赢在高考数学高考模拟题

m > 2, m < 1或加>3 强化训练1. 若集合 A={l,sin&},B={£,2},则”& =滲”是= 的() 2 6 2A. 充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析== 但= 不能推出0 = ^-，故选C. 6 2 2 o2. __________________________________________________________ 命题”若加>0,则方程x 2+x-m = 0有实数根”的逆命题是 ____________________________________ . 答案:若方程/ +x-m =0有实数根，贝I 」加>03. 命题方程A ：? _ x + a 2 —6a = 0有一正根和一负根. 命题q:函数y = x 2 +(°-3)兀+ 1的图象与兀轴有公共点.若命题"p V q"为真命题，而命题"p A g"为假命题,则实数Q 的取值范围是 __________ .答案:a G (-00,0]u (1,5) u[6, +oo)解析:命题p 为真，即< a，得0<a<6.A = l-4(«2-6«)>0命题g 为真，即A = (Q - 3尸一 410,得a < 1或a ' 5. 为真力y 为假，即p 、g —真一假.P 真g 假时，有\ 故l<a<5. 1 V Q V 5，,亠、亠[a < O^a > 6,,, 亠P 假g 真时，有\ _p. 故a<0或a\6. a < 1 或a > 5,综上有 a e (-oo, 0] u (1,5) u[6, +oo).4. 已知p:方程/ + mx +1 = 0有两个不等的负根;g:方程4兀2 +4(m-2)x+l=0无实根.若p 或g 为 真,P 且g 为假，求加的取值范围./\ — — 4〉0解:若方程兀2 + mx +1 = 0有两个不等的负根，则< ?解得m>2,BPp:m>2.m > 0.若方程 4/ + 4(m - 2)兀+1=0 无实根，则 A = 16(加—2尸—16 = 16(m 2-4m + 3)<0, 解得l<m<3, 即 q:l<m<3.Tp 或g 为真，卩且g 为假， :・p 、g 两命题应一真一假，即p 为真、g 为假或p 为假、q 为真.m < 2,1 < m < 3. 解得m > 3 ^1 < m < 2 . 课后作业 题组一 命题的概念及其真假判断1.(2011陕西高考，理1)设“是向量，命题”若a-仇则a|=|歼的逆命题是() A. 若aH —b,则|a|H \b\B. 若则|a|H \b\C. 若|a 岸仇则Q H —方D. 若 \a\=\b\^ia=-b答案:D诂析:•・•逆命题是以原命题的结论为条件，条件为结论的命题，这个命题的逆命题为:若|a|=|Z>|,则a=-Z>.2.已知命题Pi :函数y = 2x在R上为增函数，卩2 ：函数V = 2* +2「*在R上为减函数，则在命题<7i：Pi V p2,q,: Pi A 卩2，仏：（「"1） V p2和伽：门人（m）中，真命题是（）A.q],% Bq?,% C.<7],<74 D. •>答案:C解析:易知从是真命题，而对P2 ：y' = 2Tn 2-^102=1112（2" -*）,当x w [0, +8）时，2’ >又ln2>0,所以0,函数单调递增;同理得当x e （-8,0）时,函数单调递减，故p2是假命题.由此可知，4真，％假,弘假,偽真.题组二充分条件、必要条件的判断3.欣=2腺+手（XZ）”是”taru=l”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:”taru=l”的充要条件为,,x=k7i +手伙e Z）”,而”x=2眩+手伙e Z）”是”x=k” +手伙e Z）” 的充分不必要条件，所以”x=2k冗+手伙e Z）”是”tanr=l”成立的充分不必要条件.4.记实数x1?x2?... 9x n中的最大数为max{ x1?x2?... }，最小数为min{ x1?x29... 9x n }.已知△ABC的二边边长为a,b,c（a <b<c），定义它的倾斜度为（.=max{半,@,£ } • min岸，$,£}, bc a b c a则”0 = 1”是” Z\ABC为等边三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:当AABC为等边三角形时，显然0 = 1,当＜? = b = l,c = A/3时,max{-y-, —} = — = \/3,min{-y-, —b c a a b c a此时0 = 1,但AABC不为等边二角形.故选B.5.以下有关命题的说法错误的是（）A.命题”若.r -3x + 2 = 0,则x=l”的逆否命题为”若x丰1,则/ 一3x + 2工0”B.”x=l”是” / —3x + 2 = 0 ”的充分不必要条件C.若p/\q为假命题，贝1Jp、q均为假命题D.对于命题p: 3x e R,使得 / + * +1 < 0,则「p : Vx e R,都有.r2 + .r +1 > 0 答案:C解析:若pAg为假命题,则只需至少有一个为假命题即可.故选C.6.命题”若a>b,则a-l>b-V,的否命题是（）A.若a〉b,贝[I a—l<b — lB.若a>0,则a-\<b-\C.若a V b,贝ij a -1 < £» -1D.若则o-l<Z?-l答案:CB.p真g 假D.p真A>0 X] •100 —12k〉0解析:命题”若a>bMa-\>b-V啲否命题是:，喏a<b.贝lj Q -1 5 /? -1”.故选C.7.命题p:0={0 };命题g:若A={l,2},B=[x|x c A }，则Ae B .下列关于p、g的真假性判断正确的是( A.p假g假C.p假g真答案:C解析:命题P显然为假;由命题g可得B={01,2}},.*. A E B,即q为真.题组三命题、充要条件综合应用8. ___________________________________________________ 设卩、g为两个简单命题,若中且g”为真命题，则中或g”为 ________________________________ 厂非//'为____ (填”真命题”或”假命题J答案:真命题假命题9. ______________________________________________________________ 方程3/ —lOx + k 二0伙wR)有相异的两个同号实根的充要条件是 ___________________________ .答案：0<k<普解析:设方程的两个根为X], *2 •由题意知，方程若有两同号根，则必为两个正根，10.已知函数.心)在(一8,+8)上是增函数，a、b & R,对命题："若a+b>0,则f(a) + /(&)> /'(-a)+/(“)”.写出逆命题、逆否命题，判断真假，并证明你的结论.解:先证原命题:"若 a + b>Q,则 f (a) + f (b) N f(-a)+f(-by为真.a +b >0 a > -b,b A -a = /(a) > /(-/?), Mb) > /(-«) F(a) + f(b) > f(-b) + /(-«), 故其逆否命题:”若心)+〃)</(-a)+/(J),则a+b<0”也为真. 再证否命题”若a+0<O,则@)+/(0)</(-a)+/3)”为真.a+b<O^a<-b,b<-a^ f(a) < f(-b\f(b)< f(-a) = f(a) + f(b) <f(-b)+f(-a\ 故其逆命题:”若f(o) + f(b) > f(-o) +贝临+b > 0 ”也为真.11.设有两个命题阳，其中p：关于X的不等式.r2 + (a-l).A'+a2 >0的解集是R;g:/(x)=log(2“2+“+])x是减函数，且pVq为真命题,求实数a的取值范围.分析:P和q至少有一个为真命题，共有三种情况，反过来考虑:先求P和g都是假命题时实数a的取值范围较简单.解:设P是假命题，则有(a-l)2-4a2>0,得-①设4是假命题，则有2a~ + a +1 V 0 或2a~ + a +1 > 1 得寺或a>0.② 求①②交集，得—l<a<-|或0"吕.所以”p\! q为真命题”时a的取值范围是a<-l或-M <a<0或a〉^.。

【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）黄金卷（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要A．51 62 a b+C．51 63 a b+【答案】CA ．242B ．24【答案】B【详解】如图所示，在正四棱锥P ABCD -连接OP ，则底面边长32AB =，对角线又5BP =，故高224OP BP BO =-=故该正四棱锥体积为()21323V =⨯⨯故选：B5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果可以表示为两个素数的和身外没有其他因数的自然数）中，随机选取两个不同的数，其和等于将APQ △翻折后，PQ A Q '⊥，PQ BQ ⊥，又平面平面A PQ ' 平面BCPQ PQ =，A Q '⊂平面A PQ '，BQ ⊂平面BCPQ ，于是A Q '⊥平面显然A P '，BP 的中点D ，E 分别为A PQ ' ，四边形BCPQ 则DO ⊥平面A PQ '，EO ⊥平面BCPQ ，因此//DO BQ 取PQ 的中点F ，连接,DF FE 则有////EF BQ DO ，DF 四边形EFDO 为矩形，设A Q x '=且023x <<，DO 设球O 的半径R ，有22223324A P R DO x x '⎛⎫=+=-+⎪⎝⎭当23x =时，()22R =，所以球O 表面积的最小值为故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

A ．正方体11ABCD A B C -B ．两条异面直线1D C 和C ．直线BC 与平面ABC D ．点D 到面1ACD 的距离为【答案】BC【分析】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定的角的大小即为直线1D C 和进而求得直线BC 与平面ABC 判定D 错误.【详解】对于A 中，正方体所以内切球的半径12R =，所以对于B 中，如图所示，连接因为11//AB C D 且11AB C D =所以异面直线1D C 和1BC 所成的角的大小即为直线又因为112AC AD D C ===对于C 中，如图所示，连接B 因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C 又因为1AB BC B =I ，AB ⊂所以1B C ⊥平面11ABC D ，所以直线所以C 正确；对于D 中，如图所示，设点D 所以111πsin 23ACD S AC AD =⨯⨯V 又因为12ACD S AD CD =⨯⨯=V 即111133ACD ACD S h S DD ⨯⨯=⨯⨯ 故选：BC.10．已知函数321()3f x x x =-A ．()f x 为奇函数C ．()f x 在[1,)-+∞上单调递增【答案】BC【分析】根据奇函数的定义判断12．已知函数()f x 及其导函数f 则（）A ．(1)(4)f f -=B ．g ⎛- ⎝【答案】ABD【分析】由题意分析得到()f x 关于直线【详解】因为3(2)2f x -为偶函数，所以所以()f x 关于直线32x =对称，令因为33()()22f x f x -=+，所以f '所以()()21g x g x +=--，因为所以()()21g x g x -=--，即(g 则()g x 的一个周期为2.因为(f x 所以33022g f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ '⎪⎝⎭⎝⎭，所以g 因为()()1g x g x +=-，所以(2g 设()()h x f x c =+（c 为常数），定义域为3322h x f x c ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又f ⎛ ⎝显然()()h x f x c =+也满足题设，即()f x 上下平移均满足题设，显然()0f 的值不确定，故C 错误.故选：ABD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考仿真测试(四)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2014辽宁大连双基测试,1)已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={4,5},则(A∩B)∪C为( )A.{3,4}B.{3,4,5}C.{4,5,6}D.{3,4,5,6}解析:依题意得A∩B={3,4},(A∩B)∪C={3,4,5},故选B.答案:B2.(2014湖北高考,文2)i为虚数单位,=( )A.1B.-1C.iD.-i解析:因为=-i,所以=(-i)2=-1,故选B.答案:B3.(2014辽宁大连双基测试,3)等差数列{a n}中,a3=5,a5=9,则这个等差数列的公差为( )A.4B.5C.2D.1解析:依题意,设等差数列{a n}的公差为d,则有d==2,故选C.答案:C4.(2014贵州贵阳适应性监测,4)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出s的值等于( )A.-3B.-10C.0D.-2解析:第一次循环k=0+1=1,s=2×1-1=1,满足k<4;第二次循环k=1+1=2,s=2×1-2=0,满足k<4;第三次循环k=2+1=3,s=2×0-3=-3,满足k<4;第四次循环k=3+1=4,不满足k<4,输出的s=-3,故选A.答案:A5.已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧( q);④( p)∨q中,真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解析:由题易知命题p为真,命题q为假,则 p为假, q为真.故p∧q为假,p∨q为真,p∧( q)为真,( p)∨q为假.故选C.答案:C6.(2014河北唐山一模,7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.6B.3C.2D.3解析:由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,该侧视图是底边为2,高为的三角形,正视图的长为三棱柱的高,故h=3,所以几何体的体积V=S·h=×3=3.答案:B7.(2014云南第一次统测,7)经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A,B两点,如果A,B在抛物线C的准线上的射影分别为A1,B1,那么∠A1FB1为( )A. B. C. D.解析:由抛物线定义可知|BF|=|BB1|,|AF|=|AA1|,故∠BFB1=∠BB1F,∠AFA1=∠AA1F.又∠OFB1=∠BB1F,∠OFA1=∠AA1F,故∠BFB1=∠OFB1,∠AFA1=∠OFA1,所以∠OFA1+∠OFB1=×π=,即∠A1FB1=.答案:C8.(2014山西四校第三次联考,8)如图可能是下列哪个函数的图象( )A.y=2x-x2-1B.y=C.y=(x2-2x)e xD.y=解析:对于选项A,x=1显然是函数的零点,此外f(4)·f(5)<0,即函数在区间(4,5)上还至少有一个零点,与图象不符;对于选项B,当x→+∞时,y→0,与图象不符;对于选项D,显然定义域为x>0,且x≠1,与图象不符.故选C.答案:C9.(2014辽宁大连双基测试,10)在斜三角形ABC中,“A>B”是“|tan A|>|tan B|”的( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:在斜三角形ABC中,|tan A|>|tan B|⇔|sin A·cos B|>|cos A sin B|⇔(sin Acos B)2-(cos Asin B)2>0⇔(sin Acos B+cos Asin B)(sin Acos B-cos Asin B)>0⇔sin(A+B)sin(A-B)>0⇔sin Csin(A-B)>0⇔sin(A-B)>0;又-π<A-B<π,因此sin(A-B)>0⇔0<A-B<π,即A>B.因此,在斜三角形ABC中,“A>B”是“|tan A|>|tan B|”的充分必要条件,故选A.答案:A10.(2014河南新乡许昌平顶山第二次调研,11)已知函数f(x)=cos xsin2x,下列结论中错误的是( )A.f(x)既是偶函数又是周期函数B.f(x)的最大值是1C.f(x)的图象关于点对称D.f(x)的图象关于直线x=π对称解析:因为f(-x)=cos(-x)sin2(-x)=cos xsin2x=f(x),所以函数f(x)为偶函数.又因为f(x+2π)=cos(x+2π)sin2(x+2π)=cos xsin2x=f(x),所以函数f(x)为周期函数,故选项A正确;f(x)=cos xsin2x=sin 2xsin x,其最大值一定小于1,故选项B错误;因为f(π-x)=sin(2π-2x)·sin(π-x)=-sin 2xsin x=-f(x),所以函数f(x)的图象关于点对称,故选项C正确;因为f(2π-x)=sin(4π-2x)sin(2π-x)=f(x),所以函数f(x)的图象关于x=π对称,故选项D正确.答案:B二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014贵州贵阳适应性监测,13)已知向量a=(2,x),b=(x,8),若a∥b,则x= .解析:∵a∥b,∴16-x2=0,∴x=±4.答案:±412.(2014河北衡水中学第二次调研,13)在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P,则△PAB的面积小于的概率是.解析:如图,PE⊥AB,设矩形的边长AB=a,BC=b,PE=h,由题意得ah≤=,∴h≤,由几何概型的概率计算公式得所求概率P==.答案:13.(2014云南第一次统测,15)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,若cosB=,a=10,△ABC的面积为42,则b+的值等于.解析:依题可得sin B=,又S△ABC=acsin B=42,则c=14.故b==6,所以b+=b+=16.答案:1614.(2014云南第一次统测,13)已知a>0,b>0,方程为x2+y2-4x+2y=0的曲线关于直线ax-by-1=0对称,则的最小值为.解析:该曲线表示圆心为(2,-1)的圆,直线ax-by-1=0经过圆心,则2a+b-1=0,即2a+b=1, 所以=+=(2a+b)=++7≥2+7=7+4(当且仅当a=2-,b=2-3时等号成立).答案:7+415.(2014河北唐山一模,9)正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为.解析:如图,作PM⊥平面ABC于点M,则球心O在PM上,PM=6,连接AM,AO,则OP=OA=R(R为外接球半径),在Rt△OAM中,OM=6-R,OA=R,又AB=6,且△ABC为等边三角形,故AM==2,则R2-(6-R)2=(2)2,R=4,所以球的表面积S=4πR2=64π.答案:64π三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014河南洛阳高三统考,18)某售报亭每天以每份0.6元的价格从报社购进若干份报纸,然后以每份1元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站.(1)若售报亭一天购进280份报纸,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量x的函数关系解析式;(2)售报亭记录了100日需求量x(份) 24252627282930频数10 20 16 16 15 13 10①假设售报亭在这100天内每天都购进280份报纸,求这100天的日平均利润;②若售报亭一天购进280份报纸,以100天记录的各需求量的频率作为各销售量发生的概率,求当天的利润不超过100元的概率.解:(1)当x≥280时,y=280×(1-0.6)=112;2分当x<280时,y=(1-0.6)x-0.5×(280-x)=0.9x-140.4分综上,y=x∈N*.6分(2)①这100天中每天利润76元的有10天,每天利润85元的有20天,每天利润94元的有16天,每天利润103元的有16天,每天利润112元的有38天.所以这100天的日平均利润为=98.68(元).9分②利润不超过100元,即当且仅当报纸日需求量不大于260份.故当天的利润不超过100元的概率为P=0.1+0.2+0.16=0.46.12分17.(本小题满分12分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?解:(1)因为f(t)=10-2=10-2sin,又0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin≤1.当t=2时,sin=1;当t=14时,sin=-1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.(2)依题意,当f(t)>11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin>11,即sin<-.又0≤t<24,因此<t+<,即10<t<18.在10时至18时实验室需要降温.18.(本小题满分12分)(2014河南新乡许昌平顶山第二次调研,19)已知在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=2,且底面ABCD是边长为1的正方形.E是最短的侧棱PC上的动点.(1)求证:P,A,B,C,D五点在同一个球面上,并求该球的体积;(2)如果点F在线段BD上,DF=3BF,且EF∥平面PAB,求的值.(1)证明:设PA的中点为M,连接AC,CM,则△PAC为直角三角形,∴CM=PM=AM=.设正方形ABCD的中心为点O,连接OM,则OM∥PC,OM=1.∵PC⊥底面ABCD,∴OM⊥底面ABCD.又O为BD的中点,连接BM,DM.则BM=DM==,∴CM=PM=AM=BM=DM,故点P,A,B,C,D在以M为球心,半径为的球上,且V球M=π=π.6分(2)解:连接CF并延长交AB于K,连接PK.∵EF∥平面PAB,EF⊂平面PCK,平面PCK∩平面PAB=PK,∴EF∥PK.∵DF=3BF,又AB∥CD,∴CF=3KF.9分∵EF∥PK,∴CE=3PE,∴=.12分19.(本小题满分12分)(2014北京高考,文15)已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3.所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).6分(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为1×=2n-1.所以,数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.12分20.(本小题满分13分)(2014贵州贵阳适应性监测,20)如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,以PQ为直径的圆是否恒过y轴上某定点M,若存在,求出M的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)依题意|OB|=8,据对称性知∠BOy=30°.设点B(x,y),则x=8×sin 30°=4,y=8×cos 30°=12,3分所以B(4,12)在抛物线上,所以(4)2=2p×12,解得p=2,抛物线E的方程为x2=4y.6分(2)设点P(x0,y0)(x0≠0),因为y=x2,y'=x,直线l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由得所以Q.8分设满足条件的定点M存在,坐标为M(0,y1),所以=(x0,y0-y1),=.又因为·=0,所以-y0-y0y1+y1+=0,又y0=(x0≠0),联立得(+y1-2)+(1-y1)y0=0,由于此式对满足y0=(x0≠0)的y0恒成立,所以解得y1=1,故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M(0,1).13分21.(本小题满分14分)(2014河北衡水中学第二次调研,21)已知函数f(x)=xln x,g(x)=(-x2+ax-3)e x(a为实数).(1)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程;(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;(3)若存在两个不等实根x1,x2∈,使方程g(x)=2e x f(x)成立,求实数a的取值范围.解:(1)当a=5时,g(x)=(-x2+5x-3)e x,g(1)=e.1分g'(x)=(-x2+3x+2)e x,故切线的斜率为g'(1)=4e.2分所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.4分(2)f'(x)=ln x+1,当x变化时,f'(x),f(x)6分①当t≥时,在区间[t,t+2]上f(x)为增函数.所以f(x)min=f(t)=tln t.7分②当0<t<时,在区间上f(x)为减函数,在区间上f(x)为增函数, 所以f(x)min=f=-.8分(3)由g(x)=2e x f(x)可得,2xln x=-x2+ax-3,9分a=x+2ln x+,令h(x)=x+2ln x+,则h'(x)=1+-=.当x变化时,h'(x),h(x)10分h=+3e-2,h(1)=4,h(e)=+e+2,h(e)-h=4-2e+<0,11分故实数a的取值范围为4<a≤e+2+.14分。

【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）黄金卷05（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要【解析】如上图正方体中，设平面1ABB 11D C 为β，CD 为m ，β，//m α，此时//m β，故，因为n α⊥，n β⊥，α、β是不同的平面，则必有正确；，如上图正方体中，设平面ABB【解析】：()222210x y a b a b+=>>的图象，则)0y ，()0,B y ，则(02,AF c x =- )00,c x y --，()1,BF c y =-- ，x a 223F B ，得(223322F F c B A ==- 00332232c x y -，得005332x c y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，1BF 得()()110AF BF c x c ⋅=---+000yy +=即222053032c c y +-=2021=，得2222511639c c a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，又42255090e e -+=，又椭圆离心率15，得55e =.二、多项选择题：本题共3小题，每小题要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得1z ，2z 为复数，则下列说法正确的是（∈R ，则11z z =312⎝⎭A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．若将函数()f x 的图象沿【答案】ACD【解析】令()(sin f x x ω=+由图可知：π23A x k ωϕ+=+所以1π3C B BC x x ω⎛=-=-+ ⎝所以π12π33BC AB ω⎛=-=- ⎝所以()()sin 4f x x ϕ=+，由所以ππ2π3k ϕ-+=+，k ∈所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，4π因为(2023)(2025)(3)(1)2f f f f +=+=，(2024)(0)0f f ==，所以B 错误.因为(2022)(2024)(2)(0)2f f f f +=+=，(2023)(3)1f f ==，所以(2022)(2024)2(2023)f f f +=，所以(2023)f 是(2022)f 与(2024)f 的等差中项，故C 正确.因为(1)(2)(3)(4)f f f f +++()(1)(3)(2)(4)f f f f =+++2204=++=，所以20241()506[(1)(2)(3)(4)]50642024i f i f f f f ==+++=⨯=∑，故D 正确.故选：ACD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

高考仿真测试(五)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2014辽宁大连双基测试,2)i是虚数单位,化简复数的结果为( )A.iB.-1C.-iD.1解析:依题意得,===i,故选A.答案:A2.(2014山东高考,文4)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:“至少有一个”的否定为“没有”.答案:A3.(2014河北衡水中学第二次调研,3)给定命题p:函数y=ln[(1-x)(1+x)]为偶函数;命题q:函数y=为偶函数,下列说法正确的是( )A.p∨q是假命题B.( )∧q是假命题C.p∧q是真命题D.( )∨q是真命题解析:对于命题p:y=f(x)=ln[(1-x)(1+x)],令(1-x)(1+x)>0,得-1<x<1,∴函数f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,又∵f(-x)=ln[(1+x)(1-x)]=f(x),∴函数f(x)为偶函数,∴命题p为真命题;对于命题q:y=f(x)=,函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)====-f(x),∴函数f(x)为奇函数,∴命题q为假命题.∴( )∧q是假命题,故选B.答案:B4.(2014云南第一次统测,6)如图所示的程序框图描述的算法称为欧几里得辗转相除法,若输入m=2 010,n=1 541,则输出的m的值为( )A.2 010B.1 541C.134D.67解析:按框图逐步执行,有①m=1 541,n=469;②m=469,n=134;③m=134,n=67;④m=67,n=0,故输出的m=67.答案:D5.(2014山西四校第三次联考,7)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则y=f取得最小值时x的集合为( )A. B.C. D.解析:根据所给图象,周期T=4×=π,故π=,∴ω=2.因此f(x)=sin(2x+φ),另外图象经过点,代入,有2×+φ=kπ(k∈Z),再由|φ|<,得φ=-,∴f=sin,当2x+=-+2kπ(k∈Z),即x=-+kπ(k∈Z)时,y=f取得最小值.答案:B6.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则( )A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>9解析:由f(-1)=f(-2)=f(-3),得解得从而可得f(x)=x3+6x2+11x+c.又由0<f(-1)≤3,得0<-1+6-11+c≤3,即6<c≤9.故选C.答案:C7.(2014辽宁大连双基测试,9)过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于B,C两点,l与抛物线的准线交于点A,且|AF|=6,=2,则|BC|=( )A. B.6 C. D.8解析:不妨设直线l的倾斜角为θ,其中0<θ<,点B(x1,y1),C(x2,y2),则点B在x轴的上方.过点B 作该抛物线的准线的垂线,垂足为B1,于是有|BF|=|BB1|=3,=,由此得p=2,抛物线方程是y2=4x,焦点F(1,0),cos θ====,sin θ==,tan θ==2,直线l:y=2(x-1).由得8(x-1)2=4x,即2x2-5x+2=0,x1+x2=,|BC|=x1+x2+p=+2=,故选A.答案:A8.(2014贵州贵阳适应性监测,11)已知函数f(x)=4-x2,函数g(x)(x∈R,且x≠0)是奇函数,当x>0时,g(x)=log2x,则函数f(x)·g(x)的大致图象为( )解析:因为函数f(x)=4-x2为偶函数,g(x)是奇函数,所以函数f(x)·g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除A,B.又当x>0时,g(x)=log2x,当x>1时,g(x)>0,当0<x<1时,g(x)<0;f(x)=4-x2,当x>2时,f(x)<0,当0<x<2时,f(x)>0,所以C错误,故选D.答案:D9.(2014河南新乡许昌平顶山第二次调研,10)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为侧棱PC上的一点,它的正视图和侧视图如图所示,则下列命题正确的是( )A.AD⊥平面PBC,且三棱锥D-ABC的体积为B.BD⊥平面PAC,且三棱锥D-ABC的体积为C.AD⊥平面PBC,且三棱锥D-ABC的体积为D.AD⊥平面PAC,且三棱锥D-ABC的体积为解析:由正视图可知,PA=AC,且点D为线段PC的中点,所以AD⊥PC.由侧视图可知,BC=4.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又因为BC⊥AC,且AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥AD.又因为AD⊥PC,且PC∩BC=C,所以可得AD⊥平面PBC,V D-ABC=××S△ABC=.答案:C10.(2014河北衡水中学第二次调研,12)已知函数f(x)满足f(x)=2f,当x∈[1,3]时,f(x)=ln x,若在区间内,函数g(x)=f(x)-ax的图象与x轴有3个不同的交点,则实数a的取值范围是( ) A. B.C. D.解析:当x∈时,∈[1,3],∴f=ln=-ln x,∴f(x)=-ln x,∴f(x)=-2ln x,∴当x∈时,f(x)=-2ln x.∵函数g(x)的图象与x轴有3个不同的交点,∴函数f(x)的图象与y=ax有3个不同的交点,函数f(x)的图象如图所示,直线y=ax与y=ln x相切是一个边界情况,直线y=ax过(3,ln 3)时是一个边界情况,符合题意的直线需要在这2条直线之间,∵y=ln x,∴y'=,∴k=,∴切线方程为y-ln x0=(x-x0),与y=ax相同,即a=,当y=ax过点(3,ln 3)时,a=.综上可得,≤a<,故选C.答案:C二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014云南昆明第一次调研,2)已知集合A={x||x|<3},B={x|x-2≤0},则A∪B=.解析:由已知得,A={x|-3<x<3},B={x|x≤2},利用数轴可知A∪B={x|x<3}.答案:{x|x<3}12.(2014东北三校一模,5)直线m,n均不在平面α,β内,给出下列命题:①若m∥n,n∥α,则m∥α;②若m∥β,α∥β,则m∥α;③若m⊥n,n⊥α,则m∥α;④若m⊥β,α⊥β,则m∥α.其中正确的命题是.解析:由空间直线与平面平行关系可知①正确;由空间直线与平面平行关系可知②正确;由线面垂直,线面平行的判定和性质可知③正确;由线面垂直,面面垂直的判定和性质可知④正确.答案:①②③④13.(2014东北三校一模,14)正方形ABCD的边长为2,=2,=(+),则·=.解析:如图,以B为原点,BC所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系.则B(0,0),E,D(2,2).由=(+),知F为BC的中点,故=,=(-1,-2),∴·=-2-=-.答案:-14.(2014云南第一次统测,14)已知f(x)=ax-cos2x,x∈.若∀x1∈,∀x2∈,x1≠x2,<0,则实数a的取值范围为.解析:f'(x)=a-2cos x(-sin x)=a+sin 2x.依题意可知f(x)在上为减函数,故f'(x)≤0对x∈恒成立,即a≤-sin 2x对x∈恒成立.记g(x)=-sin 2x,x∈.易知g(x)为减函数,故g(x)min=-,所以a≤-.答案:15.(2014山西四校第三次联考,15)已知f(x)=g(x)=f(x)-x-b有且仅有一个零点时,b的取值范围是.解析:要使函数g(x)=f(x)--b有且仅有一个零点,只需要函数f(x)的图象与函数y=+b的图象有且仅有一个交点,通过在同一直角坐标系中画出两个函数的图象并观察得,要符合题意,须满足b≥1或b=或b≤0.答案:b≥1或b=或b≤0三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014辽宁高考,文17)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cos B=,b=3,求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解:(1)由·=2得c·acos B=2.又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sin B===,由正弦定理,得sin C=sin B=×=.因为a=b>c,所以C为锐角,因此cos C===.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=. 17.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅰ高考,文18)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图;(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?解:(1)2分(2)质量指标值的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.质量指标值的样本方差为s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.10分(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.12分18.(本小题满分12分)(2014东北三校一模,19)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD垂直于AB和DC,侧棱SA⊥底面ABCD,且SA=2,AD=DC=1,点E在SD上,且AE⊥SD.(1)证明:AE⊥平面SDC;(2)求三棱锥B-ECD的体积.(1)证明:∵侧棱SA⊥底面ABCD,CD⊂底面ABCD,∴SA⊥CD.1分又∵底面ABCD是直角梯形,AD垂直于AB和DC,∴AD⊥CD.又AD∩SA=A,∴CD⊥侧面SAD.3分又AE⊂侧面SAD,∴AE⊥CD.又AE⊥SD,CD∩SD=D,∴AE⊥平面SDC.5分(2)解:由(1)知,CD⊥平面ASD,∴CD⊥SD,∴S△EDC=ED·DC.7分在Rt△ASD中,SA=2,AD=1,AE⊥SD,∴ED=,AE=,∴S△EDC=××1=,9分⇒AB∥平面SCD,故点B到平面SCD的距离等于点A到平面SCD的距离AE,11分故V B-ECD=S△ECD·AE=.12分19.(本小题满分12分)已知数列{a n}是首项为a,公差为1的等差数列,b n=,若对任意的n∈N*,都有b n≥b8成立,求实数a的取值范围.解:依题意得b n=1+,对任意的n∈N*,都有b n≥b8,即数列{b n}的最小项是第8项,于是有≥.4分又数列{a n}是公差为1的等差数列,因此有即8分由此解得-8<a<-7,即实数a的取值范围是(-8,-7).12分20.(本小题满分13分)(2014山西四校第三次联考,21)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),右顶点为A,且|AF|=1.(1)求椭圆C的标准方程.(2)若动直线l:y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P,且与直线x=4交于点Q,问:是否存在一个定点M(t,0),使得·=0?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)由c=1,a-c=1,得a=2,∴b=,故椭圆C的标准方程为+=1.4分(2)由得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,6分∴Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即m2=3+4k2.设P(x P,y P),则x P=-=-,y P=kx P+m=-+m=,即P.9分∵M(t,0),Q(4,4k+m),∴=,=(4-t,4k+m),∴·=·(4-t)+·(4k+m)=t2-4t+3+(t-1)=0恒成立,故即t=1.∴存在点M(1,0)符合题意.13分21.(本小题满分14分)(2014河北唐山一模,21)已知f(x)=(1-x)e x-1.(1)求函数f(x)的最大值;(2)设g(x)=,x>-1,且x≠0,证明:g(x)<1.(1)解:f'(x)=-xe x.当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)的最大值为f(0)=0.5分(2)证明:由(1)知,当x>0时,f(x)<0,g(x)<0<1.7分当-1<x<0时,g(x)<1等价于f(x)>x.设h(x)=f(x)-x,则h'(x)=-xe x-1.当x∈(-1,0)时,0<-x<1,0<e x<1,则0<-xe x<1.从而当x∈(-1,0)时,h'(x)<0,h(x)在(-1,0]上单调递减. 当-1<x<0时,h(x)>h(0)=0,即g(x)<1.综上,总有g(x)<1.14分。

A.(-2,-1)C.(-1,O)答案:D解析:! a -云=* (1,1)-号(1, -1) = (-1,2).2.若向量4=(1,1)>(1,-1),c=(-l,2),Me 等于(A.*+部C~a-^-b 22答案:B解析:令c=m+y»,(-1,2)=x( 1,1 )+y( 1,-1 )=(x+y,x-y),尤+' = _1，日n 1 3即X=±y = -Ax-y = 2, L L B.(-2,7) D.(2, -7)第二节平面向量的基本定理及坐标表示强化训练1 .若向量。

=(1,1)力=(-1,1 ),c=(4,2),则c用〃和万可以表示为( )A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b答案:B解析:由计算可得c=(4,2)=3展，故选B.2.在ZiABC中，点P在BC上，且JP=2PC，点Q是AC的中点，瓦=(4,3), PQ =(1,5),则就等于()A,(-6,21)C.(6,-21)答案:A 解析:由已知可得,QC = AQ = PQ-PA =(—3,2),5C = 3PC = 3(P2 + 2C) = (—6,21).3.已知0=(-1,2)力=(1,工),若2必与“+2方平行，求实数x的值.解:因为2“另与G+2方平行，所以存在实数人使得2a-b = 2( a+2b) => (—3,4 —x) = 2(1,2 + 2x)' 4 = —3x = —2.4-x = 4(2 + 2])课后作业题组一平面向量的坐标运算_ 1 71 .已知平面向量0=( 1,1)力=(1,-1),则向量一a —— b等于()2 2B.(-2,l)D.(-l,2)1 3B.— a-^-b2 2D. -+ 4》2 2所以 c = ^a-^b.3.若平面向量方与向量“=(1,-2)的夹角是180°,且|*|=3A/5, W等于()A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)答案:A解析:设方=花=侬,-2k)*v0,而例=3-\/5,则』5好=3际,k = —3,&=(-3,6).4.已知向量0=(cosQ sin。

【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷07数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（陕西省安康市2022-2023学年高三上学期12月第一次质量联考理科数学试题）记集合{}(){}22,ln 3M x x N x y x x =>==-，则M N ⋂=（）A ．{}23x x <≤B ．{}32x x x ><-或C ．{}02x x ≤<D ．{}23x x -<≤2．（2023·浙江温州·模拟预测）若复数z 满足|34i |12i z+=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虛部是（）A ．103-B ．10i 3-C ．2iD ．23．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习）已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象的相邻两个零点的距离为2π，()0f =，则()f x =（）A24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．2sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．2sin 44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭4．（2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中（文））下列各式大小比较中，其中正确的是（）A>B ．4πtan sin 55π⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．2ln 33ln 2<D ．151511log 22⎛⎫< ⎪⎝⎭5．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心F ，直线12,l l 均过点F 且互相垂直，1l 与双曲线的右支交于,A C 两点，2l 与双曲线的左支交于B 点，O 为坐标原点，当,,A O B 三点共线时，FC AF=（）A ．2B ．3C ．4D ．56．（2022·湖南·高二期末）第19届亚运会即将在西子湖畔----杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛会志愿者招募，在杭大学生纷纷踊跃参加.现有4名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在游泳、篮球、体操三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到游泳项目的条件下，乙也被安排到游泳项目的概率为（）A ．112B ．16C ．14D ．297．（2022·广东广东·高一期中）已知函数()212,1,1ax a x f x x ax x +-<⎧=⎨-≥⎩，若存在1212,R,x x x x ∈≠，使()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[0,2)B ．(,0]-∞C ．(,0][2,)-∞⋃+∞D ．(],0,)2(-∞⋃+∞8．（2021·全国·高二专题练习）如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O 上的动点，BB '是O 的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（）A ．56πB ．23πC ．2πD ．4π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022·江苏·南京师大附中高二期中）为迎接党的二十大胜利召开，某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[)[)[)50,6060,7070,80､､､[)[]80,9090,100､分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）A ．0.01a =B ．得分在区间[)60,70内的学生人数为200C ．该校学生党史知识竞赛成绩的中位数大于80D ．估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间70,80内10．（2022·福建·厦门市湖滨中学高二期中）如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形ADEH 和BCFG 为直角梯形，A ，D ，C ，B 为直角顶点，其他四个面均为矩形，3AB BG ==，4FC =，=1BC ，下列说法不正确的是（）A ．该几何体是四棱台B ．该几何体是棱柱，平面ABCD 是底面C ．EG HC⊥D ．平面EFGH 与平面ABCD 的夹角为45︒11．（2022·湖北·恩施市第一中学模拟预测）已知O 为坐标原点，圆()()22Ω:cos sin 1x y θθ-+-=，则下列结论正确的是（）A ．圆Ω恒过原点OB ．圆Ω与圆224x y +=外切C．直线2x y +=被圆ΩD ．直线cos sin 0x y αα+=与圆Ω相切或相交12．（2022·福建·莆田华侨中学高二期中）已知数列{}n a 满足328a =，()()1122nn n a n a n --⎡⎤=+≥⎢⎥⎣⎦，*n ∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()()222212221log log n n n n n b a a a a +-+=⋅-⋅，则下列说法正确的是（）A ．4221a a =B ．1216a a ⋅=C ．数列212n n a a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递增的等差数列D ．满足不等式50n S ->的正整数n 的最小值为63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2022·上海交大附中高一期末）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形ABCDEFGH 中，若(,R)AC xAB y AH x y =+∈，则x y +=______．14．（2022·天津市汇文中学高三期中）82x ⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数是_____________．（用数字填写答案）15．（2022·上海市金山中学高二期末）已知1F 、2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 、Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，若直线PQ 的倾斜角为3π，则C 的离心率为____．16．（2020·黑龙江·哈九中高三期末（文））若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =，则有下列命题：①()y g x =-与()h x 有“隔离直线”；②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,0-；④()f x和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-．其中真命题的序号为_______________________．（请填上所有正确命题的序号）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（河北省张家口市部分学校2023届高三上学期期中数学试题）已知正项数列{}n a 的前n项和为n S ，其中()()212,4142,N n n a S a n n *==++≥∈．(1)求{}n a 的通项公式，并判断{}n a 是否是等差数列，说明理由；(2)证明：当2n ≥时，1223341111113n n a a a a a a a a +++++< ．18．（2022·湖北·华中师大一附中高三期中）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c)2222sin a b c bc A +-=．(1)求22sin cos A B +的取值范围；(2)若D 是AB 边上的一点，且:1:2AD DB =，2CD =，求ABC 面积的最大值．19．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，△B 1为等边三角形，四边形11AA B B 为菱形，AC BC ⊥，4AC =，3BC =.(1)求证：11AB AC ⊥；(2)线段1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.20．（2022·上海市金山中学高二期末）近两年因为疫情的原因，线上教学越来越普遍了．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．请回答如下两个问题：(1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n 分的概率为n P （比如：1P 表示累计得分为1分的概率，2P 表示累计得分为2的概率），求：①1{}n n P P +-的通项公式；②{}n P 的通项公式．21．（2022·重庆·高二阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点M ⎝⎭，且离心率为2e =.(1)求椭圆的标准方程；(2)当椭圆C 和圆O ：221x y +=.过点()(),01A m m >作直线1l 和2l ，且两直线的斜率之积等于1，1l 与圆O 相切于点P ，2l 与椭圆相交于不同的两点M ，N ．（i ）求m 的取值范围；（ii ）求OMN 面积的最大值．22．（2022·重庆一中高三期中）已知函数()ln f x ax x =，()()e e 0xg x x x x =-+>，（a ∈R ，e 为自然对数的底数），()()()()()()(),,g x g x f x h x f x g x f x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩.(1)若()f x 与()g x 在1x =处的切线相互垂直，求a 的值并求()h x 的单调递增区间；(2)若e a =，()()()123h x h x h x ==，321x x x >>，且21x mx =，证明：当()1,e m ∈时，2231e 1e 1x x x ⎛⎫+<+ ⎪-⎝⎭.【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷07数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（陕西省安康市2022-2023学年高三上学期12月第一次质量联考理科数学试题）记集合{}(){}22,ln 3M x x N x y x x =>==-，则M N ⋂=（）A ．{}23x x <≤B ．{}32x x x ><-或C ．{}02x x ≤<D ．{}23x x -<≤2．（2023·浙江温州·模拟预测）若复数z 满足12i z=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虛部是（）A ．103-B ．10i 3-C ．2iD ．2()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象的相邻两个零点的距离为2π，()0f =，则()f x =（）A 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．2sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．2sin 44x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭A >B ．4πtan sin 55π⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．2ln 33ln 2<D ．151511log 22⎛⎫< ⎪⎝⎭5．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线221(0,0)a b a b-=>>的离心F ，直线12,l l 均过点F 且互相垂直，1l 与双曲线的右支交于,A C 两点，2l 与双曲线的左支交于B 点，O 为坐标原点，当,,A O B 三点共线时，FC AF=（）A ．2B ．3C ．4D ．5因为,,A O B 三点共线，12l l ⊥，所以由双曲线的对称性知，四边形设||,||AF x FC tx ==，则||2AF '=在R t AF F '△中，22||||AF AF '+又102e =，解得x a =或3x a =-在R t AF C '△中，22||||AF AC '+国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛会志愿者招募，在杭大学生纷纷踊跃参加.现有4名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在游泳、篮球、体操三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，在甲被安排到游泳项目的条件下，乙也被安排到游泳项目的概率为（）A ．112B ．16C ．14D ．29【答案】B【分析】利用条件概率的公式直接求解即可.【详解】记“甲被安排到游泳项目”为事件A ，记“乙也被安排到游泳项目”为事件B ，甲被安排到游泳项目分为两类，甲一人被安排到游泳项目的种数为2232C A ，7．（2022·广东广东·高一期中）已知函数()2,1f x x ax x ⎧=⎨-≥⎩，若存在1212,R,x x x x ∈≠，使()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[0,2)B ．(,0]-∞C ．(,0][2,)-∞⋃+∞D ．(],0,)2(-∞⋃+∞直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（）A ．56πB ．23πC ．2πD ．4π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（2022·江苏·南京师大附中高二期中）为迎接党的二十大胜利召开，某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[)[)[)50,6060,7070,80､､､[)[]80,9090,100､分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（）A ．0.01a =B ．得分在区间[)60,70内的学生人数为200C ．该校学生党史知识竞赛成绩的中位数大于80D ．估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间[)70,80内【答案】ABD【分析】根据频率分布直方图的性质直接计算即可.【详解】对于A ，由频率分布直方图性质得：()0.020.0350.025101a a ++++⨯=，解得0.01a =，故A 正确；型为如图所示的六面体，其中四边形ADEH 和BCFG 为直角梯形，A ，D ，C ，B 为直角顶点，其他四个面均为矩形，3AB BG ==，4FC =，=1BC ，下列说法不正确的是（）A ．该几何体是四棱台B ．该几何体是棱柱，平面ABCD 是底面C ．EG HC⊥D ．平面EFGH 与平面ABCD 的夹角为45︒【答案】ABC【分析】根据台体、柱体、空间直角坐标系、线线垂直、面面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】因为四边形ADEH 和BCFG 为直角梯形，A ，D ，C ，B 为直角顶点，其他四个面均为矩形，所以这个六面体是四棱柱，平面ADEH 和平面BCFG 是底面，故A ，B 错误；由题意可知DA ，DC ，DE 两两垂直，如图，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则(0,0,4),(1,3,3),(0,3,0),(1,0,3),(1,31),(13,3)E G C H EG CH =-=- ，，，则193110EG CH =--=-≠⋅，所以EG ，HC 不垂直，故C 错误；根据题意可知DE ⊥平面ABCD ，所以(0,0,4)DE =为平面ABCD 的一个法向量，(1,0,1),(0,3,0)EH HG =-=，设(,,)n x y z =为平面EFGH 的法向量，11．（2022·湖北·恩施市第一中学模拟预测）已知()()22Ω:cos sin 1x y θθ-+-=，则下列结论正确的是（）A ．圆Ω恒过原点OB ．圆Ω与圆224x y +=外切C ．直线322x y +=被圆ΩD ．直线cos sin 0x y αα+=与圆Ω相切或相交【答案】ACD【分析】A.代入点()0,0长然后求最值；D.求圆心到直线的距离来判断【详解】对于A ：代入点对于B ：22cos sin θθ+n 3，()()1122nn n a n a n --⎡⎤=+≥⎢⎥⎣⎦，*n ∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()()222212221log log n n n n n b a a a a +-+=⋅-⋅，则下列说法正确的是（）A ．4221a a =B ．1216a a ⋅=C ．数列212n n a a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为单调递增的等差数列D ．满足不等式50n S ->的正整数n 的最小值为63三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2022·上海交大附中高一期末）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响．图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗．在正八边形ABCDEFGH 中，若(,R)AC xAB y AH x y =+∈，则x y +=______．2+##214．（2022·天津市汇文中学高三期中）82x ⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数是_____________．（用数字填写答案）15．（2022·上海市金山中学高二期末）已知1F 、2F 为双曲线22:1(0,0)C a b a b-=>>的两个焦点，P 、Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，若直线PQ 的倾斜角为3π，则C 的离心率为____．##1+∵直线PQ 的倾斜角为π3，∴和对其公共定义域上的任意实数x 都满足()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =，则有下列命题：①()y g x =-与()h x 有“隔离直线”；②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,0-；④()f x和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-．其中真命题的序号为_______________________．（请填上所有正确命题的序号）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（河北省张家口市部分学校2023届高三上学期期中数学试题）已知正项数列{}n a 的前n项和为n S ，其中()()212,4142,N n n a S a n n *==++≥∈．(1)求{}n a 的通项公式，并判断{}n a 是否是等差数列，说明理由；(2)证明：当2n ≥时，1223341111113n n a a a a a a a a +++++< ．a ，b ，c )2222sin a b c bc A +-=．(1)求22sin cos A B +的取值范围；(2)若D 是AB 边上的一点，且:1:2AD DB =，2CD =，求ABC 面积的最大值．111中，△B 1三角形，四边形11AA B B 为菱形，AC BC ⊥，4AC =，3BC =.(1)求证：11AB AC ⊥；(2)线段1CC 上是否存在一点E ，使得平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦值为14？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.【分析】（1）连接1A B 与1AB 相交于点F ，连接CF ，证明1AB ⊥平面BFC ，可得1AB BC ⊥，再利用已知条件证明1AB ⊥平面1A BC ，可证得11AB AC ⊥.（2）建立空间直角坐标系，设出点E 坐标，利用法向量表示平面1AB E 与平面ABC 的夹角的余弦，求出点E 坐标.【详解】（1）连接1A B 与1AB 相交于点F ，连接CF ，如图所示：四边形11AA B B 为菱形，∴F 为1AB 的中点，有1BF AB ⊥，1AB C V 为等边三角形，有1CF AB ⊥，,BF CF ⊂平面BFC ，BF CF F ⋂=，∴1AB ⊥平面BFC ，BC ⊂平面BFC ，∴1AB BC ⊥，四边形11AA B B 为菱形，∴11AB BA ⊥，1,BA BC ⊂平面1A BC ，1BA BC B ⋂=，1AB ⊥平面1A BC ，1AC ⊂平面1A BC ，∴11AB AC ⊥（2）,O G 分别为,AC AB 的中点，连接1,B O OG ，由（1）可知1AB BC ⊥，又AC BC ⊥，1,AB AC ⊂平面1AB C ，1AB AC A = ，BC ⊥平面1AB C ，//OG BC ，OG ⊥平面1AB C ，△B 1为等边三角形，1B O AC ⊥，以O 为原点，OG，OC ，1OB 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,2,0)A -，(0,2,0)C ，(3,2,0)B 由11AB A B = ，11BC B C =，∴1(A 设()101CE CC λλ=≤≤ ，则OE - ()13,2,23OE CC OC λλ=+=--∴()3,22,23E λλλ--，(AE =-设平面1AB E 的一个法向量(n x = 了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．请回答如下两个问题：(1)若一节课老师会进行3次专注度监测，那么某班同学在3次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？(2)记某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n 分的概率为n P （比如：1P 表示累计得分为1分的概率，2P 表示累计得分为2的概率），求：①1{}n n P P +-的通项公式；②{}n P 的通项公式．21．（2022·重庆·高二阶段练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点22M ⎛ ⎝⎭，且离心率为2e =.(1)求椭圆的标准方程；(2)当椭圆C 和圆O ：221x y +=.过点()(),01A m m >作直线1l 和2l ，且两直线的斜率之积等于1，1l 与圆O 相切于点P ，2l 与椭圆相交于不同的两点M ，N ．（i ）求m 的取值范围；（ii ）求OMN 面积的最大值．e 为自然对数的底数），()()()()()()(),,g x g x f x h x f x g x f x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩.(1)若()f x 与()g x 在1x =处的切线相互垂直，求a 的值并求()h x 的单调递增区间；(2)若e a =，()()()123h x h x h x ==，321x x x >>，且21x mx =，证明：当()1,e m ∈时，2231e 1e 1x x x ⎛⎫+<+ ⎪-⎝⎭.。

【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷08数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知集合(){},1A x y xy ==，(){},Z,Z B x y x y =∈∈，则A B ⋂有（）个真子集.A ．3B ．16C ．15D ．4【答案】A【分析】计算()(){}1,1,1,1A B =-- ，得到真子集个数.【详解】(){},1A x y xy ==，(){},Z,Z B x y x y =∈∈，则()(){}1,1,1,1A B =-- ，真子集个数为2213-=.故选：A2．若复数z 满足||2,3z z z z -=⋅=，则2z 的实部为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】C【分析】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，则i z x y =-,故根据||2,3z z z z -=⋅=可求得222,1x y ==，结合复数的乘方运算，可求得答案.【详解】设复数i,(,R)z x y x y =+∈，则i z x y =-，则由||2,3z z z z -=⋅=可得|2i |2y =且223x y +=，解得222,1x y ==，故2222(i)2i x y x y x z y =+=-+，其实部为22211x y -=-=.故选：C.3．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O E ，为CD 中点，AE 与BD 交于点F ，若AC a BD b == ，，则FE = （）A ．11124a b +B ．3144a b +C ．11412a b + D ．1344a b +【答案】C【分析】根据给定条件，结合平行四边形性质，用,a b表示出,FD DE 即可求解作答.【详解】平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，如图，则1111,2222OC AC a OD BD b ====，而点E 为CD 的中点，有1111()2244DE DC OC OD a b ==-=- ，由//DE AB 得：||||12||||FD DE BF AB ==，则有1133FD BD b == ，所以11111344412FE FD DE b a b a b =+=+-=+ .故选：C4．公元656年，唐代李淳风注《九章算术》时提到祖暅的开立圆术．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积相等﹐则体积相等．更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理，国外则一般称之为卡瓦列利原理．已知将双曲线22:182x y C -=与直线2y =±围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体E ，则旋转体E 的体积是（）A ．32π3B ．64π3C ．80π3D ．160π3【答案】D【分析】求出2y =±，12y x =±绕y 轴旋转得到的旋转体（两个圆锥）的体积，用垂直于y 轴的平面去截旋转体E ，所得圆环的面积为8π，结合祖暅原理可求得旋转体的体积.【详解】()22y h h =-<<与双曲线的交点为)Ph 、()Q h ，则用垂直于y 轴的平面截旋转体E ()284πh +，()22y h h =-<<与双曲线的渐近线12y x =±的交点为()2,h h ±，所以24πh 是用垂直于y 轴的平面截两条渐近线绕y 轴旋转得到的旋转体的截面面积，2y =±，12y x =±绕y 轴旋转得到的旋转体（两个圆锥）的体积为164π2216π33⨯⨯⨯=，用垂直于y 轴的平面去截旋转体E ，所得圆环的面积为()()22π84π28πh h +-=，因为底面半径为4的圆柱的截面面积为8π，体积为48π32π⨯=，所以根据祖暅原理得旋转体E 的体积为64π16048ππ33V =⨯+=，故选：D ．5．甲､乙两袋中各有大小相同的10个球，甲袋有5个红球，5个白球；乙袋有7个红球，3个白球，随机选择一袋，然后从中随机摸出两个球，()P A 表示恰好摸到一个红球与一个白球的事件的概率，则()P A 等于（）A ．2390B ．59C ．2345D ．12【答案】C【分析】事件1E 为“取到甲袋”，事件2E 为“取到乙袋”，根据条件概率及相互独立事件的概率公式计算可得；【详解】设事件1E 为“取到甲袋”，事件2E 为“取到乙袋”，则()()1212P E P E ==，()11551210C C 5C 9P A E ==，()11732210C C 7C 15P A E ==则()()()()()()()1211221517232921545P A P AE P AE P E P A E P E P A E =+=+=⨯+⨯=.故选：C.6．已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为（）A ．522170,,232⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B ．4170,8,32⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C ．4280,8,33⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．5220,,823⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ 【答案】B【分析】由已知，分别根据函数()f x 在区间ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，列出不等关系，通过赋值，并结合ω的本身范围进行求解.【详解】由已知，函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111π2ππ2πZ 3k x k k ω-≤-≤∈，解得：()1112π2π2ππZ 33k k x k ωωωω-≤≤+∈，由于()111Z π,π,642π2π2ππ33k k k ωωωω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦-+∈，所以112ππ2π632πππ43k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()11141248Z 3k k k ω-≤≤+∈①又因为函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()0f x ≥恒成立，所以()222πππ2π2π+Z 232k x k k ω-≤-≤∈，解得：()2222π2ππ5πZ 66k k x k ωωωω-≤≤+∈，由于()2222π2ππ5π,Z 6π,46π3k k k ωωωω-+⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣∈⎦，所以222πππ462ππ5π36k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()2222586Z 32k k k ω-≤≤+∈②又因为0ω>，当120k k ==时，由①②可知：04432532ωωω⎧⎪>⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，解得403ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，；当121k k ==时，由①②可知：02883221732ωωω⎧⎪>⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩，解得1782ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.所以ω的取值范围为4170,8,32⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选：B.【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.7．已知0.16a =，0.4e 1b =-，0.82ln1.4c =-，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】C【分析】a 与b 可看作20.4与0.4e 1-，从而可构造函数2()e 1x f x x =--比大小，a 与c 可看作20.4与()20.4ln(10.4)-+，从而可构造函数2()22ln(1)g x x x x =-+-比大小.【详解】构造函数2()e 1(0)x f x x x =-->，则()e 2x f x x '=-，令()e 2x h x x =-，则()e 2x h x =-'．令()0h x '=，得ln 2x =，所以()h x 在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，故()(ln 2)22ln 20h x h ≥=->，因此()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00f x f >=．令x ＝0.4，则0.42(0.4)e 10.40f =-->，所以0.4e 10.16->，即a ＜b ．构造函数2()22ln(1)(0)g x x x x x =-+-≥，则222()22011x g x x x x-'=--=≤++，因此()g x 在[)0,∞+上单调递减，所以()()00g x g ≤=，令x ＝0.4，则(0.4)0.82ln1.40.160g =--<，所以0.82ln1.40.16-<，所以c ＜a ．故b ＞a ＞c ．故选：C ．【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量x 就有了函数的形式，如在本题中0.16a =，0.4e 1b =-，将0.16a =化为20.4的目的就是出现0.4，以便与0.4e 1b =-中的0.4一致，从而只需比较2y x =与e 1x y =-这两个函数大小关系即可.在构造函数后比较大小还可以借助于函数不等式、切线不等式放缩等手段比大小.8．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，2SA =，若球O 的表面积为16π，则三棱锥S －ABC 的体积的最大值为（）A．2B ．CD ．【答案】A【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，从而求出三角形ABC 的外接圆半径，三棱锥底面三角形ABC 面积最大时，三棱锥S －ABC 的体积取得最大值，求出三角形ABC 为等边三角形时，三角形ABC 面积最大，求出面积的最大值，进而求出体积的最大值.【详解】设球的半径为R ，则24π16πR =，解得：2R =，设三角形ABC 的外接圆半径为r ，则2222SA r R ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即214r +=，解得：r =，当三棱锥底面三角形ABC 面积最大时，三棱锥S －ABC 的体积取得最大值，如图所示：要想ABC 面积最大，当A 位于BC 垂直平分线与圆的交点（BC 与A 点位于圆心两侧）时，此时三角形ABC 为等腰三角形时，面积最大，连接BO 并延长，交圆于点D ，连接CD ，则23BD =，BC ⊥BC ，设π,0,2CBD αα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，则23cos BC α=，3sin OE α=，33sin AE AO OE α=+=+，则()()1123cos 33sin 3cos 1sin 22ABC S BC AE αααα=⋅=⨯⨯+=+ ，令()3cos 1sin y αα=+，则()()()223sin 1sin 3cos 6sin 3sin 33sin 12sin 1y ααααααα=-++=--+=-+-'，当1sin 0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即π0,6α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0'>y ，当1sin ,12α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即ππ,62α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0'<y ，即()3cos 1sin y αα=+在π0,6α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，在ππ,62α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当π6α=时，()3cos 1sin y αα=+取得最大值，max ππ933cos 1sin 664y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则三棱锥S －ABC 的体积的最大值为193332342⨯⨯=故选：A【点睛】立体几何外接球问题，要能够画出图形，解题的突破口，找到外接球球心在某个特殊平面的投影，进而找到半径，列出方程，或空间想象，数形结合求出最值等.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数()32f x x ax bx =++的导函数为()f x '，则（）A ．若()f x 为奇函数，则()f x '为偶函数B ．若()00f '=，则()f x 为奇函数C ．若()f x '的最小值为0，则23a b=D ．若()f x '为偶函数，则()f x 为奇函数【答案】ACD【分析】根据导函数的性质和函数奇偶性进行逐项判断.【详解】解：由题意得：对于选项A ：若()f x 为奇函数，()()f x f x -=-，则3232x ax bx x ax bx -+-=---，故0a =，又'2()3f x x b =+，''()()f x f x -=是偶函数，故A 正确；对于选项B ：若()00f '=，又()'232fx x ax b =++，则0b =，故()32f x x ax =+，()32f x x ax -=-+，当0a =时，()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，当0a ≠时，()()f x f x -≠-，()f x 不是奇函数，所以()f x 不一定是奇函数，故B 错误；对于选项C ：若()f x '的最小值为0，()22232333'a a f x x axb x b ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭，2'min ()03af x b =-+=，则23a b =，故C 正确；对于选项D ：若()f x '为偶函数，()'232f x x ax b =++，()232'f x x ax b -=-+，()()''f x f x -=，解得0a =，故()3f x x bx =+，()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：ACD10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，11,CC BB 的中点，则（）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点1A 与点D 到平面AEF 的距离相等【答案】BCD【分析】根据棱柱的结构特征，建立以D 为原点，以DA 、DC 、1D D 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系D xyz -，利用向量法即可判断A ，根据线线平行即可判断B,根据梯形面积即可判断C,根据中点关系即可判断D.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，建立以D 为原点，以DA 、DC 、1D D 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系D xyz -，如图所示：E 、F 、G 分别为BC 、1CC 、1BB 的中点，则()0,0,0D ，()10,0,1D ，()1,0,0A ，10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对于A,()10,0,1DD = ，11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴1102DD AF ⋅=≠ ，故A 错误；对于B ：连接1AD ,1D F ，1//AD EF ，A ∴,1D ,E ,F 四点共面，由于11//A D GF ,11=A D GF ,所以四边形11A D FG 为平行四边形，故11//AG D F ，又1AG ⊂/平面AEF ，1D F ⊂平面AEF ，1//A G ∴平面AEF ，故B 正确，对于C ，连接1AD ，1FD ，1//AD EF ，∴四边形1AD FE 为平面AEF 截正方体所得的截面，1AD =EF =12D F AE ===，∴四边形1AD FE =，则四边形1AD FE 的面积为192248⨯⨯⎭，故C 正确；对于D,连接1A D 交1AD 于点O ，故O 是1A D 的中点，且O 是线段1A D 与平面1AD FE 的交点，因此点1A 和点D 到平面AEF 的距离相等，故D 正确．故选：BCD ．11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O =为坐标原点，一束平行于x 轴的光线1l 从点41,116P ⎛⎫⎪⎝⎭射入，经过C 上的点()11,A x y 反射后，再经C 上另一点()22,B x y 反射后，沿直线2l 射出，经过点Q ，则（）A ．PB 平分ABQ ∠B ．121y y =-C ．延长AO 交直线14x =-于点D ，则,,D B Q 三点共线D ．2516AB =【答案】ACD【分析】对于A ，根据题意求得()1,1A ，11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而证得PA AB =，结合平面几何的知识易得PB 平分ABQ ∠；对于B ，直接代入12,y y 即可得到1214y y =-；对于C ，结合题意求得11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由,,D B Q 的纵坐标相同得,,D B Q 三点共线；对于D ，由选项A 可知2516AB =.【详解】根据题意，由2:C y x =得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，又由//PA x 轴，得()1,1A x ，代入2:C y x =得11x =（负值舍去），则()1,1A ，所以141314AF k ==-，故直线AF 为4134y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即4310x y --=，依题意知AB 经过抛物线焦点F ，故联立24310x y y x --=⎧⎨=⎩，解得11614x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，对于A ，412511616PA =-=，2516AB ==，故PA AB =，所以APB ABP ∠=∠，又因为//PA x 轴，//BQ x 轴，所以//PA BQ ，故APB PBQ =∠∠，所以ABP PBQ ∠=∠，则PB 平分ABQ ∠，故A 正确；对于B ，因为12141,y y =-=，故1214y y =-，故B 错误；对于C ，易得AO 的方程为y x =，联立14y x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故11,44D ⎛⎫-- ⎝⎭，又//BQ x 轴，所以,,D B Q 三点的纵坐标都相同，则,,D B Q 三点共线，故C 正确；对于D ，由选项A 知2516AB =，故D 正确.故选：ACD..12．已知函数()e 2xf x x =+-和()ln 2g x x x =+-，若()()120f x g x ==，则（）A ．122x x +=B ．110x 2<<C．12x x ⋅>D ．1221ln ln x x x x <-【答案】ABD【分析】A 选项，根据反函数求解出2y x =-+与y x =交点坐标，从而得到122x x +=；B选项，由零点存在性定理得到110x 2<<，21x <<C 选项，化简整理得到()1222222ln x x x x x x =-=，求出ln y x x =在()1,e 上的单调性，求出取值范围；D 选项，构造函数()ln x h x x =，根据2121212x x x x +⎛⎫<= ⎪⎝⎭得到12101x x <<<，根据()h x 在()0,1上单调递增，所以()121h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即12121lnln 1x x x x <，整理得1221ln ln x x x x <-，D 正确．【详解】由于e x y =和ln y x =互为反函数，则e x y =和ln y x =的图象关于直线y x =对称，将2y x =-+与y x =联立求得交点为()1,1，则1212x x +=，即122x x +=，A 正确．易知()f x 为单调递增函数，因为()010f =-<，13022f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理可知110x 2<<，B 正确．易知()g x 为单调递减函数，()110g =-<，302g =>，由零点存在性定理可知21x <<因为()1222222ln x x x x x x =-=，令ln y x x =，则1ln 0y x '=+>在()1,e 上恒成立，所以ln y x x =在()1,e上单调递增，所以1222ln x x x x =<，C 错误．因为1>0x ，20x >，所以2121212x x x x +⎛⎫<= ⎪⎝⎭，所以12101x x <<<．令()ln x h x x =，则()21ln 'xh x x -=，当01x <<时，()0h x '>，()h x 在()0,1上单调递增，所以()121h x h x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即12121lnln 1x x x x <，整理得1221ln ln x x x x <-，D 正确．故选：ABD【点睛】结论点睛：对于双变量问题，要结合两个变量的关系，将双变量问题转化为单变量问题再进行求解，也可通过研究函数的单调性及两个变量的不等关系进行求解三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在nx ⎛⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则3x 的系数为______．【答案】375【分析】分别求出各项系数和与二项式系数和，相比，求出n ，得到二项式即其通项公式，即可求出3x 的系数.【详解】解：由题意在nx ⎛⎝中，令1x =，即可得到各项系数和为：()5141nn ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∵二项式系数和为2n ，各项系数和与二项式系数和之比为64，∴()4642nn-=解得：6n =.∴二项式为6x ⎛⎝∴展开式的通项公式为：()366266C C 5rr r rr xx--⎛⋅=- ⎝当3632r -=时，解得：2r =∴3x 的系数为：()22665C 5253752⨯-=⨯=故答案为：375.14．已知曲线:2C y -=直线:0l x y a -+=，曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离为1，则a 的取值范围是_____________.【答案】2⎡⎣【分析】根据曲线C 的表达式画出半圆图象，再利用直线与曲线C 的临界位置讨论a 的取值范围，由于曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离为1，根据两平行线间的距离公式并结合图象即可确定实数a 的取值范围.【详解】由2y ≥，得曲线C 是以()2,2为圆心，半径为2的圆的上半部分.在曲线C 中，令2y =，得0x =或4，将()0,2代入直线l 得2a =，将()4,2代入直线l 得2a =-，当直线l 与曲线C 相切时，由圆心到直线的距离为2，得a =所以当22a -≤<或a =l 与曲线C 有一个公共点；当2a ≤≤l 与曲线C 有两个公共点.如下图所示：记与曲线C 相切的直线为1:0l x y -+=，过()0,2且斜率为1的直线记为2:20l x y -+=.当直线l 与1l 距离为11=，∴a =或a =取a =C 上有2个点到直线:0l x y -+=距离为1；当直线l 与2l 距离为11=，∴2a =或2a =取a 3个点到直线l 的距离为1.∴2a故答案为：2a <15．已知()f x 为奇函数，当(0,1]x ∈，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称.设方程()1f x x =+的正数解为12,,,,n x x x ，且任意的N n ∈，总存在实数M ，使得1n n x x M +-<成立，则实数M 的最小值为______.【答案】2【分析】根据题意可得函数()f x 是以4为周期的周期函数，作出函数()f x 的图像，结合图像可知1lim()n n n x x +→∞-的几何意义为函数()f x 两条渐近线之间的距离，从而可得到12n n x x +-<，进而求出M 的最小值.【详解】因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x =--，且()00f =，又()f x 关于直线1x =对称，所以()()11f x f x +=-，所以()()()2+==f x f x f x --，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数，作出函数()y f x =和1y x =+的图像如图所示：由()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-的几何意义为函数()f x 两条渐近线之间的距离为2，所以1lim()2n n n x x +→∞-=.所以得任意的N n ∈，12n n x x +-<，已知任意的N n ∈，总存在实数M ，使得1n n x x M +-<成立，可得2M ≥，即M 的最小值为2.故答案为：2.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线2222:1x y C a b-=上，点H 在直线x a =上，且满足122340HP HF HF ++= .若存在实数λ使得122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++⎪∠∠⎝⎭，则双曲线C 的离心率为_____________【答案】2【分析】根据双曲线的定义及向量的运算，三角形的正弦定理，求出1243PF PF =，再表示出12F F ，根据双曲线离心率的定义求解即可.【详解】设直线PH 交x 轴于点Q，如图，设12PF F △的外接圆半径为R ，由122112sin sin PF PF OH OP PF F PF F λ⎛⎫=++ ⎪∠∠⎝⎭，有12211222sin 2sin PF PF OH OP R R PF F R PF F λ⎛⎫=+⋅+ ⎪∠∠⎝⎭，故12122PF PF PH R PF PF λ⎛⎫ =⋅+ ⎪⎝⎭，所以直线PH 过12PF F △的内心，设12PF F △的内切圆圆心为I ，内切圆圆I 分别切1PF 、2PF 、12F F 于点M 、N 、T，由切线长定理可得11F M FT =，22F N F T =，PM PN =，所以，()()1212122PF PF PM F M PN F N FT F T a -=+-+=-=，结合图形可得()()22T T T x c c x x a +--==，所以，T x a =，故12PF F △的内心的横坐标为a ，因为点H 在直线x a =上，所以点H 为12PF F △的内心.由122340HP HF HF ++=可得()()122340PH PF PH PF PH -+-+-= ，所以，12934PH PF PF =+ ，记12934777PH PF PF =+，设123477PG PF PF =+ ，则()()214377PG PF PF PG -=- ，所以，2134F G GF = ，所以，点G 在直线12F F 上，又因为12PH F F Q = ，故点G 与点Q 重合，且有12934777PH PF PF PQ =+=，由角平分线的性质可知点Q 到直线1PF 、2PF 的距离相等，故12112243PF Q PF Q S PF FQ S PF F Q ===△△，同理可得1212PH PF PF HQ F Q F Q==，令23PF m =，则14PF m =，且1212121272PH PF PF PF PF HQF QF QF Q F Q+===+，故12122FQ F Q F F m +==.则双曲线C 的离心率12122243F F c me a PF PF m m====--.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于推导出点H 为12PF F △的内心，再结合角平分线定理推导出112243PF F Q PF F Q ==，以及1212PH PF PF HQ F Q F Q==，再利用双曲线的定义来进行求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{}n a 满足11a =，21222n n a a n n +=-++，n *∈N .(1)证明：数列{}21n a n -+为等比数列.(2)设(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【答案】(1)证明见解析(2)224123n n S n n-=++【分析】（1）根据等比数列的定义即可求证.（2）首先求出n b 的表达式，然后利用分组求和即可.【详解】（1）（法一）由21222n n a a n n +=-++，知()221(1)121n n a n a n +-++=-+，又21111a -+=，故{}21n a n -+是首项为1，公比为2的等比数列，得证.（法二）11a =，可知：21111a -+=，又21222n n a a n n +=-++，所以22221222(1)1222(1)12222111n n n n n n a n a n n n a n a n a n a n +-++-++-++-+===-+-+-+，∴{}21n a n -+是首项为1，公比为2的等比数列，得证.（2）由（1）知：2112n n a n --+=，则1221n n a n -=-+，12(1)(1)2(1)(1)n n n n n n n b a n -=-=---+-21222214n n n b a n -==-+，222212121(21)n n n b a n ---=-=-+--，1212221441n n n n n b b a a n ---+=-=+-，∴()()()()[]12123421214437(41)n n n n S b b b b b b n --+++==+++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+- 21441(21)2143n n n n n n --=++=++-18．（12分）设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos a b A a B =-．(1)求证：B ＝2A ；(2)求b c a+的取值范围．【答案】(1)证明过程见解析.(2))2+【分析】（1）利用正弦定理及积化和差得到()sin sin A B A =-，结合角的范围，得到2B A =；（2）利用正弦定理得到2154cos 44b A c a ⎛⎫=+- ⎪⎝+⎭，根据三角形为锐角三角形，得到ππ,64A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 22A ⎛∈ ⎝⎭，从而求出取值范围.【详解】（1）cos cos a b A a B =-，由正弦定理得：sin sin cos sin cos A B A A B =-，由积化和差公式可得：()()()()()()111111sin sin sin sin sin sin sin 222222A B A B A A B A B B A A B =++--+--=---，因为()()11sin sin 22A B B A -=--，所以()sin sin A B A =-，因为三角形ABC 为锐角三角形，故π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,22B A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故A B A =-，即2B A =；（2）由（1）知：2B A =，由正弦定理得：()sin 2sin sin sin sin 2sin 3sin sin sin A B A b c B C A Aa A A A+++++===，其中()2sin 3sin 2sin 2cos cos 2sin 2sin cos cos 2sin A A A A A A A A A A A =+=+=+，因为sin 0A ≠，所以222sin cos s cos 2c sin cos s co 2in os 2co 2s s 2in A A A A A Ab c A A A a A+==++++222215cos 2cos 14cos 2cos 142cos 4cos 42A A A A A A =⎛⎫+-=+-=+ ⎭+-⎪⎝，由π20,2B A ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭得：4π0,A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由πππ30,2C A B A ⎛⎫=--=-∈ ⎪⎝⎭，解得：ππ,63A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，结合π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得：ππ,64A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos ,22A ∈⎝⎭，故2154cos 44b A c a ⎛⎫=+- ⎪⎝+⎭在cos 22A ⎛∈ ⎝⎭上单调递增，所以2134cos 2cos 141,4124b c A A a +⎛⎫=+-∈⨯+⨯+ ⎪⎝⎭，即)2b ca+∈+.19．（12分）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转23π得到的，G 是 DF的中点．(1)求此几何体的体积；(2)设P 是 CE上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小；(3)当3AB =，2AD =时，求二面角E AG C --的大小．【答案】(1)83π(2)30CBP ∠= (3)60 ．【分析】(1)由题意可知该几何体为圆柱的三分之一，根据计算圆柱体积即可得出此几何体的体积；(2)利用线面垂直的判定定理可得BE ⊥平面ABP ，然后结合几何体的结构特征计算可得CBP ∠的大小；(3)建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求出二面角E AG C --的余弦值，从而可得二面角的大小.【详解】（1）此几何体的体积2182233V ππ=⋅⋅=；（2）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB AP A =I ，所以BE ⊥平面ABP ，又BP ⊂平面ABP ，所以BE BP ⊥，又120EBC ∠= ，因此30CBP ∠=（3）以B 为坐标原点，分别以,,BE BP BA 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得(0,0,3),(2,0,0),(A E G C -，故(2,0,3)AE =-，AG =，(2,0,3)CG = ，设111(,,)m x y z =是平面A E G 的一个法向量．由00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11112300x z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩，取12z =，则113,x y ==得平面A E G的一个法向量(3,m =．设222(,,)n x y z =是平面ACG 的一个法向量．由0n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22220230x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，取22z =-，则113,x y ==得平面ACG的一个法向量(3,2)n =-．所以1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅．因此二面角E AG C --的大小为60 ．20．（12分）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品α分为两类不同剂型1α和2α．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂1α和2α合格的概率分别为34和35，第二次检测时两类试剂1α和2α合格的概率分别为45和23．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品α才算合格．(1)设经过两次检测后两类试剂1α和2α合格的种类数为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品α进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)p p <<且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为()f p ，若当0p p =时，()f p 最大，求0p 的值．【答案】(1)分布列见解析，1(2)0212p =-．【分析】（1）先得到剂型1α与2α合格的概率，求出X 的所有可能取值及相应的概率，得到分布列，求出期望值；（2）求出()()()()()2321112f p p p p p p p p =-+-=--，令1x p =-，得到()()()22101g x x x x =-<<，利用基本不等式求出最值，得到答案.【详解】（1）剂型1α合格的概率为：343455⨯=；剂型2α合格的概率为：322535⨯=．由题意知X 的所有可能取值为0，1，2．则()3260115525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()323213111555525P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525P X ==⨯=，则X 的分布列为X 012P6251325625数学期望()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=．（2）检测3人确定“感染高危户”的概率为()21p p -，检测4人确定“感染高危户”的概率为()31p p -，则()()()()()2321112f p p p p p p p p =-+-=--．令1x p =-，因为01p <<，所以01x <<，原函数可化为()()()22101g x x x x =-<<．因为()()2222211144x x x x ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦-≤=，当且仅当221x x =-，即2x =时，等号成立．此时12p =-，所以0212p =．21．（12分）已知函数()1ln f x a x x x=-+.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：()ln 1n +<⋅⋅⋅+*N n ∈.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导得到导函数，考虑0a ≤，02a <≤，2a >三种情况，根据导数的正负得到函数的单调性.（2）当2a =时得到12ln x xx <-，1x >，证明1ln n n +<.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()2221111x ax f x a x x x --+'=-+=-，0x >.当0a ≤时，()0f x '<，0x >，此时()f x 在()0,∞+单调递减；当0a >时，24a ∆=-.①当02a <≤时，0∆≤，()0f x '<，0x >，此时()f x 在()0,∞+单调递减；②当2a >时，0∆>，令()0f x '=，得12a x =，22a x =.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况列表如下：x ()10,x 1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()f x '-0+0-()f x 极大值极小值综上所述：当2a ≤时，()f x 在()0,∞+单调递减；当2a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减，在⎫⎪⎪⎝⎭单调递增.（2）当2a =时，()f x 在()0,∞+单调递减，此时()()10f x f <=，即12ln 0x x x-+<，1x >，故12ln x x x <-，1x >.下证1ln n n +<*N n ∈.==1ln n n +=，x 得1ln 2n n +=<=*N n ∈.故31ln ln ln 12n n +++⋅⋅⋅+<+⋅⋅⋅整理得()ln 1n +<⋅⋅⋅+*N n ∈.22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，且经过点M 和(0,N ．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，设Q ，点P 为椭圆C 上不同于M 、N 的一点，直线PM 与直线2x =交于点A ，直线PN 与x 轴交于点B ，求证：AMQ △和OBN △面积相等．【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆焦点坐标和经过的两点即可求得标准方程；（2）设出点P 的坐标，即可表示出,A B 两点坐标，再写出AMQ △和OBN △的面积公式，再利用点P 在椭圆上即可证明等式成立，得出AMQ △和OBN △面积相等的结论.【详解】（1）由题意可知，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的半焦距1c =，将M代入椭圆方程得221b =，即23b =，所以2224a b c =+=，椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）根据题意，设000(,),0P x y x ≠，又M，(0,N，如下图所示，则直线PM 、PN的斜率均存在，且00PM PN k k ==所以，直线PM方程为0y x 又直线PM 与直线2x =交于点A ，所以002(2,y A x ⎛ ⎝又因为Q，可得2AQ MQ ==；所以，AMQ △的面积为12AMQ S AQ MQ == 同理，直线PN方程为00y y x x =直线PN 与x 轴交于点B，易得B ⎛⎫⎪⎪⎭，则OB ON =所以，OBN △的面积为12OBN S OB ON == 要证明AMQ △和OBN △面积相等，即证明=成立即可，整理得2200343x y =-，由点P 在椭圆C上可知，0y <即220034(3)x y =-，得22003412x y +=，即2200143x y +=显然成立；所以AMQ △和OBN △面积相等.。

高考仿真测试(七)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2014某某某某适应性监测,1)设集合A={x|-1≤x≤2},集合B为函数y=lg(x-1)的定义域,则A∩B=()A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]解析:由题意,得B={x|x>1},所以A∩B=(1,2],故选D.答案:D2.(2014某某某某中学第二次调研,2)在复平面内,复数(i是虚数单位)所对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵===-+i,∴-+i对应的点为,在第二象限,故选B.答案:B3.(2014东北三校一模,3)命题“∀x∈R,x2-3x+2≥0”的否定是( )A.∃x∈R,x2-3x+2<0B.∃x∈R,x2-3x+2>0C.∃x∈R,x2-3x+2≤0D.∃x∈R,x2-3x+2≥0解析:全称命题的否定是特称命题,“∀”改为“∃”,“≥”改为“<”,故选A.答案:A4.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析:由题意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于A选项,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),f(x)g(x)为奇函数,故A错误;对于B选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)为偶函数,故B错误;对于C选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,f(x)|g(x)|为奇函数,故C正确;对于D选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x)·g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.答案:C5.(2014某某四校第三次联考,5)实数x,y满足若z=kx+y的最大值为13,则实数k=( )A.2B.C.D.5解析:设直线x-2y+4=0与2x-y-4=0、直线x-2y+4=0与x=2的交点分别为A,B,则A(4,4),B(2,3),z=kx+y可化为y=-kx+z.当k=0时,显然不符合题意.当-k>0,即k<0时,A,B两点都可能是最优点,但代入后检验都矛盾;当-k<0,即k>0时,显然点A(4,4)是最优解,代入后可得k=.答案:C6.(2014某某某某双基测试,6)执行如图所示的程序框图,若n=2,a1=1,a2=2,则输出的s等于( )A.1B.C.2D.3解析:依题意得,当n=2,a1=1,a2=2,执行第一次循环时,i=1<2,s=a1=1,i=1+1=2;执行第二次循环时,i=2,s=,i=2+1=3>2,此时结束循环,故输出的s=,选B.答案:B7.(2014某某某某某某某某第二次调研,8)已知函数f(x)=e x,如果x1,x2∈R,且x1≠x2,下列关于f(x)的性质:①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,②f(x1)+f(x2)<2f,③方程f(x)=x2在(0,+∞)上没有实数根.其中正确的是( )A.①②③B.①③C.①②D.②③解析:因为e>1,根据指数函数的性质可得f(x)=e x为定义域内的增函数,故①正确;f(x1)+f(x2)=+>2=2=2f,故②错误;画出函数f(x)=e x和y=x2的图象可知,两函数图象在(0,+∞)内无交点,故③正确.结合选项可知,选B.答案:B8.(2014某某高考,文10)设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为( )A. B.C. D.0解析:设a与b的夹角为θ.x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4有以下三种可能:①2a·a+2b·b=2|a|2+2|b|2=10|a|2;②4a·b=4|a|·2|a|cos θ=8|a|2cos θ;③a·a+2a·b+b·b=|a|2+2|a||b|cos θ+|b|2=5|a|2+4|a|2cos θ.由此易知②最小,则8|a|2cos θ=4|a|2,解得cos θ=,∴θ=.答案:B9.(2014课标全国Ⅰ高考,文10)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=( )A.1B.2C.4D.8解析:由抛物线方程y2=x知,2p=1,=,即其准线方程为x=-.因为点A在抛物线上,由抛物线的定义知|AF|=x0+=x0+,于是x0=x0+,解得x0=1,故选A.答案:A10.(2014某某第一次统测,11)函数f(x)=的图象在点(1,-2)处的切线方程为( )A.2x-y-4=0B.2x+y=0C.x-y-3=0D.x+y+1=0解析:f'(x)=,则f'(1)=1,故该切线方程为y-(-2)=x-1,即x-y-3=0.答案:C二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知向量a,b满足|a|=2|b|≠0,且关于x的函数f(x)=x3+|a|x2+a·bx在R上有极值,则向量a,b的夹角的取值X围是.解析:设a,b的夹角为θ.∵f(x)=x3+|a|x2+|a||b|cos θ·x=x3+|a|x2+|a|2cos θ·x,∴f'(x)=x2+|a|x+|a|2cos θ,∵函数f(x)有极值,∴f'(x)=0有2个不同的实根,∴Δ=|a|2-2|a|2cos θ>0,即1-2cos θ>0,∴cos θ<,∴<θ≤π.答案:12.(2014某某四校第三次联考,13)曲线f(x)=e x在x=0处的切线方程为.解析:把x=0代入f(x)=e x,得到切点为(0,1),又f'(x)=e x,∴f'(0)=1,根据直线的点斜式方程,得到切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.答案:x-y+1=013.(2014某某某某适应性监测,16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+asin C-b-c=0,则A=.解析:由题意,得sin Acos C+sin Asin C=sin B+sin C,∴sin Acos C+sin Asin C=sin(A+C)+sin C,∴sin Acos C+sin Asin C=sin Acos C+cos Asin C+sin C.∵sin C≠0,∴sin A-cos A=1,即sin A-cos A=,∴sin=,∴A-=,∴A=.答案:14.(2014某某高考,文15)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为.解析:由已知得|OA|=a,∵|AF|=c,∴|OF|====b,∴b=.∴抛物线的准线y=-=-b.把y=-b代入双曲线-=1得x2=2a2,∴直线y=-被双曲线截得的线段长为2a,从而2a=2c.∴c=a,∴a2+b2=2a2,∴a=b,∴渐近线方程为y=±x.答案:y=±x15.(2014某某某某某某某某第二次调研,16)如图,将正整数排成三角形数阵,每排的数称为一个群,从上到下顺次为第1群,第2群,……,第n 群,……,第n群恰好有n个数,则第n群中n个数的和是.解析:根据规律观察可得每排的第一个数1,2,4,8,16,…构成以1为首项,以2为公比的等比数列,所以第n群的第一个数是2n-1,第n群的第2个数是3×2n-2,……,第n群的第n-1个数是(2n-3)×21,第n群的第n个数是(2n-1)×20,所以第n群的所有数之和为2n-1+3×2n-2+…+(2n-3)×21+(2n-1)×20,根据错位相减法求和得其和为3×2n-2n-3.答案:3×2n-2n-3三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且a1+a3=,a2+a4=,求的值.解:设{a n}的公比为q,∵∴3分由①②可得=2,∴q=,代入①得a1=2,∴a n=2×=.8分∴S n==4,∴==2n-1.12分17.(本小题满分12分)(2014某某某某适应性监测,17)已知向量a=(sin x,-1),b=,函数f(x)=(a+b)·a-2.(1)求函数f(x)的最小正周期T;(2)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,其中A为锐角,a=2,c=4,且f(A)=1,求△ABC的面积S.解:(1)f(x)=(a+b)·a-2=|a|2+a·b-2=sin2x+1+sin xcos x+-2=+sin 2x-=sin 2x-cos 2x=sin.因为ω=2,所以T==π.(2)f(A)=sin=1.因为A∈,2A-∈,所以2A-=,A=.9分又a2=b2+c2-2bccos A,所以12=b2+16-2×4b×,即b2-4b+4=0,则b=2.从而S=bcsin A=×2×4×sin 60°=2.12分18.(本小题满分12分)(2014某某某某中学第二次调研,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.(1)求证:CE∥平面PAB;(2)求四面体PACE的体积.(1)证明:法一:取AD的中点M,连接EM,CM,则EM∥PA.因为EM⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以EM∥平面PAB.2分在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CM=AM,所以∠ACM=60°,而∠BAC=60°,所以MC∥AB.3分因为MC⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以MC∥平面PAB.4分又因为EM∩MC=M,所以平面EMC∥平面PAB,因为EC⊂平面EMC,所以EC∥平面PAB.6分法二:延长DC,AB交于N点,连接PN.因为∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,所以C为ND的中点.3分因为E为PD的中点,所以EC∥PN,因为EC⊄平面PAB,PN⊂平面PAB,所以EC∥平面PAB.6分(2)解:法一:由已知条件有AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=2,7分因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.8分又因为CD⊥AC,AC∩PA=A,所以CD⊥平面PAC.10分因为E是PD的中点,所以点E到平面PAC的距离h=CD=,S△PAC=×2×2=2.所以四面体PACE的体积V=S△PAC×h=×2×=.12分法二:由已知条件有AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=2.因为PA⊥平面ABCD,所以V P-ACD=S△ACD×PA=×2×2=,10分因为E是PD的中点,所以四面体PACE的体积V=V P-ACD=.12分19.(本小题满分12分)(2014高考,文18)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:[16,1928)合计100(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;(2)求频率分布直方图中的a,b的值;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论)解:(1)根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有6+2+2=10名,所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1-=0.9.从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9.4分(2)课外阅读时间落在组[4,6)的有17人,频率为0.17,所以a===0.085.课外阅读时间落在组[8,10)的有25人,频率为0.25,所以b===0.125.8分(3)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.12分20.(本小题满分13分)(2014某某第一次统测,20)已知F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆E上的点,以F1P为直径的圆经过F2,·=a2.直线l经过F1,与椭圆E交于A,B两点,F2与A,B两点构成△ABF2.(1)求椭圆E的离心率;(2)设△F1PF2的周长为2+,求△ABF2的面积S的最大值.解:(1)∵F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,P是椭圆E上的点,以F1P为直径的圆经过F2, ∴PF2⊥x轴,∴|PF2|=.2分又∵·=a2,∴=a2,即=a,4分∴a2=4b2,即a2=4(a2-c2),化简得3a2=4c2,∴=,∴椭圆E的离心率等于.6分(2)∵△F1PF2的周长为2+,∴2a+2c=2+.解方程组得∴b2=,∴椭圆E的方程为x2+4y2=1.8分当直线l的斜率不存在时,△ABF2的面积S=××2c=.当直线l的斜率存在时,设为k,由F2与A,B两点构成△ABF2得到k≠0.由已知得直线l的方程为y=k,即2kx-2y+k=0,∴F2到直线l的距离d=.由得(1+4k2)x2+4k2x+3k2-1=0,∴∴|AB|=·=.∴S=|AB|d==×≤=.10分此时,△ABF2的面积S的最大值为.又∵>,∴△ABF2的面积S的最大值等于.13分21.(本小题满分14分)(2014某某四校第三次联考,20)已知函数f(x)=ax2+x-xln x.(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,某某数b的取值X围.解:(1)当a=0时,f(x)=x-xln x,函数定义域为(0,+∞).f'(x)=-ln x,由-ln x=0,得x=1.3分当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)在(0,1)上是增函数;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上是减函数.即函数f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).6分(2)由f(1)=2,得a+1=2,∴a=1,∴f(x)=x2+x-xln x.由f(x)≥bx2+2x,得(1-b)x-1≥ln x.又∵x>0,∴b≤1--恒成立.9分令g(x)=1--,可得g'(x)=,∴g(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,∴g(x)min=g(1)=0,∴b的取值X围是(-∞,0].14分。

高考仿真测试(四)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2014某某某某双基测试,1)已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={4,5},则(A∩B)∪C为( )A.{3,4}B.{3,4,5}C.{4,5,6}D.{3,4,5,6}解析:依题意得A∩B={3,4},(A∩B)∪C={3,4,5},故选B.答案:B2.(2014某某高考,文2)i为虚数单位,=( )A.1B.-1C.iD.-i解析:因为=-i,所以=(-i)2=-1,故选B.答案:B3.(2014某某某某双基测试,3)等差数列{a n}中,a3=5,a5=9,则这个等差数列的公差为( )A.4B.5C.2D.1解析:依题意,设等差数列{a n}的公差为d,则有d==2,故选C.答案:C4.(2014某某某某适应性监测,4)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出s的值等于( )A.-3B.-10C.0D.-2解析:第一次循环k=0+1=1,s=2×1-1=1,满足k<4;第二次循环k=1+1=2,s=2×1-2=0,满足k<4;第三次循环k=2+1=3,s=2×0-3=-3,满足k<4;第四次循环k=3+1=4,不满足k<4,输出的s=-3,故选A.答案:A5.已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧( q);④( p)∨q中,真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④解析:由题易知命题p为真,命题q为假,则 p为假, q为真.故p∧q为假,p∨q为真,p∧( q)为真,( p)∨q为假.故选C.答案:C6.(2014某某某某一模,7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.6B.3C.2D.3解析:由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,该侧视图是底边为2,高为的三角形,正视图的长为三棱柱的高,故h=3,所以几何体的体积V=S·h=×3=3.答案:B7.(2014某某第一次统测,7)经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A,B两点,如果A,B在抛物线C的准线上的射影分别为A1,B1,那么∠A1FB1为( )A.B.C.D.解析:由抛物线定义可知|BF|=|BB1|,|AF|=|AA1|,故∠BFB1=∠BB1F,∠AFA1=∠AA1F.又∠OFB1=∠BB1F,∠OFA1=∠AA1F,故∠BFB1=∠OFB1,∠AFA1=∠OFA1,所以∠OFA1+∠OFB1=×π=,即∠A1FB1=.答案:C8.(2014某某四校第三次联考,8)如图可能是下列哪个函数的图象( )A.y=2x-x2-1B.y=C.y=(x2-2x)e xD.y=解析:对于选项A,x=1显然是函数的零点,此外f(4)·f(5)<0,即函数在区间(4,5)上还至少有一个零点,与图象不符;对于选项B,当x→+∞时,y→0,与图象不符;对于选项D,显然定义域为x>0,且x≠1,与图象不符.故选C.答案:C9.(2014某某某某双基测试,10)在斜三角形ABC中,“A>B”是“|tan A|>|tan B|”的( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:在斜三角形ABC中,|tan A|>|tan B|⇔|sin A·cos B|>|cos Asin B|⇔(sin Acos B)2-(cos Asin B)2>0⇔(sin Acos B+cos Asin B)(sin Acos B-cos Asin B)>0⇔sin(A+B)sin(A-B)>0⇔sin Csin(A-B)>0⇔sin(A-B)>0;又-π<A-B<π,因此sin(A-B)>0⇔0<A-B<π,即A>B.因此,在斜三角形ABC中,“A>B”是“|tan A|>|tan B|”的充分必要条件,故选A.答案:A10.(2014某某某某某某某某第二次调研,11)已知函数f(x)=cos xsin2x,下列结论中错误的是( )A.f(x)既是偶函数又是周期函数B.f(x)的最大值是1C.f(x)的图象关于点对称D.f(x)的图象关于直线x=π对称解析:因为f(-x)=cos(-x)sin2(-x)=cos xsin2x=f(x),所以函数f(x)为偶函数.又因为f(x+2π)=cos(x+2π)sin2(x+2π)=cos xsin2x=f(x),所以函数f(x)为周期函数,故选项A正确;f(x)=cos xsin2x=sin 2xsin x,其最大值一定小于1,故选项B错误;因为f(π-x)=sin(2π-2x)·sin(π-x)=-sin 2xsin x=-f(x),所以函数f(x)的图象关于点对称,故选项C正确;因为f(2π-x)=sin(4π-2x)sin(2π-x)=f(x),所以函数f(x)的图象关于x=π对称,故选项D正确.答案:B二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2014某某某某适应性监测,13)已知向量a=(2,x),b=(x,8),若a∥b,则x=.解析:∵a∥b,∴16-x2=0,∴x=±4.答案:±412.(2014某某某某中学第二次调研,13)在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P,则△PAB的面积小于的概率是.解析:如图,PE⊥AB,设矩形的边长AB=a,BC=b,PE=h,由题意得ah≤=,∴h≤,由几何概型的概率计算公式得所求概率P==.答案:13.(2014某某第一次统测,15)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,若cosB=,a=10,△ABC的面积为42,则b+的值等于.解析:依题可得sin B=,又S△ABC=acsin B=42,则c=14.故b==6,所以b+=b+=16.答案:1614.(2014某某第一次统测,13)已知a>0,b>0,方程为x2+y2-4x+2y=0的曲线关于直线ax-by-1=0对称,则的最小值为.解析:该曲线表示圆心为(2,-1)的圆,直线ax-by-1=0经过圆心,则2a+b-1=0,即2a+b=1, 所以=+=(2a+b)=++7≥2+7=7+4(当且仅当a=2-,b=2-3时等号成立).答案:7+415.(2014某某某某一模,9)正三棱锥的高和底面边长都等于6,则其外接球的表面积为.解析:如图,作PM⊥平面ABC于点M,则球心O在PM上,PM=6,连接AM,AO,则OP=OA=R(R为外接球半径),在Rt△OAM中,OM=6-R,OA=R,又AB=6,且△ABC为等边三角形,故AM==2,则R2-(6-R)2=(2)2,R=4,所以球的表面积S=4πR2=64π.答案:64π三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2014某某某某高三统考,18)某售报亭每天以每份0.6元的价格从报社购进若干份报纸,然后以每份1元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站.(1)若售报亭一天购进280份报纸,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量x的函数关系解析式;(2)售报亭记录了100天报纸的日需求量,整理得下表:日需求量24252627282930①假设售报亭在这100天内每天都购进280份报纸,求这100天的日平均利润;②若售报亭一天购进280份报纸,以100天记录的各需求量的频率作为各销售量发生的概率,求当天的利润不超过100元的概率.解:(1)当x≥280时,y=280×(1-0.6)=112;2分当x<280时,y=(1-0.6)x-0.5×(280-x)=0.9x-140.4分综上,y=x∈N*.6分(2)①这100天中每天利润76元的有10天,每天利润85元的有20天,每天利润94元的有16天,每天利润103元的有16天,每天利润112元的有38天.所以这100天的日平均利润为=98.68(元).9分②利润不超过100元,即当且仅当报纸日需求量不大于260份.故当天的利润不超过100元的概率为P=0.1+0.2+0.16=0.46.12分17.(本小题满分12分)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).(1)某某验室这一天的最大温差;(2)若要某某验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?解:(1)因为f(t)=10-2=10-2sin,又0≤t<24,所以≤t+<,-1≤sin≤1.当t=2时,sin=1;当t=14时,sin=-1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.(2)依题意,当f(t)>11时实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin,故有10-2sin>11,即sin<-.又0≤t<24,因此<t+<,即10<t<18.在10时至18时实验室需要降温.18.(本小题满分12分)(2014某某某某某某某某第二次调研,19)已知在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=2,且底面ABCD是边长为1的正方形.E是最短的侧棱PC上的动点.(1)求证:P,A,B,C,D五点在同一个球面上,并求该球的体积;(2)如果点F在线段BD上,DF=3BF,且EF∥平面PAB,求的值.(1)证明:设PA的中点为M,连接AC,CM,则△PAC为直角三角形,∴CM=PM=AM=.设正方形ABCD的中心为点O,连接OM,则OM∥PC,OM=1.∵PC⊥底面ABCD,∴OM⊥底面ABCD.又O为BD的中点,连接BM,DM.则BM=DM==,∴CM=PM=AM=BM=DM,故点P,A,B,C,D在以M为球心,半径为的球上,且V球M=π=π.6分(2)解:连接CF并延长交AB于K,连接PK.∵EF∥平面PAB,EF⊂平面PCK,平面PCK∩平面PAB=PK,∴EF∥PK.∵DF=3BF,又AB∥CD,∴CF=3KF.9分∵EF∥PK,∴CE=3PE,∴=.12分19.(本小题满分12分)(2014高考,文15)已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3.所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).6分(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为1×=2n-1.所以,数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.12分20.(本小题满分13分)(2014某某某某适应性监测,20)如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.(1)求抛物线E的方程;(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,以PQ为直径的圆是否恒过y轴上某定点M,若存在,求出M的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)依题意|OB|=8,据对称性知∠BOy=30°.设点B(x,y),则x=8×sin 30°=4,y=8×cos 30°=12,3分所以B(4,12)在抛物线上,所以(4)2=2p×12,解得p=2,抛物线E的方程为x2=4y.6分(2)设点P(x0,y0)(x0≠0),因为y=x2,y'=x,直线l的方程为y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由得所以Q.8分设满足条件的定点M存在,坐标为M(0,y1),所以=(x0,y0-y1),=.又因为·=0,所以-y0-y0y1+y1+=0,又y0=(x0≠0),联立得(+y1-2)+(1-y1)y0=0,由于此式对满足y0=(x0≠0)的y0恒成立,所以解得y1=1,故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M(0,1).13分21.(本小题满分14分)(2014某某某某中学第二次调研,21)已知函数f(x)=xln x,g(x)=(-x2+ax-3)e x(a为实数).(1)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程;(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;(3)若存在两个不等实根x1,x2∈,使方程g(x)=2e x f(x)成立,某某数a的取值X围.解:(1)当a=5时,g(x)=(-x2+5x-3)e x,g(1)=e.1分g'(x)=(-x2+3x+2)e x,故切线的斜率为g'(1)=4e.2分所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.4分(2)f'(x)=ln x+1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:6分①当t≥时,在区间[t,t+2]上f(x)为增函数.所以f(x)min=f(t)=tln t.7分②当0<t<时,在区间上f(x)为减函数,在区间上f(x)为增函数, 所以f(x)min=f=-.8分(3)由g(x)=2e x f(x)可得,2xln x=-x2+ax-3,9分a=x+2ln x+,令h(x)=x+2ln x+,则h'(x)=1+-=.当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:10分h=+3e-2,h(1)=4,h(e)=+e+2,h(e)-h=4-2e+<0,11分故实数a的取值X围为4<a≤e+2+.14分。

绝密★启用前【赢在高考•黄金20卷】备战2021高考数学全真模拟卷（山东高考专用）第四模拟（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知集合{|A x y ==，2{|ln(1)}B y y x ==+，则A B =（ ） A ．[1-，)+∞B ．[0，)+∞C ．(1,0)-D ．[1-，0] 【答案】A【详解】可以求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可.解：{|1}A x x =-，{|0}B y y =，[1A B ∴⋃=-，)+∞.2．已知12z t i =+，212z i =-，若12z z 为实数，则实数t 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．14D ．－14【答案】D【详解】 12z t i =+，212z i =-，()()()()()12212224121212125t i i t t i z t i z i i i ++-+++∴===--+， 又12z z 为实数，410t ∴+=，即14t =-.故选D. 3．已知命题:0,p x ∃>20x ≥，则p ⌝为（ ）A ．00,x ∃>200x <B ．0,x 20x <C ．00,x ∃≤200x <D ．0,x ∀≤20x <【答案】B【详解】p ⌝：0,x 20x <．4．已知非零向量a b ，满足4b a ＝，且2)+(a a b ⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．3B ．2C ．23πD ．56π 【答案】C【详解】 2()()20++2+20a a a b a a b a b ⊥∴⋅∴⋅，＝，＝， 即220cos a a a b b +〈，〉＝.24240b a a a cos a b ∴+＝，〈，〉＝，12cos ,,,23a b a b π∴〈〉=-∴〈〉=. 5．我国的5G 通信技术领先世界，5G 技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon ）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C 的公式2log 1S C W N ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，其中W 是信道带宽（赫兹），S 是信道内所传信号的平均功率（瓦），N 是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中SN叫做信噪比．根据此公式，在不改变W 的前提下，将信噪比从99提升至λ，使得C 大约增加了60%，则λ的值大约为（ ）（参考数据：0.210 1.58≈）A ．1559B ．3943C ．1579D ．2512【答案】C【详解】 由题意得：()()()222log 1log 19960%log 199W W W λ+-+≈+， 则()22log 1 1.6log 100λ+≈， 1.6 3.230.211001*********λ+≈==⋅≈， 1579λ∴≈6．重庆奉节县柑橘栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚､脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果､中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径(单位：mm )服从正态分布()280,5N ，则果实横径在[)75,90的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=；()220.9545P X μσμσ-<<+=.A ．0.6827B ．0.8413C ．0.8186D ．0.9545 【答案】C【详解】由题得5σ=，()8058050.6827P X -<<+=，所以()75850.6827P X <<=，()801080100.9545P X -<<+=，所以()70900.9545P X <<=，所以()0.95450.682785900.13592P X -<<==， 所以果实横径在[)75,90的概率为0.68270.13590.818+=.7．已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43 B C D ．2【答案】B【详解】 双曲线的渐近线方程为by x a =±，如图，不妨设,A B 在第一象限，直线l 的方程为()b y x c a =--，与22221x y a b -=联立，得32A b y ac =；直线l 与by x a =联立，得2B bcy a =．由||2||FB FA =，得2B A y y =，即3222bc b a ac =⨯，得222c b =，即222c a =，则e =故选：B ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +【答案】C【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+，()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．Keep 是一款具有社交属性的健身APP ，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案.Keep 可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程.不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划.小明根据Keep 记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A ．月跑步里程最小值出现在2月B ．月跑步里程逐月增加C ．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数D ．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小【答案】ACD【详解】由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A 正确；月跑步平均里程不是逐月增加的，故B 不正确；月跑步里程数从小到大排列分别是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C 正确；1月到5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化比较平稳，故D 正确.10．已知a 、b 均为正实数，则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．3a b++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭C 22a b≥+ D ≥【答案】AD 【详解】对于A，3a b+≥≥<，当且仅当2a b==时等号同时成立；对于B，()11224a ba ba b b a⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当a b=时取等号；对于C()2222a b a ba ba b++≥≥=++，当且仅当a b=时取等号；对于D，当12a=，13b=1===><.11．如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数()()sin0y A x Bωϕϕπ=++<<，则下列说法正确的是（）A ．该函数的周期是16B ．该函数图象的一条对称轴是直线14x =C ．该函数的解析式是()310sin 2061484y x x ππ⎛⎫=++≤≤ ⎪⎝⎭D ．该市这一天中午12时天气的温度大约是27C【答案】ABD【详解】对于A 选项，由图象可知，该函数的最小正周期为()214616T =⨯-=，A 选项正确；对于B 选项，该函数在14x =取得最大值，所以，该函数图象的一条对称轴是直线14x =，B 选项正确；对于C 选项，由图象可得3010A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得1020A B =⎧⎨=⎩，22168T πππω===， 图象经过点()14,30，3010sin 14208πϕ⎛⎫∴=⨯++ ⎪⎝⎭，7sin 14πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭. 0ϕπ<<，7711444πππϕ∴<+<，则7542ππϕ+=，34πϕ∴=， 所以，函数解析式为()310sin 2002484y x x ππ⎛⎫=++≤≤⎪⎝⎭，C 选项错误；当12x =时，310sin 1220102027842y ππ⎛⎫=⨯++=⨯+≈ ⎪⎝⎭，故D 选项正确. 12．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，,E F 分别是棱,AA CC ''的中点，过直线EF 的平面分别与棱,BB DD ''交于,M N ，设(),0,1BM x x =∈，则正确的说法是（ ）A ．四边形MENF 为平行四边形B ．若四边形MENF 面积()(),0,1S f x x =∈，则()f x 有最小值C ．若四棱锥A MENF -的体积()(),0,1V p x x =∈，则()p x 是常函数D ．若多面体ABCD MENF -的体积1(),,12V h x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则()h x 为单调函数 【答案】ABC【详解】∵平面//ADD A ''平面,//BCC B EN MF ''∴，同理//FN EM ，所以四边形MENF 为平行四边形，故A 正确；若四边形MENF 面积1(),2S f x EF MN M ==⋅⋅为BB '中点时，即12x =时，MN 是短，此时面积最小，故B 正确；连接,,AF AM AN ，则四棱锥分割为两个小棱锥，它们是以AEF 为底，以,M N 为顶点的两个小棱锥，因为AEF 的面积是个常数，,M N 到平面AEF 的距离和是个常数，所以四棱锥A MENF -的体积()V P x =是常函数，故C 正确；多面体ABCD MENF -的体积11()22ABCD A B CD V h x V '''-===为常数函数，故D 错误. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭______________. 【答案】13- 【详解】1tan 121tan 41tan 123πααα--⎛⎫-===- ⎪++⎝⎭， 14．在数列{a n }中，已知211232,1,3n n n a a a a a ++=-==，则数列{a n }的通项公式a n =________ .【答案】21n -【详解】解：将2132n n n a a a ++=-两边同时减去1n a +得， ()211212,2n n n n a a a a a a +++-=--=，2112n n n na a a a +++-=-， 即{}1n n a a +-是等比数列，其首项为2，公比为2，所以()112122n n n n a a a a -+-=-=，从而当n ≥2时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()n121122221=12n n --⨯-=++++-21n =-.又1121a ==-，故21n n a =-15．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，1PA AB AD ===，BC CD BD ===，则四棱锥的外接球的表面积为_________.【答案】5π【详解】1AB AD ==，BD =222cos 2AB BD BD ABD AB BD +-∠==⋅，30ABD ∴∠=，BC CD BD ===60CBD ∴∠=，则90ABC ∠=，同理可知90ADC ∠=，AB BC ∴⊥，AD CD ⊥，∴四边形ABCD 的外接圆半径为12AC r ==，PA ⊥平面ABCD ，所以，该四棱锥的外接球半径为R ==， 因此，四棱锥的外接球的表面积为245R ππ=.故答案为：5π.16．如图，1A ，2A 分别是双曲线()22:10y C x a a -=>的左、右顶点，以实轴为直径的半圆交其中一条渐近线于点M ，直线2MA 交另一条渐近线于点N ，若1MA ∥NO ，则a =__________，若2F 为双曲线右焦点，则2MF O △的周长为__________.【答案】3 3+【详解】由已知，21OA =，渐近线方程为y =，则2tan A ON ∠=2cos A ON ∠=， ，所以22cos ON OA A ON =∠=,又1MA ∥NO ，O 为中点，所以12MA NO ==12MOA NOA ∠=∠，所以1cos MOA ∠=，在1MOA 中，由余弦定理可得22211112cos MA MO AO MO AO MOA =+-⋅∠，即41121a =+-+，解得 3a =，所以11cos 3MOA ∠=，2(2,0)F ，22F O =，在2MOF 中，由余弦定理可得2MF ====2MF O △的周长为123+=四．解答题：本小题共6小题，共70分。

【赢在高考·黄金20卷】备战2022年高考数学模拟卷（新高考专用）二轮拔高卷03(本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟)一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}sin ,M y y x x ==∈R ∣，{}2,x N y y x ==∈R ∣，则M N =（ ）A ．[)1,-+∞B ．[)1,0-C ．[]0,1D ．(]0,1【答案】D 【详解】[]sin 1,1y x =∈-，所以[]1,1M =-，()0,2x y ∈=+∞，所以()0,N =+∞，故MN =(]0,1故选：D2．已知12z i =-，则5iz=（ ） A ．2i -+ B ．2i - C ．105i - D ．105i -+【答案】A()()()5i 12i 5i 5i 2i 12i 12i 12i z +===-+--+， 故选：A.323（ ） A 6 B ．23πC 3D ．43π【答案】D设圆锥的母线为l ，高为h ，由题意可知，圆锥的底面半径为2r =圆锥的侧面积为21232S rl r ππ=⋅侧，所以6l故222h l r -=，所以该圆锥的体积为21433V r h ππ==，故选：D.4．直线2x y +=与圆()()22236x y -+-=交于A 、B 两点，则AB =（ ） A ．32B 6C 6D ．3【答案】B圆心()2,3到直线2x y +=的距离为222323211d +-=+ 圆()()22236x y -+-=的半径为6r = 又2296622AB r d =--，故6AB 故选：B.5．已知()f x 为偶函数，且函数()()g x xf x =在[)0,∞+上单调递减，则不等式()()11x f x --()220xf x +>的解集为（ ）A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),1-∞-C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,-+∞【答案】B 【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()g x xf x =为奇函数，又()g x 在[)0,∞+上单调递减，所以()g x 在R 上单调递减，所以由()()()11220x f x xf x --+>，得()()()11220x f x xf x --+>， 即()()120g x g x -+>，()()()122g x g x g x ->-=-， 所以12x x -<-，得1x <-，即(),1x ∈-∞-. 故选：B.6．假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．14种 C ．12种 D ．10种【答案】B解：先将4名同学分为两组，两组人数为可能为1,3人或2,2人，当两组人数为1,3时，有13434C C =种方案，当两组人数为2,2时，有2242223=C CA 种方案，所以将4名同学分为两组，共有7种方案，再将两组同学分配到两个文明实践站，有222A =种，所以根据乘法原理得共有7214⨯=种不同的方法. 故选：B7．长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB AD AA ===，E 为棱1AA 上的动点，平面1BED 交棱1CC 于F ，则四边形1BED F 的周长的最小值为（ ）A ．43B ．213C ．25)D ．242+【答案】B解：将长方体展开，如图所示：当点E 为1BD 与1AA 的交点，F 为1BD 与1CC 的交点时，截面四边形1BED F 的周长最小， 最小值为221222(12)213BD =++ 故选：B ．8．已知()42e ,4(16)143,4x xf x x x -⎧≤=⎨-->⎩，则当0x ≥时，()2x f 与()2f x 的大小关系是（ ） A ．()()22x f f x ≤B ．()()22x f f x ≥C ．()()22x f f x =D ．不确定 【答案】B 【详解】解：由函数()42e ,4(16)143,4x x f x x x -⎧=⎨-->⎩， 得函数()f x 在(),4∞-上递增，在()4,16上递减，在()16,+∞上递增， 作出函数2x y =和2yx 的图像，如图所示，令22x x =，得2x =或4，结合图像可知，当02x ≤<时，2420x x >>≥，则()()22x f f x >，当24x ≤≤时，24216x x ≤≤≤，则()()22x f f x ≥，当4x >时，2216x x >>，则()()22x f f x >，综上所述，当0x ≥时，()()22x f f x ≥.故选：B.二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若函数()cos2sin f x x x =+，则关于()f x 的性质说法正确的有（ ） A ．偶函数B ．最小正周期为πC ．既有最大值也有最小值D ．有无数个零点【答案】CDA ：因为()()cos(2)sin()cos2sin f x x x x x f x -=-+-=-≠，所以该函数不是偶函数，因此本选项说法不正确；B ：因为()cos[2()]sin()cos2sin ()f x x x x x f x πππ+=+++=-≠，所以该函数最小正周期不是π，因此本选项说法不正确；C ：因为()2219cos2sin 12sin sin 2(sin )48f x x x x x x =+=-+=--+，当1sin 4x =时，该函数有最大值，当sin 1x =-时，该函数有最小值，因此本选项说法正确；D ：()cos2sin 0f x x x =+=，则有212sin sin 0x x -+=，解得sin 1x =，或1sin 2x =-，即()x k k Z π=∈，或72()6x k k Z ππ=+∈，或112()6x k k Z ππ=+∈，因此本选项说法正确， 故选：CD10．已知12,F F 为椭圆22:13xC y +=的左､右焦点，直线(0)y kx k =>与椭圆C 交于,A B 两点，过点A 向x 轴作垂线，垂足为E ，则（ ） A ．椭圆C 6 B ．四边形12AF BF 的周长一定是43C ．点E 与焦点重合时，四边形12AF BF 的面积最大 D ．直线BE 的斜率为12k【答案】ABD由C 的方程可得离心率为3163e -，故A 正确； 由椭圆定义可知，12223AF AF a +==12223BF BF a +== 所以四边形12AF BF 的周长一定是43B 正确； 四边形12AF BF 的面积1212121222222AF F BF F AF F S SSScb =+=<⨯⨯=当点E 与焦点重合时，23b AE a ==此时四边形12AF BF 的面积1226222AF F S S ==<故C 错误；设()11,A x y ，故()11,B x y --，则()1111,0,22BE y E x k k x ==，故D 正确. 故选：ABD11．已知(),P x y 为曲线2x y = ） A 22(1)x y +-1B ．存在一个定点和一条定直线，使得P 到定点的距离等于P 到定直线的距离C ．P 到直线2y x =--2D 2222(1)(1)(5)x y x y +--+-6【答案】ABD 【详解】由2x y =()240x y x =≥，则曲线2x y =24x y =的右半部分(含原点).因为抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，准线为l ：1y =-，所以B 正确，22(1)1x y PF +-=≥，A 正确，原点到直线2y x =--2，数形结合可知，原点到直线2y x =--的距离是最短距离，C 错误.设点()1,5A 到准线l ：1y =-的距离为d ，P 到准线l ：1y =-的距离为1d ， 2222(1)(1)(5)x y x y PF PA +--+-=+1516d PA d =+≥=+=，D 正确. 故选：ABD12．对于正整数(),n n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目.函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如()96ϕ=，则（ ）A ．()777log 76log 6ϕ=+ B ．数列(){}3nϕ为等比数列C ．数列(){}2n ϕ单调递增D ．数列()2nnϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和恒小于4 【答案】ABD 【详解】因为7为质数，所以与77不互质的数为7，14，21，…，77，共有76777=个，所以()()776777log 7log 776log 6ϕ=-=+，故A 正确；因为与3n 互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，32n -，31n -，共有11(31)323n n ---⋅=⋅个，所以()1323n n ϕ-=⋅，则数列(){}3n ϕ为等比数列，故B 正确；因为()21ϕ=，()42ϕ=，()62ϕ=，所以数列(){}2n ϕ不是单调递增数列，故C 错误； 因为()122n n ϕ-=，所以()11122222nn ni i ii i i i i iϕ=====∑∑∑. 设21122222nn in i i n S ===+++∑，则231112122222nn n n nS +-=++++， 所以1231111111121222112222222212n n n n n n n n n S ++++-+=++++-=-=--，所以222n n n S +=-，从而数列()n⎪⎪⎩⎭的前n 项和为122442n n n S -+=-<，故D 正确.故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．抛物线22(0)y px p =>上一点(3,)M t 与焦点F 的距离||MF p =，则M 到坐标原点的距离为___________. 【答案】35【详解】抛物线22y px =的准线为：2p x =-，由抛物线定义得：3()2pp --=，解得6p ，抛物线方程为212y x =，而(3,)M t 在抛物线上，则236t =，原点为O ，即有22||335MO t +=所以M 到坐标原点的距离为35. 故答案为：3514．22244x x x+++的最小值为___________.【答案】9 【详解】因为2222244452459x x x x x+++=++≥=，当且仅当224x x =，即22x =时，等号成立，所以22244x x x+++的最小值为9.故答案为：915．已知向量()12,1a m =-，向量()31,2b m =+，若//a b ，则实数m =___________. 【答案】17因为//a b ，所以3124m m +=-，所以17m =. 故答案为：17.16．已知：若函数()(),f x g x 在R 上可导，()()f x g x =，则f x g x .又英国数学家泰勒发现了一个恒等式22012e x nn a a x a x a x =+++++，则0a =___________，1011n n na na +==∑___________. 【答案】 1 2011##9111【详解】解：因为22012e x n n a a x a x a x =+++++，令0x =，即00e a =，所以01a =；()()221121e 2e21xxn n n n a a x na x n a x -+'==++++++又220122e 2222x n n a a x a x a x =+++++，所以()121n n a n a +=+，所以121n n a a n +=+，所以()1211211n n a n n n n na +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭所以10101111111120212231011121111n n n n a nn na +==⎛⎫==--+-+⎛⎫+-⎪ =⎝⎝⎭⎪+⎭∑∑ 故答案为：1；2011四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．从①sin sin D A =；②3ABCBCDS S=；③4DB DC ⋅=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答.已知点D 在ABC 内，cos cos ,6,4,2A D AB AC BD CD >====，若___________，求ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】63【详解】 解：选择①，因为点D 在ABC 内，sin sin D A =，cos cos A D >， 所以A D π+=，所以cos cos D A =-，由余弦定理得222222cos 2cos BC DB DC DB DC D AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⋅⋅， 即16416cos 361648cos A A ++=+-，解得1cos 2A =， 又()0,A π∈，所以3A π=，所以1sin 632ABCSAB AC A =⋅⋅= 选择②， 因为3ABCBCDSS=，所以11sin 3sin 22AB AC A DB DC D ⋅⋅=⨯⋅⋅，所以sin sin D A =，又因为点D 在ABC 内，cos cos A D >， 所以所以A D π+=，所以cos cos D A =-，由余弦定理得222222cos 2cos BC DB DC DB DC D AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⋅⋅， 即16416cos 361648cos A A ++=+-，解得1cos 2A =， 又()0,A π∈，所以3A π=，所以1sin 632ABCSAB AC A =⋅⋅= 选择③，因为4cos D D D B DC B DC ⋅⋅=-=，所以1cos 2D =-，在BCD △中 ，22212cos 164242282BC DB DC DB DC D ⎛⎫=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，在ABC 中，2223616281cos 22642AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，又()0,A π∈，所以3A π=，所以1sin 632ABCSAB AC A =⋅⋅=18．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，2n S n =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =- (2)21n n T n =+ 【解析】 【分析】（1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .（2）利用裂项求和法求得n T . (1)当2n 时，由2n S n =，得21(1)n S n -=-，则221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-.当1n =时，有111S a ==，符合上式.综上，21n a n =-. (2)由（1）得，()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭，则11111111121335572121n T n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 19．某车间打算购买2台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个100元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个300元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数m 的分布列为m5 6 7P0.3.0.50.2X 表示2台设备使用期间需更换的零件数，n 代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数. (1)求X 的分布列；(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在11n =和12n =中，应选哪一个？ 【答案】(1)答案见解析； (2)应选择12n =. 【解析】 【分析】(1)由每台设备需更换零件个数的分布列求出X 的所有可能值，并求出对应的概率即可得解. (2)分别求出11n =和12n =时购买零件所需费用的期望，比较大小即可作答. (1)X 的可能取值为10，11，12，13，14，(10)0.30.30.09P X ==⨯=，(11)20.30.50.3P X ==⨯⨯=，(12)20.30.20.50.50.37P X ==⨯⨯+⨯=，(13)20.50.20.2P X ==⨯⨯=， (14)0.20.20.04P X ==⨯=，则X 的分布列为：X10 11 12 13 14 P0.090.30.370.20.04(2)记1Y 为当11n =时购买零件所需费用，()11100(11)0.39P Y P X ==≤=元，()11400(12)0.37P Y P X ====元， ()11700(13)0.2P Y P X ====元，()12000(14)0.04P Y P X ====元， ()111000.3914000.3717000.220000.041367E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=元，记2Y 为当12n =时购买零件所需费用，()21200(12)0.76P Y P X ==≤=元，()21500(13)0.2P Y P X ====元， ()21800(14)0.04P Y P X ====元，()212000.7615000.218000.041284E Y =⨯+⨯+⨯=元，显然()()12E Y E Y >，所以应选择12n =.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12BC AB AD ==，3PA PD ==，Q 为AD 的中点．(1)求证：AD PC ⊥；(2)若平面PAD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PC 上，2PE EC =，且二面角E BQ C --的大小为45︒，求四棱锥P ABCD -的体积．【答案】(1)证明见解析36【解析】 【分析】（1）连接QC ，可证得四边形BCQA 为平行四边形，进而证明CQ AD ⊥，又由等腰PAD △三线合一可证得PQ AD ⊥，则AD ⊥平面PCQ ，故AD PC ⊥得证.（2）几何法：作出二面角E BQ C --的平面角EGH ∠，由45EGH ∠=︒得等腰直角EGH ，将两直角边EH 和GH 分别用PQ 和AQ 表示，求出AB 的值，根据棱锥的体积公式，则可求出四棱锥P ABCD -的体积；向量法：根据题中的条件，建立空间直角坐标系，设BC a =，将相关点的坐标表示出来，求出平面EBQ 和平面BQC 的法向量，根据二面角的向量计算方法，求出a 的值，最后根据棱锥的体积公式，求出四棱锥P ABCD -的体积. (1)证明：连接QC ， 因为1,2AD BC BC AD =∥，Q 为AD 的中点， 所以四边形BCQA 为平行四边形，所以BC AQ ∥， 因为90ABC ∠=︒，所以90AQC ∠=︒，即CQ AD ⊥， 因为PA PD =，Q 为AD 的中点，所以PQ AD ⊥ 所以AD ⊥平面PCQ ，因为PC ⊂平面PCQ ，所以AD PC ⊥．(2)解：因为PA PD =，Q 为AD 的中点，所以PQ AD ⊥， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =， 所以PQ ⊥平面ABCD ，过点E 作EH PQ ∥交CQ 于点H ，过点H 作HG BQ ⊥交BQ 于点G ，连接EG ，则EGH ∠为二面角E BQ A --的平面角，由已知得45EGH ∠=︒， ∴在直角EHG 中，EH GH =，由于1222,33EH PQ GH AQ AQ ===，故2PQ =．设12BC AB AD a ===292a a -，所以3a =故四棱锥P ABCD -的体积为1136(323)3632V =⨯⨯=法2：因为PA PD =，Q 为AD 的中点，所以PQ AD ⊥， 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =， 所以PQ ⊥平面ABCD ．所以以Q 为原点，以,,QA QC QP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴 建立空间直角坐标系，令BC a =，如图：221(0,0,0),(,0,0),0,9,33Q A a E a a ⎛- ⎝(,,0),(0,,0)B a a C a ，所以2210,933QE a a ⎛=- ⎝，又(,,0)QB a a =，设平面EBQ 的法向量为(,,)m x y z =，则0,0,m QE m QB ⎧⋅=⎨⋅=⎩所以22190,330,a y a z a x a y ⎧⋅-=⎪⎨⎪⋅+⋅=⎩ 所以平面MBQ 的法向量为21,9m a ⎛=- -⎝，由题意知平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =， 因为二面角M BQ C --为45︒，所以22229cos45||||2110019m na m n a a ⋅-︒===⋅⎛⎫++⋅++ ⎪-⎝⎭，解得3a =132BC AB AD === 所以四棱锥P ABCD -的体积为1136(323)3632V =⨯⨯=21．已知双曲线C 的渐近线方程为3y x =，且过点2)P. (1)求C 的方程；(2)设(1,0)Q ，直线()x t t =∈R 不经过P 点且与C 相交于A ，B 两点，若直线BQ 与C 交于另一点D ，求证：直线AD 过定点.【答案】(1)2213x y -=(2)见解析 【解析】 【分析】（1）可设双曲线的方程为()22930x y λλ-=≠，将点2)P 代入求出λ，即可得解；（2）可设直线BQ 为1x my =+，()()()112211,,,,,B x y D x y A x y -，联立22131x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消x ，利用韦达定理求得1212,y y y y +，然后求出直线AD 的方程，整理分析即可得出结论. (1)解：因为双曲线C 的渐近线方程为3y x =， 则可设双曲线的方程为()22930x y λλ-=≠，将点2)P 代入得9293λ-=，解得13λ=，所以双曲线C 的方程为2213x y -=；(2)解：显然直线BQ 的斜率不为零，设直线BQ 为1x my =+，()()()112211,,,,,B x y D x y A x y -， 联立22131x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消x 整理得()223220m y my -+-=，依题意得230m -≠且()224830m m ∆=+->，即22m >且23m ≠，12122222,33m y y y y m m +=-=---， 直线AD 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--， 令0y =， 得()211121x x y x xy y -=++122121x y x y y y +=+()()12212111my y my y y y +++=+()1212212my y y y y y ++=+2222223323mm m m m m -⋅---=-- 226323m m m --=-- 3=.所以直线AD 过定点()3,0.22．设函数()323ln 2,f x x x ax ax a =-++-∈R .(1)求函数()f x 在1x =处的切线方程；(2)若12,x x 为函数()f x 的两个不等于1的极值点，设()()()()1122,,,P x f x Q x f x ，记直线PQ 的斜率为k ，求证：122k x x +<+. 【答案】(1)1y a =- (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出()1f ，即可求出切点坐标，从而求出切线方程；（2）首先求出函数的导函数，依题意()233230x a x +++=在()0,∞+上有两个不等于1的正根，即可得到韦达定理，不妨设12x x <，所以1201x x <<<，根据两点斜率公式得到()()2212121213ln12232x x k x x x x x x =+++---+，即证()()2212121211403ln 122xx x x x x x x +++---+<，根据对数平均不等式可得212121l 63nx x x x x x -<-+-，只需证明()()22121216140221x x x x x x -+++++-<，令21x x t +=，依题意即证328120t t t ++-<-，()2,t ∈+∞，再构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得证； (1)解：因为()323ln 2,f x x x ax ax a =-++-∈R ，所以()3213ln111211f a a a =-++⨯-⨯=-，()23322f x x ax a x'=-++-，所以()10f '=，所以切点为()1,1a -，切线的斜率0k =，所以切线方程为1y a =- (2)解：因为()()()23221332333223322x x a x x ax ax f x x ax a x x x⎡⎤-++++--⎣⎦'=-++-==因为12,x x 为函数()f x 的两个不等于1的极值点，所以()233230x a x +++=在()0,∞+上有两个不等于1的正根，所以()21212Δ3236032031a a x x x x ⎧=+->⎪+⎪+=->⎨⎪⋅=⎪⎩，所以92<-a ，不妨设12x x <，所以1201x x <<<，所以()()()2323222211112121213ln 23ln 2x x x x x x x x f x f x k a x x x a a a x -++--+=+--=--- ()()()()()2222122112121211213ln 2a a x x x x x x x x x x x x x x x x -+=-+++-+---()()221212121213ln2a x x x x x x x x x x a =++-+---+ ()()()()222121212121213323ln3123x x x x x x x x x x x x =--++--+++-++ ()()2212121213ln12232x x x x x x x x =+++---+ 要证122k x x +<+即证()()222121211123ln122232x x x x x x x x x x -+--+<++++， 即()()2212121211403ln122x x x x x x x x +++---+<，令2(1)()ln ,(1)(1)x g x x x x -=->+，则22214(1)()(1)(1)x g x x x x x -'=-=++，所以当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0g x g >=，即2(1)ln 0(1)x x x -->+，所以ln 211x x x >-+在(1,)+∞上恒成立，因为1201x x <<<，所以211x x >，所以212211ln211x x x x x x >-+，即21212111ln2x x x x x x x x >-+， 即212121l ln 2n x x x x x x ->-+，所以212121l 63n x x x x x x -<-+-， 下面只需证明()()22121216140221x x x x x x -+++++-<，令21x x t +=，因为211x x ⋅=，所以121x x =，所以1222221122x x x x x x +=+>⋅=，所以2t >， 即证21142260t t t --+<+，()2,t ∈+∞， 即证328120t t t ++-<-，()2,t ∈+∞，令()32812g t t t t =-++-，()2,t ∈+∞，()()()23283420g t t t t t '=-++=-+-<，所以()g t 在()2,+∞上单调递减，所以()()20g t g <=，得证；。

【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷05考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题1．设x R ∈，则“12x <<”是“22x -<<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】A【分析】根据集合{|12}x x <<是集合{|22}x x -<<的真子集可得答案.【详解】因为集合{|12}x x <<是集合{|22}x x -<<的真子集，所以“12x <<”是“22x -<<”的充分不必要条件.故选：A【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．2．复数20492z i =-+的共轭复数z =（）A ．122i +B ．122i -C ．2i--D ．2i-+3．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位得到函数()cos 2g x x =的图象，则ϕ的最小值是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π试卷第2页，共21页4．函数()2e ef x x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．于（）A ．3384AB AD+B ．3182AB AD+C ．1324AB AD+D ．1348AB AD+中国女排加油.现该平台欲利用随机数表法从编号为01、02、…、25的号码中选取5个幸运号码，选取方法是从下方随机数表第1行第24列的数字开始，从左往右依次选取2个数字，则第5个被选中的号码为（）82472368639317901269868162935060913375856139850632359246225410027849821886704805468815192049A ．09B ．13C ．23D ．24【答案】C【分析】根据随机数表中的取数原则可得选项.【详解】根据题意及随机数表可得5个被选中的号码依次为16,06,09,13,23.所以第5个被选中的号码为23.故选：C.7．已知函数||2()32x f x x =++，则(21)(3)f x f x ->-的解集为（）A ．4(,)3-∞B ．4(,)3+∞C ．4(2,3-D ．4(,2)(,)3-∞-⋃+∞试卷第4页，共21页其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线经过图2中的A ，B 两点反射后，分别经过点C 和D，且3cos 5BAC ∠=-，AB BD ⊥，则E 的离心率为（）AB C D 设2||BF m =，则1||2BF a m =+，显然有231||24AF a m =-，因此，1||2|AF a =+9．已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =试卷第6页，共21页当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接()()22052534BM =-+-=，MP =CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 的圆一点P 到直线l 的距离的取值范围是[d -10．如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为元件流能通过元件1，元件2的概率都是p ，电流能通过元件3，元件4的概率都是0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知元件1，元件2中至少有一个能通过电流的概率为0.96，则（）A ．45p =B ．元件1和元件2恰有一个能通的概率为425C ．元件3和元件4都通的概率是0.81D ．电流能在M 与N 之间通过的概率为0.9504则电流能在M 与N 之间通过的概率为0.960.990.9504⨯=，故D 正确.故选：ACD.11．如图，正方体1111ABCD AB C D -的棱长为1，P 是线段1BC 上的动点，则下列结论中正确的是（）A ．1AC BD ⊥B ．1A P 的最小值为2C ．1//A P 平面1ACD D ．异面直线1A P 与1AD ，所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦试卷第8页，共21页是减函数，且y xf x =是增函数，则称y f x =在区间I 上是“弱减函数”.根据定义可得（）A ．()1f x x=在()0,∞+上是“弱减函数”B ．()e xxf x =在()1,2上是“弱减函数”C ．若()ln xf x x=在(),m +∞上是“弱减函数”，则e m ≥D ．若()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是“弱减函数”，则213k ππ≤≤三、填空题13．在nx ⎛⎝的展开式中，二项式系数之和与各项系数之和比为1:64，则展开式的常数项为______．【答案】1215【分析】根据二项式定理可知各项系数和为4n ，二项式系数和为2n ，可求出6n =，然后在判断展开式的常数项.试卷第10页，共21页n 1，1n n +=+，那么这个数列的通项公式是______．【答案】32n a n =+【分析】根据给定条件，判定数列{}n a 是等差数列，再求出通项公式作答.【详解】数列{}n a 中，因13n n a a +=+，即13n n a a +-=，因此，数列{}n a 是等差数列，公差d =3，所以数列{}n a 的通项公式是1(1)32n a a n d n =+-=+.故答案为：32n a n =+15．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则ac的取值范围是______．【点睛】关键点点睛：应用正弦定理边角关系及锐角三角形性质，求角A 、C 的关系及A 的范围，最后由边角关系求范围.16．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，给出以下命题：①异面直线1C P 与1B C 所成的角不为定值；②平面1A CP ⊥平面1D B C ；③三棱锥1D BPC -的体积为定值；④1B C 与平面1BPC 垂直．其中真命题的序号为__________．【答案】②③④【分析】①由11B C BC ⊥，1AB B C ⊥，推出1B C ⊥平面11ABC D ，知11B C C P ⊥；②由1AA BD ⊥，AC BD ⊥，推出BD ⊥平面1A AC ，知1BD A C ⊥，同理可得11BC A C ^，进而证得1A C ⊥平面1DB C ，得解；③由11//AD BC ，知1//AD 平面1DB C ，有11P DBC A DBC V V V --==为定值；④根据①中的证明，即可得解．【详解】解：①11B C BC ⊥Q ，1AB B C ⊥，且1BC AB B = ，1BC 、AB ⊂平面11ABC D ，1B C ∴⊥平面11ABC D ，1C P ⊂ 平面11ABC D ，11B C C P ∴⊥，即①错误；②1AA BD ⊥ ，AC BD ⊥，且1AA A C A = ，1AA 、AC ⊂平面1A AC ，BD ∴⊥平面1A AC ，1BD A C ∴⊥，同理可得，11BC A C ^，1BD BC B = ，BD 、1BC ⊂平面1D B C ，1A C ∴⊥平面1D B C ，1A C ⊂ 平面1A CP ，∴平面1A CP ⊥平面1D B C ，即②正确；③11//AD BC ，1AD ⊂/平面1D B C ，1BC ⊂平面1D B C ，1//AD ∴平面1D B C ，即点P 到平面1D B C 的距离等于点A 到平面1D B C 的距离，试卷第12页，共21页∴三棱锥1D BPC -的体积11P DBC A DBC V V V --==为定值，即③正确；④由①知，1B C ⊥平面11ABC D ，而平面1BPC 与平面11ABC D 是同一个平面，1B C ∴与平面1BPC 垂直，即④正确．故答案为：②③④．四、解答题17．若3sin cos 1sin 3cos αααα-=+，求：（1）tan α的值；（2）2sin cos cos sin cos ααααα++-的值．18．已知数列n a 满足16a =，()()12123423n n n n n +++=+++L ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】(1)()()12n a n n n =++试卷第14页，共21页（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.所以42(0,,),33EB m BC =--= 设(),,n x y z =r为平面EBC 的法向量，则由00EB n EC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 可求得平面EBC因为OA ⊥平面BCD ，所以EG EFG ∠为二面角E BC D --的平面角．因为45EFG ∠=︒，所以EG =由已知得1OB OD ==，故OB 又30OBC OCB ∠=∠=︒，所以努力下，我国公民率先在2020年年末开始可以使用安全的新冠疫苗，使我国的“防疫”工作获得更大的主动权，研发疫苗之初，为了测试疫苗的效果，科研人员以白兔为实验对象，进行了一些实验．（1）实验一：选取10只健康白兔，编号1至10号，注射一次新冠疫苗后，再让它们暴露在含有新冠病毒的环境中，实验结果发现，除2号、3号和7号白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，现从这10只白兔中随机抽取4只进行研究，将仍被感染的白兔只数记作X，求X的分布列和数学期望．（2）科研人员在另一个实验中发现，疫苗可多次连续注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗对白兔是否有效互相不影响，相互独立，试问，若将实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率当做疫苗的有效率，那么一只白兔注射两次疫苗能否保证有效率达到96%，如若可以请说明理由，若不可以，请问每支疫苗的有效率至少要达到多少才能满足以上要求．试卷第16页，共21页()0123 1.2621030E x =⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）因为实验一中未被感染新冠病毒的白兔的频率为0.7，所以注射一次疫苗的有效率为0.7，又因为每次注射的疫苗对白兔是否有效相互独立，所以一只白兔注射两次疫苗的有效率为：()2110.791%96%--=<，所以无法保证，设每支疫苗有效率至少达到t 才能满足要求，则()21196%t --=，解得80%t =所以每支疫苗的有效率至少要达到80%才能满足以上要求.【点睛】关键点点睛：超几何分布模型的理解：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则()()0,1,2,...,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== ，即：其中{}min ,m M n =，且,,,,n N M N n M N ≤≤∈*N ；如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布.21．抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：1x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点()2,0M ，且M 与l 相切．（1）求C ，M 的方程；（2）设123,,A A A 是C 上的三个点，直线12A A ，13A A 均与M 相切．判断直线23A A 与M 的位置关系，并说明理由．试卷第18页，共21页试卷第20页，共21页出2323,y y y y +⋅与1y 关系，把23,y y 的关系转化为用1y 表示，法二是利用相切等条件得到23A A 的直线方程为()1112130y y x x x +--+=，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路22．已知函数()3()log 91xf x kx =++是偶函数.(1)当0x ≥，函数()y f x x a =-+存在零点，求实数a 的取值范围；(2)设函数()3()log 32xh x m m =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象只有一个公共点，求实数m 的取值范围.。

【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷06考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题1．设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()U A B ⋃=ð（）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-A ．[)02，B ．()2+∞，C ．122，⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】利用根号下的数大于等于0，对数真数大于0，解得函数的定义域.【详解】由题意可得：21020x x -≥⎧⎨->⎩，解得2x >，故选：B.3．设命题0:p x ∃∈R ，2010x +=，则命题p 的否定为（）A ．x ∀∉R ，210x +=B ．x ∀∈R ，210x +≠C ．0x ∃∉R ，2010x +=D ．0x ∃∈R ，2010x +≠【答案】B【分析】根据存在命题的否定为全称命题可得结果.【详解】∵存在命题的否定为全称命题，∴命题p 的否定为“x ∀∈R ，210x +≠”，故选：B4．某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（）试卷第2页，共18页A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】由题意可得党员人数和大学生人数之和减去志愿者小组总人数，即可得结果【详解】因为志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，所以由Venn 可得既是党员又是大学生的志愿者人数为159204+-=．故选：C5．已知等差数列{}n a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意的*N n ∈，均有6n S S ≤成立，则107a a 不可能的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6则A =（）．A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD （如图），且两切线斜率之积等于916-，则椭圆的离心率为（）A ．34B ．4C ．916D ．2试卷第4页，共18页A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(1,)+∞C ．2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(e,)+∞9．设m ∈R ，i 是虚数单位，复数()()22i z m m =++-.则下列说法正确的是（）A ．若z 为实数，则2m =B ．若z 为纯虚数，则2m =-C ．当1m =时，在复平面内z对应的点为()3,1Z D ．z 的最小值为1，2，…，n （数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据13x a +，23x a +，…，3n x a +的平均数为4，则下列说法正确的是（）A ．a 的值为-2B ．乙组样本数据的方差为36C ．两组样本数据的样本中位数一定相同D ．两组样本数据的样本极差不同【答案】ABD【分析】结合平均数、方差、中位数、极差的概念以及平均数的和差倍分性质，及一组数据同时乘一个数，同时加一个数对方差的影响，逐项分析即可求出结果.【详解】由题意可知：324a ⨯+=，故2a =-，故A 正确；乙组样本数据方差为9436⨯=，故B 正确；设甲组样本数据的中位数为i x ，则乙组样本数据的中位数为32i x -，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C 错误；甲组数据的极差为max min x x -，则甲组数据的极差为()()()max min max min 32323x x x x ---=-，所以两组样本数据的样本极差不同，故D 正确；故选：ABD.11．下列说法正确的有（）A ．若12x <，则1221x x +-的最大值是1-B ．若x ，y ，z 都是正数，且2x y z ++=，则411x y z+++的最小值是3C ．若0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是2D ．若实数x ，y 满足0xy >，则22x y x y x y+++的最小值是4-【答案】ABD【分析】对于A ，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B ，根据基本不等式，结合“1”试卷第6页，共18页12．已知F 为椭圆:142x y C +=的左焦点，直线():0l y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（）A ．14AF BF+的最小值为2B ．ABE 的面积的最大值为C ．直线BE 的斜率为2kD ．∠PAB 为直角则||||||||4AF BF AF AF '+=+=，有1AF试卷第8页，共18页三、填空题13．长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14DD =，则点B 到平面11AC D 的距离为________．因为2AB AD ==，14AA =，所以(0,0,0)A 设平面11AC D 的法向量为：(,,n x y z =11(2,2,0)AC = ，1(0,2,4)A D =- 1122002400x y n A C y z n A D ⎧+=⋅=⎧⎪∴⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎩ ，令z 的夹角为60，ka b -与垂直，则k =______【答案】12##0.515．若函数()226,1f x x ax x ⎧-+≤=⎨-+>⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是______.【答案】[)2,+∞【分析】分1a =，1a <和1a >三种情况讨论，结合一次函数与二次函数的性质求出函数在对应区间的值域，再根据题意列出不等式，从而可得出答案.【详解】解：当1x >时，()()222266f x x ax x a a =-+=-+-，当1a =时，1x >，()()2222665f x x ax x a a =-+=-+->，1x ≤，()()111f x a x =-+=，则此时函数()f x 的值域不是R ，故1a =不符合题意；当1a <时，1x >，()22627f x x ax a =-+≥-+，1x ≤，()()11f x a x a =-+≥，则此时函数()f x 的值域不是R ，故1a <不符合题意；当1a >时，1x >，()()22222666f x x ax x a a a =-+=-+-≥-，1x ≤，()()11f x a x a =-+≤，因为函数()()211,1,26,1a x x f x x ax x ⎧-+≤=⎨-+>⎩的值域为R ，所以216a a a >⎧⎨-≤⎩，解得2a ≥，综上所述实数a 的取值范围是[)2,+∞.故答案为：[)2,+∞.16．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，P 为曲线上一点，1260F PF ∠=︒，12PF F △的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e ，则2e =___________.试卷第10页，共18页17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若127n S =-，求n .M 为PA 的中点，PA ＝PD ．(1)求证：PC ∥平面BMD ；(2)求二面角M －BD －P 的大小．【答案】(1)证明见解析(2)30【分析】(1)连接AC 交BD 于N ，连接.MN 由三角形中位线知MN ∥PC 即得证；(2)取AD 的中点O ，连接OP ，.ON 说明OP 、OD 、ON 两两相互垂直，则分别以OD 、ON 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.O xyz -利用向量法即可求出二面角的大小.【详解】（1）连接AC 交BD 于N ，连接.MN 在正方形ABCD 中，AC BD N ⋂=，∴N 是AC 的中点.又M 是AP 的中点，∴MN 是APC △的中位线，MN PC ∥，∵MN ⊂面BMD ，PC ⊄面BMD ，∴PC ∥平面BMD ，（2）取AD 的中点O ，连接OP ，.ON 在PAD 中，PA PD =，O 是AD 的中点，∴OP AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，OP ⊂平面PAD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，∴OP ⊥平面.ABCD 在正方形ABCD 中，O ，N 分别是AD 、BD 的中点，试卷第12页，共18页(0,0,6)P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，∴6(3,0,)2DM =- ，(2,0,6)DP =- 共分成五组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[85,90)，第4组[90,95)，第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示．且同时规定成绩小于85分的学生为“良好”，成绩在85分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试．(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人发言，那么这两人中至少有一人是“优秀”的概率是多少？(3)如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前18%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？【答案】(1)82.5(2)910(3)93【分析】（1）根据最高小长方形底边中点对应的横坐标为众数，即可得到答案；（2）先计算出5人中“良好”的学生和“优秀”的学生的人数，再计算出事件“5人中选2人”有10种可能，其中事件“至少有一人是“优秀””有9种可能，最后根据古典概型的公式即可求解；（3）由第三、四、五组的人数成等差数列和“优秀”学生的频率为0.6，列方程组求出0.04m =，0.06n =，接着判断出初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组，设为至少x 分能进入面试，由此可得(95)0.040.0250.18x -⨯+⨯=，即可求解.(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数为1(8085)82.52+=；(2)“良好”的学生频率为(0.010.07)50.4+⨯=，“优秀”学生频率为10.40.6-=；由分层抽样可得“良好”的学生有50.42⨯=人，“优秀”的学生有3人，将三名优秀学生分别记为A ，B ，C ，两名良好的学生分别记为a ，b ，则这5人中选2人的基本事件有：,,,,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ba Bb Ca Cb ab 共10种，其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：,,,,,,,,AB AC BC Aa Ab Ba Bb Ca Cb 共9种，所以至少有一人是“优秀”的概率是910P =(3)试卷第14页，共18页个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且__________．(1)求B ；(2)若D 为边AC 的中点，且3,4==a c ，求中线BD 长．21．已知二项式()*2N x n ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完成以下问题：(1)求n 的值；(2)求展开式中31x 的系数；(3)计算式子061524334251606666666C 2C 2C 2C 2C 2C 2C 2++++++的值.试卷第16页，共18页(3)解：令1x =可得()606152433425160666666621729C 2C 2C 2C 2C 2C 2C 2+==++++++.22．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为()2,0F ，O 为坐标原点，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，点F 在线段AB 上，且OA AB ⊥，OA OB +=.(1)求双曲线C 的方程；(2)过点F 作直线l 交C 于P ，Q 两点，问；在x 轴上是否存在定点M ，使222MP MQ PQ +-为定值？若存在，求出定点M 的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.试卷第18页，共18页。

【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数12z =-的共轭复数为z ，则||z z +=（）A ．122-+B ．122-C ．122+D ．12-，2，则（）A ．{}|1AB x x =< B ．A B = RC ．{}|1A B x x =<UD ．{}|01A B x x ⋂=<<【答案】D【分析】求出集合B 后再逐项计算，从而可得正确的选项.【详解】 集合{}|1A x x =<，{}{}2|log 12|0B x x x x =<<=<，{}|01A B x x ∴=<< ，故A 错误，D 正确；{}|2A B x x =< ，故B ，C 错误．故选：D ．3．若tan 1α=，则sin2cos2αα-=（）A ．15-B ．14C ．12D ．1理想情况下的最大v 满足公式：1201lnm m v v m +=，其中12,m m 分别为火箭结构质量和推进剂的质量，0v 是发动机的喷气速度．己知某实验用的单级火箭模型结构质量为a kg ，若添加推进剂3a kg ，火箭的最大速度为2.8/s km ，若添加推进剂5a kg ，则火箭的最大速度约为（参考数据：ln20.7,ln3 1.1≈≈)（）A ．4.7/s kmB ．4.2/skm C ．3.6/skm D ．3.1/skm5．已知各项为正的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()214n n S a =+，则3n na +的最小值为（）A ．92B ．4C ．3D ．2外接球的表面积为()A ．676πB ．6763πC ．169πD ．1693π取AC 的中点O ,可知O 为四面体所以四面体ABCD 外接球的表面积故选：A7．已知抛物线2:4C y x =，焦点为()1210a x y a -+-+=的垂线，垂足为P ，则MFMP +的最小值为（）A ．522-B ．3C ．5D ．38．已知函数()sin cos f x x =+A ．()f x 是以π为周期的函数B ．2x π=是曲线()y f x =的对称轴C ．函数()f x的最大值为2，最小值为2-D ．若函数()f x 在()0,M π上恰有2021个零点，则202110112M < 【答案】B符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若a ，b ，c 为实数，则下列命题正确的是（）A ．若0a b >>，则()*N n n a b n >∈B ．若22ac bc >，则22a b c c >C ．若a b >，则11a b <D ．若a b >，c d >，则ac bd>10．已知函数()()()cos 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<在5π12x =处取得极小值2-，与此极小值点最近的()f x 图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．将2sin2y x =的图象向左平移23π个单位长度即可得到()f x 的图象C ．()f x 在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在区间0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的值域为⎡-⎣11．在椭圆22:1(0)C a b a b+=>>中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆2222Γ:x y a b +=+上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.该圆由法国数学家G ⋅Monge （1746-1818）最先发现.若椭圆22:1169x y C +=，则下列说法正确的有（）A ．椭圆C 外切矩形面积的最小值为48B ．椭圆C 外切矩形面积的最大值为48C ．点(),P x y 为蒙日圆Γ上任意一点，点()10,0M -，()0,10N ，当PMN ∠取最大值时，tan 2PMN ∠=D ．若椭圆C 的左､右焦点分别为1F ，2F ，过椭圆C 上一点P 和原点作直线l 与蒙日圆相交于点M ，N ，则12PF PF PM PN ⋅=⋅【答案】ACD【分析】先求得椭圆C 的蒙日圆方程2225x y +=，然后利用外切矩形的面积结合二次函数求最值可判断A ，B 选项，利用两角和的正切公式，椭圆的定义，向量运算的转化来判断C ，D 选项【详解】对于A ，B ：如图，设对于椭圆C 上任意点M ，过点M 作椭圆的切线交圆22Γ:25x y +=于P ，Q 两点，P ，Q 关于原点对称的点分别为S ，T ，则椭圆C 的一个外切矩形为PQST ，对于D 21218,PF PF PF +=∴+：221212642PF PF PF PF ∴+=-⋅，1212212PF PF PO PF PF F F ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ ∴2121PF PF PF PF ⎧+⎪⎨+⎪⎩ ①+②得22212214,PF PF PO +=+()()25PM PN r OP r OP ⋅=-+=1111点，过点1D E F 、、的平面记为α，则（）A ．α截正方体的截面可能是正五边形B ．当E ，F 分别是,AB BC 的中点时，α分正方体两部分的体积()1212,V V V V <之比是25∶47C ．当E ，F 分别是,AD AB 的中点时，11A B 上存在点P 使得AP α∥D ．当F 是BC 中点时，满足12||ED EF =的点E 有且只有2个【答案】BCD【分析】A.若截面α为五边形，则截面α与正方体的5个面都相交，则必有两条交线平行，与正五边形的性质矛盾.B ．作出截面α，分别求出两部分的体积，再求体积比.C.作出截面α，再在线段11A B 上找出P ，证明AP α∥.D.分别从点E 在线段,,,AB BC CD AD 上去讨论12||ED EF =是否成立.【详解】A.若α截正方体的截面为五边形，则五边形必有两条边位于正方体相对的平行平面上，此时该五边形必有两条边相互平行，但正五边形没有哪两条边平行，故截面不可能是五边形，选项A 错误．B.如图，延长EF 分别交,DA DC 于点G ，I ，连接11,D G D I 分别交11,A A CC 于点H ，J ，∴截面为五边形1D HEFJ ，记正方体棱长为6，3,2CI AG CJ AH ====，截面1D HEFJ 下侧的体积为111111996332332813375323232V =⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=--=，另侧体积为：21675141V V -=-=正方体，∴12:75:14125:47V V ==，故选项B 正确.C ．截面α为图中等腰梯形11EFB D ，此时取11A B 中点P ，知1AP B F ∥，AP ⊄ 平面α,1B F ⊂平面αD.当E 在CD 上时，设,ED x CD =由2124ED EF x =⇒+2(2=当E 在AD 上时，()1maxmin||ED AD EF AB =当E 在BC 上时，()1minmax||ED CD EF CF=当E 在AB 上时，设AE y =，∴第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,2)a =-，(1,)b λ=- ，若,,2a b ππ⎛⎫〈〉∈ ⎪⎝⎭，则实数λ的取值范围是_____．14．已知多项式212671111x x a x a x a x a -=+++++++ ，则4a =______．【答案】88-【分析】利用换元法，结合二项式的通项公式进行求解即可.【详解】令11x t x t +=⇒=-，所以由()()()()465212671111x x a x a x a x a -=+++++++ ，可得()()2465126712t t a t a t a t a --=++++ ，即()()42651267212t t t a t a t a t a -+-=++++ ，二项式()42t -的通项公式为414C (2)rrr r T t-+=⋅⋅-，所以3322144441C (2)+(2)C (2)+1C (2)88a =⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯-=-，故答案为：88-【点睛】关键点睛：利用换元法，结合二项式的通项公式是解题的关键.15．在Rt ABC △中，AB BC ⊥，4AB =，3BC =，点D 在边AB 上，且3AD DB =，动点P 满足2PA PD =，则CP 的最小值为___________.【答案】1【分析】以B 为原点建立坐标系，结合2PA PD =，利用坐标运算求出动点P 的轨迹，再结合圆的性质求得最小值即可.【详解】建立如图直角坐标系，依题意知，(4,0),(0,0),(03)A B C ，，(1,0)D ，设(,)P x y ，16．已知函数的定义域为R ，22f x +为偶函数，1f x +为奇函数，且当0,1x ∈时，()f x ax b =+．若()41f =，则35792222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()22214cos a b B ab +-=-，且2cos c b B =．(1)求B ；(2)若ABC 的周长为4+，求BC 边上中线的长．111111都是矩形，11，33AB BC ==.(1)求证：1AD D C ⊥；(2)若平面11BCC B 与平面1BDD 所成的角为60 ，求三棱锥1C BD D -的体积.设1ED a =()0a >，则(0,0,0E 30,,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设平面1BDD 的法向量由11100n DB n DD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得：11133+2x y y az +⎧⎪⎨⎪⎩19．已知数列n a 的各项均为正数，且对任意的*n ∈N 都有122222n nn +++= .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()*21(1)log n nb n n a =∈+N ，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，问是否存在正整数m ，对任意正整数n 有2022n mT >恒成立？若存在，求出m 的最大值；若不存在，请说明理由.乒乓球运动已成为国内民众喜爱的运动之一．今有甲、乙两选手争夺乒乓球比赛冠军，比赛采用三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束．根据以往经验，甲、乙在一局比赛获胜的概率分别为23、13，且每局比赛相互独立．(1)求甲获得乒兵球比赛冠军的概率；(2)比赛开始前，工作人员买来两盒新球，分别为“装有2个白球与1个黄球”的白盒与“装有1个白球与2个黄球”的黄盒．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，直接丢弃．裁判按照如下规则取球:每局取球的盒子颜色与上一局比赛用球的颜色一致，且第一局从白盒中取球．记甲、乙决出冠军后，两盒内白球剩余的总数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．数学期望为()12381818127E X =⨯+⨯+⨯=21．已知双曲线2222:1x y E a b -=的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线0x y -=相切．(1)求双曲线E 的方程；(2)已知点F 为双曲线E 的左焦点，试问在x 轴上是否存在一定点M ，过点M 任意作一条直线l 交双曲线E 于P ，Q 两点，使FP FQ ⋅为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．22．定义在π,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的函数()()sin f x x k x =-.(1)当π6k =时，求曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；(2)将()f x 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列{}n x ，若()()120f x f x +=，求k 的值.。

【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷01（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U =R ，集合{3,10},02xA yy x x B x x ⎧⎫==-<<=≥⎨⎬+⎩⎭∣，则U A B ð等于（）A ．()2,0-B ．[)2,0-C ．()3,2--D ．(]3,2--2．已知()iR 1im z m +=∈-，z =，则实数m 的值为（）A ．3±B ．3C ．D3．下列区间中，函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是（）A ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭4．已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式为（）A ．2()e e x xx f x -=+B ．()3e e x xf x x -+=C ．2()e e x xx f x -=-D ．()2e e x xf x x -+=5．在ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u u r u u u r，（0x >，0y >），则4x y +的最小值是（）A ．43B ．103C ．3D ．26．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（）A ．17B ．18C ．19D ．207．已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线与C 的一个交点为P ，与C 的一条渐近线交于,Q O 为坐标原点，若1455OP OF =+，则双曲线C 的离心率为（）A B ．2C ．53D ．548．对任意()0,2e ,ln e x x a x ∈-≤恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．()e,2e B ．3e ,2e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()e2e 2e ln 2e ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．()e2e ,2e ln 2e ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。