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6.4.3 第一课时 余弦定理高中数学必修第二册课件)

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6.4.3第1课时余弦定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件(1)

6.4.3第1课时余弦定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件(1)

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数学 必修第二册 配人版A版
第六章 平面向量及其应用
【解析】(1)由余弦定理得： a＝ 602＋60 32－2×60×60 3×cosπ6＝
4×602－3×602＝60(cm)． (2)由余弦定理得：( 5)2＝52＋BC2－2×5×BC×190，所以 BC2－9BC ＋20＝0，解得 BC＝4 或 BC＝5.
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第六章 平面向量及其应用
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任
何三角形．
()
(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形． ( )
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第六章 平面向量及其应用
易错警示 解题漏条件致误
在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2<b2＋c2，求A的取 值范围．
错解：∵a2<b2＋c2，∴b2＋c2－a2>0. ∴cos A＝b2＋2cb2c－a2>0.
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第六章 平面向量及其应用
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数学 必修第二册 配人版A版

新教材-高中人教A版数学必修第二册课件-6.4.3.1-余弦定理

新教材-高中人教A版数学必修第二册课件-6.4.3.1-余弦定理

所以c=3,所以最大边为b,最大角为B,
所以cos B=a2 c2 b2 1 .
2ac
7
答案:- 1
7
探究点三 由余弦定理判断三角形的形状
【典例3】在△ABC中,如果三边长a,b,c满足a3+b3=c3,那么△ABC的形状为( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上均有可能
【思维导引】利用a3+b3=c3得到 (a )3 ( b )3 =1,且c为最大的边,通过不等式的
【定向训练】
(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中, cos C 5 ， BC=1,AC=5,则AB=( )
25
A.4 2
B. 30
C. 29
D.2 5
【解析】选A.cos C=2cos2C -1=2×( 5 )-21=- ,3在△ABC中,
2
5
5
由余弦定理AB2=CA2+CB2-2CA·CB·cos C,
由余弦定理,可以得到如下推论(变形公式):
b2 c2 a2
cos A=______2_b_c_____;
a2 c2 b2
cos B=______2_a_c______;(第二种形式)
a2 b2 c2
cos C=______2_a_b______.
2.解三角形 一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的_元__素__.已知三 角形的几个_元__素__求其他_元__素__的过程叫做解三角形.
2
又0°<A<180°,所以A=60°.
cos B= a2 c2 b2 ＝(2 3)2 ( 6 2)2 (2 2)2 ＝ 2 ，
2ac

人教A版必修第二册6.4.3.1余弦定理课件

人教A版必修第二册6.4.3.1余弦定理课件

角形(角精确到1 );
(参考数据： 7 2.645 , cos 40.89 0.756 , cos 79.11 0.189 )
简析：
a2 b2 c2 2bc cos A
202 302 2 20 30 cos 30
A
700 a 700 10 7(cm)
a2 c2 b2 cos B
A
b5
c2
cos A 1 sin2 A
1 ( 231 )2 13 .
20
20
由余弦定理得
a2 b2 c2 2bc cos A 52 22 2 5 2 13 16
20
a 4
又 cos C a2 b2 c2 2ab
?
Ca
B
42 52 22
37 0.925
2 4 5 40
综上，A 45 , B 30 , C 105 .
4. 在ABC中 , 已知b 5 , c 2 , 锐角A 满足 sin A 231 ，求C . 20
(精确到1 ).( 参考数据：cos 22.3316 0.925) .
简析：
sin A 231 , 且A 为锐角. 20
(教材P44练习第3 题)
综上，a 41cm , B 106 , C 33.
返回
例2.在ABC中 , a 7, b 8, 锐角C 满足 sin C 3 3 , 14
求B(精确到1 ) .(参考数据：cos 81.7843 0.1429)
解： sin C 3 3 , C 为锐角.
14
A
c3 b8
cosC 1 sin2 C
2bc
2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
特例：勾股定理
思考(4): 三角形的三条边，三个角叫三角形的元素 .

数学人教A版(2019)必修第二册6.4.3余弦定理(共21张ppt)

数学人教A版(2019)必修第二册6.4.3余弦定理(共21张ppt)

温馨提示：
(1)适用范围：任意三角形. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”. (3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，在等式中可以做到“知 三求一”.
例 1 一个三角形的两边长分别为 5 和 3，它们夹角的余弦值为－35，则三角形的
另一边长为 A.52
√B.2 13
C.16
D.4
探究1 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C 表示c? 提示 如图，设C→B＝a，C→A＝b，A→B＝c， 那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b) ＝a·a＋b·b－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C， 同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B.
a2＋c2－b2 cos B＝ _________2_aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc________ ，
a2＋b2－c2 cos C＝ __________2_a_b________.
例3 若△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，6a＝4b＝3c，则cos B
＝ 15
3
A. 4
B.4
3 15 C. 16
√11 D.16
coAs .C－＝15 1134，则最大角B的.－余61弦值是
√C.－17
D.－81
根据题意，由余弦定理可得 c＝ a2＋b2－2abcos C ＝ 64＋49－2×8×7×1134＝3. 因为a>b>c，所以A>B>C，即A为最大角. 因此 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝429＋ ×79－ ×364＝－17.

6.4.3第1课时余弦定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件

6.4.3第1课时余弦定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件

2
-2|AB|
2
•|BC|cosB+|BC|
把两个大写字母表示线段换成单个小写字母表示有： ＡＢ＝c，BC=a，CA=b 。 上面式子可以变为：
b2=c2+a2-2பைடு நூலகம்a·cosB
那如果已知的是AC AB 和角A 求BC边了？做法一样吗？
课堂探究
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两 边与它们夹角的余弦的积的两倍。即
温 故 知 新 回顾上节课所学主要内容：
1、向量在几何中的运用 2、向量在物理中的运用
新课引入
421海里
日 本
1337海里
已知如图，距离怎么求？
？海里
课堂探究
C
已知三角形两边分别为AB和BC,这两 边的夹角为B ，我们能引入向量来表 B 示出第三边吗？
A
AC =AB + BC
他的模又怎么算了？
(D ) A．8
B．2 17
C．6 2
D．2 19
作业练习
3、在△ABC 中，若 AB＝ 5，AC＝5，且 cos C＝190，
则 BC＝
.
解：由余弦定理得
( 5)2＝52＋BC2－2×5×BC× 9 ， 10
所以 BC2－9BC＋20＝0， 所以 BC＝4 或 5.
作业练习
4、在△ABC中，a︰b︰c＝3︰5︰7，求其最大内角.
|AC| =|AB + BC|
课堂探究
C
|AC| =|AB + BC| B
2
|AC| =|AB
+
BC| 2
A
= AB 2+2AB • BC+BC 2

数学人教A版必修第二册6.4.3余弦定理课件

数学人教A版必修第二册6.4.3余弦定理课件

解：(1)cosC 1 sin2 C 13 14
余弦定理 c2 a2 b2 2ab cosC 9
c 3
(2)cosB a2 c2 b2 2ac
49 9 64 1
42
7
B 90 三角形ABC是钝角三角形.
【方法归纳】 利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手， 即用转化的思想解决问题，一般有两个思路：(1)化边为角，再进行三 角恒等变换，求出三个角之间的关系；(2)化角为边，再进行代数恒等 变换，求出三条边之间的关系．一般地，若遇到的式子含角的余弦或 边的二次式，则要考虑用余弦定理．
6.4.3 余弦定理
教学目标
1.了解余弦定理的推导过程； 2.掌握余弦定理的几种变形公式及应用 3.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题。
预习教材P42－P43的内容， 思考以下问题： 1.余弦定理的内容是什么？
2.如何证明余弦定理？
3.余弦定理有哪些推论？
探究
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
2，
2
∴A＝45°.
B
解：由题可知：最大角为B, 最小角为A
余弦定理推论cosC a2 b2 c2 9 25 19 1
2ab
30
2
C 60 , A B 180 60 120
A
解：余弦定理b2 a2 c2 2ac cosB 变形a2 c2 b2 2ac cosB
由题a2 c2 b2 3ac可知2ac cosB 3ac
题型2已知三角形三边或三边的关系解三角形 例2 (1)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a ＝ 2，b＝ 2，c＝2，则角A等于( ) A．90° B．60° C．30° D．45°

6.4.3.1余弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册


课中探究
探究点三 利用余弦定理判断三角形的形状
例3（1） 在△ ABC中，c2 = bccos A + accos B + abcos C，则此三
角形必是(
)
√ A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
[解析] 由c2 = bccos A + accos B + abcos C，
课中探究
［素养小结］ 已知三角形的两边和一个角解三角形的方法 （1）先利用余弦定理求出第三边，其余的角利用余弦定理的推论求出． （2）用余弦定理的推论求角时，首先求出的是这个角的余弦值，然后 根据余弦函数在(0, π)上单调递减，可得余弦值对应的角是唯一的．
课中探究
探究点二 已知三边解三角形
例2（1） 在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
（1）利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角的问题.( √ )
[解析] 结合余弦定理及三角函数知识可知正确.
（2）在△ ABC中,已知a = 2,b = 3,c = 5,则sin A = 35.( × )
[解析]
cos A = b2+c2−a2 = 9+5−4 =
2bc
2×3× 5
35，∵ 0∘ < A < 180∘
a2 = b2 + c2 − 2bccos A， b2 =__c2__+__a_2_−__2_c_a_c_o_s_B__， c2 =_a_2__+__b_2_−__2_a_b_c_o_s__C_
课前预习
余弦 定理
推论
常见 变形
cos A = b2+c2−a2，
2bc
cos B = c2+a2−b2，

第六章6.46.4.3第一课时 余弦定理PPT课件(人教版)


必修第二册·人教数学A版
sin (A－B)＝0. ∵A、B 为△ABC 的内角， ∴A＝B. 又∵C＝π3， ∴△ABC 为等边三角形．
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必修第二册·人教数学A版
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1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思 想解决问题．一般有两条思考路线：(1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角 之间的数量关系．(2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． 2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论： (1)△ABC 为直角三角形⇔a2＝b2＋c2 或 c2＝a2＋b2 或 b2＝a2＋c2. (2)△ABC 为锐角三角形⇔a2＋b2>c2 且 b2＋c2>a2 且 c2＋a2>b2. (3)△ABC 为钝角三角形⇔a2＋b2<c2 或 b2＋c2<a2 或 c2＋a2<b2. (4)若 sin 2A＝sin 2B，则 A＝B 或 A＋B＝π2.
cos B＝a2＋2ca2c－b2＝42＋×2×3＋ 13＋2－16＝12，
∴B＝60°.
∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
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已知三边解三角形的步骤 (1)分别用余弦定理的推论求出两个角； (2)用三角形内角和定理求出第三个角．
必修第二册·人教数学A版
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二、余弦定理与基本不等式在解三角形中的综合应用 ►逻辑推理、数学运算 在求周长或面积范围时常用余弦定理转化为边的关系，再利用基本不等式求解． [典例 2] 已知△ABC 的三内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，向量 m＝(sin B,1 －cos B)与向量 n＝(2,0)的夹角 θ 的余弦值为12. (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 3，求 a＋c 的取值范围．

高一数学人教版必修二6.4.3.1余弦定理课件


求第三边和其他两个角.
a2+b2-c2=0
（3）判断三角形的形状（会推导） a2+b2-c2>0
cos A b2 c2 a2 2bc
c2 a2 b2 cos B
2ca cos C a2 b2 c2
2ab
C钝角 C直角 C锐角
已知三角形的几个元素求其他元素的过程 叫做解三角形(solving.triXXX),
例3.在ABC中，a=2 3,c= 6 2,B 45, 解这个三角形.
[解] 根据余弦定理得，
b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－2×2 3×( 6＋ 2)
×cos 45°＝8，∴b＝2 2.
人教A版 数学（高中）
中物理 第六章 第4节
6.4.3.1余弦定理
1 学习目标
1、通过对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理； 2、能够从余弦定理得到它的推论； 3、能够应用余弦定理及其推论解三角形； 4、了解余弦定理与勾股定理之间的联系，知道解三角形的
问题的几种情形及其基本解法。
2 课堂导入
定性的角度：如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据 三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的；
2 7 3 14
又 C为三角形的内角，且A=120
sin C 1 cos2 C 5 3 14
结论：已知三边可求三个角。
变式1：已知△ABC的三边为 7 :2:1 ，求它的最大内角。
解：不妨设三角形的三边分别为a= 7x ,b=2x,c=x
则最大内角为∠A.由余弦定理的推论得：
cos A x2 2x2 ( 7x)2 1
c ab
A
b
2

人教A版高中数学必修第二册课件6.4.3 第1课时 余弦定理

;
(2)已知△ABC是等腰三角形,且a=c=5,B =120°,则b=
.
答案:(1) 7 (2)5 3
解析:(1)由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos
A=12+32-2×1×3cos 60°=7,所以 BC= 7;
(2)由余弦定理,得 b2=a2+c2-2accos B=52+52-2×5×5cos 120°=75,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从
“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:(1)先
化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.(2)先化
角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系.
2.判断三角形的形状时,经常用到以下结论:
二
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
①在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
)
②在△ABC中,若△ABC是钝角三角形,则必有a2+b2<c2.(
)
③在△ABC中,若△ABC是锐角三角形,则必有a2+b2>c2.(
)
答案:①√ ②× ③√
探究一
第1课时
余弦定理
课标阐释
1.掌握余弦定理及其变形.
2.掌握余弦定理的证明过程.
3.能够利用余弦定理解决有关问
题.
思维脉络
一
二
一、余弦定理
1.思考
在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设
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6 ．4 .3 余弦定理、正弦定理
新课程标准 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系． 2.掌握余弦定理、正弦定理． 3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题. 新学法解读 1.弄清正弦定理、余弦定理的推导思路，并在此基础
上掌握正、余弦定理的本质． 2.在求解三角形问题时要注意养成作图分析的习惯.
3．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．
已知两边及一角解三角形
[例1] (1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 3 cm，A
＝π6，则a＝________cm；
(2)在△ABC中，若AB＝
2，cos(A＋B)＝13，则c＝
()
A．4
B. 15
C．3
D. 17
解析： cos C＝－cos(A＋B)＝－13.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－
2abcos C＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以c＝ 17.故选D.
答案：D
2．在△ABC中，a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，解这个三角形．
第一课时 余弦定理
[思考发现]
1．在△ABC中，符合余弦定理的是
()
A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A
C．b2＝a2－c2－2bccos A
D．cos C＝a2＋2ba2b＋c2
解析：由余弦定理及其推论知只有A正确．故选A.
答案：A
2．在△ABC中，已知a＝9，b＝2 3，C＝150°，则c等于
A. 39
B．8 3
()
C．10 2
D．7 3
解析：由余弦定理得：c＝ 92＋2 32－2×9×2 3×cos 150°
＝ 147＝7 3.故选D.
答案：D
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝
5，c＝2，cos A＝23，则b＝ Nhomakorabea()
A. 2 C．2
B. 3 D．3
解析：由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×
解：根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3 )2＋( 6 ＋ 2)2－2×2 3×( 6＋ 2)×cos 45°＝8， ∴b＝2 2. 又∵cos A＝b2＋2cb2c－a2＝8＋2× 26＋2×226－＋2 232＝12， ∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
已知三边解三角形
5 ，AC＝5，且cos
C＝
9 10
，则
BC＝________.
[解析] (1)由余弦定理得： a＝ 602＋60 32－2×60×60 3×cosπ6 ＝ 4×602－3×602＝60(cm)． (2)由余弦定理得：( 5)2＝52＋BC2－2×5×BC×190， 所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.
2．[变条件，变设问]若三角形三边长之比是1∶ 3 ∶2，则其所
对角之比是
()
A．1∶2∶3
B．1∶ 3∶2
C．1∶ 2∶ 3
D. 2∶ 3∶2
解析：设三角形三边长分别为m， 3 m,2m(m＞0)，最大角为
A，则cos A＝m2＋2m3m·32－m 2m2＝0，∴A＝90°.
设最小角为B，则cos B＝2m22＋·2m·3m3m2－m2＝ 23，
[例2] 在△ABC中，已知a＝2 6 ，b＝6＋2 3 ，c＝
4 3，求A，B，C. [解] 根据余弦定理，得cos A＝b2＋2cb2c－a2
＝6＋2
32＋4 32－2 26＋2 34 3
62＝ 23.∵A∈(0，π)，∴A＝π6，
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2
62＋6＋2 32－4 2×2 6×6＋2 3
32＝ 22，
∵C∈(0，π)，∴C＝π4.
∴B＝π－A－C＝π－π6－π4＝172π，∴A＝π6，B＝172π，C＝π4.
已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求 出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一 个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的 内角和定理求出第三个角．
1．余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是 余弦定理的特例． 2．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个 角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个 量，就可求得第四个量．
[答案] (1)60 (2)4或5
已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第 三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外 一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角．
[变式训练]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝
[变式训练]
1．[变条件]已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ABC 中各角的度数． 解：已知a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，令a＝2k，b＝ 6k， c＝( 3＋1)k(k＞0)，由余弦定理的推论，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ 26×2＋6×3＋31＋2－122＝ 22， ∵0°<A<180°，∴A＝45°. cos B＝a2＋2ca2c－b2＝22＋2× 23×＋123－＋162＝12， ∵0°<B<180°，∴B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.
∴B＝30°，∴C＝60°.
故三角形三角之比为1∶2∶3.故选A. 答案：A
3．[变条件，变设问]在△ABC中，已知a2＋c2＝b2＋ac，且 sin A∶sin C＝( 3＋1)∶2，求角C. 解：∵a2＋c2＝b2＋ac，a2＋c2－b2＝2accos B. ∴2accos B＝ac，∴cos B＝12.∵0°＜B＜180°， ∴B＝60°，A＋C＝120°. ∵ssiinn AC＝ 32＋1，∴2sin A＝( 3＋1)sin C. ∴2sin(120°－C)＝( 3＋1)sin C. ∴2sin 120°cos C－2cos 120°sin C＝( 3＋1)sin C. ∴sin C＝cos C.∴tan C＝1.∵0°<C<180°.∴C＝45°.
2 3
，解得b＝3
或b＝－13(舍去)．故选D.
答案：D
4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________.
解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴c2＝a2＋b2－ab.又∵c2＝a2＋b2－ 2abcos C，∴2cos C＝1.∴cos C＝12. 答案：12
[系统归纳]