝0.08×20p＝1.6p（百万元）．＝0.082×20p（1﹣p）＝0.128p（1﹣p），＝10.24p（1﹣p），①当E（0.08X1）＝E（X2）时，1.6p＝3.2p﹣1.2，解得．D（0.08X1）＜D（X2）．故选择项目一．②当E（0.08X1）＞E（X2）时，1.6p＞3.2p﹣1.2，解得．此时选择项一．③当E（0.08X1）＜E（X2）时，1.6p＜3.2p﹣1.2，解得．此时选择项二．21．（12分）设中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C过点，F为C的右焦点，⊙F的方程为x2+y2﹣2＝0．（1）求C的方程；（2）若直线（k＞0）与⊙O相切，与⊙F交于M、N两点，与C交于P、Q两点，其中M、P在第一象限，记⊙O的面积为S（k），求（|NQ|﹣|MP|）•S（k）取最大值时，直线l的方程．【分析】（1）根据题意求得焦点坐标，利用两点之间的距离公式，求得a的值，求得椭圆方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，根据韦达定理，及点到直线的距离公式求得（|NQ|﹣|MP|）•S（k）的表达式，利用基本不等式即可求得（|NQ|﹣|MP|）•S（k）的最大值，且能求得直线方程．【解答】解：（1）解：设C的方程为（a＞b＞0）．由题设知①因为⊙F的标准方程为，所以F的坐标为，半径．设左焦点为F1，则F1的坐标为．由椭圆定义，可得2a＝|AF1|+|AF|＝②由①②解得a＝2，b＝1．所以C的方程为．（2）由题设可知，M在C外，N在C内，P在⊙F内，Q在⊙F外，在直线l上的四点满足|MP|＝|MN|﹣|NP|，|NQ|＝|PQ|﹣|NP|．由消去y得因为直线l过椭圆C内的右焦点F，所以该方程的判别式△＞0恒成立．设P（x1，y1），Q（x2，y2）由韦达定理，得，．＝又因为⊙F的直径|MN|＝1，所以|NQ|﹣|MP|＝|PQ|﹣|NP|﹣（|MN|﹣|NP|）＝|PQ|﹣|MN|＝|PQ|﹣1＝．可化为．因为l与⊙O相切，所以⊙O的半径，所以S（k）＝πR2＝．所以＝＝＝π．当且仅当，即时等号成立．因此，直线l的方程为．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（2x+a）（x＞0，a＞0），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为．（1）求a；（2）讨论函数g（x）＝f（x）﹣2x（x＞0）和（x＞0）的单调性；（3）设，a n+1＝f（a n），求证：（n≥2）．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解，（2）结合导数与单调性的关系即可求解函数h（x）的单调性，（3）结合导数与单调性的关系及不等式的放缩法即可证明；法二：结合函数的性质及数学归纳法进行证明即可【解答】解：（1）对f（x）＝ln（2x+a）求导，得．因此．又因为f（1）＝ln（2+a），所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为，即．由题意，．显然a＝1，适合上式．令（a＞0），求导得，因此φ（a）为增函数：故a＝1是唯一解．（2）由（1）可知，g（x）＝ln（2x+1）﹣2x（x＞0），（x＞0），因为，所以g（x）＝f（x）﹣2x（x＞0）为减函数．因为＝，所以（x＞0）为增函数．（3）证明：由，a n+1＝f（a n）＝ln（2a n+1），易得a n＞0.由（2）可知，g（x）＝f（x）﹣2x＝ln（2x+1）﹣2x在（0，+∞）上为减函数．因此，当x＞0时，g（x）＜g（0）＝0，即f（x）＜2x．令x＝a n﹣1（n≥2），得f（a n﹣1）＜2a n﹣1，即a n＜2a n﹣1．因此，当n≥2时，＝．所以成立．下面证明：．方法一：由（2）可知，＝在（0，+∞）上为增函数．因此，当x＞0时，h（x）＞h（0）＝0，即．因此，即．令x＝a n﹣1（n≥2），得，即．当n＝2时，＝＝＝．因为，所以，所以．所以，当n≥3时，．所以，当n≥2时，成立．综上所述，当n≥2时，成立．方法二：n≥2时，因为a n＞0，所以．下面用数学归纳法证明：n≥2时，．①当n＝2时，a2＝f（a1）＝ln（2a1+1）＝＝ln1.8．而⇔1.82＞2⇔3.24＞2，因为3.24＞2，所以．可见n＝2，不等式成立．②假设当n＝k（k≥2）时不等式成立，即．当n＝k+1时，a n＝a k+1＝f（a k）＝ln（2a k+1）．因为，f（x）＝ln（2x+1）是增函数，所以＝ln2．要证，只需证明．而⇔4＞2，因为4＞2，所以．所以．可见，n＝k+1时不等式成立．由①②可知，当n≥2时，成立．。

本卷须知：1．本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第一卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第二卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一卷一．选择题：本大题共12小题，每题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．全集U=R,集合24{|},{|7120},2xA x yB x x x A x -===-+≤-则〔U C B 〕= A 、〔2，3〕 B 、〔2，4〕 C 、〔3，4] D 、〔2，4]2．在复平面内，复数〔i 为虚数单位〕的共轭复数对应的点位于( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．假设a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8=32，那么S 10等于( ) A 、18B 、24C 、60D 、904．假设a ，b 为实数，那么〝0＜ab ＜1”是〝〞的〔 〕A 、 充分而不必要条件B 、 必要而不充分条件C 、 充分必要条件D 、 既不充分也不必要条件5．双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点(3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线27y x = 的准线上，那么双曲线的方程为A 、2212128x y -=B 、2212821x y -=C 、22134x y -=D 、22143x y -=6．要得到函数的图象，只需将函数的图象〔 〕A 、 向左平移个单位长度B 、 向右平移个单位长度C 、 向左平移个单位长度D 、 向右平移个单位长度7．在公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3﹣a 72+2a 11=0，数列{b n }是等比数列，且b 7=a 7，那么log 2〔b 6b 8〕的值为( ) A 、2 B 、4 C ．8 D 、18．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，复旦大学，中国科技大学就读，那么每所大学至少保送一人的不同保送的方法数共有( )种． A 、150B 、180C 、240D 、3609．假设等边△ABC 的边长为，平面内一点M 满足，那么=( )A 、 2B 、-2C 、32-D 、3210．假设x 、y 满足，目标函数z=x ﹣ky 的最大值为9，那么实数k 的值是〔 〕A 、 2B 、1C ． -2D 、﹣111．三边长分别为3、4、5的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，假设点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，那么三棱锥P ﹣ABC 的体积为〔 〕A 、5B 、10C 、20D 、3012．过曲线C 1：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 1作曲线C 2：x 2+y 2=a 2的切线，设切点为M ，延长F 1M 交曲线C 3：y 2=2px 〔p ＞0〕于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，假设|MF 1|=|MN|，那么曲线C 1的离心率为( ) A 、B 、﹣1C 、+1D 、第二卷本卷包括必考题和选考题两部分。

黄金卷05（新课标Ⅱ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}2102{，，，-=A ，}1|{--==x y y B ，则=B A ( )。

A 、}2{-B 、}02{，-C 、}102{，，-D 、}21{， 【答案】B【解析】∵01≤--=x y ，∴}0|{≤=y y B ，∵}2102{，，，-=A ，∴}02{，-=B A ，故选B 。

2．已知z 是复数，z 为z 的共轭复数。

若命题p ：2||=z ，命题q ：1|1|=-⋅z z ，则p 是q 成立的( )。

A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由2||=z 可得2=⋅z z ，∴1|1|=-⋅z z ，由1|1|=-⋅z z ，设m z =||(0≥m )，得1|1|2=-m ，∴0=m 或2=m ，即0||=z 或2||=z ， ∴p 是q 成立的充分不必要条件，故选A 。

3．某装修公司为了解客户对照明系统的需求，对照明系统的两种设计方明系统评分面达图案在稳固性、创新性、外观造型、做工用料以及成本五个方面的满意度评分进行统计，根据统计结果绘制出如图所示的雷达图，则下列说法正确的是( )。

A 、客户对两种设计方案在外观造型上没有分歧B 、客户对设计一的满意度的总得分高于设计二的满意度的总得分C 、客户对设计二在创新性方面的满意度高于设计一在创新性方面的满意度D 、客户对两种设计方案在稳固性和做工用料方面的满意度相同 【答案】B【解析】根据雷达图可列表如下：评分类别稳固性 创新性 外观造型 做工用料 成本4．音乐是由不同频率的声音组成的。

若音1(do )的频率为f ，则简谱中七个音1(do )、2(re )、3(mi )、4(fa )、5(so )、6(la )、7(si )组成的音阶频率分别是f 、f 89、f 6481、f 34、f 23、f 1627、f 128243，其中相邻两个音的频率比是一个音到另一个音的台阶。

2021年高考数学模拟预测卷（新高考卷）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分），在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合)}2(log |{2+==x y x U ，}0))(1(|{<--=a x x x A ，若)1[∞+=，A C U ，则实数=a （ ）。

A 、4- B 、2- C 、0 D 、2 2．设复数z 满足2021)23(i i z -=+，则复数=z （ ）。

A 、1332i +-B 、1332i +C 、1323i -D 、1323i+ 3.已知，，且＝，其中O 为坐标原点，则P 点坐标为（ ） A ．（﹣9，﹣1） B ．C ．（1，﹣5）D ．4.设函数，函数y ＝f （x ）﹣a （a ∈R ）恰有三个零点x 1，x 2，x 3（x 1＜x 2＜x 3），则（x 1+2x 2+x 3）•a 的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且，S 6＝21，若恒成立，则λ的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．46.如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，下列说法不正确的是（ ）A ．对任意点P ，DP ∥平面AB 1D 1B ．三棱锥P ﹣A 1DD 1的体积为C ．线段DP 长度的最小值为D ．存在点P ，使得DP 与平面ADD 1A 1所成角的大小为7.将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为（ ）A ．13B ．39C ．48D ．588．已知函数c bx ax x x f +++=232131)(在1x 处取得极大值，在2x 处取得极小值，且满足)01(1，-∈x ，)10(2，∈x ，则242+++a b a 的取值范围是（ ）。