高中数学余弦定理课件新人教A版必修

余弦定理的变形和延伸： (1)变形：cos A＝b2＋2cb2c－a2，cos B＝c2＋2ac2a－b2，cos C＝a2＋2ba2b－c2. (2)延伸：a2>b2＋c2⇔A 为钝角，a2＝b2＋c2⇔A 为直角，a2<b2＋c2⇔A 为锐角．
[重点理解] 1．余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． 2．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它 含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．
际问题.
作图分析的习惯.
第一课时 余弦定理
课前篇·自主梳理巩固基础
[笔记教材] 知识点 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍．即 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C．
4．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，b＝5，c＝7，则角 C 2π ＝____3____.
解析：根据余弦定理的推论，得
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝322＋×532×－572＝－12.
又因为 C∈(0，π)，所以 C＝23π.
课堂篇·重点难点研习突破
研习 1 已知三角形的三边解三角形 [典例 1] 已知△ ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ ABC 的各角的大小． [名师引导] 已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而将问题转化为已知三边求 三角，可利用余弦定理求解．

1．余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是 余弦定理的特例． 2．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个 角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个 量，就可求得第四个量．
6余．弦4定. 3理 【第新一教课材时】人余教弦A定版理高-中【数新学教必材修】第人二教册A课版件（ 2019） 高中数 学必修 第二册 课件( 共23张 PPT)
已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第 三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外 一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角．
余 弦 定 理 【 新教材 】人教 A版高中 数学必 修第二 册课件
3．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．
余 弦 定 理 【 新教材 】人教 A版高中 数学必 修第二 册课件
余 弦 定 理 【 新教材 】人教 A版高中 数学必 修第二 册课件
[变式训练]
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝
4
B. 15
C．3
D. 17
解析： cos C＝－cos(A＋B)＝－13.又由余弦定理得c2＝a2＋b2－
2abcos C＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以c＝ 17.故选D.
2 3
，解得b＝3
或b＝－13(舍去)．故选D.
答案：D
4．在△ABC中，若a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________.

A
c a
B
C
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍.
余弦定理：
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹 角的余弦的积的两倍. 即：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A
C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？ ①已知三角形的任意两角及其一边； ②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角.
A C B

情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三 角形是大小、形状完全确定的三角形. 从量化的角度来看，如何从已知的两 边和它们的夹角求三角形的另一边和 两个角？
练习：
教材P. 8练习第1题. 在△ABC中，已知下列条件，解三角
形(角度精确到1 , 边长精确到0.1cm):
(1) a＝2.7cm，b＝3.6cm，C＝82.2 ； (2) b＝12.9cm，c＝15.4cm，A＝42.3 .
o o
o
课堂小结
1. 余弦定理是任何三角形边角之间存在 的共同规律，勾股定理是余弦定理的特 例； 2. 余弦定理的应用范围： ①已知三边求三角； ②已知两边及它们的夹角，求第三边.
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？
思考4：
勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一 般三角形中三边平方之间的关系，如何 看这两个定理之间的关系？

[分析] 本题主要考查了余弦定理及大边对 大角等平面几何性质，要求出最大内角的 正弦值，须先确定哪条边最大(同时表达出 边a、b、c的长)，然后应用余弦定理先求 出余弦值，再求正弦值．
[解] 设 b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k，其中 k>0.易解得
a＝72k，b＝52k，c＝32k，
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角 C等于________．
解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ ab.
又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2 ＋b2－2abcosC.
由正弦定理sianA＝sincC得
sinC＝csianA＝5×7
3 2 ＝5143，
∴最大角 A 为 120°，sinC＝5143.
[例3] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝ 2bccosBcosC，试判断三角形的形状．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
① 边 角 之 间 的 关 系 ： b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC；
利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角 形的问题： 各角
(1)已知三边，求
第；三边和其他两个角
(2)已知两边和它们的夹角，求 ．
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8， 则△ABC的形状是
( )
A．锐角三角形 形
B．直角三角
C．钝角三角形
D．非钝角三角形
解 析 ： 因 为 AB2 ＋ BC2 － AC2 ＝ 52 ＋ 62 － 82<0，
[分析] 由条件知C为边a、b的夹角，故应 由余弦定理来求c的值．

答案：2 3
三、“基本思想”很重要
1．(转化与化归)在△ABC 中，若 sin 2A＝sin 2C，则△ABC 的形状是 ( )
A．等边三角形
B．等腰三角形ຫໍສະໝຸດ C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
解析：因为 sin 2A＝sin 2C⇒sin 2A＝sin(π－2C)，
所以 A＝C 或 A＋C＝π2.当 A＝C 时，三角形为等腰三角形；当 A＋C＝π2时， 三角形为直角三角形．
内容
a sin
A＝
b sin B
＝sinc C＝2R
a2＝ b2＋c2－2bccos A ； b2＝ c2＋a2－2cacos B ； c2＝ a2＋b2－2abcos C
续表
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C； 变形 (2)a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C ；
a＋b＋c (3)sin A＋sin B＋sin C
＝sina A＝2R
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ；
c2＋a2－b2 cos B＝ 2ac ；
a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab
2．三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin C＝
在△ABC 中，若sina A＝cobs B，则角 B 为
A．π6
B．π4
C．π3
D．π2
答案：B
()
3．(好题分享——新人教 A 版必修第二册 P48T3 改编)
在△ABC 中，已知 AC＝ 3，AB＝3，A＝30°，则 BC＝
A．4
B．2
()
C．3 答案：D

第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理 (完整课件78页)
高一数学人教A版必修2精品课件
第六章 | 平面向量及其应用
6.4.3.1余弦定理
高一数学人教A版必修2精品课件
第一课时 余弦定理
知识点 余弦定理 (一)教材梳理填空 1．余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三
角形．
(√ )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一．
(× )
2．在△ABC 中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b 等于
【学透用活】 1．已知边 a，b 和角 C.
2．已知边 a，b 和角 A.
[典例 1] 在△ABC 中，
(1)若 a＝2 3，c＝ 6＋ 2，B＝45°，求 b 及 A.
(2)若 A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求 b，c.
[解] (1)由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(2 3)2＋( 6＋ 2)2－
()
A．4
B． 15
C．3
D. 17
解析：cos C＝－cos(A＋B)＝－13. 又由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝9＋4－2×3×2×－13＝17，所以 c＝ 17.故选 D.
答案：D
2．若 b＝3，c＝3 3，B＝30°，求角 A，C 和边 a. 解：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝a2＋(3 3)2－2×3 3a×cos 30°， 即 a2－9a＋18＝0，所以 a＝6 或 a＝3. 当 a＝6 时，由 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝322＋×33×332－362＝0，可得 A＝90°，C ＝60°.当 a＝3 时，同理得 A＝30°，C＝120°.

试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和 角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两 个角； （4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一 余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,

变式:已知:a=3,b=5,c=7,试判断此三角形的形状. 变式:已知:a:b:c=3:5:7,试判断此三角形的形状.
2 2 2 0 a b c C =90 ① △ABC为直角三角形 ② a2 b2 c2 C 900 △ABC为钝角三角形 ③ a2 b2 c2 C 900？ △ABC为锐角三角形
一、复习回顾
a b c 正弦定理： 2R sin A sin B sin C
变形： a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
正弦定理可解决的两类问题： （1）已知三角形的任意两个角和一条边 （AAS型或ASA型） sin 75 cos15 6 2 4 （2）已知三角形的两条边和其中一边的对角 （SSA型）



练：(1)已知在三角形 ABC 中，b＝6，c＝4，A＝120 求边 a.
(2) 已知在三角形 ABC 中，a＝1，c＝4，B＝60 求边 b.
例 2：在ABC中，已知a＝7，b＝8，c＝5，求A
练习(1):在三角形ABC中，a=20,b=29,c=21,求B (2)在三角形ABC中，a2=b2+c2+bc,求A (3)在三角形ABC中，AB=5，BC=4，AC= 61 求B


(2) B 45 , C 60 , a 4 (3)a 2, b 2 3, A 30 (4) A 120 , c 5, a 7

复习：
(1) 已知 a 6, b 4 且 a 与 b 的夹角为 60 ，则 a b =________
（2）已知 a 5, b 4 且 a b =10，求 a 与 b 的夹角____________

∴ − = 0，
即( − ) = 0，∴ = .
又 + = 120°，∴ = = = 60°.
故∆为等边三角形.
练习
变3.在∆中，若 2 2 + 2 2 = 2 �� ，试判断∆的形
确到1°，边长精确到1 ).
解：由余弦定理，得：
2 = 2 + 2 − 2|||| = 602 + 342 − 2 × 60 × 34 × 41° ≈ 1676.78，
所以 ≈ 41().
由余弦定理的推论，得： =
2 + 2 −2
2
=
412 +342 −602
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
新知探索
一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、
面积等，它们之间存在着确定的关系.例如，在初中，我们得到过勾股定理、
锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们
已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了，，，等判定
2 = 2 + 2 − 2|||| .
推论
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 +2 − 2
.
2
2.解三角形的定义
一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？
思考1：在∆中，三个角，，所对的边分别是，，，怎样用，和表示
？
因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数

问5：解决长度和角度问题的手段有什么？
C
baA源自cB余弦定理
问题解决
B
?
C
（精确到0.1米）
96°
B C 2 A B 2 A C 2 2 A B A C c o s A A
3 .6 2 4 .8 2 2 3 .6 4 .8 c o s 9 6
1 2 .9 6 2 3 .0 4 3 4 .5 6 0 .1 0 4 5
二.思想方法： 数形结合的思想，化归与转化的思想， 分类讨论的思想，特殊到一般的思想
• 作业 • 1.复习 • 2.必做题:书P8---P9 • 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个
连续自然数，求该三角形的三边长。
• 3.预习
猜字谜游戏：
• 留得琴丝调宫商（打一数学名词）
39.6125
BC6.3
答：B,C两处的距离约为6.3米。
一、余弦定理：
问6：公式应该要如何记忆呢？ 问7：可将公式如何变形？ 问8：公式变形的目标是什么？
观察可能导致发现，观察将揭示 某种规则-------波利亚
定理应用 --------------类比的方法
----------请同学们自己编题---------解三角形问题：SSS SAS
情境引入
C B
A
情境引入
情境引入
C B
96° A
提出问题
B
?
C
96° A
问3：用正弦定理能否直接求出B,C两处的距离？
问4：如何解决这已知三角形两边c和b, 和两边的夹角A，求第三边a的问题？
公式推导 --------------特殊到一般的思想
如何由已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？

为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
c a b
b
c
2
c c
a
b
a
b
C aa
a a b b 2 a b
a2 b2 2abcosC
所以 c2 a2 b2 2ab cosC
同理可证 a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB2，2来自∴A＝45°.B
解：由题可知：最大角为B, 最小角为A
余弦定理推论cosC a2 b2 c2 9 25 19 1
2ab
30
2
C 60 , A B 180 60 120
A
解：余弦定理b2 a2 c2 2ac cosB 变形a2 c2 b2 2ac cosB
由题a2 c2 b2 3ac可知2ac cosB 3ac
课堂小结
1.知识梳理： (1)余弦定理. (2)余弦定理推论.
2.方法归纳：数形结合思想、方程思想、转化思想.
解析：因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， 所以a2＝b2＋c2－bc. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 所以cos A＝12.又因为0°<A<180°，所以A＝60°. 因为sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 且sin A＝2sin B cos C， 所以sin B cos C＝cos B sin C，即sin (B－C)＝0. 因为－180°<B－C<180°，所以B－C＝0°，即B＝C. 又因为A＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°，即B＝C＝60°， 故△ABC为等边三角形．
题型2已知三角形三边或三边的关系解三角形 例2 (1)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a ＝ 2，b＝ 2，c＝2，则角A等于( ) A．90° B．60° C．30° D．45°

高 中数学 人教A版 （2019 ）必修 （第二 册）6. 4.3 第1课时 (余弦 定理)（ 共10张 PPT）
二、余弦定理 高中数学人教A版（2019）必修（第二册）6.4.3 第1课时(余弦定理)（共10张PPT）
余弦定理： 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
高 中数学 人教A版 必（修20（19 第）二必册修 ）（第二( 册余）弦6定. 4理.3) 第1课时 (余弦 定理)（ 共10张 PPT）
二、余弦定理 高中数学人教A版必（修20（19第）二必册修）（第二(册余）弦6定.4理.3) 第1课时(余弦定理)（共10张PPT）
勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系,余弦定理则指 出了三角形的三条边与其中的一个角的关系.你能说说这两个定量 之间的关系吗？
高 中数学 人教A版 必（修20（19 第）二必册修 ）（第二( 册余）弦6定. 4理.3) 第1课时 (余弦 定理)（ 共10张 PPT）
四、典型例题 高中数学人教A版必（修20（19第）二必册修）（第二(册余）弦6定.4理.3) 第1课时(余弦定理)（共10张PPT）
1.余弦定理及其推论
余 a2=b2+c2-2bccosA
C
aB
所以
A
2
B(C
BC
A)2
C2BC2A2CBC
A
C2BC2A2|C| BC || Ac o s C
即c2=a2+b2-2abcosC
同理可得a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB
于是，我们就得到了三角形 边角关系的一个重要定理：
从这里的推导过 程，你感受到向量运 算的力量了吗？