2020赢在高考 数学压轴题突破精讲精练专题：曲线的切线问题探究(含解析)

2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）主题01 分段函数与函数的图象【主题考法】本热点为选择题和填空题,常与函数、方程、不等式等知识结合，重点考查集合概念、集合间的关系、集合的运算，偶尔有创新题型，是基础题.2020年的高考将会继续以选择填空题形式，与函数、方程、不等式等知识结合考查集合运算、集合间关系，仍为基础题，分值5分。

【主题考前回扣】1.集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.2.子集、真子集个数计算公式：对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.3.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．【易错点提醒】1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况．【主题考向】 考向一 集合间关系【解决法宝】①对两集合的关系判定问题，常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻 找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．②已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析，未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.③对子集个数的问题，若集合A 有n 个元素,则集合A 的子集有2n 个,真子集有21n -个,非空真子集有22n -个.例1已知集合，集合，集合，若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是______________.【分析】先求出B A ⋃，再对m 分类讨论，求出C ，利用A B C ⋃⊆，即可求出m 的取值 范围.考向二 集合的并、交、补运算【解决法宝】对集合运算问题，先正确理解集合的含义，弄清集合元素的属性及元素所代 表的意义，再集合进行化简，最好求出具体集合，若是离散的集合，直接依据并、交、补的定义求解，若是连续实数集，常利用数轴进行计算，若是抽样集合，常用文氏图法.例2 已知全集U R =，集合2{|24},{|60}A x x B x x x =<<=--≤，则()R A C B ⋂等于（ ） A. ()1,2 B. ()3,4 C. ()1,3 D. ()()1,23,4⋃【分析】先求出B 集合，再根据补集的定义和数轴法求出B 的补集，再利用数轴法求出()R A C B ⋂.【解析】由题意知 {}|23B x x =-≤≤，则{}|23U C B x x x =-或， ∴ (){}|34U A C B x x ⋂=<<，故选B. 考向三 与集合有关的参数问题【解决法宝】对含参数的集合运算及关系问题，先对已知集合化简，若是连续实数集合常 用将集合在数轴上表示出来，根据集合运算的概念，列出关于参数的不等式，即可解出参数的范围，注意空集的情况；若离散集合，则根据集合运算或集合间关系的概念，列出关于参数的方程，即可解出参数的值，注意要检验集合元素的互异性．例3已知集合()()4{,|21},{,|1}23y A x y ax y B x y x -=+===+，若A B φ⋂=，则实数a 的值是 （ ）A. 4-B. 4C.143 D. 4-或143【分析】由题知，B 集合表示270x y -+=上的点除去点3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭之外的点组成的集合，分成直线直线21ax y +=与直线270x y -+=平行和直线21ax y +=过点3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭两种情况分别求出a 即可.考向四 与新概念有关的集合问题【解决法宝】对与新概念有关的集合问题，认真阅读试题，理解新定义，利用新定义将集 合问题转化为普通集合间的关系问题或集合运算问题，或直接利用新概念对问题求解.例4用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()()()()()()(),*{,C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥=-<，若}2,1{=A ，B =ax x ax x x ++22)((|{ +}0)2=且*1A B =，设实数a 的所有可能取值集合是S ，则()C S =（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【分析】根据新定义B 要么是单元素集，要么是三元素集,分两种情况分别分析求出方程20x ax +=和220x ax ++=解得情况，即可求出a 值，从而求出S ，进而求出)(S C .【主题集训】1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}{}1,2,4,2,4,6A B ==,则)(B C A U ⋂=（ ） A. {}1 B. {}2 C. {}4 D. {}1,2 【答案】A【解析】∵全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,2,4,2,4,6A B ==，∴}5,3,1{=B C U ， ∴)(B C A U ⋂={1}，故选A 。

专题六解析几何题型一直线方程及位置关系1．(1)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)在△ABC 中，A (1,1)，B (m ，m )(1<m <4)，C (4,2)，则当△ABC 的面积最大时，m ＝( B ) A.32 B.94 C.12D.14突破点拨(1)利用直线平行的判断方法．(2)先求AC 的值，再利用点到直线的距离公式求出点B 到AC 的距离，最后表示出面积． 解析 (1)直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎨⎧－a 3＝－1a －2，1a －2≠1，解得a ＝－1.故选C.(2)由两点间的距离公式可得|AC |＝10，直线AC 的方程为x －3y ＋2＝0. 所以点B 到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|10，所以△ABC 的面积S ＝12|AC |d ＝12|m －3m ＋2|＝12⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫m －322－14. 又1<m <4.所以1<m <2，所以当m ＝32，即m ＝94时，S 取得最大值．故选B.2．(1)(2017·湖南长沙模拟)在平面内，点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且l 1∥l 2∥l 3(l 2在l 1与l 3之间)，l 1与l 2之间的距离为a ，l 2与l 3之间的距离为b ，若AB →2＝AB →·AC →，则△ABC 的面积的最小值为( B )A.a ＋b 2B ．abC ．2abD.a 2＋b 22(2)(2017·湖北荆州调考)若点P (1,1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为__2x －y －1＝0__.突破点拨(1)由AB →2＝AB →·AC →⇒AB →⊥BC →.(2)由圆心C (3,0)知k PC ＝－12，且MN ⊥PC .解析 (1)以直线l 2为x 轴，点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，则l 1：y ＝a ，l 3：y ＝－b .由AB →2＝AB →·AC →，得AB →·CB →＝0，即AB ⊥BC .设直线AB 的斜率为k ，则AB ：y ＝kx ，得A ⎝⎛⎭⎫a k ，a ，直线BC ：y ＝－1k x ，得C (kb ，－b )，所以S △ABC ＝12⎝⎛⎭⎫a k 2＋a 2·(kb )2＋(－b )2 ＝122a 2b 2＋a 2b 2k 2＋k 2a 2b 2≥122a 2b 2＋2a 2b 2＝ab ， 当且仅当k ＝±1时等号成立．(2)圆心C 的坐标为(3,0)，直线PC 的斜率为－12，故直线MN 的斜率为2，所以直线MN的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(1)确定直线的几何要素是直线上的一点和直线的方向，刻画直线方向的要素是其倾斜角，当倾斜角不等于90°时可以使用斜率表示直线的方向．解题时要善于分析确定直线的几何要素，写出正确的直线方程．(2)讨论两直线的位置关系时，要注意两直线斜率是否存在．题型二 圆的方程及性质1．(1)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．26 B ．8 C ．46D ．10(2)已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 的面积的最大值为( A )A ．5B ．10C ．15D ．20突破点拨(1)由已知三点，求出圆的方程，然后求出M ，N 的坐标，进而求出|MN |. (2)借助平面几何的相关知识辅助求解． 解析 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26， 所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26) 或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)， 所以|MN |＝4 6.故选C.(2)由题意知圆心为O (0,0)，半径为2.设圆心O 到AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2，作OE⊥AC ，OF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，则四边形OEMF 为矩形，连OM ，则有d 21＋d 22＝OM2＝3.由平面几何知识知|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝24－d 21·4－d 22≤(4－d 21)＋(4－d 22)＝8－(d 21＋d 22)＝5， 即四边形ABCD 的面积的最大值为5.故选A.2．(1)已知抛物线C 1：x 2＝2y 的焦点为F ，以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ，B 两点，交C 1的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆C 2的标准方程为( A )A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝4 B.⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4 C ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝2 D.⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝2 (2)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x －1)2＋y 2＝2__.突破点拨(1)利用已知条件和圆的性质求出圆心和半径即可． (2)先确定直线过的定点，再求圆的标准方程．解析 (1)由题设知抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以圆C 2的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫0，12.因为四边形ABCD 是矩形，所以BD 为直径，AC 为直径，又F ⎝⎛⎭⎫0，12为圆C 2的圆心，所以点F 为该矩形的两条对角线的交点，所以点F 到直线CD 的距离与点F 到直线AB 的距离相等．又直线CD 的方程为y ＝－12，点F 到直线CD 的距离为1，所以直线AB 的方程为y ＝32，可取A ⎝⎛⎭⎫－3，32，所以圆C 2的半径r ＝|AF |＝(－3－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－122＝2，所以圆C 2的标准方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝4，故选A. (2)直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.故所求方程为(x －1)2＋y 2＝2.圆的性质在求圆的方程中的应用(1)圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上．(2)圆上异于某直径端点的点与该直径的两端点连线垂直．(3)已知某圆与某直线相切，则过切点且垂直于该切线的直线必过该圆的圆心．题型三 直线与圆的位置关系1．(1)(2017·哈尔滨一模)过直线kx ＋y ＋3＝0上一点P 作圆x 2＋y 2－2y ＝0的切线，切点为Q .若|PQ |＝3，则实数k(2)(2017·江西重点学校模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－43，0 . 突破点拨(1)考虑圆心到直线的距离的最大值．(2)利用数形结合，把问题转化为圆心C 到直线l 的距离小于或等于两个圆的半径之和问题．解析 (1)圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为(0,1)，半径是r ＝1.根据题意，PQ 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的一条切线，Q 是切点，|PQ |＝3，则|PC |＝2.当PC 与直线kx ＋y ＋3＝0垂直时，圆心到直线的距离最大．由点到直线的距离公式得|4|k 2＋1≤2，解得k ∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)将圆C 的方程化为标准形式为(x ＋4)2＋y 2＝1，其圆心为(－4,0)，半径r ＝1.因为直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以圆心(－4,0)到直线y ＝kx －2的距离d ≤r ＋1，即d ＝|－4k －2|k 2＋1≤2，整理可得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，故实数k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－43，0.2．(1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( C )A ．2B ．42C ．6D ．210(2)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( A )A ．150°B ．135°C ．120°D ．105°突破点拨(1)先利用圆心在直线l 上，求得a 的值，再利用线段AB ，BC ，AC 构成的直角三角形求解．(2)方法一：设出直线l 的方程，表示出S △AOB ，再利用均值不等式求解．方法二：先利用sin ∠AOB 表示出S △AOB ，然后求出当S △AOB 取得最大值时|OC |的值，进而求出直线l 的倾斜角．解析 (1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2,1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，知直线l 过点C ，所以2＋a ×1－1＝0，a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是|AC |2＝40，所以|AB |＝|AC |2－22＝40－4＝6.故选C.(2)由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，如图所示．方法一 由题意知直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k 2，弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2，所以S △AOB ＝12×|2k |1＋k 2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，结合图可知k ＝－33⎝⎛⎭⎫k ＝33舍去，故所求直线l 的倾斜角为150°.故选A. 方法二 S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝sin ∠AOB ，当∠AOB ＝90°时，S △AOB 取最大值．此时，|OC |＝1，则∠OPC ＝30°，得直线l 的倾斜角为150°.圆的综合应用(1)求点C 的轨迹E 的方程；(2)当AC 不在y 轴上时，设直线AC 与曲线E 交于另一点P ，该曲线在点P 处的切线与直线BC 交于Q 点．求证：△PQC 恒为直角三角形．思维导航(1)由圆的几何性质知BA ⊥BC ，通过设点列式可求E 的方程．(2)只需证明PQ ⊥QC .可用判别式方法或导数方法求出E 在点P 处的切线的斜率，再求解．规范解答(1)设C 点的坐标为(x ，y )，则B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫x2，0.因为AC 是直径，所以BA ⊥BC ，或C ，B 均在坐标原点． 因此BA →·BC →＝0，而BA →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x 2，y ， 故有－x 24＋2y ＝0，即x 2＝8y .另一方面，设C ⎝⎛⎭⎫x 0，x 28是曲线x 2＝8y 上一点， 则有|AC |＝x 20＋⎝⎛⎭⎫x 208－22＝x 20＋168，AC 中点的纵坐标为2＋x 2082＝x 20＋1616，故以AC 为直径的圆与x 轴相切． 综上可知，C 点轨迹E 的方程为x 2＝8y . (2)设直线AC 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2＝8y得x 2－8kx －16＝0. 设C (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－16. 由y ＝x 28对x 求导得y ′＝x 4，从而曲线E 在点P 处的切线斜率k 2＝x 24，直线BC 的斜率k 1＝x 218x 1－x 12＝x 14，于是k 1k 2＝x 1x 216＝－1616＝－1，因此QC ⊥PQ .所以△PQC 恒为直角三角形．【变式考法】 已知圆O ：x 2＋y 2＝25，圆O 1的圆心为O 1(m,0)(m ≠0)，且与圆O 交于点P (3,4)，过点P 且斜率为k (k ≠0)的直线l 分别交圆O ，O 1于点A ，B .(1)若k ＝1，且|BP |＝72，求圆O 1的方程；(2)过点P 作垂直于直线l 的直线l 1分别交圆O ，O 1于点C ，D .当m 为常数时，试判断|AB |2＋|CD |2是否为定值？若是定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．解析 (1)当k ＝1时，直线l ：y －4＝x －3，即x －y ＋1＝0， 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫|m ＋1|22＋⎝⎛⎭⎫7222＝(m －3)2＋42， 整理得m 2－14m ＝0，解得m ＝14或m ＝0(舍去)， 所以圆O 1的方程为(x －14)2＋y 2＝137. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．直线l ：y －4＝k (x －3)，即y ＝kx －(3k －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －(3k －4)，x 2＋y 2＝25，消去y 得 (k 2＋1)x 2＋(8k －6k 2)x ＋9k 2－24k －9＝0， 由一元二次方程根与系数的关系，得 3·x 1＝9k 2－24k －9k 2＋1，所以x 1＝3k 2－8k －3k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －(3k －4)，(x －m )2＋y 2＝(m －3)2＋42，消去y 得， (k 2＋1)x 2＋(8k －6k 2－2m )x ＋9k 2－24k －9＋6m ＝0， 由一元二次方程根与系数的关系，得3·x 2＝9k 2－24k －9＋6m k 2＋1，所以x 2＝3k 2－8k －3＋2m k 2＋1，所以x 1－x 2＝3k 2－8k －3k 2＋1－3k 2－8k －3＋2m k 2＋1＝－2mk 2＋1.|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2 ＝(k 2＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m k 2＋12＝4m 2k 2＋1. 同理可得，|CD |2＝4m 2⎝⎛⎭⎫－1k 2＋1＝4m 2k 2k 2＋1，所以|AB |2＋|CD |2＝4m 2k 2＋1＋4m 2k 2k 2＋1＝4m 2为定值．1．定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋ca 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2，则以下命题中正确的是( D )A ．若d 1－d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 平行B ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 平行C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直D ．若d 1·d 2<0，则直线P 1P 2与直线l 相交解析 当d 1＝d 2＝0时，可排除A 项，B 项，C 项，若d 1·d 2<0，则点P 1，P 2在直线l 的两侧，所以直线P 1P 2与直线l 相交．故选D.2．(高考改编)已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( B )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析 由题意知l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1， 即k AB ＝2－(－1)3－a＝1，a ＝0.由l 1∥l 2，得－2b ＝1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－2，故选B.3．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为( A )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析 圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，所以圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，结合题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2，|2a |>2⇒a <－2，故选A.4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( B )A ．7B ．6C ．5D ．4解析 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m .因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.故选B.5．(2017·河南洛阳一模)已知{(x ，y )|(m ＋3)x ＋y ＝3m －4}∩{(x ，y )|7x ＋(5－m )y －8＝0}＝∅，则直线(m ＋3)x ＋y ＝3m ＋4与坐标轴围成的三角形面积是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 由于{(x ，y )|(m ＋3)x ＋y ＝3m －4}∩{(x ，y )|7x ＋(5－m )y －8＝0}＝∅，故直线(m ＋3)x ＋y ＝3m －4与直线7x ＋(5－m )y －8＝0平行，则有7×1＝(5－m )·(m ＋3)且7×(3m －4)≠8×(m ＋3)．由7×1＝(5－m )·(m ＋3)整理得m 2－2m －8＝0，解得m ＝－2或m ＝4.由7×(3m －4)≠8×(m ＋3)，得m ≠4，所以m ＝－2，故直线(m ＋3)x ＋y ＝3m ＋4的方程为x ＋y ＝－2，交x 轴于点(－2,0)，交y 轴于点(0，－2)，故直线(m ＋3)x ＋y ＝3m ＋4与坐标轴围成的三角形面积是12×2×2＝2，故选B.6．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为__x 2＋(y －1)2＝1__.解析 根据题意得点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为2555. 解析 易知圆心为(2，－1)，r ＝2，故圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝35，∴弦长为2r 2－d 2＝24－95＝2555. 8．(教材回归)如果直线l 将圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝13平分，那么坐标原点O 到直线l 的最大距离为13 .解析 由题意，知直线l 过圆心C (2，－3)，当直线OC ⊥l 时，坐标原点到直线l 的距离最大，且最大距离为|OC |.|OC |＝22＋(－3)2＝13.9．如图，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为 (x －1)2＋(y －2)2＝2 .(2)过点A 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于M ，N 两点．下列三个结论： ①|NA ||NB |＝|MA ||MB |；②|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2；③|NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2 2. 其中正确结论的序号是__①②③__(写出所有正确结论的序号)． 解析 (1)设圆心C (a ，b )，半径为r ，∵圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，∴a ＝1，r ＝|b |，又∵圆C 与y 轴正半轴交于两点，∴b >0，则b ＝r . ∵|AB |＝2，∴2＝2r 2－1，∴r ＝2， 故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. (2)设N (x ，y )，而A (0，2－1)，B (0，2＋1)， 则|NB |2|NA |2＝x 2＋(y －2－1)2x 2＋(y －2＋1)2＝x 2＋y 2－2(2＋1)y ＋3＋22x 2＋y 2－2(2－1)y ＋3－22， 又x 2＋y 2＝1，∴|NB |2|NA |2＝4＋22－2(2＋1)y4－22－2(2－1)y ＝2＋12－1·22－2y 22－2y ＝(2＋1)2， ∴|NB ||NA |＝2＋1，同理|MB ||MA |＝2＋1. ∴|NA ||NB |＝|MA ||MB |，且|NB ||NA |－|MA ||MB |＝2＋1－12＋1＝2， |NB ||NA |＋|MA ||MB |＝2＋1＋12＋1＝2＋1＋2－1＝22， 故正确结论的序号是①②③.10．(2017·河南郑州一模)已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26,1)，Q (2,1)，且|MP |＝5|MQ |.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，过点N (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．解析 (1)由题意，得|MP ||MQ |＝5，即(x －26)2＋(y －1)2(x －2)2＋(y －1)2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．(2)当直线的斜率不存在时，l ：x ＝－2， 此时所截得的线段长度为2×52－32＝8. 所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1.由题意，得⎝⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512.所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.1．(2017·四川绵阳质检)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0，则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( C )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当m ＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m ＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．故选C.2．若过点A (0，－1)的直线l 与圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心的距离记为d ，则d 的取值范围为( A )A ．[0,4]B ．[0,3]C ．[0,2]D ．[0,1]解析 设圆心为B (0,3)，圆心B 到直线l 的距离d 的最大值为|AB |＝4，最小值为0(此时直线l 过圆心)，故选A.3．(2017·山东青岛模拟)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( D )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3)∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)解析 ∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝r ， 即d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，整理得m ＋n ＋1＝mn .又m ，n ∈R ，有mn ≤(m ＋n )24，∴m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋22，故选D.4．过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( A )A.3 B ．2 C.2D ．4解析 如图所示，∵P A ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，∴OA ⊥AP ，|AB |＝2|AC |. ∵P (1，3)，O (0,0)，∴|OP |＝1＋3＝2.又∵|OA |＝1，∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|AC |＝2|AO |·sin ∠AOP ＝3，故选A.5．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( C ) A ．26 B ．8 C ．46D ．10解析 设圆心为P (a ，b )，由点A (1,3)，C (1，－7)在圆上，知b ＝3－72＝－2.再由|P A |＝|PB |，得a ＝1，则P (1，－2)，|P A |＝(1－1)2＋(3＋2)2＝5，于是圆P 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝－2±26，则|MN |＝|(－2＋26)－(－2－26)|＝4 6.6．(2017·陕西西安调研)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( A )A.22，12B.2，22C.2，12D.24，14解析 因为a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1.又直线x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝(a ＋b )2－4ab 2＝(－1)2－4c 2＝12－2c ，因为0≤c ≤18，所以12－2×18≤12－2c ≤12－2×0，得14≤12－2c ≤12，所以12≤d ≤22，故选A. 7．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( D )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)解析 当直线AB 的斜率不存在，且0<r <5时，有两条满足题意的直线l .当直线AB 的斜率存在时，由抛物线与圆的对称性知，k AB >0和k AB <0时各有一条满足题意的直线l .设圆的圆心为C (5,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，∴k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝2y 0. ∵k CM ＝y 0x 0－5，且k AB k CM ＝－1，∴x 0＝3.∴r 2＝(3－5)2＋y 20>4(∵y 0≠0)，即r >2.另一方面，由AB 的中点为M 知B (6－x 1,2y 0－y 1)， ∵点B ，A 在抛物线上， ∴(2y 0－y 1)2＝4(6－x 1)，① y 21＝4x 1，②由①和②，得y 21－2y 0y 1＋2y 20－12＝0. ∵Δ＝4y 20－4(2y 20－12)>0，∴y 20<12.∴r 2＝(3－5)2＋y 20＝4＋y 20＝4＋y 20<16，∴r <4.综上，r ∈(2,4)，故选D.8．(2017·湖南七校一模)已知圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一点，过P 作圆的两条切线，切点为A ，B ，则P A →·PB →的取值范围为( C )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．[22－3，＋∞) C.⎣⎡⎦⎤22－3，569 D.⎣⎡⎦⎤32，569解析 如图，设P A 与PB 的夹角为2α，则0<α<π2，|P A |＝|PB |＝1tan α，所以P A →·PB →＝|P A |·|PB |cos 2α＝1tan 2α·cos 2α＝cos 2αsin 2α·cos 2α＝cos 2α(1＋cos 2α)1－cos 2α＝(cos 2α－1)＋(cos 22α－1)＋21－cos 2α＝－1－(cos 2α＋1)＋21－cos 2α＝－3＋(1－cos 2α)＋21－cos 2α，令t ＝1－cos 2α，则设f (t )＝P A →·PB →＝t ＋2t －3.由图易知，点P 在椭圆左顶点时，α取得最小值，此时sin α＝13，而点P 接近椭圆右顶点时，α→π2，所以sin α∈⎣⎡⎭⎫13，1，所以t ＝1－cos 2α＝2sin 2α ∈⎣⎡⎭⎫29，2.易知f (t )在⎣⎡⎭⎫29，2上单调递减，在(2，2)上单调递增，则f (t )min ＝f (2)＝22－3，而f ⎝⎛⎭⎫29＝569，f (2)＝0，所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫29＝569，所以P A →·PB →的取值范围为⎣⎡⎦⎤22－3，569，故选C.9．已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为__2__. 解析 依题意得a ×1＋(3－a )×(－2)＝0，解得a ＝2.10．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A (4,0)，B (0,2)，C (0，－2)．易知线段AB 的垂直平分线的方程为2x －y －3＝0.令y ＝0，得x ＝32，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，则半径r ＝4－32＝52.故该圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 11．过点A (3,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝__5__. 解析 由x 2＋y 2－4y －1＝0，得x 2＋(y －2)2＝5，可知圆心为C (0,2)，半径r ＝5，∴|AC |＝(3－0)2＋(1－2)2＝10，∴|AB |＝10－5＝5，∴∠ACB ＝45°，∴CA →·CB →＝10×5×cos 45°＝5.12．(2017·四川成都一模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上的动点为P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|P A |的最小值为__2__.解析 过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0(P 为垂足)，过P 作圆O 的切线P A (A 为切点)，连接OA，易知此时|P A|的值最小．由点到直线的距离公式，得|OP|＝|1×0－2×0＋5|12＋22＝ 5.又|OA|＝1，所以|P A|＝|OP|2－|OA|2＝2，即所求最小值为2.第2讲椭圆、双曲线、抛物线题型一 椭圆及其性质1．(1)(2017·云南四市联考)F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，则椭圆的离心率为( D )A.24B.23C.63D.64(2)若椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到焦点F 1的距离为6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是__4__.突破点拨(1)利用椭圆的定义和几何性质转化求解． (2)运用椭圆的定义求解． 解析 (1)设P (x ，y )，|OP |2＝x2＋y 2＝a 28.由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2.又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，c 2a 2＝38，e ＝c a ＝64，故选D.(2)由椭圆的定义可知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以点P 到其另一个焦点F 2的距离为|PF 2|＝2a －|PF 1|＝10－6＝4.2．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．突破点拨(1)利用原点到直线的距离，列关于a ，c 的方程求解．(2)利用(1)得出椭圆方程(含有字母b )，再利用弦AB 的长等于圆M 的直径求解． 解析 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)方法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.方法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.② 依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得 －4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0， 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12. 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0. 所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3. 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.圆锥曲线的离心率的算法技巧(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解关键．(2)在求解有关离心率的问题时，并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．题型二 双曲线及其性质1．(1)(2017·山东部分重点中学模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，且△ABF 1为等边三角形，则双曲线的离心率是( B )A.2B.3C.2＋1D.3＋1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F (2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3相切，则双曲线的方程为( D )A.x 29－y 213＝1 B.x 213－y 29＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 突破点拨(1)根据等边三角形列出等式，将等式用双曲线方程中的量表示，并转化为求离心率．(2)利用渐近线与圆相切以及焦点坐标，列出方程组求解．解析 (1)由题意知，△F 1AB 为等边三角形，故|AF 1|＝|AB |.由双曲线的定义，得|AF 1|－12|AB |＝2a .因为|AB |＝2b 2a，可得b 2＝2a 2，所以e ＝ 3.故选B.(2)由双曲线的渐近线y ＝±bax 与圆(x －2)2＋y 2＝3相切可知⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪±b a ×21＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，c ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝ 3.故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选D. 2．(1)(2017·河南信阳二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 24＝1(a >0)的一条渐近线方程为2x ＋3y＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝2，则|PF 2|＝( C )A ．4B ．6C ．8D ．10(2)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( D )A.433B ．23C ．6D ．43突破点拨(1)用渐近线方程确定a 的值，再利用定义求|PF 2|. (2)可用特殊位置法求解，如F 的横坐标x ＝2.解析 (1)双曲线x 2a 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2a x ，即2x ±ay ＝0.已知双曲线的一条渐近线方程为2x ＋3y ＝0，∴a ＝3.由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即|2－|PF 2||＝6，∴|PF 2|＝8或－4，舍去－4.故选C.(2)双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为F (2,0)， 其渐近线方程为3x ±y ＝0.不妨设A (2,23) ，B (2，－23)，所以|AB |＝43，故选D. 题型三 抛物线及其性质1．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( C )A.72B.52 C ．3 D ．2突破点拨利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． 解析 因为FP →＝4FQ →，所以|FP →|＝4|FQ →|，所以|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF|＝34，所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3.【变式考法】 把本例条件“FP →＝4FQ →”改为“PF →＝12PQ →”，其他条件不变，则|QF |＝__8__.解析 如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，A 为l 与x 轴的交点．因为PF →＝12PQ →，所以|PF →|＝12|PQ →|.因为△P AF ∽△PQ ′Q ，所以|AF ||QQ ′|＝|PF ||PQ |，所以|QQ ′|＝8，则|QF |＝|QQ ′|＝8.2．(2017·福建福州一模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点A 在C 上．若|AO |＝|AF |＝32.(1)求C 的方程；(2)设直线l 与C 交于P ，Q 两点，若线段PQ 的中点的纵坐标为1，求△OPQ 的面积的最大值．突破点拨(1)利用抛物线的定义可求解．(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋b .联立抛物线方程，可推出b ＝1－2k 2，再写出S △OPQ ＝f (k )，利用基本不等式或求导的方法求f (k )max .解析 (1)抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2. 因为|AO |＝|AF |＝32，所以可求得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫±1436－p 2，p 4. 将点A 的坐标代入x 2＝2py ，得116(36－p 2)＝2p ×p4，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)依题意，可知l 与x 轴不垂直，故可设l 的方程为y ＝kx ＋b ， 并设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点M (x 0,1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4b ＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b . 因为线段PQ 的中点的纵坐标为1，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝4k 2＋2b ＝2，即b ＝1－2k 2.因为直线l 与C 交于P ，Q 两点， 所以Δ＝16k 2＋16b >0，得k 2＋b >0， 故k 2＋b ＝k 2＋1－2k 2>0，k 2∈[0,1)． 由y ＝kx ＋b ，令x ＝0得y ＝b ＝1－2k 2， 故S △OPQ ＝12|b ||x 1－x 2|＝12|1－2k 2|×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1－2k 2)2(1－k 2). 设t ＝1－2k 2，则t ∈(－1,1]．设y ＝(1－2k 2)2(1－k 2)＝t 2·t ＋12＝12(t 3＋t 2)，令y ′＝12(3t 2＋2t )＝32t ⎝⎛⎭⎫t ＋23＝0，得t ＝0或t ＝－23， 由y ′>0得t ∈⎝⎛⎭⎫－1，－23∪(0,1]； 由y ′<0得t ∈⎝⎛⎭⎫－23，0. 所以y ＝12(t 3＋t 2)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－1，－23，(0,1]，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－23，0， 当t ＝－23时，y ＝227；当t ＝1时，y ＝1>227，故y max ＝1，所以S △OPQ 的最大值是2.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的策略解答直线与圆锥曲线的位置关系的题，常常用到“设而不求”的方法，根据条件设出直线方程，与曲线联立，消去y ，整理出一个关于x 的二次方程，设出两个交点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2为二次方程的两个根，根据根与系数的关系，结合题中条件带入求解．注意：设直线方程时，考虑是否有斜率不存在的情况，若有，要讨论．圆锥曲线与其它知识的交汇和新定义问题(一)知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.思维导航把抛物线、圆、新定义综合起来，是不落俗套的新题．最值问题是圆锥曲线中的一类重要题型，这类问题中含有变化的因素，解题时需要在变化的过程中，掌握运动规律，抓住主变元．如本题，读懂新定义的含义，再依据题干中所含的等式，即可找到关于参数的方程，即可破解此类交汇性试题．规范解答C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2，圆心(0，－4)，圆心到直线l ：y ＝x 的距离为d ＝|0－(－4)|2＝22，故曲线C 2到直线l ：y ＝x 的距离为 d ′＝d －r ＝22－2＝ 2.对于曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令y ′＝2x ＝1， 得x ＝12，该切点为⎝⎛⎭⎫12，14＋a ， 则曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离为d ′＝2＝⎪⎪⎪⎪12－⎝⎛⎭⎫14＋a 2⇒a ＝94或a ＝－74(舍去)．答案 94【变式考法】 已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为 57. 解析 cos α＝55⇒sin α＝255，所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×55±45×255＝11525或－55(舍去)．如图，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，由正弦定理得 r 111525＝r 2255＝2c 35⇒r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57.1．(教材回归)抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( B )A ．4B ．5 C.15D.10解析 由抛物线的定义知，点A 到焦点的距离等于点A 到其准线的距离．所以|AF |＝y 1＋p2＝4＋1＝5.故选B. 2．(2017·湖北武昌调考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与圆(x －3)2＋(y －1)2＝1相切，则此双曲线的离心率为( D )A.2B.3C.5D ．2解析 双曲线的一条渐近线为bx －ay ＝0.由于直线与圆相切，所以|3b －a |a 2＋b 2＝1，即(3b－a )2＝a 2＋b 2，所以ba＝3，双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2.故选D.3．已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m ＝( D ) A ．2B ．2或83C ．2或6D ．2或8解析 显然m >0且m ≠4，当0<m <4时，椭圆长轴在x 轴上，则1m －141m＝22，解得m ＝2；当m >4时，椭圆长轴在y 轴上，则14－1m 14＝22，解得m ＝8.故选D. 4．(2017·上海浦东模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若在双曲线上存在点P 使△OPF 2是以O 为顶点的等腰三角形，且|PF 1|＋|PF 2|＝22c 2－b 2，其中c 为双曲线的半焦距，则双曲线的离心率为( A )A.2B.2＋1C.3D.3＋1解析 由题意知|OP |＝|OF 2|，因为O 为F 1F 2的中点， 由平面几何知识有PF 1⊥PF 2. 由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＋|PF 2|＝22c 2－b 2，从而有 |PF 1|＝a ＋2c 2－b 2，|PF 2|＝－a ＋2c 2－b 2. 由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，解得a 2＝b 2， 即ba＝1，所以双曲线的离心率为e ＝ 2. 5．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( A )A.⎝⎛⎦⎤0，32 B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1解析 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2，又d ＝|3×0－4×b |32＋(－4)2≥45，所以1≤b <2，所以e ＝ca ＝1－b 2a2＝1－b 24，因为1≤b <2，所以0<e ≤32.故选A.6．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的—个焦点，则p ＝ 22 .解析 拋物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p 2(p >0)，故直线x ＝－p2过双曲线x 2－y 2＝1的左焦点(－2，0)，从而－p2＝－2，得p ＝2 2.7．(2017·山东青岛二模)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，点P是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为3 .解析 由已知和双曲线的定义有⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a 或⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a . 因为2c >2a ，所以△PF 1F 2中30°角所对的边长为2a . 由余弦定理有4a 2＝4c 2＋16a 2－16ac ·32， 即3a 2－23ac ＋c 2＝0，两边同除以a 2， 得e 2－23e ＋3＝0，所以e ＝ 3.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程． 解析 (1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1,0)，点P (0,1)在C 1上， 所以c ＝1，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2. 所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率显然存在且不等于0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0. 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ， 消去y 并整理得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0. 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝22，m ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2. 9．(考点聚焦)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解析 (1)由题设知，c a ＝22，b ＝1.结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ>0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0. 则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2. 10．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解析 (1)由椭圆的定义，有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，得2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23， 即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一 连接F 1Q ，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0， 从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， |QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|， 有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|. 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4， 解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 方法二 连接F 1Q ，由椭圆的定义，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ， 从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2.因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.1．(2017·山东青岛二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线y ＝x ＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为55，则椭圆C 的方程为( B ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 25＋y 24＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 225＋y 220＝1 解析 将直线方程y ＝x ＋3代入C 的方程并整理得(a 2＋b 2)·x 2＋6a 2x ＋9a 2－a 2b 2＝0.由椭圆与直线只有一个公共点，知Δ＝0，得a 2＋b 2＝9.又c a ＝a 2－b 2a ＝55，∴b 2a 2＝45，解得a 2＝5，b 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1.2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且两曲线的交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( C )A.2B.3 C ．1＋2D ．1＋3解析 因为两曲线的交点的连线过点F ，所以两曲线的交点坐标为⎝⎛⎭⎫p2，±p ，代入双曲线方程可得⎝⎛⎭⎫p 22a 2－p 2b 2＝1，因为p2＝c ，所以c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，所以e 4－6e 2＋1＝0，又e >1，解得e ＝1＋2，故选C.3．已知圆C 1：x 2＋2cx ＋y 2＝0，圆C 2：x 2－2cx ＋y 2＝0，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，c ＞0，且c 2＝a 2－b 2.若圆C 1，C 2都在椭圆内，则椭圆离心率的取值范围是( B )A.⎣⎡⎭⎫12，1B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎝⎛⎦⎤0，22 解析 圆C 1，C 2都在椭圆内等价于圆C 2的右顶点(2c,0)，上顶点(c ，c )在椭圆内部，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧ 2c ≤a ，c 2a 2＋c 2b 2≤1，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ≤12，e 4－3e 2＋1≥0，结合e ∈(0,1)，可得0<e ≤12.故选B.4．(2017·山西太原模拟)已知抛物线K ：x 2＝2py (p >0)，焦点为F ，P 是K 上一点，K 在点P 处的切线为l ，d 为F 到l 的距离，则( D )A.d |PF |＝pB.d |PF |2＝pC.d |PF |＝2p D.d 2|PF |＝p 2解析 使点P 为原点O ，则切线l 为x 轴，且d ＝p 2，|PF |＝p2.代入四个选项中检验知选D.5．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上的一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( B )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x解析 依题意，设M (x ，y )，因为|OF |＝p2.所以|MF |＝2p ，即x ＋p 2＝2p ，解得x ＝3p2，y ＝3p .又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .故选B.6．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程为( A )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ， 解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ， 所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°， 所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°， 得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，即2x ±y ＝0.故选A.7．(2017·湖南雅礼中学调研)已知抛物线E ：y 2＝2px (0<p <4)的焦点为F ，点P 为E 上一。

()3+-y()2∴-31则过M点的切线方程为整理得x-1/ 32/ 33 / 3222312484840,12p py p y y p y y p+--+=+==，解得1p =或2p =，选C.3．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；【答案】（1）240x y +-=【解析】(1)由题意，将1x =代入椭圆方程22:143x y C +=，得32y =，所以3(1,)2P ，所以过椭圆C 上的点3(1,)2P 的切线方程为32143yx +=，即240x y +-=.4.已知抛物线C:x 2=4y,直线l:x-y-2=0,设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线PA,PB,其中A,B 为切点,当点P(x 0,y 0)为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程. 解析 联立方程得{x 2=4y ,x -y -2=0,消去y,整理得x 2-4x+8=0,Δ=(-4)2-4×8=-16<0,故直线l 与抛物线C 相离.由结论知,P 在抛物线外,故切点弦AB 所在的直线方程为x 0x=2(y+y 0),即y=12x 0x-y 0.5. 设椭圆C:x 24+y 23=1,点P (1,32),则椭圆C 在点P 处的切线方程为 .。

2020年高考数学二轮复习微专题（文理通用）多题一解之切线篇【知识储备】直线与曲线相切涉及到三个量：直线、曲线、切点，直线与圆相切也涉及到三个量：直线、圆、点。

因此它们有共同的命题方式：知“二”求“一”，即知道其中的两个量去求另外一个两，虽然考查的知识点不一样，但思维方式是一样的，常常利用切点既在曲线上又在直线上来建立方程解决问题，都在考查方程思想的应用，因此它们属于多题一解。

1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx。

(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)。

相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)。

(3）曲线切线方程的求法：①以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：i、求出函数f(x)的导数f′(x)；ii、求切线的斜率f′(x0)；iii、写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．②如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组001010()()y f xy yf xx x=⎧⎪-⎨'=⎪-⎩得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．2．直线与圆的位置关系与判断方法【走进高考】【例1】【2019年高考全国Ⅲ卷理、文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.【例2】【2019年高考全国Ⅰ卷文、理数】曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 【例3】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析；（2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）U （1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在 （0，1），（1，+∞）单调递增．因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-， 故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ．综上，f （x ）有且仅有两个零点．（2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上．由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----．曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ，所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力. 【例4】【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________． 【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.【例5】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │−│MP │为定值？并说明理由． 【答案】（1）Me的半径=2r 或=6r ；（2）存在，理由见解析.【解析】（1）因为Me 过点,A B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上.由已知A 在直线+=0x y 上，且,A B关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y x =上，故可设(, )M a a . 因为Me与直线x +2=0相切，所以Me的半径为|2|r a =+.由已知得||=2AO ，又MO AO ⊥u u u u r u u u r，故可得2224(2)a a +=+，解得=0a 或=4a . 故Me的半径=2r 或=6r .（2）存在定点(1,0)P ，使得||||MA MP -为定值. 理由如下：设(, )M x y ，由已知得Me的半径为=|+2|,||=2r x AO .由于MO AO ⊥u u u u r u u u r，故可得2224(2)x y x ++=+，化简得M 的轨迹方程为24y x =.因为曲线2:4C y x =是以点(1,0)P 为焦点，以直线1x =-为准线的抛物线，所以||=+1MP x . 因为||||=||=+2(+1)=1MA MP r MP x x ---，所以存在满足条件的定点P .【名师点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程，进而根据抛物线的定义得到定值，验证定值符合所有情况，使得问题得解.【例6】【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【答案】（1）见详解；（2）22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -．故直线AB 的方程为2210tx y -+=．所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+．由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=． 于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+.设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由于EM AB ⊥u u u u r u u u r，而()2,2EMt t =-u u u u r ，AB u u u r与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||EM =u u u u r ，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小. 【典例分析】已知曲线的方程、切点坐标求切线方程【例】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=【答案】C【解析】2cos sin ,y x x '=-Q π2cos πsin π2,x y =∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程． 【例】经过点(3,0)M 作圆22243x y x y +---0=的切线l ，则l 的方程为（ ）A ．30x y +-=B ．30x y +-=或3x =C ．30x y --=D ．30x y --=或3x =【答案】C【解析】22222430(1)(2)8x y x y x y +---=⇒-+-=，所以圆心坐标为(1,2)，半径为， 当过点()3,0M 的切线存在斜率k ，切线方程为(3)30y k x kx y k =-⇒--=，圆心到它的距离为1k =⇒=，即切线方程为30x y --=，当过点()3,0M 的切线不存在斜率时，即3x =，显然圆心到它的距离为2≠3x =不是圆的切线.因此切线方程为30x y --=，故本题选C.【名师点睛】本题考查了求圆的切线.本题实际上是过圆上一点求切线，所以只有一条.解答本题时，设直线l 存在斜率k ，点斜式设出方程，利用圆心到直线l 的距离等于半径求出斜率k ，再讨论直线l 不存在斜率时，是否能和圆相切，如果能，写出直线方程，综合求出切线方程. 已知曲线的方程、切线方程求切点坐标【例】【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1x y x x -=-，将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =，此时01y =， 故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．【例】【2014·高考江西卷】若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e.即P (e ，e)．答案：(e ，e) 已知切线方程、切点坐标求曲线方程【例】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.【解析】法一：∵y ′＝1＋1x，∴y ′|x ＝1＝2，∴y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1.又切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，当a ＝0时，y ＝2x ＋1与y ＝2x －1平行，故a ≠0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2＋?a ＋2?x ＋1，y ＝2x －1，得ax 2＋ax ＋2＝0，∵Δ＝a 2－8a ＝0，∴a ＝8.法二：∵y ′＝1＋1x，∴y ′|x ＝1＝2，∴y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1，又切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，当a ＝0时，y ＝2x ＋1与y ＝2x －1平行，故a ≠0.∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴令2ax ＋a ＋2＝2，得x ＝－12，代入y ＝2x －1，得y ＝－2，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2在y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1的图象上，故－2＝a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋(a ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1，∴a ＝8. 答案：8【例】若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y += 相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y +=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++= 【答案】D【解析】设圆心(,0)(0)O a a <，则=，即||5a =，解得5a =-，所以圆O 的方程为22(5)5x y ++=．【小结】1.注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线。

专题33 抛物线及其性质一、考纲要求：1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用． 二、概念掌握和解题上注意点： 1.应用抛物线定义的两个关键点1）由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.2）注意灵活运用抛物线上一点P x ，y 到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p2或|PF |＝|y |＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法1）求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可.2）抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量. 3.研究抛物线的焦点坐标或准线方程，必须把抛物线化成标准方程，正确的求出p . 4.解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用弦长公式.3）涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时，一般采用“设而不求，整体代入”的解法.提醒：涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解. 三、高考考题题例分析例1.（2020课标卷I ）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则•=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D例2.（2020课标卷II）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l 与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【答案】（1）y=x﹣1；（2）（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．【解析】：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：sin2θ=，∴θ=，则直线的斜率k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；（2）过A，B分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1⊥准线l，垂足为D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4，以AB为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，则D（3，2），过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．例7.(2020课标卷II)已知F是抛物线C:28y x=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。

2020年高考数学解答题压轴题考法深度揭秘专题九、圆锥曲线的综合问题全国高考及各省市高考对圆锥曲线的考查，常处于压轴题的位置，题型灵活多变，能综合考查学生的数学解题能力，是出活题、考能力的典范．由于向量、函数、方程、不等式等内容的充实，圆锥曲线试题逐渐向多元化、交汇型发展，试题既保证突出考查解析几何基本能力的同时，又聚焦于轨迹、参数的取值范围、定值、定点和最值问题动态化的探究，考查解析几何的核心素养．考法01 圆锥曲线及其几何性质的确定与应用考查角度1 判断点、直线和圆锥曲线之间的位置关系(2014·北京理改编，19，10分)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．【知识揭秘】 揭秘1：OA ⊥OB ⇒OA→·OB →＝0；揭秘2：圆心(0，0)到直线AB 的距离为2，可得直线AB 与圆相切． 【思维揭秘】 设点A (x 0，y 0)，B (t ，2)，其中x 0≠0，由OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，用x 0、y 0表示t ，当x 0＝t 或x 0≠t 分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，从而判断直线AB 与圆的位置关系．【解析揭秘】 直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下： 设点A (x 0，y 0)，B (t ，2)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0，当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方徎，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝±2，圆心O 到直线AB 的距离d＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方徎为y －2＝y 0－2x 0－t (x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|（y 0－2）2＋（x 0－t ）2.又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 2＋162x 20＝ 2. 故此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．考查角度2 判断曲线是否过定点(2012·福建文，21，12分)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py (p >0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q ，证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．【知识揭秘】 揭秘1：由等边三角形的性质得B (43，12)；揭秘2：设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0可以推出以PQ 为直径的圆恒过y 轴上点M .【思维揭秘】 (1)由等边三角形的性质，可得B 点的坐标，代入抛物线的方程得出p 的值，进而得到抛物线E 的方程．(2)由抛物线的方程，设出点P 的坐标，进而求得Q 的坐标．方法一：设点M 满足MP→·MQ →＝0，得出M 的坐标，进而得出结论；方法二：由两个特殊点得出满足条件的点M ，再证明点M 为所求定点即可．【解析揭秘】 (1)依题意，|OB |＝83，∠BOy ＝30°. 设B (x ，y )，则x ＝|OB |sin 30°＝43，y ＝|OB |cos 30°＝12. 因为点B (43，12)在x 2＝2py 上， 所以(43)2＝2p ×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y .(2)证明：由(1)知y ＝14x 2，所以y ′＝12x .设P (x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.方法一：设M (0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1，得 x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0， 即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.(*)由于(*)式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立， 所以⎩⎨⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0，1)．方法二：取x 0＝2，此时P (2，1)，Q (0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0，1)，M 2(0，－1)．取x 0＝1，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋382＝12564，交y 轴于M 3(0，1)，M 4⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－74.故若满足条件的点M 存在，只能是M (0，1)．以下证明点M (0，1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2， MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M (0，1)．考查角度3 判断直线是否过定点(2015·四川理，20，13分)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，过点P (0，1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2.(1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【知识揭秘】 揭秘1：当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22，可得A ，B 坐标；揭秘2：当直线l 与x 轴垂直时，求出点Q ；揭秘3：因为|P A ||PB |＝|x 1||x 2|，所以只需证|QA ||QB |＝|x 1||x 2|，因为Q ，A ，B 不可能共线，所以作点B 的对称点B ′，使得|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|.【思维揭秘】 (1)通过直线l 平行于x 轴时被椭圆E 截得线段长为22及离心率是22，计算即得结论；(2)通过直线l 与x 轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是(0，2)，然后分直线l 的斜率不存在、存在两种情况，利用根与系数的关系及直线斜率计算方法，证明对任意直线l ，均有|QA ||QB |＝|P A ||PB |即可．【解析揭秘】 (1)由已知，点(2，1)在椭圆E 上，因此⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋1b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，c a ＝22，解得a ＝2，b ＝2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线l 与x 轴平行时，如果存在定点Q 满足条件，则|QA ||QB |＝|P A ||PB |＝1， 即|QA |＝|QB |，所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为(0，y 0)． 当直线l 与x 轴垂直时，则A (0，2)，B (0，－2)， 由|QA ||QB |＝|P A ||PB |，有|y 0－2||y 0＋2|＝2－12＋1，解得y 0＝1或y 0＝2.所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0，2)．下面证明：对任意的直线l ，均有|QA ||QB |＝|P A ||PB |. 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝16k 2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.因此1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2k .如图，易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为B ′(－x 2，y 2)．又k QA ＝y 1－2x 1＝k －1x 1，k QB ′＝y 2－2－x 2＝－k ＋1x 2＝k －1x 1，所以k QA ＝k QB ′，即Q ，A ，B ′三点共线． 所以|QA ||QB |＝|QA ||QB ′|＝|x 1||x 2|＝|P A ||PB |.故存在与点P 不同的定点Q (0，2)，使得|QA ||QB |＝|P A ||PB |恒成立．【名师点睛】 (1)求解直线和曲线过定点问题的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，即f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(其中λ为参数)的形式．既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，就得到一个关于x ，y 的方程组，由⎩⎨⎧f （x ，y ）＝0，g （x ，y ）＝0确定定点坐标．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．1.(2016·山东淄博一模，20，12分)如图所示的封闭曲线C 由曲线C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，y ≥0)和曲线C 2：y ＝nx 2－1(y <0)组成，已知曲线C 1过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，离心率为32，点A ，B 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的一个交点．(1)求曲线C 1和C 2的方程；(2)若点F 为曲线C 1的右焦点，直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线C 1相切于点M ，与直线x ＝433交于点N ，求证：以MN 为直径的圆过点F .1．解：(1)由已知得，3a 2＋14b 2＝1.① 又e ＝32，所以a 2－b 2a 2＝34，即a 2＝4b 2.②由①②得a 2＝4，b 2＝1，所以曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1(y ≥0)．从而A (－2，0)，所以曲线C 2的方程为y ＝14x 2－1(y <0)． (2)证明：由题意得F (3，0)． 设M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 又直线l 与曲线C 1相切于M ， 所以Δ＝(8km )2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)＝0. 即m 2＝4k 2＋1，x 0＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 1＋4k 2＝－4km1＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1＋4k 2， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，1m .易得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，43k 3＋m ，所以FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －3，1m ，FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，43k 3＋m ，FM →·FN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －3×33＋1m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫43k 3＋m ＝－43k 3m －1＋43k 3m ＋1＝0， 所以FM→·FN →＝0，所以以MN 为直径的圆过点F .2．(2016·新疆乌鲁木齐一诊，21，12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过焦点F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.(1)求椭圆的方程；(2)过点A 与椭圆只有一个公共点的直线为l 1，过点F 与AF 垂直的直线为l 2，求证：l 1与l 2的交点在定直线上．2．解：(1)由题意得，焦点为椭圆的左焦点，即F (－c ，0)．设弦与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得x 21a 2＋y 21b 2＝1，① x 22a 2＋y 22b2＝1，② ①－②，得－b 2a 2＝y 21－y 22x 21－x 22.③∵点M 平分弦AB ，弦经过焦点， ∴x 1＋x 22＝－23， y 1＋y 22＝13， y 1－y 2x 1－x 2＝13－23＋c ，代入③式得，－b 2a 2＝23×13－43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋c ，即b 2a 2＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫c －23.又∵c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，∴c 2＝b 2＝12a 2，∴12＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫c －23，即c ＝1，a ＝2， ∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设切点A 的坐标为(x 1，y 1)，由对称性，不妨设y 1>0，由x 22＋y 2＝1得椭圆上半部分的方程为y ＝1－x 22，y ′＝12·11－x 22·(－x )＝－x 21－x 22，∴k 切＝－x 121－x 212＝－x 12y 1， ∴A 点处的切线方程为y －y 1＝－x 12y 1(x －x 1)，① 过F 且垂直于F A 的直线方程为 y ＝－x 1＋1y 1(x ＋1)，②由①②两式，消去y 得y 1＝－x 1＋1y 1(x ＋1)＋x 12y 1·(x －x 1)，③其中x 212＋y 21＝1，代入③式，可得x ＝－2. ∴l 1与l 2的交点P 在定直线x ＝－2上．考法02 根据几何性质求有关参数的值（或取值范围）(2013·山东文，22，14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为64的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP→＝tOE →，求实数t 的值．【知识揭秘】 揭秘1：A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，直线OA ：y A x －x A y ＝0，点B到直线OA 的距离d ＝|y A x B －x A y B |x 2A ＋y 2A ，|OA |＝x 2A ＋y 2A ，所以S △AOB ＝12|OA |·d ＝12|x A y B－x B y A |；揭秘2：由三角形面积公式知，12|x A y B －x B y A |＝12|x A ·(kx B ＋m )－x B (kx A ＋m )|＝12|m ||x A －x B |＝64，得到m ，k 的关系；揭秘3：由OP→＝tOE →得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kmt 1＋2k 2，mt 1＋2k 2. 【思维揭秘】 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，短轴长为2b ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解出即可得到椭圆的方程；(2)当AB ⊥x 轴时，设出A ，B 的坐标，由S △AOB 及椭圆方程求出x 20，由OP →＝tOE→，得P 的坐标，代入椭圆求出t 的值．当AB 不垂直于x 轴时，设AB 的方程为y ＝kx ＋m ，联立椭圆的方程，根据根与系数的关系求出x A ＋x B ，x A x B ，由三角形的面积公式得出m ，k ，t 的关系式，由OP →＝tOE →得出m ，k ，t 另一关系式，联立可求出t 的值．【解析揭秘】 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，设A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧12|2x 0y 0|＝64，x 202＋y 20＝1，得x 20＝12或32，由E 为线段AB 的中点，OP →＝tOE →，得P (tx 0，0)，又P 在椭圆上，所以t 2x 202＋02＝1，所以t 2＝2x 20＝4或43，所以t ＝2或233(舍去负值)．当AB 不垂直于x 轴时，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，E (x E ，y E )，直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，显然m ≠0，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0.(*)所以x A ＋x B ＝－4km1＋2k 2，x A x B ＝2（m 2－1）1＋2k 2.由三角形面积公式知，12|x A y B －x B y A |＝12|x A (kx B ＋m )－x B (kx A ＋m )|＝12|m ||x A －x B |＝64， 所以|x A －x B |＝62|m |⇒(x A ＋x B )2－4x A x B ＝32m 2， 即16k 2m 2（1＋2k 2）2－8（m 2－1）1＋2k 2＝32m 2， 整理得，1＋2k 2－3（1＋2k 2）216m2＝m 2.① 又x E ＝x A ＋x B 2＝－2km 1＋2k 2，y E ＝kx E ＋m ＝m1＋2k 2， 所以OP →＝tOE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kmt 1＋2k 2，mt 1＋2k 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kmt1＋2k 2，mt 1＋2k 2，将其代入椭圆方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kmt 1＋2k 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫mt 1＋2k 22＝1，整理可得1＋2k 2＝m 2t 2，② 联立①②，消去1＋2k 2，约掉m 2，移项整理得， 3t 4－16t 2＋16＝0，解得，t 2＝4或43，均能使(*)式的Δ>0， 所以t ＝2或233(舍去负值)．综上，t ＝2或233.1.(2016·广西南宁模拟，21，12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1，0)，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．1．解：(1)由已知得c ＝1，a ＝2c ＝2， ∴b ＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)若△BFM 与△BFN 的面积比值为2，则FM 与FN 比值为2. 当直线l 斜率不存在时，FM 与FN 比值为1，不符合题意，舍去； 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，直线l 的方程代入椭圆方程，消x 并整理得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－6k3＋4k 2，①y 1y 2＝－9k 23＋4k 2.②由FM 与FN 比值为2得y 1＝－2y 2.③ 由①②③解得k ＝±52，因此存在直线l ：y ＝±52(x －1)，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2. 2．(2016·江西九校一模，21，12分)已知顶点为原点O ，焦点在x 轴上的抛物线，其内接△ABC 的重心是焦点F ，若直线BC 的方程为4x ＋y －20＝0.(1)求抛物线方程；(2)过抛物线上一动点M 作抛物线的切线l ，又MN ⊥l 且交抛物线于另一点N ，ME (E 在M 的右侧)平行于x 轴，若∠FMN ＝λ∠NME ，求λ的值．2．解：(1)设抛物线的方程为y 2＝2px ，则其焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，联立⎩⎨⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2px ⇒8x 2－(p ＋80)x ＋200＝0，∴x 2＋x 3＝p ＋808，y 2＋y 3＝20－4x 2＋20－4x 3＝－p2. 又△ABC 的重心为焦点F ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧p 2＝x 1＋x 2＋x 33，0＝y 1＋y 2＋y 33，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝11p －808，y 1＝p 2，代入抛物线方程中，解得p ＝8， 故抛物线方程为y 2＝16x .(2)设M (x 0，y 0)，由y 2＝16x ，两边对x 求导，2yy ′＝16，即切线的斜率为k ＝8y 0，所以y －y 0＝8y 0(x －x 0)整理得切线l ：y 0y ＝8(x ＋x 0)⇒k MN ＝－y 08， 即tan ∠NME ＝－k MN ＝y 08. 又tan ∠FME ＝－k MF ＝－y 0x 0－4， ∵tan 2∠NME ＝2×y 081－y 2064＝16y 064－y 20＝y 04－x 0＝tan ∠FME ，∴∠FME＝2∠NME，即λ＝2.考法03 某些几何量的最值或定值问题考查角度1 求一些几何量的最值(范围)(2015·浙江理，19，15分)已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．【知识揭秘】揭秘1：点A，B关于直线y＝mx＋12对称，可得AB所在直线与直线y＝mx＋12垂直且AB的中点在直线y＝mx＋12上；揭秘2：由A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点间距离公式得|AB|＝k2＋1·|x1－x2|＝k2＋1·[（x1＋x2）2－4x1x2].【思维揭秘】(1)可设直线AB的方程为y＝－1m x＋b，从而可知⎩⎪⎨⎪⎧x22＋y2＝1，y＝－1m x＋b有两个不同的解，再由AB中点也在直线上，即可得到关于m的不等式，从而求解；(2)令t＝1m，可将△AOB表示为t的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值问题．【解析揭秘】 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x x ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1m 2x 2－2bm x ＋b 2－1＝0.∵直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，∴Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0，①∴x 1＋x 2＝4mbm 2＋2，x 1x 2＝2m 2（b 2－1）m 2＋2，∴y 1＋y 2＝2m 2bm 2＋2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2.将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mbm 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2.②由①②得m <－63或m >63.(2)令t ＝1m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.设△AOB 的面积为S (t )，∴S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－122＋2≤22，当且仅当t 2＝12时，等号成立，故△AOB 面积的最大值为22.【名师点睛】 (1)已知直线与椭圆相交求三角形面积，可利用点到直线的距离求三角形的高，利用弦长公式求底边长，进而求三角形的面积．(2)对于此类最值问题关键是选择一个适当或合理的面积公式转化成常见函数——一元二次函数形式的最值问题，或用基本不等式求最值．考查角度2 与圆锥曲线有关的定值问题(2013·江西文，20，13分)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，a ＋b ＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，证明：2m －k 为定值．【知识揭秘】 揭秘1：由D ，P ，N 三点共线可知k DP ＝k DN ； 揭秘2：MN 的斜率为y M －y Nx M －x N.【思维揭秘】 (1)借助椭圆中a 2＝b 2＋c 2的关系及两个已知条件即可求解； (2)可以写出BP 的直线方程，分别联立椭圆方程及AD 的方程表示出点P ，M 的坐标，再利用DP 与x 轴表示点N 的坐标，最终把m 表示成k 的形式，就可求出定值；另外也可设点P 的坐标，把k 与m 都用点P 的坐标来表示，就可求出定值．【解析揭秘】 (1)因为e ＝32＝c a ，所以a ＝23c .又由a 2＝b 2＋c 2得b ＝13c ， 代入a ＋b ＝3，得c ＝3，a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：方法一：因为B (2，0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠0，k ≠±12，①将①代入x 24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为y ＝12x ＋1. ② 联立①②解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0，1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x ，0)三点共线可知－4k4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，即x ＝4k －22k ＋1，所以点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0.所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k （2k ＋1）2（2k ＋1）2－2（2k －1）2＝2k ＋14， 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)． 方法二：设P (x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则k ＝y 0x 0－2， 直线AD 的方程为y ＝12(x ＋2)， 直线BP 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线DP 的方程为y －1＝y 0－1x 0x .令y ＝0，由于y 0≠1，可得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 0y 0－1，0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12（x ＋2），y ＝y 0x 0－2（x －2），解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2，所以MN 的斜率为m ＝4y 02y 0－x 0＋2－04y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2－－x 0y 0－1＝4y 0（y 0－1）4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4＝4y 0（y 0－1）4y 20－8y 0＋4x 0y 0－（4－4y 20）＋4＝y 0－12y 0＋x 0－2. 故2m －k ＝2（y 0－1）2y 0＋x 0－2－y 0x 0－2＝2（y 0－1）（x 0－2）－y 0（2y 0＋x 0－2）（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）＝2（y 0－1）（x 0－2）－2y 20－y 0（x 0－2）（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）＝2（y 0－1）（x 0－2）－12（4－x 20）－y 0（x 0－2）（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）＝2（y 0－1）＋12（2＋x 0）－y 02y 0＋x 0－2＝y 0＋12x 0－12y 0＋x 0－2＝12(定值)．【名师点睛】 这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形．求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②可运用函数的思想方法来解决，其证明过程可总结为“变量⇒函数⇒定值”，具体操作程序如下：变量——选择适当的量为变量；函数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；定值——把得到的函数解析式化简，消去变量得到定值．1.(2016·辽宁沈阳一模，20，12分)已知椭圆E 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1，F 2均在x 轴上，离心率为12，在其上有一动点A ，A 到点F 1距离的最小值是1.过A ，F 1作一个平行四边形，顶点A ，B ，C ，D 都在椭圆E 上，如图所示．(1)求椭圆E 的方程；(2)判断▱ABCD 能否为菱形，并说明理由； (3)当▱ABCD 的面积取到最大值时，判断▱ABCD的形状，并求出其最大值．1．解：(1)依题意，设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝ca ＝12，所以a ＝2c .设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，焦点F 1(－c ，0)， 即|AF 1|＝（x 0＋c ）2＋y 20 ＝x 20＋2cx 0＋c 2＋b 2－b 2x 20a2＝c 2a 2x 20＋2cx 0＋a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c a x 0＋a . 因为x 0∈[－a ，a ]，所以当x 0＝－a 时，|AF 1|min ＝a －c .由题意得，a －c ＝1，结合a ＝2c 可知，a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)▱ABCD 不可能是菱形，理由如下： 由(1)知F 1(－1，0)，直线AB 不可能平行于x 轴，所以设直线AB 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，所以y 1＋y 2＝6m3m 2＋4，x y 1·y 2＝－93m 2＋4.若▱ABCD 是菱形，则OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，于是有x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.又x 1·x 2＝(my 1－1)(my 2－1) ＝m 2y 1·y 2－m (y 1＋y 2)＋1，所以(m 2＋1)y 1·y 2－m (y 1＋y 2)＋1＝0，得到－12m 2－53m 2＋4＝0，易知m 没有实数解，故▱ABCD 不可能是菱形．(3)由题意知S ▱ABCD ＝4S △AOB ，而S △AOB ＝12|OF 1|·|y 1－y 2|，又|OF 1|＝1，即S ▱ABCD ＝2|OF 1|·|y 1－y 2| ＝2（y 1＋y 2）2－4y 1·y 2， 由(2)知y 1＋y 2＝6m3m 2＋4，y 1·y 2＝－93m 2＋4，所以S ▱ABCD ＝236m 2＋36（3m 2＋4）（3m 2＋4）2＝24m 2＋1（3m 2＋4）2＝2419（m 2＋1）＋1m 2＋1＋6.因为函数f (t )＝9t ＋1t ，t ∈[1，＋∞)，在t ＝1时，f (t )min ＝10，即S ▱ABCD 的最大值为6，此时m 2＋1＝1，即m ＝0时，这时直线AB ⊥x 轴，可以判断▱ABCD 是矩形．2．(2016·山东潍坊一模，20，13分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相交所得弦的长度为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)若动直线l 交椭圆E 于不同的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设OP →＝(bx 1，ay 1)，OQ →＝(bx 2，ay 2)，O 为坐标原点．当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：△MON 的面积为定值，并求出该定值．2．解：(1)由题意知e ＝32，故c a ＝32， 即3a ＝2c .①因为直线过左焦点F (－c ，0)且倾斜角为30°，可得直线方程为y ＝33(x ＋c )． 又直线y ＝33(x ＋c )与圆x 2＋y 2＝b 2的相交弦长为1，所以圆心到直线距离d ＝3c 3＋9＝3c 23＝c 2， 再由勾股定理得，b 2－c 24＝14. ②由①②联立⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝2c ，b 2－c 24＝14a 2＝b 2＋c 2，，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，即椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：当直线l 的斜率不存在时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2. 因为以线段PQ 为直径的圆过原点，所以OP→⊥OQ →，即OP →·OQ →＝0， 所以b 2x 1x 2＋a 2y 1y 2＝0，x 1x 2＋4y 1y 2＝0，即x 21－4y 21＝0.③又因为点M (x 1，y 1)在椭圆上，所以x 214＋y 21＝1.④把③代入④得，x 21＝2，|y 1|＝22，所以S △OMN ＝12|x 1|·|y 1－y 2|＝12×2×2＝1.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋t .⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1，消去y ，化简得 (1＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0. 因为直线l 与椭圆E 相交于不同两点，所以Δ>0.Δ＝64k 2t 2－4×(1＋4k 2)(4t 2－4)>0，即Δ＝4k 2－t 2＋1>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－8kt 1＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－41＋4k 2. 由题意知OP→·OQ →＝0， 即x 1x 2＋4y 1y 2＝0.又y 1＝kx 1＋t ，y 2＝kx 2＋t ，所以x 1x 2＋4[k 2x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2]＝0， 所以(1＋4k 2)x 1x 2＋4kt (x 1＋x 2)＋4t 2＝0， 代入整理得2t 2＝1＋4k 2.⑤又|MN |＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－8kt 1＋4k 22－4·4t 2－41＋4k 2 ＝1＋k 2·41＋4k 2－t 21＋4k 2. 点O 到直线y ＝kx ＋t 的距离d ＝|t |1＋k 2， 所以S △MON ＝12d ·|MN |＝12×|t |1＋k2·1＋k 2·41＋4k 2－t 21＋4k 2 ＝12|t |·41＋4k 2－t 21＋4k 2，⑥ 将⑤代入⑥得S △MON ＝12|t |×4|t |2t 2＝1.综上，△MON 的面积为定值1.。

《备战戏甄高考。

冲破压轴题讲与练》第一章函数与导数专题02曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有：1.已知斜率求切点.已知斜率上，求切点（X p/（%!）），即解方程r（x）=k.2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点.（1）已知切点求切线方程：①求出函数y=/（x）在点%=%0处的导数，即曲线y=/（x）在点（%，/■（易））处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为y-%=广（沔）（X-吒）.（2）求过点P的曲线的切线方程的步骤为：第一步，设出切点坐标P'（X”f（X1））;第二步，写出过P'（X1,f（X1））的切线方程为y-f（xi）=f'（X1）（X-X1）；第三步，将点P的坐标（x。

，y。

）代入切线方程，求出X】；第四步，将Xi的值代入方程y-f（x1）=f/（xj）（x-xj可得过点P（x°,y。

）的切线方程.3.求切线倾斜角的取值范围.先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决.4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P（x。

,贝）既在曲线上又在切线上构造方程组求解.5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.6.导数几何意义相关的综合问题.【压轴典例】例1.（2019・江苏高考真题）在平面直角坐标系xQy中，点W在曲线j-lnx上，且该曲线在点，处的切线经过点（-e,T）（e为自然对数的底数），则点，的坐标是.【答案】（e,l）.【解析】设点人（不，为），则y Q=lnx o-又y'=L,X,1当x=x0时，y=—,吒1,、点/在曲线V=lnx上的切线为y-%=—3-气），x o即y—15=---1,%代入点（一6-1）,得―l-lnx0=—-1,入0即x o lnx o=g,考查函数H（x）=xlnx,当xc（O,l）时，H（x）＜0,当xc（l,+co）时，H（x）＞0,且H'（x）=lnx+1,当x〉l时，H'（x）＞O,H（x）单调递增，注意到H（e）=e,故x（）lnx0=e存在唯一的实数根x°=e,此时j0=1,故点A的坐标为A（e,l）.例2.（2019•全国高考真题（理））V*1已知函数f（x）Tnx-——.x-1（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；（2）设&是/V）的一个零点，证明曲线y=ln x在点A（x0,In为）处的切线也是曲线y=e x的切线.【答案】（1）函数f（x）在（0』）和（1,+8）上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】(1)函数/'⑴的定义域为(0,1)51,+8),+11*2+1/(%)=lnx——n f\x)=——-y，因为函数HQ的定义域为(0,1)口(1,+8),所以f\x)>0, x-1x(x-l)因此函数/'(x)在(0,1)和(1,+°0)上是单调增函数；11~+12当%6(0,1),时，—而/(-)=In一一*—=—>0,显然当xe(0,l),函数/'⑴e e上_]e-1e有零点，而函数f(x)在xe(0,l)±单调递增，故当xe(o,l)时，函数f(x)有唯一的零点；当xe(l,+oo)时，/(e)=lne-----=——<0,/(e2)=Ine2---—=十^>0,e—1e—1e—1e—1因为/'(e)•/V)<0,所以函数/'(x)在(*2)必有一零点，而函数f(x)在(1,+8)上是单调递增，故当xe(l,+oo)时，函数f(x)有唯一的零点综上所述，函数/'⑴的定义域(0,1)顷1,+8)内有2个零点；(2)因为利是f(x)的一个零点，所以f3o)=lnxo-血丹制以血吒二血丹吒―1吒―1y=lnxn_/=L,所以曲线y=lnx在AG^hiXo)处的切线/的斜率k=—,故曲线y=lnx在11Z X为+1A(x0,ln^0)处的切线/的方程为：y-lnx0=—(x-x0)而lnxo=—所以/的方程为X0尤0_1x22y=—+—,它在纵轴的截距为一.X0X0~L x o~L设曲线"/的切点为B(y,过切点为3("1)切线r,y=e、nv'=e*,所以在3(")处的切线/'的斜率为炒，因此切线/'的方程为y=ef+eWl-石)，当切线「的斜率K=e x'等于直线I的斜率*=上时，即顼=上n羽=-(In x0),1X +1切线Z'在纵轴的截距为々=e"(1-羽)=e""(l+InXo)=—(l+lnx0);而Inx0=—一~,所以,I x n+l2々=—(l+七)=—,直线/,/的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线/,/重合,气MT工。

2025届高考数学复习：压轴好题专项(抛物线中的切线问题)练习1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ,斜率为()0k k ≠的直线l 与E 相切于点A .(1)当=2k ,=5AF 时,求E 的方程；(2)若直线l '与l 平行,l '与E 交于B ,C 两点,且2BAC π∠=,设点F 到l '的距离为1d ,到l 的距离为2d ,试问：12d d 是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由. 2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：10mx y +-=经过抛物线C 的焦点． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．3．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线C 的焦点是10,4⎛⎫⎪⎝⎭,如图,过点,(0)2⎫≤⎪⎪⎝⎭D t t 作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．（1）求抛物线C 的标准方程； （2）求证：直线//MD y 轴；（3）以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求||||||||AB MN AB MN -+ 的取值范围．4．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E ：22y px =（0p >）上一点()01,C y 到其焦点F 的距离为2． （1）求实数p 的值；（2）若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线1l 、2l ,且1l 、2l 的交点为Q ,1l 、2l 与y 轴的交点分别为M 、N ．求QMN 面积的取值范围． 5.（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C 上任意一点到1(1,0)F -,2(1,0)F 距离之和为3,抛物线E ：22y px =的焦点是点2F.（1）求曲线C 和抛物线E 的方程；（2）点()()000,0Q x y x <是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求QMN 的面积的取值范围．6．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点()0,1的动圆始终与直线l ：1y =-相切. （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当ABD △的面积是32时,求点A 坐标. 7．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F .且F与圆()22:41M x y ++=上点的距离的最小值为4. （1）求抛物线的方程；（2）若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求PAB △面积的最大值.8．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ,准线与x 轴交于D 点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA FB FA FB ⋅=+. （1）求抛物线C 的方程；（2）设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF x ⊥轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE GD =,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线2:2C x py =,点()4,4M -在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点． (1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为()2,1--,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,是否存在常数λ使得123k k k λ+=．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．10．如图,已知()()1122,,A x y B x y ､为二次函数2(0)y ax a =>的图像上异于顶点的两个点,曲线2y ax =在点()()1122,,A x y B x y ､处的切线相交于点()00,P x y .(1)利用抛物线的定义证明：曲线2y ax =上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：102x x x ､､成等差数列,102y y y ､､成等比数列；(3)设抛物线2y ax =焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：BPH APF ∠∠=. 11．已知抛物线22(0)x py p =>上的任意一点到(0,1)P 的距离比到x 轴的距离大1． (1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求QAB 重心G 的轨迹方程．12．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,点()02,P y -为抛物线上一点,抛物线C 在点P处的切线与y 轴相交于点Q ,且FPQ △的面积为2． (1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MFAB为定值． 13．（2022届新未来4月联考）已知直线:10l x ky k -+-=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l x ⊥轴时,||4AB =．(1)求抛物线C 的标准方程； (2)求||OD 的最小值．14．过原点O 的直线与拋物线C ：22y px =（0p >）交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点()3,0P p ,PM OA ⊥．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =②PM =；③POM 的面积为（1）______,求拋物线C 的方程；（2）在（1）的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q （不与原点O 重合）,过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点． 注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．15．已知抛物线22(0)x py y =>,其焦点为F ,抛物线上有相异两点()11,A x y ,()22,B x y ．（1）若//AF x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；（2）若2p =,且||||4AF BF +=,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求ABC 面积的最大值． 16．设抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ,点(),2P m （0m >）在抛物线C 上,且满足3PF =．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()0,4G 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值．17．已知圆()22:21C x y +-=与定直线:1l y =-,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）已知点P 是直线1:2l y =-上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点； ②求证：PCA PCB ∠=∠.18.设抛物线C ：()220x py p =>,其焦点为 F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF FP =,2FM FP ⋅=.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接 AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.参考答案1.（2023届云南省名校高三上学期月考）已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ,斜率为()0k k ≠的直线l 与E 相切于点A .(1)当=2k ,=5AF 时,求E 的方程；(2)若直线l '与l 平行,l '与E 交于B ,C 两点,且2BAC π∠=,设点F 到l '的距离为1d ,到l 的距离为2d ,试问：12d d 是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由. 【过程详解】（1）由22x py =得22x y p=,则x y p '=, 令2x p =,则2x p =,即2A x p =,()2222A p y p p== 则252pAF p =+=,所以=2p ,故抛物线E 的方程为24x y =. （2）设()2002,2A pt pt ,()2112,2B pt pt ,()2222,2C pt pt , 则切线l 的斜率0022pt k t p==, 则切线l 的方程为：()2000222y pt t x pt -=-,即20022y t x pt =-,221212122222BCpt pt k t t pt pt -==+-. 直线l '的方程为()()2112122y pt t t x pt -=+-,化简得()12122y t t x pt t =+-,因为l l '∥,所以1202t t t +=,由2BAC π∠=得222210201020222212222pt pt pt pt pt pt pt pt --⋅=---, 则()()10201t t t t +=-+,即012213t t t =--, 即200:2260l t x y p pt '-++=.由0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭,则20136p pt d +=,2022p pt d +==所以20122013223122p t d d p t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故12d d 是定值,定值为3.2.（2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考）已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：10mx y +-=经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．【过程详解】（1）由题意,设抛物线C 的方程为()220x py p =>,因为直线:10l mx y +-=经过()0,1,即抛物线C 的焦点(0,)2p F ,所以12p=,解得2p =, 所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()11,A x y ､()22,B x y ,联立方程组2410x ymx y ⎧=⎨+-=⎩,整理得2440x mx +-=, 因为216160m ∆=+>,且124x x m +=-,124x x =-,()222121221212242444x x x x x x y y m +-+=+==+,()2221212414416x x y y -=⨯== 所以()21241AB y y p m =++=+,由24x y =,可得24x y =,则2x y '=, 所以抛物线C 经过点A 的切线方程是()1112x y y x x -=-,将2114x y =代入上式整理得21124x x y x =-,同理可得抛物线C 经过点B 的切线方程为22224x x y x =-,联立方程组2112222424x x y x x xy x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得1212,24x x x x x y +==,所以2,1x m y =-=-, 所以()2,1P m --到直线10mx y +-=的距离d ==所以ABP的面积()()322211414122S AB d m m ==⨯⨯+⨯=+,因为211m +≥,所以4S ≥,即当0m =时,4S =,所以ABP 面积的最小值为4.3．（2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考）已知抛物线C 的焦点是10,4⎛⎫⎪⎝⎭,如图,过点,(0)2⎫≤⎪⎪⎝⎭D t t 作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．（1）求抛物线C 的标准方程； （2）求证：直线//MD y 轴；（3）以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求||||||||AB MN AB MN -+ 的取值范围．【过程详解】（1）设抛物线的方程为()220x py p =>,由题意可得124p =,所以12p =,所以抛物线方程2y x =. （2）由（1）2y x =,因为2y x '=,设1122(,),(,)A x y B x y , 直线AD 的方程为2112y x x x =-,直线BD 的方程为2222y x x x =-,联立上述两直线方程,得D 点坐标1212,2+⎛⎫⎪⎝⎭x x D x x ,又因为M 点为线段AB 的中点,所以M 点坐标1212,12+⎛⎫- ⎪⎝⎭x x M x x ,因为D M x x =,所以直线//MD y 轴：（3）因为点(0)2⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭D t t ,所以12122x x x x t +==,则2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭M t ,圆心1,22⎫⎪⎪⎝⎭,直线AB 的斜率为22121212x x k x x x x -==+=-直线AB 方程为y t =-, 2y xy t⎧=⎪⎨-⎪⎩,得20x t +=,24t ∆=-,||AB ==, 圆心到直线AB 的距离为d 半径||1222MD tr -==,||12)3MN t ==-（,1m =≥, ||||361||||33AB MN m AB MN m m --==-++++在m 1≥时单调递减,||||11,||||2-⎛⎤∈- ⎥+⎝⎦AB MN AB MN ．4．（2022届山东省济宁市高三上学期期末）已知抛物线E ：22y px =（0p >）上一点()01,C y 到其焦点F 的距离为2． （1）求实数p 的值；（2）若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线1l 、2l ,且1l 、2l 的交点为Q ,1l 、2l 与y 轴的交点分别为M 、N ．求QMN 面积的取值范围． 【过程详解】（1）因为点()01,C y 到其焦点F 的距离为2,由抛物线的定义知122p+= 解得2p =（2）由上问可知,抛物线方程E ：24y x =设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭,（10y ≠,20y ≠）,设l ：1x ty =+,联立241y xx ty ⎧=⎨=+⎩,得2440y ty --=, 判别式2=16160t ∆+>,故t ∈R124y y t +=,124y y =-设1l ：2114y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭联立方程组221144y xy y y k x ⎧=⎪⎛⎫⎨-=- ⎪⎪⎝⎭⎩,消x 得2211440ky y y ky -+-=,所以()()2221111Δ16444440k y ky ky k y =--=-+=所以12k y =则1l ：211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即1122y y x y =+,令0x =,得10,2y M ⎛⎫⎪⎝⎭,同理2l ：2222y y x y =+,20,2y N ⎛⎫⎪⎝⎭, 联立11222222yy x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,得交点Q 的横坐标为1214Q y y x ==-, ∴1211112222QMN Q y y S MN x =⋅=-⨯==≥△∴QMN 面积的取值范围是[)1,+∞．5.（2022届百校联盟高三上学期12月联考）已知曲线C 上任意一点到1(1,0)F -,2(1,0)F 距离抛物线E ：22y px =的焦点是点2F . （1）求曲线C 和抛物线E 的方程；（2）点()()000,0Q x y x <是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求QMN 的面积的取值范围．【过程详解】（1）依题意,曲线C 是以1(1,0)F -,2(1,0)F 为左右焦点,,则短半轴长b有222113b =-=,曲线C 的方程为：2214133x y +=,即223314x y +=,在22y px =中,12p =,即2p =, 所以曲线C 的方程为：223314x y +=,抛物线E 的方程为：24y x =.（2）显然,过点Q 的抛物线E 的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：00()y y k x x -=-,由002()4y y k x x y x-=-⎧⎨=⎩消去x 并整理得：20004k y y y kx ⋅-+-=,依题意,200001()10k y kx x k y k ∆=--=-+=,设二切线斜率为12,k k ,则0120y k k x +=,1201k k x =,设斜率为1k 的切线所对切点11(,)M x y ,斜率为2k 的切线所对切点22(,)N x y , 因此,112y k =,222y k =,于是得21112(,)M k k ,22212(,)N k k ,2212121122(,)NM k k k k =-- , 直线MN 上任意点(,)P x y ,21112(,)MP x y k k =-- ,由//MP NM得： 222121*********()()(0x y k k k k k k -----=,化简整理得：121212220k k x y k k k k +-+=, 则直线MN 的方程为：00220x y y x -+=,点Q 到直线MN的距离2d =,||MN ====,则QMN的面积322200111||(224)2QMNy x S MN d =⋅==- ,而点()()000,0Q x y x <在曲线C 上,即22001134y x =-,00x ≤<,220000114443y x x x -=--+在0[x ∈上单调递减,当00x =时,200min 1(4)3y x -=,当0x =时,200max(4)y x -=于是有200143y x <-≤则32200(4)93y x <-≤,183QMN S <≤ 所以QMN的面积的取值范围是(,]183.6．（2022届四川省达州高三上学期诊断）过定点()0,1的动圆始终与直线l ：1y =-相切. （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当ABD △的面积是32时,求点A 坐标. 【过程详解】（1）设动圆圆心坐标为(),x y , 因为过定点()0,1的动圆始终与直线l ：1y =-相切, 可得1y =+,化简得24x y =, 即动圆圆心的轨迹方程C ：24x y =.（2）设动点()0,1A x -,根据题意过点A 作曲线C 的切线斜率存在, 设为()0k k ≠,所以切线方程为()01y k x x =--,联立方程组()204,1x y y k x x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩,整理得204440x kx kx -++=,且2010k kx ∆=--=, 因为2010k kx --=有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为1k ,2k ,所以120k k x +=,121k k =-,切线()101y k x x =--交x 轴于点011,0B x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,切线()201y k x x =--交x 轴于点021,0D x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以21001212111131222ABDk k S x x k k k k -=+--⨯===△, 32=,解得0x =, 所以点A 坐标为)1-或()1-.7．（2022届四川省成都市高三上学期考试）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F .且F与圆()22:41M x y ++=上点的距离的最小值为4. （1）求抛物线的方程；（2）若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求PAB △面积的最大值. 【过程详解】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,42pFM =+, 所以,F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=,解得2p =； 所以抛物线的方程为24x y =.（2）抛物线C 的方程为24x y =,即24x y =,对该函数求导得2x y '=, 设点()11,A x y ,()22,B x y ,()00,P x y , 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即112x xy y =-,即11220x x y y --=, 同理可知,直线PB 的方程为22220x x y y --=,由于点P 为这两条直线的公共点,则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩, 所以,点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=, 所以,直线AB 的方程为00220x x y y --=,联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩,可得200240x x x y -+=, 由韦达定理可得1202x x x +=,1204x x y =,所以AB ===点P 到直线AB的距离为d =所以,()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△, ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++ ,由已知可得053y -≤≤-,所以,当05y =-时,PAB △的面积取最大值321202⨯=8．（2022届山西省怀仁市高三上学期期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ,准线与x 轴交于D 点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA FB FA FB ⋅=+. （1）求抛物线C 的方程；（2）设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF x ⊥轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE GD =,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.【过程详解】（1）解：设过点F 的直线方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()()1122,,,A x y B x y ,联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩,得()22222204k p k x pk p x -++=, 则22121222,4pk p p x x x x k ++=⋅=, 所以21222222p p pk pFA FB x x k ++=+++=, ()22212222222p k p p p FA FB x x k +⎛⎫⎛⎫⋅=++=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 因为FA FB FA FB ⋅=+,所以()22222222222p k pk p p kk ++=+, 化简得()221210p p k ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,所以2p =,当过点F 的直线斜率不存在时,则FA FB p ==,故22,FA FB p FA FB p +=⋅=,又因为FA FB FA FB ⋅=+, 则22p p =,所以2p =, 综上所述,2p =, 所以24y x =；（2）证明：不妨设点P 在第一象限, 则()()()1,2,1,0,1,0P D F -,设直线PQ 的方程为()21,0y m x m -=-≠,()33,Q x y ,联立()2214y m x y x ⎧-=-⎨=⎩,消元整理得22204m y y m --+=,则342y m +=,即342m y m -=故()2322m x m -=,即()22242,m m Q m m ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭, 当0y =时,21x m =-+,则21,0G m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,又因GE GD =,且点G 介于点E 点D 之间,则G 为DE 的中点,所以43,0E m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,则直线PE 的斜率为2422m m m =--,因为直线PE 平行直线l , 所以直线l 的斜率为2mm-, 故直线l 的方程为()222422m m m y x m m m ⎡⎤---=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦,即22m my x m m -=+-, 联立2224m m y x m m y x-⎧=+⎪-⎨⎪=⎩,消元整理得()22042m m y y m m --+=-, ()214042m mm m-∆=-⨯⋅=-,所以直线l 与抛物线只有一个交点, 有直线l 斜率不为0, 所以l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线2:2C x py =,点()4,4M -在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点． (1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为()2,1--,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为1k ,2k ,3k ,是否存在常数λ使得123k k k λ+=．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．【过程详解】（1）因为()4,4M -在抛物线C 上,所以()248p -=,所以2p =所以抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,则12y x '=, 所以切线的斜率为1(4)22⨯-=-,所以过点M 的切线方程为()244y x =-++,即y x =--24联立24y x y =--⎧⎨=⎩,解得P 点的坐标为()2,0- （2）由题意可知过点P 的直线的斜率存在,设为2y kx k =+,线段OM 所在的直线为y x =-,联立2y kx k y x =+⎧⎨=-⎩,解得Q 点坐标为22,11k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 所以3213112221kk k k k k +++==-++ 设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,联立224y kx k x y =+⎧⎨=⎩,得2480x kx k --=, 所以124x x k +=,128x x k =-．则()()()()22221212121212121212121111444422224x x x x x x x x x x k k x x x x x x +++++++++=+=+++++()22184161641242318844k k k k k k k k -+++++===+-++ 所以1232k k k +=,即存在2λ=满足条件．10．如图,已知()()1122,,A x y B x y ､为二次函数2(0)y ax a =>的图像上异于顶点的两个点,曲线2y ax =在点()()1122,,A x y B x y ､处的切线相交于点()00,P x y .(1)利用抛物线的定义证明：曲线2y ax =上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：102x x x ､､成等差数列,102y y y ､､成等比数列；(3)设抛物线2y ax =焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：BPH APF ∠∠=. 【过程详解】（1）证明：令10,4F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,直线l ：14y a =-,曲线2y ax =上任意一点()200,P x ax ,又0a >,则点()200,P x ax 到直线l 的距离2014d ax a=+,则PF ===22001144ax ax d a a ==+=+=, 即曲线2y ax =上任意一点到点10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与到直线l ：14y a =-的距离相等,且点10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭不在直线l ：14y a =-上,所以曲线2y ax =上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为2y ax =,焦点坐标为10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭,准线方程为14y a =-；（2）解：对于2y ax =,则2y ax '=,所以11|2x x y ax ='=,22|2x x y ax ='=,即过点()11,A x y 、()22,B x y 的切线方程分别为()1112y y ax x x -=-、()2222y y ax x x -=-,又211y ax =,222y ax =,所以2112y ax x ax =-、2222y ax x ax =-,由21122222y ax x ax y ax x ax ⎧=-⎨=-⎩,解得12212x x x y ax x +⎧=⎪⎨⎪=⎩,即1221,2x x P ax x +⎛⎫⎪⎝⎭, 即1202x x x +=,021y ax x =,又222202112y a x x y y ==⋅, 所以1x 、0x 、2x 成等差数列,1y 、0y 、2y 成等比数列；（3）解：由（2）可知22BP k ax =,12AP k ax =,10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭,所以02112011442PF y ax x a a k x x x --==+,如图,设AP ,PF ,PB 与x 轴分别交于点C 、D 、E ,则1tan 2ACx ax ∠=,2tan 2BEx ax ∠=,211214tan 2ax x a FDx x x -∠=+,又()22BPH BEx BEx πππ∠=--∠=∠-,FPA FDx ACx ∠=∠-∠,所以211tan tan 2tan 2BPH BEx BEx ax π⎛⎫∠=∠-=-=- ⎪∠⎝⎭, ()tan tan tan tan 1tan tan FDx ACxFPA FDx ACx FDx ACx∠-∠∠=∠-∠=+∠∠2111221112142214122ax x a axx x ax x a ax x x --+=-+⋅+122111221112421224x x ax x ax a x x ax x ax a +--⋅=+⎛⎫+-⋅ ⎪⎝⎭21221211214222ax a x x x a x x --=++-21222121422ax ax a x x --=+()212221214142ax ax a x x --=+()()221222211412214a x ax ax a x -+==-++, 即tan tan BPH FPA ∠=∠, 所以BPH FPA ∠=∠；11．已知抛物线22(0)x py p =>上的任意一点到(0,1)P 的距离比到x 轴的距离大1． (1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求QAB 重心G 的轨迹方程．【过程详解】（1）由抛物线的定义可得2p =,∴抛物线的方程为24x y =；（2）由题意可得直线AB 的斜率存在,设其为k ,设()()1122,,,A x y B x y ,则直线AB 的方程为2y kx =+；代入抛物线方程得2480x kx --=,则有12124,8x x k x x +==-,∵24x y =,∴2x y '=,∴()111:2-=-AQ x l y y x x ,即21124x x y x =-①同理可得222:24=-BQ x x l y x ②,①-②有22121224x x x x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭-,得1222Q x x x k +==,∴2111124=-=-=-Q x y kx kx y ．∴(2,2)Q k - 又()21212444y y k x x k +=++=+,设()G x y ,,则12212234233Q Q x x x x k y y y k y ++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩,消k 得223+=x y ,所以G 的轨迹方程为21233=+y x ． 12．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,点()02,P y -为抛物线上一点,抛物线C 在点P处的切线与y 轴相交于点Q ,且FPQ △的面积为2． (1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MFAB为定值． 【过程详解】（1）将()02,P y -代入22x py =得,02y p= 设抛物线的切线方程为2(2)y k x p=++,代入22x py =整理得： 22(44)0x pkx pk --+=由题知224440p k pk ∆=++=,解得2k p=-又22Q y k p =+,所以222p FQ k p =-- 所以222222FPQ p p S k p p=--=+= ,解得2p = 所以抛物线C 的方程为24x y =（2）记AB 中点为N ,112233(,),(,),(,)A x y B x y N x y 设直线AB 方程为1y mx =+,代入24x y =整理得： 2440x mx --=,则12124,4x x m x x +==-所以24(1)AB m =+ 因为N 为AB 中点,所以12322x x x m +==,2321y m =+ 所以直线MN 的方程为21(21)(2)y m x m m-+=-- 则223M y m =+所以222MF m =+所以222214(1)2MF m AB m +==+ 13．（2022届新未来4月联考）已知直线:10l x ky k -+-=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l x ⊥轴时,||4AB =． (1)求抛物线C 的标准方程； (2)求||OD 的最小值．【过程详解】（1）当直线l x ⊥轴时,1x =,代入22y px =解得y =∴||4AB ==,得2p =,∴抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）设()()(),,,,,A A B B D D A x y B x y D x y ．联立210,4,x ky k y x -+-=⎧⎨=⎩得24440y ky k -+-=．∴4,44A B A B y y k y y k +=⋅=-①,∵直线:10l x ky k -+-=恒过点(1,1),且与抛物线有两个交点,点(1,1)在抛物线上,∴0k ≠,当直线AD 和直线BD 斜率存在时,设直线:AD y mx n =+,联立2,4,y mx n y x =+⎧⎨=⎩∴2440my y n -+=,Δ16440m n =-⋅=,∴1⋅=m n ,∴2A y m =,同理,设直线:BD y ax b =+,则21,B ab y a ==,联立,,y mx n y ax b =+⎧⎨=+⎩∴1,11.D D x amy a m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 由①可知22224,44k k m a m a +=⋅=-,∴1122m a ma+-=,即22D D y x -=,∴点D 在直线220x y -+=上．当直线AD 或直线BD 斜率不存在时,即直线l 过原点时,1k =,过原点的切线方程为0x =,易知另外一点为(4,4),过点(4,4)的切线方程设为4(4)x t y -=-,联立24(4)4x t y y x-=-⎧⎨=⎩,得2416160y ty t -+-=, ()2Δ16416160t t =--=,解得2t =,即切线方程122y x =+．此时交点D 的坐标为(0,2),在直线220x y -+=上,故OD 的最小值为原点到直线220x y -+=的距离,5=． 14．过原点O 的直线与拋物线C ：22y px =（0p >）交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点()3,0P p ,PM OA ⊥．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =②PM =；③POM的面积为（1）______,求拋物线C 的方程；（2）在（1）的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q （不与原点O 重合）,过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点． 注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【过程详解】（1）由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,设其方程为()0y kx k =≠,由22,y px y kx ⎧=⎨=⎩得0,0x y =⎧⎨=⎩或22,2,p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即()0,0O ,222,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以线段OA 的中点2,p p M k k ⎛⎫⎪⎝⎭．因为PM OA ⊥,所以直线PM 的斜率存在,22133PM p kkk pk p k ==--． 所以2113k k k ⋅=--,解得2k =±, 所以直线OA的方程为0x =,()4,A p ±． 若选①,不妨令()4,A p ,由OA ==解得2p =（舍去2p =-）,所以抛物线C 的方程为24y x =． 若选②,因为PM OA ⊥,PM=所以点P 到直线OA 的距离为=,解得2p =（舍去2p =-）,所以抛物线C 的方程为24y x=． 若选③,不妨令()4,A p ,因为12OM OA ===,点P 到直线OA的距离PM ==,所以1122POM S OM PM =⋅==△,解得2p =（舍去2p =-）, 所以抛物线C 的方程为24y x =．（2）由题意可知切线BQ 的斜率存在且不为0． 设()()0,0B b b ≠,切线BQ 的方程为1y k x b =+, 由12,4y k x b y x=+⎧⎨=⎩得21440k y y b -+=,（*） 所以()214440k b ∆=--⨯⨯=,解得11k b=, 所以方程（*）的根为2y b =,代入24y x =得2x b =,所以切点()2,2b b ,于是222OQ b k b b ==,则2l b k =-, 所以直线l 的方程为2by x b =-+,即()22b y x =--,所以当b 变化时,直线l 恒过定点()2,0．15．已知抛物线22(0)x py y =>,其焦点为F ,抛物线上有相异两点()11,A x y ,()22,B x y ．（1）若//AF x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；（2）若2p =,且||||4AF BF +=,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求ABC 面积的最大值． 【过程详解】（1）抛物线22(0)x py y =>,焦点坐标为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭,因为//AF x ,所以2A p y =,所以A x p =,又22x y p =,所以x y p '=,所以过A 点的切线的斜率1k =,所以切线方程为2p y x p -=-,令0y =得12px ==,所以2p =,所以24x y = （2）若2p =,则抛物线为24x y =,焦点为()0,1,准线方程为1y =-,因为||||4AF BF +=,所以114A B y y +++=,所以2A B y y +=,设直线AB 的方程为y kx m =+,联立24x y =得2440x kx m --=,216160k m ∆=+>所以124x x k +=,124x x m =-,所以212122422y y kx kx m k m +=++=+=,即212m k =-,所以()221616120k k ∆=+->,解得11k -<<,当0k =时,直线方程为1y =,则()2,0A ,()2,0B -,所以AB 的中垂线恰为y 轴,则()0,0C ,所以14122ABC S =⨯⨯= , 当11k -<<,且0k ≠时,又AB 的中点坐标为()1212,2,122x x y y k ++⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以AB 的中垂线l 的方程为()121y x k k =--+,令0y =得3x k =,所以()3,0C k ,所以C 到AB 的距离d =又AB =所以221312ABC S AB d k m k ==+=+= 令21k t -=,则()0,1t ∈,()()232244f t t t t t t =-=-+,因为()()()2384232f t t t t t '=-+=--,所以当20,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f t '>,()f t 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,当2,13t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f t '<,()f t 在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()max 232327f t f ⎛⎫==⎪⎝⎭所以()max 2ABC S =>所以()max ABC S =16．设抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ,点(),2P m （0m >）在抛物线C 上,且满足3PF =．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()0,4G 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值． 【过程详解】（1）由抛物线定义,得232pPF =+=,得2p =, ∴抛物线C 的标准方程为24xy =；（2）设()11,A x y ,()22,B x y ,直线l 的方程为4y kx =+,∴联立244y kx x y=+⎧⎨=⎩,消掉x ,得24160x kx --=,0∆>,∴124x x k +=,1216x x =-,设A ,B 处的切线斜率分别为1k ,2k ,则112x k =,222x k =, ∴在点A 的切线方程为()1112x y y x x -=-,即21124x x x y =-①,同理,在B 的切线方程为22224x x x y =-②, 由①②得：1222Q x x x k +==,代入①或②中可得：21111444Q x y kx y y ==--=--, ∴()2,4Q k -,即Q 在定直线4y =-上,设点G 关于直线4y =-的对称点为G ',则()0,12G '-,由（1）知()2P ,∵PQ GQ PQ G Q G P ''+=+≥=即,,P Q G '三点共线时等号成立,∴三角形PQG周长最小值为GP G P '+=．17．已知圆()22:21C x y +-=与定直线:1l y =-,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切. （1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）已知点P 是直线1:2l y =-上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点； ②求证：PCA PCB ∠=∠.【过程详解】（1）依题意知：M 到()0,2C 的距离等于M 到直线2y =-的距离,∴动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线2y =-为准线的抛物线,设抛物线方程为()220x py p =>,则22p=,则4p =,即抛物线的方程为28x y =, 故：动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：28x y =；（2）①由28x y =得：218y x =,14y x '∴=,设2111,8A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2221,8B x x ⎛⎫⎪⎝⎭,(),2P t -,其中12x x ≠,则切线PA 的方程为()2111184x y x x x -=-,即2111148y x x x =-,同理,切线PB 的方程为2221148y x x x =-, 由21122211481148y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得121228x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,1212228x x t x x +⎧=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩,即1212216x x t x x +=⎧⎨=-⎩, 2111,8A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 、()222121,8B x x x x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭,∴直线AB 的方程为()222121*********x x y x x x x x --=--,化简得121288x x x x y x +=-, 即24ty x =+, 故直线AB 过定点()0,2；②由①知：直线AB 的斜率为4ABt k =, （i ）当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为2y =,PC AB ∴⊥,PCA PCB ∴∠=∠； （ii ）当直线PC 的斜率存在时,(),2P t - 、()0,2C ,∴直线PC 的斜率2240PC k t t --==--,414AB PC t k k t-∴⋅=⨯=-, PC AB ∴⊥,PCA PCB ∴∠=∠.综上所述：PCA PCB ∠=∠得证.18.设抛物线C ：()220x py p =>,其焦点为 F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF FP =,2FM FP ⋅=.（1）求抛物线C 的方程；（2）设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接 AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.【过程详解】（1）PM PF FM == ,PFM ∴△为等边三角形,60FMP PFM ∴∠=∠=︒,又2cos cos602FM FP FM FP PFM FM ⋅=⋅∠=︒= ,2FM ∴=设直线l 交y 轴于N 点,则在Rt MNF △中30NMF ∠=︒,1NF p ==,C ∴的方程为22x y = （2）设点()(),0,0Q a b a b ≠≠,()11,A x y ,()22,B x y ,又C 的方程为22x y =可化为22x y =,y x '∴=所以过点A 且与C 相切的直线的斜率为1x ,过点B 且与C 相切的直线的斜率为2x ,所以直线QA 的方程为()111y y x x x -=-,直线QB 的方程为()222y y x x x -=-.又直线QA 与QB 均过点Q ,()111b y x a x -=-,()222b y x a x -=-,又2112x y =,2222x y =,11y ax b ∴=-,22y ax b =-,所以直线AB 的方程为y ax b =-,联立方程y ax b =-和22x y =得方程组22,,x y y ax b ⎧=⎨=-⎩消去y 得2220x ax b -+=, 0b ≠ ,10x ∴≠,20x ≠,122x x b = ,又()0,S b ,则直线AS 的斜率111y b k x -=；直线BS 的斜率222y b k x -=,()121212122x x x x b k k x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭∴+=, 1202x x b -=, 120k k ∴+=,所以直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.。

第15讲 用导数的几何意义研究曲线的切线真题展示2022新高考一卷第15题若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是 (-∞，4)(0-⋃，)+∞ ．知识要点整理用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法．类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ）Ａ．34y x =-Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。

【题型综述】圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数)(x f y =，利用导数法求出函数)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程，特别是焦点在y 轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x （或y ）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式0=∆，即可解出切线方程，注意关于x （或y ）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 【典例指引】类型一 导数法求抛物线切线例1 【2017课表1，文20】设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．类型二 椭圆的切线问题例2（2014广东20）（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(5,0)，离心率为53.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.类型三 直线与椭圆的一个交点例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点(23)P ，.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E .取点(0,22)A ,连接AE，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D .点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点(23)P ， ∴22231a b+= 且222a b c =+ ∴ 28a = 24b = 24c = 椭圆C 的方程是22184x y += （2）由题意，各点的坐标如上图所示，则QG 的直线方程：0000808x x y y x x --=-化简得20000(8)80x y x x y y ---= 又220028x y +=，所以00280x x y y +-=带入22184x y += 求得最后0∆=所以直线QG 与椭圆只有一个公共点. 类型四 待定系数求抛物线的切线问题例4 【2013年高考广东卷】已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点． (1) 求抛物线C 的方程；(2) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3) 当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值．（3）由抛物线的定义可知121,1AF y BF y =+=+， 所以()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立2004220x y x x y y ⎧=⎨--=⎩，消去x 得()22200020y y x y y +-+=， 2212001202,y y x y y y y ∴+=-= 0020x y --=()222200000021=221AF BF y y xy y y ∴⋅=-++-+++220019=22+5=2+22y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∴当012y =-时，AF BF ⋅取得最小值为92【扩展链接】1. 椭圆的切线方程：椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是12020=+b yy a x x ；椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线方程是12020=+byy a x x . 2. 双曲线的切线方程：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是12020=-b yy a x x ；双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上一点),(00y x P 所引两条切线方程是12020=-byy a x x .3. 抛物线的切线方程：抛物线)0(22>=p px y 上一点),(00y x P 处的切线方程是)(00x x p y y +=；抛物线)0(22>=p px y 上一点),(00y x P 所引两条切线方程是)(00x x p y y +=.4.设抛物线)0(2:2>=p py x C 的焦点为F ，若过点P 的直线PB PA ,分别与抛物线C 相切于B A ,两点，则PFB PFA ∠=∠.5.设椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x 的焦点为F ，若过点P 的直线PB PA ,分别与椭圆C 相切于B A ,两点，则PFB PFA ∠=∠.6.设双曲线C :)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点为F ，若过点P 的直线PB PA ,分别与椭圆C 相切于B A ,两点，则PFB PFA ∠=∠.【新题展示】1．【2019福建龙岩质检】已知椭圆的两焦点为、，抛物线：（）的焦点为，为等腰直角三角形． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）已知过点的直线与抛物线交于两点，又过作抛物线的切线，使得，问这样的直线是否存在？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由． 【思路引导】（Ⅰ）先写出、的坐标，利用为等腰直角三角形，求得p 即可．（Ⅱ）依题意，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k （x +2），，可得切线l 1，l 2的斜率分别为，．x 1x 2＝﹣4．再将直线与抛物线联立，结合韦达定理解得k 即可． 【解析】 （Ⅰ）椭圆，，两焦点为，，∵为等腰直角三角形，，，（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于两点，的斜率必存在，设直线的方程为，由得，或抛物线方程得为所以切线的斜率分别为，当时，，即又，解得合题意，所以存在直线的方程是，即2．【2019河南九师联盟2月质检】已知点是抛物线：的焦点，点是抛物线上的定点，且．（1）求抛物线的方程；（2）直线与抛物线交于不同两点，，且（为常数），直线与平行，且与抛物线相切，切点为，试问的面积是否是定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【思路引导】（1）先设出点M的坐标，表示出，求得M坐标，带入抛物线方程，求得p的值，得出结果．（2）先设直线AB的方程，联立求解得AB中点Q的坐标为，再设切线方程，联立得切点的坐标为，再利用面积公式和已知条件，进行计算化简可得结果．【解析】（1）设，由题知，所以．所以，即．代入中得，解得．所以抛物线的方程为．（2）由题意知，直线的斜率存在，设其方程为．由，消去，整理得，则，．∴，设的中点为，则点的坐标为．由条件设切线方程为，由，消去整理得．∵直线与抛物线相切，∴．∴．∴，∴，∴．∴切点的坐标为．∴轴，∴．∵，又∵．∴．∴．∵为常数，∴的面积为定值，且定值为．3．【2019东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中联考】已知椭圆的离心率为，右焦点为，且椭圆过点．（I）求椭圆的方程；（II）若点分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上不同于的动点，直线与直线x=a交于点，证明：以线段为直径的圆与直线相切．【思路引导】（I）设椭圆的焦距为，依题意，列出方程组，求得的值，即可求解椭圆的标准方程；（II）方法一①设点的坐标为，当时，得到直线的方程，求得点的坐标，进而求得线段的中点为，利用点到直线的距离等于半径，即可证明；②又由可得点Q的坐标，求得线段中点的坐标，利用圆心到直线的距离等于半径，可作出证明．方法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，求得点P的坐标，进而求得以为直径的圆的圆心坐标为，半径为，再由直线与圆的位置关系的判定，即可得到结论．【解析】（I）设椭圆的焦距为，依题意，，解得，，，故椭圆C的标准方程为．（II）方法一①设点的坐标为，，因为在椭圆上，，，由两点的坐标为，直线的方程为：，当时，则点的坐标为，设线段的中点为，则点的坐标为，有，直线的方程为：，整理为，由，则点到直线的距离为，由，故以为直径的圆与直线相切．②若时，则点的坐标为或，直线的方程为，直线的方程为或．将代入直线的方程得点的坐标为或，线段中点的坐标为或，所以．又点到直线的距离由，故以为直径的圆与直线相切．方法二：由（I）知．依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点的坐标为，由，消去得．，，的坐标为．因为直线与交点为，的坐标为，，所以以为直径的圆的圆心坐标为，半径为．①当直线的斜率存在，即，时，直线的方程为，即，整理得设圆心到直线的距离为，则所以以为直径的圆与直线相切．②当直线的斜率不存在即时，此时直线的方程为．圆心坐标为，圆的半径为，此时以为直径的圆与直线相切．4．【2019河南洛阳一模】已知圆，圆心在抛物线上，圆过原点且与的准线相切．（1）求抛物线的方程；（2）点，点（与不重合）在直线上运动，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，求证：．【思路引导】(1)根据圆和抛物线的位置关系，以及圆和准线相切这一条件得到方程，，从而得到结果；（2）求出两条切线方程，再抽出方程，其两根为切点的横坐标，，通过韦达定理得到结果即可．【解析】（1）∵圆与抛物线准线相切，∴．又圆过和原点，∴．∴，解得．∴抛物线的方程为．（2）设，，方程为．∴，∴抛物线在点处的切线的斜率，∴切线的方程为，即，化简得：，又因过点，故可得，即．同理可得：．∴为方程的两根，∴，．∴∴．5．【2019江苏如皋调研（三)】在平面直角坐标系中，已知定点，点在轴上运动，点在轴上运动，点为坐标平面内的动点，且满足，．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过曲线第一象限上一点（其中）作切线交直线于点，连结并延长交直线于点，求当面积取最大值时切点的横坐标．【思路引导】（1）设，，．因为，，所以，，，得．（2）切线：，将代入得，直线：，将代入得，所以，由，得，设，求取最小值时，的取值即为所求【解析】（1）设，，．因为，，所以，，，所以．（2）切线：，将代入得，直线：，将代入得，，因为在抛物线上且在第一象限，所以，所以，设，，，，．【同步训练】1．已知椭圆与抛物线y2=2px（p＞0）共焦点F2，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|=．（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A、B两点，求此切线在x轴上的截距的取值范围．【思路点拨】（1）由抛物线的性质，求得x=﹣1是抛物线y2=2px的准线，则，求得p的值，求得焦点坐标，代入抛物线方程求得Q点坐标，利用椭圆的定义，即可求得a的值，由b2=a2﹣c2=8，即可求得椭圆方程；（2）将直线分别代入抛物线，由△=0，求得km=1，将直线方程代入椭圆方程，求得△＞0，代入即可求得m的取值范围，切线在x轴上的截距为，又，即可求得切线在x轴上的截距的取值范围．（2）显然k≠0，m≠0，由，消去x，得ky2﹣4y+4m=0，由题意知△1=16﹣16km=0，得km=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）由，消去y，得（9k2+8）x2+18kmx+9m2﹣72=0，其中（9k2+8）（9m2﹣72）＞0，化简得9k2﹣m2+8＞0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）又，得m4﹣8m2﹣9＜0，解得0＜m2＜9，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）切线在x轴上的截距为，又，∴切线在x轴上的截距的取值范围是（﹣9，0）．﹣﹣（12分）2.（2017•鸡泽县校级模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其中一个顶点是双曲线﹣=1的焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P（0，3）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，过点A，B分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程．【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，其中一个顶点是双曲线﹣=1的焦点，旬出方程组求出a，b，c，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），求出椭圆在点A处的切线方程为=1，①椭圆在点B处的切线方程为=1，②，联立①②，得y=，求出交点的轨迹方程为y=．当直线l的斜率不存在时，无交点．由此能过求出过点A，B所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程．（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，设A（x1，y1），B（x2，y2），设在A（x1，y1）处切线方程为y﹣y1=k1（x﹣x1），与椭圆C：=1联立，消去y，得（）x2+8k1（﹣k1x1+y1）x+4（﹣k1x1+y1）2﹣75=0，由△=0，得[8k1（﹣k1x1+y1）]2﹣4（4+3）[4（﹣k1x1+y1）2﹣75]=0，化简，得（），由，得4x12﹣100=﹣，4y12﹣75=﹣3x12，∴上式化为﹣=0，3.设椭圆C：+=1（a＞b＞0），定义椭圆的“伴随圆”方程为x2+y2=a2+b2；若抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合，且椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程；（2）过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，延长PA与“伴随圆”E交于点Q，O为坐标原点．①证明：PA⊥PB；②若直线OP，OQ的斜率存在，设其分别为k1，k2，试判断k1k2是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．【思路点拨】（1）由抛物线的方程，求得b的值，利用离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆方程；（2）①设直线y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k PA•k PB=﹣1，即可证明PA⊥PB；②将直线方程代入圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k1k2=，代入即可求得k1k2=﹣．当切线的斜率不存在或等于零结论显然成立，∴PA⊥PB，②当直线PQ的斜率存在时，由①可知直线PQ的方程为y=kx+m，，整理得：（k2+1）x2+2kmx+m2﹣4=0，则△=4k2m2﹣4（k2+1）（m2﹣4），将m2=3k2+1，代入整理△=4k2+12＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1•x2=，∴k1k2===，=，将m2=3k2+1，即可求得求得k1k2=﹣，当直线PQ的斜率不存在时，易证k1k2=﹣，∴综上可知：k1k2=﹣．4.左、右焦点分别为F1、F2的椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点Q（0，），P为椭圆上一点，△PF1F2的重心为G，内心为I，IG∥F1F2．（1）求椭圆C的方程；（2）M为直线x﹣y=4上一点，过点M作椭圆C的两条切线MA、MB，A、B为切点，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【思路点拨】（1）由过点Q，则b=，求得，△PF1F2的重心为G点坐标，由IG∥F1F2，|y0|=3r，根据三角形的面积公式可知a=2c，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）利用椭圆的切线发浓缩，求得直线AB的方程，由点M为直线x﹣y=4上，代入整理即可求得定点坐标．（2）设M（x1，y1），A（x2，y2），B（x3，y3）则切线MA，MB的方程分别为，．…（7分）∵点M在两条切线上，∴，，故直线AB的方程为．…（9分）又∵点M为直线x﹣y=4上，∴y1=x1﹣4即直线AB的方程可化为，整理得（3x+4y）x1=16y+12，由解得，因此，直线AB过定点．…（12分）5.平面直角坐标系xoy中，椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6．（1）求椭圆的方程；（2）A，B是抛物线C2：x2=4y上两点，且A，B处的切线相互垂直，直线AB与椭圆C1相交于C，D两点，求弦|CD|的最大值．【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）设直线AB为：y=kx+m，由，得x2﹣4kx﹣4m=0，由此利用韦达定理、直线垂直推导出直线AB过抛物线C1的焦点F，再由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，由此利用弦长公式能求出弦|CD|的最大值．故切线PA，PB的斜率分别为，k PB=，再由PA⊥PB，得k PA•k PB=﹣1，∴，解得m=1，这说明直线AB过抛物线C1的焦点F，由，得（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∴|CD|=•=≤3．当且仅当k=时取等号，∴弦|C D|的最大值为3．6.已知椭圆C：（a＞b＞0）的上、下两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，且△MNF2的周长为8，椭圆C的离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M'，N'是直线l上的两点，且F1M'⊥l，F2N'⊥l，求四边形F1M'N'F2面积S的最大值．【思路点拨】（1）由△MNF2的周长为8，求出a=2，再由，求出b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）将直线l的方程y=kx+m代入到椭圆方程中，得（4+k2）x2+2kmx+m2﹣4=0．由直线与椭圆仅有一个公共点，利用根的判别式求出m2=4+k2．由此利用弦长公式，结合已知条件能求出四边形F1M'N'F2面积的最大值．所以==．因为四边形F1M'N'F2的面积，所以=．令k2+1=t（t≥1），则==，所以当时，S2取得最大值为16，故S max=4，即四边形F1M'N'F2面积的最大值为4．7.已知A，B分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，D椭圆上的一点，△DF1，F2的周长为．（1）求椭圆C的方程；（2）若P是圆x2+y2=7上任一点，过点作P椭圆C的切线，切点分别为M，N，求证：PM⊥PN．【思路点拨】（1）由2a+2c=6，，b2+c2=a2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）分类讨论，当切线PM斜率不存在或者为零时，根据对称性即可求得PM⊥PN；当斜率不为零时，分别求得直线PM，PN的方程，由△=0即可求得k1，k2是方程的两个根，则，则PM⊥PN．∴．∵y0=k1x0+m，∴m=y0﹣k1x0，∴．即；同理：切线PN：y=k2x+t中，，∴k1，k2是方程的两个根，又∵P在圆上，∴，∴，∴，∴PM⊥PN．综上所述：PM⊥PN．8.已知圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=9，M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，圆M过原点且与C的准线相切．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）点Q（0，﹣t）（t＞0），点P（与Q不重合）在直线l：y=﹣t上运动，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B．求证：∠AQO=∠BQO（其中O为坐标原点）．【思路点拨】（1）由圆M与抛物线准线相切，得，且圆过又圆过原点，故，可得，解得p=4，即可（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（m，﹣t），可得，，即x1，x2为方程x2﹣2mx﹣4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=﹣4t，可得，化简=．可证得∠AQO=∠BQO．又因过点P（m，﹣t），故可得，，（7分）即，同理可得，（8分）所以x1，x2为方程x2﹣2mx﹣4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=﹣4t，（9分）因为Q（0，﹣t），所以，（10分）化简=．（11分）所以∠AQO=∠BQO．（12分）9.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，离心率为，右焦点为F．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C相切于点P（不为椭圆C的左、右顶点），直线l与直线x=2交于点A，直线l与直线x=﹣2交于点B，请问∠AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明．【思路点拨】（1）由2a=4，离心率e==，b=即可求得a和b，即可求得椭圆C的方程；（2）l的斜率为0时，∠AFB为直角，则∠AFB为定值，当斜率不为0时，将切点代入椭圆方程，求得交点坐标，求得AF和BF的斜率k AF及k BF，即可求得k AF•k BF=﹣1，即可求得∠AFB为定值．10.已知过抛物线x2=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A、B两点．（1）设抛物线在A、B处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程．（2）若直线l与椭圆+=1的交点为C，D，问是否存在这样的直线l使|AF|•|CF|=|BF|•|DF|，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．【思路点拨】（1）设，直线AB：，从而得到过A，B，M的圆是以AB为直径的圆，由此结合已知条件能求出圆的方程．（2）设，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出满足条件的直线方程．（2）设设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），则又，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4将，…①由将，由①②得k=0或k2=1，k=±1，经检验k=0，k=±1时，A、B、C、D四点各异，且满足要求故直线l存在，且方程为y=±x+1或y=1…（13分）11.在平面直角坐标系中，已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，动直线l′垂直l于点H，线段HF的垂直平分线交l′于点P，设点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）以曲线C上的点P（x0，y0）（y0＞0）为切点作曲线C的切线l1，设l1分别与x，y轴交于A，B两点，且l1恰与以定点M（a，0）（a＞2）为圆心的圆相切，当圆M的面积最小时，求△ABF与△PAM面积的比．【思路点拨】（1）由丨PH丨=丨PF丨，根据抛物线的定义，点P的轨迹是以l为准线，F为焦点的抛物线，即可求得抛物线方程；（2）由y＞0时，求导，求得切线斜率，利用点斜式方程即可求得切线方程，取得A和B点坐标，利用点到直线的距离公式，根据基本不等式的性质，当P（a﹣2，2）时，满足题意的圆M的面积最小，求得A和B点坐标，利用三角形的面积公式即可求得△ABF与△PAM面积的比．A（﹣x0，0），…（7分）点M（a，0）到切线l的距离d==+≥2，（当且仅当y0=2时，取等号）．∴当P（a﹣2，2）时，满足题意的圆M的面积最小．…（9分）∴A（2﹣a，0），B（0，），∴S△ABF=丨1﹣（2﹣a）丨•丨丨=（a﹣1），S△PAM=丨a﹣（2﹣a）丨•丨2丨=2（a﹣1），…（11分）∴=，△ABF与△PAM面积的比．…（12分）12.在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上. （1）求椭圆的方程；（2）设直线同时与椭圆和抛物线：相切，求直线的方程.【思路点拨】（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得b=1，由此能求出椭圆C1的方程；（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因为直线l与椭圆C1相切，所以△=0，得到两个变量的等量关系．再由直线和抛物线相切，联立方程，运用判别式为0，再构造两个变量的等量关系，从而解出两个变量的值，由此能求出直线l的方程．。

第三章 解析几何专题11 圆锥曲线的几何性质与应用【压轴综述】纵观近几年的高考命题，围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题，逐渐呈现“多样化”，即离心率问题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、与平面向量相结合问题等. 在上述各类压轴题型中，圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点，解题规律更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距.从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 本专题通过例题说明各类问题解答规律与方法.【压轴典例】例1. (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34【答案】A【解析】本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a ，b ，c 满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直线BM 经过OE 的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式． 详解：法一：数形结合法如图，设直线BM 与y 轴的交点为N ，且点N 的坐标为(0，m )，根据题意，点N 是OE 的中点，则E (0,2m )，从而直线AE 的方程为x －a ＋y2m ＝1，因此点M 的坐标为－c ，2m (a －c )a.又△OBN ∽△FBM ， 所以|FM ||ON |＝|FB ||OB |，即2m (a －c )a m＝a ＋c a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. 法二：交点法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m ＝1，直线BN 的方程为x a ＋ym＝1.又因为直线AE 与直线BN 交于点M ，且PF ⊥x 轴，可设M (－c ，n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－c －a ＋n2m＝1，－c a ＋nm ＝1，消去n ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法三：三点共线法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y2m ＝1，由题意可知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c a，N (0，m )，B (a,0)三点共线，则2m ⎝⎛⎭⎪⎫1－c a －m －c＝m－a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. 法四：方程法设M (－c ，m )，则直线AM 的方程为y ＝ma －c(x ＋a )，所以E ⎝⎛⎭⎪⎫0，ma a －c .直线BM 的方程为y ＝m－c －a(x －a )，与y 轴交于点⎝⎛⎭⎪⎫0，ma a ＋c ，由题意知，2ma a ＋c ＝ma a －c ，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. 法五：几何法在△AOE 中，MF ∥OE ，所以MF OE ＝a －ca .在△BFM 中，ON ∥MF ，所以OE2MF ＝a a ＋c ，即OE MF ＝2aa ＋c .所以MF OE ·OE MF ＝a －c a ·2a a ＋c ＝1，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.例2.（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u ur u u u r ，则C 的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】分析:通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 603ba==可求离心率. 详解:如图，由1,F A AB =u u u r u u u r得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =u u u r u u u u rg ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2c be a a==+=+=． 例3. （2019·浙江高考真题）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 【答案】15 【解析】分析:结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 详解:方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，联立方程22195x y +=可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 求得315,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k ==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-求得315,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k ==.例4.（2019·全国高考真题（理））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 【答案】()3,15 【解析】分析:根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 详解:由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△， 又122201482415,44152MF F S y =⨯⨯-=∴=△，解得015y =， ()2201513620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为()3,15．例5.（2019·全国高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．5【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．例6.（2018全国卷I ））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若V OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ）A ．32B ．3C ．23D ．4【答案】B 【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值. 详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-，分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -， 所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例7.（2018浙江卷）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP uu u r =2PB u u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5 【解析】分析:先根据条件得到A ,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=-因为A ,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+=2222222243(23),()4424x x m y m y ∴+-=∴+-=，与22224x y m +=对应相减得222231,(109)444m y x m m +==--+≤，当且仅当5m =时取最大值. 例8. （2019·北京卷）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A.① B.②C.①②D.①②③【答案】C 【解析】分析：将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 详解：由得,,,所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确. 由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.如图所示,易知, 四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【压轴训练】1．（2019·天津南开中学高考模拟（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，焦距为()20c c >，抛物线22y cx = 准线交双曲线左支交于,A B 两点，且120AOB ∠=︒，其中O 为原点，则双曲线的离心率e 为（ ） A ．2 B ．12+C ．13+D ．15+【答案】C 【解析】设抛物线22y cx = 准线与横轴的交点为M ,∴M 的坐标为,02c ⎛⎫-⎪⎝⎭， 设A 在第二象限，由双曲线的对称性可知: °60MOA ∠=，3tan 2AM MOA AM c OM ∠=⇒=，∴A 的坐标为3(,)22c c -，焦距为2c ， ∴设22221,1a b c a c ==-=-，又ce c a==， 把A 的坐标代入双曲线方程中，得22422223()()22184042331c c e e e e a b --=⇒-+=⇒=+⇒=+， 故本题选C.2．（2019·山东高考模拟（文））如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ABF ∆的周长的取值范围是（ ）A.(2,6)B.(6,8)C.(8,12)D.(10,14)【答案】C 【解析】抛物线的准线2l x =-：，焦点20F （，）， 由抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=的圆心为20（，），半径为4， ∴FAB V 的周长()246A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+， 由抛物线28y x =及圆()22216x y -+=可得交点的横坐标为2，∴26B x ∈（，），∴()6812B x +∈，，故选 C. 3．（2019·四川棠湖中学高三期末（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（ ）A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项.4．（2019·张家口市第四中学高二月考（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5．（2019·天津市新华中学高考模拟（理））设12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线24y x =的准线围成三角形的面积为（ ）A ．34 B ．35 C ．43D ．53【答案】C 【解析】依题意|PF 2|＝|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是其中点，由勾股定理可知|PF 1|＝22244c a -=4b根据双曲定义可知4b ﹣2c ＝2a ，整理得c ＝2b ﹣a ，代入c 2＝a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab ＝0，求得43b a = ∴双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0， 渐近线与抛物线的准线1x =-的交点坐标为：41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，41,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 三角形 的面积为：1841233⨯⨯=.故选：C .6．（2019·吉林高考模拟（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r ，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．22143x y -= B ．22134x y -= C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】D 【解析】由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r，可知1222FF F A c ==，又2AF 的斜率为247，所以易得217cos 25AF F ∠=-， 在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =， 由双曲线的定义得16225c c a -=， 所以53c e a ==，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为221916x y -=.故选D7．（2019·天津高考模拟（理））设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F ，2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，则221211e e +的值为（ ）A ．12B ．13C ．2D ．不确定【答案】C 【解析】设椭圆、双曲线的长轴长分别为122,2a a ，焦距为2c ，则：12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，由勾股定理可得：()222122PF PF c +=，即：()()22212124a a a a c ++-=，整理可得：222122212112,2a a c e e +=∴+=. 故选：C .8.（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A.63B.33C.23D.13【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即222ab d a a b==+，整理可得223a b =，即()2223,a a c=-即2223ac =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率2633c e a ===， 故选A.9．（2019·天津高考模拟（理））己知点A 是抛物线212(0)=>︰y px p C 与双曲线222221(00)-=>>︰，x y a b C a b 的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．5D ．2【答案】C 【解析】设()00,A x y ，则02p x p += 00,222p px y p p ⇒==±⋅=±由双曲线方程可得渐近线方程为：b y x a=±若A 为抛物线与b y x a =交点，则,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得2b a = 即：224b a = 22225c a b a ∴=+=5ce a∴== 由对称性可知，A 为抛物线与by x a=-交点时，结论一致 本题正确选项：C10．（2019·天津高考模拟（理））已知12,F F 分别双曲线22233(0)x y a a -=>的左右焦点，是P 抛物线28y ax =与双曲线的一个交点，若1212PF PF += ，则抛物线的准线方程为（ ）A.4x =-B.3x =-C.2x =-D.1x =-【答案】C 【解析】由题得双曲线的方程为222213x y a a-=，所以222234,2c a a a c a =+=∴=.所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得1221212,62PF PF PF a PF PF a⎧+=⎪∴=-⎨+=⎪⎩. 联立双曲线的方程和抛物线的方程得223830,(33ax ax a x x a --=∴=-=舍）或. 由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2，故选C.11．（2019·天津高考模拟（文））已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为(c,0)F ，直线2a x c =与一条渐近线交于点P ，POF ∆的面积为2a (O 为原点），则抛物线22by x a=的准线方程为( ) A ．12y =B ．1x =C ．1x =-D ．2x =【答案】C 【解析】不妨取双曲线的渐近线方程为0bx ay -=，与直线2a x c =联立可得：2a x c aby c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭, 由题意可得2122POFab ab S c a c ⨯⨯==△，22,4b b a a ∴>=，抛物线方程为24y x =， 其准线方程为1x =-. 故选：C .12．（2018·全国卷II ）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A ．23 B ．12C ．13D ．14【答案】D 【解析】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP 斜率为36得，2223112tan ,sin cos 61313PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=，， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠, 所以2112211313==4,π5431211sin()3221313c a c e a c PAF =∴==+-∠⋅-⋅，故选D. 13．（2019·天津高考模拟（理））以双曲线上一点为圆心作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，与轴交于两点，若，则双曲线的离心率是（ ）.A.B.C.D.【答案】B【解析】不妨设点M 位于第一象限，由双曲线的性质可得， 由圆的弦长公式可得：，结合可得， 整理变形可得：，即，双曲线中，故.故选：B .14.（2019·广东佛山一中高二月考（文））在平面直角坐标系xoy 中，双曲线的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p => 交于,A B 两点，若AF +BF =4OF ，则该双曲线的渐近线方程为_________. 【答案】22y x =± 【解析】||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+= ， 因为22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⇒⎨⎪=⎩，所以2222A B pb y y p a b a +==⇒=⇒渐近线方程为22y x =±. 15．（2019·广东高考模拟（理））已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为,F O 为坐标原点，点,M N 为抛物线准线上相异的两点，且,M N 两点的纵坐标之积为-4，直线OM ，ON 分别交抛物线于A ，B 两点，若A ，B ，F 三点共线，则p =_______. 【答案】2 【解析】设m 2p M ⎛⎫-⎪⎝⎭，，n 2p N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 则直线OM 的方程为：x 2p y m =-，代入抛物线方程可得：222p y p y m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 解得：2A p y m =-，故A 点坐标为：3222p p m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 同理可得：B 点坐标为：3222p p n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，， ∴32222p p p FA m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，32222p p p FB n n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ， 又A ，B ，F 三点共线，∴3232222222p p p p p p mn n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴22221111p p n m m n ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由mn 4=- ∴221144p p m n n m -=---，即211104p m n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又110m n-≠ ∴2104p -=，0p >∴2p = 故答案为：216.（2018·北京高考真题（理））已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．【答案】31- 2 【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N 的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3c c +，再根据椭圆定义得32c c a +=，解得椭圆M 的离心率. 详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3c c +，再根据椭圆定义得32c c a +=，所以椭圆M 的离心率为23 1.13c a ==-+ 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，，222222234 2.m n m m e e m m，++∴===∴= 17.（2019·上海高考模拟）已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，若2OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是______ 【答案】3 【解析】设直线AB 的方程为x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴的交点为(0,)M m .联立2{x ty m y x=+=，可得20y ty m --=，根据韦达定理可得12y y m ⋅=-. ∵2OA OB ⋅=u u u v u u u v∴12122x x y y +=，即21212()20y y y y ⋅+⋅-=.∴2m =或1m =-（舍），即122y y ⋅=-. ∵点A ，B 位于x 轴的两侧∴不妨令点A 在x 轴的上方，则10y >. ∵1(,0)4F∴121111119292()22322488ABO AFO S S y y y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯=+≥⨯=，当且仅当143y =时取等号.∴ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3. 故答案为3.18. （2017全国卷I ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=o ，则C 的离心率为__________． 【答案】233【解析】 如图所示，由题意可得|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ， ∵∠MAN=60°， ∴|AP|=32b ， ∴|OP|=22223||||4OA PA a b -=-．设双曲线C 的一条渐近线y=bax 的倾斜角为θ，则tan θ=223||2||34b AP OP a b =-． 又tan θ=ba， ∴223234bb a a b =-，解得a 2=3b 2，∴e=22123 1133ba+=+=．答案：23 3。

问题08 形形色色的切线问题一、考情分析用导数研究曲线的切线问题是导数的重要应用之一,也是高考考查的热点,考查的形式不一,可以是客观题也可以是解答题,内容涉及到曲线切线的倾斜角与斜率,曲线切线方程的确定,两曲线的公切线问题及满足条件的切线条数问题.. 二、经验分享(1) 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率k ,即k ＝f ′(x 0)．(2)已知切点A (x 0,f (x 0))求斜率k ,即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0,y 0)的切线方程,可设切点为(x 1,y 1),由求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．【小试牛刀】【2018届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】已知函数．（Ⅰ）若()f x 在2x =处取极值,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a >时,若()f x 有唯一的零点0x ,求证： 0 1.x >【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()0x >,令,则由,可得6a x =()g x ∴在0,6a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在,6a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.又,故当时, ()0g x <；又,故()g x 在()1,+∞上有唯一零点,设为1x ,从而可知()f x 在()10,x 上单调递减,在()1,x +∞上单调递增, 因为()f x 有唯一零点0x , 故10x x =且01x > (三)两曲线的公切线【例3】若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和都相切,则a 等于( )A.1-或2564-B. 1-或214C. 74-或2564-D. 74-或7【分析】本题两条曲线上的切点均不知道,且曲线含有参数,所以考虑先从常系数的曲线3y x =入手求出切线方程,再考虑在利用切线与曲线求出a 的值.【答案】A【点评】（1）涉及到多个函数公切线的问题时,这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手,将切线求出来,再考虑切线与其他函数的关系（2）在利用切线与求a 的过程中,由于曲线为抛物线,所以并没有利用导数的手段处理,而是使用解析几何的方法,切线即联立方程后的0∆=来求解,减少了运算量.通过例7,例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面,求有关导数的问题时可以用到解析的思想,而有些在解析中涉及到切线问题时,若曲线可写成函数的形式,那么也可以用导数来进行处理,（尤其是抛物线） 【小试牛刀】【2019届安徽省皖中名校联盟10月联考】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则___________．【答案】0或1(四) 曲线条数的确定 【例4】已知函数,若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围【分析】由于并不知道3条切线中是否存在以P 为切点的切线,所以考虑先设切点()00,x y ,切线斜率为k ,则满足,所以切线方程为,即,代入()1,P t 化简可得：,所以若存在3条切线,则等价于方程有三个解,即y t =与有三个不同交点,数形结合即可解决【解析】设切点坐标()00,x y ,切线斜率为k ,则有：∴ 切线方程为：因为切线过()1,P t ,所以将()1,P t 代入直线方程可得：所以问题等价于方程,令即直线y t =与有三个不同交点令()'0g x >解得01x << 所以()g x 在单调递减,在()0,1单调递增所以若有三个交点,则()3,1t ∈--所以当()3,1t ∈--时,过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切.【点评】曲线切线条数的确定通常转化为切点个数的确定,设出切点()(),P t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,可把问题转化为关于t 的方程的实根个数问题.【小试牛刀】【2019届齐鲁名校教科研协作体湖北、山东部分重点中学2019届高三第一次联考】已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.5．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知函数()f x 是偶函数,当0x >时, ,则曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】B6．【2018届河南省天一大联考】已知()f x 是定义在R 上的单调函数,满足,则()f x 在()()0,0f 处的切线方程为（ ）A. 1y x =+B. 1y x =-C. 1y x =-+D. 1y x =-- 【答案】A【解析】由题意可得()xf x e -为一固定的数,设,则有()1f a =.由可得,当x a =时,有,解得0a =.∴()xf x e =,∴()xf x e '=.∴,又.∴曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程为y 1x -=,即1y x =+.选A. 7．【2018届河南省南阳高中三年级期中】已知12,P P 为曲线:ln C y x =（0x >且1x ≠）上的两点,分别过12,P P 作曲线C 的切线交y 轴于,M N 两点,若,则MN =u u u u r（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B8．【2018届广东省阳春高三上学期第三次月考】设点P 为函数与图象的公共点,以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切,则实数b 的最大值为（ ）A. 3423eB. 3432e C. 2343e D. 2334e【答案】D 【解析】设()y f x =与在公共点()00,P x y 处的切线相同, ,由题意,即,由得0x a =或03x a =-（舍去）,即有,令,则,于是当,即130t e <<时, ()'0h t >；当,即13t e >时, ()'0h t <,故()h t 在130,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数,在13,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数,于是()h t 在()0,+∞的最大值为,故b 的最大值为2334e ,故选D. 9．【2018届湖北省宜昌高三月考】过点A(2,1)作曲线的切线最多有( )A. 3条B. 2条C. 1条D. 0条 【来源】数学（理）试题 【答案】A10．【2018届四川宜宾市高三（上）测试】设函数与有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b 的最大值为 A.21e B. 212e C. 213e D. 214e【答案】A【解析】由题意,可得,由(1)得,解得0x a =或013x a =- (舍去),代入(2)得,,构造,则()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,即()b h x -=的最小值为,所以b 的最大值为21e ,故选A. 11．【2018届内蒙古巴彦淖尔市高三月考】已知函数的图像为曲线C ,若曲线C 存在与直线12y x = 垂直的切线,则实数m 的取值范围是 （ ） A. 2m > B. 2m ≤ C. 12m >- D. 12m ≤-【答案】A 【解析】∵曲线C 存在与直线12y x = 垂直的切线,成立,故选A16.已知函数（,a b R ∈）,()2g x x =.（1）若1a =,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直,求b 的值；（2）若2b =,试探究函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,研究a 值的个数；,若不存在,请说明理由.（2）假设函数()f x 与()g x 的图象在其公共点()00,x y 处存在公切线,∵2b =,∴,∴, ()'2g x x =,由得,即,∴,故02a x =. ∵函数()f x 的定义域为()0,+∞,当0a ≤时,,∴函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当1t =时, ln 0t =,,由函数图象的性质可得ln y t =和212t y =-的图象有且只有两个公共点（且均符合）,∴方程有且只有两个根.综上,当0a ≤时,函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当0a >时,函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的的值有且仅有两个.。