四年级下册数学试题-奥数培优专题：03容斥原理(4年级培优)教师版

在小数中，小数点极其重要，它既将整数部分与小数部分分开在它左右两侧，它的位置又决定了小数的大小。

如果移动小数点的位置，小数的大小就将发生变化。

小数点向右移动一位，原数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原数就扩大1000倍……小数点向左移动一位，小数就缩小为原来的101；小数点向左移动两位，小数就缩小为原来的1001；小数点向左移动三位，小数就缩小为原来的10001…… 计算小数加减法，先把各数的小数点对齐，再按照整数加减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。

在计算中，得数的小数部分末尾有“0”的，要把“0”去掉。

整数运算法则在小数运算中同样适用。

求一个小数的近似数与求整数近似数的方法相似，根据需要用“四舍五入法”保留一定的小数位数。

保留整数，表示精确到个位；保留一位小数，表示精确到十分位；保留两位小数，表示精确到百分位……利用小数点移动的规律计算。

（课本）这里的小数点可以省略 小数点前无其他数时，应补上“0”观察上面的算式，你发现了什么规律？一个数乘10，100，1000，…，只要把小数点向 移动一位、两位、三位、… 一个小数除以10，100，1000，…，只要把小数点向 移动一位、两位、三位、… 当位数不够时，就用“0”补足。

答案：93070；930700；0.09307；0.009307；右；左 计算结果 93.07×10930.7 93.07×1009307. 93.07×100093.07×1000093.07÷109.307 93.07÷1000.9307 93.07÷100093.07÷10000难度系数：A单位换算。

（课本）1.563km+77m=( )m 0.12m 2+0.28dm 2=( )cm 220L －160ml=( )L 0.5t+( )kg=506kg【解析】1640；1228；19.84；6计算。

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。

求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A∪B＝A＋B－A∩B (其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。

)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。

图示如下:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。

1．先包含——A＋B重叠部分A∩B计算了2次，多加了1次；2．再排除——A＋B－A∩B把多加了1次的重叠部分A∩B减去。

A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数＋B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又是B类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数＋同时是A类、B类、C类的元素个数。

用符号表示为：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C容斥原理图示如下：图中小圆表示A的元素的个数，中圆表示B的元素的个数，大圆表示C的元素的个数。

1．先包含——A＋B＋CA∩B、B∩C、C∩A重叠了2次，多加了1次。

2．再排除——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C重叠部分A∩B∩C重叠了3次，但是在进行A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C计算时都被减掉了。

3．再包含——A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C例1一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积。

例250名同学面向老师站成一行。

老师先让大家从左至右按1、2、3、…、49、50依次报数；再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。

问：现在面向老师的同学还有多少名？求1～2009这2009个自然数既不能被7整除又不能被41整除的自然数有多少个？例3在1到2004所有自然数中，既不是2的倍数又不是3和5的倍数的数有多少个？例4如图，已知甲乙丙三个圆的面积都是30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，三个圆覆盖的总面积为73，求空白部分的面积。

第35讲容斥原理一、专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b 分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a＋N b－N ab。

Nab NbNa二、精讲精练：例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。

最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

练习一1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？练习二1、五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。

那么，有多少人两个小组都没有参加？2、一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有32人，订阅《中国少年报》的有29人，两种报纸都订阅的有25人。

两种报纸都没有订阅的有多少人？例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？练习三1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。

两样都会的有多少人？2、一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。

容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。

”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。

狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。

”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。

最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。

”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。

”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。

当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。

由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。

容斥原理 1如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。

即A∪B = A+B - A∩B容斥原理 2如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。

即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C容斥原理 1【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。

小巨人学科教师辅导讲义学生: 李思捷教师: 赵常巨日期: 2015/5/5 家长签名：课题容斥问题教学目标1.回顾差倍问题2.数三角形3.容斥问题重点、难点1.容斥问题2.阶梯数三角形教学内容考考你的眼力，下图中有多少个三角形？回顾差倍问题书架的上、下两层共有书180本，如果从上层取下15本放入下层，那么下层的本数正好是上层的2倍。

两层原来各有书多少本？容斥问题容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。

即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na ＋Nb－Nab。

Nab NbNa例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。

又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。

最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

分析完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。

这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。

所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。

1.五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。

语文、数学都优秀的有多少人？2.学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。

这个文艺组一共有多少人？例2：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。

问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有25人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有25－15=10人。

龙文教育个性化辅导授课案教师: 吴香云学生: 常恩泰年级: 四日期: 2014-11-16星期: 日时段: 17:00-20：30 （第 1 次课）课题容斥问题（二）理解容斥问题原理（排除与包含）教学目的教学重难点能运用容斥原理来解决实际中的应用题学习内容与过程一、知识要点在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理二、典型例题例题一：四年级5班有56人，订《小学生优秀作文》的有38人，订《数学大世界》的有42人，每人至少订一种读物，问同时订阅这两种读物的学生有多少人？例题二：某班有42个同学在一项数学竞赛中，答对第一题的有26人，答对第二题的有34人，两题都答对的有20人。

问多少同学两题都没有答对。

例题三：在1到100的自然数中，既不是4的倍数也不是5的倍数的数有多少个？例题四：四年级3班参加广播操比赛，全班排成4行，每行人数相等，常恩泰排的位置是：从前面数第五个，从后面数第7个，问：这个班一共有多少人？例题五：科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。

问：其他年级参展的作品共有多少件？例题六某班共有30名男生,其中20人参加足球队,12人参加蓝球队,10人参加排球队.已知没有一个人同时参加3个队,且每人至少参加一个队,有6人既参加足球队又参加蓝球队,有2人既参加蓝球队又参加排球队,那么既参加足球队又参加排球队的有人.如图所示,设既参加是球队又参加排球队的人数为x,则依容斥原理,有20+12+10-6-2-x=30,解得x=4.例题七某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀。

四年级奥数竞赛班容斥原理下(★★★)在网校50名老师中，喜欢看电影的有15人，不喜欢唱歌的有25人，既喜欢看电影也喜欢唱歌的有5人。

那么只喜欢唱歌的有多少人？(★★★)在网校40名老师中，每个人都爱喝橙汁、桃汁、苹果汁中的一种或几种。

其中有10人爱喝橙汁，15人不爱喝橙汁却爱喝桃汁。

请问：只爱喝苹果汁的有几人？(★★★)网校老师组织体育比赛，分成轮滑、游泳和羽毛球三个组进行，参加轮滑比赛的有20人，参加游泳比赛的有25人，参加羽毛球比赛的有30人，同时参加了轮滑和游泳比赛的有8人，同时参加了轮滑和羽毛球比赛的有7人，同时参加了游泳和羽毛球比赛的有6人，三种比赛都参加的有4人，问参加体育比赛的共有多少人？(★★★★)网校老师共有90人，其中有32人参加了专业培训，有20人参加了技能培训，40人参加了文化培训，13人既参加了专业又参加了文化培训，8人既参加了技能又参加了专业培训，10人既参加了技能又参加了文化培训，而三个培训都未参加的有25人，那么三个培训都参加的有多少人？(★★★★★)网校共130名老师，其中70人参加了歌唱小组，80人参加了舞蹈小组，60人参加了模特小组，至少参加两个小组的有60人，参加了三个小组的有30人，那么网校老师有多少人没有参加小组？(★★★★)在1至100的自然数中，既不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的数有多少个？(★★★★★)2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为l，2，…，2006。

将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。

拉完后亮着的灯数为多少盏？本讲总结三者文氏图：奇层加，偶层减重点例题：例3，例4，例7在线测试题温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节！1．在网校45名老师中，会打乒乓球的有12人，不会打网球的有18人，既会打乒乓球也会打网球的有7人，那么只会打网球的有( )人。

四年级奥数第29讲容斥问题(wèntí)（教师版）教学目标λ了解容斥原理二量重叠(chóngdié)和三量重叠的内容λ掌握容斥原理(yuánlǐ)在组合计数等各个方面的应用知识梳理一、两量重叠(chóngdié)问题在一些(yīxiē)计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：,则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理．图示如下:表示小圆部分,表示大圆部分,表示大圆与小圆的公共部分,记为：,即阴影面积．图示如下:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为：A B,即阴影面积．1．先包含——重叠部分A B计算了次,多加了次；包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合的并集的元素的个数,可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A B、的元素个数,然后加起来,即先求A B+(意思是把、的一切元素都“包含”进来,加在一起)；A B第二步：从上面(shàng miɑn)的和中减去交集的元素个数,即减去(意思是“排除”了重复(chóngfù)计算的元素个数)．二、三量重叠(chóngdié)问题A类、B类与C类元素(yuán sù)个数的总和类元素(yuán sù)的个数类元素个数类元素个数既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数同时是A类、B类、C类的元素个数．用符号表示为：．图示如下：图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C的元素的个数．1．先包含：重叠部分A B、、重叠了2次,多加了1次．2．再排除：在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．典例分析考点一：两量重叠问题、1实验小学四年级二班例参加语文兴趣小组的有参加数学兴趣小组的有,人,人,人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组有?【解析(jiě xī)】如图所示,A圆表示(biǎoshì)参加语文兴趣小组的人,B圆表示参加(cānjiā)数学兴趣小组的人,A与B重合(chónghé)的部分C(阴影(yīnyǐng)部分)表示同时参加两个小组的人．图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人,有(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人,有(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：(人)．方法二：根据包含排除法,直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小组都参加的人,即：(人)．例2、对全班同学调查发现,会游泳的有人,会打篮球的有人．两项都会的有人,两项都不会的有人．这个班一共有多少人?【解析】如图,用长方形表示全班人数,A圆表示会游泳的人数,B圆表示会打篮球的人数,长方形中阴影部分表示两项都不会的人数．由图中可以看出,全班人数=至少会一项的人数+两项都不会的人数,至少会一项的人数为：(人),全班人数为： (人)．例3、在人参加的采摘活动中,只采了樱桃的有人,既采了樱桃又采了杏的有人,既没采樱桃又没采杏的有人,问：只采了杏的有多少人?【解析(jiě xī)】如图,用长方形表示全体(quántǐ)采摘人员46人,A圆表示采了樱桃(yīng táo)的人数,B圆表示(biǎoshì)采了杏的人数．长方形中阴影(yīnyǐng)部分表示既没采樱桃又没采杏的人数．由图中可以看出,全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和,则至少采了一种的人数为：(人),而至少采了一种的人数=只采了樱桃的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数,所以,只采了杏的人数为：(人)．例4、育才小学画展上展出了许多幅画,其中有16幅画不是六年级的,有15幅画不是五年级的,五、六年级共展出25幅画,其他年级的画共有多少幅?【解析】通过16幅画不是六年级的可以知道,五年级和其他年级的画作数量之和是16,通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15,那也就是说五年级的画比六年级多1幅,我们还知道五、六年级共展出25幅画, 进而可以求出五年级画作有13幅,六年级画作有12幅,那么就可以求出其他年级的画作共有3幅．考点二：三量重叠问题例1、全班有25个学生(xuésheng),其中(qízhōng)人会骑自行车,人会游泳(yóuyǒng),人会滑冰(huá bīng),这三个运动(yùndòng)项目没有人全会,至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了,但又都不是优秀．若全班有6个人数学不及格,那么, （1）数学成绩优秀的有几个学生?（2）有几个人既会游泳,又会滑冰?【解析】（1）有6个数学不及格,那么及格的有：(人),即最多不会超过人会这三项运动之一．而又因为没人全会这三项运动,那么,最少也会有：(人)至少会这三项运动之一．于是,至少会三项运动之一的只能是19人,而这19人又不是优秀,说明全班25人中除了19人外,剩下的6名不及格,所以没有数学成绩优秀的．（2）上面分析可知,及格的19人中,每人都会两项运动；会骑车的一定有一部分会游泳,一部分会滑冰；会游泳的人中若不会骑车就一定会滑冰,而会滑冰的人中若不会骑车就一定会游泳,但既会游泳又会滑冰的人一定不会骑自行车．所以,全班有(人)既会游泳又会滑冰．考点三：图形中的重叠问题例1、把长厘米和厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长厘米,焊接后这根铁条有多长?【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分,所以,由包含排除法知,焊接后这根铁条长(厘米)．例2、两张长4厘米,宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上,覆盖面积有多少平方厘米?【解析(jiě xī)】两个长方形如图摆放(bǎi fànɡ)时出现了重叠(见图中的阴影部分), 重叠部分(bù fen)恰好是边长为2厘米(lí mǐ)的正方形,如果(rúguǒ)利用两个的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积,那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次,而实际上这部分只需计算一次就可以了．所以,被覆盖面积=长方形面积之和-重叠部分．于是,被覆盖面积(平方厘米)．例3、三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图),三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少?【解析】将图中的三个圆标上A、B、C．根据包含排除法,三个纸片盖住桌面的总面积=(A圆面积B+圆面积A与B重合部分+圆面积C面积与C重合部分面积B+与C重合部分面积三个纸片共同重叠的面积, 得：与B重合部分面积A+与C重合部+与C重合部分面积B分面积,得到A、B、C三个圆两两重合面积之和为：平方厘米,而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和,即：阴影部分面积,则阴影(yīnyǐng)部分面积为：(平方厘米)．考点(kǎo diǎn)四：容斥原理在数论(shùlùn)问题中的应用例1、在的全部(quánbù)自然数中,不是(bùshi)3的倍数也不是的倍数的数有多少个?【解析】如图,用长方形表示1~100的全部自然数,圆表示1~100中3的倍数,B圆表示1~100中5的倍数,长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由可知,1~100中3的倍数有个；由可知,1~100中5的倍数有20个；由可知,1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．由包含排除法,3或5的倍数有：(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有(个)．考点五：容斥原理中的最值问题例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中,然后把每个圆内的7个数相加,最后把四个圆的和相加,问：和最大?是多少最中心的区域被重复计算四次,将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中,最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.实战演练➢课堂(kètáng)狙击1、一个班有48人,班主任在班会上(huìshànɡ)问：“谁做完语文(yǔwén)作业?请举手！”有37人举手。

欢迎阅读7-7容斥原理教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.冷知识精讲知识点说明一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算. 求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：AUB=A，B-AriB（其中符号“.”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ •”读作“交”，相当于中文“且”的意思.）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理•图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：Ap|B，即阴影面积•图示如下：A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：AP1B，即阴影面积.包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集AUB的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合 A B的元素个数，然后加起来，即先求 A Af意意思是把A B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C二AP1B（意思是“排除”了重复计算的元素个数）.二、三量重叠问题A类、B类与C类元素个数的总和二A类元素的个数B类元素个数C类元素个数-既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数•同时是A类、B 类、C类的元素个数.用符号表示为： A U B Uc =A • B • c-A D B-B FI C - A D C価Bn C .图示如下：图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的 个数，大圆表示C 的元素的个数. A B C _A^B _BP]C _ A"C 图 （韦恩图）来帮助分析思考.A PIB PI CABC- A 「|B -BflC -A^C 【例1】两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状.把它放在桌面上，覆盖面积有【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分"B ，重叠部分恰C 子是边长为2厘米的 正方形，如果利用两个4 2的长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在 两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以，被覆 盖面积二长方形面积之和-重叠部分.于是，被覆盖面积=4 2 2 -2 2 =12（平方厘米）.【巩固】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条.已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁 条有多长？【解析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长38 53-4 =87（厘米）.【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条. 已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？【解析】焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长： 23,37-3=：57（厘米）.【例2】实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有 28人，参加数学 兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加.这个班有多少人 参加了语文或数学兴趣小组？【解析】如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学 兴趣小组的人，A 与B 重合的部分C （阴影部分）表示同时参加两个小组的人.图中A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人， 有28 -12 =16（人）；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组 的人，有29 -12 =17（人）.方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有： 16 12 *17=45（人）.方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人 =参加语文兴趣小组的人 +参加数学兴趣小组的 人-两个小组都参加的人，即：28 29-12 =45（人）.【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【解析】解包含与排除题，画图是一种很直观、简捷的方法，可以帮助 解决问题，画图时注意把不同的对象与不同的区域对应清楚. 建 议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义. ABCA“B 、Bf]C 、C^A 重叠了 2次，多加例题精讲先包含: 重叠部分 了 1再排除:在解答有关包含排除问题时,1板块一、两量重叠问题如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43—37=6（人），图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：58—37 =21（人）. 【例3】一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了.已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人•这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？【解析】不妨用下图来表示：线段AB表示全班人数，线段AC表示做完语文作业的人数，线段DB表示做完数学作业的人数，重叠部分DC则表示语文、数学都做完的人数.根据题意，做完语文作业的有37人，即AC =37 .做完数学作业的有42人，即DB = 42 .AC DB =37 42 =79（人）............ ①AB =48（人）...... ②①式减②式，就有DC =79 —48=31（人）所以，数学、语文作业都做完的有31人.【巩固】四年级科技活动组共有63人.在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人.每个同学都至少完成了一项活动. 问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【解析】因42 *34=76，76 63，所以必有人同时完成了这两项活动.由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，42-34 —（完成了两项活动的人数）=全组人数，即76 —（完成了两项活动的人数）=63 .由减法运算法则知，完成两项活动的人数为76 -63=13（人）.也可画图分析.【巩固】实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人.这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【解析】根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为：10・18-7=21（人）.【巩固】某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【解析】如图，A圆表示参加象棋比赛的人，B圆表示参加军棋比赛的人，A与B重合的部分表示同时参加两项比赛的人.图中A圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人，有32-18=14（人）;图中B圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有28-18=10（人）.由此得到参加棋类比赛的人有14 1810 =42（人）.或者根据包含排除法直接得：32 • 28-18 =42（人）.【例4】（第二届小学迎春杯数学竞赛）有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语.问既懂英语又懂俄语的有多少人？【解析】方法一：在100人中懂英语或俄语的有：100-10=90（人）.又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：90-75 =15（人）.从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的83-15 =68（人）就是既懂英语又懂俄语的旅客.方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：A U B=AB - A D B=75 83 -90 =68（人）.【巩固】47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人.问：两门都在95分以上的有多少人？【解析】如图，用长方形表示这47名学生，A圆表示语文得分95分以上的人数，B圆表示数学得95分以上的人数，A与B重合的部分表示两门都在95分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两门都不在95分以上的人数.由图中可以看出，全体人数是至少一门在95分以上的人数两门都不在95分以上的人数之和，则至少一门在95分以上人数为：4 7一22 2（5人）.根据包含排除法，两门都在95分以上的人数为：14 21 —25=10（人）.【巩固】某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了.这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【解析】已知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需用全班总人数减去这个人数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数.根据包含排除法知，该班至少参加了一个小组的总人数为12 *23—5 =30（人）.所以，该班未参加美术或音乐小组的人数是46 -30=16（人）. 【巩固】四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了.一班有多少人两项比赛都没有参加？【解析】由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是：26-22—12 =36（人），所以，两项比赛都没有参加的人数为：45—36=9（人）.【巩固】某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？如图，用长方形表示参加考试的人数，A圆表示第一部分对【解析】的人数.B圆表示第二部分对的人数，长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数.已知第一部分对的有25人，全对的有12人，可知只对第一部分的有：25-12=13（人）.又因为第二部分有19人有错，其中第一部分对第二部分有错的有13人，那么余下的19-13=6（人）必是第一部分和第二部分均有错的，两部分都有错的有6人.【巩固】对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人.两项都会的有10人，两项都不会的有9人.这个班一共有多少人？【解析】如图，用长方形表示全班人数，A圆表示会游泳的人数，B圆表示会打篮球的人数，长方形中阴影部分表示两项都不会的人数.由图中可以看出，全班人数二至少会一项的人数•两项都不会的人数，至少会一项的人数为：20-25-10=35（人），全班人数为：35 9 =44 （人）.【例5】在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？【解析】如图，用长方形表示全体采摘人员46人，A圆表示采了樱桃的人数，B圆表示采了杏的人数.长方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数.由图中可以看出，全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和，则至少采了一种的人数为：46-6=40（人），而至少采了一种的人数=只采了樱桃的人数+两种都采了的人数+只采了杏的人数，所以，只采了杏的人数为：40-18-7 = 15（人）. 【例6】甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃.那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？【解析】68块玻璃不是甲组擦的，说明这68块玻璃是乙、丙两组擦的；52块玻璃不是乙组擦的, 说明这52块玻璃是甲、丙两组擦的.如图，用圆A表示乙、丙两组擦的68块玻璃，B圆表示甲、丙两组擦的52块玻璃.因甲乙两组共擦了60块玻璃，那么68 • 52 -60 =60 （块），这是两个丙组擦的玻璃数.60"2=30（块）.丙组擦了30块玻璃.乙组擦了：68-30 = 38（块）玻璃，甲组擦了：52 -30=22（块）玻璃.【巩固】育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？【解析】通过16幅画不是六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是16,通过15幅画不是五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是15,那也就是说五年级的画比六年级多1幅，我们还知道五、六年级共展出25幅画，进而可以求出五年级画作有13 幅，六年级画作有12幅，那么久可以求出其他年级的画作共有3幅.【例7】一次数学测验，甲答错题目总数的1，乙答错3道题，两人都答错的题目是题目总数的〕o4 6求甲、乙都答对的题目数.【解析】（法一）设共有n道题。

四年级下册数学试题-培优专题练习：容斥原理（无答案）全国通用容斥原理训练题1.在1 ~ 2020 的全部自然数中，求：1）不是3 的倍数也不是5 的倍数的数有多少个？2）能被3 或5 整除的数有多少个？3）能被2 整除，但不能被3 或5 整除的数有多少个？4）恰好是3，5，7 两个数的倍数的数有多少个？5）能被37 整除，但不能被2 整除，也不能被3 整除的数有多少个？2.以105 为分母的最简真分数共有多少个？它们的和为多少？3.三个面积均为50 平方厘米的圆纸片放在桌面上(如图)，三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米．三个纸片盖住桌面的总面积是100 厘米．问：图中阴影部分面积之和是多少？A B10C4.2006 盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编号为1，2，3，……，2006。

将编号为2 的倍数的灯的拉线各拉一下；再将编号为3 的倍数的灯的拉线各拉一下，最后将编号为5 的倍数的灯的拉线各拉一下。

拉完后这着的灯数为多少盏？5.四年级一班有46 名学生参加3 项课外活动．其中有24 人参加了数学小组，20 人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3．5 倍，又是3 项活动都参加人数的7 倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3 项都参加的人数的2 倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10 人．求参加文艺小组的人数．6.新年联欢会上，共有90 人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出．如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数；同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7 人；只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4 人；50 人没有参加演奏；10 人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏；40 人参加了合唱；那么，同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有人．7.某学校派出若干名学生参加体育竞技比赛，比赛一共只有三个项目，已知参加长跑、跳高、标枪三个项目的人数分别为10、15、20 人，长跑、跳高、标枪每一项的的参加选手中人中都有五分之一的人还参加了别的比赛项目，求这所学校一共派出多少人参加比赛？。