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《提公因式法》课件

《提公因式法》课件

解析
• 类型一解析 • 题目一解析：将原式进行因式分解，得到(x+2)^2=0，解得x=-2。 • 题目二解析：将原式进行因式分解，得到(x+2)(x-2)=x^2-4，直接开平方得到x^2-4=0，解得x=±2。 • 题目三解析：将原式进行因式分解，得到(x+3)(x-3)=x^2-9，直接开平方得到x^2-9=0，解得x=±3。 • 类型二解析 • 题目四解析：将原式进行因式分解，得到(x+4)(x-1)+(x+1)(x-4)=3x^2-8x-3，直接开平方得到3x^2-8x-
提公因式的性质
唯一性
对于一个多项式，如果存在公因式，那么这个公因式是唯一 的。
不可约性
如果一个多项式的公因式是可以约掉的，那么约掉后剩下的 多项式一定还有其他的公因式。
提公因式的应用
分解因式
通过提公因式法，我们可以将一个多项式分解成两个或多个因式的乘积，以 便于进行进一步的数学运算。
解决实际问题
3=0，解得x=(8±√(64+4×3×8))/6=(4±2√13)/3。 • 题目五解析：将原式进行因式分解，得到(x+2)(x-5)-(x-1)(x-6)=4x^2-19x+10，直接开平方得到4x^2-
19x+10=0，解得x=(19±√(19^2-4×4×10))/8=(19±√371)/8。
提公因式法在实际问题中也有广泛的应用，比如在解决一些简单的数学建模 问题时，可以通过提公因式法简化计算。
02
提公因式法的理论基础
域的扩张
定义
域扩张是将一个域中的元素映射到另一个域中，使得映射保持域中元素的加法、 乘法等运算
常见的域扩张
整数到多项式、多项式到复数、实数到复数

因式分解提公因式法ppt

因式分解提公因式法ppt

工程设计
在工程设计中，因式分解可以帮助人们更好地理解问题的本质，例如在力学中，可以将一个复杂的结构表示为几个简单因式的乘积，从而更便于分析和设计。
02
提公因式法的原理及步骤
提公因式法的基本概念
公因式定义
提公因式法的理论基础
提公因式法的原理
确定多项式中的公因式。
提公因式法的步骤
步骤一
将多项式中的每个项都除以公因式，得到商和余数。
01
02
03
提公因式法在面积计算中的应用
在计算几何形状的面积时，可以使用提公因式法将面积表达式化简。
提公因式法在体积计算中的应用
在计算几何体的体积时，可以使用提公因式法将体积表达式化简。
提公因式法在几何中的应用
代数例题
例如，有一个多项式ax³+bx²+cx+d，其中a=3，b=2，c=1，x=5，求这个多项式的值。通过提公因式法，可以将这个多项式化简为3x²(x+1)+2(x+1)-3，再代入x=5得到答案。
数学术语
因式分解可以理解为求解一个方程的逆问题，即给定一个方程的解，反求方程中的未知数。
物理含义
因式分解的定义
1
因式分解的意义
2
3
通过因式分解，可以将一个复杂的多项式表示为几个简单因式的乘积，从而更便于理解和计算。
简化表达式
数学中的许多公式和定理都可以表示为因式分解的形式，这样便于记忆和应用。
便于记忆
几何例题
例如，有一个矩形ABCD，其中AB=3cm，BC=4cm，求这个矩形的面积。通过提公因式法，可以将这个矩形的面积表达式化简为3×4=12(cm²)。
提公因式法例题解析

提公因式法课件

提公因式法课件

(1)2x2＋6x3；
(2)x(a－3)＋y(a－3)2.
(1)2x2 (2)a－3
运用提取公因式的方法进行因式分解
例2 分解因式： (1)－3ax3＋12ax2－15ax； (2)2m(m－n)3＋6(n数为3，相同字母为a，x，最低次数均为 1.由于首项－3ax3的系数为－3，一般取公因式为－3ax.第(2)小题含有多项式 m－n与n－m的乘方，因为(n－m)2＝(m－n)2，把m－n看成一个整体，得各 项的公因式为2(m－n)2.
提公因式法
多项式 pa+pb+pc 的各项都有一个公共的因式P，我 们把因式P叫做这个多项式各项___公_因__式____.
由（ p(a+b+c)=pa+pb+pc ）可得， pa+pb+pc =p( a+b+c )
pa+pb+pc
相同因式p
这样就把pa+pb+pc分解春两个因式乘 积的形式，其中一个因式是各项的公因
提公因式法
因式分解
回顾 用乘法公式计算下列各式: （1）X(X+1) =x2+x； （2）(X+1)(X-1) =x2-1.
探究 根据式子的乘法我们可以联想到: （1）x2+x=___X_(X_+_1)_____； （2）x2-1=__(X_+_1_)(_X_-1_)_____.
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变 形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
3
系数：最 大公约数
x
1
字母：相同
的字母
指数：相同字母的 最低次数
所以公因式是3x

《提取公因式法》课件

《提取公因式法》课件
பைடு நூலகம்
提取公因式的例子3 ：分式加减法
分式1
2 / (x + 1)
分式2
3 / (x + 1)
结果
(2 / (x + 1)) + (3 / (x + 1)) = 5 / (x + 1)
提取公因式的例子4：分式乘法
分式1
(2x + 1) / (x - 3)
分式2
(x - 3) / (2x + 1)
结果
((2x + 1)(x - 3)) / ((x - 3)(2x + 1)) = 1
2 符号
正负号对整体的影响。
3 最高次数
注意各项中的最高次数，选择合适的公因式。
提取公因式和合并同类项的区别
1 合并同类项
相同的变量和次数合并为一个项。
2 提取公因式
将可以整除的项提取出来。
提取公因式和逆元素的联系
1 逆元素
提取公因式也可以看作是找到原来运算的逆操作。
提取公因式的常用公式
公因式 x a² x+y
提取公因式法
通过本课件，我们将深入探讨《提取公因式法》。了解公因式的概念和特点， 并学习如何识别和提取公因式。准备好跟我一起进入这个令人兴奋的话题吧！
什么是公因式？
定义
公因式是多个代数式中，可同时整除的代数式。
公因式的特点
1 一致性
2 约简性
公因式在不同的多项式中都是相同的。
提取公因式可以简化多项式的表达形式。
3 影响性
公因式的提取会影响多项式的值和性质。
为什么要提取公因式？
1 简化多项式
提取公因式可以使多项 式的表达更加简洁。

提公因式法课件

提公因式法课件
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。
注意：公因式既可以是一个单项式的形式， 也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法。
课堂练习
1.把下列多项式分解因式
（1）3a+3b= (3) 3a2-9ab=
小亮解的有误吗？
把3x2 - 6xy+x分解因式 解：原式 =x(3x-6y)
错误
当多项式的某一项和公 因式相同时，提公因式
后剩余的项是1。
. . . 正确解：原式=3x x-6y x+1 x
=x(3x-6y+1)
注意：某项提出莫漏1。
诊断
小华解的有误吗？
把 - x2+xy-xz分解因式
解：原式= - x(x+y-z)
一.概念
因式分解：把一个多项式转化为几个整
式积的形式
（也称分解因式）
试一试:判断下列各式是不是因式分解
1. x2 x xx 1
2. aa b a2 ab
3. a 3a 3 a2 9 4. a2 2a 1 aa 21
因式分解: 一个多项式 几个整式的乘积
3.1416 3.1484
观察多项式：
9m2 n2
有公因式吗？ 能因式分解吗？
1、找出：找出应提取的公因式 2、除以：用这个多项式去除以公因式， 所 得的商作为另一个因式。 3、整理：把多项式写成这两个因式的 积的形式。
一、公因式的确定方法：
各项系数的最大公约数与各项 相同字母的最低次幂的乘积。
二、提公因式法分解因式的步骤：

提公因式法ppt课件

提公因式法ppt课件
知1－练
例 1 下列变形中从左到右属于因式分解的有(
①
8xy3＝2xy·4y2；
②
x2＋1＝x

＋

)
；
③(x＋5)(x－5)＝x2－25；④ x2＋2x－3＝x(x＋2)－3；
⑤ x2y＋xy2＝xy(x＋y).
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
感悟新知
解题秘方：紧扣因式分解的定义进行识别.
＝－5a(3＋2b－bc)；
感悟新知
知3－练
(3)x(x－y)－y(y－x)；
解：原式＝x(x－y)＋y(x－y)＝(x－y)(x＋y)；
(4)a2(a＋2b)－ab(－4b－2a).
原式＝a2(a＋2b)＋2ab(a＋2b)＝a(a＋2b)(a＋2b)＝a(a＋
2b)2.
课堂小结
提公因式法
概念
感悟新知
知3－练
解法提醒：当各项含有相同(或互为相反数)的因式时，
应把它作为一个整体看成公因式中的因式，相同的直接提，
互为相反数的变成相同的再提.
感悟新知
知3－练
5－1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( B )
A. x2－y
B. x2－2x
C. x2＋y2
D. x2－xy＋y2
感悟新知
即2x2＋5x－k＝2x2＋(2q－3)x－3q，
－＝，
＝，
所以
解得
－＝－，
＝. 展开后对应项的系数相等
故另一个因式为x＋4，k的值为12.
感悟新知
知1－练
3－1. [中考·滨州] 把多项式x2＋ax＋b分解因式， 得(x＋
1)(x－3)，则a，b的值分别是( B )

因式分解-提公因式法PPT演示课件

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拓展运用：
1.已知1＋x＋x2＋x3=0.
求x＋x2＋x3＋x4＋……＋x2000的值.
解：原式＝x(1＋x＋x2＋x3) ＋x5(1＋x＋x2＋x3) ＋……＋ x1997(1＋x＋x2＋x3) ＝0
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2.试说明:817－279－913能被45整除. 解：∵原式＝(34)7－ (33)9－ (32)13
1)定系数 2)定字母 3)定指数
3、用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式（ 把多项式化为两个因式的乘积）
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）小心漏项（如：1）;（2）公因式可以是多项式形式。
24
祝同学们： 天天快乐， 学业有成。
25
5
合作探究
用心观察，找到答案 多项式 8x+12y 8ax+12ay 公因式
4 4a 4a2b
8a
3
bx+12a2b2y
2
9x -6xy+3x
3x
（2）多项式中的公因式是如何确定的？(合作交流探索）
6
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
定系数： 公因式的系数是各项整数系数的 最大公约数。 定字母： 取各项的相同的字母 相同字母的指数取次数最低的， 定指数：
2 x +
(x+1)(x-1)= x2－1 .
x2－1= ( x 1)(x 1)
x= x( x 1)
把一个多项式化成几个整式积的形式 ，这种变形叫做把这个多项式因式分 解（或分解因式）.
2
思考：
因式分解与整式乘法有何关系?
x2 + x

提公因式法ppt课件


用“ ”来“留守”，不能为“ ”.
【正解】 − + = ( − +) .
1. 下面的多项式中，能分解因式的是( D )
A. +
B. − +
C. −
2. 下列多项式中，哪个多项式各项的公因式是 ？ ( A )
A. +
化难为易．比如：
简便计算：19＋19 2－20 2．
解：原式＝19×(1＋19)－20 2
＝19×20－20 2＝20×(19－20)＝－20．
3．运用提公因式法分解因式，简便计算：
9×168＋9×723＋9×109．
解：原式＝9×(168＋723＋109)＝9 000．
4．【例1】下列式子变形是因式分解的是( D )
【点拨】先采用提公因式法分解所求式子，从而改变式子的结构，然后整体代入
即可求值.
变式 已知 + = ， = ，求 ( + )( − ) − ( + ) 的值.
解： ∵ + = , = ，
∴ 原式 = ( + )[( − ) − ( + )]
（2） 若分解式子： + + (+) + (+) + (+) ，则需应用上述方法____

(+)
次，结果是__________．
（2） ( − ) − ( − ) .
解：原式 = ( − )( − − ) .
8. 已知 = ， + = ，求 + 的值.
解： ∵ = , + = ( + ) = ，

143提公因式法共20张PPT


（1）a2b 2ab2 ab(a 2b)（ ）
温馨提示
（2）(x+2)(x-2）= x2-4（ ）
判断是否是因式分 （3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1（ ）解 要看等式的左边是 （4）ax2+ay2=a(x2+y2) （ ） 否是一个多项式，右
边是否是几个整式的 积的形式。
下面两个式子中哪个是因式分解？
注意：公因式可以 是数字，字母，也
可以是单项式，还 可以是多项式。
在下面这个式子的因式分解过程中， 先找到这个多项式的公因式，再将原式除 以公因式，得到一个新多项式，将这个多 项式与公因式相乘即可。
这种方法叫做提公因式法。
ma + mb + mc = m ( a + b + c )
提公因式法一般步骤：
这些在分解因式时，符号都可 当做公因式，但要注意符号.
快速计算：
（1） 9992 + 999
已知a+b=5，ab=4， 求ab2+a2b-a-b的值.
例3、用提公因式法分解因式 5a(x-y)-10b(y-x)
先分解因式（1）、（2）、（3），再解答 后面问题；
（1）1+a+a（1+a）； （2）1+a+a（1+a）+a（1+a）2； （3）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3 问题：
公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘 积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2.分解因式的方法：提公因式法
注意符号变化

提公因式法课件


例2 把4x2 -6x因式分解.
分析 先确定公因式的系数，再确定字母. 这 两项的系数为4，6，它们的最大公约数是2； 两项的字母部分x2与x都含有字母x，且x的最 低次数是1，因此公因式为2x.
解 4x2 - 6x = 2x(2x-3)
例3 把8x2y4-12xy2z因式分解.
分析 公因式的系数是8 与12的最大公约数 4；公因式含的字母是各项中相同的字母x 和y，它们的指数取各项中次数最低的，因 此公因式为4xy2 .
2am(x+1)，4bm(x+1) 与8cm(x+1)的公因式 是2m(x+1).
b-3a可以看做 -(3a-b)，所以 2x(3a-b)与 y(b-3a)的公因式 是3a-b .
例4 把下列多项式因式分解. (1) x( x -2) – 3(x-2) ； (2)x(x -2)-3( 2-x) ．
解 ( a+c)(a-b)2-(a-c)(b-a)2 = (a+c)(a-b)2 -(a-c)(a-b)2 = (a-b)2[(a+c)-(a-c)] = (a-b)2(a+c-a+c) = 2c(a-b)2
例6 把12xy2(x+y)-18x2y(x+y) 因式分解. 解 12xy2(x+y)- 18x2y(x+y) = 6xy(x+y)(2y-3x).
解 8x2y4-12xy2z = (4xy2)·2xy2-(4xy2)·3z = 4xy2(2xy2-3z).
说一说 下列多项式中各项的公因式是什么？
(1)2am(x+1)+4bm(x+1)+8cm(x+1)；
答：公因式是2m(x+1).
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( a b) x .
m 2 a b a ( m 2 ) b ( 2 m ) 把 分解因式后得________
先分解因式,再求解： 已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值. 解 a 2b ab2 ab(a b)
：
3 5 15
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谈谈今天的收获
1、什么叫公因式、提公因式法？ 2、确定公因式的方法：
1)定系数 2)定字母 3)定指数
3、用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式（ 把多项式化为两个因式的乘积）
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）小心漏项（如：1）;（2）公因式可以是多项式形式。
作业
公因式 3、提公因式法：把多项式各项中的 ________提取出来，这种分解 因式的方法叫做提公因式法 。
:整式的乘法
1、计算下列各式: x(x+1)= x2 + x ；
2、请把下列多项式写成整式乘积的形式.
2 x +
x= x( x 1)
(x+1)(x-1)= x2－1.
x2－1=( x 1)(x 1)
探究新知
2.请用简便的方法计算下列式子：
(1). 3.8x5+5.3x5+1.9x5 (2).20052-2004x2005
解: (1). 3.8x5+5.3x5+1.9x5=(3.8+5.3+1.9)x5=11x5=55 3.8 5 5.3 5 1.9 5 3.8 5.3 1.9 5
a m+b b m +c c m=( =( a + b + c ) m
教学目标
• • • •
1．初步了解什么叫因式分解？ 2. 了解整式乘法与因式分解的区别和联系是什么。 3. 理解什么是公因式？知道如何找公因式。 4. 初步掌握提公因式法。
带着以上问题，自学课本
p165 166
仔细阅读课本，完成下列各题 积 的形式叫做把这个 1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的____ 多项式因式分解。 相同 的因式，我们把这 2、公因式：多项式的各项都含有一个________ 个因式叫做这个多项式的各项的公因式。
即相同字母最低次幂
例1: 找 3x 2 – 6 x3y 的公因式。
定系数
3
定字母
x
2 定指数
所以，公因式是3x2 。
快速出击
1、分别写出下列多项式的公因式：
(1)
ax ay
3 4
(a)
2
( 3x2y ) ( 5a2b )
(2) (3)
3x y 12x y 3 2 2 3 3 25a b 15a b 5a b
积的形式
判断下列各式哪些是整式乘法?哪 些是因式分解?或者两者都不是？ (1) x2－(2y)2=(x+2y)(x－2y)；因式分解 (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy 整式乘法 (3)2πR+ 2πr= 2π(R+r) 因式分解 (4) x2+4x+4=x(x+2)+4； 不是因式分解也
不是整式乘法
合作探究 用心观察，找到答案 多项式 8x+12y 8ax+12ay 公因式
4 4a
8a
3
bx+12a2b2y
2
4a2b
9x -6xy+3x
3x
（2）多项式中的公因式是如何确定的？(合作交流探索）
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
定系数： 公因式的系数是各项整数系数的 最大公约数。 定字母： 取各项的相同的字母 相同字母的指数取次数最低的， 定指数：
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法
好礼等你拿
小亮解的有误吗？试说明理由，并 给出正解
把3x2 - 6xy+x分解因式
解：原式 =x(3x-6y)
错误
当多项式的某一项和公 因式相同时，提公因式 后剩余的项是1。
=x(3x-6y+1)
正确解：原式=3x x-6y x+1 x
注意：某项提出莫漏1
= m( a + b + c )
(2). 20052-2005x2004=2005(2005-2004)=2005
上例中 a2 － ,多项式的各项含有公因式 a b ＝ a ( a－ b ) ,将 上例各式含有相同的数,将乘法分配律 乘法分配律逆运用,把这个公因式提出 逆运用,把相同的因数写在括号外面，可 2=a× a 来,使多项式化成两个因式积的形式 . a 使运算简便. 这种分解因式的方法叫做提公因式法.
• 课本P170
习题15.4：1题
同步练习
祝同学们： 天天快乐， 学业有成。
. . .
若对多项式6a-18ax进行分解
圣诞帽
因式，正确的选项（ D ） （A)6（a-3ax ） （B）3a（1+3x） （C）3a（2-6x） （D）6a（1-3x）
分解下列多项式
(1)12x y 18xy
2 2
解：原式= 6 xy (2 x 3 y )
迷你音箱
若多项式(a+b)xy+(a+b)x要分解 因式,则要提的公因式是
把一个多项式化成几个整式积的 形式，这种变形叫做把这个多项 式因式分解（或分解因式）. 想一想：因式分解与整式乘法有何关系?
因式分解 x 一个多项式 整式乘法
x2 +
x ( x 1)
积的形式
因式分解与整式乘法是互逆过程.
因式分解 x 练习一 理解概念 整式乘法 一个多项式
2 x +
x ( x 1)
经验提升：是否是因式分解看结果－－乘积形式
探究新知
情景一:想一想
观察下列各式的结构有什么特点： （1） 2π 2πR R＋2π 2πr r （2） ma＋mb （3） cx－cy＋cz 公共特点：各式中的各项都含有一个相同的因数或因式
多项式各项都含有的 相同因式(或公共因式 ) 叫做这个多项式各项 的公因式。
×
=ab(8a b-12b c+1)
当多项式的某一 项和公因式相同 时，提公因式后 剩余的项是1。
知识储备
(3) 2a(b+c) - 3(b+c)
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积。 解：原式= (b+c) (2a-3)
注意：公因式既可以是一个单项式的形2.用提公因式法将下列各式分解因式
（1）7x2 - 21x 解：原式= 7x x -3x
用提公因式法分解因式的步骤 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式,(即将多 项式化为几个因式的乘积)
知识储备
（2） 8a b -12ab c+ab
解:原式=ab (8a2b-12b2c)
2 2 3 2 3