西城区2011-2012学年高三上学期期末试题(数学文科)

2023北京一六一中高三（上）期中数 学班级______ 姓名______ 学号______考生须知1.本试卷共3页，满分150分，考试时长120分钟.2.试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效.3.在答题纸上，选择题用2B 铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答.4.考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．. 1. 已知集合{}0,1A =，{}03B x x =∈<<N ，则A B ⋃=（ ） A. {}1 B. {}1,2 C. {}0,1,2D. {}0,1,2,32. 下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 2log y x =B. 2xy −=C. y =D. 3y x =3. 如果平面向量(2,0)a =，(1,1)b =，那么下列结论中正确的是（ ）． A. ||a b |=| B. 22a b ⋅=C. ()a b b −⊥D. a b4. “π4x <”是“tan 1x <”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知复数z ＝a +i （a ∈R ），则下面结论正确的是（ ） A. z a i =−+ B. |z |≥1C. z 一定不是纯虚数D. 在复平面上，z 对应的点可能在第三象限6. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点为F 1,F 2，过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为C 的方程为A. 22132x y +=B. 2213x y +=C. 221128x y +=D. 221124x y +=7. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数.为测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I =时，放电时间20h t =；当放电电流50A I =时，放电时间5h t = .若计算时取lg20.3≈，则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为（ ） A. 1.25B. 1.5C. 1.67D. 28. 在平面直角坐标系中，当θ，m 变化时，点()cos ,sin P θθ到直线340x my m −+−=的距离最大值为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 69. 如果方程214x y y +=所对应的曲线与函数()y f x =的图象完全重合，则如下结论正确的个数（ ）①函数()f x 是偶函数；②()y f x =的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1； ③函数()f x 的值域为(],2−∞；④函数()()F x f x x =+有且只有一个零点. A. 1B. 2C. 3D. 410. 函数()f x x =，2()3g x x x =−+.若存在129,,...,[0,]2n x x x ∈，使得1()f x +2()...f x ++1()n f x −+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x −+()n f x ，则n 的最大值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．. 11. 抛物线24x y =的准线方程是_______ 12. 设函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=−> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．13. 若24AB AC AB ⋅==，且1AP =，则AB =______，CP BA ⋅的最大值为______.14. 已知函数()3,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩，若函数()f x 在R 上不是增函数，则a 的一个取值为___________.15. 下表是某生活超市2021年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表：结论：①本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区： ②本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区； ③本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区； ④本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过40%. 其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并写在．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答题纸相应位置．．．．．．．. 16. 已知函数()()()sin 0f x A x ωω=>的图象如图所示.（1）求()f x 的解析式； （2）若()()πcos 26g x f x x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，求()g x 的最小正周期及单调递增区间.17. 在ABC 中，π2B ∠≠，cos21B B =−. （1）求B ∠；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积.条件①：sin A C =，2b =；条件②：23b a =，sin 1b A =；条件③：AC =BC 边上的高为2注：如果选择的条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分.18. 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%，选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.（1）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；（2）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；（3）已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为1μ，其中男生的乒乓球平均分的估计值为2μ，试比较1μ与2μ的大小.（结论不需要证明）19. 已知A ，B ，C 是椭圆W ：2212x y +=上的三个点，O 是坐标原点.（1）当点B 是椭圆W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆交于A ，B 两点，点()0,M m ，若MA MB =，求实数m 的取值范围.20. 已知函数21()e xax x f x −+−=.（1）求曲线()y f x =在点(0,1)−处的切线方程； （2）当0a >时，求()f x 的单调区间； （3）求证：当a ≤1−时，()f x ≥e −.21. 设N 为正整数，区间[,1]k k k I a a =+（其中k a ∈R ，1,2,,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[0,100]x ∈，存在k 使得k x I ∈； ②对任意{}1,2,,k N ∈，存在[0,100]x ∈，使得i x I ∉（其中1,2,,1,1,,i k k N =−+）．（Ⅰ）判断(1,2,,)k a k N =能否等于1k −或12k −；（结论不需要证明）．（Ⅱ）求N 的最小值；（Ⅲ）研究N 是否存在最大值，若存在，求出N 的最大值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．. 1. 【答案】C【分析】化简B ，再进行并集运算. 【详解】{}{}031,2B x x =∈<<=N ， 又{}0,1A =，则{}0,1,2A B =.故选：C. 2. 【答案】B【分析】根据函数解析式直接判断单调性.【详解】A 选项：函数2log y x =的定义域为()0,∞+，且在()0,∞+上单调递增，A 选项错误； B 选项：函数122xx y −⎛⎫== ⎪⎝⎭的定义域为R ，且在R 上单调递减，B 选项正确；C 选项：函数y =[)1,−+∞，且在[)1,−+∞上单调递增，C 选项错误；D 选项：函数3y x =的定义域为R ，且在R 上单调递增，D 选项错误； 故选：B. 3. 【答案】C【详解】由平面向量(2,0)a =，(1,1)b =知： 在A 中，||2a =，||2b =，∴||||a b ≠，故A 错误； 在B 中，2a b ⋅=，故B 错误； 在C 中，(1,1)a b −=−， ∴()110a b b −⋅=−=， ∴()a b b −⊥，故C 正确； 在D 中，∵2011≠， ∴a 与b 不平行，故D 错误． 综上所述． 故选C ． 4. 【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由π4x <推不出tan 1x <，如3ππ44x =−<，但是3ππtan tan 144⎛⎫−== ⎪⎝⎭， 即充分性不成立， 由tan 1x <也推不出π4x <，如3πtan114=−<，但是3ππ44>，即必要性也不成立， 所以“π4x <”是“tan 1x <”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5. 【答案】B【分析】利用复数基本概念逐一核对四个选项得答案． 【详解】解：()z a i a R =+∈，∴z a i =−，故A 错误；||11z =，故B 正确；当0a =时，z 为纯虚数，故C 错误；虚部为1大于0，∴在复平面上，z 对应的点不可能在第三象限，故D 错误． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题． 6. 【答案】A【详解】若△AF 1B 的周长为由椭圆的定义可知4a =,a ∴=c e a ==,1c ∴=, 22b ∴=，所以方程为22132x y +=，故选A.考点：椭圆方程及性质 7. 【答案】B【分析】由已知可得出2020505n n C C ⎧⨯=⎨⨯=⎩，可得出542n⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算法则计算可得n 的近似值.【详解】由题意可得2020505n n C C⎧⨯=⎨⨯=⎩，所以2020505n n ⨯=⨯，所以542n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以52lg 42lg 22lg 220.3log 4 1.551012lg 2120.3lg lg 24n ⨯====≈=−−⨯. 故选：B.8. 【答案】D【分析】求出直线过定点坐标，以及点P 的轨迹方程，再求出定点到圆心的距离，即可得解.【详解】直线340x my m −+−=，即()()340y m x −++−=，令3040y x −+=⎧⎨−=⎩，解得43x y =⎧⎨=⎩，所以直线340x my m −+−=恒过点()4,3P ， 又点()cos ,sin Pθθ为圆221x y +=上的点，圆心为()0,0O ，半径1r =，则5OP ==，所以点()cos ,sin Pθθ到直线340x my m −+−=的距离最大值为6OP r +=.故选：D 9. 【答案】C【分析】分段讨论探究函数的图象，结合椭圆与双曲线的方程作出函数的图象，结合图象判断即可.①由图象的对称性可知；②利用双曲线与椭圆的方程消元求最值；③结合图象可知值域；④函数的零点个数转化为两函数()y f x =与yx =−图象交点的个数，结合图象可得.【详解】当0y ≥时，2214x y +=，即方程对应曲线为椭圆2214x y +=的上半部分；当0y <时，2214x y −=，即方程对应曲线为双曲线2214x y −=的下半部分；故作出函数()f x 的图象，其中双曲线的渐近线为12y x =±.①函数()f x 图象关于y 轴对称，则()f x 为偶函数；且[]2,2()(,2)(2,)x f x x ∞∞∈−=⎪∈−−⋃+⎪⎩证明如下：函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称.[]2,2x ∀∈−时，[]2,2x −∈−，则()()f x f x −===；(,2)(2,)x ∀∈−∞−⋃+∞时， (,2)(2,)x −∈−∞−+∞，则()()f x f x −===.综上，x ∀∈R ，()()f x f x −=，故()f x 是偶函数.故①正确. ②设函数()y f x =图象上任意点00(,)P x y，OP =， 当点P 在双曲线上时，即0(,2)(2,)x ∈−∞−+∞时，204x >，22014x y =−，则22222000511444x x x y x +=+−=−>2>； 当点P 在椭圆上时，即[]02,2x ∈−时，204x ≤，22014x y =−，由22222000311144x x x y x +−+==+≥1≥ 当且仅当00x =时，OP 最小，即点(0,1)P 到原点的距离最小，最小值为1； 综上，函数()y f x =的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1，故②正确； ③由函数图象可知，函数()f x 的值域为(],1−∞，故③错误； ④由()0f x x +=得，()f x x =−，所以函数()()F x f x x =+的零点的个数， 即函数()y f x =与函数y x =−图象的交点个数.由12y x =−是双曲线的渐近线， 渐近线斜率为12−，而直线y x =−的斜率为1−， 由112−>−可知，直线y x =−与函数()f x 图象的双曲线部分没有交点， 仅与椭圆部分有一个交点. 故函数()y f x =与函数yx =−图象有且只有一个交点，即函数()()F x f x x =+有且只有一个零点，故④正确. 故结论正确的个数为3. 故选：C.10. 【答案】D【分析】构造函数()()()h x g x f x =−，研究()h x 的单调性．【详解】方程1()f x +2()...f x ++1()n f x −+()n g x =1()g x +2()...g x ++1()n g x −+()n f x 变形为：112211()()(()())(()())(()())n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x −−−=−+−++−，设()()()h x g x f x =−，则121()()()()n n h x h x h x h x −=+++，22()()()23(1)2h x g x f x x x x =−=−+=−+在[0,1]上递减，在9[1,]2上递增，∴572()4h x ≤≤， ∴121()()()n h x h x h x −+++的值域是57[2(1),(1)]4n n −−， 若存在129,,...,[0,]2n x x x ∈，使得121()()()()n n h x h x h x h x −=+++，则5722(1)4n ≤−≤，6528n ≤≤，∴n 的最大值为8．故选：D ．【点睛】本题考查函数的值域，解题关键是构造新函数()()()h x g x f x =−，把问题转化为“存在129,,...,[0,]2n x x x ∈，使得121()()()()n n h x h x h x h x −=+++”，这样利用()h x 的值域就可以解决问题．二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．. 11. 【答案】1y =−【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y 轴上以及24p =，再直接代入即可求出其准线方程. 【详解】因为抛物线的标准方程为24x y =，焦点在y 轴上， 所以：24p =，即2p =，所以12p=， 所以准线方程为：1y =−， 故答案是：1y =−.【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目. 12. 【答案】23【分析】根据题意()f x 取最大值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，根据余弦函数取最大值条件解得ω的的表式式，进而确定其最小值.【详解】因为()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以()f x 取最大值4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以22π()8()463k k Z k k Z ωωππ−=∈∴=+∈，， 因为0ω>，所以当0k =时，ω取最小值为23. 【点睛】函数cos()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 （1）max min =+y A B y A B =−，. （2）周期2π.T ω=（3）由π()x k k Z ωϕ+=∈求对称轴，最大值对应自变量满足2π()x k k ωϕ+=∈Z ，最小值对应自变量满足+2()x k k ωϕππ+=∈Z ， （4）由22()22k x k k πππωϕπ−+≤+≤+∈Z 求增区间；由322()22k x k k πππωϕπ+≤+≤+∈Z 求减区间.13. 【答案】 ①. 2 ②. 6【分析】由24AB AC AB ⋅==，即24AB =求解；，即AB =2，由()CP BA AP AC BA ⋅−⋅=，利用数量积定义求解.【详解】解：因为24AB AC AB ⋅==， 所以24AB =，即AB =2，()CP BA AP AC BA AC AB AP AB ⋅−⋅==⋅−⋅， 4cos 42cos AP AB θθ−⋅−⋅==，当cos 1θ=−时， CP BA ⋅的最大值为6， 故答案为：2，614. 【答案】-2(答案不唯一，满足1a <−或01a <<即可)【分析】作出y =x 和y =3x 的图象，数形结合即可得a 的范围，从而得到a 的可能取值． 【详解】y =x 和y =3x 的图象如图所示：∴当1a <−或01a <<时，y =3x 有部分函数值比y =x 的函数值小， 故当1a <−或01a <<时，函数()f x 在R 上不是增函数． 故答案为：-2． 15. 【答案】②③④【分析】根据表中数据以及营业利润率的概念逐项进行分析并判断． 【详解】由题中数据知，其它类营业收入占比4.7%，为最低的，故①错； 生鲜区的净利润占比65.8%50%>，故②正确； 生鲜区的营业利润率为65.8%32.5%44%40%48.6%⨯=>，故④正确；熟食区的营业利润率为4.3%32.5%015.8%−⨯<；乳制品区的营业利润率为16.5%32.5%26.68%20.1%⨯=；其他区的营业利润率为1.8%32.5%12.45%4.7%⨯=； 日用品区为20.2%32.5%60.787%10.8%⨯=，最高，故③正确．故答案为：②③④．三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并写在．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答题纸相应位置．．．．．．．. 16. 【答案】（1）()2sin 2f x x =（2）π2T =，单调递增区间为ππππ,62122k k ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈ 【分析】（1）由图象求得A 及周期，再由周期公式求得ω，即可得到解析式； （2）利用三角恒等变换公式将()g x 化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 由图象可知2A =，π144T =，即πT =，又0ω>， 所以2πT ω=，解得2ω=，()2sin 2f x x ∴=；【小问2详解】因为()()πcos 26g x f x x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭， 所以π()2sin 2cos 26g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππ2sin 2cos 2cos sin 2sin 66x x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭211π12cos 2sin 24cos 4sin 42262x x x x x x ⎛⎫=−=+−=+− ⎪⎝⎭， 所以()g x 的最小正周期2ππ42T ==， 令πππ2π42π262k x k −+≤+≤+，Z k ∈， 解得ππππ62122k k x −+≤≤+，Z k ∈， ()g x 的单调递增区间为ππππ,62122k k ⎡⎤−++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈． 17. 【答案】（1）π6（2）答案见解析【分析】（1）根据题意，利用倍角公式求得cos 2B =，即可求解； （2）根据题意，分别选择①②③，结合正弦定理和余弦定理，求得,a c 的长，结合题意，即可求解.【小问1详解】解：由ABC 中，π2B ∠≠，且cos21B B =−，可得22cos B B =，所以cos B = 因为0πB <<，所以π6B =. 【小问2详解】解：若选条件①：sin A C =，2b =，因为sin A C =，由正弦定理得a =，又由余弦定理2222cos b a c ac B =+−，可得224a c +=，因为a =，代入解得2a c ==，所以111sin 2222ABCSac B ==⨯⨯=所以ABC 存在且唯一确定，此时ABC 若选择条件②：23b a =，sin 1b A = 由正弦定理sin sin a b A B=且π6B =，可得2,3a b ==，又由余弦定理2222cos b a c ac B =+−，可得250c −−=，解得c =所以111sin 2222ABCSac B ==⨯⨯⨯=所以ABC 存在且唯一确定，此时ABC .若选条件③：AC =，BC 边上的高为2因为π6B =，可得24sin c B==，由余弦定理2222cos b a c ac B =+−，可得2100a −+=，解得2a =， 此时ABC 存在但不唯一确定，不符合题意. 18. 【答案】（1）8105（2）0.32 （3）12μμ>【分析】（1）分别求出样本中男生和女生的人数，再由频率估计概率即可得解；（2）根据题意易得从该区九年级全体男生中随机抽取1人和从该区九年级全体女生中随机抽取1人选考跳绳的概率，再分2个男生选考跳绳和1个男生和1个女生选考跳绳结合独立事件的概率公式即可得解； （3）根据平均数公式分别求出12,μμ，即可得解. 【小问1详解】解：样本中男生的人数为110010%110⨯=人， 样本中女生的人数为10005%50⨯=人，设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件A ， 则该学生选考乒乓球的概率()11050811001000105P A +==+；【小问2详解】解：设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件B ， 从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件C ， 由题意()()0.4,0.5P B P C ==，则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为()()12222C 0.410.40.5C 0.410.50.32⨯⨯−⨯+⨯⨯−=；【小问3详解】 解：11008407.5207311604μ⨯+⨯+⨯==，2608407.51078511011μ⨯+⨯+⨯==，所以12μμ>.19. 【答案】（1）2（2）,44⎡−⎢⎣⎦【分析】（1）依题意，当四边形OABC 为菱形，AC 与OB 相互垂直和平分，设A 点坐标，然后求出菱形面积.（2）分类讨论，分直线与x 轴和不垂直时，设直线方程，联立椭圆方程，利用韦式定理及中点坐标公式求出中点坐标，列垂直平分线所在方程，根据基本不等式性质，即可求得实数m 的取值范围. 【小问1详解】椭圆W ：2212x y +=的右顶点B的坐标为)，因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直和平分，所以可设2A m ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，代入椭圆方程得2114m +=，即2m =±， 所以菱形OABC的面积为112222OB AC m ⋅==. 【小问2详解】当直线AB 垂直x 轴时，0m =，此时MA MB =，符合题意； 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =−，由()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩，得 ()()2222124210k xk x k +−+−=，由()()()2222481210k k k ∆=−−+−>得x ∈R .设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122412k x x k +=+，()21222112k x x k−=+， 所以()121222212ky y k x x k −+=+−=+，所以线段AB 中点E 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭，由题意知0k ≠，故直线ME 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=−− ⎪++⎝⎭，令0x =，212k y k =+，即212km k =+，当0k >时，得21011242k m k k k<==≤++，当且仅当2k =，等号成立， 同理，当0k <时，得21011242k m k kk>==≥−++，当且仅当2k =−，等号成立， 综上所述，实数m的取值范围为44⎡−⎢⎣⎦.20. 【答案】（1）21y x =− （2）答案见解析 （3）证明见解析【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程； （2）求出(1)(2)()e −−'=x ax x f x ，分102a <<、12a =、12a >，讨论()y f x =的单调性可得答案；（3）当1a ≤−时，令()0f x '=，得1x a =或2x =，()f x 取得极小值1f a ⎛⎫⎪⎝⎭1e a −=−， [)1ee 1a−−∈−，，由极小值定义及()f x 的单调性可知：当2x <时，()e f x ≥−；2x ≥时，设2()1(21)g x ax x x a =−+−≥≤−，，，由二次函数的性质可知()(2)0g x g >>恒成立，可得答案.【小问1详解】()()()2'2'22(1)e 1(e )212e )e x x x xax x ax x ax a x f x −+−⋅−−+−⋅−++=='（()()12e xax x −−=，因为(0)2f '=，(0)1f =−，所以曲线()y f x =在点01−（，）处的切线方程为21y x =−. 【小问2详解】 由（1）知：()()()12e xax x f x −−'=，（x R ∈），因为0a >，令()0f x '=，所以1x a=或2x =，当102a <<时，12a >，则()()x f x f x '，，的变化情况如下表：当2a =时，2a =，则 ()0f x '≥恒成立，()f x 在R 内恒增；当12a >时，102a <<，则 ()()x f x f x '，，的变化情况如下表：综上，当02a <<时，单调递增区间是(2)∞−，和a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当12a =时，单调递增区间是)∞∞−+（，，无单调递减区间； 当12a >时，单调递增区间是1a ∞⎛⎫− ⎪⎝⎭，和 (2)∞+，，单调递减是12a ⎛⎫⎪⎝⎭，. 【小问3详解】当1a ≤−时，令()0f x '=，得1x a=或2x =，易知1[10)a ∈−，， 则()()x f x f x '，，的变化情况如下表：所以当1x a =时，()f x 取得极小值1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭11e e a a−=−=−，由于1a ≤−，则1[10)a ∈−，，1(01]a−∈，，(]1e 1e a −∈，，[)1e e 1a −−∈−，，所以由极小值定义及()f x 的单调性可知：当2x <时，()e f x ≥−， 接下来，研究()f x 在2x ≥的变化情况，因为e 0x >恒成立，设2()1(21)g x ax x x a =−+−≥≤−，，， 对称轴102x a=<，140a ∆=−>，抛物线开口向上，(2)140g a =−>， 所以由二次函数的性质可知：当2x ≥时，()(2)0g x g >>恒成立， 所以()0f x >在2x ≥时恒成立. 综上所述：当1a ≤−时，()e f x ≥−.21. 【答案】（Ⅰ）k a 可以等于1k −，但k a 不能等于12k−；（Ⅱ）100；（Ⅲ）N 存在最大值，为200． 【分析】（Ⅰ）根据题意可得出结论；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的结论得出k a 可以等于1k −，可得出区间k I 的长度为1，结合①得出100N ≥，再由[]10,1I =，[]21,2I =，，[]10099,100I =满足条件①、②可得出N 的最小值；（Ⅲ）利用反证法推导出111k k a a +−>+，进而得出2001100a +>，由此得出[]()122000,100I I I ⊆，进而得出200N ≤，再举例说明200N =成立，由此可得出正整数N 的最大值.【详解】（Ⅰ）k a 可以等于1k −，但k a 不能等于12k−； （Ⅱ）记b a −为区间[],a b 的长度，则区间[]0,100的长度为100，k I 的长度为1． 由①，得100N ≥． 又因为[]10,1I =，[]21,2I =，，[]10099,100I =显然满足条件①，②．所以N 的最小值为100；（Ⅲ）N 的最大值存在，且为200． 解答如下：（1）首先，证明200N ≤． 由②，得1I 、2I 、、N I 互不相同，且对于任意k ，[]0,100kI ≠∅．不妨设12n a a a <<<<．如果20a ≤，那么对于条件②，当1k =时，不存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,i x I i N ∉=．这与题意不符，故20a >. 如果111k k a a +−+≤，那么()11kk k I I I −+⊆，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得i x I ∉（其中1i =、2、、1k −、1k +、、N ）”矛盾，故111k k a a +−>+．所以421a a >+，6412a a >+>，，200198199a a >+>，则2001100a +>．故[]()122000,100I I I ⊆．若存在201I ，这与条件②中“存在[]0,100x ∈，使得()1,2,,200i x I i ∉=”矛盾，所以200N ≤．（2）给出200N =存在的例子 ． 令()110012199k a k =−+−，其中1k =、2、、200，即1a 、2a 、、200a 为等差数列，公差100199d =． 由1d <，知1k k I I +≠∅，则易得122001201,22I I I ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦， 所以1I 、2I 、、200I 满足条件①．又公差10011992d =>， 所以()1001199k k I −∈，()()10011,2,,1,1,,199i k I i k k N −∉=−+．（注：()1001199k − 为区间k I 的中点对应的数） 所以1I 、2I 、、200I 满足条件②．综合（1）（2）可知N 的最大值存在，且为200．【点睛】本题考查数列与区间的综合应用，考查反证法的应用，考查推理论证能力，属于难题.。

海淀区2023—2024学年第二学期期末练习高三数学2024.05本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,0,1,2,{3}A B x a x =-=≤<∣.若A B ⊆，则a 的最大值为（）A.2 B.0C.1- D.-2【答案】C 【解析】【分析】根据集合的包含关系可得1a ≤-求解.【详解】由于A B ⊆，所以1a ≤-，故a 的最大值为1-，故选：C2.在52()x x-的展开式中，x 的系数为（）A.40B.10C.40-D.10-【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理的性质.【详解】设52(x x-的通项1k T +，则()5115C 2k k k k T x x --+=-，化简得()5215C 2k kk k T x -+=⋅-⋅，令2k =，则x 的系数为()225C 240-=，即A 正确.故选：A3.函数()3,0,1,03x x x f x x ⎧≤⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩是（）A.偶函数，且没有极值点B.偶函数，且有一个极值点C.奇函数，且没有极值点D.奇函数，且有一个极值点【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可.【详解】当0x ≤时，0x ->，则1()(3()3xx f x f x --===，当0x >时，0x -<，则1()3()()3xx f x f x --===，所以函数()f x 是偶函数，由图可知函数()f x 有一个极大值点.故选：B.4.已知抛物线24x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，6AF =，则线段AF 的中点的纵坐标为（）A.52B.72C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线定义求得点A 的纵坐标，再求AF 中点纵坐标即可.【详解】抛物线24x y =的焦点()0,1F ，又16A AF y =+=，解得5A y =，故线段AF 的中点的纵坐标为1532+=.故选：C.5.在ABC 中，34,5,cos 4AB AC C ===，则BC 的长为（）A.6或32B.6C.3+D.3【答案】A 【解析】【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理可得222222543cos 2104AC CB ABCB C AC BCBC+-+-===⋅,故22151806CB BC BC -+=⇒=或32，故选：A6.设,R,0a b ab ∈≠，且a b >，则（）A.b a a b< B.2b a a b+>C.()sin a b a b -<- D.32a b>【答案】C 【解析】【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证()sin ,0,x x x <∈+∞即可判断C.【详解】对于A ，取2,1a b ==-，则122b aa b=->=-，故A 错误，对于B ，1,1a b ==-，则2b aa b+=，故B 错误，对于C ，由于()sin 0,cos 10y x x x y x '=->-≤=，故sin y x x =-在()0,∞+单调递减，故sin 0x x -<，因此()sin ,0,x x x <∈+∞，由于a b >，所以0a b ->，故()sin a b a b -<-，C 正确，对于D,3,4a b =-=-,则11322716a b =<=，故D 错误，故选：C7.在ABC 中，π,2C CA CB ∠===，点P 满足()1CP CA CB λλ=+- ，且4CP AB ⋅= ，则λ=（）A.14-B.14C.34-D.34【答案】B 【解析】【分析】用CB ，CA 表示AB ，根据0CA CB ⋅=，结合已知条件，以及数量积的运算律，求解即可.【详解】由题可知，0CA CB ⋅=，故CP AB ⋅()()()()2211881168CA CB CB CA CA CB λλλλλλλ⎡⎤=+-⋅-=-+-=-+-=-+⎣⎦，故1684λ-+=，解得14λ=.故选：B.8.设{}n a 是公比为()1q q ≠-的无穷等比数列，n S 为其前n 项和，10a >.则“0q >”是“n S 存在最小值”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的判定以及等比数列前n 项和公式判断即可【详解】若10a >且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以n S 单调递增，n S 存在最小值1S ，故充分条件成立.若10a >且12q =-时，11112211013212n nn a S a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-->⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，121132nn S a ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，n S 单调递减，故最大值为1n =时，11S a =，而123n S a <,当n 为偶数时，121132n n S a ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，n S 单调递增，故最小值为2n =，122aS =，所以n S 的最小值为112a ，即由10a >，n S 存在最小值得不到公比0q >,故必要性不成立.故10a >公比“0q >”是“n S 存在最小值”的充分不必要条件.故选：A9.设函数()f x 的定义域为D ，对于函数()f x 图象上一点()00,x y ，若集合()(){}0,k k x x y f x x D ≤∈-+∀∈R∣只有1个元素，则称函数()f x 具有性质0x P .下列函数中具有性质1P 的是（）A.()1f x x =- B.()lg f x x=C.()3f x x = D.()πsin2f x x =-【答案】D 【解析】【分析】根据性质1P 的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.【详解】根据题意，要满足性质1P ，则()f x 的图象不能在过点()()1,1f 的直线的上方，且这样的直线只有一条；对A ：()1f x x =-的图象，以及过点()1,0的直线，如下所示：数形结合可知，过点()1,0的直线有无数条都满足题意，故A 错误；对B ：()lg f x x =的图象，以及过点()1,0的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点()1,0的直线，使得()f x 的图象都在该直线的上方，故B 错误；对C ：()3f x x =的图象，以及过点()1,1的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点()1,1的直线，使得()f x 的图象都在该直线的上方，故C 错误；对D ：()πsin2f x x =-的图象，以及过点()1,1-的直线，如下所示：数形结合可知，存在唯一的一条过点()1,1-的直线1y =-，即0k =，满足题意，故D 正确.故选：D.10.设数列{}n a 的各项均为非零的整数，其前n 项和为n S .若()*,j i i j -∈N为正偶数，均有2ji aa ≥，且20S =，则10S 的最小值为（）A.0B.22C.26D.31【答案】B 【解析】【分析】因为2120S a a =+=，不妨设120,0a a ><，由题意求出3579,,,a a a a 的最小值，46810,,,a a a a 的最小值，10122S a =，令11a =时，10S 有最小值.【详解】因为2120S a a =+=，所以12,a a 互为相反数，不妨设120,0a a ><，为了10S 取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，.由题意知：3a 满足312a a ≥，取3a 的最小值12a ；5a 满足51531224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩，因为1110,42a a a >>，故取5a 的最小值14a ；7a 满足717317531224248a a a a a a a a a≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩，取7a 的最小值18a ；同理，取9a 的最小值116a ；所以135791111112481631a a a a a a a a a a a ++++=++++=，4a 满足422a a ≥，取4a 的最小值22a ；6a 满足62642224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩，因为20a <，所以2224a a >，取6a 的最小值12a ；8a 满足828418641224248a a a a a a a a a≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩，因为20a <，所以222482a a a >>，取8a 的最小值12a ；同理，取10a 的最小值12a ；所以24681022222222229a a a a a a a a a a a ++++=++++=，所以101211131931922S a a a a a =+=-=，因为数列{}n a 的各项均为非零的整数，所以当11a =时，10S 有最小值22.故选：B【点睛】关键点点睛：10S 有最小值的条件是确保各项最小，根据递推关系2j i a a ≥分析可得奇数项的最小值与偶数项的最小值，从而可得10S 的最小值.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若()2(i)2i R x x +=∈，则x =__________.【答案】1【解析】【分析】利用复数的四则运算，结合复数相等的性质得到关于x 的方程组，解之即可得解.【详解】因为2(i)2i x +=，所以222i i 2i x x ++=，即212i 2i x x -+=，所以21022x x ⎧-=⎨=⎩，解得1x =.故答案为：1.12.已知双曲线22:14x C y -=，则C 的离心率为__________；以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为__________.（写出一个即可）【答案】①.②.22(1x y ++=或（22(1x y +=）【解析】【分析】根据离心率的定义求解离心率，再计算焦点到渐近线的距离，结合圆的标准方程求解即可.【详解】22:14x C y -==，又渐近线为12y x =，即20x y -=，故焦点)与()到20x y -=1=，则以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为22(1xy ++=或22(1x y -+=，故答案为：2；22(1xy ++=或（22(1x y +=）13.已知函数()2cos sin f x x a x =+.（i ）若0a =，则函数()f x 的最小正周期为__________.（ii ）若函数()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则实数=a __________.【答案】①.π②.2-【解析】【分析】根据二倍角公式即可结合周期公式求解，利用二次函数的性质即可求解最值.【详解】当0a =时，()2cos 21cos 2x f x x +==,所以最小正周期为2ππ2T ==，()2222cos sin sin sin 1sin 124a a f x x a x x a x x ⎛⎫=+=-++=--++⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，(]sin 0,1x ∈，且二次函数开口向下，要使得()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则需要1022a a-≥-，且当sin 1x =时取最小值，故112a -++=-，解得2a =-，故答案为：π，2-14.二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由()2*nn ∈N 个黑白方块构成的n n ⨯二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成162个不重复的二维码，为确保一个n n ⨯二维码在1分钟内被破译的概率不高于1512，则n 的最小值为__________.【答案】7【解析】【分析】根据题意可得21615260122n⨯≤，即可由不等式求解.【详解】由题意可知n n ⨯的二维码共有22n 个，由21615260122n⨯≤可得2216153126022602n n -⨯⨯≤⇒≤，故2231637n n -≥⇒≥，由于*n ∈N ，所以7n ≥，故答案为：715.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上的动点，DQ ⊥平面1,D PC Q 为垂足.给出下列四个结论：①1D Q CQ =；②线段DQ 的长随线段AP 的长增大而增大；③存在点P ，使得AQ BQ ⊥；④存在点P ，使得PQ //平面1D DA .其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】根据给定条件，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面1D PC 的法向量坐标，进而求出点Q 的坐标，再逐一计算判断各个命题即得答案.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，令1AB =，以点D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设(01)AP t t =≤≤，则1(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,,0)D C D P t ，1(0,1,1),(1,1,0)CD CP t =-=-，令平面1D PC 的法向量(,,)n x y z = ，则10(1)0n CD y z n CP x t y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y =，得(1,1,1)n t =- ，由DQ ⊥平面1D PC 于Q ，得((1),,)DQ n t λλλλ==-，即((1),,)Q t λλλ-，((1),1,)CQ t λλλ=-- ，显然2(1)10CQ n t λλλ⋅=-+-+=，解得21(1)2t λ=-+，于是222111(,,)(1)2(1)2(1)2t Q t t t --+-+-+，对于①，222222221||(1)(1)(1)(1)||D Q t t CQ λλλλλλ=-++--+-+，①正确；对于②，2221||(1)11(1)2(1)2DQ t t t =-++-+-+在[0,1]上单调递增，②正确；对于③，而(1,0,0),(1,1,0)A B ，((1)1,,),((1)1,1,)AQ t BQ t λλλλλλ=--=---，若2222[(1)1](1)(23)(32)10AQ BQ t t t t λλλλλλ⋅=--+-+=-+--+=，显然22(32)4(23)430t t t t ∆=---+=--<，即不存在[0,1]t ∈，使得0AQ BQ ⋅=，③错误；对于④，平面1D DA 的一个法向量(0,1,0)DC =，而((1)1,,)PQ t t λλλ=--- ，由0PQ DC t λ⋅=-=，得t λ=，即21(1)2t t =-+，整理得322310t t t -+-=，令32()231,[0,1]f t t t t t =-+-∈，显然函数()f t 在[0,1]上的图象连续不断，而(0)10,(1)10f f =-<=>，因此存在(0,1)t ∈，使得()0f t =，此时PQ ⊄平面1D DA ，因此存在点P ，使得//PQ 平面1D DA ，④正确.所以所有正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的位置问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间位置关系的方法解决.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数2()2cos(0)2xf x x ωωω=+>，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定.（1）求ω的值；（2）若不等式()2f x <在区间()0,m 内有解，求m 的取值范围.条件①：(2π)3f =；条件②：()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到；条件③：()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，2ω=；（2）π(,)3+∞.【解析】【分析】（1）选条件①，由ππ1cos()332ω-=的解不唯一，此条件不符合题意；选条件②，由周期求出ω；选条件③，由给定等式确定最大最小值条件，求出周期范围，由给定区间内无极值点求出周期即可.（2）由（1）求出函数()f x 的解析式，再借助不等式有解列式求解即得.【小问1详解】依题意，π()cos 12cos()13f x x x x ωωω=++=-+，选条件①，由(2π)3f =，得ππ2cos()1233ω-+=，即ππ1cos()332ω-=，于是πππ2π,N 333k k ω-=+∈或πππ2π,N 333k k ω*-=-+∈，显然ω的值不唯一，因此函数()f x 不唯一，不符合题意.选条件②，()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到，因此()y f x =的最小正周期为函数2cos2y x =的最小正周期π，而0ω>，则2ππω=，所以2ω=.选条件③，()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+，则ππ(()463f f --=，即函数()f x 分别在ππ,63x x ==-时取得最大值､最小值，于是()f x 的最小正周期ππ2[(π63T ≤⨯--=，由()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，得()f x 的最小正周期ππ2[()]π63T ≥⨯--=，因此πT =，而0ω>，所以2π2Tω==.【小问2详解】由（1）知π()2cos(213f x x =-+，由(0,)x m ∈，得πππ2(,2)333x m -∈--，由不等式()2f x <在区间(0,)m 内有解，即π1cos(2)32x -<在区间(0,)m 内有解，则有ππ233m ->，解得π3m >，所以m 的取值范围是π(,)3+∞.17.在三棱锥-P ABC 中，2,AB PB M ==为AP 的中点.（1）如图1，若N 为棱PC 上一点，且MN AP ⊥，求证：平面BMN ⊥平面PAC ；（2）如图2，若O 为CA 延长线上一点，且PO ⊥平面,2ABC AC ==，直线PB 与平面ABC 所成角为π6，求直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据BM AP ⊥和,MN AP ⊥可证线面垂直，即可求证面面垂直，（2）根据线面角的几何法可得π6PBO ∠=，建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解.【小问1详解】连接,,BM MN BN.因为,AB PB M =为AP 的中点，所以BM AP ⊥.又,MN AP ⊥,,MN BM M MN BM ⋂=⊂平面BMN ,所以AP ⊥平面BMN .因为AP ⊂平面,PAC 所以平面BMN ⊥平面PAC .【小问2详解】因为PO ⊥平面,ABC OB ⊂平面,ABC OC ⊂平面ABC ，所以,,PO OB PO OC PBO ∠⊥⊥为直线PB 与平面ABC 所成的角.因为直线PB 与平面ABC 所成角为π6，所以π6PBO ∠=.因为2PB =，所以1,PO OB ==.2=，所以1OA =.又2AB =，故222AB OB OA =+.所以OB OA ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -.则())0,1,0,A B，()()0,3,0,0,0,1C P ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.所以()0,3,1PC =-，()BC = ，510,,22MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,330.y z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则)3,1,3n = .设CM 与平面PBC 所成角为θ，则2sin cos ,132511344MC n MC n MC nθ⋅====⋅+⋅.所以直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为213.18.图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：识别结果真实性别男女无法识别男902010女106010假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.（1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；（2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设X 表示测试的次数，估计X 的分布列和数学期望EX ；（3）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为50%).现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为1:1）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为123,,p p p .试比较123,,p p p 的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）34（2）分布列见解析；()2116E X =（3）231p p p >>【解析】【分析】（1）利用用频率估计概率计算即可（2）由题意知X 的所有可能取值为1,2,3，分别求出相应的概率，然后根据期望公式求出即可（3）分别求出方案一､方案二､方案三进行识别正确的概率，然后比较大小可得【小问1详解】根据题中数据，共有206080+=张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为女性的概率为603804=.【小问2详解】设事件:A 输入男性照片且识别正确.根据题中数据，()P A 可估计为9031204=.由题意知X 的所有可能取值为1,2,3.()()()31331111,2,3444164416P X P X P X ====⨯===⨯=.所以X 的分布列为X123P34316116所以()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】231p p p >>.19.已知椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点.以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为（1）求栯圆E 的方程；（2）设过点()2,0M 的直线l （不与坐标轴垂直）与椭圆E 交于不同的两点,A C ，与直线16x =交于点P .点B 在y 轴上，D 为坐标平面内的一点，四边形ABCD 是菱形.求证：直线PD 过定点.【答案】（1）22186x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦点三角形的周长以及等边三角形的性质可得22a c +=且12c a =，即可求解,,a b c 得解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式可得2286,3434t N t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭，进而根据菱形的性质可得BD 的方程为22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，即可求解220,34t B t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，221614,3434t D t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.进而根据点斜式求解直线PD 方程，即可求解.【小问1详解】由题意可设椭圆E 的方程为22222221(0),x y a b c a b a b+=>>=-.因为以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为所以22a c +=且12c a =，所以a c ==.所以26b =.所以椭圆E 的方程为22186x y +=.【小问2详解】设直线l 的方程为()20x ty t =+≠，令16x =，得14y t =，即1416,P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由223424,2x y x ty ⎧+=⎨=+⎩得()223412120t y ty ++-=.设()()1122,,,A x y C x y ，则1212221212,3434t y y y y t t +=-=-++.设AC 的中点为()33,N x y ，则12326234y y ty t +==-+.所以3328234x ty t =+=+.因为四边形ABCD 为菱形，所以N 为BD 的中点，AC BD ⊥.所以直线BD 的斜率为t -.所以直线BD 的方程为22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭.令0x =得222862343434t t t y t t t =-=+++.所以220,34t B t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.设点D 的坐标为()44,x y ，则4343222162142,2343434t t x x y y t t t ===-=-+++，即221614,3434t D t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭.所以直线PD 的方程为()221414143416161634tt t y x t t ++-=--+，即()746y x t =-.所以直线PD 过定点()4,0.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法：（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.20.已知函数()()ln 0)f x x a a =-+>.（1）若1a =，①求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；②求证：函数()f x 恰有一个零点；（2）若()ln 2f x a a ≤+对(),3x a a ∈恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）①2y =；②证明见解析（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）①求导，即可求解斜率，进而可求直线方程，②根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可，（2）求导后构造函数()()(),,3g x x a x a a =-∈，利用导数判断单调性，可得()f x 的最大值为()()()000ln 2f x x a x a =-+-，对a 分类讨论即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()ln 1f x x =-+.①()11f x x =--'.所以()()22,20f f =='.所以曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为2y =.②由①知()()(]()1ln 11,3,1f x x x f x x =-=-'+∈，且()20f '=.当()1,2x ∈时，因为111x >>-()0f x ¢>；当()2,3x ∈时，因为111x <<-，所以()0f x '<.所以()f x 在区间()1,2上单调递增，在区间()2,3上单调递减.因为()()()322,3ln20,1e 330f f f -==>+=-+<-+<.所以函数()f x 恰有一个零点.【小问2详解】由()()ln f x x a =-+得()f x -='.设()()(),,3g x x a x a a =-∈，则()10g x '=-<.所以()g x 是(),3a a 上的减函数.因为()()0,320g a g a a =>=-<，所以存在唯一()()()000,3,0x a a g x x a ∈=-=.所以()f x '与()f x 的情况如下：x()0,a x 0x ()0,3x a ()f x '+-()f x极大所以()f x 在区间(),3a a 上的最大值是()()()()0000ln ln 2f x x a x a x a =-+=-+-.当1a ≥时，因为()20g a a =-≤，所以02x a ≤.所以()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a ≤-+-=+.所以()()0ln 2f x f x a a ≤≤+，符合题意.当01a <<时，因为()20g a a =>，所以02x a >.所以()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a >-+-=+，不合题意.综上所述，a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21.设正整数2n ≥，*,i i a d ∈N ，(){}1,1,2,i i i A x x a k d k ==+-= ，这里1,2,,i n = .若*12n A A A ⋃⋃⋃=N ，且()1i j A A i j n ⋂=∅≤<≤，则称12,,,n A A A 具有性质P .（1）当3n =时，若123,,A A A 具有性质P ，且11a =，22a =，33a =，令123m d d d =，写出m 的所有可能值；（2）若12,,,n A A A 具有性质P ：①求证：()1,2,,i i a d i n ≤= ；②求1nii ia d =∑的值.【答案】（1）27或32（2）①证明见解析②12n +【解析】【分析】（1）对题目中所给的12,,,n A A A ，我们先通过分析集合中的元素，证明()1,2,,i i a d i n ≤= ，111ni i d ==∑，以及112ni i i a n d =+=∑，然后通过分类讨论的方法得到小问1的结果；（2）直接使用（1）中的这些结论解决小问2即可.【小问1详解】对集合S ，记其元素个数为S .先证明2个引理.引理1：若12,,,n A A A 具有性质P ，则()1,2,,i i a d i n ≤= .引理1的证明：假设结论()1,2,,i i a d i n ≤= 不成立.不妨设11a d >，则正整数111a d A -∉，但*12n A A A ⋃⋃⋃=N ，故11a d -一定属于某个()2i A i n ≤≤，不妨设为2A .则由112a d A -∈知存在正整数k ，使得()11221a d a k d -=+-.这意味着对正整数1112c a d d d =-+，有()111212111c a d d d a d d A =-+=+-∈，()()11122212212211c a d d d a k d d d a k d d A =-+=+-+=++-∈，但12A A =∅ ，矛盾.所以假设不成立，从而一定有()1,2,,i i a d i n ≤= ，从而引理1获证.引理2：若12,,,n A A A 具有性质P ，则111ni i d ==∑，且112ni i ia n d =+=∑.证明：取集合{}121,2,...,...n T d d d =.注意到关于正整数k 的不等式()1201...i i n a k d d d d <+-≤等价于12...11i i n i i ia a d d dk d d d -<≤-+，而由引理1有i i a d ≤，即011iia d ≤-<.结合12...n i d d d d 是正整数，知对于正整数k ，12...11i i n i i i a a d d d k d d d -<≤-+当且仅当12...n i iT d d dk d d ≤=，这意味着数列()()11,2,...k i i x a k d k =+-=恰有iT d 项落入集合T ，即i iT T A d ⋂=.而12,,,n A A A 两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数，故T 中的元素属于且仅属于某一个()1i A i n ≤≤，故12...n T A T A T A T ⋂+⋂++⋂=.所以1212......n nT T T T A T A T A T d d d +++=⋂+⋂++⋂=，从而12111...1nd d d +++=，这就证明了引理2的第一个结论；再考虑集合T 中全体元素的和.一方面，直接由{}121,2,...,...n T d d d =知T 中全体元素的和为()1212 (12)n n d d d d d d +，即()12T T +.另一方面，i T A ⋂的全部iT d 个元素可以排成一个首项为i a ，公差为i d 的等差数列.所以i T A ⋂的所有元素之和为11122i i i i i i i iTT TT T a a d T d d d d d ⎛⎫⎛⎫⋅+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.最后，再将这n 个集合()1,2,...,i T A i n ⋂=的全部元素之和相加，得到T 中全体元素的和为112ni i i i T Ta T d d =⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.这就得到()11122ni i i i T T T Ta T d d =⎛⎫+⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，所以有()221111111222222nnn ni i i i i i i i i iiiT T T TTn TTn T a a a T TT d d d d d ====⎛⎫+⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑.即1122ni i iT T na d =+-=+∑，从而112ni i i a n d =+=∑，这就证明了引理2的第二个结论.综上，引理2获证.回到原题.将123,,d d d 从小到大排列为123r r r ≤≤，则123123m d d d r r r ==，由引理2的第一个结论，有1231231111111r r r d d d ++=++=.若13r ≥，则1231111111111311r r r r r r r =++≤++=≤，所以每个不等号都取等，从而1233r r r ===，故12327m r r r ==；情况1：若11r =，则23111110r r r +=-=，矛盾；情况2：若12r =，则231111112r r r +=-=，所以232221111122r r r r r =+≤+=，得24r ≤.此时如果22r =，则3211102r r =-=，矛盾；如果24r =，则32111124r r =-=，从而34r =，故12332m r r r ==；如果23r =，由于12r =，设()()123123,,,,i i i r r r d d d =，{}{}123,,1,2,3i i i =，则12i d =，23i d =.故对于正整数对()()2121212112331212211i i i i i i i i k a a a a k a a a a ⎧=+--+--⎪⎨=+--+--⎪⎩，有2112231i i k k a a -=--，从而12121223i i i i a k a k A A +=+∈⋂，这与12i i A A ⋂=∅矛盾.综上，m 的取值只可能是27或32.当()()123,,3,3,3d d d =时，27m =；当()()123,,4,2,4d d d =时，32m =.所以123m d d d =的所有可能取值是27和32.【小问2详解】①由引理1的结论，即知()1,2,,i i a d i n ≤= ；②由引理2的第二个结论，即知112nii ia n d=+=∑.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，我们通过两个方面计算了一个集合的各个元素之和，从而得到了一个等式，这种方法俗称“算二次”法或富比尼定理.。

北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高三数学本试卷共5页.共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上•在试 卷上作答无效。

第I 卷(选择题共40分)-S 选择题：本大题共8小题■每小题5分.共40分•在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.1. 设集合Λ = {x ∖r<a}. B = {—3,0∙l ∙5}・若集合A∩B 有且仅有2个元索.则实数α 的取值范围为(A) (-3,+∞)(B) (0> 1](C) [l ∙+α□)2. 若复数Z = 注.则在复平面内N 对应的点位于I-TI(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限3. 在厶ABC 中.若 α=6, A=60o, 3 = 75°,则 C =(A) 4(B) 2√2(C) 2√3(D) 2^4. 设且兀y≠0,则下列不等式中一定成立的是(A)丄>丄(B)InlJrl >ln∣y 丨(C) 2-工<2-，CD) j ∙2>^25. 已知直线T Jry Jr2=0与圆τ ÷j∕2+2jc~2y jra = 0有公共点，则实数"的取值范围为(A) ( — 8. θ](B) [θ∙+oo)(C) [0, 2)(D) (—8, 2)2020. I(D) Eb 5)(D)第四象限6・设三个向b. c互不共线•则∙+b+c=(Γ是^以Iah ∖b∖, ICl为边长的三角形存在"的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件7.紫砂壶是中国特冇的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正徳年间.紫砂壶的壶型众多•经典的有西施壶.掇球壶、石瓢壶.潘壶等•其中.石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)・下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位cm),那么该壶的容量约为(A)IOO cm5(B)200 cm3(C)300 cm3(D)400 cn√&已知函数∕Q)=√TTΓ+4 若存在区间O M].使得函数/Q)在区间DZ 上的值域为[α + l,6 + l],则实数〃的取值范围为(A) (-l,+oo) (B) (一 1. 0] (C) (一 +，+8) (D)( —斗，0]4 4第JI 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题■每小题5分，共3。

2023-2024学年度第一学期期中练习题年级：高三科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合{|5}A x N x =∈≤与集合{|(2)0}B x x x =->，则A B =()A ．{2,3,4}B ．{3,4,5}C ．[2,5)D ．(2,5]2.复数2i12iz -=+的虚部为()A ．1B ．1-C ．iD ．i-3.下列函数中最小值为4的是()A.224y x x =++ B.4|sin ||sin |y x x =+C.222xxy -=+ D.4ln ln y x x=+4.在空间中，若,,a b c 是三条直线，,αβ是两个平面，下列判断正确的是()A ．若a 的方向向量与α的法向量垂直，则//a α；B ．若//a α，βα⊥，则a β⊥；C ．若αβ⊥，c αβ= ，a c ⊥，则a α⊥；D ．若,αβ相交但不垂直，c α⊂，则在β内一定存在直线l ，满足l c ⊥.5.“0x >”是“+sin 0x x >”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知向量a，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,a a b <+> =()A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19357.如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A .若函数x y a =(0a >且1a ≠)及log b y x =（0b >且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则,a b 满足()A.1a b << B.1b a << C.1b a >> D.1a b >>8.在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =()A ．31010B.1010C.1010-D .31010-9.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.则哪种方案能通过考试的概率更大()A ．方案一B ．方案二C ．相等D ．无法比较10.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,AD B C 上的动点，设1,AE x B F y ==.若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是()A.[0,1]B.13[,]22C.[1,2]D.3[,2]2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=.若12l l ⊥，则实数a =.12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________．13.函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移________个单位长度得到.14.已知直线:330l mx y m ++-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若||23AB =，则||CD =______.ABCD1D 1A 1B 1C E F15.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P.（1）下列函数中具有性质P 的有.①()2f x x =-+②()sin f x x =([0,2])x π∈③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞④()ln(1)f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.(本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B =-，且02A π<<，求角A 的值，进而再求()f B 的取值范围.17.（本小题满分14分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，按照[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分组，并整理得到如下频率分布直方图：图1：甲大学图2：乙大学根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级:学习时间t (分钟/天)20t <2050t ≤<50t ≥等级一般爱好痴迷（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从这两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X 甲与X 乙的大小，及方差2S 甲与2S 乙的大小．(只需写出结论)18.（本小题满分14分）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图五面体ABCDEF ，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，其中EF ∥AD ∥BC ，4AD =，2EF BC AB ===，ED =M为AD 中点，平面BCEF 与平面ADEF 交于EF .再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF 能够确定，然后解答下列各题：（Ⅰ）求证：BM ∥平面CDE ；（Ⅱ）求二面角B AE F --的余弦值.（Ⅲ）在线段AE 上是否存在点Q ，使得MQ 与平面ABE 所成的角的正弦值为77，若存在，求出AQ AE 的值，若不存在，请说明理由.条件①：平面CDE ⊥平面ABCD ；条件②：平面ADEF ⊥平面ABCD ；条件③：EC =.19.（本小题满分15分）已知椭圆22220:1()x y W a ba b +=>>的焦距为4，短轴长为2，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆W 的方程；（Ⅱ）设,,A B C 是椭圆W 上的三个点，判断四边形OABC 能否为矩形？并说明理由．20.（本小题满分15分）已知函数212)(1()e 2x f x ax x -=-+．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程；（Ⅱ）若函数()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 存在最小值，直接写出a 的取值范围．21.（本小题满分14分）设数阵111202122,a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中11122122,,,{1,2,,6}a a a a ∈⋅⋅⋅，设12{,,,}{1,2,,6},l S e e e =⋅⋅⋅⊆⋅⋅⋅其中*12, 6.l e e e l N l <<⋅⋅⋅<∈≤且定义变换k ϕ为“对于数列的每一行，若其中有k 或k -，则将这一行中每个数都乘以-1，若其中没有k 且没有k -，则这一行中所有数均保持不变”12(,,,).l k e e e =⋅⋅⋅0()s A ϕ表示“将0A 经过1e ϕ变换得到1A ，再将1A 经过2e ϕ变换得到2A ，⋅⋅⋅，以此类推，最后将1l A -经过le ϕ变换得到l A ”，记数阵l A 中四个数的和为0()s T A .（Ⅰ）若011A ⎛= ⎝25⎫⎪⎭，写出0A 经过2ϕ变换后得到的数阵1A ；（Ⅱ）若013A ⎛=⎝36⎫⎪⎭，{1,3},S =求0()s T A 的值；（Ⅲ）对任意确定的一个矩阵0A ，证明：0()s T A 的所有可能取值的和不超过4-.2023-2024学年度第一学期期中练习题答案年级：高三科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）BBCDCDACAC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.-3或012.21n n +13.23π14.415.①②④；(,](0,)e -∞-+∞ 三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+11=sin 2cos 222x x +2=sin(2)24x π+.由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ），解得88k x k 3πππ-≤≤π+.所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）.……………6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos 2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos 2cos sin A A A =-.即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=；当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=.则3+4B C =π.则304B <<π.又2444B ππ7π<+<，所以1sin(214B π-≤+≤.由2())24f B B π=+，则()f B 的取值范围是2222⎡-⎢⎥⎣⎦，.………………13分17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65.………3分（Ⅱ）甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102⨯⨯=人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106⨯⨯=人，所以，随机变量ξ的取值为0,1,2=ξ.所以，(0)==P ξ022628C C 1528C =，(1)==P ξ112628C C 123287C==，(2)==P ξ202628C C 128C =.所以ξ的分布列为ξ012P152837128ξ的数学期望为15311()012287282=⨯+⨯+⨯=E ξ.……………11分（Ⅲ）X <甲X 乙;22ss >甲乙……………13分（Ⅰ） 等腰梯形ABCD M 是AD 中点MD BC ∴=MD BC∴∥∴平行四边形BCDM BM CD ∴∥BM ∉ 平面CDE CD ∈平面CDE BM ∴∥平面CDE .（Ⅱ）选②和选③，过程仅在建系之前有区别.选②：取BC 中点为N ，EF 中点为P ，连接MP 和MN平面ADEF ⊥平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD = PM AD ⊥PM ∈ 平面ADEF PM ∴⊥平面ABCD MN AD ⊥ ，如图建系选③：取MD 中点Q ，连接CQ 和EQ EC = 3EQ=CQ =∴EQ CQ⊥∴二面角2E AD C π--=∴平面ADEF ⊥平面ABCD 取BC 中点为N ，EF 中点为P ，连接MP 和MN平面ADEF ⊥平面ABCD 平面ADEF 平面ABCD AD = PM AD ⊥PM ∈ 平面ADEF PM ∴⊥平面ABCD MN AD ⊥ ，如图建系(0,2,0)A-1,0)B-C (0,2,0)D (0,1,3)E (0,1,3)F -(0,0,0)M (1,0)BA =- (0,3,3)AE = 设平面BAE 的一个法向量(,,)n x y z =00n BA n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0330y y z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩令x =，则3y =-，3z =，则3,3)n =- 易知(1,0,0)m =-是平面AEF的一个法向量cos ,||||7m n m n m n ⋅<>==-经检验，B AE F --为钝角，所以二面角B AE F --的余弦值为77-（Ⅲ）设,[0,1]AQAEλλ=∈，(0,3,3)AQ AE λλλ== ，(0,32,3)MQ MA AQ λλ=+=- ||7|cos ,|7||||MQ n MQ n MQ n ⋅<>==⋅解得153λ±=,均不满足题意，故不存在点Q .解：（Ⅰ）由题意，椭圆W 的方程为2215x y +=.（Ⅱ）设:AC y kx m =+,1122(,),,(),C x A x y y AC 中点00(,)M x y ,33(,)B x y ，2222255(15)10550x y k x kmx m y kx m⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩，222(10)4(15)(55)0km k m ∆=-+->，1221015km x x k +=-+,21225515m x x k-=+.(1)由条件OA OC ⊥，得12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理得221212(1)()0k x x km x x m ++++=，将(1)式代入得2222(1)(55)(10)(15)0k m km km m k +-+-++=即22655m k =+(2)又20125215x x km x k +==-+,00215m y kx m k =+=+且M 同时也是OB 的中点,所以30302,2x x y y ==因为B 在椭圆上,所以223355x y +=，即02024205x y +=，222254()20(51515km m k k -+=++，所以22451m k =+(3)由(2)(3)解得2272,5k m ==，验证知222(10)4(15)(55)1200km k m ∆=-+-=>，所以四边形OABC 可以为矩形.20.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）111(0)e 22f e-=⋅=，∴切点为1(0,2e ，又21221()e ]2(1)[22(e 1)x x f x ax x x ax a a --+-'==+-，∴(0)0f '=，∴切线方程为102y e-=.（Ⅱ）定义域为R ，21()2(1)e x f x x ax a -'=+-1当0a =时，21()2e x f x x -'=-，令0()f x '>得0x <，∴()f x 增区间为(,0)-∞；令0()f x '<得0x >，∴()f x 增区间为(0,)+∞；∴()f x 在0x =取极大值，合题意.2当0a <时，由21()2(1)e 0x f x x ax a -'=-=+可得1210,0ax x a-==<，x 1(,)aa --∞1a a-1(,0)a a -0(0,)+∞()f x '-0+0-()f x 减极小值增极大值减∴()f x 在0x =处取得极大值，∴0a <合题意.3当0a >时，由21()2(1)e 0x f x x ax a -'=-=+可得1210,a x x a-==(i)当10aa-<即1a >时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x 1(,)aa --∞1a a-1(,0)a a -0(0,)+∞()f x '+0-0+()f x 增极大值减极小值增∴()f x 在0x =处取得极小值，不合题意.(ii)当10aa-=即1a =时,()0f x '≥在R 上恒成立，∴()f x 在R 上增，无极大值点.北京八中2023-2024学年度第一学期期中练习题答案第6页，共6页(iii)当10a a->即01a <<时，()f x '，()f x 变化情况如下表：x(,0)-∞01(0,)a a -1a a -1(,)a a -+∞()f x '+0-0+()f x 增极大值减极小值增∴()f x 在0x =处取得极大值，∴01a <<合题意.综上可得：a 的取值范围是(,1)-∞（Ⅲ）1(0,]221.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）经过2f 变换111A æ-ç=ççè25ö-÷÷÷÷ø（Ⅱ）013A æç=ççè36ö÷÷÷÷ø经过1j 变换得到113A æ-ç=ççè36ö-÷÷÷÷ø经过3j 变换得到313A æç=ççè36ö÷÷÷÷-ø，所以0()13(3+S T A =++-）（-6)= -5（Ⅲ）因为集合S 共有含空集在内的子集64个，令00()A A f j =,对于第一行11a 和12a ①若1112a a =，则含11a 的子集有32个，这32个l A 中第一行为11a -，12a -；不含有11a 的子集有32个，这32个l A 中第一行为11a ，12a ，所有l A 中第一行的和为0。

北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学 2012.1一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线2(1)1y x =-+的顶点坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--2．若相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是A ．2B ．3C ． 6D ．113．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为A B C ．12D ．2 4． 如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于E ，连接BD ，若∠D =30°，BD =2，则AE 的长为A ．2B ．3C ．4D ．55．下列图形中，中心对称图形有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现大于3点的概率为A ．21 B ．31 C ．41 D ．61 7．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点（-1,0），对称轴为x =1，则下列结论中正确的是A ．0>aB ．当1>x 时，y 随x 的增大而增大C ．0<cD ．3x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，(0,2)B ，⊙C 的圆心为点(1,0)C -，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于E 点，则△ABE 面积的最大值是A ．2B ． 83C ．2+D ． 2二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠OCB ＝40°，则∠A= °．10．将抛物线2y x =先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是 ．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4．以斜边AB 的中点D 为旋转中心，把△ABC 按逆时针方向旋转α角（0120α︒<<︒），当点A 的对应点与点C 重合时，B ，C 两点的对应点分别记为E ，F ，EF 与AB 的交点为G ，此时α等于 °，△DEG 的面积为 ． 12．已知二次函数212y x x =-+，（1）它的最大值为 ；（2）若存在实数m ， n 使得当自变量x 的取值范围是m ≤x ≤n 时，函数值y 的取值范围恰好是3m ≤y ≤3n ，则m= ，n= ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．计算：2cos302sin 45︒︒-︒．14．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，且点A ，B ，C ，P 均为格点.（1） 在网格中作图：以点P 为位似中心，将△ABC 的各边长放大为原来的两倍，A ，B ，C 的对应点分别为A 1 ，B 1 ，C 1；（2） 若点A 的坐标为（1,1），点B 的坐标为（3,2），则（1）中点C 1的坐标为 .15．已知抛物线245y x x =+-.（1）直接写出它与x 轴、y 轴的交点的坐标；（2）用配方法将245y x x =+-化成2()y a x h k =-+的形式．16．如图，三角形纸片ABC 中，∠BCA =90°，∠A =30°，AB =6，在AC 上取一点 E ，沿BE 将该纸片折叠，使AB 的一部分与BC 重合，点A 与BC 延长线上的点D 重合，求DE 的长.17．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB 的长为x 米（要求AB ＜AD ），矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；（2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？18．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线与BC ，AB 的交点分别为D ，E ．（1）若AD =10，4sin5ADC ∠=，求AC 的长和tan B 的值； （2）若AD=1，ADC ∠=α，参考（1）的计算过程直接写出tan2α的值（用sin α和cos α的值表示）．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形PABC 的边长为1，将其沿x 轴的正方向连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形PABC 顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D 为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n 个正方形．设滚动过程中的点P 的坐标为(,)x y ．（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P 的坐标；（2）画出点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4），并直接写出该曲线与x 轴所围成区域的面积．20．已知函数2y x bx c =++（x ≥ 0），满足当x =1时，1y =-，且当x = 0与x =4时的函数值相等．（1） 求函数2y x bx c =++（x ≥ 0）的解析式并画出它的图象（不要求列表）；（2） 若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且2 (0),() 2 (0),x bx c x f x x ⎧++≥=⎨-<⎩又已知关于x 的方程()f x x k =+有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线与⊙O 的交点为D ，DE ⊥AC ，与AC 的延长线交于点E ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线；（2）若OE 与AD 交于点F ，4cos 5BAC ∠=，求DF AF的值．22．阅读下列材料：题目：已知实数a ，x 满足a ＞2且x ＞2，试判断ax 与a x +的大小关系，并加以说明.思路：可用“求差法”比较两个数的大小，列出ax 与a x +的差()y ax a x =-+再说明y 的符号即可.现给出如下利用函数解决问题的方法：简解：可将y 的代数式整理成(1)y a x a =--，要判断y 的符号可借助函数(1)y a x a =--的图象和性质解决. 参考以上解题思路解决以下问题：已知a ，b ，c 都是非负数，a ＜5，且 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=．（1）分别用含a 的代数式表示4b ，4c ；（2）说明a ，b ，c 之间的大小关系．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．（1）求该抛物线与x 轴的交点及顶点的坐标(可以用含k 的代数式表示)；（2）若记该抛物线顶点的坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值；（3）将该抛物线先向右平移12个单位长度，再向上平移1k个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．24．已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，点M 为⊙O 上一点.（1）如图，若△ABC 为等边三角形，BM =1，CM =2，求AM 的长；（3） 若△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90︒，BM a =，CM b =（其中b a >），直接写出AM 的长(用含有a ，b 的代数式表示).25． 已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy 中，A ，C 两点的坐标分别为(2,3)A ，(,3)C n -（其中n ＞0），点B在x 轴的正半轴上．动点P 从点O 出发，在四边形OABC 的边上依次沿O —A —B —C 的顺序向点C 移动，当点P 与点C 重合时停止运动．设点P 移动的路径的长为l ，△POC 的面积为S ，S 与l 的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF 是等腰梯形．（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m = ；（2）求B ，C 两点的坐标及图2中OF 的长；（3）在图1中，当动点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线W 的顶点时，① 求此抛物线W 的解析式；② 若点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，坐标平面内另有一点R ，满足以B ，P ，Q ，R 四点为顶点的四边形是菱形，求点Q 的坐标．。

2023-2024学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x |x 2≥4}，则A ∪B ＝（ ） A ．（﹣1，+∞）B ．（﹣1，2]C ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪（﹣1，3）2．在复平面内，复数z =i−2i的对应点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设a ，b ∈R ，且a ＞b ，则（ ） A ．1a ＜1bB ．tan a ＞tan bC ．3﹣a ＜2﹣bD ．a |a |＞b |b |4．已知双曲线C 的一个焦点是F 1（0，2），渐近线为y =±√3x ，则C 的方程是（ ） A ．x 2−y 23=1B ．x 23−y 2=1C ．y 2−x 23=1D ．y 23−x 2=15．已知点O （0，0），点P 满足|PO |＝1．若点A （t ，4），其中t ∈R ，则|P A |的最小值为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．26．在△ABC 中，∠B ＝60°，b =√7，a ﹣c ＝2，则△ABC 的面积为（ ） A ．3√32B ．3√34 C ．32D ．347．已知函数f(x)=ln1+x1−x，则（ ） A ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴B ．f （x ）在（﹣1，1）上是减函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心C ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称轴D ．f （x ）在（﹣1，1）上是增函数，且曲线y ＝f （x ）存在对称中心 8．设a →，b →是非零向量，则“|a →|＜|b →|”是“|a →•b →|＜|b →|2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设{a n }是首项为正数，公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ．若存在无穷多个正整数k ，使S k ≤0，则q 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0）B ．（﹣∞，﹣1]C ．[﹣1，0）D ．（0，1）10．如图，水平地面上有一正六边形地块ABCDEF ，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板A 1B 1C 1D 1E 1F 1．若其中三根柱子AA 1，BB 1，CC 1的高度依次为12m ，9m ，10m ，则另外三根柱子的高度之和为（ ）A ．47mB ．48mC ．49mD ．50m二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高二数学 2014.1（文科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．圆2221x y y ++=的半径为( )A. 1B.C. 2D. 42．双曲线1922=-y x 的实轴长为( )A. 4B. 3C. 2D. 13．已知P 为椭圆192522=+y x 上一点, 12,F F 为椭圆的两个焦点，且13PF =, 则2PF =( ) A. 2B. 5C. 7D. 84．命题“x ∀∈R ,20x ≥”的否定为( ) A. x ∃∈R ，20x < B. x ∃∈R ， 20x ≥ C. x ∀∈R ，20x <D. x ∀∈R ， 20x ≤5．关于直线a b ,以及平面M N ,,下列命题中正确的是( ) A. 若//,//a M b M ，则//a b B. 若//,b M a b ⊥，则a M ⊥ C. 若,b M a b ⊂⊥，则a M ⊥ D. 若,a M a N ⊥⊂，则M N ⊥6．“n m =”是“方程122=+ny mx 表示圆”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．若1m >，则方程222111x y m m +=--表示（ ）A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在y 轴上的椭圆C. 焦点在x 轴上的双曲线D. 焦点在y 轴上的双曲线8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论 不正确．．．的是( ) A.111C D B C ⊥ B.1BD AC ⊥ C.11//BD B C D.160ACB ∠=9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（ ）A. 8B. 6C. 4D.8310. 已知椭圆2214x y +=，O 为坐标原点. 若M 为椭圆上一点，且在y 轴右侧，N 为x 轴上一点，90OMN ∠=，则点N 横坐标的最小值为（ ） A. B.C. 2D. 3俯视图侧视图正视图D ABCA 1B 1C 1D 1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 已知抛物线的准线为1-=x ，则其标准方程为_______.12. 命题“若x y >，则x y >”的否命题是：__________________.13. 若圆221:1O x y +=与圆2222:(3)(0)O x y r r -+=>外切，则r 的值为_______.14. 双曲线221412x y -=的离心率等于_______；渐近线方程为_______.15. 已知一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，若此正方体的棱长为1，那么这个球的表面积为_______.16. 已知正方体1111D C B A ABCD -，点E 、F 、G 分别是棱B B 1、AB 和11B C 上的动点，观察直线CE 与F D 1，CE 与1D G ． 给出下列结论：①对于任意点E ，存在点F ，使得1D F ⊥CE ； ②对于任意点F ，存在点E ，使得⊥CE F D 1； ③对于任意点E ，存在点G ，使得1D G ⊥CE ； ④对于任意点G ，存在点E ，使得⊥CE 1D G ． 其中，所有正确结论的序号是__________. D ABC A 1B 1C 1D 1 EFG三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 平面ABCD ，PA AD =，E 为PD 中点.（Ⅰ）证明：AB //平面PCD ； （Ⅱ）证明：⊥AE 平面PCD .18.（本小题满分13分）已知圆C 经过坐标原点O 和点)2,2(，且圆心在x 轴上. （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点)2,1(，且l 与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程. ABCDEP在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥平面ABC ，90ACB ∠=，D 为BC 中点.（Ⅰ）求证：1BC AA ⊥； （Ⅱ）求证：1//AC 平面1AB D ； （Ⅲ）若12AC AA BC ===，160A AC ∠=，求三棱锥1A ABC -的体积.20.（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为，左右焦点分别为12,F F ，且122F F =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，且AB =2AF B ∆的面积.ABCA 1B 1C 1D如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为梯形，//AD BC ，12AB AD BC ==， 60ABC ∠= ，平面⊥PAB 平面ABCD ，PB PA ⊥．（Ⅰ）求证：//BC 平面PAD ； （Ⅱ）求证：AC PB ⊥；（Ⅲ）是否存在点Q ，到四棱锥ABCD P -各顶点的距离都相等？并说明理由.22.（本小题满分14分）已知抛物线2:12C y x =，点(,0)M a ，过M 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点. （Ⅰ）若1a =，抛物线C 的焦点与AB 中点的连线垂直于x 轴，求直线l 的方程； （Ⅱ）设a 为小于零的常数，点A 关于x 轴的对称点为A '，求证：直线A B '过定点.ABDP北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.C3.C4.A5. D6.B7. B8. C9.C 10.B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. x y 42= 12. 若x y ≤，则x y ≤. 13. 214. 2,y = 15. 3π 16. ②③ 注：一题两空的试题，第一空3分，第二空2分；16题，仅选出②或③得3分；错选得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17. 证明：（Ⅰ）因为底面ABCD 为矩形，所以 //AB CD . …………………2分 又因为 AB ⊄平面PCD ，CD Ì平面PCD ， 所以 AB //平面PCD . …………………5分 （Ⅱ）因为PA AD =，E 为PD 中点， 所以 AE PD ⊥， …………………7分 因为 ⊥PA 平面ABCD ，所以 PA ^CD . …………………9分 又底面ABCD 为矩形， 所以 CD AD ⊥.所以 CD ⊥平面PAD . …………………11分 所以 CD ⊥AE . …………………12分 所以 AE ⊥平面PCD . …………………13分 18. 解：（Ⅰ）设圆C 的圆心坐标为(,0)a ，依题意，有a =， ………………2分ABCDEP即2248a a a =-+，解得2a =， ………………4分 所以圆C 的方程为22(2)4x y -+=. ………………6分（Ⅱ）依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1， ………………8分所以直线1x =符合题意. ………………9分 另，设直线l 方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，1=， ………………11分解得34k =-， ………………12分 所以直线l 的方程为32(1)4y x -=--，即34110x y +-=. ………………13分综上，直线l 的方程为10x -=或34110x y +-=. 19.（Ⅰ）证明：因为90=∠ACB ，所以 AC BC ⊥， ……… 1分 又 侧面⊥11A ACC 平面ABC ， 且 平面 11A ACC 平面ABC AC =，⊂BC 平面ABC ，所以 ⊥BC 平面11A ACC ， ………… 3分 又 ⊂1AA 平面11A ACC ，所以 1AA BC ⊥ . ………… 5分（Ⅱ）证明：设B A 1与1AB 的交点为O ，连接OD , ……………… 7分在1A BC ∆中，,O D 分别为B A 1，BC 的中点，所以 1//OD AC ， ……………… 9分 又 OD ⊂平面1AB D ，1AC ⊄平面1AB D ， 所以 1//AC 平面1AB D . ……………… 11分 （Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，BC ⊥平面11A ACC ，所以三棱锥1A ABC -的体积为113ACA S BC ∆⋅. ………………12分 又 12AC AA ==，160A AC ∠=， 所以1122sin 602ACA S ∆=⨯⨯⨯= ……………… 13分 A BC A 1B 1C 1D O所以12333ACA S BC ∆11⋅==三棱锥1A ABC -的体积等于3. ……………… 14分20. 解：（Ⅰ）由已知 22c =，所以 1c =. ……………… 1分因为椭圆C 的离心率为2，所以2c a =. ……………… 2分所以 a =. ……………… 3分 所以 2221b a c =-=， ……………… 4分故椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………… 5分（Ⅱ）若直线AB 的方程为1x =-，则AB =，不符合题意.设直线AB 的方程为(1)y k x =+，由 22(1),22,y k x x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y 得 2222(12)4220k x k x k +++-=， ………… 6分 显然0∆>成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则22121222422,,1212k k x x x x k k -+=-⋅=++ ……………… 7分||AB ==22)12k k+==+. ……………… 9分由已知 k = ……………… 10分当 2k =，直线AB 的方程为1)2y x =+，即10x +=，点2F 到直线AB 的距离d == ……………… 11分所以2AF B ∆的面积21||2AF B S AB d ∆=12232=⨯=. …………… 12分当2k =-，2AF B ∆的面积也等于2. 综上，2AF B ∆……………… 13分 21.（Ⅰ）证明：底面ABCD 为梯形，//AD BC ，又 BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以 //BC 平面PAD . ……………… 3分 （Ⅱ）证明：设BC 的中点为O ，连结AO ，在梯形ABCD 中，因为 12AB AD BC ==，60ABC ∠= ， 所以 ABO ∆为等边三角形，1OA =，…… 4分 又 //AD BC ，所以 四边形OCDA 为菱形. 因为 120AOC ∠=，OA OC =， 所以 30OAC ∠= ，所以 90BAC ∠=，AB AC ⊥， ……………… 6分 又平面⊥PAB 平面ABCD ，AB 是交线，所以 AC ^平面PAB ， ……………… 8分 所以 AC PB ⊥，即AC PB ⊥. ……………… 9分 （Ⅲ）解：因为 PA PB ⊥，AC PB ⊥，所以PB ⊥平面PAC .所以，PB PC ⊥， ……………… 10分 所以 PBC ∆为直角三角形，90BPC ∠=. ……………… 11分连结BD ，由（Ⅱ）知60BCD ∠=， 所以 ABC DCB ∆≅∆，所以 DBC ∆为直角三角形，90BDC ∠=. ……………… 12分ABD PO·所以点O 是三个直角三角形：PBC ∆、ABC ∆和DBC ∆的共同的斜边BC 的中点， 所以 OA OB OC OD OP ====，所以存在点Q （即点O ）到四棱锥ABCD P -各顶点的距离都相等. ………… 13分22.（Ⅰ）解：由已知，抛物线2:12C y x =的焦点坐标为(3,0)F . ……………… 1分设过点(1,0)M 的直线l 的方程为(1)y k x =-，由 2(1),12,y k x y x =-⎧⎨=⎩ 得2222(212)0k x k x k -++=. ……………… 2分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122212k x x k++=. ……………… 3分 因为F 与AB 中点的连线垂直于x 轴，所以1232x x +=，即226=3k k+.………… 4分 解得 2=3k，=k ……………… 5分 所以，直线l的方程为=1)y x ±-. ……………… 6分 （Ⅱ）证明：设直线l 的方程为()y k x a =-.由 2(),12y k x a y x =-⎧⎨=⎩得22222(212)0k x ak x a k -++=， ……………… 7分 则20k ≠，且2481440ak ∆=+>，即0k ≠，且230ak +>. 2212122212,ak x x x x a k++==. ……………… 8分 因为,A A '关于x 轴对称，所以11(,)A x y '-，直线212221:()y y A B y y x x x x +'-=--， 又 21112y x =，22212y x =，所以222112()y x x y y y =-+-， ……………… 10分 所以 22121221212121121212x y y y y y y x x y y y y y y y y -+-=+=-----. ……………… 11分因为 2221212144144y y x x a ==，又12,y y 同号，0a <，所以 1212y y a =-， ……………… 12分 所以直线A B '的方程为212121121212()a y x x a y y y y y y -=-=+---，……………… 13分 所以，直线A B '恒过定点(,0)a -. ……………… 14分。

20232024学年度第一学期期末试卷 第1页（共6页）北京市西城区2023—2024学年度第一学期期末试卷高三数学答案及评分参考 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）C （ 2 ）A （ 3 ）D （ 4 ）D （ 5 ）C（ 6 ）B（ 7 ）D（ 8 ）A（ 9 ）B（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）12（12）3 （答案不唯一） （13）(4,)+∞ 4（14）2x =−2（15）①②④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）由题设2πππ2sin cos 2cos 0666a −=，解得a………3分所以2()cos 2cos f x x x x =−2cos21x x =−− ………5分 π2sin (2)16x =−−．………6分 所以()f x 的最小正周期为π．………7分（Ⅱ）因为π02x ≤≤， 所以ππ5π2666x −−≤≤．………9分所以1πsin (2)126x −−≤≤， 即π22sin (2)116x −−−≤≤．20232024学年度第一学期期末试卷 第2页（共6页）当ππ262x −=，即π3x =时，()f x 取得最大值1； 当ππ266x −=−，即0x =时，()f x 取得最小值2−． ………11分由题设2m −≤，且1M ≥．所以m 的最大值是2−；M 的最小值是1．………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）记“这2人都最喜爱使用跑步软件一”为事件A ，则80303(A)2008020P =⨯=． ………4分（Ⅱ）因为抽取的8人中最喜爱跑步软件二的人数为208280⨯=， 所以X 的所有可能取值为0,1,2．………5分3638C 5(0)14C P X ===， 122638C C 15(1)28C P X ===， 212638C C 3(2)28C P X ===． ………8分所以X 的分布列为故X 的数学期望0121428284EX =⨯+⨯+⨯=． ………10分 （Ⅲ）222231s s s ．………13分20232024学年度第一学期期末试卷 第3页（共6页）（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为PD AD =，E 为PA 中点，所以DE PA ⊥．………1分又因为平面PAB ⊥平面PAD ， 平面PAB 平面PAD PA =， 且DE ⊂平面PAB ． 所以DE ⊥平面PAB ． ………2分 所以DE AB ⊥．………3分因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AB ⊥． 所以AB ⊥平面PAD ．………4分（Ⅱ）因为AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，所以CD ⊥平面PAD ．又PD ⊥平面ABCD ，所以,,DA DC DP 两两相互垂直． ………5分 如图建立空间直角坐标系D x y z −，………6分则(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(2,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ，(1,0,1)E ． 所以(2,0,0)CB =,(0,2,2)CP =−,(1,0,1)DE =．设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0.CB CP ⎧=⎪⎨=⎪⎩⋅⋅m m 即20,220.x y z =⎧⎨−+=⎩令1y =，则1z =．于是(0,1,1)=m ． ………8分设直线DE 与平面PBC 所成角为α，则 1||sin ,|cos |2||||DE DE DE α=〉=〈=⋅m m m ．………10分 所以直线DE 与平面PBC 所成角的大小为30．………11分（Ⅲ）因为(1,0,1)EP =−，所以点E 到平面PBC 的距离为2||||EP d ==⋅m m ． ………13分因为CB CP ⊥，所以四面体PEBC 的体积为11123323PBC V S d CB CP d =⋅=⋅⋅⋅⋅=△． ………14分20232024学年度第一学期期末试卷 第4页（共6页）（19）（共15分）解：（Ⅰ）由题设，22222,411,c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩………3分解得228,2a b ==．………4分 所以椭圆E 的方程为22182x y +=．………5分（Ⅱ）若直线AB 与y 轴重合，则点M 与原点重合，符合题意，此时直线AB 的方程为0x =．………6分若直线AB 与y 轴不重合，设其方程为1y k x =+．由221,48y k x x y =+⎧⎨+=⎩ 得22(41)840k x kx ++−=． ………8分设1122(,),(,)A x y B x y ，则122841kx x k −+=+． ………9分 所以1224241M x x k x k +−==+，21141M M y kx k =+=+．………10分因为M 是CD 的中点， 所以282241D M C k x x x k −=−=−+，222141D M Cy y y k =−=−+． ………11分 因为2248D D x y +=，………12分所以222282(2)4(1)804141k k k −−+−−=++． 整理得340k k +=． ………13分 解得0k =．………14分但此时直线AB 经过点C ，不符合题意，舍去． 综上，直线AB 的方程为0x =．………15分20232024学年度第一学期期末试卷 第5页（共6页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）当1a =时，e ()x f x x =， 所以2(1)e ()xx f x x −'=．………1分 所以(1)e f =，(1)0f '=．………3分 所以曲线()y f x =在点(,())11f 处的切线方程为e 0y −=． ………4分 （Ⅱ）()f x 的定义域为(,0)(0,)−∞+∞，且2(1)e ()axax f x x −'=．………6分令()0f x '=，得1x a=． ()f x '与()f x 的情况如下：所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞；单调递减区间为(,0)−∞和1(0,)a．………10分（Ⅲ）当12x x <且120x x ⋅>时，121211()()f x f x x x −<−，证明如下： 令1()()g x f x x=−，则2(1)e 1()ax ax g x x −+'=．设()(1)e 1ax x h ax =−+，则2()e ax x h a x '=．………12分所以当(0),x ∈−∞时，()0x h '<；当()0,x ∈+∞时，()0x h '>． 所以()h x 在(0),−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增． 从而()(0)0h x h >=，即()0g x '>．所以()g x 的单调递增区间为(0),−∞和()0,+∞．………14分当120x x <<时，12()()g x g x <，即121211()()f x f x x x −<−； 当120x x <<时，12()()g x g x <，即121211()()f x f x x x −<−． 综上，当12x x <且120x x ⋅>时，121211()()f x f x x x −<−．………15分20232024学年度第一学期期末试卷 第6页（共6页）（21）（共15分）解：（Ⅰ）:(1,2),(2,3),(3,1)A ，或:(1,3),(3,2),(2,1)A ．………4分（Ⅱ）因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中，故26C 15m =≤，所以1,2,3,4,5,6每个数至多出现5次．又因为1(1,2,,1)i i x y i m +==−，所以只有1,m x y 对应的数可以出现5次， 故1(4425)132m ⨯⨯+⨯=≤．………9分（Ⅲ）当N 为奇数时，先证明(2)()21T N T N N +=++．因为(,)p q 和(,)q p 不同时出现在A 中，所以21()C (1)2N T N N N =−≤． 当3N =时，构造:(1,2),(2,3),(3,1)A 恰有23C 项，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1．对奇数N ，如果可以构造一个恰有2C N 项的序列A ，且首项的第1个分量与末项的第2个分量都为1，那么对奇数2N +而言，可按如下方式构造满足条件的序列A '： 首先，对于如下21N +个数对集合：{(1,1),(1,1)}N N ++，{(1,2),(2,1)}N N ++， {(2,1),(1,2)}N N ++，{(2,2),(2,2)}N N ++， ……，{(,1),(1,)}N N N N ++，{(,2),(2,)}N N N N ++，{(1,2),(2,1)}N N N N ++++，每个集合中都至多有一个数对出现在序列A '中，所以(2)()21T N T N N +++≤． 其次，对每个不大于N 的偶数{2,4,,1}i N ∈−，将如下4个数对并为一组：(1,),(,2),(2,1),(1,1)N i i N N i i N ++++++，共得到12N −组，将这12N −组数对以及(1,1),(1,2),(2,1)N N N N ++++按如下方式补充到A 的后面，即：,(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,1),,A N N N N N +++++(1,1),(1,2),(2,),(,1),(1,2),(2,1)N N N N N N N N N N N +−−++++++．此时恰有()21T N N ++项，所以(2)()21T N T N N +=++．综上，当N 为奇数时，()(()(2))((2)(4))((5)(3))(3)T N T N T N T N T N T T T =−−+−−−++−+[2(2)1][2(4)1](231)3N N =−++−+++⨯++1(1)2N N =−． ………15分。

北京市西城区（南区）2012-2013学年度第一学期高一年级期末考试数学试卷本试卷满分100分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共14个小题，每小题3分，共42分。

在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

[ ]1. 已知全集R U =，集合{}12|<=xx A ，{}01|<-=x x B ，则B A C U ⋂)(=A. {}1|>x xB. {}10|<≤x xC. {}10|≤<x xD. {}1|≤x x[ ]2. 已知幂函数)(x f y =的图象经过点（2，4），则)(x f y =的解析式为A. xy 2=B. 2x y =C. x y =D. x y 2=[ ]3. 若32=a ，且0>a ，则a 3log 的值为 A. 3-B. 3C. 21-D.21 [ ]4. 已知0>a 且1≠a ，函数x y a log =，xa y =在同一坐标系中的图象可能是[ ]5. 已知2)(357++-=cx bx ax x f ，且m f =-)5(，则)5()5(f f --的值为 A. 42-mB. 42+mC. 4-D. 4[ ]6. 某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 A. 72B. 36C. 27D. 18[ ]7. 同时投掷两颗骰子，所得点数之和是5的概率是 A.41 B.61 C.91 D.121 [ ]8. 下图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A. 84，4.84B. 84，1.6C. 85，1.6D. 85，4[ ]9. 设9.04=a ，48.08=b ，5.1)21(-=c ，则A. b a c >>B. b c a >>C. c b a >>D. c a b >>[ ]10. 若下边的程序框图输出的S 是62，则条件①可为A. 4≤nB. 5≤nC. 6≤nD. 7≤n[ ]11. 设1>a ，函数x x f a log )(=在区间[a a 2,]上的最大值与最小值之差为21，则=a A. 4B. 2C. 22D. 2[ ]12. 下列函数中，函数图象关于y 轴对称，且在（0，+∞）上单调递增的是 A. xy 2=B. 12-=x yC. 21x y =D. ||log 21x y =[ ]13. 设0x 是函数x x f x2log )31()(-=的零点，若00x a <<，则)(a f 的值满足A. 0)(=a fB. 0)(<a fC. 0)(>a fD. )(a f 的符号不确定[ ]14. 已知函数⎩⎨⎧>-≤-=-0),1(0,12)(x x f x x f x ，若方程a x x f +=)(有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是A. )1,(-∞B. ]1,(-∞C. )1,0(D. ),0[+∞二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分。

2024年高三10月联考卷数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合A ={x |ln (x−1)≥0}，集合B ={x |x 2−3x <0}，则A ∪B =（ ）A ．(0,2]B ．[2,3)C ．(0,+∞)D ．[2,+∞)2．已知i 为虚数单位，复数z 满足|z +1|=|z +i |=5，则|z|的值为（ ）A ．1B ．2C ．2或22D ．1或23．已知向量a =(2,0)，b =(λ,32)，若向量b 在向量a 上的投影向量c =(12,0)，则|b |=（ ）A ．3B ．7C ．104D ．14．已知函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，且在区间[1,+∞)上单调递减.设a =f(−ln 1.1)，b =f (20.4)，c =f (log 25)，则（ ）A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．b >a >c5．已知圆锥的母线长为定值R ，当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为（ ）A ．33RB ．63RC ．12RD ．13R6．已知函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x+1)f′(x)<0的解集为（）A．(−∞,−1)∪(12,2)B．(−∞,−1)∪(2,+∞)C．(−1,1)∪(3,+∞)D．(−∞,−12)∪(2,+∞)7．若正项等比数列{a n}满足a n a n+1=22n(n∈N*)，则数列{a n}的前4项的和S4的值是（）A．152B．1524C．82D．62+68．已知小明射箭命中靶心的概率为35，且每次射击互不影响，则小明在射击4次后，恰好命中两次的概率是（ ）A．36625B．925C．144625D．216625二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=120°，侧面AA1C1C的对角线交点O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列结论正确的是（）A．直三棱柱的侧面积是4+23B．直三棱柱的外接球表面积是4πC．三棱锥E−AA1O的体积与点E的位置无关D．AE+EC1的最小值为2210．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的有（ ）A．若a2tan B=b2tan A，则a=bB．若cos2A2=b+c2c，则此三角形为直角三角形C．若a=3,b=4,B=π6，则解此三角形必有两解D．若△ABC是锐角三角形，则sin A+sin B＞cos A+cos B11．已知数列{a n}的首项为a1=1，且9a n a n+1=a n−4a n+1，数列{1an}、数列{4n a n a n+1}、数列{na n1+3a n}的前n项和分别为S n、R n、T n，则（）A．a n+1a n <15B．S n<4n+13−4C．R n<13D．T n<49−n+14n+1三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）12．已知x>1，y>0，且x+2y =2，则1x−1+y的最小值是．13．已知函数f(x)=sin(2πωx)(ω>0)在区间[0,18]上有且仅有5个零点，则ω的取值范围是．14．设函数f(x)={|x+m|,x<0,−2m2x,x≥0.给出下列四个结论：①当m=0时，函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减；②若函数f(x)有且仅有两个零点，则m>0；③当m<0时，若存在实数a,b，使得f(a)=f(b)，则|a−b|的取值范围为(2,+∞)；④已知点P(−m,0)，函数f(x)的图象上存在两点Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)(x1<x2<0)，Q1,Q2关于坐标原点O的对称点也在函数f(x)的图象上．若|PQ1|+|PQ2|=322，则m=1．其中所有正确结论的序号是．四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5=62，S 10=2046，数列{b n }满足b 1+2b 2+…+nb n =n (n +1)(4n−1)6．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)令c n =a n (1+b n )2，求{c n }的前n 项和T n ．16．（15分）如图，在三棱锥P−ABC 中，A 1，B 1，C 1分别是侧棱PA ，PB ，PC 的中点，AB ⊥BC ，A 1C ⊥平面BB 1C 1C .(1)求证：平面A 1B 1C ⊥平面A 1B 1C 1；(2)如果A 1C =B 1C ，AB =BC =4，求二面角A 1−BB 1−C 的余弦值.17．（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A,B 两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从A,B 两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A 健身中心健身的概率分别为12,13,23，求这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率；(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A 健身中心的概率为12.若丁周六选择A 健身中心，则周日仍选择A 健身中心的概率为14；若周六选择B 健身中心，则周日选择A 健身中心的概率为23.求丁周日选择B 健身中心健身的概率；(3)现用健身指数k (k ∈[0,10])来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k 值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k 值低于1分的概率为0.02.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n .若抽取次数的期望值不超过23，求n 的最大值.参考数据：0.9829≈0.557,0.9830≈0.545,0.9831≈0.535.18．（17分）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >1>b >0)的离心率为32，过点M (1,0)的直线l 交椭圆C 于点A,B ，且当l ⊥x 轴时，|AB |=3.(1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的左焦点为F ，若过F,A,B 三点的圆的圆心恰好在y 轴上，求直线l 的斜率.19. 对于四个正数m 、n 、p 、q ，若满足，则称有序数对是的“下位序列”．（1）对于2、3、7、11，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由；（2）设a 、b 、c 、d 均为正数，且是的“下位序列”，试判断、、之间的大小关系；（3）设正整数n 满足条件：对集合内的每个m ，总存在正整数k ，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数n 的最小值．mq np <(),m n (),p q ()3,11()2,7(),a b (),c d a bc d a cb d++{}02024,N m m m <<∈(),2024m (),k n (),k n ()1,2025m +数学参考答案2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】D 9．【答案】ACD 10．【答案】BD 11．【答案】BCD12．【答案】3+22/22+3．13．【答案】19≤ω<53614．【答案】②③④15．【解】（1）由题意知，{S 5=62S 10=2046，即{a 1(1−q 5)1−q =62a 1(1−q 10)1−q=2046，解得{a 1=2q =2，所以a n =a 1q n−1=2n ；由b 1+2b 2+⋯+(n−1)b n−1+nb n =n(n +1)(4n−1)6，得b 1+2b 2+⋯+(n−1)b n−1=(n−1)n(4n−5)6(n ≥2)，两式相减，得nb n =n(n +1)(4n−1)6−(n−1)n(4n−5)6=n(2n−1)，所以b n =2n−1，当n =1时，b 1=1满足上式，故b n =2n−1.（2）由（1）知，a n =2n，b n =2n−1，所以c n =a n (1+b n )2=2n ⋅(2n)2=n ⋅2n ，T n =1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋯+(n−1)⋅2n−1+n ⋅2n ，2T n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+(n−1)⋅2n +n ⋅2n +1，两式加减，得−T n =21+22+23+⋯+2n−n ⋅2n +1=2(1−2n )1−2−n ⋅2n +1=(1−n)⋅2n +1−2，所以T n =(n−1)⋅2n +1+2.16．【解】（1）因为A 1，B 1，C 1分别是侧棱PA ，PB ，PC 的中点，所以A 1B 1//AB,B 1C 1//BC ，因为AB ⊥BC ，所以A 1B 1⊥B 1C 1，因为A 1C ⊥平面BB 1C 1C ，B 1C 1⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1C ⊥B 1C 1，又A 1C ∩A 1B 1=A 1,A 1C,A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以B 1C 1⊥平面A 1B 1C ，又因为B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1，所以平面A 1B 1C ⊥平面A 1B 1C 1；（2）因为A 1C ⊥平面BB 1C 1C ，BC,B 1C ⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1C ⊥B 1C,A 1C ⊥BC ，因为AB =BC =4，所以A 1B 1=B 1C 1=2，所以A 1C =B 1C =2，因为B 1C 1⊥平面A 1B 1C ，B 1C 1//BC ，所以BC ⊥平面A 1B 1C ，又B 1C ⊂平面A 1B 1C ，所以BC ⊥B 1C ，所以CA 1,CB,CB 1两两垂直，如图，以点C 为原点，建立空间直角坐标系，则B (4,0,0),C (0,0,0),A 1(0,0,2),B 1(0,2,0)，故A 1B 1=(0,2,−2),A 1B =(4,0,−2)，设平面A 1BB 1的法向量为n =(x,y,z )，则有{n ⋅A 1B 1=2y−2z =0n ⋅A 1B =4x−2z =0，可取n =(1,22,22)，因为A 1C ⊥平面BB 1C 1C ，所以CA 1=(0,0,2)即为平面BB 1C 1C 的一条法向量，故cos ⟨n ,CA1⟩=n =417×2=23417，所以二面角A 1−BB 1−C 的余弦值23417.17．【解】（1）由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率P =12×(1−13)×(1−23)+(1−12)×13×(1−23)+(1−12)×(1−13)×23=718.（2）记事件C ：丁周六选择A 健身中心，事件D ：丁周日选择B 健身中心，则P(C)=P(C )=12,P (D |C )=1−14=34,P (D |C )=1−23=13，由全概率公式得P(D)=P(C)P (D |C )+P(C)P (D |C )=12×34+12×13=1324.故丁周日选择B 健身中心健身的概率为1324.（3）设从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为p ，则p =0.02，设抽取次数为X ，则X 的分布列为X 123⋯n−1n Pp(1−p )p(1−p)2p⋯(1−p)n−2p(1−p)n−1故E (X )=p +(1−p )p ×2+(1−p)2p ×3+⋯+(1−p)n−2p ×(n−1)+(1−p)n−1×n ，又(1−p )E (X )=(1−p )p +(1−p)2p ×2+(1−p)3p ×3+⋯+(1−p)n−1p ×(n−1)+(1−p)n ×n ，两式相减得pE (X )=p +(1−p )p +(1−p )2p +⋯+(1−p )n−2p +(1−p )n−1p ，所以E (X )=1+(1−p )+(1−p )2+⋯+(1−p )n−2+(1−p )n−1=1−(1−p )n 1−(1−p )=1−(1−p )np=1−0.98n 0.02，所以E (X )=1−0.98n 0.02在n ∈N ∗时单调递增，可知当n =29时，E (X )=1−0.98290.02≈1−0.5570.02=22.15；当n =30时，E (X )=1−0.98300.02≈1−0.5450.02=22.75；当n =31时，E (X )=1−0.98310.02≈1−0.5350.02=23.25.若抽取次数的期望值不超过23，则n 的最大值为30.18．【解】（1）椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，当l ⊥x 轴时，|AB |=3，所以点(1,±32)在椭圆上，依题意{e =ca =321a 2+34b 2=1c 2+b 2=a 2，解得b =1，a =2，c =3，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（2）设圆心P (0,m ),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),F (−3,0),显然直线l 的斜率存在，设l:y =k(x−1)，由|PA |2=|PB |2=|PF |2，则x 21+(y 1−m )2=m 2+3，又x 21=4(1−y 21)，代入得到：3y 21+2my 1−1=0，同理可得3y 22+2my 2−1=0，则y 1,y 2分别是3y 2+2my−1=0的两根，由韦达定理可得y 1y 2=−13，又联立l:y =k(x−1)与x 24+y 2=1，得(4k 2+1)x 2−8k 2x +4k 2−4=0，∴x 1+x 2=8k 24k 2+1,x 1x 2=4k 2−44k 2+1，所以y 1y 2=k 2[x1x 2−(x 1+x 2)+1]=k 2(4k 2−44k 2+1−8k 24k 2+1+1)=−3k 24k 2+1,故−3k 24k 2+1=−13解得k =±55，直线l 的斜率为k =±55，19.【解】（1），是的"下位序列"；（2）是的“下位序列”，，，，，均为正数，故，即，，同理，综上所述：；（3）由已知得，因为为整数，故，，，该式对集合内的每一个 的每个正整数都成立，，37112⨯<⨯ (3,11)∴(2,7) (),a b (),c d ad bc ∴< a b c d 0()a c a bc adb d b b d b+--=>++0a c ab d b +->+ac a bd b +∴>+a c cb d d+<+a a c cb b d d+<<+2024(1)2025mn km n k <⎧⎨+>⎩,,m n k 1202412025mn kmn n k +≤⎧⎨+-≥⎩2024(1)202420252025(1)mn n k mn ∴+-≥⨯≥+40492024n m∴≥-{}02024m m <<N m *∈m 4049404920242023n ∴≥=-n4049所以正整数的最小值为.。