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2014-2015学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（A 卷）（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知命题p ：∀x ∈R ，2 x 2−2＞1，则命题￢p 为（ ）A.∀x ∈R ，2 x 2−2≤1B.∃x 0∈R ，2 x 02−2≤1C.∃x 0∈R ，2 x 02−2＜1D.∀x ∈R ，2 x 2−2＜12.若a ＜b ＜0，则下列不等式不成立是（ ）A.1a−b ＞1aB.1a ＞1bC.|a |＞|b |D.a 2＞b 23.已知x ，y 满足约束条件{y ≥0x ≥−2x +y ≥1，则z =（x +3）2+y 2的最小值为（ ）A.8B.10C.12D.164.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=3，S 5=30，则a 7+a 8+a 9=（ ）A.27B.36C.42D.635.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=10，则弦AB 的长为（ ）A.16B.14C.12D.106.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a 2+c 2-b 2）tan B=√3ac ，则角B 的值为（ ）A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π37.已知O 为坐标原点，A （-1，1），B 为圆x 2+y 2=9上的一个动点，则线段AB 的中垂线与线段OB 的交点E 的轨迹是（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线8.下列说法正确的是（ ）A.“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的必要条件B.“若a ，b 都是偶数，则a +b 是偶数”的否命题为真C.若x ，y ∈R ，则“x =y ”是“xy ≤（x+y 2）2”的充要条件D.已知命题p ，q ，若（￢p ）∨q 为假命题，则p ∧（￢q ）为真命题9.正四棱锥S-ABCD 中，SA=AB=2，则直线AC 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ）A.√36B.√66C.√33D.√63 10.已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2向其中一条渐进线作垂线，垂足为N ，已知点M 在y 轴上，且满足F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该双曲线的离心率为（ ）A.√2B.√3C.2√3D.211.某足够大的长方体箱子内放置一球O ，已知球O 与长方体一个顶点出发的三个平面都相切，且球面上一点M 到三个平面的距离分别为3，2，1，则此半球的半径为（ ）A.3+2√2B.3-√2C.3+√2或3-√2D.3+2√2或3-2√212.已知椭圆的焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为√32，直线l ：y =-2，任取椭圆上一点P （异于短轴端点M ，N ）直线MP ，NP 分别交直线l 于点T ，S ，则|ST|的最小值是（ ）A.2√3B.4√2C.4√3D.8√2二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知a ⃗ =（m +1，0，2m ），b ⃗ =（6，0，2），a ⃗ ∥b ⃗ ，则m 的值为 ______ ．14.△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acos B+bcos （B+C ）=0，则△ABC 一定是 ______ 三角形．15.已知直线l 1：4x -3y +12=0和直线l 2：x =-1，则抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ______ ．16.已知数列满足a 1+a 2+a 3=6，a n +1=-1a n +1，则a 16+a 17+a 18= ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2+ax +1＞0及命题q ：∃x 0∈R ，x 02-x 0+a =0，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．18.已知点O （0，0），M （1，0），双曲线C ：x 2a -y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线上有一点P ，满足|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=6，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3．（1）求渐近线方程；（2）若双曲线C 过点（2，3），求双曲线方程．19.已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acos C ，bcos B ，ccos A 依次成等差数列．（1）求角B ；（2）若△ABC 的外接圆面积为π，求△ABC 面积的最大值．20.已知等比数列{a n }中，公比q ＞1，a 1+a 4=9，a 2a 3=8．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n +1log 2a n +1，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使得2n +1+S n ＞60n +2成立的正整数n 的最小值．21.如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，D是AB的中点，F是BC 上的一点，AF交CD于点E，且CE=DE，将△ACD沿CD折起，使二面角A-CD-B的大小为120°．（1）求证：平面AEF⊥平面CBD；（2）求二面角F-AC-E的余弦值．22.已知椭圆M：x2m2+y2n2=1，过点P（1，2）的直线l与x，y轴正半轴围成的三角形面积最小时，l恰好经过曲线M的两个顶点A，B．（1）求椭圆M的方程；（2）直线l交曲线M于点C，D（异于A，B）两点，求四边形ABCD面积最大时，直线l的方程．。
高二10月份月考（文）数学试卷考试时间：120分钟一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知数列{}n a 为等差数列，首项11a =，公差3d =，当298n a =时，序号n =.96.99.100.101A B C D2.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . 若()()a b c a b c ab +-++=，则角C =32....4334A B C D ππππ3.在相距2千米的,A B 两点处测量目标C ，若o o 75,60CAB CBA ∠=∠=，则,A C 两点之间的距离是 千米.2C 4.等比数列{}n a 的各项均为正数且475618a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=3.12.10.8.2log 5A B C D +5.在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若o 1,30a b B ==，则A ∠=o o o o o o .30 .60 .60120 .30150A B C D 或或6.在等差数列{}n a 中，35710,2a a a +==，则1a =.5.8.10.14A B C D7.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若:1:2,:2:3A B a b ∠∠==则cos 2A 的值为2111. . . .3238A B C D8.在等比数列{}n a 中，48,a a 是一元二次方程2430x x -+=的两根，则6a 的值为...3B C D ±9.已知非零向量AB uu u r 与AC uuu r 满足()0||||AB AC BC AB AC +⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r uuuu r 且12||||AB AC AB AC ⋅=uu u r uuu ruuu r uuu u r , 则ABC ∆为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形10.在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2cos ,22A c b c+=则ABC ∆的形状是 .A 等腰三角形 .B 等腰直角三角形 .C 直角三角形 .D 等边三角形11.ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若,2,45o a x b B ===，且此三角形有两解，则x 的取值范围是) ) A B C D ∞∞12.已知数列{}n a 满足1(1)n a n n =+,其前n 项和为n S ，则满足不等式911n S <的最大正整数n 是.3 .4 .5 .6A B C D二、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a ，若点*(,)()n n a n N ∈在经过点(8,4)的定直线l 上，则数列{}n a 的前15项和为__________.14.在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1,,a b =成等差数列，则ABC ∆的面积为______________.15.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知12b c a -=,2sin 3sin B C =，则c o s A 的值为_________.16. 在ABC V 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为 .三、解答题:本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．18.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且a c >.已知12,cos 3BA BC B ⋅==，3b =. (1)求a 和c 的值； (2)求cos C 的值.19. (本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ，(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 的前n 项和S n .20. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，设S 为ABC ∆的面积，且222).S a b c =+- (1)求角C 的大小；(2)当cos cos A B +取得最大值时，判断ABC ∆的形状.21. (本小题满分12分)等差数列{}n a 满足94S S =且121-=a ○1、求通项公式na ，前n 项和公式nS○2、求数列{}n a 的前n 项和nT22.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c .已知(,cos )m a B =，(,cos )n b A =，且//,m n m n ≠.(1)若sin sin A B +=，求A 的值； (2)若ABC ∆的外接圆半径为1，且abs a b =+，求s 的取值范围.数学试卷参考答案一、选择题二、填空题 13.60 14.15. 34 16. 三、解答题17. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋－2n 2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.18. (1) 由2BA BC ⋅=得cos 2ca B =， ……2分1c o s ,63B a c =∴=. ……3分 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， ……4分223,13b a c =∴+=.解22136a c ac ⎧+=⎨=⎩得23a c =⎧⎨=⎩或32a c =⎧⎨=⎩ ……6分因为,3,2a c a c >∴==. ……7分(2) 在ABC ∆中,sin B ===. ……8分由正弦定理得sin 2sin 339c B C b ==⨯=. ……10分,a b c C =>∴为锐角，7cos 9C ===. ……12分 19. 解：(1)证明：由T n ＝1－a n 得，当n ≥2时，T n ＝1－T nT n －1，两边同除以T n 得1T n －1T n －1＝1.∵T 1＝1－a 1＝a 1， 故a 1＝12，1T 1＝1a 1＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1T n 是首项为2，公差为1的等差数列． (2)由(1)知1T n ＝n ＋1，则T n ＝1n ＋1，从而a n ＝1－T n ＝n n ＋1.故a nT n＝n .∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n T n 是首项为1，公差为1的等差数列．∴S n ＝nn ＋2.20. (1)由题意可得1sin 2cos ,2ab C ab C =所以tan C =因为0,C π<<所以.3C π=……5分 (2) 2cos cos cos cos()cos cos()3A B A C A A A ππ+=+--=+-11cos cos cos sin()226A A A A A A π=-=+=+. ……8分250,3666A A ππππ<<∴<+<, 3A π∴=时，62A ππ+=， ……10分cos cos A B +取得最大值1，此时ABC ∆为正三角形. ……12分21. 222(1)32,13(2)7,138,1384n n n n a n S n nn T n nn T n n =-=-≤=-+≥=-+22.(1)(,cos )m a B =，(,cos )n b A =，且//m n ,cos cos a A b B ∴=. …………1分 由正弦定理得2sin cos 2sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， …………2分 22A B ∴=或22A B π+=.,,2m n A B A B π≠∴≠∴+=.…………3分由sin sin A B +=得sin sin sin cos )4A B A A A π+=+=+=， sin()42A π+=. …………4分A 为锐角，12A π=或(2) ∆设,A B ≠∴2sin cos A。
洛阳市2013--2014学年第二学期期中考试高二数学试卷（文A ）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己姓名，考号填写在答题卷上．2．考试结束，将答题卷交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位．z 为复数，下面叙述正确的是？A. z z -为纯虚数 B ．任何数的偶数次幂均为非负数C ．i+1的共轭复数为i-l D. 2+3i 的虚部为32．复平面内与复数 512i i-对应的点所在的象限是 A.第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为(4，12)，则回归直线的方程是A. 24y x =+B. 522y x =+ C ． 220y x =- D ． 126y x =+ 4．若用独立性检验的方法，我们得到能有99%的把握认为变量X 与Y 有关系，则 A. 2 2.706K ≥ B. 26.635K ≥ C. 2 2.706K < D. 2 6.635K <5.复数a 十bi(a ，b ∈R)的平方为实数的充要条件是A. 220a b += B ．ab=0 C ．a=0，且b ≠0 D.a ≠0，且b=06．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是大前提：若直线a ⊥直线 l ，且直线b ⊥直线 l ，则a ∥b ．小前提：正方体 1111ABCD A BC D -中， 111A B AA ⊥．且1AD AA ⊥结论： 11//A B ADA. 推理正确 B ．大前提出错导致推理错误C ．小前提出错导致推理错误D ．仅结论错误7. 232014i i i i +++⋅⋅⋅+=A. 1+iB. -1-iC. 1-iD. - l+i8．执行如图程序框图，若输出的 1112T =，则判断框内应填人 的条件是A ．i>9?B ．i>10?C ．i>ll?D ．i>12?9.A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，下面说法：①至多有一个角大于60； ②至少有两个角大于或等于60 ;③至少有一个角小于60 ；④至多有两个角小于60 .其中正确的个数是A ．3B ．2C ．1 D.010.锐角△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，设m= sin A+sinB+sinC,n=cosA+cosB+cosC 则m 与n 的大小关系是A. m>n B ．m<n C. m-n D.以上都有可能11.已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足 (,2)n n n a b c n N n +=∈>．则△ABC 为A ．锐角三角形B ．钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定12.对两个变量x 与y 进行回归分析，得到一组样本数据：(1，1)，(2，1.5)，(4，3)， (5．4．5)，若甲同学根据这组数据得到的回归模型 1:1y x =-，乙同学根据这组数据得到的回归模型 112:22y x =+，则 A ．型1的拟合精度高 B ．模型2的拟合精度高C ．模型1和模型2的拟合精度一样 D.无法判断哪个模型的拟合精度高第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．1 3．用解释变量对预报变量的贡献率来刻蜮回归效果，若回归模型A 与回归模型B 的解释变量对预报变量的贡献率分别为 220.32,0.91A B R R ==，则这两个回归模型相比较，拟合效果较好的为模型__________．14．若等差数列 {}n a 的公差为d ，前n 项和为 n S 。
河南省洛阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，满分60分）1．（5分）设z=3﹣4i，则复数的虚部是（）A．3B．4C．﹣4 D．﹣4i2．（5分）已知x与y之间的一组数据x 0 1 2 3y 1 3 5 7则y与x的线性回归方程=bx+必过点（）A．（2，2）B．（1.5，4）C．（1.5，0）D．（1，2）3．（5分）复数的共轭复数是（）A．2+i B．﹣2﹣i C．﹣2+i D．2﹣i4．（5分）设f（n）＞0（n∈N*），f（2）=4，并且对于任意n2，n2∈N*，有f（n1+n2）=f（n1）•f（n2）成立，猜想f（n）的表达式为（）A．f（n）=n2B．f（n）=2n C．f（n）=2n+1D．f（n）=2n5．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，计算得K2的观测值k≈7.822：P（K2≥k）0.050 0．010 0.001k 3.841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”6．（5分）下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．①③⑤D．②④⑤7．（5分）用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）A．a，b，c，d全都大于等于0 B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d中至少有一个正数D．a，b，c，d中至多有一个负数8．（5分）若复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1 B．0C．1D．﹣1或19．（5分）如图所示，程序执行后的输出结果为（）A．﹣1 B．0C．1D．210．（5分）图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（）A．25 B．66 C．91 D．12011．（5分）若a＜b＜0，则下列结论一定正确的是（）A．＞B．＞C．a c2＜bc2D．（a+）2＞（b+）212．（5分）关于函数f（x）=，下列叙述一定正确的序号为①是奇函数；②a＞0时，f（x）有最大值；③函数图象经过坐标原点（0，0）（）A．②B．①②C．①③D．①②③二、填空题（共4小题，满分20分）13．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z在复平面中所对应的点到原点的距离为．14．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块15．（5分）半径为r的圆的面积S（r）=πr2，周长C（r）=2πr，若将r看作（0，+∞）上的变量，则（πr2）′=2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作（0，+∞）上的变量，请你写出类似于①的式子：．16．（5分）下面四个命题：①有一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然错误，是因为大前提错误；②在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数R2分别为：（1）0.976；（2）0.776，（3）0.076；（4）0.351，其中拟合效果最好的模型是（1）；③设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+，b+，c+至少有一个不大于﹣2；④如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值是5．其中所有正确命题的序号是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知|1﹣z|+z=10﹣3i（i为虚数单位）．（1）求z；（2）若z2+mz+n=1﹣3i，求实数m，n的值．18．（12分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c，求证：++＞0．19．（12分）在一次数学测验后，教师对选答题的选题情况进行了统计，如表：（单位：人）几何证明选讲坐标系与参数方程不等式选讲合计男同学12 4 6 22女同学0 8 12 20合计12 12 18 42在统计结果中，如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类，把《不等式选讲》称为代数类，请列出如下2×2列表：（单位：人）几何类代数类总计男同学女同学总计据此判断是否有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？20．（12分）在各项为正的数列{a n}中，数列的前n项和S n满足S n=．（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列{a n}的通项公式；（3）求S n．21．（12分）已知某校5个学生的数学成绩和物理成绩如下表：学生的编号 1 2 3 4 5数学成绩x i80 75 70 65 60物理成绩y i70 66 68 64 62（1）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩是具有很强的线性相关关系，用x表示数学成绩，用y表示物理成绩，求y关于x的回归方程；（2）利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在（﹣0.1，0.1）范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”？参考公式：残差和公式为：（））．22．（12分）已知函数f（x）=e x（e是自然对数的底数，e=2.71828…）（1）证明：对∀x∈R，不等式f（x）≥x+1恒成立；（2）数列{}（n∈N*）的前n项和为T n，求证：T n＜．河南省洛阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，满分60分）1．（5分）设z=3﹣4i，则复数的虚部是（）A．3B．4C．﹣4 D．﹣4i考点：复数的基本概念．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：由复数的定义可得答案．解答：解：∵z=3﹣4i，∴由复数的定义，知复数的虚部为﹣4，故选C．点评：本题考查复数的有关概念，属基础题，熟记相关概念是解题管．2．（5分）已知x与y之间的一组数据x 0 1 2 3y 1 3 5 7则y与x的线性回归方程=bx+必过点（）A．（2，2）B．（1.5，4）C．（1.5，0）D．（1，2）考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：先分别计算平均数，可得样本中心点，利用线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论．解答：解：由题意，=（0+1+2+3）=1.5，=（1+3+5+7）=4∴x与y组成的线性回归方程必过点（1.5，4）故选：B．点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心点．3．（5分）复数的共轭复数是（）A．2+i B．﹣2﹣i C．﹣2+i D．2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：复数===﹣2﹣i的共轭复数为﹣2+i．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．4．（5分）设f（n）＞0（n∈N*），f（2）=4，并且对于任意n2，n2∈N*，有f（n1+n2）=f（n1）•f（n2）成立，猜想f（n）的表达式为（）A．f（n）=n2B．f（n）=2n C．f（n）=2n+1D．f（n）=2n考点：归纳推理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（n1+n2）=f（n1）•f（n2）知，f（n）可以为指数型函数，从而得到答案．解答：解：由f（n1+n2）=f（n1）•f（n2），结合指数运算律：a s×a t=a s+t知，f（n）可以为指数型函数，故排除A，B；而再由f（2）=4知，f（n）=2n，故选D．点评：本题考查了指数函数的应用，属于基础题．5．（5分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，计算得K2的观测值k≈7.822：P（K2≥k）0.050 0．010 0.001k 3.841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”考点：独立性检验的应用．专题：规律型；概率与统计．分析：通过所给的观测值，同临界值表中的数据进行比较，发现7.822＞6.635，得到结论．解答：解：∵由一个2×2列联表中的数据计算得K2的观测值k≈7.822，则7.822＞6.635，∴有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选：D．点评：本题考查独立性检验，考查判断两个变量之间有没有关系，一般题目需要自己做出观测值，再拿着观测值同临界值进行比较，得到结论．6．（5分）下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．①③⑤D．②④⑤考点：类比推理；归纳推理．专题：综合题；推理和证明．分析：本题解决的关键是了解归纳推理、演绎推理和类比推理的概念及它们间的区别与联系．利用归纳推理就是从个别性知识推出一般性结论的推理，从而可对①②进行判断；由类比推理是由特殊到特殊的推理，从而可对④⑤进行判断；对于③直接据演绎推理即得．解答：解：所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．故①对②错；又所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故③对；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选：C．点评：本题主要考查推理的含义与作用．所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．演绎推理可以从一般到一般；类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．7．（5分）用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a+b=1，c+d=1，且ac+bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为（）A．a，b，c，d全都大于等于0 B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d中至少有一个正数D．a，b，c，d中至多有一个负数考点：反证法．专题：证明题；推理和证明．分析：用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立．解答：解：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d全都大于等于0”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”，故选：A．点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．8．（5分）若复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1 B．0C．1D．﹣1或1考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，复数的实部为0，虚部不等于0，求解即可．解答：解：由复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，可得x=﹣1故选A．点评：本题考查复数的基本概念，考查计算能力，是基础题．9．（5分）如图所示，程序执行后的输出结果为（）A．﹣1 B．0C．1D．2考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，当s=15时不满足条件s＜15，退出循环，输出n的值为0．解答：解：执行程序框图，可得n=5，s=0满足条件s＜15，s=5，n=4满足条件s＜15，s=9，n=3满足条件s＜15，s=12，n=2满足条件s＜15，s=14，n=1满足条件s＜15，s=15，n=0不满足条件s＜15，退出循环，输出n的值为0．故选：B．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正确判断退出循环时n的值是解题的关键，属于基础题．10．（5分）图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（）A．25 B．66 C．91 D．120考点：归纳推理．专题：综合题．分析：先分别观察给出正方体的个数为：1，1+5，1+5+9，…总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．解答：解：分别观察正方体的个数为：1，1+5，1+5+9，…归纳可知，第n个叠放图形中共有n层，构成了以1为首项，以4为公差的等差数列所以∴s7=2•72﹣7=91故选C．点评：本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，若求解的项数较少，可一直推理出结果，若项数较多，则要得到一般求解方法，再求具体问题．11．（5分）若a＜b＜0，则下列结论一定正确的是（）A．＞B．＞C．a c2＜bc2D．（a+）2＞（b+）2考点：不等式比较大小．专题：不等式．分析：对于A，B取值验证即可，对于C，当c=0时不成立，对于D，假设成立，最后推出ab＞0，即D成立..解答：解：∵a＜b＜0，令a=﹣2，b=﹣1，对于A，﹣＜，故A不正确，对于B，＜1，故B不正确，对于C，当c=0时，不成立，故C不正确，对于D，若成立，则（a+）2＞（b+）2⇒a+＜b+⇒a2b+a＜b2a+b⇒ab（a﹣b）＜b﹣a⇒ab＞0，∵a＜b＜0，∴ab＞0成立，故D正确．点评：本题考查了不等式的性质，通过性子来比较大小，属于基础题．12．（5分）关于函数f（x）=，下列叙述一定正确的序号为①是奇函数；②a＞0时，f（x）有最大值；③函数图象经过坐标原点（0，0）（）A．②B．①②C．①③D．①②③考点：函数奇偶性的判断；函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数解析式分析器奇偶性和最值等，得到正确选项．解答：解：由已知解析式得到函数定义域为R，对于①，f（﹣x）==﹣f（x）；所以为奇函数；故①正确；对于②，a＞0时，f（x）=，当且仅当x=时等号成立；故②正确；对于③，只有a≠0时，函数图象经过坐标原点（0，0），故③错误；故选B．点评：本题考查了函数奇偶性的判断、最值求法等；将解析式适当变形是关键．二、填空题（共4小题，满分20分）13．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z在复平面中所对应的点到原点的距离为1．考点：复数相等的充要条件．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：（3﹣4i）z=|4+3i|可化为（3﹣4i）z=5，两边求模可得答案．解答：解：|4+3i|=5，∴（3﹣4i）z=|4+3i|，即（3﹣4i）z=5，∴|（3﹣4i）z|=5，即5|z|=5，解得|z|=1，∴z在复平面中所对应的点到原点的距离为1，故答案为：1．点评：该题考查复数相等的充要条件、复数的模，考查学生的运算能力，属基础题．14．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖4n+2块考点：归纳推理．专题：探究型．分析：通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．解答：解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{a n}表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…可知数列{a n}是以6为首项，4为公差的等差数列，∴a n=6+4（n﹣1）=4n+2．故答案为4n+2．点评：由已知的几个图案找出规律转化为求一个等差数列的通项公式是解题的关键．15．（5分）半径为r的圆的面积S（r）=πr2，周长C（r）=2πr，若将r看作（0，+∞）上的变量，则（πr2）′=2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R的球，若将R看作（0，+∞）上的变量，请你写出类似于①的式子：．考点：类比推理．专题：探究型．分析：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，类比得到球的体积函数的导数等于球的表面积函数，有二维空间推广到三维空间．解答：解：V球=，又用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数．”类似于①的式子可填，故答案为，点评：本题考查类比推理，解答本题的关键是：（1）找出两类事物：圆与球之间的相似性或一致性；（2）用圆的性质去推测球的性质，得出一个明确的命题（猜想）．16．（5分）下面四个命题：①有一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然错误，是因为大前提错误；②在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数R2分别为：（1）0.976；（2）0.776，（3）0.076；（4）0.351，其中拟合效果最好的模型是（1）；③设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+，b+，c+至少有一个不大于﹣2；④如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值是5．其中所有正确命题的序号是②③．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“有些…”，不难得到结论．②相关指数R2的值越大，模型拟合的效果越好，可得答案．③利用反证法和均值不等式能求出结果．④两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答．解答：解：对于①∵大前提的形式：“有些有理数是真分数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故①错，对于②，根据相关指数R2的值越大，模型拟合的效果越好，比较（1）（2）（3）（4）选项，A的相关指数最大，∴模型（1）拟合的效果最好．故②对．对于③，假设a+，b+，c+都大于﹣2，即a+＞﹣2，b+＞﹣2，c+＞﹣2，将三式相加，得a++b++c+＞﹣6，又因为a，b，c∈（﹣∞，0），所以a+≤﹣2，b+≤﹣2，c+≤﹣2，三式相加，得a++b++c+≤﹣6，所以a++b++c+＞﹣6不成立．故③对．对于④，根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，∵当6和8为直角边时，根据勾股定理可知斜边为10，∴==，解得x=5；当6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为2．∴==，解得x=．∴x=5或，故④错，故答案为：②③点评：本题考查三段论、了回归分析思想，在两个变量的回归分析中，相关指数R2的值越大，模型拟合的效果越好．不等式的性质和应用，相似三角形的性质等知识点．属于简单题型．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知|1﹣z|+z=10﹣3i（i为虚数单位）．（1）求z；（2）若z2+mz+n=1﹣3i，求实数m，n的值．考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：（1）设出复数z，利用已知条件通过复数相等，列出方程组求解即可．（2）化简方程，利用复数相等求解即可．解答：解：（1）设复数z=a+bi（a，b∈R），则|1﹣a﹣bi|+a+bi=10﹣3i．即：，解得a=5，b=﹣3，∴z=5﹣3i．（2）z2+mz+n=1﹣3i，可得：（5﹣3i）2+m（5﹣3i）+n=1﹣3i．可得：，解得m=﹣9，n=30．点评：本题考查复数相等的充要条件，考查计算能力．18．（12分）已知实数a，b，c满足a＞b＞c，求证：++＞0．考点：不等式的证明．专题：证明题；推理和证明．分析：利用条件可得＞•＞0，即可证明结论．解答：证明：∵实数a，b，c满足a＞b＞c，∴a﹣c＞a﹣b＞0，b﹣c＞0，∴＞•＞0，∴+＞，∴++＞0．点评：本题考查不等式的证明，着重考查综合法的运用，考查推理论证能力，属于中档题．19．（12分）在一次数学测验后，教师对选答题的选题情况进行了统计，如表：（单位：人）几何证明选讲坐标系与参数方程不等式选讲合计男同学12 4 6 22女同学0 8 12 20合计12 12 18 42在统计结果中，如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类，把《不等式选讲》称为代数类，请列出如下2×2列表：（单位：人）几何类代数类总计男同学女同学总计据此判断是否有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？考点：独立性检验．专题：概率与统计．分析：根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到百分数．解答：解：几何类代数类总计男同学16 6 22女同学8 12 20总计24 18 42…．．由表中数据得K2的观测值k==≈4.582＞3.841．所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关．点评：本题考查独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个基础题．20．（12分）在各项为正的数列{a n}中，数列的前n项和S n满足S n=．（1）求a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列{a n}的通项公式；（3）求S n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：归纳猜想型；等差数列与等比数列．分析：（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a1，a2，a3；（2）由（1）猜想数列{a n}的通项公式：（n∈N*）；（3）由（2）可得：S n=a1+a2+…+a n=1+++…+，利用消去法化简即得．解答：解：（1）由题意得，S n=，且a n＞0，令n=1得，，得a1=1，令n=2得，得，解得a2=1，令n=3得，，解得a3=；（2）根据（1）猜想：（n∈N*）；（3）由（2）可得：S n=a1+a2+…+a n=1+++…+=．点评：本题主要考查归纳推理、数列递推关系式的应用、数列的求和等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．21．（12分）已知某校5个学生的数学成绩和物理成绩如下表：学生的编号 1 2 3 4 5数学成绩x i80 75 70 65 60物理成绩y i70 66 68 64 62（1）通过大量事实证明发现，一个学生的数学成绩和物理成绩是具有很强的线性相关关系，用x表示数学成绩，用y表示物理成绩，求y关于x的回归方程；（2）利用残差分析回归方程的拟合效果，若残差和在（﹣0.1，0.1）范围内，则称回归方程为“优拟方程”，问：该回归方程是否为“优拟方程”？参考公式：残差和公式为：（））．考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）分别做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出b的值，再做出a的值，写出线性回归方程，得到结果．（2）做出残差平方差，得到结果是0，根据所给的残差平方和的范围，得到所求的线性回归方程是一个优逆方程．解答：解：（1）=70，=66，b==0.36，a=40.8，∴回归直线方程为y=0.36x+40.8．（2）∵残差和公式为：（）=0.4﹣1.8+2.0﹣0.2﹣0.4=0，∵0∈（﹣0.1，0.1），∴回归方程为优逆方程．点评：本题考查变量间的相关关系，考查回归分析的应用，考查新定义问题，是一个基础题，注意题目的数字运算不要出错．22．（12分）已知函数f（x）=e x（e是自然对数的底数，e=2.71828…）（1）证明：对∀x∈R，不等式f（x）≥x+1恒成立；（2）数列{}（n∈N*）的前n项和为T n，求证：T n＜．考点：数列的求和；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列．分析：（1）设h（x）=f（x）﹣x﹣1=e x﹣x﹣1，h′（x）=e x﹣1．分别解出h′（x）＞0，h′（x）＜0，即可得出单调性极值与最值．（2）由（1）可得：对∀x∈R，e x≥x+1恒成立．令x+1=n2，则，可得n2﹣1≥lnn2.=．利用“裂项求和”即可证明．解答：（1）证明：设h（x）=f（x）﹣x﹣1=e x﹣x﹣1，h′（x）=e x﹣1．当x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．∴当x=0时，函数h（x）取得最小值，h（0）=0，∴h（x）≥h（0）=0，∴f（x）≥x+1．（2）解：由（1）可得：对∀x∈R，e x≥x+1恒成立．令x+1=n2，则，∴n2﹣1≥lnn2．∴=1﹣=．∴=．∴T n=．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的性质、“放缩法”、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2014-2015学年河南省洛阳市高二（下）期中数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.复数z（2-i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A.2+iB.2-iC.+iD.-i【答案】B【解析】解：∵z（2-i）=5，∴z===2+i，∴z的共轭复数=2-i．故选：B．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．2.cosxdx=（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】解：cosxdx=sinx|=sin-sin（-）=+=，故选：D．根据定积分的计算法则计算即可．本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．3.已知f（x）=，则（）A.x=e是f（x）的极大值点B.x=e时f（x）的极小值点C.x=1是f（x）的极大值点D.x=1是f（x）的极小值点【答案】A【解析】解：f（x）=，可得f′（x）=，令=0，可得x=e，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，可得x=e时，函数取得极大值．故选：A．求出函数的导数，利用函数的极值点，判断即可．本题考查函数的极值的判断与求解，考查计算能力．4.用数学归纳法证明1+2+3+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，从n=k到n=k+1，左边需增添的代数式是（）A.2k+2B.2k+3C.2k+1D.（2k+2）+（2k+3）【答案】D【解析】解：当n=1时，原式的值为1+2+22+23+24=31，1+2+3=（1+1）（2+1）当n=k时，原式左侧：1+2+3+…+（2k+1），∴从k到k+1时需增添的项是（2k+2）+（2k+3）故选：D．从式子1+2+22+…+25n-1是观察当n=1时的值以及当从n=k到n=k+1的变化情况，从而解决问题．本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n0）成立（奠基）2°假设P（k）成立（k≥n0），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n0的自然数n都成立．5.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程x2+ax+b=0没有实根B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【答案】A【解析】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．直接利用命题的否定写出假设即可．本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．6.已知函数f（x）=x2-x-2lnx，则函数f（x）的单调递增区间为（）A.（-∞，-1）（2，+∞）B.（2，+∞）C.（-∞，-1）D.（-1，2）【答案】B【解析】解：函数f（x）=x2-x-2lnx，的定义域为（0，+∞）对函数f（x）=x2-x-2lnx，求导，得f′（x）=x-1-，令f′（x）＞0，∵x＞0，∴得x-1-＞0，解得，x＞2．∴函数的单调增区间为（2，+∞）．故选：B．先求函数的定义域，再求导数，令导数大于0，解得x的范围即为函数的单调增区间．本题主要考查利用导数求函数的单调区间，易错点是忘记求函数的定义域．7.已知复数z=x+yi（x，y∈R），且|z-2|=，则的最大值为（）A. B. C.2+ D.2-【答案】C【解析】解：∵复数z=x+yi（x，y∈R），且|z-2|=，∴=，∴（x-2）2+y2=3．设圆的切线l：y=kx-1，则，化为k2-4k-2=0，解得．∴的最大值为2+．故选：C．复数z=x+yi（x，y∈R），且|z-2|=，可得（x-2）2+y2=3．设圆的切线l：y=kx-1，利用圆的切线的性质与点到直线的距离公式可得k2-4k-2=0，解出即可．本题考查了复数模的计算公式、圆的标准方程及其切线的性质、点到直线的距离公式、斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S-ABC的体积为V，则R=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为四面体∴R=故选C．根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．9.已知函数f（x）=x3+mx2+nx+m2在x=1时有极值10，则m+n=（）A.7B.0C.0或-7D.-7【答案】D【解析】解：∵f（x）=x3+mx2+nx+m2∴f′（x）=3x2+2mx+n依题意可得′，可得，解得：或，当m=-3，n=3时函数f（x）=x3-3x2+3x+9，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0函数在R上单调递增，函数无极值，舍，所以m+n=-7．故选：D．对函数进行求导，根据函数f（x）在x=-1有极值0，可以得到f（-1）=0，f′（-1）=0，代入求解即可本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值⇒f′（x0）=0．反之结论不成立，即函数有f′（x0）=0，函数在该点不一定是极值点，（还得加上在两侧有单调性的改变），属中档题．10.已知直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且斜率为，则直线l与曲线C所围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：抛物线C：x2=4y，即交点坐标为（0，1），所以直线l的方程为y-1=x，即y=+1，代入到x2=4y，解得x=-1，或x=4，所以直线l与抛物线C所围成的面积S=（+1-x2）dx=（x2+x-x3）|=（6+4-）-（-1+）=．故选：C．先求出直线方程，再求出直线和曲线的交点，利用定积分的几何意义求区域面积．本题主要考查积分的几何意义，联立曲线方程求出积分的上限和下限是解决本题的关键，比较基础．11.已知定义域为R的函数f（x）满足f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，则曲线y=f（x）在点（2，f（（2））处的切线方程是（）A.4x-y+4=0B.4x-y-4=0C.4x+y+4=0D.4x+y-4=0【答案】B【解析】解：∵f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，∴f（2-x）=2f（x）-（2-x）2+8（2-x）-8．∴f（2-x）=2f（x）-x2+4x-4+16-8x-8．将f（2-x）代入f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8得f（x）=4f（x）-2x2-8x+8-x2+8x-8．∴f（x）=x2，f′（x）=2x，∴y=f（x）在（2，f（2））处的切线斜率为y′=4．∴函数y=f（x）在（2，f（2））处的切线方程为y-4=4（x-2），即y=4x-4．故选：B．先根据f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8求出函数f（x）的解析式，然后对函数f（x）进行求导，进而可得到y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义．函数在某点的导数值等于该点的切线的斜率．12.若实数a，b，c，d满足==1，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵==1，∴点P（a，b）是曲线f（x）=x2-2lnx（x＞0）上的点，Q（c，d）是直线y=3x-4上的点，∴|PQ|=要使|PQ|最小，当且仅当过曲线y=x2-2lnx上的点P（a，b）且与y=3x-4平行时．∵f′（x）=（x＞0），由f′（x）＞0得，x＞1；由f′（x）＜0得0＜x＜1．∴当x=1时，f（x）取得极小值．由=3，可得x=2（负值舍去）∴点P（2，4-2ln2）到直线y=3x-4的距离为d==，故选：A．由==1，可知点P（a，b）是曲线f（x）=x2-2lnx（x＞0）上的点，Q（c，d）是直线y=3x-4上的点，由导数的几何意义可知，过曲线y=x2-lnx上的点P（a，b）且与线y=3x-4平行时，|PQ|=的有最小值．本题考查函数最值的应用，分析得到点P（a，b）是曲线y=x2-2lnx上的点，Q（c，d）是直线y=3x-4上的点，|PQ|=是关键，也是难点，考查理解题意与等价转化思想的综合应用，考查导数的几何意义及点到直线间的距离，属于难题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知复数x2-6x+5+（x-2）i在复平面内对应的点位于第二象限，则实数x的取值范围是______ ．【答案】（2，5）【解析】解：复数x2-6x+5+（x-2）i在复平面内对应的点位于第二象限，可得＜＞，解得x∈（2，5）．故答案为：（2，5）．利用复数的几何意义，推出不等式求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．14.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为______ ．【答案】6n+2【解析】解：由题意知：图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6，∴第n条小鱼需要（2+6n）根，故答案为：6n+2．观察给出的3个例图，注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多6根，图③的火柴棒比图②的多6根，而图①的火柴棒的根数为2+6．本题考查了规律型中的图形变化问题，本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法（归纳法），先观察特例，找到火柴棒根数的变化规律，然后猜想第n条小鱼所需要的火柴棒的根数．15.若曲线f（x）=sinx+cosx的切线的斜率为k，则k的取值范围是______ ．【答案】[-2，2]【解析】解：∵f（x）=sinx+cosx，∴f′（x）=cosx-sinx=2（cosx-sinx）=2cos（x+）∈[-2，2]，则切线的斜率为k∈[-2，2]．故答案为：[-2，2]．先求出函数的导数，根据导数的几何意义结合两角和的余弦公式，再由余弦函数的图象和性质，即可得到k的范围．理解导数的几何意义和掌握余弦函数的图象和性质是解题的关键．16.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，且f（x）=a x g（x）（a＞0a≠1），+=．若数列的前n项和小于126，则n的最大值为______ ．【答案】5【解析】解：∵f（x）=a x g（x）（a＞0，a≠1），∴a x=．∵f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，∴（a x）′=′′＞0，∴函数y=a x单调递增，∴a＞1．∵+=．∴a+a-1=，a＞1．解得a=2．若数列的前n项和=2+22+…+2n==2n+1-2＜126，∴2n+1＜27，解得n＜6，∴满足条件的n的最大值为：5．故答案为：5．f（x）=a x g（x）（a＞0，a≠1），可得a x=．由于f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，可得（a x）′=′′＞0，可得函数y=a x单调递增，a＞1．由于+=．解得a=2．由数列的前n项和=2+22+…+2n，利用等比数列的前n项和公式即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、等比数列的前n和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.已知m∈R，复数z=m2-m-2+（m2-2m-3）i（i为虚数单位），当m为何值时？（1）z是纯虚数；（2）在复平面内z对应的点在直线x-2y-6=0上．【答案】解：（1）∵z为纯虚数，∴，解得m=2．∴m=2时，z是纯虚数；（2）∵z在复平面内z对应的点在直线x-2y-6=0上．∴m2-m-2-2（m2-2m-3）-6=0，化为m2-3m+2=0，解得m=1，或m=2．∴当m=1，或m=2时，在复平面内z对应的点在直线x-2y-6=0上．【解析】（1）由于z为纯虚数，可得，解得m即可；（2）由于z在复平面内z对应的点在直线x-2y-6=0上．代入可得m2-m-2-2（m2-2m-3）-6=0，解出即可．本题考查了复数为纯虚数的充要条件、几何意义，考查了计算能力，属于基础题．18.已知a＞0，证明＞-2．【答案】证明：∵a＞0，∴a+≥2，∴a+-2≥0，∴要证明＞-2，只要证明a2+＞（a+）2-4（a+）+4，只要证明：a+＞，∵a+≥2＞，∴原不等式成立．【解析】利用分析法，证明a+＞即可．本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题．19.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x-6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【答案】解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y=所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f′（x）=10[（x-6）2+2（x-3）（x-6）]=30（x-6）（x-4）于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：由上表可得，=4是函数（）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【解析】（Ⅰ）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；（Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．20.已知f（x）=[x2-（a+3）x+b]e x，其中a，b∈R．（1）当a=-3，b=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求函数f（x）的单调区间．【答案】解：（1）当a=-3，b=0，f（x）=x2e x的导数为f′（x）=（x2+2x）e x，即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f′（1）=3e，切点为（1，e），即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-e=3e（x-1），即为3ex-y-2e=0；（2）f（x）=[x2-（a+3）x+b]e x的导数为f′（x）=[x2-（a+1）x+b-a-3]e x，x=1是函数f（x）的一个极值点，即有f′（1）=0，即有b=2a+3，则f（x）=[x2-（a+1）x+2a+3]e x，f′（x）=[x2-（a+1）x+a]e x=（x-a）（x-1）e x．当a=1时，f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；当a＞1时，由f′（x）＞0解得x＞a或x＜1，由f′（x）＜0解得1＜x＜a，即有f（x）在（1，a）递减，在（a，+∞），（-∞，1）递增；当a＜1时，由f′（x）＞0解得x＞1或x＜a，由f′（x）＜0解得a＜x＜1，即有f（x）在（a，1）递减，在（1，+∞），（-∞，a）递增．【解析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）求出函数的导数，由极值点可得f′（1）=0，可得b=2a+3，f′（x）=[x2-（a+1）x+a]e x=（x-a）（x-1）e x．讨论a=1，a＞1，a＜1，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，主要考查导数的几何意义和函数的单调性，正确求导和运用分类讨论的思想方法是解题的关键．21.已知f（n）=1+++…+，g（n）=（3-），n∈N*．（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并用数学归纳法证明．【答案】解：（1）当n=1时，f（1）=1=g（1）；当n=2时，f（2）=，g（2）=，∴f（2）＜g（2）；当n=3时，f（3）=，g（3）=，∴f（3）＜g（3）．（2）由（1）猜想：f（n）≤g（n），下面利用数学归纳法证明：①当n=1，2，3时，不等式成立．②假设当n=k（k∈N*）（k≥3）时，不等式成立，即1+++…+＜（3-）．则当n=k+1时，则f（k+1）=f（k）+＜+，∵+=＜0，∴＜，∴f（k+1）＜=g（k+1），即当n=k+1时，不等式成立．由①②可知：对∀n∈N*，都有f（n）≤g（n）．【解析】（1）当n=1时，f（1）=1=g（1）；当n=2时，f（2）=，g（2）=，f（2）＜g（2）；同理可得：当n=3时，f（3）＜g（3）．（2）由（1）猜想：f（n）≤g（n），利用数学归纳法证明即可．本题考查了数学归纳法的应用、观察分析猜想归纳能力，考查了计算能力，属于中档题．22.已知函数f（x）=x（lnx-2ax），a∈R．（1）若f（x）≤2（0＜x＜1）恒成立，求a的最小值；（2）若函数f（x）有两个极值点，求a的取值范围．【答案】解：（1）∵0＜x＜1，∴f（x）≤2（0＜x＜1）恒成立⇔x（lnx-2ax）≤2x（0＜x＜1）恒成立⇔lnx-2ax≤2（0＜x＜1）恒成立⇔2a≥恒成立，令g（x）=（0＜x＜1），则g′（x）=，（0＜x＜1），∵0＜x＜1，∴g′（x）＞0恒成立，∴g（x）在（0，1）上单调递增，∴2a≥g（1）=-2，∴a≥-1，a的最小值为-1；（2）f（x）=x（lnx-2ax）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx-2ax+x（-2a）=lnx-4ax+1，∵函数f（x）有2个极值点，∴f′（x）=lnx-4ax+1=0有两个不相等的实数根，当a＞0时，令g（x）=lnx-4ax+1，则g′（x）=-4a=，由g′（x）＞0得0＜x＜，由g′（x）＜0解得：x＞，∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴g（x）最大值=g（）=-ln（4a）＞0，高中数学试卷第11页，共12页∴0＜4a＜1，0＜a＜，∴a的范围是（0，）．【解析】（1）问题转化为2a≥恒成立，令g（x）=（0＜x＜1），通过求导得到函数g（x）在（0，1）递增，从而得到2a≥g（1）=-2，进而求出a的最小值；（2）问题转化为f′（x）=lnx-4ax+1=0有两个不相等的实数根，令g（x）=lnx-4ax+1，通过求导得到函数g（x）的单调性，求出g（x）的最大值，进而求出a的范围．本题考查了函数的单调性、函数的极值问题，考查导数的应用，本题是一道难题．高中数学试卷第12页，共12页。
